凯利公式在期权中应用： 收益最快又不至于押注过大造成资金不足
作者：海通期货期权部
　　即便是胜率99%的赌局，如果每局全押，那么也注定会血本无归。即便是胜率只有1%，如果1000元钱本金每局仅投注1元，哪怕每次必输，也要1000次才会破产。成功的投资不仅要对投资策略的胜率具有一定程度的认识，同时要认真分析每一次开仓所需花费的资金，公式便是一种计算如何收益最快又不至于押注过大造成资金不足的资金管理方法。
　　凯利公式形式为：f=[（b+1）p-1]/b，其中b为赔率（例如输赔1元，赢赚2元，则为2），P为胜率（例如掷硬币，猜中正面胜率为0.5），等式左边的f=[(2+1)0.5-1]/2=25%即为每局需要下注的资金比例。凯利公式被证明是已知胜率和赔率情况下最优的资金管理方式，低于f的投资比例将获利过慢，而高于f的投资比例将导致提前爆仓。
　　投资神器还是云霄飞车？
　　最初凯利公式被用在21点、赌马等传统博彩游戏中，并取得了不俗的表现，而真正使其在金融投资中大放异彩的是威廉指标的发明人拉瑞威廉（Larry
　　William）。威廉曾经利用凯利公式以1万美元起步短时间内创造了210万美元的神话，然而随后百万美元的回撤让他不得不放弃这个神器，最终也让人们认识到凯利公式的局限性。
　　与21点不同，证券及衍生品投资没有固定的盈亏上限，就连胜率也会随着经济环境不断变化，也就是说既没有b，也没有p，在这种情况下利用过去经验计算出来的f本身就存在争议。
　　而股价的偏离往往意味着胜率发生改变，凯利公式具有浮亏加仓的特性，这就造成了账户余额大幅波动，大部分投资者很难坚持。凯利公式依靠大数定律和期望赚钱，然而一个坚持不下去的策略，谈期望毫无意义。
　　凯利公式与“有风险”套利
　　无风险套利是期权投资者竞相追逐的投资组合，然而无风险套利机会往往转瞬即逝，此时不如考虑一下投资于存在少量风险的套利组合。下图是一个有亏损风险的牛市价差策略，图中钟形曲线代表了资产价格服从的概率分布，再根据牛市价差的损益平衡点所处的位置，就可以计算出策略的胜率。下图中标的物现值低于损益平衡点，因此是一个低胜率的策略。通常情况下低胜率对应着高收益，下图反映了损益平衡点高于标的物价格的牛市价差策略往往具有最大亏损较小、最高收益较大的特点。如果胜率赔率同时占优，该组合自然是个好策略，如果同时处于劣势，投资者应当尽量避开，然而一优一劣又该如何取舍呢？
　　例子中p=30%,b=400/100=4，则f=12.5%，也就是说，当捕捉到市场上存在着这样的有风险套利机会时，以总资金的12.5%入场开仓，长期来看将获得正收益，每套组合的收益期望值为400×0.3+100×0.7=50元。
　　如果最大收益不是400元而是200元，虽然一眼望去似乎仍然是低胜率高赔率，然而经计算后f=-5%，这种情况下该组合不宜投资，其期望值为-10。实际上，凯利公式并不影响投资策略的数学期望，只是从资金管理角度使得收益更快实现，因此对于一个期望值为负的投资策略，无论用什么样的资金管理都很难在长期盈利。
　　蝴蝶价差、日历价差等许多套利策略也都可以用类似方法结合凯利公式，在此不再赘述。同时，凯利公式还可以与期权特有的波动率交易相结合，期权部在以往的文章中介绍过期权隐含波动率均值回归的特性，投资者不妨可以自己提前思考凯利公式在波动率交易中的应用，我们将在下期文章中为大家详解。
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对资金管理的凯利公式的讨论
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你可能喜欢凯利公式在期货交易中杠杆比例控制上的应用举例及组合投资策略探讨
上篇博文的文章中已经谈到了，凯利公式下最佳仓位比例f=胜率/每次亏损的净亏损率-(1-胜率）/每次收益的净收益率，也明确从数学上证明了如果仓位管理不当，一个期望值为正的交易系统，是完全可能因为仓位不佳（主要是仓位过重）而实际交易结果为负的。
要补充说明一下的，尽管凯利公式没有明确的提到资金杠杆的问题，但实际上这个公式也是适用于资金杠杆问题的，也就是适用于期货。在期货交易中一般都或多或少的会用到资金杠杆，资金杠杆的计算公式为：资金杠杆值=合约的总价值/总权益，比如，股指期货是一点300元，如果你在3000点买多或卖空一手，那么这份合约的总价值为90万，如果你的总权益是30万，那么你的资金杠杆为3。用资金杠杆值而不是用仓位比例是为了适用不同品种保证金不同的情况。
下面用几个实际的例子来说明如何用凯利公式来控制交易的资金杠杆：
例子一：一个胜率为50%，每次盈利净收益率为20%每次亏损净亏损率为10%的交易系统，根据公式，最佳仓位比例f=50%/10%-50%/20%,即2.5。2.5即为最佳资金杠杆比例，即如果你是100万的资金，那么就交易250万的合约。
例子二：同样为一个胜率为50%，但每次盈利净收益率为2%每次亏损净亏损率为1%的交易系统，那么f=50%/1%-50%/2%,即25，也就是25倍的杠杆。
例子三：同样为一个胜率为50%，但每次盈利净收益率为100%每次亏损净亏损率为50%的交易系统，那么f=50%/50%-50%/100%,即0.5，也就是0.5倍的杠杆（注意，0.5倍的杠杆不是半仓交易）。
从以上的例子可以看出来（上篇博文的推荐文章里有更严格的数学证明），胜率一致盈亏比一致的交易系统，每次交易的净收益率和净亏损率的值越低，可以使用的资金杠杆比例越高。这也是为什么大多数交易系统实际上在做仓位比例测试时很少会发现仓位过高后反而亏损了的缘故，因为大多数交易系统在止损点上一般会设置的比较严格，不会在1倍杠杆下单次交易亏损10%以上才止损（也就是价格逆市运行幅度10%以上才止损），像例三中单次交易亏损50%以上才止损的更少。但是，非系统交易者，尤其是散户，往往很多人可能会亏损时死扛直到扛不住大亏50%以上甚至更多时才止损，尤其是没有强势平仓的股票下，很多散户都是满仓死扛型的，从例三中可以看出来，满仓死扛型（即每次亏损的幅度比例很大）明显违背了最佳仓位比例，交易绩效会很差。
我想特别强调的是，凯利公式可以在仓位控制的大方向上给我们很多指导，但一定不要简单机械套用公式来做具体仓位比例的设置。
这是因为凯利公式当时是从通信领域移植到赌博的，无论是通信还是赌博，都不存在浮亏过大后强行平仓的问题，比如赌博，每次赌的盈亏的值是固定的，而交易不是，交易的每次的盈亏都不确定，即使一个系统平均下来有一个平均的每次净收益率和净亏损率，但那个也只代表平均水平。我们知道，无论盈利多少，一次亏损100%，就一切是零。尤其是对于理财基金而言，即使没有亏损100%，回撤过大也会导致客户大量流失，很多基金的回撤控制底线是20%。这也是为什么我们这么看重一个交易系统的历史最大回撤的原因。我们必须在不触碰最大回撤红线的前提下方能使用凯利公式。
控制最大回撤风险的措施的一个方法是可以通过仓位控制，更有效的是通过组合投资，尤其是收益率相关性低的投资组合（具体数学证明见上篇博文）。不过比较悲剧的是国内的大多品种齐涨齐跌的现象很普遍，我们只能尽量选择相对性低一点的，对于纯期货而言，我的建议是股指期货、工业品和农业品的投资组合，即至少有三个不同交易品种以及相应交易策略的组合投资，无论是历史数据的相关系数计算，还是我实盘的交易系统组合的回测，均有效的表明，这样的投资组合比单独的只交易多个工业品或只交易多个农业品的风险性要小得多。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。凯利公式的神奇
《财富公式》介绍的是一个传说中能够给人带来财富的神秘公式，是信息理论学家的研究成果，虽然受到以诺贝尔经济学得主萨缪尔森为主的经济学家们的严厉抨击，却在股神巴菲特的投资实战中屡屡得到验证。
　　这个“财富公式”就是美国着名物理学家约翰·凯利在1956年提出来的一个数学公式，被称为“凯利公式”。它证明了在通信噪音干扰中使用的数学模型，同样适用于投资者对于风险和收益的管理。如果可以在信息传输中，将噪音干扰引起的错误降低到零，那么，同理，投资者在追求最大收益的同时也可以把破产的风险降低到零。如今，凯利公式已经成为智慧型投资者在确定投资策略时的金科玉律。
　　这个曾经引起了无数争论的数学公式，蕴含了几位拥有惊世奇才的科学家的超人智慧。让我们记住这些拥有世界上最完美大脑的人们：克劳德·申农、爱德华·索普和约翰·凯利。
　　上世纪60年代，一向纸醉金迷、莺歌燕舞的美国赌场风云突变。几位神秘客横扫大赌城，用匪夷所思的方法大把捞钱。美国各大赌场一时间乱了手脚。他们是几位让世人顶礼膜拜的科学家，把自己的实验室搬到了赌场！他们的目的是在实践中证明这条“财富公式”。财富公式在赌场中证明了威力后，证券市场成为了下一个目标。财富公式还能继续辉煌吗？一个神秘的公式引出了一段传奇故事。【.cn交易之路投资经验荟萃】
　　《财富公式》为人们揭示了这个谜底：几位让世人顶礼膜拜的科学家，把自己的实验室搬到了赌场！目的就是用实践来证明这条“财富公式”。
　　姑且不论如今广泛流传于投资界中的“凯利公式”是否真的如这本《财富公式》中所说的已经成为智慧型投资者在确定投资策略时候的金科玉律。但从当下火爆的投资市场来看，每一个人似乎都在期望寻找到一条完美的投资策略，凯利公式也只是其中的一种。
　　凯利是着名的贝尔实验室的一位科学家，他对较小概率发生事件提出了一个计算公式——凯利公式，依照这个公式计算出来的结果被称为凯利值。由于博彩中的冷门也是较小概率发生事件，于是凯利值的概念就引入到博彩业中。事实上凯利值已被越来越多的博彩分析师用于进行博彩分析。但仔细研究下去你会发现它来自无穷级数的数学推理。因此，如果你可以不停的玩下去的话，面临一大串连续亏损时你总可以等到最终来个大翻盘。但是你能够坚持下去吗？如果答案是否，那么你终究还是要破产。
　　值得一提的是本书对美国六七十年代的黑帮、博彩业、证券业做了非常有趣的介绍。当然，如果你还想要从这本《财富公式》中得到那属于自己的神秘“财富公式”，并且运用你所得到的“财富公式”去投资理财的话，我得先告诉你的是：巴菲特和索罗斯都是善于下重注的人，但同时也是最善于躲避风险的人。这并不矛盾。其实很多概念都是混淆不清的，风险、概率等等莫不如此。所以，你必须在书找到专属于你自己的“财富公式”，只有这样你才能在投资理财中处于不败之地。
　　凯利指数的最初意义及凯利公式
　　威斯关于赌二十一点的资金管理公式论文，信息比例新解，内容探讨信息流的概念，现被期货交易员称做凯利公式。
　　F=((R+1)*P-1)/R
　　P=系统获利准确率的百分比
　　R=交易获利相对交易亏损的比例
　　若以一个65%准确率及赢家为输家1.3倍的系统范例做计算
　　F=((1.3+1)*0.65-1)/1.3=38%用于交易之资金
　　在本例中，你会用38%的自有资金来支持每一笔交易，假如你的账户有100万元，你就用38万元除以保证金，计算出合约数量。
　　凯利公式的盲点
　　凯利公式原本是为了协助规划电子比特流量设计，后来被引用于赌二十一点上去，麻烦就出在一个简单的事实，二十一点并非商品或交易。赌二十一点时，你可能会输的赌本只限于所放进去的筹码，而可能会赢的利润，也只限于赌注筹码的范围。但商品交易输赢程度是没得准的，会造成资产或输赢有很大的震幅。
　　换个新方向，把最大亏损当成是资产
　　当我们不断搜寻任何可能驯服这只市场野兽的方法时，我们的交易生涯就在投机式的摇摆震荡中，跌跌撞撞地前进。然而经由这种搜寻，我们获得一些基本概念，可以用来计算下一次买卖合约数量。
　　其中一项概念，就是把我们的账户余额除以保证金加上这个系统在过去所见过的最大平仓亏损金额，这样的作法绝对是做有道理的。你在未来可能遭遇到的亏损也许不会更大，但也会差不多，所以最好能准备足够的钱加上保证金作为支应。事实上，当我发现一个人需要保证金加上1.5倍最大平仓亏损金额的资金规模才算安全时，我真的吓了一跳。
　　因此，如果保证金是100,000元，系统过去最大的平仓亏损金额为30,000元时，你就需要145,000元才能够进行一口合约的交易(100,000+30,000*1.5=145,000)
　　投机客生财之道来自于他们的资金管理方法，而不是一些神奇的、神秘的系统或炼金术士的秘方。成功的交易会赚钱，成功的交易加上适当的资金管理则会创造庞大的财富。
　　直到你学会采用资金管理方法以前，你不过是一位微不足道的小小投机客，在这里赢钱，在那里输钱，但永远赚不到大钱。商品期货交易的获利魔术指环对你而言是可望不可及，你只是在各笔交易之间游走，只能捡到几块钱，却无法累积财富。
　　凯利公式是最优的资金管理公式吗？
　　有人说凯利公式是源于信息论，没学过信息论，不懂。【.cn交易之路投资经验荟萃】
　　有人说凯利公式用于21点游戏，对21点我了解一些，讲讲我的看法。除了LarryWilliam说过凯利公式可以于21点游戏之外，我还没有看到有这种说法，即使有也没有什么，因为既然很多21点专家都没有提到过这个公式，它的用处不可能是必需的。
　　21点又叫blackjack,黑杰克。使用两种方法可以提高赌徒的优势，第一种是使用基本策略，第二种是在使用基本策略的基础上，再使用计牌法。基本策略是在不计算已经出过的牌的情况下的出牌策略，因此它视每一局的胜率是不变的，因此每一局的赌注应该是一样的，它可以将胜率提高到49%（不过，这要视规则而定）。计牌法则要计算已经出过的牌来估算尚未出过的牌，它视每一局的胜率是有变化的，因此，在胜率较高（＞50%）时应下较多的赌注，而在胜率较低（＜50%）时应该下尽量小的赌注（21点游戏要求你必须下注）。可以看出，这个系统的胜率不是不变的。也正是因为赌注的变化，赌徒才有可能有大于赌场的优势。
资金分配与凯利优化模式
　　巴菲特的搭档查理.芒格说：“人类并没有被赋予随时随地感知一切、了解一切的天赋。但是人类如果努力去了解、去感知――通过筛选众多的机会――就一定能找到一个错位的赌注。而且，”查理说：“聪明的人会在世界提供给他这一机遇时下大赌注。当成功概率很高时他们下了大赌注，而其余的时间他们按兵不动，事情就是这么简单。”
　　在成功概率高时下大赌注，这就是凯利优化模式的简易表达，这也是价值投资资金分配的根本原则。
　　凯利优化模式的公式可表达为：
　　2p-1 =X
　　即你应押上的资金的百分比(X)等于2倍的获胜概率减去1。
　　这个公式告诉我们，你必须在获胜概率在50%以上才能下注。
　　如果我们定义一个边际赢面A＝获生概率P－50%，移项可得：
　　P＝A+50%
　　代入凯利优化模式可得：
　　X＝ 2A
　　也就是说，下注资金的百分比是边际赢面的2倍。极端情况就是，获胜率50%以下一分钱不掏，获胜率100%时全部押上。为了避免冒"赌徒灭顶之灾"的风险。在实际应用时往往采取凯利优化“减半”模式：
　　查理承认：“我与巴菲特工作这么多年，他这个人的优点之一是他总是自觉地从决策树的角度思考问题，并从数学的排列与组合的角度思考问题。”
　　巴菲特说：“考虑到成为不可避免、必将发生的事物的代价，我和查理都意识到，我们永远都达不到漂亮的50点，甚至连闪光的20点也达不到。为了应付我们的证券投资里注定要发生的事件，我们只能多增加几分概率。”
我理解，这句话的意思是说：
　　如果现在有两种选择：
　　1、60%的概率你可以获取50%的收益。
　　2、90%的概率你可以获以20%的收益。
　　那么，巴菲特选择的是2。
　　这就是所谓的“百鸟在林”，不如“一鸟在手”。
　　如果以上观点你都接受了，那么下面的关键问题就是：你如何确定获胜率？
　　确定获胜率有两种方法：
　　一、频数分布法
　　笔者个人浅见，我们至少可以从两个常有的指标方面获得所需要的频数：一是市盈率。我们很容易就能收集到该股在10年内的市盈率变化频数，依此建立直方图或多边图，对照目前的价格，算出获胜率；二是股票内在价值。我们可以算出各个时期（比如10年）的股票内在价值，然后算出各时期价格对内在价值的偏离程度，以这些偏离数据作为频数，算出获胜率。【.cn交易之路投资经验荟萃】
　　二、主观概率分析法
　　运用巴菲特十二定律，看看你所考虑购买的公司在多大程度上符合沃伦·
巴菲特的基本原则。你要尽可能全面地收集公司的资料，用这些基本原则衡量公司的价值，并将你的分析转换成数字，由此估算出你的获胜率。
　　按照巴菲特的说法，主观概率这个东西，既是科学，也是艺术。你完全可以不必被困难吓倒：“你可以设想你每次开车时遇到的上百种选择以及你随时随地对你遇到的新情况做出的反应和调整。你手中的赌注实在太大了――你个人的安全以及他人的安全――但你并没有花太多的心思就进行了应变。相比之下，跟踪几家公司的信息相对容易的多。这只是经验的问题。”
　　要更好地把握你的获胜概率，还必须注意以下几点：
　　（1）作为一个集中投资者，你要将自己限制在少数几种股票上，因为你知道从长期角度看，这是你比市场做得更好的最佳机会。
　　（2）要密切注视公司的一举一动。公司的管理层是否开始对此有所反应？公司的财务决策是否开始改变？有没有改变公司运营竞争环境的事件发生？
　　（3）当条件改变时，概率也随之改变。有了新的概率就需要新的安全边际，由此你也要调整构成最佳时机的感觉。
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凯利公式的本质就是，如果概率对玩家（投资者）有利的时候，下注，对于玩家不利的时候，不玩。
在赌场很难如此下注，但在证券市场中，却是要不玩的话，没人会来逼我们的。所以应该是说证券市场对于能够合理利用凯利公式来获利的人应该是机会更多。理论上上无穷的。也怪不得，申农、索普这些科学家都能够在证券市场中成为常胜将军啊。
&申农、一个科学家，一个数学天才，却在30多年的股市投资生涯中，年复合增长率达到了29%，比巴菲特还要高。只可惜申农没有留下任何投资策略和决策过程的思考的任何书籍。可惜。。。
&赌博和投资的区别就在于如何来判断盈利的概率。
我想判断投资盈利的概率还是应该从本质上来看，
如果是赌博，通过计算剩下牌中对玩家从概率上来说是否有利。
如果是投资个股的，应该看该公司的未来利润增长的可持续性和可能性有多大，能够增长多少？
如果是投资指数的，应该看指数的市盈率是多少，回绕合理的市盈率来判断概率，并合理下注，这个是最容易的一种下注方法。假如指数合理市盈率应该为25倍，那么在平均市盈率在25以下的时候，提高仓位，25倍以上，减低仓位。
一个更现实的情况是：
假如能够找到一个股票，未来增长1倍的可能性比较大（假如为70%），而亏损一半的可能性为（30%），合理的期望报酬率应该为：70%&1-30%&0.5=55%，也就是期望报酬率为55%，那么合理的下注金额应该为多少呢？根据开率公式计算：55%/（1/0.5)=27%，应该用27%的资金买入该股票，如果你能找5只这样的股票，那基本上就可以做一个组合了。整个组合的期望报酬率为55%左右了。一个很理想的投资组合。风险可控，赢利最优。
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凯利公式是一条可应用在投资资金和赌注的公式。应用于多次的随机赌博游戏，资金的期望增长率最高，且永远不会导致完全损失所有资金的后果。它假设赌博可无限次进行，而且没有下注上下限。
f * = 现有资金应进行下次投注的比例
p = 胜利机会
q = 输的机会 （一般等于 1-p ）
赔率＝期望盈利/可能亏损
　　例如：若一个游戏有40%（p=0.40）机会胜出，赔率为2:1（b=2），这个赌客便应每次投注(2 & 0.40 -
0.60)/2 = 10%的资金。
　　这条公式是在的同事物理学家在1956年提出的。凯利的方法参考了香农关于长途电话线的嘈音的工作。凯利说明香农的可应用于此：赌徒不必要获得完全的资讯。香农的另一位同事Edward
O. Thorp应用这条公式在廿一点和上。1738年丹尼·伯努利曾提出等价的观点，可是伯努利的文章直到1954年才首次译成英语。不过对于只投资一次的人来说，应选择算术平均最高的。
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优化模式之一：来源《巴菲特的投资组合》，这个比上面的简单，实用。6 D# X2
a& R' _4 d. Y! r% u- d% z
Ｐ＝成功的概率
Ｘ＝投入的资金百分比
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