如何理解高阶无穷小这种概念？
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今天我们来确切定义一下啥叫“无穷小” (infinitesimal)。这个内容不会出现在入门的分析书上，但是想法倒是一路子。我们把无穷小记为 ,它应该有什么性质？我们想要的性质就是：(*) 对于任何实数 ，都有. 注意这里是 &，不是。当然，没有任何实数满足这个条件。所以，无穷小不存在于实数当中。但是，你是不是觉得 (1/n) 这个数列可以作为无穷小，或者
这个数列也是一个无穷小？如果你把它当成实数的完备化中的元素，那么它们就是0。但是，我们换一种思维，就把它们当成
(可数个R相乘，按照正整数作指标，就是实数列的集合) 中的元素可以吧。好，问题来了，原来R是一个域，现在我自然也想把弄成一个域。加法自然不必说，但是乘法怎么定义？两种方案。 方案一：把看成 formal power series 的集合，即把中元素写成 ，乘法按照 formal power series 的乘法。看起来不错，至少这是一个integral domain。如果你想得到一个field，只需要 invert x即可，得到的不就是 嘛！(Field of formal Laurent series)。而且，你可以在上面定义一个total order：A power series is &0 if and only if its leading coefficient is &0。你可以骄傲地发现，那些leading term 的指标为正的power series (形如 的那些元素) 的确满足性质(*)，它们可以被叫做无穷小。但是，问题出现了！在 R上，你可以定义 这个连续函数，但是这个函数怎样拓展到上？你必须有考虑 这样的元素，而它又不在之内，所以R((x))不够好。要再加入类似 的元素（不为整数），就使得问题变得非常复杂。而且，之后，我还可以问，怎样把其它的 R上的 连续函数也加进来？这简直令人受不了。结论：必须放弃方案一。（是不是一种一群草泥马在脑海中奔过的感觉~~~）方案二：就把当场数列的集合，and define the sum and product componentwise，就是环的直积。但是，这样的话连个整环都不是！怎么办？！先别急。我们先定义一个total order。考虑两个数列 x=(x_n), y=(y_n)。定义 ，就是x_n&y_n的那些index的集合。很自然地，如果 E(x&y) 很大，我们乐意去说 x&y。现在，我们就得要定义，什么集合叫大。首先 如果x&y, y&z，当然应该有 x&z，但是 E(x&z) 很可能仅仅是 。所以 大这个性质应该满足下面的条件: (1) If E_1 and E_2 are large, so is 。其二，则应该是理所当然的要求：(2) If E is large and , then F is large.第三，假设
for all n, 那么 E(x&y) 和 E(y&x) 互补 ()如果我想弄个total order, E(x&y), E(y&x) 有且只能由一个是large. 所以large的第三条要求就应该是：(3) For any , exactly one of E, (the complement) is large.定义：A ultrafilter of N is a collection of subsets of N (called large subsets) which satisfy (1), (2), (3).构造 ultrafilter 的方法有很多种，最简单的一种，我随便拿出一个fixed element i of N，and declare that E is large if and only if 。（这个叫principal ultrafilter）但是如果你这样定义, 那么当你比较 两个数列x, y时，你本质上是在比较 x_i 和 y_i 的大小，其它的部分都被忽略了。这个也不好。所以我们关注的是 non-principal ultrafilter。但是问题来了：你能不能找到一个non-principal ultrafilter呢？是的， Zorn's lemma 保证了 non-principal ultrafilter 的存在性。(Exercise 2) 但是，如你所见，想把它明确写出来，的确太困难了。Exercise 1: If
is a non-principal ultrafilter of N, and E is a cofinite subset of N (meaning that
is finite), then E is a member of .现在一切就绪了。我们 fix a non-principal ultrafilter
of N. We define an equivalence relation on
by saying that x~y if
is a member of . 你知不知道这个 ~ 定义了上的一个maximal ideal (就是那些和(0,0,0,0,...)等价的元素集合) ! Then we take the quotient
. 忽然之间，电闪雷鸣，——这个就变成了一个field !而且它包含 R 作为其subfield (by identifying
with the image of the sequence )。不仅如此，它还有一个total order: x&y iff E(x&y) is a member of ! 而且它里面它里面真的有无穷小 (infinitesimal)！你不信，看看元素 x=(1/n)，它的确比0大 (因为它每项都是正的)；但又比任何正实数r小，因为当n很大时，1/n &r ，这表明 E(x&r)必定是中的元素 (参见 Exercise 1 above)。 而且无穷小之间还是可以比大小的！比如 (1/n) & (1/n^2) 等等。不仅有无穷小，而且有无穷大，比如 x=(n)这个元素。而且R上的连续函数可以非常自然地拓展到 上：如果f: R -& R，just define f: *R -& *R by 而且还可以在上面作微分！而且那个dx真的就变成了无穷小，货真价实的无穷小，你再也不需要用到
这样恶心的东西了（你用到的时shadow and halo，我就不展开讲了）！！ 哎哟，不行了，太爽了，要iku iku了……好了，不卖关子了，上述构造的 *R 有个专门的名字：the field of hyperreals。它是一个real closed field。大致说来，任何 first-order language 在R上为真的话，在*R上也是真的。上面说的就是任何一本关于 non-standard analysis 的书的前几章的内容。 最后，有的同学肯定要问，你在构造 *R的时候，曾经首先 fixed an ultrafilter , what if we choose another non-principal ultrafilter? Does this alter the structure of *R? Answer: Assuming the continuum hypothesis, the non-principal ultrafilter you start with does not matter.
高阶无穷小就是在除以一个低阶无穷小后，仍然是无穷小，因此可以丢掉当然这必须在极限时讨论才有意义。
高阶无穷小是一个比较，即在两个无穷小之间的比较一个相对于另一个是高阶。那么什么是高阶呢，无穷小都趋向于零，一个无穷小比另一个趋向于0的速度更快，那就是高阶无穷小。
对于初学者，我一向都是举这几个例子。一条直线上的点的数量是无穷多个，记为n。两条直线上的点的数量也是无穷多个，记为m。一个平面上的点的数量也是无穷多个，记为l。有以下几个结论：l&&ml &&nm~n所以l就是m和n的高阶无穷大。在以上空间任选某点选中任意点的概率就是1/n,1/m,1/l，其中1/l就是1/n,1/m的高阶无穷小。另外再介绍一个无穷旅馆问题。假设一个旅馆有无穷个房间，记为n，但是已经住满。这时候又来了一个住客。于是老板安排他住到1号房去，而原来1号房的搬到2号房，2号房的搬到3号房，以此类推，n号房的搬到n+1。假设这时候又来了无穷多个住客m，于是老板安排原来住1号房的搬到2号，2号的搬到4号，3号的搬到6号，这时候就又多出来无穷多个房间供住客住。值得注意的是，m必须是n的同阶无穷大，否则上述安排是不够他们住的。
看别人这么理解过，我记不清了，大概是这么个意思。
教科书对无穷小量的定义难以理解的原因是,他们把无穷小量看成是在一维里有值的数,这和现有的逻辑有矛盾,因为论多么小的数,经无限次相加必须结果会是一个无限大的数.而且把对这种定义的检验建立在无限次的操作上,这种操作是不可能完全实现的.
应该把无穷小量理解为“较低维的数”.所谓的低维,举个例子,比如一个边长为8的正方形,它的面积为64,这里的边长8就是相对于面积64来说是较低维的数,它有值,是8;但它的值在面积上看来是为0的.也就是说边长相对于面积来说是没有值的,但它自身有值.
这样就可以把无穷小量定义为:点值为变量,线值为0的量.这种定义是很明确清晰的,没有教科书定义的那种模糊不清的问题.
首先 无穷小它不是个数
无穷小首先是一个函数，为什么没有人提起这件事？？？？？
较低阶稍微小一下，高阶小就小的不要不要的……
假设a、b都是lim的无穷小，如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）注：o读作奥密克戎，希腊字母
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高阶无穷小与低阶无穷小：―无穷小比较的一个问题
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你可能喜欢高数高阶低阶无穷小的问题!求解答过程!&
ㄟ妆雪雪CsQc
考虑两者比值的极限lim【x→1】f(x)÷g(x)=lim【x→1】(1-x)/(1+x)÷(1-x^(1/3))为了方便写,令x^(1/3)=t,则x=t³,当x→1时,t→1所以上式=lim【t→1】(1-t³)/(1+t³)÷(1-t)
=lim【t→1】[(1-t)(1+t+t²)]/(1+t³)÷（1-t）
=lim【t→1】(1+t+t²)/(1+t³)
=3/2因为极限是个非零的常数,所以f(x)与g(x)是该极限过程中的同阶无穷小!不明白可以追问,如果有帮助,请选为满意回答!
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当x趋于1时，f(x)/g(x),用洛必达求出极限等于3/2，所以是同阶无穷小
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把x→0时的无穷小量，，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是______．
(A) α，β，γ (
悬赏：0&&答案豆&&&&提问人：匿名网友&&&&提问收益：0.00答案豆&&&&&&
把x→0+时的无穷小量，，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是______． & &(A) α，β，γ &(B) α，γ，β &(C) β，α，γ &(D) β，γ，α
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