四边形的对角线相等?

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  • 一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质 ①具有平行四边形的一切性质; ②矩形的四个角都是直角; ③矩形的对角线相等; ④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴; ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.菱形的性质 ①具有平行四边形的一切性质; ②菱形的四条边都相等; ③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; ④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴; ⑤菱形的面积=底×高=对角线乘

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易求得AC=5√2,BC=10,BD=6,即四边形的四条边和一条对角线都已知,求另一条对角线的长.

如果你听说过“托勒密定理”,这道题可以秒解;如果你只知道四点共圆,这道题就稍微复杂些;如果你两个都不知道,那就比较麻烦了,但同样可解。下面就分别用这三种方法来解这道题。

托勒密定理和四点共圆都是课外知识,很多同学并不知道,所以咱们先从最普遍的方法,用课本上的知识来求解。

1、课本方法:求线段长,勾股或相似

如图,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.

设AB、CD相交于点O

由两角相等易证△AOE∽△DOF

∴A、B、C、D四点共圆(对角互补,四点共圆)

遇45°,构造等腰直角三角形.

在RT△ACM中,由勾股定理可得

AM=3√2(利用勾股数)

先简要叙述下托勒密定理

托勒密定理:圆内接四边形对角线的乘积等于两组对边的乘积之和

1、求线段长,勾股或相似;

2、对角互补,四点共圆;

3、遇45°,构造等腰直角三角形;

另外,由方法二还可以得到一个结论:已知两边和一角,则任意三角形都可解.

(边边角图形未确定时要分两种情况)

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——来源于“浙江省金华市永康市学年八年级下学期数学期末考试试卷”

(1) 请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子.

(2) 如图1,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,已知四边形EFGH是菱形,求证:四边形ABCD是和美四边形;

(3) 如图2,四边形ABCD是和美四边形,对角线AC,BD相交于O,∠AOB=60°,E、F分别是AD、BC的中点,请探索EF与AC之间的数量关系,并证明你的结论.

(2) 如图2,连接BD,求证:BD=2OM;

(3) 如图3,在(2)的条件下,F为OD上一点,连接FM并延长交AC于点H,连接BH,若DF=2OF,HM=3,tan∠ACB= ,求线段BH的长。

如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6cm,点D从O点出发,沿OM的方向以1cm/s的速度运动,当D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连结DE.

(1) 求证:△CDE是等边三角形;

(2) 如图2,当6<t<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长;若不存在,请说明理由;

(3) 如图3,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

(1) 尺规作图:作∠ABC的平分线,与线段AC交于点F、连接EF;

(2) 根据(1)中所作的图形、证明:EF∥BC。

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