近世代数1设G是群,a,x∈G,证明:｜a-1｜=｜a｜,｜x- - 爱问知识人
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a^n=e&==&[a^(-1)]^n=e
==&｜a｜=|a^(-1)|,
a^n=e&==&[x^(-1)a^(-1)x]^n=e
==&｜a｜=|x^(-1)a^(-1)x|.
设G是循环群,任意两元素x=a^n,y=a^m
xy=a^na^m=a^(n+m)=a^ma^n=yx,
所以G是交换群.
任意Ｔ中两矩阵A,B
A-B还是上三角矩阵,而且0是上三角矩阵,
所以T是（Ｍｎ（Ｐ），＋）的子群 .
同理Ｄ，Ｓ是（Ｍｎ（Ｐ），＋）的子群 .
任意O中两矩阵A,B
AB^(-1)[AB^(-1)]^(t)=
=AB^(-1)B^(-1)^(t)A^t=AEA^t=AA^t=E
==&两矩阵A,B还是正交矩阵,而且E是正交矩阵,
所以O是ＧＬ（ｎ，Ｐ）的子群 的子群 .
证：lny=alng(x)---&(lny)'=a[lng(x)]'
---&y'/y=ag'(x)/g(x)
---&y'=y*ag'(x)/g(x)
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高一数学必修1第二章 必修1 第二章 函数
华南中学 必修12．1．1 函数【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．在一个变化过程中，有两个变量x和y， 如果给定了一个x值，相应地就确定y值，那么我们称 是 的函数，其中x是 ，y是 ．2．设集合A是一个的集，对A中的x，按照f ，都有数y与它对应，则这种A上的一个函数．记作．其中x叫做 数集A叫做这个函数的 ，所有函数值构成的集合{y|y?f(x)，x?A}叫做这个函数的 ． 注意：1“y=f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g (x)”； ○2函数符号“y=f (x)”中的f (x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f 乘x． ○3．确定一个函数需要两个要素是4．设a、b是两个实数，且a&b，则：满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做 ，记作 ；满足不等式a&x&b的实数x的集合叫做满足不等式a≤x&b或a&x≤b的实数x的集合叫做符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”．我们把满足x≥a，x&a，x≤b，x&b的实数x的集合分别表示为 ， ， ， ．实数a和b都叫做相应区间的端点．【知识要点】【例1】判断下列各组函数是否表示同一函数：（1）f(x)?2x?1(x?R)与g(x)?2x?1(0&x&1)； （2）f(x)?x2?4与g(x)? （3）f(x)?1与g(x)?x?2?x?2； x3； （4）f(x)?x与g(x)?x2； （5）h(x)?x与e(x)?x x 【例2】求下列函数的定义域 (用区间表示)xx?3x?1（1） f (x)=2； （2）f (x（3） f (x)=－． 2?xx?2 【例3】已知函数f(x)?x2?2x?3，求f (0)、f (1)、f (－1)、f (a)、f (t?1)、f (x?2)的值． 21华南中学 必修1【例4】求下列函数的值域：（1）y=2x+1，x?{1，2，3，4，5}； （2）y?x?1； （3）y?x； （4）y??x2?2x?3 ； （5）y??x2?2x?3 (?5≤x≤?2)． 【基础练习】1．下列各图中表示函数的是( ) A B C D2．在下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A．f(x)=1，g(x)=x0 B．y?x与y?x2C．y?x2与y?(x?1)2 D．f(x)=∣x∣，g(x)=x23． 已知函数g(t)?2t2?1，则g(1)= ( )A． －1 B． 0 C． 1 D． 24．函数f(x)? ( )A． [12，+∞) B．(12，+∞)C．(－∞，12) D．(－∞，12]5． 已知函数f(x)?2x?3，若f(a)?1，则a= ( )A． －2 B． －1 C． 1 D． 26．函数y=x?1x的定义域是 ．7．函数f(x)=x?的定义域是．8．函数y?11?|x|的定义域是9．函数y=x2，x?{－2，－1，0，1，2}的值域是 ．10． 函数y??2x的定义域是．11．用区间表示下列集合：（1）{x|x?4}；（2）{x|x?4且x?0}；（3）{x|x?4且x?0，x??1}；（4）{x|x?0或x?2}．22 x?1(用区间表示)华南中学 必修112．求下列函数的定义域：（1）f(x)??x?x； （2）f(x)=111； （3）f(x)?； （4）f(x)=5?x?． 2?xx?x1?x 13．已知函数f (x)=3x2＋5x－2，求f (3)、f (?2)、f (a)、f (a+1)、f (a)+ f (3)的值． 14．已知函数f (x)=x?2 x?6（1）点(3，14)在f (x)的图象上吗?（2）当x=4时，求f (x) 的值；（3）当f (x) =2时，求x的值． 23华南中学 必修1【巩固提高】1．下列图象中表示函数y=f (x)关系的有( ) A．(1)(2)(4) B．(1)(2) C．(2)(3)(4) D．(1)(4)2．下列四组函数中，表示同一函数的是 ( )A．y?4x2?12x?9和y?|3?2x| B．y?x2和y?x|x|C．y?x和y?x2 D．y?x和y=(x)23．下列各项中表示同一函数的是 ( )12x3A．y?(x?1)与y?1 B．y=x与y= 22xC．y=x－1，x?R与y=x－1，x?N D．f(x)?2x?1与g(t)?2t?1 04．函数y=?x2+x2?1的定义域是 ( )A．[?1，1] B． (??，?1]?[1，??) C．[0，1] D．{?1，1}5．函数f(x)?1的定义域是 ( ) x?|x| B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．R A．(－∞，0)6．若f(x)?x2?a(a为常数)，f(2)=3，则a= ( )A．?17．设f(x)? B．1 C．2 D．?2 x?1，x??1，则f(?x)等于 ( ) x?1B．?f(x) C．? A．1 f(x)1 D．f(x) f(x)8．函数y=?2，x?[－4，－1]的最大值是 ( ) xA．2 B．9．函数y=1 C．?1 D．?4 21(x?1)的值域是 ( ) xA．(??，0)?(0，??) B．R C．(0，1) D．(1，??)10．下列函数中，值域是(0，??)的是 ( )A．y?11．函数y?x2?3x?1 B．y=2x?1 (x?0) C．y?x2?x?1 D．y?2?x?0?的值域为 ( ) 1?x 241 2x华南中学 必修1A．[0，2] B．(0，2] C．(0，2) D．[0，2)212．函数y=2x?4x?3，0≤ x ≤3的值域为 ( )A． (?3，3) B． (?5，?3) C． (?5，3) D． (－5，+∞)213．函数y?x(x??2)的值域为14．已知f(x)=x2?1，则f(2) f(x?1)．15．已知f(x)=x?1，x?Z且x?[?1，4]，则f(x)的定义域是 ，值域是．16．函数f(x)=(1?x)0??x的定义域是 ．17．已知函数f(x)?（1）求f (－3)，f (1 x?22)，f ( f (－3))的值； 3（2）当a&0时，求f (a)，f (a－1)的值． 318．设f(x)?x?1，求f{f[f(0)]}的值． 219．若f(x)?2x?1，g(x)?x?1，求f[g(x)]；g[f(x)]． 25华南中学 必修120．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S (cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象． 【课后思考】1． 求函数y?1的定义域与值域． x?1 22． 当x?[1，3]时，求函数f(x)?2x?6x?c的值域． 26华南中学 必修12．1．1 函数 (2)【自主预习】阅读课本，完成下列问题设A、B是两个 集合，如果按照某种对应法则f ，对A中的 元素x，在B中 且 元素y与x对应，则f 是集合A到集合B的映射．称y是x在映射f 作用下的记作． 于是y=f (x)，x称作y的 ．映射f 也可记为f ：A→B，x→f (x)．其中A叫做映射f 的 ，由所有象f (x)构成的集合叫做映射f 的 ，通常记作f (A)如果映射f 是集合A到集合B的映射，并且对于集合 中的 元素，在集合A中都 A到集合B的一一映射．【知识要点】【例1】设集合A=｛a，b，c｝， B=｛x，y，z｝，从集合A到集合B的对应方式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A到集合B的映射？ ① ② ③ ④ ⑤【例2】判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射（1）A=R，B={x|x＞0 且x∈R}，f ：x→y=|x|；（2）A=N，B=N*，f ：x→y=|x?1|；（3）A={x|x＞0 且x∈R}，B=R，f ：x→y=x2；（4）A=R，B=R，f ：x→y=2x+1， x∈A，y∈B；（5）A=N*，B={0，1}， f ：除以2的余数；（6）A={某商场的所有商品}，B={商品的价格}，f ：每种商品对应自己的价格． 【例3】设A=｛a，b｝，B=｛c，d｝（1）用图示法表示集合A到集合B的所有不同映射；（2）若B=｛c，d，e｝，则A到B可建立多少个不同映射？（3）A=｛a1，a2，,,,,，am｝，B=｛b1，b2，,,,,，bn｝，则A到B可建立多少个不同映射？ 27华南中学 必修1【基础练习】1．下列从集合A到集合B的对应中为映射的是 ( )A．A=B=N＋，f ：x→y=|x?1|(x?0)?1，B．A=R，B??； 1，2?，对应法则f：x?y??2，(x?0)?C．A=B=R，f：x?y??x；D．A=R，B?xx?0，f:x?y?x2．2．已知集合P=[?4，4]，Q=[?2，2]，下列对应x→y，不表示P到Q的映射的是 ( ) ??1?x?4? C．y?1x2?2 D．x2??8y 243B={y|1≤y≤2}，如下图，能表示从集合A到集合B的映射是 ( ) 4A A．A中不同元素必有不同的象B．B中每一个元素在A中必有原象C．A中每一个元素在B中必有象 D．B中每一个元素在A中的原象唯一5．设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x?R，y?R}，映射?：A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x+y，x－y)，则在映射f 下，象(2，1)的原象是 ( )3131A．(3，1) B．() C．(， D． (1，3) ?) 22226．已知映射：?：A→B，其中集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f 下的象，且对任意的a?A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 ( )A．4 B．5 C．6 D．7 A．2y?x B．y2?7．已知函数y?f(x)的定义域为[－1，5]，则在同一坐标系中，函数y?f(x)的图象与直线x=1的交点的个数为 ( )A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个均有可能8．设?：A→B是从A到B的一个映射，其中A=B={(x，y)|x，y?R}，?：(x，y)?(x+y，xy)．则A中元素(1，－2)的象是 ，B中元素(1，－2)的原象是 ．9．设M={a，b，c}，N={0，1}，写出从M到N的映射，并指出哪些是一一映射． 28华南中学 必修1【巩固提高】1．下列是映射的个数是 ( ) A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个112．在给定的映射f：(x，y)→(2x+y，xy)，(x，y?R)的条件下，点(，?)的原象是 ( ) 66A．(，?) B．(，?)或(?，) C．(，?) D．(，)或(?，) 43．映射?：A→B定义域A到值域B上的函数，下列结论正确的是 ( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素必有原象C．B中元素只有一个原象D．A或B可以空集或不是数集n4．设集合A和B都是自然数集合N，映射f ：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2?n，则在映射f 下，象20的原象是 ( )A．2 B．3 C．4 D．5(x，y)?(x?y，x?y)那么A中元素 (1，5．设是从集合A到集合B的映射，其中A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：3)的象是 B中元素 (1，3)的原象是6．集合A={a，b}，B={c，d，e}，那么可建立从A到B的映射的个数是_______，从B到A的映射的个数是______．7．设A到B的映射f 1 ：x→2x+1，B到C的映射f 2 ：y→y2－1，则A到C的映射f 3 ： ．【课后思考】M={3，4，5}，N={－1，0，1}，从M到N的映射f 满足x＋f (x)是偶数，这样的映射有 ( )个．A．3 B． 4 C．27 D． 9 29华南中学 必修12．1．2 函数的表示方法【自主预习】阅读课本，完成下列问题解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明；给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．【知识要点】【例1】某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y?f(x)． 【例2】作函数y?2x?4x?3,(0?x?3)的图象． 【例3】常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，方程组法．待定系数法：已知f (x)是一次函数，且满足3f (x+1)－2f (x－1)=2x+17，求函数f (x)的解析式． 配凑法、换元法：已知f (2x+1)=3x－2，求函数f (x)的解析式． 302华南中学 必修1方程组法：已知函数f (x)满足f(x)?2f()?x，求函数f (x)的解析式． 【例4】已知函数y?f(n)，满足f(0)?1，且f(n)?nf(n?1)，n?N+．求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)． 【基础练习】1．作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y (元)．试用三种方法表示此实例中的函数． 2．填写下面表格，并描点作图，画出函数y? 311xx的图象．华南中学 必修13．已知f (2x)=2x+3，则f (x)等于 ( )3x B．x?3 C．?3 D．2x?3 224．已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为 ( ) A．x?A．y??x?1 B．y?x?1 C．y?x?1 D．y??x?15．已知f(x)?x2?2，求f(x?)． 6．已知f(x)?2x?1，求f(f(x))． 7．已知f(x)为一次函数，且f(f(x))=4x?3，求f(x)的解析式． 28．已知f(x)为二次函数，且f(x)?2f(?x)?3x?x，求y?f(x)． 1x 9．已知f(x?)?x2? 321x1，求f(x)的解析式． x2华南中学 必修110．已知对一切x?R，f(x)?2f(?x)?x?1，求函数f (x)的解析式． 【巩固提高】1．设函数f (x)和g (x)的自变量和函数值的对应表格如下： 则f (g (1))= ；g (f (3))= ．2．画出下列函数的图象：（1）f(x)?2x?2 (?2?x?2)； （2）f(x)?2x2?4x?3 (0?x?3)． 3．已知f( 4．已知f(x? 333?4x)?x?5，求f (5) ． x?211)?x2?2，求函数f (x)的解析式． xx华南中学 必修15．已知f (x)为一次函数，且f[f(x)]?x?1，求函数f (x)的解析式． 113f(x?)?x?6．已知，求函数f (x)的解析式． xx3 7．已知f(x)为二次函数，且f(x?1)?f(x?1)?2x2?4x，求函数f (x)的解析式． 8． 已知f (x)=x2－1，g (x)=x?1，求f [g (x)] ． 【课后思考】已知对一切x∈R，f (x－2)+3f (2－x)=x，求函数f (x)的解析式． 34华南中学 必修12．1．2 函数的表示方法——分段函数【自主预习】阅读课本，完成下列问题分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着，这样的函数通常叫做 ．【知识要点】【例1】用[x]表示“不超过x的最大整数”画出y=[x]，x?(?2，2]的图象． 【例2】 国内投寄信函 (外埠)，邮资按下列规则计算：1、信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g付邮资80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分，依次类推；2、信函质量大于100g且不超过200g时，付邮资 (A+200)分 (A为质量等于100g的信函的邮资)，信函质量超过200g，但不超过300g付邮资 (A+400)分，依此类推．设一封x g(0&x?200)的信函应付邮资为y (单位：分)，试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象． 【例3】把下列函数用分段函数表示，并画出图象． （4）y?|x|+1； （5）y?|x|?2； （6）y?3?|x|． 35（1）y?|x|； （2）y?|x?1|； （3）y?|x?1|；华南中学 必修1【例4】作出分段函数y?x??x?2的图象． ?x?2，x?1?【例5】已知函数f(x)??x2，?1?x?2．?2x，x?2?（1）求f (f (f (x)))的值；（2）若f (a)=3，求a的值；（3）画出函数的图象并写出该函数的值域． 【基础练习】1．已知函数f (x)=[x+1]，则f ；f ；f (?3.1．2??x＋2(x?2)2．设函数f (x)＝?，则f(?1)＝ ． 2x(x＜2)???2x?3，x?(??，0)3．已知f (x)＝?，则f (0)= ；f [f (－1)]= ． 2?2x?1，x?[0，??)?0(x?0)?4．已知f(x)???(x?0)，则f{f[f(?1)]}= ( )?x?1(x?0)?A． 0 B． ? C． 1?? D．无法求 5．函数f (x)=︱x+3︱的图象是() A B C D36华南中学 必修1?x6．画出函数y=|x|=?x?0,的图象；并求f (－3)，f (3)，f (－1)，f (1)，f (f (－2))． ??xx?0. ?7．画出函数f(x)??1?x，　(0?x?1)的图象．??x，　(x?1) ?0(x?0)8．已知f(x)????(x?0)，??x?1(x?0)（1）作出f(x)的图象；（2）求f (1)，f (－1)，f (0)，f (f (f (－1)))的值． 37华南中学 必修1【巩固提高】?x?2, (x≤?1)1．设f(x)???x2, (?1?x?2)，若f(x)?3，则x= ( )??2x, (x≥2)A． 1 B．C． 32 D． ??x2?2．已知f (x)=?2x，x?0?1，x?0???x?1，x?0（1）求f (－1)， f (f (－1))， f { f [f (－1)]}（2） 画出函数的图象 3．如图，根据y=f (x) (x?R)的图象，写出y=f (x)的解析式． 4．作出函数y=x2?2|x|?3的函数图象． 5．作出函数y=|x2?2x?3|的函数图象． 38华南中学 必修16．设x∈(－∞，+∞)，求函数f(x)?2|x?1|?3|x|的解析式，并画出它的图象．（1）求函数f(x)?2|x?1|?3|x|的最大值．（2）解不等式2|x?1|?3|x|??1． 7．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，它沿着折线BCDA由点B (起点)向A (终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y．（1）求y关于x的函数表示式，并指出定义域；（2）画出y=f (x)的图象． 【课后思考】不等式x2?4|x|?5?m对x?R恒成立，求m的取值范围． 39华南中学 必修12．1．3 函数的单调性【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．一般地，设函数y=f (x)的定义域为A，区间M?A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量△x?x2?x1&0，则①当△y?f(x2)?f(x1)&0时，就称函数y=f (x)在区间M上是；②当△y?f(x2)?f(x1)&0时，就称函数y=f (x)在区间M上是．说明：函数的单调性是对某个区间而言的，函数的单调区间为函数定义域的子区间；函数的单调性可以是函数的局部性质举例：y?x2在(0，??)上是单调增函数，但在整个定义域上不是增 (减)函数．2．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有M称为______区间．3．增函数的图象自左向右是逐渐；减函数的图象自左向右是逐渐．【知识要点】【例1】根据图象写出函数的单调区间 【例2】证明函数f (x)=3x+2在R上是增函数． 40华南中学 必修1【例3】证明函数f(x)?x?1x在 (0，1)上是减函数，在 (1，??)上是增函数． 【例4】已知函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间(??，4]上是减函数，求实数a的取值范围． 【基础练习】1．函数y??x2的单调增区间为 ( )A．(??，0] B．[0，??) C．(??，??) D．(?1，??)2． 函数f(x)?x2?2x的单调增区间是 ( )A． (??，1] B． [1，??) C． R D．不存在3．如果函数f(x)?kx?b在R上单调递减，则 ( )A．k?0 B．k?0 C．b?0 D． b?04．函数f(x)?2x2?mx?3，当x?[?2，??)时是增函数，当x?(??，?2]时是减函数，则f (1)等于(A．－3 B．13 C．7 D．由m而定的常数5．下列函数中，在 (0，2)上为增函数的是 ( )A．y=1x B． y=2x－1 C． y=1－x D．y=(2x?1)26．若函数f(x)?k?xx在(??，0)上是减函数，则k的取值范围是 ( )A．k?0 B．k?0 C．k?0 D．k?07．函数f(x)?|x|的减区间是41 )华南中学 必修18．若函数f(x)?(2m?1)x?n在(??，??)上是减函数，则m的取值范围是．9．函数f(x)?3x2?6x?1，x?(3，4)上的单调性是10．已知函数y?8x2?ax?5在[1，??)上递增，那么a的取值范围是11．画出下列函数图象，并写出单调区间：2（1） y??x?2； （2） y?1(x?0)． 12．证明函数f (x)=－x2+x在 (12，+?)上为减函数． 13．证明f(x)??x在定义域上是减函数． 14．证明：f(x)?1x2在 (0，+∞)上是减函数． x42华南中学 必修1【巩固提高】1．填表 2．下列函数中，在区间 (0，2)上为增函数的是 ( )A．y??3x?1 B． y?x C．y?x2?4x?3 D．y?4x 3．已知f (x)= (2k+1)x+1在 (－∞，+∞)上是减函数，则 ( )A．k＞12 B．k＜1112 C．k＞－2 D． k＜－24．在区间 (0，+∞)上不是增函数的是 ( )A．y=2x+1 B．y=3x2+1 C．y=2x D． y=3x2+x +15．函数y?x2?2x?3的单调减区间是 ( )A．(??，?3] B．[?1，??) C．(??，?1] D．[1，??)6． 函数y＝x2－6x＋10在区间 (2，4)上是 ( )A．递减函数 B．递增函数 C．先递减再递增 D．先递增再递减．7． 在区间(－?，0)上为增函数的是 ( )A．y??2x B．y?2xC．y?|x| D．y??x2 8．若函数f (x)=x2+2 (a－1)x+2在区间 (－?，4)上为增函数，则实数a的取值范围是 ( )A．a?－3 B．a?－3 C．a? 3 D9．如果函数f (x)是实数集R上的增函数，a是实数，则 ．a?3( )A．f(a2)?f(a?1) B．f(a)?f(3a) C．f(a2?a)?f(a2) D．f(a2?1)?f(a2)10．已知二次函数f (x)=2x2－mx+3在???，?2?上是减函数，在??2，???上是增函数，则实数m的取值是 (A． －2 B． －8 C． 2 D． 811．已知函数f (x)=a x2－6ax+1 (a＞0)，则下列关系中正确的是 ( )A．f(2)?f(3) B．f(5)?f(3) C．f(?1)?f(1) D．f (2) ＞ f (3)12． 若f (x)是R上的增函数，对于实数a，b，若a+b＞0，则有 ( )A． f (a)+ f (b) ＞f (－a)+ f (－b) B．f (a)+ f (b) & f (－a)+ f (－b)C．f (a)－f (b) ＞f (－a)－f (－b) D．f (a)－f (b) & f (－a)－f (－b)43 )华南中学 必修113．函数y=－x2+6x－4的单调减区间是14． 函数y=2x2－6x+4的单调减区间是 ．15． 函数f (x)=|x－2|的单调递增区间是．116．函数y=的单调减区间为 ． x?117．函数y=|x+1|+|2－x|的增区间为18．设函数f (x)=(2a－1)x+b是R上的减函数，则a的范围是 ．19．函数y=8x2+ax+5在[1，+∞)上递增，则a的范围为．20．函数y=3x2+ax+4在区间[－1，1]上是单调函数，求实数a的取值范围． 21．已知f (x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x－1)&f (1－3x)，求x的取值范围． x22．已知函数y＝f (x)是定义在[－1，1]上为增函数，且f()?f(x?1)，求x的取值范围． 2 44华南中学 必修1323． 函数f(x)在(0，??)上是减函数，求f(a2?a?1)与f()的大小关系． 4 24．作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间． 25．填表已知函数f (x)，的定义域是F，函数g (x)的定义域是G，且对于任意的x?G，g(x)?F，试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空．已知函数f (x)是R上的增函数，且f (x+x)＞f (a－x)对一切x∈R都成立，求实数a的取值范围． 452华南中学 必修12．1．4 函数的奇偶性【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．设函数y=f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有?x?D，且，则这个函数叫做奇函数．2．设函数y=f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有?x?D，且，则这个函数叫做偶函数．3．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．4．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数．5．奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称 (也就是说，函数为奇函数或偶函数的前提是其定义域关于原点对称)．（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．（3）若奇函数的定义域包含数0，则f (0)=0．（4）奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反．（5）定义在 (－∞，+∞)上的任意函数f (x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）设f (x)，g (x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇【知识要点】【例1】判断下列函数的奇偶性（1）f(x)?x2(x?0)； （2）f(x)?x2 x?[?1，2]； （3）f(x)?x2 x?[?1，1]； （4）f(x)?x2 x?(?1，1]； （5）f(x)?x3?2x； （6）f(x)?2x4? （7）f(x)?x2?4?4?x2； （8）f(x)?x?4?4?x． 4； 2x 【例2】判断函数 f (x)＝|x＋1|+|x－1| 的奇偶性． 46华南中学 必修1【例3】已知函数f(x)?x?1 x（1）判断奇偶性；（2）判断单调性；（3）求函数的值域． 【基础练习】1．判断下列函数是否具有奇偶性（1）f(x)?2x； （2）f(x)?(x?1)2； （3）f(x)?0； （4）f(x)?x2?1，x?(0，1)； （5）f(x)?x?1??x； （6）f(x)?x5?2x3?3x． 2． 已知f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，试将下图补充完整． 3．对于定义域是R的任意奇函数f(x)有 ( )A．f(x)?f(?x)?0 B．f(x)?f(?x)?0 C．f(x)?f(?x)?0 D．f(0)?04．已知f(x)是定义(??,??)上的奇函数，且f(x)在[0，+∞)上是减函数，则下列关系式中正确的是 ( )A．f(5)?f(?5) B．f(4)?f(3) C．f(?2)?f(2) D．f(?8)?f(8)5．下列说法错误的是 ( )1 A．f(x)?x?是奇函数 xB．f(x)?|x?2|是偶函数C．f(x)?0,x?[?6,6]既是奇函数，又是偶函数x3?x2D．f(x)?既不是奇函数，又不是偶函数x?147华南中学 必修16．函数f(x)?1，x?(0，1)的奇偶性是 ( ) xA．奇函数 B． 偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数7．若函数y?f(x)，x?R是奇函数，且f(1)?f(2)，则必有 ( )A．f(?1)?f(?2) B．f(?1)?f(?2) C．f(?1)?f(?2) D．不确定8．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，则下列各式成立的是 ( )A．f(?2)?f(0)?f(1) B．f(?2)?f(?1)?f(0)C．f(1)?f(0)?f(?2) D．f(1)?f(?2)?f(0)9．若函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)是偶函数，则g(x)?ax3?bx2?cx是 ( )A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数10．已知函数y?f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)?0的所有实数根的和为 ( )A．4 B．2 C．1 D．011．函数f(x)?a，(a?0)是_______函数．12．若函数g(x)为R上的奇函数，那么g(a)?g(?a)?______________．13．已知f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________；b＝___________．14．函数f(x)?|x?2|?|x?2|的奇偶性是．15．已知f (x)是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f (x)在[－7，－3]上是函数，且最值为 ．16．设f (x)＝ax7＋bx＋5，已知f (－7)＝－17，求f (7)的值． 17．已知函数f (x)，对任意实数x、y，都有f (x+y)＝f (x)＋f (y)，试判别f (x)的奇偶性．(特值代入) 118．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)?g(x)?，求f(x)、g(x)． x?1 48华南中学 必修1【巩固提高】1．下面四个结论中，正确命题的个数是 ( )①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x)=0 (x∈R)A．1 B．2 C．3 D．42．已知函数f (x)在[－5，5]上是奇函数，且f (3) ＜f (1)，则 ( )A．f (－1) ＜f (－3) B．f (0) ＞f (1) C．f (－1) ＜f (1) D．f (－3) ＞f (－5)3．下列函数中既非奇函数又非偶函数的是 ( )A．y=x11 B．y=2 C．y=0，x ∈[－1，2] D．y=2 xx?1x?1x?1?a24．设函数f (x)=是奇函数，则实数a的值为 ( ) ?xA．－1 B．0 C．2 D．15．如果奇函数f (x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间[－7，－3]上是 ( )A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5C．减函数且最大值为－5 D．减函数且最小值为－56．函数f(x)?x2?x的奇偶性是 ( )A．奇函数 B． 偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数7．对于定义在R上的奇函数f (x)有 ( )A．f (x)+f (－x)＜0 B．f (x)－f (－x)＜0 C．f (x) f (－x)≤0 D．f (x) f (－x)＞08．函数y?f(x)是奇函数，图象上有一点为(a，f(a))，则图象必过点 ( )1?f(a)) D．(aA．(a，f(?a)) B．(?a，f(a)) C．(?a，) f(a)9．已知f(x)?x5?ax3?bx?8且f (－2)=0，那么f (2)等于10．奇函数f (x)在1≤x≤4时解析式为f(x)?x2?4x?5，则当－4≤x≤－1时，f (x)最大值为11．如果f (x)=x3?mx2?nx为奇函数，y=x2?nx?3在 (－∞，3)上为减函数，在 (3，+∞)上为增函数，则m；n=12．如果二次函数y=ax+bx+c (a≠0)是偶函数，则b=13．若函数f (x)是定义在R上的奇函数，则 f114．已知函数f (x)在(0，+∞)上单调递增，且为偶函数，则f (－?)，f (－)，f (3)之间的大小关系是． 3215．f (x)为R上的偶函数，在 (0，+∞)上为减函数，则p= f (?32)与q= f (a?a?1)的大小关系为． 416．f(x)为R上的偶函数，且当x?(??，0)时，f(x)?x(x?1)，则当x?(0，??)时，f(x)?17．判断下列函数的奇偶性：（1）f (x)=|x+1|－|x－1|； （2）f (x)= (x－ 1?x； 1?x49华南中学 必修1?x(1?x)?x2（3）f (x)=； （4）f (x)=?|x?2|?2?x(1?x)(x?0)； (x?0) x?0?1?x(x?1)x?0? （5）f(x)??0 x?0； （6）g(x)??； ?x(x?1)x?0???1x?0? （7）y? 【课后思考】定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1?a)?f(1?2a)?0，求实数a的取值范围． 50?1x?Q； （8）D(x)?? ． 2x?Q0?x?4x?1华南中学 必修12．2．1 一次函数的性质与图象【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．函数叫做一次函数，又叫做函数．它的定义域为，值域为 ．2．一次函数k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的 ．3．一次函数的主要性质：①函数值的改变量△y=y2－y1与自变量的改变量△x=x2－x1的比值等于常数k，k的大小表示 ．②当 时，一次函数是增函数；当 时，一次函数是减函数．③当 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 时，它既不是奇函数，也不是偶函数．④直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点为，与y 轴的交点为．【知识要点】【例1】已知函数y?(2m?1)x?1?3m，m为何值时，（1）这个函数为正比例函数；（2）这个函数为一次函数；（3）这个函数图象与直线y?x?1的交点在x轴上？ 【例2】已知一次函数的图像经过A(3，5)，B(－4，－9)两点，求该一次函数的解析式． 【例3】已知一次函数y=kx+b的图象经过点(525，0)，且与坐标轴围成的三角形面积为，求该一次函数的解析式． 42 【例4】画出函数y=2x+1的图象，利用图象求：（1）方程2x+1=0的解；（2）不等式2x+1≥0的解集；（3）当y≤3时，求x的取值范围；（4）当－3≤y≤3时，求x的取值范围；（5）图象与坐标轴的两个交点间的距离；（6）图象与坐标轴围成的三角形的面积． 51华南中学 必修1【基础练习】1．下列函数中，y是x的一次函数的是( )A．y = 2x2+1 B．y=x?1+1 C．y=－2(x+1) D．y= 2(x+1)22．下列关于函数的说法中，正确的是( )A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数是一次函数C．正比例函数不是一次函数 D．不是正比例函数的就不是一次函数3．若函数y=(3m－2) x2+(1－2m) x， (m为常数)是正比例函数，则( )A．m=2121 B．m= C．m& D．m& 32324．过点A(0，－2)，且与直线y=5x平行的直线是( )A．y=5x+2 B．y=5x－2 C．y=－5x+2 D．y=－5x－25．将直线y=3x－2平移后，得到直线y=3x+6，则原直线 ( )A．沿y轴向上平移了8个单位 B．沿y轴向下平移了8个单位C．沿x轴向左平移了8个单位 D．沿x轴向右平移了8个单位6．下列说法正确的是 ( )A．函数f(x)?kx?b为一次函数B．函数f(x)?kx?b，(b?0)的图像是一条是与x轴相交的直线C．函数f(x)?kx?b的图像是一条是与x轴相交的直线D．函数f(x)?kx?b，(k?0)是一次函数7．函数的解析式为x?2y?7?0，则其对应直线的斜率与在y轴上的截距分别为 ( )17717A．， B．1，?7 C．1， D．?， 222228．若y?(m?1)xm?3m?3是一次函数，则 ( )A．m?1 B．m?2 C．m?1 D．m?1或m?29．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为 ( )A．y=8x B．y=2x+6 C．y=8x+6 D．y=5x+310．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．直线y=－2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( )A．4 B．6 C．8 D．1612．若函数y?(2m?3)x?(3n?1)的图像经过第一、二、三象限，则m与n的取值范围分别是 ( ) 2333111，n&? B．m&3，n&－3 C．m&，n&? D．m&，n& 2223332n?n?113．若y=(n－2)x是正比例函数，则n的值是 ． A．m&14．函数y=x+4中，若自变量x的取值范围是－3&x&－1，则函数值y的取值范围是．15．当a时，函数y=(a－1)x2+ax－2是一次函数．16．长方形的长为3cm，宽为2cm，若长增加xcm，则它的面积S(cm2)与x(cm) 之间的函数关系式是它是 函数，它的图象是 ．17．把函数y=2x的图象沿着y轴向下平移3个单位，得到的直线的解析式为18．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=－1．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1≤ x ≤4，求y的取值范围． 52华南中学 必修119．已知函数f (x)=(2m－1) x+1－3m，m为何值时，（1）函数f (x)为正比例函数？（2）函数f (x)为一次函数？（3）函数f (x)在R上是减函数？（4）函数f (x)的图象与直线y=x+1的交点在x轴上？ 20．求小球速度v (米/秒)与时间t (秒)之间的函数关系式：（1）小球由静止开始从斜坡上向下滚动，速度每秒增加2米；（2）小球以3米/秒的初速度向下滚动，速度每秒增加2米；（3）小球以10米/秒的初速度从斜坡下向上滚动，若速度每秒减小2米，则2秒后速度变为多少?何时速度为零? 【巩固提高】1．若函数y=(m－3)xm?1+x+3是一次函数(x≠0)，则m的值为( )A．3 B．1 C．2 D．3或12．汽车由天津开往相距120km的北京，若它的平均速度是60km/h，则汽车距北京的路程S(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系式是 ( )A．S=60t B．S=120－60t C．S=(120－60)t D．S=120+60t3．一次函数y=kx+2经过点 (1，1)，那么这个一次函数 ( )A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小C．图像经过原点 D．图像不经过第二象限4．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=－x+4的交点不可能在 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．过点A(－1，2)作直线l，使它在x轴，y轴上的截距相等，则这样的直线有 ( )A．1 B．2 C．3 D．46．在直角坐标系中，已知A (1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个53华南中学 必修17．函数f(x)?kx?b，x?[1，3]的值域为[5，7]则kb．8．函数f(x)?(2k?1)x?b在???，???上是减函数，则k的范围是9．函数y=－3x+2的图像上存在点P，使得Po到xo轴的距离等于3，o则点P的坐标为10．一次函数f(x)?(1?m)?(2m?3)在[－2，2]上总取正值，则m的取值范围是11．某一次函数的图像经过点 (－1，2)，且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ．12．已知直线l的斜率为 1，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线的方程． 6k213．已知一次函数y=(k－2) x+1?： 4（1）k为何值时，函数图象经过原点?（2）k为何值时，函数图象过点A(0，3)?（3）k为何值时，函数图象平行于直线y=2x? 14．如图，直线l1的解析式 y=－3x+3，且l1 与x轴y轴分别交于A，B两点，将直线l1绕点O逆时针旋转90度得到直线l2， 直线l2与x轴，y轴分别交于D，C两点，两直线相交于E点．（1）A点的坐标为 ( )；B点的坐标为 ( )；（2）求直线l2的解析式； （3）求E点的坐标； （4）求四边形OAEC的面积． 54华南中学 必修115．某机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时)之间的函数关系如图所示，回答下列问题．（1）机动车行驶几小时后加油?（2）求加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系，并求自变量t的取值范围；（3）中途加油多少升?（4）如果加油站距目的地还有230千米，车速为40千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用?请说明理由．` 【课后思考】由方程|x?1|?|y?1|?1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？ 55 时)华南中学 必修12．2．2 二次函数的性质与图象【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．函数2．二次函数y＝ax2(a≠0)有如下性质：y＝ax2的对称轴是 轴，顶点是 ，当a&0时，抛物线开口 ，当a&0时，抛物线开口 ，|a|的值越大，开口越 ，反之越 ．3．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质：①函数的图像是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．②当 时，抛物线的开口向上，函数在 处取最小值ymin；在区间③当 时，抛物线的开口向下，函数在 处取最大值ymax=4．二次函数的三种表示形式：①一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)；②顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n (a≠0)；③两根式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)．bbb5．由抛物线的对称轴x??可知，对于定义域内的任意x，都有：f(??x)?f(??x) 2a2a2a一般地，如果函数f (x)对于定义域内的任意x，都有f (t+x)=f (t－x)，那么函数f (x)的图象关于直线x=t对称．【知识要点】【例1】将函数y??3x2?6x?1配方，并写出其对称轴和顶点坐标，画出图象并写出它的单调区间及最值． 【例2】已知函数f (x)＝3x2＋2x＋12 （1）若f (?)=1，不计算函数值，求f (0)的值； 3315 （2）不计算函数值，比较f (?)与f ()的大小． 44 56华南中学 必修1【例3】已知二次函数f(x)?x2?2x?3．（1）当x?[－2，0]时，求f (x)的最值；（2）当x?[－2，3]时，求f (x)的最值． 【例4】已知f (x)=x2＋ax＋3－a，若x?[－2，2]时，f (x)&0恒成立，求a的取值范围． 【基础练习】1．函数y= (m2+2m)xm2?m为二次函数，则m的取值为( )B．1 C．－2 D．不确定 A．1和－22．已知二次函数y?ax2?bx?c (其中a?0，b?0，c?0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为 ( )A．0 B．1 C．2 D．33．二次函数y= x2－4x－(k－8)与x轴至多有一个交点，则k 的取值范围是( )A．(－?，4) B．(4，+?) C．(－?，4] D．[4，+? )4．已知a、b、c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，若f (0)＝f (4)&f (1)，则 ( )A．a&0，4a+b=0 B．a&0，4a+b=0 C．a&0，2a+b=0 D．a&0，2a+b=05．如果函数f (x)＝x2＋bx＋c，对任意实数t都有f (2－t)=f (2+t)，那么( )A．f (2)&f (4)&f (1) B．f (2)&f (1)&f (4) C．f (1)&f (2)&f (4) D．f (4)&f (2)&f (1)6．如果函数f (x)=x2?2(a?1)x?2在区间(－∞，4]上减函数，则a的取值范围是 ( )A．a≤－3 B．a≤3 C．a≥－3 D．a≥37．若函数f (x)=(m－1)x2?(m2?1)x?1是偶函数，则在区间(－∞，0]上f (x) ( )A．可能是增函数，可能是常数函数 B．是增函数C．是常数函数 D．是减函数8．如图，二次函数y?ax2?bx?c的图象开口向上，图像经过点 (－1，2)和 (1，0)且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0； ④a+b+c=057华南中学 必修1其中正确的结论的序号是 ．9．关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程x2－ax+a－7=0的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程ax2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x2－2(a+4)x+2a2+5a+3=0的两个根都在区间[－1，3]上；（4）方程7x2－(a+13)x+2a－1=0的一个根在区间(0，1)上，另一个根在区间(1，2)上． 10．①关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m的范围． ②关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[0，4)内，求m的范围． ③关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m的范围． ④关于x的二次方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m的范围． 58华南中学 必修1 11．已知函数f (x)＝x2＋2ax＋5，x∈[－1，1]，求函数的最小值． 【巩固提高】1．函数f (x)＝－x2＋2x－3在闭区间[0，3]上的最大值、最小值分别为( )A．0，－2 B．－2，－6 C．－2，－3 D．－3，－62．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f (2＋t)＝f (2－t)成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是 ( )A．f (－1) B．f (1) C．f (2) D．f (5)3．二次函数f (x)＝a2x2－4x＋1的顶点在x轴上，则a的值为 ( )A．2 B．－2 C．0 D．±224．已知函数y＝x－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ( )A．[1，＋∞) B．[0，2] C．(－∞，2] D．[1，2]5．设b＞0，二次函数f (x)＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图中之一，则a的值为 () －1－5－15 D． 226．将抛物线f (x)＝2x2－4x＋1绕顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为( )A．f (x)=－2x2－4x＋1 B．f (x)=－2x2+4x－1 C．f (x)=－2x2+4x＋1 D．f (x)=－2x2+4x－37．函数f (x)＝－x2＋2x＋3在区间[－2，3]上是最大值与最小值的和为 ．8．若函数f (x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f (x)的单调减区间是 ．19．如果二次函数f (x)＝x2－(a－1)x＋5在区间，1)上是增函数，那么f (2)的取值范围是 ． 210．已知函数f (x)＝(x＋a)(bx＋a)(a，b为常数)的图象关于y轴对称，其值域为(－∞，4]，则a＝ b＝．b11．已知函数y＝ax和y＝－都是(0，＋∞)上的减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上的单调性为 ． x212．已知函数f (x)＝x－2x＋2．1 （1）求f (x)在区间3]上的最大值和最小值； 2（2）若g(x)＝f (x)－mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围． A．1 B．－1 C．59华南中学 必修1 13．已知二次函数f (x)＝x2＋ax＋b(a、b为常数)满足f (0)＝f (1)，方程f (x)＝x有两个相等的实数根．（1）求函数f (x)的解析式；（2）当x∈[0，4]时，求函数f (x)的值域． 14．当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根？ 15．函数f (x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式． 60华南中学 必修1【课后思考】2．2．3 待定系数法【自主预习】阅读课本，完成下列问题一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数。这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法【知识要点】【例1】已知f (x)是一次函数，且有2 f (2)－3 f (1)＝5，2 f (0)－f (－1)＝1，求这个函数的解析式． 【例2】用待定系数法求下列二次函数的解析式：（1）已知y?f(x)是二次函数，且图象过点(－2，20) ，(1，2)，(3，0)；（2）已知二次函数的图像的顶点坐标为(－1，－2)，且图象经过点(2，25)；（3）已知二次函数的图象与x轴交点坐标为(－2，0)，(3，0)，且函数图象经过点(－1，8)． 【例3】已知二次函数f (x)同时满足条件：（1）f (1+x)=f (1－x)；（2）f (x)的最大值为15；（3）f (x)=0的两根的立方和为17． 61华南中学 必修1 【基础练习】1．一次函数y?2x?1，在图像上有一点A(x，3)，则x的值为 ( )A．2 B．5 C．2．抛物线y?x2?2x?1的对称轴为 ( )A．直线x=1 B．直线x =－1 C．直线x=2 D． 直线x=－23．已知抛物线经过点(－3，2)，顶点是 (－2，3)，则抛物线的解析式为 ( )A．y??x2?4x?1 B．y?x2?4x?1 C．y?x2?4x?1 D．y??x2?4x?14．已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，则a，b的值分别为 ( )A．2，3 B．2，－3 C．－2，3 D．－2，－35．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3，1)，则函数的解析式为 ( )A．y＝2(x－2)2－1 B．y＝2(x＋2)2－1 C．y＝2(x＋2)2＋1 D．y＝2(x－2)2＋16．正比例函数的图象经过 (1，4)点，则此函数的解析式为7．二次函数的图象的顶点坐标为 (1，2)，且过 (0，0)点，则函数解析式为8．二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(2，0)，并且在y轴上的截距为4，则函数的解析式为9．已知f (x)是一次函数，且f[(x)]?4x?3，求f (x)． 10．已知二次函数的图象过点 (1，4)，且与x轴的交点为 (－1，0)和 (3，0)，求函数的解析式． 11．已知函数f (x)是一次函数，且有f [ f (x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式． 6211 D． 25华南中学 必修1 12．已知二次函数图象的顶点为(－1，－3)，图象与y轴交点为(0，－5)，求函数的解析式． 13．已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，求此二次函数的解析式． 14．已知二次函数满足f(3x?1)?9x2?6x?5，求f (x)． 【巩固提高】1．已知反比例函数过点 (2，3)，则函数表达式为2．已知f (x－1)=x2?2x?7，则f (x)＝3．已知f (x)是二次函数，满足f (0)=1，f (x+1)－f (x)=2x则f (x4．已知二次函数f(x)??x2?2(m?1)x?2m?m2，如果它的图象关于y轴对称，则m的值为 ( )A．1 B．0 C．2 D．－15．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向下平移h个单位，沿x轴向左平移k个单位得到y＝x2－2x＋3的图象，则h，k的值分别为 ( )A．－2，－1 B．2，－1 C．－2，1 D．2，16．若抛物线y?x2?6x?c的顶点在x轴上，那么c的值为 ．7．若一次函数y＝f (x)在区间[－1，3]上的最小值为1，最大值为3，则f (x)的解析式为．【课后思考】设f (x)为定义在实数集上的偶函数，当x??1时，图象为经过点 (－2，0)，斜率为1的射线，又?1?x?1时图象是顶点为 (0，2)，且过点 (－1，1)的一段抛物线，求函数的表达式． 63华南中学 必修1 2．3 函数的应用(Ⅰ)【知识要点】【例1】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km．火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开北京2h时火车行驶的路程． 【例2】某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司与提高档次，并提高租金．如果每间日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其它因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 【例3】某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？ 64华南中学 必修1 【基础练习】1．一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( )A．y=2t B．y=120t C．y=2t (t≥0)2．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：D．y=120t (t≥0)A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋23．将进货单价为8元的某商品按10元一个售出时，能卖出200个，已知这种商品每涨价1元，其销售量减少20个，为了获得最大利润，售价应定为( )A．11元 B．12元 C．13元 D．14元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A．3 m B．4 m C．6 m D．12 m5注：“累积里程”指汽车从出厂开始累积行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A．6升 B．8升 C．10升 D．12 升6．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元．7．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是．8．建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底造价为120元/平方米，池壁造价为80元/平方米，那么水池的总造价y(元)与池底宽x(米)之间的函数关系式是 ． 【巩固提高】1．某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校．在图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( ) A B C D2．一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形(如图)，则围成的矩形最大总面积为______．65华南中学 必修1 3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图所示．现给出下面说法，其中正确的说法是①前5分钟温度增加的速度越来越快②前5分钟温度增加的速度越来越慢③5分钟以后温度保持匀速增加④5分钟以后温度保持不变A．①④ B．②④ C．②③ D．①③4．某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元．（1）若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？（2）求出总运费最低的调运方案及最低的运费． 5．大连市的一家报刊摊点，从报社买进《半岛晨报》的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸可以以每份0.10元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元? 66华南中学 必修1 ，t?N??t?20，0?t?256．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝?，该商???t?100，25?t?30，t?N品的日销售量Q(件)与时间t (天)的函数关系是Q＝－t＋40(0&t≤30，t∈N)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？ 2．4．1 函数的零点【自主预习】阅读课本，完成下列问题一般地，如果函数y＝f (x)在实数a处的值等于零，即 ，则 叫做这个函数的零点，在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 点．【知识要点】【例1】下列函数中，没有零点的是 ．①f (x)=x2； ②f (x)=x； ③f (x)=1； ④f (x)=x2+x． x【例2】判断下列函数是否存在零点，若有，则求出零点．（1）f (x)=ax +1； （2）f (x)=x2－x－6； （3）f (x)=x2－5x－14； （4）f (x)=(x－1)(x2－3x－10)． 67华南中学 必修1【例3】求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出它的图象． 【基础练习】1．函数y=x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( )A．1，(1，0) B．(1，0)，0 C．(1，0)，1 D．1，12．函数f (x)=x3?2x2?x?2的零点是( )A．1，2，3 B．－1，1，2 C．0，1，2 D．－1，1，－23．若函数f (x)在[0，4]上的图像是连续的，且方程f (x)=0在(0，4)内仅有一个实数根，则f (0)×f (4)的值(A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断4．函数f?x??x?1x的零点个数为( )个．A．0 B．1 C．2 D．35．若函数y?ax?1在(0，1)内恰有一解，则实数a的取值范围是( )A． a??1 B． a??1 C． a?1 D． a?16．函数y?2x2?4x?3的零点个数( )A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 不能确定7．函数y??x2?8x?16在区间[3，5]上( )A．没有零点 B．有一个零点 C．有2个零点 D．有无数个零点8 ．函数f(x)?x2?5x?6的零点是9．已知函数f(x)图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点． 10．已知函数f (x)＝2(m－1)x2－4mx+2m－1（1）m为何值时，函数图像与x轴有一个公共点；（2）如果函数的一个零点为2，求m的值． 68 )华南中学 必修1 【巩固提高】1．函数f (x)＝x?4x的零点个数为 ( )A．0 B．1 C．2 D．无数个2．若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )A．若f (a)f (b)&0，不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0B．若f (a)f (b)&0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f (c)＝0C．若f (a)f (b)&0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0D．若f (a)f (b)&0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝03．若函数f (x)＝mx2＋8mx＋21，当f (x)&0时，－7&x&－1，则实数m的值为 ( )A．1 B．2 C．3 D．44．若函数f (x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是 ( )A．0，－12 B．0，12 C．0，2 D．2，125．f (x)＝x?1x，方程f (4x)＝x的根是( )A．－2 B．2 C．－0.5 D．0.56．下列函数不存在零点的是( )A．y?x?1x B．y? C．y???x?1(x?0)?x?1(x?0) D． y???x?1(x?0)?x?1(x?0)7．若函数f(x)?x2?2x?a没有零点，则实数a的取值范围是( )A．a?1 B．a?1 C．a?1 D．a?18．设函数f (x)对x?R都满足f(3?x)?f(3?x)，且方程f (x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为(A．0 B．9 C．12 D．189．已知一次函数f (x)＝2mx＋4，若在[－2，0]上存在x0使f (x0)＝0，则实数m的取值范围是10．若函数f (x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点 ．11．已知函数f (x)＝x3－4x（1）求函数的零点并画函数的图象；（2）解不等式xf(x)?0． 69 )华南中学 必修1 【课后思考】若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．2．4．2 二分法【自主预习】阅读课本，完成下列问题如果函数y=f (x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a)f (b)&0，则这个函数在这个区间上， 有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使 ．如果函数图象通过零点时 x轴，则称这样的零点为 零点，如果没有 x轴，则称这样的零点为 零点．用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f (a0)与f (b0，即f (a0)f (b00．零点位于区间[a0，b0]中．第二步：取区间[a0，b0]的．计算f (x0)和f (a0)，并判断：①如果f (x0)=0，则x0就是f (x)的零点，计算终止；②如果f (a0)f (x0)&0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1=a0，b1=x0；③如果f (a0)f (x0)&0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1=x0，b1=b0．第三步：取区间[a1，b1]的，则此中点对应的坐标为计算f (x1)和f (a1)，并判断：①如果f (x1)=0，则x1就是f (x)的零点，计算终止；②如果f (a1)f (x1)&0，则零点位于区间[a1，x1]中，令a2=a1，b2=x1；③如果f (a1)f (x1)&0，则零点位于区间[x1，b1]中，令a2=x1，b2=b1；,,,,继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f (x)的近似零点，计算终止．【知识要点】【例1】利用计算器，求方程x2－2x－1=0的一个近似解(精确到0.1) 【例22则使函数值大于0的自变量的取值集合是 【例3】用二分法求函数f (x)=x3－3的一个正实数零点(精确到0.01) 70
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