不定积分上限积分函数怎么求为e的函数是什么?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 03:39 标签： 吴亦凡最新消息
本节是为了建立L积分理论的微积分基本定理。

数学分析中的微积分基本定理

什么是微积分基本定理呢？它有一个别名，叫做牛顿莱布尼茨公式。

微积分基本定理的一个前置定理，也就是说，微分和积分互为逆运算。

前置定理：如果一个函数连续，那么它的变上限积分函数是可微的，且其微分之后等于该函数。【微分可积分互为逆运算】

弱化的前置定理：如果一个函数R可积，并且在一点处连续，那么它的变上限积分在该点处是连续的，且其在该点处的微分等于该函数。

牛顿莱布尼茨公式：如果一个函数连续，那么它存在原函数【也叫做反导数】，并且有牛顿莱布尼茨公式成立： \int_{a}^{b} f(x) d

弱化的牛顿莱布尼茨公式：如果一个函数R可积，且存在原函数，那么牛顿莱布尼茨公式成立：

为了得到上面的定理，我们沿用数学分析中可微的定义，反导数的定义，然后开始建立L积分中的微积分基本定理。

微积分基本定理之前置定理

注意到不定积分可以按照正部和负部拆分成两个单调函数不定积分的差： F(x)=\int_{a}^{x} f(t)

我们得到了描述单调函数几乎处处可微的勒贝格定理。

【顺手根据勒贝格定理，知道了单调函数几乎处处可微，于是有了Fubini逐项微分定理。

类似的有数学分析的逐项微分定理。

比较之后我们发现，数学分析中的逐项积分定理，要求的是更强的一致收敛的条件，而实变函数中的Fubini逐项积分定理，只要求单调性+点态收敛，当然其结论不过是a.e的。】

接下来定义了有界变差函数，导出了Jordan分解定理，它是一个构造性的定理。

Jordan分解定理：f是一个有界变差函数当且仅当f是两个递增函数的差

于是变上限积分函数按照正负部分成两个递增函数，其自然而然地也是有界变差函数了。

上面都是一些准备工作。我们把问题明晰明晰：

当然我们最多只能要求 F^{\prime}(x)=f(x) 是a.e成立的，因为L理论对于一个函数在零测度集合上面改变函数值没什么影响。

平均收敛于f(x)的引理，然后证明实变函数中的微积分基本定理的前置定理。（我们当然注意到，当h趋于0 的时候， F_{h}(x) 等于变上限积分函数）

一句话，平均收敛引理保证了变上限积分函数的导数a.e等于本来的函数。

通过比较我们发现，他相比于数学分析的微积分基本定理，它不需要函数的连续这一个条件。

微积分基本定理之牛顿莱布尼茨公式

首先一定要使得左边有意义，于是f肯定是一个有界变差函数，因为只有单调函数才是【也就是有界变差函数】几乎处处可微，左边才可以积分，且等式成立的话，f肯定是连续的【为什么？因为这里 \lim _{\Delta x \rightarrow 0} f(x+\Delta x)-f(x)=0也就是

假如说，f是有界变差的连续函数，上面那个式子一定成立吗？不是的，我们取

a.e成立，但这是不能说明h恒等于常数的。这个反例就是康托尔函数。它在[0，1]上连续，且导数a.e等于0，但是它在0处的值等于0，在1处的值等于1。

成立，还需要给f加上更强的条件，防止上面说的康托尔函数的这种情况出现。那就是引入绝对连续性的概念！这样的话，h'=0 a.e成立的时候，可以推出h恒等于一个常数。就证明了牛顿莱布尼茨公式。这是非常关键的一个性质。

于是我们有了变上限积分函数是绝对连续函数。绝对连续函数显然是有界变差函数。绝对连续函数几乎处处可微，满足牛顿莱布尼茨公式的前提条件。

我们有了这个关键性的定理：

（当然，顺着推，直接用变上限积分函数是绝对连续函数就完了。）

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