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2015届高考数学二轮复习检测：专题2.5 如何用好基本不等式
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资料概述与简介
专题2.5 如何用好基本不等式
1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　)
解析　设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b，∴v＝＝＝＝0，∴v>a.
2．若函数f(x)＝x＋ (x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
解析　∵x>2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4.
3．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
解析　因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1.
＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，
即a＝b＝时等号成立．
4．已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为(　　)
解析　m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)，
当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥得x2≥，
∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.
5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为(　　)
解析　∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．
又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，
∴当且仅当x＝2y时，max＝2.
∴λ的最小值为2.
6．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(　　)
解析　因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．
因为＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.
7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析　∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，
∴2＋6≤xy，即xy－2－6≥0，
解得xy≥18.
∴xy的最小值是18.
8．已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．
解析　根据函数f(x)是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.
9．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析　∵a≥＝对任意x>0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可．
∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．
由u≥5知0<≤，∴a≥.
10．(1)已知0<x－1)的最小值．
解　(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)．
∵0<x<，∴5x0，
∴5x(2－5x)≤()2＝1，
∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，
＝t＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，
∴ymin＝9.
11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2 (k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，又k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，
使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥00<a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．
12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．
(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
解　(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，
建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72(万元)，
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高
20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，
建筑第x层楼时，该楼房综合费用为
y＝f(x)＝72x＋×2＋100＝x2＋71x＋100，
综上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．
(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，
则g(x)＝＝＝
＝10x＋＋710≥2 ＋710＝910.
当且仅当10x＝，
即x＝10时等号成立．
综上，可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．
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