有两个盒子，一个里面的钱数是另一个的三倍，打开一个盒子看到钱数后决定拿哪个盒子。是换好还是不换好？
不考虑钱数是否能被3整除的问题，单纯看期望收益。一种说法是换了以后另一个盒子里的钱数有一半可能性是3倍一半可能性是1/3，一种说法是不管换不换都是一样的。那该换还是不该换，或者有其他策略么？补充说明一下：一开始的回答都说明了换和不换结果是一样的，这个结论和道理我觉得可以认可。那么我希望能得到进一步的回答：有可能提出更好的策略么？谢谢。
很明显，那些说选完箱子收益就已经确定的说法是错误的，这些人甚至不知道贝叶斯公式,只能把确定的原因归因于上帝。是否换应该取决于n的先验概率分布。而这个悖论产生的原因就是默认存在n的先验概率分布，对于任意x,p(x)=p(1/3*x)下面证不存在某种概率分布 使得对于任意x,p(x)=p(1/3*x)，无论是离散的还是连续的，离散的很容易证，若存在p(x)&0,存在n,p(x)+p(3x)+..p(3^n*x)=np(x)&1,矛盾。故而任意p(x)=0,矛盾连续的需要一些实变函数中测度和勒贝格积分的知识，可证对于任意P&0 ,若mE(p(x)&P且x&1)&0,那么mE(p(x)&P且x&1)+mE(p(x)&P且3&x&1)+...趋于无穷&1,矛盾，所以mE(p(x)&P且x&1)=0，而{[0，1），[1，3），[3，9）,[9,27)...}，这个集合是可数集，E(p(x)&P)=E(p(x)&P且x&1)并上mE(p(x)&P且3&x&=1)并上...
可数个测度为0的集合的并集的测度依然是0，所以对于任意P&0，mE(p(x)&P）=0，由勒贝格积分的定义，可知其勒贝格积分必然为0，而应当为1，矛盾好吧，其实离散是连续的特殊情况。。欢迎各位来挑刺如果是面试题的话，我敢打赌，面试官自己也没弄懂！
第一次回答的时候完全错了，谢谢 指正。中午忘赞了，现在补一下。实际上，这个是经典的Two-Envelope Problem。这是一个印度同学问某留学生的问题：有两个信封，你可以选择其中一个。其中一个里面装着一定数量的钱，另外一个装着之前那个信封二倍的钱。你并不知道哪个信封装着的钱更多。假设你现在随机选择了一个信封，如果你被允许给你改变你的选择的话，你会选择另一封吗？（ps：从信封上看不出也感觉不出厚度等因素的）第一直觉是不会，因为你感觉这两个信封拿到一定数量的钱的概率都是1/2，拿到二倍钱的概率也是1/2。但是，概率是个神奇的东西：假使你拿到的信封里的钱是A，那么如果你拿到的是钱较少的那个信封，那么另外个信封的钱则是2A，发生这种事件的可能性是1/2。如果你拿到的是钱较多的那个信封，那么另外个信封的钱则是1/2A， 发生这种事件的可能性也是1/2。所以，综上，换信封的话，拿到钱的期望是（2A）*1/2+（1/2A）*1/2=5/4A！！！换言之，你的期望比你继续持有你现有信封的期望要高，所以结论是你要换信封！但是更神奇的事情在于，整个推理过程我们用的是一个未知数A，也就是说，换过以后，如果再给你次机会，那么仍然是你再换信封获得的期望比你继续持有那个信封的期望要高！而且这个过程是无限的，所以，理论上，如果给予你无数次可以改变的机会的话，你应该不停的选择换信封.------------------------------------------------------下文作者：网上查了下，这个悖论是经典的Two-Envelope Problem，已经被讨论了几十年，背后的水其实很深。（1）对于这个诡异的结果，一个最简单的解释就是：假设你拿到的信封里的钱是A，那么另外一个信封的钱则是2A，可能性是1/2，此时我们假设A是两个信封里钱比较少的那个数额；假设你拿到的信封里的钱是A，那么另外一个信封的钱则是A/2，可能性是1/2，此时我们假设A是两个信封里钱比较多的那个数额。A一会儿表示钱多的那个信封，一会儿表示钱少的那个信封，两次没有明确的表示同一个数量，所以期望的计算不成立。或者这样说，有两个信封摆在那里，一个有钱A，另一个有钱2A，任意拿一个的期望值都是1.5A，不管拿哪个，因为你也不知道信封里面是A还是2A。（2）但是上面的解释并不完善，仅适用于对于信封里面是什么一无所知的情况。假设你已经拿了一个信封，并且已经打开，里面的钱为10元（这些都是既定事实），那么另外一个信封里到底是5元还是20元，是不确定的，如果5元和20元的可能性真的各是50%，你应不应该换呢？答案是应该换，因为在这些条件下，换之后的期望值的确是1.25倍，不过这种情况下最多只有换一次的机会，因为信封已经都打开了。那么，是不是在任何时候打开第一个信封之后，都应该把第一个信封扔掉，要第二个信封呢？（起码直觉上讲这没有道理）如果前提条件是不管你打开的信封数额A是多少，另一个信封2A和0.5A的可能性相等，比如第一个打开一看是100万元，另一个50万元和200万元可能性相等；第一个打开一看是0.001元，第二个是0.0005元和0.002元的可能性还是相等，扔掉第一个、换第二个毫无疑问一定是最佳的策略。但是不管A的数额是多少，2A和0.5A的概率永远相等的情况是不存在的。这是因为如果这样，意味着对于制作信封的人来说（不知道这个人是谁，就当上帝吧），他在一对儿一对儿地做信封的时候要保证（0.5A,A）和（A，2A）出现的概率相等，同样的，更小的信封（0.25A,0.5A），（0.125A,0.25A）……和更大的信封（2A，4A），（4A，8A）……所有的数额组合出现的概率都是d（d&0），但是数额可以无限大，也可以无限小，一共有无限多种组合，d乘以无限等于无限，但是作为一种概率分布，必须要保证所有概率加到一起等于1（不能是无限），否则概率分布没有意义。所以，上帝无法造出来能让2A和0.5A的概率永远相等的信封。如果信封的数额组合并不是无限多，是有限的，悖论是不会出现的。假设只有（1元，2元），（2元，4元），（4元，8元），（8元，16元）这四种情况（上限就是16元）。那么如果采取每次都换的策略，假设你摸到的是1元，换了之后100%可以获得2元，对自己有利。如果你摸到的是2元，1.25倍期望计算是成立的，换了也对自己有利；摸到的是4元和8元，同样换了有利；可是一旦你摸到的是16元，如果还换，就会一下子损失8元，而且是百分之百的，因为信封里没有32元的。尽管大多数时候换是有利的，可以赚一些小钱，但是一旦摸到最大的那个数额（但是自己不知道那是最大的），损失会很大，盈亏会抵消。如果游戏玩很多次，平均下来，换和不换的结果（也就是期望值）是一样的，不存在悖论。事实上在数额有封顶的情况下，比较好的策略是在摸到数额较小的信封时候尽量换，在摸到数额较大的信封的时候尽量不换。到这里，这个悖论已经基本被粉碎了，不过我们还可以继续较真下去。（3）但是死理性的人后来又提出这样一种情况：我可以让不同数额信封组合的概率分布加到一起等于1（当然不是都相等的），同时还可以保证每次换的期望值大于A。比如可以规定对于数额较小的那个信封是2^n的这种组合（即2^(n+1)、2^n）出现的概率为2^n/3^(n+1)，n=1，2，3……。这样，（2元，4元）出现的概率将是4/27（n=2）,(4元,8元)出现的概率是8/81（n=3），以此类推。你如果抽到的是4元，换成另外一个的期望值将会是2元*(4/27)/( 4/27+8/81)+8元*(8/81)/( 4/27+8/81)=2元*(3/5)+8元*(2/5)=4.4&4。如果把4换成其他数值，比如2或8或其他，结果是一样的。按照这个概率分布公式，如果你摸到的信封是A,另一个是A/2的概率一定是2/5，是2A的概率一定是3/5，最后的期望值是11A/10&A,也就是说结论还是任意时候都要换，双信封悖论又回来了。这种情况下的漏洞是在哪里呢？两个信封A和B，假设你拿到的是A，那么B的期望值是E(B)=11A/10;如果你拿到的是B，A的期望值是E(A)= 11B/10，这个相互矛盾的东西在一种情况下是不矛盾的：E(A)= E(B)=无限大。事实也正是这样的，2^n/3^(n+1)的这样的概率分布也是有点病态的，虽然满足相加等于1，但是会导致所有可能信封数额组合的平均期望值是无限大的，同样不符合实际。这个可以用另外一个赌徒的段子来解释，有一个扔硬币的赌博游戏，参加者每次可以押注一定数额，如果结果是正面，参加者可以得到双倍的回报，如果结果是背面，参加者的押注将一去不复返。假设押注x,1/2*(2x-x)-1/2*x=0,这种游戏的期望值是0,输赢各有一半的可能。一个赌徒说“我有一种只赢不输的必胜策略，第一次我押1元，如果赢了就不玩了，输了继续押第二次，押注变为2元，如果赢了可以获得4元，4-1-2=1，还是净赚的；如果第二次还输，第三次就会押注8元，按照这样，如果输了就继续翻番的押注，赢了就不继续玩了，这样一直下去，总有赢的时候，只要赢一次，就可以收回之前的所有投入”。这种策略不可行的原因是赌徒手里的钱是有限的，押注以2倍的指数增大，增长速度很快，如果真的运气不佳，连续很多次硬币都是背面，赌徒就会倾家荡产，综合下来一算期望值，其实还是0。除非假设赌徒有无限多的钱，才能保证这样的策略永远有效，但是，赌徒真要有无穷多的钱，无穷+无穷还等于无穷，赢多少钱对他都没有意义了，还用去赌博赚钱吗？类似于赌博的例子，如果A本身的期望值就是无穷大的，就没有意义再讨论换成B之后期望值是多少，比A大还是比A小了，最初的Two Envelope Paradox即使在这种概率分布的假设下还是不成立的。（4）除了Two-Envelope Problem本身，wikipedia上还介绍了一个与之有关的有趣定理。如果游戏规则是这样，制作信封的人每次给你两个信封，分别装有不同数量的钱X,Y，X和Y未必是二倍关系，但是X,Y的数值符合一定的概率分布，不过你完全不知道是哪种分布。你在游戏中的目标是设法提高自己拿到钱比较多的信封的可能性。在你打开第一个信封，看到钱的数量之后，可以决定留着这个信封，还是换成另外一个。在决定换和不换的时候，如果你使用这样的办法，用自己的电脑产生一个0到正无穷的随机数，随机数的概率分布可以用指数分布exp(-z)（exp(-z)在0到正无穷之间积分等于1）或者其他的一些分布，然后你用信封里的钱和随机数z比较，如果小于z，就换另外一个信封，如果大于z就留着。这样做看起来似乎没什么作用，但事实却出乎意料。如果z的值比X和Y都要小，第一个信封一定会留着，对于提高拿到钱多信封的可能性没有影响。如果z的值比X和Y都要大，第一个信封一定会被换掉，对于提高拿到钱多信封的可能性也没有影响。但是如果z正好在X和Y之间，第一次打开信封又恰巧是数额比较小的那个，就可以被换成数额比较大的那个，如果第一次打开信封是数额比较大的那个，则没有影响。综合下来，如果什么也不做，每次拿到钱多的信封的可能性是1/2，但是用了一个随机数z之后，可能性就大于1/2了。“获胜”概率=1/2 + P(Z falls between the two numbers)/2.大家如果有兴趣进一步了解，可以看一下下面的资料：1、2、A CONCISE RESOLUTION TO THE TWO ENVELOPE PARADOX；ERIC BLISS3、An Inside Look at the Two Envelopes Paradox；Ruma Falk，Raymond S. Nickerson4、Opening Two Envelopes；Paul Syverson5、Puzzles The Other Person's Envelope is Always Greener；Barry Nalebuff6、The Two-envelope Paradox；JOHN BROOME
无所谓，两者期望是一样的。假设钱数是n和3n，那么换不换期望都是2n。这个问题并不同于“让你50%可能获得3倍的收益，50%可能获得1/3收益”，因为选箱子后“换”这个动作造成的结果是100%确定的。选择3n后再换，并不可能让你的箱子变成9n。
虽然有五个答案，但很不幸，其他几个都没说到点子上。好评的答案告诉你，两个箱子确定以后，你的预期收益就已经确定了，但这无法解释为什么第一种想法是错的，也无助于提出更有效的策略。题主在一个评论里倒是有一个正确的看法——即使箱子里的钱数是确定的，你在做判断时也并没有这个信息量，所以上帝确定与否其实并不重要。我觉得我应该为题主首先说明一个概念：什么叫做预期收益？俗话说得好，上帝的归上帝，凯撒的归凯撒。预期收益等于收益乘以概率再积分，而这个概率应当对所有不确定的数字求出。这个题目里表面上的不确定性因素有二：箱子里原本的钱数（我们可以简单地用小箱子里的钱数x予以描述），你开到的是大箱子还是小箱子（我们把它叫做m，m=3表示大箱子，m=1表示小箱子），而确定性因素是换不换的选项。因此在计算预期收益的时候必须同时考虑x和m的概率分布。我希望题主对基本的概率公式有一些了解，因为我们马上要进公式了。假设x的概率密度分布是f(x)，m的概率密度分布是一半一半。策略则可以用函数F(m,x)表示。永远不换则F(m,x)=m*x，永远换则F(m,x)=(4-m)x。由于x和m这两个变量是独立的，因此你的预期收益=\int f(x)*1/2*F(1,x)+f(x)*1/2*F(3,x) dx不管是永远换还是永远不换，上式都=\int f(x)*2x是个固定的值。这个解释和之前几位的答案是一致的。事实上你可以把它写成\int f(x)*(1/2*F(1,x)+1/2*F(3,x))，把后面那个括号里面就是大家说的“x确定了之后，预期收益就确定了”的预期收益。但忽略掉f(x)这个积分谈预期收益是没意义的。实际上，第一种思路的陷阱在另一个地方：你为什么认为，打开了1以后，另一个箱子是1/3还是3的概率是一半一半？你在说这句话的时候实际上做了一个假设，即小箱子里的钱数=1/3和=1的先验概率是相等的。而这不可能对所有x都成立——跟我念一遍：不存在0到无穷大的均匀分布。继续上公式。第一种思路的观点在于，我只能看到y=m*x，所以你写F(m,x)的时候是有问题的，应该写成F(m*x)！那么我们写G(m,y)=F(m,x)把上面这个积分变形一下：\int f(x)*1/2*F(1,x) dx+f(x)*1/2*F(3,x) dx=\int f(y/1)*1/2*G(1,y) dy+f(y/3)*1/2*G(3,y) dy/3=\int G(1,y)*(f(y)*1/2) dy + G(3,y)*(f(y/3)/3*1/2) dy都不换的话，G(1,y)=G(3,y)=y，所以积分=\int y*f(y)/2dy+y*f(y/3)/6dy都换的话，G(1,y)=3y, G(3,y)=y/3，积分=\int 3y*f(y)/2dy+y/3*f(y/3)/6dy，分成两部分做变量代换就可以看出这个积分和上面一个是一样的。仔细看这个式子就可以知道，当你看到y的时候，这个东西是小箱子的概率和是大箱子的概率之比约等于f(y):f(y/3)/3，而后者不可能对所有y都等于1:1。更好的策略是存在的，因为你可以在看到钱数y之后才决定是否换箱子，因此所有不利用y的策略都不会给你提供更好的结果，但利用了y以后就可以选择性地换。一个比永远换更好的策略是：开箱子前随便取一个阈值a（开箱子前取是为了让a和y独立），如果y&a就不换，y&a就换。这样，(F(1,x)+F(3,x))/2在x&a&3x的时候是等于3x的，其他时候等于2x，所以整个积分值不会小于永远不换/永远换。如果a是随机取的，那么你需要加上关于a的积分，并可以证明整个积分值一定大于永远不换/永远换。---------------------------补充白话解释我试着用白话解释一下吧。首先，期望＝加权平均。但凡平均就要有个范围。在这个题目里有两个你控制不了的因素，一个是两个箱子里的钱数（可以由小箱子里的钱数确定），一个是你选到了大箱子还是小箱子，你能确定的只有策略。要注意，但凡说到期望的时候，所有你控制不了的因素都应该按照概率平均起来。假设盒子里的钱数固定是一种假设， 但不是很合理。因为有两个因素，所以可以逐一做平均。两个因素独立，所以做平均的顺序可以随意交换。具体到这个例子里，先对选中了大箱子还是小箱子做平均是比较简单的做法。不管是永远换还是永远不换，这一步平均的结果都是一样的，所以对两个箱子里的钱数再做平均也是一样的。思路一则是把两个因素视为你打开的箱子里的钱数和你选到了大箱子还是小箱子。但这两个因素并不是独立的：打开的箱子里的钱数越多，是大箱子的可能性越高。因此，打开的箱子里的钱数比较少的时候换的期望收益是正的，比较多的时候换的期望收益是负的。总体平均起来换的期望收益和上一种算法应该是一样的0。更好的策略用白话说明就是，钱多就不换，钱少就换。但是钱多钱少这条线必须在打开盒子之前决定。你的线猜得越准，收益越高。
首先列举几项基本的讨论必须的前提：(1) “信封金额”的是完全未知的，总金额处于 [0,+无穷) 的无限区间，没有因素或线索让你预知2个信封中出现金额的限定范围。否则策略会受区间限定范围、以及各个因素或线索的影响。(2) “打开一个盒子”的选择是随机的，如果不是随机的，策略无法通过概率计算，而需要涵盖牵涉到的非随机因素。(3) 对于任意打开看到的数额n，你都不知道你看到的数额n 与 2个信封总金额的数量大小关系，没有其他因素影响你对此的判断。否则策略也无法通过概率计算，而需要考虑牵涉到的影响因素。====== ====== ====== ======简要归纳一下正常算法：已知：两个盒子里都有钱，设总共金额是 4m，且已知：一个里面的钱数是另一个的三倍，即其中一个信封金额是m，另一个是3m。将 金额是 m 的称为 a信封，将 金额是 3m 的称为 b信封，打开一个信封，那么有0.5概率是开的 a信封，金额是m同时有0.5概率是开的 b信封，金额是3m注：对于任意打开看到的数额n，你都不知道你看到的数额n 与设定的金额m、3m的数量大小关系。 n可能是m 也可能是3m，出现概率均等。数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。若策略是不换一个信封，那么先拿到的信封的金额的数学期望是 0.5 * m + 0.5 * 3m = 2m若策略是换一个信封，那么换到b信封的概率仍是0.5，金额结果是3m换到a信封的概率仍是0.5，金额结果是m所以换到的信封的金额的数学期望是 0.5 * 3m + 0.5 * m = 2m期望值与不换的策略相等。====== ====== ====== ======简要解释一下常见错误：错误(1) 设先抽到X，选择换的策略的预期换到的数学期望是，0.5 * 3 * X + 0.5 * 1/3 * X= 5/3 X所以应该换。错误理由：设总共金额是 4m，则已知其中一个信封金额是m，另一个是3m。“0.5 * 3 * X + 0.5 *
1/3 * X” 前半个表达式 0.5 * 3 * X 中隐性地假定了 X = m后半个表达式 0.5 * 1/3 * X 中隐性地假定了 X = 3m并不是同一个X。因为讨论的前提是，你打开第一个看到X后，并不知道你打开的是大金额那个，还是小金额那个。所以需要分开计算，前半个表达式 0.5 * 3 * X
= 0.5 * 3 * m后半个表达式 0.5 * 1/3 * X = 0.5 * 1/3 * 3m0.5 * 3 * m + 0.5 * 1/3 * 3m换的策略的预期换到的数学期望是 = 2m错误(2) 设先抽到X，选择换的策略，则有0.5的概率拿到3 X，0.5的概率拿到 1/3 X错误理由：设在已经抽到X的前提下，换一个拿到X/3元的概率是p(X/3)设在已经抽到X的前提下，换一个拿到3X元的概率是p(3X)你已知的是 在已经抽到X的前提下，要么换一个拿到的是X/3元、要么换一个拿到的是3X元，即：p(X/3) + p(3X) = 1，而不是 换一个拿到X/3元 和 换一个拿到3X元 的概率均等，并不存在已知条件： p(X/3) = p(3X)所以用 0.5的概率拿到X/3、0.5的概率拿到3X 来计算数学期望，必然是错误的。只有当题目是“你已有一个盒子X元，另外一个盒子随机塞入 X/3元 或 3X 元”，那么才会有p(X/3) = p(3X)。然而，并不是。随机的是2个盒子中“随机拿了一个盒子”而不是“随机在你没有选的盒子塞入 X/3元 或 3X 元”
这个题的答案肯定是不需要换的。题主说到的第一条思路其实并不存在——并不是1/3和3倍之间的选择，而是100%确定的选择，而这确定性就来自于玩家第一步的决定。如果你上手是3，那么另一个盒子就是1；如果你手上是1，那么另一个盒子就是3。它不同于二分之一概率的 3→9 or 1 加上二分之一概率的 1→3or1/3。但我不得不承认这个题目很nb。有些回答中提到我们所说的随机数并不是真正随机的，所以试图使用数学方法来优化这个题目的选择策略。思路很有意思，不过我觉得实际意义不大，并不能实现对此题的优化。
一，首先期望上就是不一样的，因为手里的钱A有一半概率减半，一半概率变三倍，最后期望是1.75A。那些说期望一样的同学概率论。。。期末抄的？二，这里是一个paradox或者说悖论，因为对双方而言都应该换毕竟1.75A & A，而且因为你不知道自己手里是多少，所以你一直假设A的话，你会永远换下去。三，所以这个问题是不是有什么问题？是的，tricky的地方在于，这个问题和扔骰子拿钱是不太一样的，直观的解释是，扔骰子拿钱你的期望是恒正且相对于不拿钱的；这个问题下你把原来的3n换成n是亏了。四，所以这个问题一般会引入一个“偷看”的下一步，假设你拿到箱子之后你能偷看一眼，你换不换？这里就需要你假设一个prior，如果你觉得钱看起来很多应该是3倍那个箱子那你当然不换了；如果你一看，哇擦箱子里只有5毛钱我都发了两个贴了，那你当然要换了。毕竟一颗茶叶蛋呢。
假设存在无数个组合，截取其中的一段，（1，3）（3，9）（9，27）前面和后面的组合都是无穷多的。先截取其中3个。选中1，3，9，27的概率分别为1/6，2/6，2/6，1/6。换的期望收益分别为2，2，6，-18。换的总期望收益为0。好了，取4个计算。换的期望收益也为零。推广到无穷的情况，依然为0。
两个说法都是对的。设盒子A里面有n元，盒子B里3n元策略一：换盒子”换了以后另一个盒子里的钱数有一半可能性是（这个盒子的）3倍一半可能性是（这个盒子的）1/3“这个盒子可能 是A 可能是B别误以为这种策略期望收益更高！ 两个策略的期望收益是相等的。由于事件（第一个摸到的盒子是A)与事件B（换了以后另一个盒子里的钱数有一半可能性是（这个盒子的）3倍）不是独立的，所以别顺这条路算总的期望收益（想算也可以，列个表呗）。以上。
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录现场移动积分兑换可信吗_百度知道高铁上的积分兑换可信吗_百度知道……_用积分兑换东西也要钱吗_宝宝树
用积分兑换东西也要钱吗
……相关的更多内容:
[知识] [知识] [知识] [知识] [知识] [知识]
需要账号和密码的外链可能是钓鱼网站，为了您的账号和财产安全，请勿提供任何有效信息！工行有积分兑换现金吗_百度知道