如何判断函数的有垂直渐近线就没有斜渐近线吗和水平渐近线

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 12:37 标签： 有垂直渐近线就没有斜渐近线吗

　　不一定,比如函数(y+x+1)^2=x+1有两条渐近线,一个是水平y=-1,一个是斜渐近线2x+y+1=0.如图所示.


微 积 分 3.5 曲线的凸凹性及作图 基本知识点 第一次课：函数图形的凹凸性，函数图形的凹凸 区间，曲线的拐点 ； 第二次课: 曲线的渐近线（水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线），作函数图形的方法 。 基本技能 第一次课：判断函数图形的凹凸性，求函数图形的凹凸区间，求曲线的拐点 ； 第二次课: 求曲线的渐近线，作函数图形 。 函数凹凸性充分条件的证明。 难点 处理方法 首先通过几何直观观察出凹凸性的充分条件，其次在证明过程中强调：（1）为什么需要利用拉格朗日中值定理？（2）怎么利用中值定理？本节两个学时。 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 1 凸凹函数 定义 设曲线方程为 若 有 则称其为凸的； 则称其为凹的。 定理1 设曲线方程为 且具有二阶导数， 若 则曲线是凸的； 若 则曲线是凹的。 证明:只证其一。当 时， 令 4.5 曲线的凸凹性及作图 分别在 上， 满足Lagrange中值定理条件 （2）-（1）得： 在 上， 满足Lagrange中值定理条件 4.5 曲线的凸凹性及作图 4.5 曲线的凸凹性及作图 代入（3）式得： 即 所以， 是凹的。 2 拐点 曲线上凹凸性发生变化的分界点。 设曲线 具有二阶导数，若 为拐点， 1） 则 为拐点。 2） 则 不为拐点。 定理 （拐点的必要条件） 则 3 求函数的凹凸区间、拐点 例1 求 的凹凸区间及拐点。 3）用上述点将定义域分成若干小区间，在每个小 区间上考察二阶导数的符号。 解： 给定 1）求定义域 2）求 ，解 求出二阶导数不存在的点； 所以， 和 是曲线的两个拐点。 使 的点为 没有二阶导数不 存在的点。 ( ) ,2 -￥ 不存在 例2 求 的凹凸区间及拐点。 所以，(2,0)是曲线的拐点。 解： 没有二阶导数等于0的点，但 处，二阶导数不存在。 4.5 曲线的凸凹性及作图 1）水平渐近线 ，则 是一条水平渐 近线。 则 是两条水平渐近线。 渐近线 定义 若一直线 在无穷远点和曲线 无限地接近（距离趋近于零），则称直线 为曲线 的渐近线。 渐近线的分类： 如 ，则 是一条水平渐 近线。 2）铅垂渐近线 若 ，则称 为 的铅垂渐近线。 如 是 的铅垂渐近线； 是 的铅垂渐近线。 3）斜渐近线 若 且 存在，则 为 的斜渐近线。 4.5 曲线的凸凹性及作图 例3 求 曲线 的渐近线。 1） ，所以无水平渐近线； 4.5 曲线的凸凹性及作图 2） 所以 为铅垂渐近线； 所以 为斜渐近线。 3） 解： 5 函数作图 6）求出渐近线； 3）求 解 求出驻点以及 不存 在的点； 4）求 解 求出可能的拐点； 5）用上述各点分定义域为若干小区间，在每个小 区间内考察 的符号；以确定单调 性、凹凸性、极值、拐点等。 给定 1）求定义域 2）考察函数的奇偶性、周期性； 7） 必要时，在函数 上求出适当数量的点； 例4 求作出 的图形。 解： 所以，无水平渐近线； 所以， 是铅垂渐近线； 非奇非偶，也不是周期函数。 8） 用光滑曲线将上述各点连接起来，作出图形。 所以， 是驻点 ； 可能是拐点。 为斜渐近线。 单增 单减 单增 单增 （0,0）是曲线的拐点； 为极小值点。 例5 描绘方程 的图形. 解: 1) 定义域为 2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得 ① ①两边对 x 求导得 3) 判别曲线形态 (极大) (极小) 4) 求渐近线 为铅直渐近线 无定义 又因 即

这个问题，对于大多数同学来讲，不是什么大的困难。毕竟，它的定义还是比较好理解，而且有了极限的基础以后，计算也不是什么难题。但有时候，有同学对于怎么寻找斜渐近线会有一些困难，不会求斜渐近线的表达式。

我们还是简单回顾一下三类渐近线的定义：

  1. 的垂直渐近线，或者铅直渐近线；

  2. 的水平渐近线。注意这里要分两个无穷大方向；

  3. 的斜渐近线。注意这里也要分两个无穷大方向。

我们在画函数的图形的时候，需要确定函数的渐近线。那么现在我们来看一下怎么寻找函数的渐近线吧。

寻找渐近线的步骤是：先找垂直渐近线，再找水平渐近线，最后找斜渐近线。一个函数可能没有渐近线，也有可能三类渐近线都有。

  1. 垂直渐近线：垂直渐近线只可能在函数不连续的点处出现。这是为什么？因为从连续函数的性质知道，闭区间的连续函数有界，所以如果是连续的话，它的每一点的极限都是有限的（我们可以选一个很小的包含这点的连续区间）。
    找到不连续的点后，再在这点求极限。如果左右极限有一个趋于无穷大，那么这点处就有垂直渐近线。

  2. 水平渐近线：确定垂直渐近线后，就开始寻找水平渐近线。分别令 \(x\) 趋近于正、负无穷大，如果极限存在（不包括无穷大，无穷大是极限不存在的一种），那么就有水平渐近线；

  3. 斜渐近线：如果一个方向有水平渐近线，就不会有斜渐近线。也就是说，一个方向有水平渐近线，就不用找斜渐近线了（为什么？）。如果没有水平渐近线，就来确定有没有斜渐近线。

    找斜渐近线的方式为： 先求极限 ，如果极限存在，值为 a，则可确定有斜渐近线。接着，求极限 ，如果极限为 b ，则斜渐近线的方程为 。

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