定积分存在的必要条件函数有界是积分存在的必要条件,可dirichlel函数有界却积分不存在(不可积)!这怎么是必要条件呢?_百度作业帮
定积分存在的必要条件函数有界是积分存在的必要条件,可dirichlel函数有界却积分不存在(不可积)!这怎么是必要条件呢?
定积分存在的必要条件函数有界是积分存在的必要条件,可dirichlel函数有界却积分不存在(不可积)!这怎么是必要条件呢?
我们平时使用的积分核心思想,是通过无限逼近来确定这个积分值.同时请注意,如果被积函数f(x)取负值,则相应的面积值S亦取负值.这种积分称为：黎曼积分.我们学习的都是黎曼积分.你所理解的Dirichlel（狄利克雷）函数有界却积分不存在是在黎曼积分的前提下.但是在更广的勒贝格积分里可不是这样的结果了.这部分理论已经大大超出了非数学专业的要求.是更深层次函数积分的定义.不知道你接触过留数没有,特别是留数定理,这样的问题实际上是一种积分的类型,名称叫Dirichlel积分.这个问题和椭圆积分又有很密切的联系.留数定理在解决这种积分问题时的威力不小!分析下Dirichlel函数,这个函数有一个很重要的性质,就是在任何区间内黎曼不可积；在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积,且勒贝格积分值为 0（且任意区间(a,b),以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）.这个函数处处不连续.不仅仅体现在有理数点不连续.因为R积分不存在.L积分存在且为0.L积分按照值域划分,R积分按照定义域划分区间,此函数R积分的划分任意小的区间都含有取0和取1的情况.但是L积分里取1的点可以用一个长度和充分小的区间族覆盖上,也就是说用一个长度和充分小的区间族覆盖,即测度为零.直观上理解,一个是横着积,另外一个是竖着积.
是必要条件而不是充分条件
必要条件的意思是，函数可积，那么该函数一定有界；函数有界，不一定可积怎么证明狄利克雷函数（x是有理数是x=1,x是无理数时x=0)在R上每点都不连续_百度作业帮
怎么证明狄利克雷函数（x是有理数是x=1,x是无理数时x=0)在R上每点都不连续
怎么证明狄利克雷函数（x是有理数是x=1,x是无理数时x=0)在R上每点都不连续
假设连续,那么对于任意e>0,总存在t>0,使得对于任意x ∈U(x0,t),都有|f(x) - f(x0)| < e.若x0是有理点,那么U(x0,t)中总存在无理点,因此找不到这样的t.无理点类似.故该函数处处不连续勒贝格积分 -
勒贝格积分
勒贝格积分 -
　　黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。 　　19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-积分(简称R-S积分)等。只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-（简称l－S积分）。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称。 　　黎曼积分的回顾&　 改进R积分的主要想法是要扩大类，使得原来是R可积函数，按新积分仍可积，且积分值相同,而许多原来不是R可积函数，能按新积分可积。若能合理地扩大可积函数类，也就必然能在积分与极限交换顺序的条件上有某种改进。典型的例子是著名的，式中在有理数rn上取值为1，在【0,1】的其上的值都是零，和式“”表示对【0,1】中一切有理数求和。显然，每个是R可积的,积分值是零,然而D(x)不是R可积的，自然更谈不上积分与级数求和交换顺序。但若有新的积分,使得D(x)可积，并且积分值是零,那么,按新积分就可交换积分与求和的顺序。 　　对于［α,b］上有界实函数?(x)和［α, b］上任一分点组D:α=x0&x1&…&xn=b，作大、小和数
称是?(x)在［xi-1,xi］上的振幅。记。?(x)在［α,b］上R可积的充分必要条件是，或等价地，对任何η&0，。这一条件揭示了R 可积函数的本质。D(x)在任何小区间【xi-1，xi】上振幅ωi=1，所以不是R可积的。如果考虑将分点组改在y轴上,例如,对于【α,b】上的有界实函数?(x)(｜?(x)｜&с)，在【-с,с】上取分组点，记
类似于R积分,作和式,式中，｜Ei｜表示集Ei的“长度”。这时,相应于D的大、小和数与的差-,将随着λ(D)趋于零而趋于零。这样就可以避免因函数在任何【xi-1,xi】上频繁振动而出现不可积的情况了。但这也产生了另外的问题：对于复杂的函数?(x)，相应的集Ei是否一定有“长度”｜Ei｜。因此,如要沿上述途径改进R积分，首先就要把过去只对区间有意义的长度概念推广到尽可能多的、复杂的集上去，这就导致了测度概念的出现。 　　&　简称l测度,它是区间的长度、矩形的面积、长方体的体积的推广。 　　对于直线上的开集G,必存在惟一的有限个或可列个互不相交的,使得。利用这个事实，规定G的长度。再利用开集的长度，定义复杂点集的“长度”,即测度。设E是直线上任一点集,称 ,是E的外测度。m*(·)对直线上一切点集都有意义，但还不是长度的理想的推广,例如它不满足可加性(即对两个互不相交集E1和E2,m*(E1∪E2)并不一定等于m*(E1)+m*(E2))。如果一个点集E具有以下性质:对任何自然数n，存在开集Gn，使得GnE,并且，就称E是勒贝格，简称l可测集。l可测集有很多等价定义方式）。直线上l可测集全体记为L。对于L中的E，定义m(E)=m*(E)，称m(·)为(直线上的)l测度。m(·)是区间的长度在复杂的一类集（即L中的集）上的推广。L具有下列基本性质。 　　① 空集 、区间I、开集G、闭集都属于L，并且m()=0，m(I)=｜I｜（｜I｜表示区间长度），m(G)=｜G｜。这样，有长度的集必在L中，并且其l测度就是长度。②可列可加性。如果{En}是L中一列互不相交的集，则，并且。③如果E，F∈L，则E-F∈L。特别，当E叾F，并且m(F)&∞时， m(E\F)=m(E)-m(F)。　　利用以上三个基本性质，又可推出 L 的一系列其他性质，例如④有限可加性。当E1,E2,…,En∈L时，。再当E1，E2,…,En互不相交时,。⑤E∈L的充要条件是E的余集Ec(=(-∞,∞)- E)∈L。⑥单调性。E,F∈L,当E叾F时,必有m(E)≥m(F)。⑦次可列可加性。如果｛En｝是L中一列集,则，并且。⑧单调极限交换性。设{En}是L中一列集，如果E1E2嶅…嶅En嶅…，则;如果E1叾E2叾…叾En叾…，且m(E1)&∞，。 　　此外，L还具有⑨平移、反射不变性。如果E∈L，则（α是任一实数）都属于L，并且m(-E)=m(E+α)=m(E)。 　　利用上述性质可以举出属于L的一些较复杂的集。例如，单点集{α}可视为［α,α］，而且m(［α, α］)=0；直线上全体Q 是，由②可知Q∈L，并且m(Q)=0;由③可知,【0,1】上无理点全体D∈L,并且m(D)=1；再由 ①、③、⑦可知，直线上任何一列闭集的并集、一列开集的交集都在L中。实际上，直线上一切都在L中。 　　L可测集的判别&　判断直线上集E 是L 可测集的常用方法有如下几种。①对任何ε&0，存在闭集F嶅E，使得m*(E-F)&ε。②对任何ε&0,存在开集G，闭集F，使得G叾E叾F，且 m(G\F)&ε。③对直线上任何集h，都有，这称做条件。④仅当m*(E)&∞的情况,m*(E)=sup{m(F)|F嶅E，F是闭集｝。这些条件中任何一个都可作为l可测集的定义。 　　勒贝格&　因为不是直线上所有集都是L可测的，所以不是每个函数?(x)都具有下列性质：对任何y1&y2，集E={x｜y1≤?(x)&y2}都是l可测集。因此要 引入新的积分，还得引进可测函数概念。 　　设?(x)是定义在l可测集M上的有限，如果对任何с&d, 集E={x｜с≤?(x)&d}是l可测集, 那么称?(x)为M上的勒贝格可测函数,简称为l可测函数。常见的等价定义方式有：①对任何实数с,E={x｜?(x)≥с}是l可测集。②对任何实数с,E={x｜?(x)&с}是l可测集。③对任何实数с，E={x|?(x)≤с}是l可测集。④对任何实数с,E={x｜?(x)&с}是l可测集。常用的一些函数,如【α, b】上连续函数、单调函数、、只有有限个或可列个不连续点的函数都是l可测的。【0,1】上的狄利克雷函数也是l可测的。 　　l可测函数有如下常用的基本性质。①代数性质。如果?，g是M上两个l 可测函数，那么α?+βg（α、β都是实数）,max(?, g)，min(?, g),｜?｜,?g，（当?是非负函数），?/g(当g不取零值)等都是l可测函数。②极限性质。设{?n}是M上一列l可测函数,那么，,（只要它们处处有定义）都是l可测函数。③l可测函数的结构(定理)。如果?是M上的l可测函数，那么对任何ε&0，必有(-∞,∞)上连续函数k，使得集E=｛x｜?(x)≠k(x),x∈M｝的l 测度m(E)&ε。它是用连续函数刻画可测函数的深刻定理。 　　几乎处处&　“几乎处处”是测度和积分理论中的重要概念。设P是与集M中的点有关的命题,如果使命题P不成立的点的全体E 是l测度等于零的集，就称命题P在M上关于l测度m几乎处处成立。例如函数?、h在M上关于m几乎处处相等，就是指集E={x｜?(x)≠h(x)}的l测度m(E)=0，记为。依此就有狄利克雷函数。又如函数列{?n}在M上关于m几乎处处收敛于?,是指集的 l测度m(E)=0，记为。有关“几乎处处”,l可测函数还有下列性质：如果，则?与h同时是l可测或不可测函数；如果{?n}是M上一列l可测函数，且,则?必是M上l可测函数。从积分的观点来看，几乎处处相等的函数可视为同一个函数。 　　几乎处处收敛与的差别显然很大，但它们之间仍有如下重要联系（叶戈罗夫定理）:设{?n}是M上一列l可测函数，m(M)&∞。如果 ，那么，对任何δ&0,必存在M的l可测子集Eδ，使得m(M-Eδ)&δ，并且{?n}在Eδ上一致收敛于?。 　　勒贝格积分定义和性质& 设M是l可测集,m(M)&∞，?是M上有界可测函数,|?(x)|&C，(C是正的常数)。任取分点组D: -C =y0&y1 &…&yn=C， 作和式 。其中,,(i= 1, 2,…, n)。记 。如果存在S(?;D)=A,称?在M上勒贝格可积,简称l可积,又称A是?在M上的勒贝格积分，简称l积分,记为。当M 是区间 【α,b】 时，也记，也常用、等来表示。 　　l积分具有如下性质。①当m(M)&∞时，M上任何有界的l可测函数都是l可积的。特别,狄利克雷函数D(x)是l可积的,并且。②【α,b】上R可积函数?（它必是有界的）必是l可积的，并且两种积分值相同。③如果E是l可测集(m(E)可以无限大)，?是E上非负l可测函数,{En}是满足，并且的一列l 可测集，又{αn}是单调上升趋向无限大的数列，记 ，那么极限与 {En}及{αn}的选取无关。另外，利用③可以定义一般的l可测集E上l可测函数? 的l积分：当?是E上非负l可测函数时,如果③中极限是有限值，就称?在E上l可积,并称这个极限值是?在E上的l积分，记为 。当 ?是 E上一般l可测函数时，作, ?+和 ?-都是非负的，并且?=? +-? -。如果? +,? -都是E上l可积的，就称?在E上l可积，并称为?在E上的l积分，仍记为，这就是直线上最一般的l积分概念。l积分还有如下常用性质。④线性性质。当?，g在E上l可积时,对任何两个实数α和β,α?+βg在E上必l可积,并且。 ⑤如果在E上成立,则?在E上l可积的充要条件是g在E上l可积。当?可积时,有。⑥单调性。如果?,g在E上都是l可积的,并且，则。特别，非负函数的l积分必是非负值。⑦如果非负函数?的积分，则必在E上。⑧绝对可积性。?在E上l可积的充分必要条件是｜?｜在E上l可积,并且有。⑨可列可加性。设{Ei}是一列互不相交的l可测集，则?在上l可积的充要条件是?在每个Ei上l可积，并且。当?在上l可积时,。⑩全连续性(绝对连续性)。设?在E上l可积,则对任何ε&0,必存在δ&0, 只要E中l可测集e满足m(e)&δ, 就有。?积分逼近。如果?是E上l可积函数, 则对任何ε&0，必有(-∞,∞)上连续函数h，阶梯函数φ，使得 。　　下面是经常用的三个重要极限定理。?列维引理。设{?n}是E上一列l可积函数,且。如果,则{?n}必在E上关于m几乎处处收敛于某个l可积函数?,并且。?。设{?n}是E上一列l可积函数,如果有E上l可积函数h,使得,且，则必在E 上l 可积, 并且 。?。设 {?n} 是E 上一列 l可积函数，如果有E上l可积函数F,使得(n=1,2,…),且{?n}在E上关于m几乎处处收敛于?，则?必在E上l可积，且。上述三个定理是等价的,即其中之一成立，另两个也必成立。?较??更常用。 　　此外,l积分还有一个重要性质。?平移、反射不变性。如果?在(-∞,∞)上l可积,则对任何实数α，?(x+α)及 ?(-x) 都在 (-∞，∞)上l可积，且。积分的平移、反射不变性产生于l测度的平移、反射不变性,它是建立调和分析理论的基础。 　　在处理积分与极限交换顺序问题上,l积分所要求的条件(?、?、?中的条件)比R积分所要求的条件（通常是一致收敛）弱得多，因此l积分远比R积分有效。利用l积分的极限定理，还可进一步揭示R可积函数的本质：【α,b】上?(x)为R可积的充要条件是?(x)的不连续点全体是l测度为零的集。 　　度量收敛和积分平均收敛&　在l积分理论中,除几乎处处收敛这一个重要收敛概念外，还有两个重要收敛概念。①设{?n}是集E上一列l可测函数,如果存在E上函数?，使得对任何，那么称{?n}在E上度量收敛或依测度收敛于?。度量收敛在概率论中，具有特别重要的地位。下面是度量收敛的常用性质：设{?n}、{gn}是E上l可测函数列,并且分别度量收敛于?和g，则?和g必是E上l可测函数,并且对任何数α和β，在E上度量收敛于 α?+βg；如果进一步又假设m(E)&∞，则{?ngn}在E上度量收敛于 ?g，而当 gn(n=1，2，…)和g都是几乎处处不等于零的函数时，在E上度量收敛于?g-1（在gn或g取值等于零的点上可任意规定 的值）。度量收敛和几乎处处收敛的关系如下：如果{?n}在E 上度量收敛于?，那么必有子序列在E上几乎处处收敛于?；当 m(E)&∞ 时，{?n}在E上几乎处处收敛于?必也度量收敛于?；而{?n}度量收敛于 ?当且仅当在任何子序列 中还可找到在E上几乎处处收敛于? 的子序列。②设p&0，如果E上l可测函数?(x)的是l可积的,则称?(x)为E上p次l可积函数。如果{?n}是E上一列p 次l可积函数，并且存在E上函数?，使得,则称{?n}在E上p 次（积分）平均收敛于?。当n=1,2时，分别简称为积分平均收敛、平方平均收敛。下面是 p次平均收敛常用的性质：设{?n}和{gn}在E上分别p次平均收敛于?和g, 则 ? 和g必在 E上 p次l可积，并且对任何数α 和β，必在E上p次平均收敛于α?+βg；如果{?n}在E上p次平均收敛于?,则必有子序列在E上度量收敛于?,从而在中又可以找到一个子序列关于m几乎处处收敛于?，但逆命题不成立。 　　度量基本序列和p次平均基本序列& 　类似于柯西基本数列，可以引入如下概念：设{?n}是E上一列l可测函数(或p次L可积函数)，如果对任何ε&0,-,则称{?n}为E上的度量基本序列(或p 次平均基本序列)。和实数的完备性一样，有如下的：如果{?n}是 E上的度量基本序列（或p 次平均基本序列），则必存在E上的l可测函数(或p 次可积函数)?，使得{?n}度量收敛（或p次平均收敛）于?。 　　重积分和累次积分& 类似于直线情况，从 n维空间长方体的“体积”出发可以引出 n维空间中一般点集的外测度、l可测集、l测度m、l可测函数、l积分等概念及其相应的性质。下面以二维空间的情形为例,设E是平面上点集,对每个数x,称集Ex={y｜(x,y)∈E}为E在x的截口。同样,称Ey={x｜(x,y)∈E}为E在y的截口。如果E是平面上l可测集，那么对于几乎所有的x（或y）,Ex（或Ey）是y轴上(或 x轴上)的l可测集。如果 ?(x,y)是E 上的l 可测函数, 那么对于几乎所有的 x（或 y），?x(y)呏?(x,y)（或?y(x)呏?(x,y))是Ex(或Ey)上l可测函数。对于平面上l可测函数 ?(x,y),如果?是平面上l可积的(其积分记作),则对几乎所有的x，?x(y)是y 轴上l可积函数,而函数(在?x(y)不可积的x上,可任意规定ψ(x)的值)是x 轴上l 可积函数，且。 对调 x 和y地位，类似地也有dx。反之,如果对几乎所有的x,|?x（y）|=｜?（x,y）｜是 y轴上l可积函数,并且（对于｜?x(y)｜不可积的x，可任意规定φ(x)的值）也是x轴上l可积函数，则?(x,y)是平面上l可积函数。因此，得到，这一结果被称为关于重积分和累次积分的富比尼定理。简单说，就是对n维空间都成立。重积分存在时,两个累次积分必存在，并且相等；反之，只要它的的一个累次积分存在，则重积分也就存在。 　　勒贝格－斯蒂尔杰斯测度与积分&　由黎曼积分发展出勒贝格积分，由黎曼－斯蒂尔杰斯积分就发展出勒贝格-斯蒂尔杰斯积分(简称为l-S积分)。 设g(x)是(-∞，∞)上单调增加的右连续函数。对于区间I规定它的g长度g(I)如下：g((α,b】)=g(b)-g(α)；g((α,b))=g(b-0)-g(α);g(【α, b】)= g(b)-g(α-0)；g(【α, b))=g(b-0)-g(α-0)。特别,当 g(x)呏x时,g长度就是普通长度。利用区间的g长度就可引入直线上开集G的g长度g(G),以及直线上任何点集E的g外测度。与引入l可测集、l测度一样,只要将m*换成g*，就可定义关于g的l-S可测集，其全体记为Lg。对于E∈Lg ,规定, 称mg为由g(x)产生的l-S测度。同样,可以引入关于g的l-S可测函数和关于g的l-S积分。这些分别简称为关于g的测度，关于g的可测函数，关于g 的积分等。有关l可测集、l测度、l可测函数、l积分的一切性质除去平移、反射不变性以外, 对相应的关于g的可测集、测度、可测函数、积分也成立。 　　建立高维空间上的 l-S积分理论，一般有两种方式。①形式。即设 g1(x),g2(x)是（-∞，∞）上两个单调增加右连续函数，利用它们可以规定“左开右闭”矩形J=(α,b】×(c,d】的 g1×g2面积：g1×g2(J)=g1((α,b】)g2（(с，d】）,以及有限个互不相交的“左开右闭”矩形 J1，J2，…，Jn的并集的 g1×g2面积：；利用它们引入平面上任何点集 E 的g1×g2 外测度 ,而J1,J2,…, Jn是互不相交的“左开右闭”矩形}。还可相应地引入 g1×g2可测集,测度 ，可测函数和积分。和l积分一样,对关于 g1×g2 的积分也有重积分和累次积分的富比尼定理，只要将l积分的富比尼定理中x轴、y轴上的l测度分别换成测度、即可。②一般形式。设φ(x,y)是平面上的函数，固定一个变元时，它是另一个变元的右连续函数。如果对任何区间 J = (α，b】×(с，d】，值 ，则称φ(J)为J 的φ面积。由此又可引入平面上任何一个集的φ 外测度φ*和相应的关于φ的可测集、测度m、可测函数及积分。关于φ的积分，一般说来没有相应的富比尼定理。 　　波莱尔可测与勒贝格－斯蒂尔杰斯可测&　如果给定直线上两个（或两个以上）单调增加右连续函数 g1(x),g2(x),这时相应地就有关于g1,g2的可测集，可测函数，积分等。对于直线上的点集E(或函数?)，可能会发生E(或?)是关于g1可测的，但不是关于g2可测的。所以,在讨论的问题中如果有几个l-S测度、积分同时出现,就很不方便。这就要求有一集类（或一函数类），它一方面包含足够丰富的集（或函数），能够适应代数和极限运算的需要,另一方面它的每个集（或函数）对一切g来说都是可测的。适合这种要求的最理想的类就是波莱尔集类和波莱尔可测函数类（见）。 　　测度问题和不可测集&　以直线而论，人们总希望直线上的某个测度，关于它的可测集越多越好。可测集多，意味着可测函数多，从而可积函数也多。从调和分析看，l 测度平移不变性是建立调和分析基础。从逐项积分看，总希望测度具有可列可加性（它与控制收敛等极限定理等价）。所谓测度问题就是直线上是否存在具有下面性质的测度:①具有可列可加性,②直线上所有子集都可测，③具有平移不变性，④［0，1］的测度是非零的有限值。这个问题已经完全解决。结论如下：去掉②、③、④中任何一条，满足其余三条的测度是容易举例说明其存在的。①、②、③、④全都满足的测度是不存在的，特别，直线上必存在不是l可测的集。如果将①换成①′有限可加性,则满足①′、②、③、④的测度是存在的。&
勒贝格积分 -
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