&p&姚期智在1982年提出的&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Yao%2527s_Millionaires%2527_Problem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&百万富翁问题&i class=&icon-external&&&/i&&/a&应该是开创了&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Secure_multi-party_computation& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&安全多方计算&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的先河，后面涌现了茫茫多的协议算法，比较常见的是利用&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Homomorphic_encryption& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&同态加密&i class=&icon-external&&&/i&&/a&来实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&举个实际例子，比如&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Paillier_cryptosystem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Paillier加密算法&i class=&icon-external&&&/i&&/a&就具有比较好的同态属性：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=E%28m_1%2Cr_1%29+%5Ccdot+E%28m_2%2Cr_2%29+%3D+E%28m_1%2Bm_2%2Cr_1%2Br_2%29& alt=&E(m_1,r_1) \cdot E(m_2,r_2) = E(m_1+m_2,r_1+r_2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=E%28m%2Cr%29%5EC%3DE%28m+%5Ccdot+C%2Cr+%5Ccdot+C%29& alt=&E(m,r)^C=E(m \cdot C,r \cdot C)& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&我们可以用它来设计具体的比富协议(假设 Alice 财富是 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& ，Bob的财富是 &img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& )：&/p&&p&第一步：Bob生成两个非常大的随机正整数 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& ，但是并不公开只有他自己知道；&/p&&p&第二步：Alice生成一对属于自己的密钥(公钥是pub，私钥是pri)，用公钥加密自己的财富的到&img src=&///equation?tex=E%28a%29& alt=&E(a)& eeimg=&1&& ，并将它和公钥一起公布出去；&/p&&p&第三步：Bob得到Alice公布出来的数据以后，首先用Alice公钥计算出&img src=&///equation?tex=E%28b+%5Ccdot+x%2By%29& alt=&E(b \cdot x+y)& eeimg=&1&&，然后用Paillier算法的同态属性计算出&img src=&///equation?tex=E%28a+%5Ccdot+x%2By%29+%3D+E%28a%29%5Ex+%5Ccdot+E%28y%29& alt=&E(a \cdot x+y) = E(a)^x \cdot E(y)& eeimg=&1&&，并将这两个结果也公布出去；&/p&&p&第四步：Alice得到Bob公布出来的计算结果以后，用自己的私钥分别反解出 &img src=&///equation?tex=A+%3D+a+%5Ccdot+x%2By& alt=&A = a \cdot x+y& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=B+%3D+b+%5Ccdot+x%2By& alt=&B = b \cdot x+y& eeimg=&1&& 的值。Alice虽然对 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& 一无所知，但她只要比较 &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 的大小就行了。而对于Bob来说，他对
&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 也是一无所知，如果他也想要知道相对大小，要么Alice告诉他，要么把角色对换重新执行一遍协议即可。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个方法有效的前提是Alice和Bob都会诚实地执行协议，关于如何防止他们作弊而使得比较结果是可验证的，可以参考&a href=&///?target=https%3A//pdfs.semanticscholar.org/2b34/9c331a23127a70fca57c931f46d09de13a5e.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&李向阳他们在2013年发表的一篇论文&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，当然具体细节会比上述协议稍微复杂一些。&/p&&p&&br&&/p&&p&这种不泄漏自己信息比较大小的算法有什么实际应用？一个很直观的应该就是在线拍卖，所有的竞价方希望决出一个最高竞价(或者第二竞价)但是并不希望频繁泄漏自己的竞价策略。另一方面来讲，比较大小只是同态加密的一个非常非常小的应用方向，很明显如果拥有全同态的加密系统，我们可以很放心地把数据加密然后交给别人计算，然后把他计算出来的结果解密即可而不用担心原始数据泄露。不过很遗憾Paillier加密系统不具备这种性质，不过处理比富问题刚好够用了。&/p&&p&&br&&/p&&p&最后写了段简单的Python程序来模拟了整个过程：&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-python&&&span class=&c&&#!/usr/bin/env python&/span&
&span class=&kn&&from&/span& &span class=&nn&&paillier&/span& &span class=&kn&&import&/span& &span class=&o&&*&/span&
&span class=&kn&&from&/span& &span class=&nn&&primes&/span&
&span class=&kn&&import&/span& &span class=&o&&*&/span&
&span class=&c&&# Bob&/span&
&span class=&n&&b&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&2333333&/span&
&span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&generate_random&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&100&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&y&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&generate_random&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&128&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&c&&# Alice&/span&
&span class=&n&&a&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&2578466&/span&
&span class=&n&&pri&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&pub&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&generate_keypair&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&512&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&E_a&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&encrypt&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&pub&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&a&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&k&&print&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&s&&&Alice: pub =&&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&pub&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&k&&print&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&s&&&Alice: E(a) =&&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&E_a&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&c&&# Bob&/span&
&span class=&n&&E_bxy&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&encrypt&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&pub&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&b&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&n&&y&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&E_axy&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&e_add_const&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&pub&/span&&span class=&p&&,&/span&
&span class=&n&&e_mul_const&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&pub&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&E_a&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&),&/span& &span class=&n&&y&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&k&&print&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&s&&&Bob: E(b*x+y) =&&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&E_bxy&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&k&&print&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&s&&&Bob: E(a*x+y) =&&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&E_axy&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&c&&# Alice&/span&
&span class=&n&&bxy&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&decrypt&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&pri&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&pub&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&E_bxy&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&axy&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&n&&decrypt&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&pri&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&pub&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&E_axy&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&k&&print&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&s&&&Alice: b*x+y =&&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&bxy&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&k&&print&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&s&&&Alice: a*x+y =&&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&axy&/span&&span class=&p&&)&/span&
&/code&&/pre&&/div&&p&&br&&/p&&p&以下是输出打印(应该很直观了吧)：&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&Alice: pub = &PublicKey: &
Alice: E(a) = 6109694
Bob: E(b*x+y) = 92478
Bob: E(a*x+y) = 703313
Alice: b*x+y = 70
Alice: a*x+y = 63
&/code&&/pre&&/div&
姚期智在1982年提出的应该是开创了的先河，后面涌现了茫茫多的协议算法，比较常见的是利用来实现。 举个实际例子，比如就具有比较好的同态属性：E(m_1,r_1) \cdot E(m_2,r_2) = E(m_1+m_2,r_1+r_2)E(m,r)^…
&img src=&/50/v2-1c7df0ccca29b00d9da43da_b.png& data-rawwidth=&617& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&617& data-original=&/50/v2-1c7df0ccca29b00d9da43da_r.png&&&p&大家好，大家期待已久的LaTeX笔记终于更新了！&/p&&p&趁热打铁，数学建模竞赛刚刚结束十几个小时，我就赶出了这篇文章。&/p&&p&看到标题之后，我相信有很多正在阅读这篇文章的人，已经有相当多的mmp要说了。并且我觉得还有很多和我一样的successful participants可能现在还在睡觉……&/p&&p&数学建模竞赛可以说是大学期间参加的范围最广，耗费精力最大，同时也是最高级别的一场理工科的赛事了。今年题目开始越来越多的和物理，机械，集成等方向打交道，因此如果队友有在这些方面涉及的，会容易很多。&/p&&p&当然了，容易很多的意思，只是你可能心态不会爆炸而已，&b&该忙的还是要忙的&/b&……&/p&&p&我在比赛过程负责了80%左右的论文和40%左右的代码（负责写C++），我的队友都是比我大一届的学长，一个是学通信工程的，一个是学建筑的。结果学通信的全程carry模型，学建筑的主要写代码（MATLAB）……我一个学数学的，数学没学好，建模也没建，所以来这个比赛我的意义估计就是划水吧。&/p&&p&Anyway虽然暑假期间培训巨水无比，并且我写的统计学的文章也没有更完，没有发挥太大的作用，但是建模的三天期间，我们真实的感受到了这个比赛的压力，也算是治好了我多年的懒癌吧，作用还是很大的。&/p&&p&福建赛区的话一般是在十二月出公示名单，全国的名单也要在十一月底公布，因此这个比赛打的怎么样，这个也就没有太大的企盼的意义了，我们三人在建模过程，每天也只睡了四个多小时（当然了，这是我，队友的话大概三个多小时），并且可以说各种思想方法都甩了上去，论文也改了好几遍。这样的话，没有太大的遗憾了（虽然我们发现还是漏了一点东西），拿不到就拿不到了（至少要给个S奖给我吧，结果发现国赛没有……），默默接受它就好。Cest la vie.&/p&&p&这一部分的专题内容是LaTeX的&b&专题部分&/b&，因为在写这一部分的内容的时候，还没有对格式要求太多，所以为了整个教程的系列完整性，我并没有再在文章标题上下功夫。但是作为专题，它和之前我写的系列教程显然是不同的，专题部分的内容不会按照逻辑一条线往下理，而是&b&一个部分一个部分的按照知识点的方式&/b&去叙述。各部分之间可以独立开，因此这篇文章你根本&b&不需要从头看到尾&/b&，当作note去查即可。&/p&&p&这篇文章会根据前面七篇的完整教程，在数学建模比赛的背景下补充一些之前没有提到的知识点。&/p&&p&好的，引入就写到这里吧。&/p&&p&提供之前笔记的目录：&/p&&ul&&li&&a href=&/p/& class=&internal&&LaTeX笔记（一）&/a&&/li&&li&&a href=&/p/?refer=xmucpp& class=&internal&&LaTeX笔记（二）&/a&&/li&&li&&a href=&/p/?refer=xmucpp& class=&internal&&LaTeX笔记（三）&/a&&/li&&li&&a href=&/p/& class=&internal&&LaTeX笔记（四）&/a&&/li&&li&&a href=&/p/& class=&internal&&LaTeX笔记（五）&/a&&/li&&li&&a href=&/p/& class=&internal&&LaTeX笔记（六）&/a&&/li&&li&&a href=&/p/& class=&internal&&LaTeX笔记（七）&/a&&/li&&/ul&&p&下面我们开始正文，因为没有逻辑性，所以专题文章也&b&没有目录&/b&。&/p&&h2&1.文档类别&/h2&&p&不同于我们之前花大力气说明的article和book类，数学建模大赛提供了专门的文档类cumcmart，一般来说每个学校都会提供数学建模比赛使用的LaTeX模板，文件夹里面会有很多支撑这个文档类运行的材料，不要弄丢它们。&/p&&p&也就是说，数学建模的文章是在模板里去填东西，当然只是一小部分了。&/p&&p&这地方提两点：&/p&&ol&&li&提交支撑材料的时候不要提交tex，有的地方tex带有学校信息，算违规。&/li&&li&学校弄的模板往往不太友好，编码规范往往一塌糊涂……这就意味着TeXStudio在这里会报废……因此我全程都是使用了winedt……&/li&&/ol&&h2&2.宏包问题&/h2&&p&建模比赛的模板会使用大量你以前从来没见过的宏包（我也没见过），一般来说不用动它就好，到排到一个地方的时候去多关注一下就行了。&/p&&h2&3.换行&/h2&&p&我们在之前提到，换行的命令是\\，但是在建模中，因为我们排版的是中文的论文，因此我们推荐是\par，这个命令可以做到换行+空两格的效果，符合中国人的习惯。&/p&&h2&4.三线表&/h2&&p&我们之前表格的时候没有提到三线表，但是这个在建模中是必需的，诸如符号说明和最终结果的呈现，考虑到规范都是使用三线表的。&/p&&p&这个部分的代码如下&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-tex&&&span&&/span&&span class=&k&&\begin&/span&&span class=&nb&&{&/span&longtable&span class=&nb&&}&/span&[htbp!]&span class=&nb&&{&/span&l|lll&span class=&nb&&}&/span&
&span class=&k&&\toprule&/span&
符号&span class=&nb&&&&/span&解释&span class=&nb&&&&/span&&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&k&&\midrule&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\delta&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&控制器单元之间的距离&span class=&s&&$&/span&&span class=&o&&(&/span&&span class=&nb&&mm&/span&&span class=&o&&)&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&D&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&圆的直径&span class=&s&&$&/span&&span class=&o&&(&/span&&span class=&nb&&mm&/span&&span class=&o&&)&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\Delta&/span&&span class=&nb&& N&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&附件中上边界与下边界的行坐标之差(格)&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&m&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&总计投影数据组数&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&I&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&射线强度&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&I_&/span&&span class=&m&&0&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&入射X光强度&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&l&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&穿透物体厚度&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\mu&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&衰减系数&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\beta&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&处理前的吸收率&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\beta&/span&&span class=&nb&&^{'}&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&处理后的吸收率&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\alpha&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&增益系数&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\Delta&/span&&span class=&nb&& n_i&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&附件中第i组数据的上边界与下边界的行坐标之差(格)&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\theta&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&旋转角&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&A&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&垂足值&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&S&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&投影点数值之和&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&a&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&椭圆长半轴长度&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&b&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&椭圆短半轴长度&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&s&&$&/span&&span class=&nv&&\varepsilon&/span&&span class=&s&&$&/span&&span class=&nb&&&&/span&误差值&span class=&k&&\\&/span&
&span class=&k&&\bottomrule&/span&
&span class=&k&&\end&/span&&span class=&nb&&{&/span&longtable&span class=&nb&&}&/span&
&/code&&/pre&&/div&&p&显示的结果如下&/p&&img src=&/v2-2b2dbf6cdd9c7d8f3f2c_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&1101& data-rawheight=&1152& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1101& data-original=&/v2-2b2dbf6cdd9c7d8f3f2c_r.png&&&p&（能看出我们做的哪一题不？）&/p&&p&我们对于命令做一些解释&/p&&ul&&li&longtable环境：生成长表格，之后解释&/li&&li&\toprule,\midrule,\bottomrule，生成三线表的三个必需命令，分别代表生成顶线，中间线和底线，三线表的名字就这么来的。&/li&&li&三线表命令环境需要引入booktabs宏包&/li&&li&longtable也要引入longtable宏包&/li&&/ul&&p&其余的内容如果不明白，就需要到前面查对应的笔记了。&/p&&h2&5.长表格&/h2&&p&表格在tex中被认为是盒子结构，因此形状固定，不够灵活，所以在表格需要跨页的时候就会非常麻烦。因此长表格也是很重要的结构，它可以轻松跨页，很灵活。&/p&&p&事实上，生成长表格的时候，只需要把环境改为longtable，按照图形的放置方式设置即可，内部表格的设计方法和普通表格没有区别。&/p&&p&当然了，它需要longtable宏包。&/p&&p&长表格示例如下&/p&&img src=&/v2-7ee6d61a07a6bba5c112e_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&1381& data-rawheight=&759& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1381& data-original=&/v2-7ee6d61a07a6bba5c112e_r.png&&&p&在上一个部分中已经贴出了长表格的代码，所以这里不再举例。&/p&&p&&b&注意&/b&：长表格因为要处理跨页，所以需要编译3次才可使表格正常运行。&/p&&h2&6.[htbp!]&/h2&&p&&b&这是啥？&/b&&/p&&p&使用过figure环境的人都知道，这玩意就和CSS里面的浮动一样，极度不友好。因此这个命令很简单，就是规定图的位置，让它不要乱跑。&/p&&p&htbp!是一个可选参数，因此放到了中括号内，代码规范如下&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&&span&&/span&\begin{figure}[htbp!]
\end{figure}
&/code&&/pre&&/div&&h2&7.table与tabular&/h2&&p&顾名思义，这两个环境都与表格有关。但是我们在说表的时候只说过tabular环境，并且在之后会有一个必选参数，用于标记表格的每一列的对齐等规范。但是table呢？&/p&&p&table的目的就是把&b&表格给图片化&/b&。也就是说，被table环境框起来的东西，会被认为是图片，因此也就适用于上面刚说的[htbp!]参数。&/p&&p&在建模中，大量的插入表格也是很常见的，因此这个方法可以让表格也更加的正常。&/p&&p&当然了，也可以在tabular环境中加入\centering命令控制表格中心对齐。&/p&&p&&b&注意&/b&：longtable环境兼有这两个功能，它需要提供列对齐规范，但它其实是个图片。&/p&&p&&b&注意&/b&：tex内部对图片有计数器的处理，也就是说如果你插入标题(\caption)，就会有诸如figure 1,figure 2这样的计数器出现，如果表格被图片化了也会如此(table 1,table 2)，&b&但是&/b&！longtable和table的表格计数器不同，因此个人推荐论文中如果出现长表格，最好所有的表格都使用长表格，如果你不会调计数器的话。&/p&&h2&8.公式标号&/h2&&p&论文规范中，每一步的数学公式都是需要单独列一行，并且在之后标记序号的。但是传统的行间公式是显然不够的，因此需要在行间公式外套一层equation环境（&b&这里是错误的&/b&！实际是把行间公式的符号\[\]换成equation，&b&感谢评论区指正&/b&）。&/p&&p&不过也有一种办法是用\[和\]去套equation环境，我试过了，好像都能出结果。&/p&&p&奇怪的是，&b&它会报错，但是跳过错误之后，运行的结果完全正确&/b&……我还没有找到答案，大佬们看到这边可以留意下这个问题，征解！&/p&&h2&9.多行公式&/h2&&p&这个需要使用cases环境，并且这个环境本身需要在数学公式的运行环境下。&/p&&p&提供一个例子&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&&span&&/span&\[
\begin{equation}
\begin{cases}
x \cos \theta_1+y \sin \theta_1 =d_1\\
x \cos \theta_2+y \sin \theta_2 =d_2\\
\end{cases}
\end{equation}
&/code&&/pre&&/div&&p&显示的结果如下&/p&&img src=&/v2-fe42fa29b4d6dc50bfd8900_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&1112& data-rawheight=&195& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1112& data-original=&/v2-fe42fa29b4d6dc50bfd8900_r.png&&&p&（从论文中摘抄下来的，所以标号是(6)）&/p&&h2&10.多图并排&/h2&&p&TeX图表被人诟病的原因就是浮动，很难控制，同时没有办法并排放。但是通过minipage环境可以解决这个问题。&/p&&p&从论文中摘抄下来的一部分如下&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&&span&&/span&\begin{figure}[htbp!]
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%\begin{figure}[htbp!]
\centering
\includegraphics[width=3.01in]{figure_14.png}
\caption{附件3的三维图形}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%\end{figure}\par
%\begin{figure}[htbp!]
\centering
\includegraphics[width=3.01in]{figure_15.png}
\caption{附件5的三维图形}
\end{minipage}
%\end{figure}\par
\end{figure}
&/code&&/pre&&/div&&p&显示的结果如下&/p&&img src=&/v2-b7dfc67cde18_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&1693& data-rawheight=&552& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1693& data-original=&/v2-b7dfc67cde18_r.png&&&p&这里解释一下&/p&&ul&&li&minipage环境内的所有操作都和figure是相同的，但是一系列的minipage需要在外面加一层figure环境。&/li&&li&minipage之后有一个必选参数是来规定这个小页面的大小的。设置好之后，如果图片比这个要宽，多余部分会被截去。&/li&&li&\hfill用来让一行的各物件均匀分布。具体可以查看之前的第4-5节笔记。&/li&&/ul&&p&&b&注意&/b&：如果插入2行2列的四张图片，那么需要使用\hfill,\vfill,\hfill（想一想为什么这么排）&/p&&h2&11.常见又陌生的希腊字母和公式符号&/h2&&p&常见在书本，陌生在命令。这里列举几个之前没有提到的&/p&&ul&&li&\Delta。所有希腊字母都是这个规律，大写的话开头命令的字母变为大写。&/li&&li&\varepsilon。用于表示误差的艾普西隆（ε），但是！注意，我们使用的是&b&变体&/b&！如果要使用变体希腊字母，开头要加var&/li&&li&\binom{}{}。这个用于生成组合数，比如\binom{a}{b}就是 &img src=&/equation?tex=%5Cbinom%7Ba%7D%7Bb%7D& alt=&\binom{a}{b}& eeimg=&1&& ，它表示C(b,a)&/li&&/ul&&h2&12.小结&/h2&&p&tex是讲不完的！这篇文章只是把大概的排版问题做了梳理，但是实际建模中，诸如符号等命令细节内容可能依然是之前没有看过的，这个时候，&b&百度，wiki都是你的最佳选择&/b&。&/p&&p&希望大家明年建模愉快！&/p&&p&就先写到这里了，希望大家支持点赞收藏赞赏~比心~~&/p&&p&&br&&/p&&p&——————————————————广告————————————————————&/p&&ul&&li&CPP项目组微信公众号：&/li&&/ul&&img src=&/v2-df6f64f37e8d_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-df6f64f37e8d_r.jpg&&&p&———————————————————继续广告—————————————————&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-7fbfe9ffc8f4e1706bcedf_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&1641& data-rawheight=&1094& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1641& data-original=&/v2-7fbfe9ffc8f4e1706bcedf_r.png&&&p&想要更多方面的知识分享吗？欢迎关注专栏：&a href=&/c_& class=&internal&&一个大学生的日常笔记&/a&。我鼓励和我相似的同志们投稿于此，增加专栏的多元性，让更多相似的求知者受益~&/p&
大家好，大家期待已久的LaTeX笔记终于更新了！趁热打铁，数学建模竞赛刚刚结束十几个小时，我就赶出了这篇文章。看到标题之后，我相信有很多正在阅读这篇文章的人，已经有相当多的mmp要说了。并且我觉得还有很多和我一样的successful participants可能现在…
&img src=&/50/v2-82a0b123d45cd84e67aed32040bff350_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&667& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/50/v2-82a0b123d45cd84e67aed32040bff350_r.jpg&&&blockquote&这场戏最满的摇滚之旅，我不想停下来。&/blockquote&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-d70c46f8d7a3ab_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&201& data-thumbnail=&/50/v2-d70c46f8d7a3ab_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/50/v2-d70c46f8d7a3ab_r.gif&&&p&&br&&/p&&p&说起音乐剧，可能有人会马上有刻板印象浮现眼前，直接将各自老牌音乐剧桥段代入。当然，经典的老牌音乐剧自然有其经久不衰的魅力所在，但对其不感冒的人也就直接略过。但其实，音乐剧的风格和主题极其丰富，如果有留意这几年托尼奖那些入围及获奖作品的话，真的是恨不得在宽街扎帐篷住下。这么多好剧，这么多让人赞不绝口的音乐，怎么看得够？根本不是几个刻板印象就能概括完的。而且，音乐剧还可以非常摇滚！&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-dd10afa915f_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&259& data-thumbnail=&/50/v2-dd10afa915f_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/50/v2-dd10afa915f_r.gif&&&p&&br&&/p&&p&顺便吐槽一下，为什么有人会把音乐剧和宝莱坞歌舞混为一谈？比如我在电影院看音乐剧电影，主角开始唱歌时我身旁经常有人会开始说：“怎样演着演着就唱了？跟印度片似的。”额......因为您看的是音乐剧啊。详细阐述音乐剧和印度宝莱坞歌舞的篇幅怕是不足的了，今天先来了解一下这些摇滚的音乐剧。&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&American Idiot&/b&&/blockquote&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-aa7da5d6bb11ae66f01d3e9_b.png& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&286& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-aa7da5d6bb11ae66f01d3e9_r.png&&&p&&br&&/p&&p&早在正值伊拉克战争的2004年，Green Day发行了反战主题强烈的专辑《American Idiot》。Green Day在创作这张专辑时摒弃了第一人称视角，以虚拟角色的角度来叙述音乐故事，最终这张专辑成了一张富有剧情张力的概念专辑。Spring Awakening的导演Michael Mayer在听到这张专辑后很快便与Green Day联系，而主唱Billie Joe Armstrong亦有意将专辑搬到舞台上，于是同名音乐剧《American Idiot》就此成型。&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-ea0e308e560d4bbf645931_b.png& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&312& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-ea0e308e560d4bbf645931_r.png&&&p&&br&&/p&&p&音乐剧《American Idiot》中的歌曲大多数来自Green Day的专辑《American Idiot》，还有部分来自《21th Century Breakdown》。因为歌曲与剧情直接环环相扣，音乐剧与专辑的曲目顺序都是一样的。Green Day主唱Billie Joe Armstrong更亲自上阵演出。&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-d3a75c91ae51abc425f7c473dfd62a83_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&389& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-d3a75c91ae51abc425f7c473dfd62a83_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&这部音乐剧讲的是三个一起长大的好朋友Johnny、Will、Tunny在纷乱的国际政治大环境中各自不同的唏嘘命运。三人厌倦了当时一成不变的生活而想要背井离乡打拼，然而却走上了不同的人生路。在经历无数十字路口的挣扎后，三人最终在家乡重逢，并且学会了接受生命中的失去与痛苦，并拥抱现实，才能获得救赎。&br&&/p&&img src=&/50/v2-885a4dfd9ce3f80eb3d9_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&390& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-885a4dfd9ce3f80eb3d9_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&《American Idiot》音乐剧除了延续专辑的反战理念之外，更一针见血地反映了当下年轻人们的迷惘与孤独。在当年斩获两项托尼奖更入围了最佳音乐剧，随后其百老汇卡司录制的原声带还获得了格莱美最佳音乐剧专辑。而Green Day的同名专辑则获得了格莱美年度最佳专辑。而Green Day与《American Idiot》百老汇原班卡司在第52届格莱美奖表演的《21 Guns》也是相当震撼。&/p&&p&&a href=&/?target=https%3A///iframe/preview.html%3Fvid%3Dc1322wtf6jf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击查看《21 Guns》格莱美现场演出视频&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&Rock of Ages&/b&&/blockquote&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-a995ddba4bebcff5a59e5b_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&453& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&/50/v2-a995ddba4bebcff5a59e5b_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&《Rock of Ages》是百老汇近年来颇为经典的一部音乐剧，由Chris D'Arienzo所著的同名小说改编，其选曲有大量让人根本停不下来的80年代经典摇滚歌曲。因此，这部音乐剧风靡全球几大洲，在许多国家及地区都有本土班底排练并公演。&br&&/p&&img src=&/50/v2-48441baf9aeb1aef375be50_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&349& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-48441baf9aeb1aef375be50_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&这部音乐剧的剧情正好被剧中选曲之一——Journey的《Don't Stop Believin'》所概括，主线讲的是到好莱坞追寻摇滚梦的小镇女孩Sherrie和城市男孩Drew坠入爱河并一起摸爬滚打的故事。&/p&&img src=&/50/v2-76a435c8b5cb98a64093a3_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/50/v2-76a435c8b5cb98a64093a3_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&虽然乍一看有点俗套，但在其颇为跌宕起伏且笑点不断的剧情（偶尔还有现场飙车的成人段子）、有血有肉的角色刻画、让人热血沸腾的摇滚金曲等等的衬托下，这部音乐剧仍是一部让观众欲罢不能之作。&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-328b539c2f6ffbfd053ecd3a25c0ad0b_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&387& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-328b539c2f6ffbfd053ecd3a25c0ad0b_r.jpg&&&p&&i&电影《Rock of Ages》海报&/i&&/p&&p&&br&&/p&&p&在2012年，这部音乐剧更被改编成了电影全球上映，演员阵容更是有“阿汤哥”Tom Cruise、Mary J. Blige、Catherine Zeta-Jones等群星助阵，但票房和口碑却不太理想。综合各路影评看来，电影版的槽点主要在于太“硬”了，细腻不足。过于注重展现原版摇滚主题的激情，却弱化了其本身的其他戏剧元素，后半段时女主的剧情被削弱改动过多，而且音乐剧中男女主角经典对唱《High Enough》在电影里竟被咔嚓掉了。&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&We Will Rock You&/b&&/blockquote&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-cba5a07bd382f80aad9c977_b.jpg& data-rawwidth=&447& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&447& data-original=&/50/v2-cba5a07bd382f80aad9c977_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&与前面介绍的两部剧一样，《We Will Rock You》同样是选用知名歌手、乐团的歌曲加上原创的剧情改编而成的音乐剧。这部伦敦西区出品的音乐剧看剧名就知道致敬的是传奇摇滚乐队Queen，全剧的选曲也都是Queen的经典曲目。&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-df8b954f403b98ef71ca92c_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&424& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/50/v2-df8b954f403b98ef71ca92c_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&其实这部音乐剧刚上演时获得的恶评不少，剧评人们将火力集中在该剧的舞台效果太过华丽喧哗但剧本身却原创性不足，剧本空洞缺乏内涵。然而观众对于这种如同看演唱会般可以全程跟唱的点唱机音乐剧却很吃香，2002年此剧上演时原本计划只演四年，但因为太受欢迎所以档期一再延长，演出的足迹遍布世界各地，去年还去澳洲开了巡演。&/p&&p&要你看着歌单猜剧情的话，你一定猜不到，因为这部音乐剧其实是科幻主题。其剧情设定在300年后，地球被虚拟软件统治，禁止了人类演奏音乐的权利，人们等待预言中的超新星诞生，用音乐团结起反抗军，将人类从统治者魔爪中拯救出来。&br&&/p&&img src=&/50/v2-b938b52f2a22f01abb7bf4a_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&390& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/50/v2-b938b52f2a22f01abb7bf4a_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&？？？？？？？？是啊，我看到剧情大纲时也是一脸疑惑。但不能否认的是其音乐实在是太震撼，以至于全程看下来之后仿佛剧情也没有什么不对的地方。最后人类用音乐战胜独裁时宛如万人演唱会大合唱般的大团圆结局，足以让观众感动回味。摇滚本身也是自由的象征，不是吗？&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&Hedwig And The Angry Inch&/b&&/blockquote&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-17de0e7a2180f1ddbe432bc896cfea34_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&236& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-17de0e7a2180f1ddbe432bc896cfea34_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&这部如今还在热演中的音乐剧《Hedwig And The Angry Inch》可以说是一个传奇。John Cameron Mitchell亲自编剧、导演，并与Steven Trask共同创作音乐，然后再亲自出演主角。音乐剧在1998年时于外百老汇首演，2000年登上伦敦西区，2001年由百老汇原班人马将其改编为电影拍摄并上映，也就是不少观众熟悉的——《摇滚芭比》。&br&&/p&&img src=&/50/v2-a18c5e502fb4cf965aa5b9b1cec99ea9_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&349& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-a18c5e502fb4cf965aa5b9b1cec99ea9_r.jpg&&&p&&i&电影《摇滚芭比》剧照 &/i&&/p&&p&&br&&/p&&p&百老汇音乐剧版的卡司阵容非常强大，除了John Cameron Mitchell本尊之外，还有许多著名男歌手、男演员也先后惊艳登场出演过主角Hedwig。比如大家熟悉的“巴尼叔叔”Neil Patrick Harris就曾在2014年的3月29日到8月17日这段档期内演出，获得了许多剧评人的称赞。&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-79de7a855413eeca521a7b5b_b.jpg& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&251& data-thumbnail=&/50/v2-79de7a855413eeca521a7b5b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/50/v2-79de7a855413eeca521a7b5b_r.gif&&&p&&br&&/p&&p&剧情讲的是东德男孩Hensel爱上了美国军官Luther，为了与爱人相守并逃离东德，Hensel经历了一场并不太成功的变性手术，但最后他成功使用了母亲Hedwig的身份嫁给Luther来到了美国。但Luther却爱上另一个男人抛弃了他，而与此同时柏林墙的倒塌也使Hensel所经历的一切看起来毫无意义。Hensel只能接受现实，以新身份Hedwig在美国重新生活，但一切却又没有那么简单.....&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-783a204c8a2cc7b0e203f_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&349& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-783a204c8a2cc7b0e203f_r.jpg&&&p&&i&Neil Patrick Harris版的Hedwig&/i&&/p&&p&&br&&/p&&p&这部音乐剧其实是John Cameron Mitchell半自传的创作，那些关于爱的美好和现实的残酷中，John Cameron Mitchell分别用剧情和音乐完整地传达给了观众，把深埋在无知和冷漠的社会底下那一丝希望给挖掘了出来。&br&&/p&&img src=&/v2-531af3cadebf69af6737cc_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&222& data-thumbnail=&/50/v2-531af3cadebf69af6737cc_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&p&&br&&/p&&p&除了上面介绍的这些音乐剧以外，还有许多令人期待的摇滚音乐剧正在路上。比如西雅图的Repertory剧院正在筹备一部探索西雅图油渍摇滚根源的音乐剧。音乐剧为原创剧情，故事背景设定在九十年代的西雅图。&/p&&p&这部音乐剧将选用诸如Nirvana、Soundgarden、Alice in Chains、Smashing Pumpkins等摇滚乐队的经典歌曲。Nirvana的前经纪人Janet Billig Rich、BMG唱片公司的执行长Elyse Cogan都将参与筹划。O'Neill中心剧院国家戏剧协会的艺术总监Wendy C.Goldberg最早提出了这部音乐剧的构想，并与戏剧作家Matt Schatz共同创作。Matt负责剧本的撰写，Wendy将导演。&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-b7f77d8a2e017cbcff58_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&/50/v2-b7f77d8a2e017cbcff58_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&&b&本文作者：李卤味&/b&&/p&&p&&b&原文可边听边看哦，戳右查看：&a href=&/?target=http%3A//www.luoo.net/essay/865& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&摇滚最戏剧化的打开方式&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/b&&/p&&p&&b&欢迎关注落网公众号：luoofm&/b&&/p&
这场戏最满的摇滚之旅，我不想停下来。 说起音乐剧，可能有人会马上有刻板印象浮现眼前，直接将各自老牌音乐剧桥段代入。当然，经典的老牌音乐剧自然有其经久不衰的魅力所在，但对其不感冒的人也就直接略过。但其实，音乐剧的风格和主题极其丰富，如果有留…
&img src=&/50/v2-5c56f76cc8b6b73c92274f7eec0d4950_b.jpg& data-rawwidth=&3019& data-rawheight=&1479& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3019& data-original=&/50/v2-5c56f76cc8b6b73c92274f7eec0d4950_r.jpg&&&p&到访专栏的朋友，你好！&/p&&p&我是由之，目前是中科院的一名在读博士，管理科学与工程专业，方向为Agent-based model框架下的碳排放权交易市场建模，研究其中的机制设计和政策评价问题。因为研究需要和个人兴趣，我学过多遍微观经济学，同时，我也喜欢讲课，并致力于把知识学清楚、讲清楚，把知识地图画清楚。一年多以前，我开始在这个专栏连载微观经济学讲义，希望能帮喜欢或需要学微经的朋友完成从入门到入厅的过程。&/p&&p&后来，我在知乎上做过几次Live，包括：&/p&&blockquote&1. &a href=&/lives/741376& class=&internal&&微观经济学入门串讲&/a&&br&2. &a href=&/lives/881536& class=&internal&&中级微观经济学知识点地图&/a&&br&3. &a href=&/lives/337024& class=&internal&&金融市场模拟：Agent-based model入门&/a&&/blockquote&&p&其中，除了最近刚做的第三次Live，前两次都算得到了还可以的评价。非常感谢各位知友的捧场，让我这个穷博士能卖艺赚点儿房租。&/p&&ul&&li&在&a href=&/lives/741376& class=&internal&&微观经济学入门串讲&/a&这次Live中，我基于多遍学习微经的体会，做了加法又减法，整理了一套入门经济学的最小package：从核心概念讲起，比如经济、稀缺、竞争、成本等，再用基本的问题将它们串起来，比如“为什么交易会发生？”、“为什么交易不会发生？”、“交易的价格如何确定？”这些内容基本上涵盖了曼昆微观经济学原理（微观分册）中的主干内容。最后，我还给出了如题图所示的微观经济学知识结构。我可以比较自信地说，如果能充分理解我这次Live中的内容，微观经济学就算是入门了。&/li&&li&如果你听过了我的第一个Live，再加上一点非常基础的微积分知识，就可以直接看中级水平的微经教材了，比如：平迪克的《微观经济学》、范里安的《微观经济学——现代观点》，或者尼克尔森的 《微观经济理论:基本原理与扩展》——这三本书的难度依次提升。初次看中级的微经教材难免迷迷糊糊，这时候就可以听我的第二个Live了：&a href=&/lives/881536& class=&internal&&中级微观经济学知识点地图&/a&。 在这次Live中，我把各章拆开，指出要点，为各位画出了一幅学习微观经济学的“知识点地图”，尽量说清每个知识点是「从哪儿来的，跟其他知识点是什么关系」——希望经过这一过程，大家再去精读教材时会更加高效。&/li&&/ul&&p&以上两次Live我都认真准备了图文并茂的逐字讲稿，并在Live结束后将逐字稿发给听众。此外，我还建了微信群，方便大家在听live过程中和过后提问。如果你来购买这两次Live，也依然可以得到讲稿和入群邀请。&/p&&p&最后，如果你依然觉得还没学到位，好，硬菜来了：&/p&&p&今年夏天，我跟其他几位老师一起，在万门大学开了一门&b&「经济金融一月特训班」&/b&，我负责在特训班的前五天讲授&b&「微观经济学」&/b&、&b&「博弈论与信息经济学」&/b&两门课程，并为此特意重新写了一份130多页的讲义。&/p&&p&在这两门课后，还有很多非常厉害的老师讲了如下课程：&/p&&ul&&li&&b&宏观经济学&/b&：段颀，北京大学光华管理学院经济学博士，北京航空航天大学人文与社会科学高等研究院讲师&/li&&li&&b&货币银行学&/b&：黄水华，北京大学国家发展研究院经济学硕士(在读)&/li&&li&&b&财政学&/b&：张倩，北京大学国家发展研究院经济学博士(在读)&/li&&li&&b&计量经济学&/b&：司继春(知乎ID：&a class=&member_mention& href=&/people/c9cee996cdef11fc& data-hash=&c9cee996cdef11fc& data-hovercard=&p$b$c9cee996cdef11fc&&@慧航&/a&)，上海财经大学数量经济学博士，上海对外经贸大学讲师&/li&&li&&b&会计学&/b&：胡涛，华创证券高级投资经理，科技部专家库成员，CPA和AIA持证人&/li&&li&&b&公司金融&/b&：顾云，新加坡国立大学金融工程硕士，新加坡国际一线金融机构财务专员&/li&&li&&b&投资学&/b&：黄水华，北京大学国家发展研究院经济学硕士(在读)&/li&&li&&b&衍生品与固定收益&/b&：陈诗涵，新加坡国立大学金融工程硕士，新加坡国际一线投行模型分析师&/li&&/ul&&p&总之，我觉得如果跟着这个阵容学下来，把整个经济金融的知识结构搭建好，课后再自己认真看看书，一定会有一个质的提高的。尤其非常适合想要跨专业学习经济管理类的理工科同学。&/p&&blockquote&&b&万门客服 - 小万酱&/b& &b&微信号：wanmen005&/b&&/blockquote&&p&&/p&&p&&/p&&p&&/p&&p&&/p&&p&&/p&&p&&/p&&p&&/p&&p&&/p&&p&&/p&
到访专栏的朋友，你好！我是由之，目前是中科院的一名在读博士，管理科学与工程专业，方向为Agent-based model框架下的碳排放权交易市场建模，研究其中的机制设计和政策评价问题。因为研究需要和个人兴趣，我学过多遍微观经济学，同时，我也喜欢讲课，并致…
&p&&b&感谢大家支持&/b&&/p&&p&&b&这些都是用伤病和对健身的热爱换来的训练精髓，而照搬的训练计划和要领我这里没有&/b&&/p&&p&&b&根据评论大家反馈的问题，我在答案最末尾回答&/b&&/p&&p&&b&预告一下，胸部，背部已写了答案，接下来是肩部&/b& &/p&&p&--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&/p&&p&&b&7届奥林匹亚先生 Arnold Schwarzenegger&/b&&/p&&p&州长先生的胸肌是历史级的&/p&&img src=&/v2-c1aaefd5d58bd7aa3386_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&/v2-c1aaefd5d58bd7aa3386_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-4bfed372a4ab7c7cc669566bacbb7670_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&/v2-4bfed372a4ab7c7cc669566bacbb7670_r.jpg&&&p&&b&胸肌是身材的门面&/b&&/p&&p&一栋漂亮的别墅没有两扇豪华的大门，那绝对不够气派&/p&&p&胸肌是一整块肌肉，所以训练起来相对容易&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&老哥：如何练胸肌？&/a&&/p&&p&帮助大家打好胸肌训练的基础，包括发力原理技巧，训练计划方法等，呕心沥血，掏心掏肺之作，欢迎围观&/p&&p&我们不仅要练胸肌，还要把胸肌练得好看&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&完美胸型代表 Lazar Angelov&/b&&/p&&img src=&/v2-ce392e2dc7a6c64108b4dd_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/v2-ce392e2dc7a6c64108b4dd_r.jpg&&&p&胸肌有型标准&/p&&ul&&li&&b&整体厚度足够&/b&&/li&&li&&b&上胸饱满平整&/b&&/li&&li&&b&下沿线条优美&/b&&/li&&li&&b&中缝窄长连贯&/b&&/li&&/ul&&p&当然，这个条件很苛刻，拉神当然可以满足，因为这里涉及的不仅有训练，还有基因&/p&&p&&br&&/p&&p&告诉大家一个坏消息&/p&&p&&b&以上四个方面都受基因的影响！&/b&&/p&&p&和一个好消息&/p&&p&&b&只有一个方面受的影响较大！&/b&&/p&&p&即&/p&&p&&b&下沿线条是否优美的关键——内外角度，这就决定着所谓的方胸or圆胸&/b&&/p&&img src=&/v2-59f680a4aa87daad28a2108_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&638& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-59f680a4aa87daad28a2108_r.jpg&&&p&（图为，三届奥林匹亚健体冠军 Jeremy Buendia，不知今年能否再次夺冠，拭目以待）&/p&&p&而且下胸真正很优美没有太大缺点的人是很少的&/p&&p&但是健身的型男倒是一大堆&/p&&p&所以，大多数人的努力之低，不配谈天赋&/p&&p&共勉&/p&&p&根据有型胸肌的审美标准&/p&&p&咱们来说说如何训练，训练计划安排写在最后，先讲讲为什么，再说说怎么做&/p&&p&&br&&/p&&h2&审美一&第一阶段：整块厚度足够&/h2&&p&首先胸肌要够厚&/p&&p&所有初学者，练胸肌都得从基础开始&/p&&h2&&b&平板卧推&/b&&/h2&&p&卧推以及其他胸部训练动作，找到胸肌发力是关键，找不到，什么也白搭！&/p&&blockquote&&b&好的开始是成功的一半&/b& &b&打好基础！打好基础！打好基础！&/b& &b&卧推是胸肌发达的基础&/b& &a href=&///?target=http%3A///v_show/id_XMTQzMzkyMzI5Ng%3D%3D.html%3Fspm%3Da2h0k..0%26from%3Ds1.8-1-1.2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&卧推教程&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &b&没系统练到3年的人，请把这个视频多看几遍&/b&&br&新手，最大的问题就是，&b&很容易找不到胸肌的发力&/b&，胸还没疲劳，手臂就酸了，有没有中枪？&br&有的人告诉我，“我卧推动作很标准啊，但是就是胸肌没感觉，怎么办啊？嘤嘤嘤～～～”&br&我想说&br&你动作标准个p！！！！！！！！！！！！！！！！&br&对于新手来说，&b&光动作标准就能把胸给练炸掉！&/b&&br&我来说下为什么动作标准就能把胸爆！炸！&br&对健身稍微用点心的朋友，对于卧推，肯定听过这么几个要领&br&&b&沉肩，不要耸肩！肩胛骨保持收紧！小臂于地面垂直！大臂与身体呈45度左右！核心收紧！身体略微反弓！杠铃下降到乳沟或上方2厘米处！下落吸气！推起吐气！推起时肩膀不能前伸！&/b&&br&这里我就当给大家复习或者预习下，前面的卧推训练视频讲解是我见过讲最好的，没练到5年的，我都觉得值得拿这个视频出来反复琢磨。&br&&b&为什么动作标准，胸肌不会没感觉？！&/b&&br&前面讲过&br&&b&胸肌的主要作用是帮助肱骨内收，也就是大臂内收，卧推的整个过程就是大臂内收和手臂伸直的过程。&/b&&br&手臂伸直主要是肱三头肌发力，这部分先不讲&br&&b&大臂内收的过程就是我们用来锻炼胸肌的过程&/b&&br&刚说的动作要领是一系列连续的过程，都互相联系着。&br&&b&当肩胛骨收紧的时候，肩膀是不会往前伸的！&/b&不会的！伸不过去的！如果伸过去了！恭喜你！你的胸大不了！你的三角肌前束会越来越大！&br&收紧了肩胛骨，肩膀不前伸，大臂又要内收，怎么办？三角肌动不了也很绝望啊！！&br&&b&只！能！胸！肌！发！力！&/b&&br&所以这已经做到了&b&被动&/b&让目标肌群孤立发力了&br&都做到健美孤立训练的标准了，你告诉我，胸没感觉！？没感觉你怎么做到的大臂内收的？！骨骼清奇啊！少年！&br&所以胸肌没感觉的，通常就是动作不规范，是否&b&全程肩胛骨收紧，肩膀下沉！是否起始动作规范，但随着杠铃的下降而耸肩，推起时肩膀前伸！！&/b&&br&所以我们一起面壁反思。。。&br&我们继续！&br&---------------------------------------小分割--------------------------------------------------------------------------&br&以上讲的是，被动地找到卧推时胸发力的感觉，只要动作标准就能实现。&br&&b&有被动，那么一定有主动！&/b&&br&我这里要说一说主动！&br&来来来，又到了复习或者预习别人成果的时候了。&br&&b&健美讲究的是念动一致！要让目标肌群孤立发力！要把注意力集中在想要锻炼的肌肉上！&/b&&br&耳熟不？听过吧！？&br&我和大家一样，听过啊，肯定听过啊！&br&但是&br&我也和许多人一样，在做到动作规范的情况下已经锻炼到了目标肌群，目标肌群也得到了良好的泵感！&b&于是便忽视了在动作过程中！主动！收缩！目标！肌群！&/b&&br&注意！注意！&b&这一点是决定进步快慢或者说决定是否会过早进入平台期的关键！&/b&&br&你让我现在马上来一发卧推，我做个几组，也可能会忘记主动收缩。。。&br&&b&没错！就是忘记！&/b&&br&毕竟动作标准了，人会放松对自己的要求。。。因为不主动收缩，也能锻炼，也有泵感，也能推起重量，也能充血变大！&br&好！不知道大家理解这些话没？&br&所以说高手和一般人锻炼的区别就是，看起来同样的窄距卧推，一般人差不多就是练胸，高手想练胸就练胸，想练三头就练三头，想练前束练前束。&br&&b&奥秘在主动收缩要锻炼的肌肉上！！！！！！！！！！！&/b&&br&我们来看看卧推的过程！&br&起杠！！！我告诉你们怎么起，&b&躺下，抓住杠铃把自己提起来，收紧肩胛骨，下沉肩膀，再把自己的身体放在卧推椅上。&/b&&br&发力！！！这一刻最容易肩膀前伸，最容易伤肩膀！所以不是说直接推起来，而是找到&b&抓住杠铃把自己往卧推椅上推的感觉。&/b&慢慢体会，这保护肩关节。&br&下放！！！离心收缩，放到最下端，也就是&b&胸肌与三角肌前束刚好呈一个平整面的时候。&/b&推起来。如果下放得太多，会让胸肌在最低端放松，压力立即从作用在胸肌上变成作用在肩关节上，导致受伤！所以为了保持全程胸肌收紧，真的不要放得太多！&br&从最低端推起&br&&b&关键来了！！！&/b&&br&我为了每次卧推手臂不要太疲劳，想过很多办法，但是没用，直到两个大神的两句话！&br&第一个大神说&br&&b&推到顶端的时候。。。。。。夹胸！&/b&&br&什么意思！？&br&就是推到顶端的时候那最后一小段时间主动收缩胸肌！！！&br&第二个大神说&br&&b&找到推的感觉！&/b&&br&你问我说，这不是废话嘛！？&br&是废话的话，我会在这里分享吗！！啊啊啊啊！！！！！！！&br&什么意思！？&br&你们面对墙壁，手放在墙上，体会把自己推离墙壁的过程。&br&也就是说，&b&推起杠铃时，不是推起，而是将自己推离杠铃！&/b&&br&好好体会&br&最后送上真传一句话。&br&&b&卧推&/b& &b&不是推起杠铃！&/b& &b&而是用意念控制胸肌主动收缩！！&/b& &b&把杠铃！！！&/b& &b&夹！起来！！！！&/b&&/blockquote&&p&卧推找到了胸肌孤立发力的感觉以后，其他胸肌训练动作就能举一反三，厚起来就交给神奇的时间&/p&&p&&b&这一阶段，平板动作是重点，其他动作自选&/b&&/p&&p&&b&平板哑铃推，平板哑铃飞鸟，水平十字/蝴蝶/绳索夹胸等&/b&&/p&&p&但是，光厚不行啊！&/p&&p&我们要的是有型啊！！&/p&&p&要想整块都饱满，厚度一致&/p&&p&平板满足不了我们&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&审美二&第二阶段：上胸饱满平整&/b&&/h2&&p&&b&如果上胸不够饱满，怎么都不会有型&/b&&/p&&p&举个反例&/p&&img src=&/v2-4c80f5a642b3fe9fd093_b.jpg& data-rawwidth=&392& data-rawheight=&246& class=&content_image& width=&392&&&p&尽管可以看出这位训练者腹部，肩部，手臂都有相对不错的训练痕迹，但是上胸真的是败笔。。。&/p&&p&所以&/p&&p&&b&在打好卧推基础以后，接下来一定要将上斜的动作（上斜卧推\哑铃推\飞鸟）放在最重要的位置&/b&&/p&&p&&b&上个阶段的动作当然还是接着选择和训练&/b&&/p&&p&提醒各位&/p&&p&&b&上斜的角度别固定！要想整块胸肌厚度一致，上胸平整饱满！角！度！别！固！定！&/b&&/p&&p&&b&每个人对上胸刺激最为强烈的角度不一样，请自行感受（老哥最酸爽的角度是45°）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&上胸训练成功的标志是，颈部下端会出现一个“酒杯”&/p&&p&&b&4届奥林匹亚先生 Jay Cutler&/b&&/p&&img src=&/v2-dd53db07f44b_b.jpg& data-rawwidth=&1597& data-rawheight=&1087& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1597& data-original=&/v2-dd53db07f44b_r.jpg&&&p&加强上胸的好处真的不要太多&/p&&p&上斜卧推基本技巧和平板卧推一样&/p&&p&请各位注意，三角肌前束不要借力太多，这样容易导致肩关节受伤，切记！&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&审美三&下沿线条优美&/b&&/h2&&p&上胸、中胸的基础打好了以后，还差下胸&/p&&p&当然下胸的线条优美不优美，得体脂低到一定时候才能被发现&/p&&p&但就算暂时看不清楚线条，咱们还是得好好训练下胸&/p&&p&&br&&/p&&p&我们都认为方胸好看&/p&&p&所以不管你基因是否有方胸的潜质&/p&&p&咱就按照方型来打造&/p&&p&下胸如果没练好，整块胸肌就好像连着腹部一样&/p&&img src=&/v2-989996eebddd631fee508_b.jpg& data-rawwidth=&142& data-rawheight=&113& class=&content_image& width=&142&&&p&没找到很有代表性的照片，就这个吧，大概就这样&/p&&p&由于每个人基因不一样&/p&&p&如果下胸并不是很厚的话&/p&&p&先增大体积&/p&&p&&b&下斜卧推是很好的选择&/b&&/p&&p&有了厚度以后&/p&&p&加入下沿黄金动作&/p&&p&&b&双杠曲臂撑&/b&&/p&&p&&b&要点！&/b&&/p&&p&&b&身体与地面一定要成45°—60°的夹角，要不然主要刺激肱三头肌，另外！撑到顶端的时候，收紧胸肌！！！&/b&&/p&&p&&b&最后呢，加入一个向下的绳索夹胸或者上斜俯卧撑，很酸爽！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&审美四&第四阶段：中缝窄长连贯&/b&&/h2&&p&有型的胸部，没有一条长长的乳沟怎么可以&/p&&p&如多人刚开始健身胸肌形态都会经历一个这样的阶段&/p&&img src=&/v2-abb5b09de59b8e2d27dd5da98aedd5d8_b.jpg& data-rawwidth=&675& data-rawheight=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&675& data-original=&/v2-abb5b09de59b8e2d27dd5da98aedd5d8_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&两侧和下部有厚度了，但是中间怎么凹陷了，&b&而且中缝就一半&/b&&/p&&p&这是正常的&/p&&p&&b&因为我们的胸肌发展是由外到内的，先长外边，再长内侧&/b&&/p&&p&但是如果我们一直卧推，一直卧推&/p&&p&有一天我们会发现，胸肌从外长到内的过程中停住了，长不动了&/p&&p&这时我们要加强我们的中缝&/p&&p&让胸肌更加有型&/p&&p&&b&Greg Plitt&/b&&/p&&img src=&/v2-bbc3d84ddf87c147e7d8fb6ce2f3eff0_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1007& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/v2-bbc3d84ddf87c147e7d8fb6ce2f3eff0_r.jpg&&&p&要想有长而连贯的中缝&/p&&p&真的不是不停地夹胸，夹胸，夹胸&/p&&p&曾经有一个大神告诉我&/p&&p&&b&不练上胸，中缝永远只有一半！！！&/b&&/p&&p&所以要想有漂亮的中缝，首先要将上斜训练动作放在首位！！！&/p&&p&上胸强大了以后，我们再来谈谈各种夹胸的事&/p&&p&在强大上胸的基础上&/p&&p&我推荐的第一个中缝训练动作&/p&&p&&b&窄距哑铃推（对握）&/b&&/p&&p&&b&要领：双臂贴紧身体两侧，全程胸肌收紧！&/b&&/p&&p&接下来的动作选择不分先后&/p&&p&各种角度的绳索夹胸、十字/蝴蝶夹胸，各种角度的飞鸟&/p&&p&----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------训练安排----------------------------------------------------------------&/p&&p&到这里基本上大家也就知道了打造漂亮胸型的几个要点了&/p&&p&下面我分享一下我对一套完整胸肌训练的见解&/p&&blockquote&胸肌发力没有问题了，那么动作都是一个套路&br&专注于胸肌收缩带动大臂内收&br&下面我讲下如何安排胸肌的训练&br&许多人说，胸肌训练，要将大重量的动作放在第一个动作&br&这个没有错&br&但是为了达到最好的胸肌锻炼效果，有没有更好的方法呢？&br&&b&有&/b& &b&我们将大重量的胸肌动作，卧推，哑铃推等放在第二个动作&/b&&br&看到这里有人会问了&br&“第一个和第二个有区别吗？”&br&区别大了&br&&b&我们将胸肌训练的第一个动作换成大关节胸肌训练动作，如飞鸟，绳索夹胸等&/b& &b&第一个动作做完以后可以预先疲劳胸肌&/b& &b&在第二个动作上大重量的时候，在肱三头肌疲劳之前让胸肌力竭&/b& &b&很好的解决了胸肌未力竭，三头就没力气的问题&/b&&br&这样训练可以在使用第二组大重量的时候，保持训练状态并可以使胸肌达到最强泵感！&br&所以我认为胸肌训练流程应该是&br&&b&0、热身&/b& &b&1、单关节胸肌训练动作（选择1个）&/b& &b&2、大重量训练动作（选择2个）&/b& &b&3、细节训练动作（选择2个）&/b& &b&4、力竭冲刺动作（选择1个）&/b&&br&根据这个流程，我们来自己制定一个计划，前面所讲的找到胸肌发力的基础打好了，下面提到的动作都是很好上手！&br&&br&&b&0、热身&/b&&br&首先是肩关节热身，再是其他，这个以后找个问题细讲&br&&br&&b&1、单关节胸肌训练动作（选择1个）&/b& &b&组数：4组&/b& &b&次数（RM）：&a href=&tel:10/10/10/10&&10/10/10/10&/a& 或 &a href=&tel:25/15/10/10&&25/15/10/10&/a&RM&/b& &b&动作：哑铃飞鸟、绳索夹胸、十字/蝴蝶夹胸。。。等（排名分先后）&/b& &b&2、大重量训练动作（选择2个）&/b& &b&组数：热身组数+训练组数&/b& &b&次数（RM）：2.1、热身组数多少、重量选择以及次数根据自己情况来定，但是必须要有&/b& &b&
2.2、训练组数新手建议4X10～15RM&/b& &b&
2.3、熟练掌握卧推动作以后，训练组可以选择金字塔训练20\15\10\5\10\15\20RM&/b& &b&
2.4、最大卧推重量大于等于体重以后，可以选择金字塔训练+5X5RM，即&/b& &b&&a href=&tel:20/15/10/5&&20/15/10/5&/a&/5/5/5/5/10/15/20&/b& &b&动作：卧推（平板、上斜、下斜），哑铃推（平板、上斜）、悍马机（角度自选）。。。等（排名分先后）&/b&&br&如果对自己的力量和目标体型什么的有较高要求的话，5X5不能错过！&br&&br&&b&3、细节训练动作（选择2个）&/b& &b&组数：4组&/b& &b&次数：&a href=&tel:10/10/10/10&&10/10/10/10&/a& 或 &a href=&tel:25/15/10/10&&25/15/10/10&/a&RM&/b& &b&动作：1、胸缝：窄距哑铃推、哑铃飞鸟（角度自选）、绳索夹胸（角度自选）、十字（蝴蝶）夹胸。。。等（排名不分先后）&/b& &b&2、外沿：哑铃飞鸟（平板、下斜）、绳索夹胸（向下）。。等（排名不分先后）&/b& &b&3、下沿：双杠曲臂撑、绳索夹胸（向下）。。。等（排名分先后）&/b&&br&练到这里差不多胸肌训练已经可以结束了，但是我们为了训练效果最大化，安排一下最后的冲刺，榨干胸肌！&br&&br&&b&4、力竭冲刺动作（选择1个）&/b& &b&组数：4组&/b& &b&次数：自重动作每组力竭、其他10~15RM&/b& &b&动作：俯卧撑（平板、上斜、下斜）、杠铃片夹胸.。。。等（排名分先后）&/b&&br&俯卧撑当然要练，自重训练是基础，当然体重过重的人可以暂时先不练自重动作，减脂为主增肌为辅&/blockquote&&p&每个人体质不一样，肌肉形态不一样，力量不一样，当然计划也不一样，照搬计划也能训练，但效果不是最好的，希望大家能根据刚说的胸肌训练流程，给自己制定一个适合自己的计划&/p&&p&所有引用均来自于本人回答&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&老哥：如何练胸肌？&/a&&/p&&p&之后会根据大家反馈以及自己对于健身理解的深入，长期更新回答&/p&&p&希望能帮助到更多的人！&/p&&p&其他部位训练（长期更新）&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&老哥：如何系统地锻炼背部肌肉？&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&老哥：如何把肩练宽？&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&老哥：女人如何练出翘臀？&/a&&/p&&p&饮食问题&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&老哥：很瘦的人该指定怎样的健身计划？&/a&&/p&&p&态度&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&老哥：为什么每天跑步大汗淋漓却始终没有瘦下来 真的跟基因有关系吗？&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&老哥：大学里，你是如何调整健身、学习、跑步时间安排的？&/a&&/p&&p&&b&如果觉得这个回答对你有帮助，别忘了收藏转发点赞&/b&&/p&&p&&b&我是老哥&/b&&/p&&p&&b&一个走心的回答者&/b&&/p&&p&-----------------------------------------评论问答分割（不断更新）---------------------------------------------&/p&&p&1、请问，能否用健身房的那些器械来代替卧推之类的？因为基本都是一个人去&/p&&p&&b&新手可以从固定器械开始，但是卧推是不能完全被代替的&/b&&/p&&p&&b&一个人去也可以训练卧推，不用冲击重量，新手可以从空杆开始，如真的需要冲击大重量，可以找健身房的其他朋友帮忙带一下，喜欢健身的人都很乐于助人的&/b&&/p&&p&2、俯卧撑有用吗？怎么样做俯卧撑才有效练胸肌么？&/p&&p&&b&当然有用&/b&&/p&&p&&b&要想俯卧撑练到胸肌，奥秘在于撑起来的时候收紧胸肌，找到推的感觉&/b&&/p&&p&3、老哥，请问一下，上肢稳定性不太行，用史密斯机卧推代替杠铃卧推可以嘛？&/p&&p&&b&可以现充史密斯开始，但是完全代替是不可以的，因为卧推的轨迹不是直上直下的，而是有一个偏向乳头方向的一个倾斜角度&/b&&/p&&p&--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&/p&&p&&b&要动图，不好意思，没有，也不想放&/b&&/p&&p&有的人说我写这么多要领不如几个动图。。。&/p&&p&我真是。。。哎&/p&&p&百度一下，视频动图特么一大堆，计划特么一大堆&/p&&p&看完你就会练了？？？？&/p&&p&&b&世界上很多行业其实真正的精髓就是有人给你说的那一句话&/b&&/p&&p&&b&我曾经遇见过三个大神，他们每人就告诉我了一句话，三句话至少让我少走了2年弯路&/b&&/p&&p&&b&珍惜吧&/b&&/p&&p&&b&能给你讲这么细致的人，不多&/b&&/p&
感谢大家支持这些都是用伤病和对健身的热爱换来的训练精髓，而照搬的训练计划和要领我这里没有根据评论大家反馈的问题，我在答案最末尾回答预告一下，胸部，背部已写了答案，接下来是肩部 ---------------------------------------------------------------…
看过几个高票答案，觉得我该出现了，上图&img src=&/43bcb8d312efa98ef37d7_b.png& data-rawheight=&1440& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/43bcb8d312efa98ef37d7_r.png&&&img src=&/a722bbae151ab621f6442aa5_b.png& data-rawheight=&1440& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/a722bbae151ab621f6442aa5_r.png&&&img src=&/cdb983f46bbb77a5b2617_b.png& data-rawwidth=&569& data-rawheight=&854& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&569& data-original=&/cdb983f46bbb77a5b2617_r.png&&&img src=&/25b19ae4a556a5d845f2dbe_b.png& data-rawwidth=&434& data-rawheight=&742& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&434& data-original=&/25b19ae4a556a5d845f2dbe_r.png&&&img src=&/cf2cfd9df7e4bbd7c13e_b.png& data-rawwidth=&458& data-rawheight=&703& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&458& data-original=&/cf2cfd9df7e4bbd7c13e_r.png&&&img src=&/a331c58671ede_b.png& data-rawwidth=&438& data-rawheight=&757& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&438& data-original=&/a331c58671ede_r.png&&&img src=&/9db1ac0df1ad46ac7d1fa_b.png& data-rawwidth=&467& data-rawheight=&370& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&467& data-original=&/9db1ac0df1ad46ac7d1fa_r.png&&其中————&br&&img src=&/8f95a6c4fbdca9aa90c0e9_b.png& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&80& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/8f95a6c4fbdca9aa90c0e9_r.png&&&img src=&/767ea7f0f975dedf22e457dcfc229272_b.png& data-rawwidth=&422& data-rawheight=&37& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&422& data-original=&/767ea7f0f975dedf22e457dcfc229272_r.png&&最为关键！！&br&————当每个动作阶段可以坚持标准的7s——15s进阶下一个阶段&br&————时刻关心动作的标准度！！用手机录下来！！&br&————前倾前倾
同时注意手臂与身体的夹角。&br&————持之以恒，永不言弃！！！&br&
看过几个高票答案，觉得我该出现了，上图其中———— 最为关键！！ ————当每个动作阶段可以坚持标准的7s——15s进阶下一个阶段 ————时刻关心动作的标准度！！用手机录下来！！ ————前倾前倾 ! ! 同时注意手臂与身体的夹角。 ————持之以恒…
&p&之前看一篇文章可能大家都看过，转载一下侵权删。&/p&&p&转自&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A///group/topic//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&二十世纪的数学&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
&/p&&p&作者：Michael Atiyah 白承铭译，周性伟、冯惠涛校 &/p&&br&&br&&p&谢谢邀请我来这里参加这个活动。当然，如果有人想谈论一个世纪的终结以及下一个世纪的开始，那么他有两个具有相当难度的选择：一个是回顾过去百年的数学；另一个是对未来百年数学发展的预测，我选择了前面这个比较困难的任务，任何人都可以预测未来而且我们并不能判定是对还是错。然而对过去的任何评述，每个人都可以提出异议。 &/p&&p&我在这里所讲的是我个人的观点。这个报告不可能包含所有内容，特别是，有一些重要的内容我不准备涉及，一部分是因为我不是那些方面的专家，一部分也是出于它们已经在其他地方被评述过了。例如，我不会去谈论那些发生在逻辑与计算领域内的著名事件，这些事件往往是与像Hilbert，Godel，Turing这些伟大的名字相关的，除了数学在基础物理中的应用之外，我也不会谈论太多数学的其他应用，这是因为数学的应用太广泛了，而且这需要专门的论述。每一个方面都需要一个专门的报告．也许大家在这次会议的其他报告中会听到很多关于这些内容的演讲。另外，试着罗列一些定理，甚至是列出在过去一百年的著名数学家的名字也是毫无意义的，那简直是在做枯燥的练习。所以，代替它们的是，我试着选择一些我认为在很多方面都是很重要的主题来讨论并且强调围绕这些主题所发生的事情。 &/p&&p&首先我有一个一般性的说明。世纪是一个大约的数字概念。我们不会真地认为在过整整一百年的时候，有些事情会突然停下来，再重新开始，所以当我描述二十世纪的数学时，有些内容实际上可能是跨世纪的，如果某件事件发生在十九世纪九十年代，并持续到二十世纪初，我将不去计较这种时间方面的细节。我所做的就象一个天文学家，工作在一个近似的数字环境中。实际上，许多东西始于十九世纪，只不过在二十世纪才硕果累累。 &/p&&p&这个报告的难点之一是很难把我们自己放回到1900年时作为一位数学家的位置上，这是因为上个世纪的数学有非常多的内容已经被我们的文化和我们自己吸收掉了。难以想象人们不用我们的术语来思考的那个时代是什么样子的。实际上，如果现在有人在数学上有一个真正重要的发现，其后他也一定会与之一起被忽略掉了！他会完全地被融入到背景之中，于是为了能够回顾过去，我们必须努力去想象在不同时代，人们用不同方式思考问题时的情景。 &/p&&br&&br&&p&从局部到整体 &/p&&p&作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论。我谈论的第一个主题概括地讲，就是被大家称为从局部到整体的转变。在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内，使用局部坐标等等来研究事物。在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质。由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了。正是Poincare，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题的Hilbert并没有意识到这一点。拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现．但是对Poincare而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容。 &/p&&p&让我试着列一些领域，然后大家就能知道我在想什么了。例如，考虑一下复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象Weierstrass这样伟大人物工作的中心。对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数；对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数。它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的。然而接下来Abel、Riemann和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围。这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性。局部展开只是看待它们的一种方式。 &/p&&p&一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们。解的奇异性是真正决定其整体性质的东西。与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了。 &/p&&p&在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程。只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了。当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质。 &/p&&p&数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架。数论学家们是这样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数，一次一个素数，以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时。这种素数和点之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思想深深地影响了数论。 &/p&&p&当然这种情况也发生在物理学中，经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质。物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进。 &/p&&br&&br&&p&维数的增加 &/p&&p&我的第二个主题有些不同，我称之为维数的增加。我们再次从经典的复变函数理论开始：经典复变函数论主要是详细讨论一个复变量理论并加以精炼。推广到两个或者更多个变量基本上发生在本世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内。不是所有的现象都与一个变量的情形相同，这里有完全新的特性出现，并且n个变量的理论的研究越来越占有统治地位，这也是本世纪主要成就之一。 &/p&&p&另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究n维流形的几何，大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变。在早期，曲线和曲面是那些人们能真正在空间里看到的东西。而高维则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维来想象,但当时人们也许没有认真对待它们。认真对待它们并且用同样重视程度来研究它们的这种思想实际上是二十世纪的产物。同样地，也没有明显的证据表明我们十九世纪的先驱者们思考过函数个数的增加，研究不单单一个而是几个函数，或者是向量值函数(vector-valued function)。所以我们看到这里有一个独立和非独立变量个数增加的问题。 &/p&&p&线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert空间。当然这就涉及到了分析,在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函。它们是函数空间上的函数。它们本质上有无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论。一个类似的事情发生在一般（非线性）函数理论的发展中。这是一个古老的课题，但真正取得卓越的成果是在二十世纪。这就是我谈的第二个主题。 &/p&&br&&br&&p&从交换到非交换 &/p&&p&第三个主题是从交换到非交换的转变。这可能是二十世纪数学，特别是代数学的最主要的特征之一。代数的非交换方面已经极其重要，当然，它源自于十九世纪。它有几个不同的起源。Hamilton在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际上这是受处理物理问题时所采用的思想所启发。还有Grassmann在外代数方面的工作，这是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中。当然，还有Cayley以线性代数为基础的矩阵方面的工作和Galois在群论方面的工作等。 &/p&&p&所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，我形象地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油”。我们现在可以不去思考这些，但在十九世纪，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，当然，这些思想在不同的领域内得到了惊人的发展。矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论。Heisenberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被von &/p&&p&Neumann推广到他的算子代数理论中。 &/p&&p&群论也是在二十世纪占重要位量的理论，我稍后再回来谈它。 &/p&&br&&br&&p&从线性到非线性 &/p&&p&我的下一个主题是从线性到非线性的转变。古典数学的大部分或者基本上是线性的，或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性，真正的非线性现象的处理是非常困难的，并且只是在本世纪，才在很大的范围内对其进行了真正的研究。 &/p&&p&我们从几何开始谈起：Euclid几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这一切都是线性的。而从非欧几何的各个不同阶段到Riemann的更一般的几何，所讨论的基本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方法所看不到的新现象。在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了。它们代表不同的极端。孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为(disorganized behavior)。这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本土都是非线性现象。我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分。 &/p&&p&当然，在物理学，Maxwell方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程。与之对应的是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力。这些方程之所以是非线性的，是因为Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项。于是在这里我们看到了一个非线性性与非交换性之间的有趣的联系。非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意思和很重要的. &/p&&br&&br&&p&几何与代数 &/p&&p&至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明。我指的是几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史。几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人。所以，它们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系。 &/p&&p&让我首先由这个问题的历史开始。Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子，直到Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的。Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试。从代数学家们的角度来讲，这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家而Leibniz基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于Newton而言，几何学，或者是由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试。他关心的是在很广泛意义下的物理，以及几何世界中的物理。在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的观点来思考它，用几何图象的观点来看待它。当他发展微积分的时候，他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证，因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与Newton的途径截然不同，并且二者有很多不同的记号。正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场大争论中，Leibniz的记号最后得胜。我们现在还沿用他的记号来写偏导数。Newton的精神尚在，但被人们埋葬了很长时间。 &/p&&p&在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincare和Hilbert是两个主要人物。我在前面已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人。Poincare的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具。Hilbert更多的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述。虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同的传统。 &/p&&p&当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代表性的人的名字。谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字Arnold　Bourbaki，前者是Poincare-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilbert最著名的接班人。Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是源自于Ne