三阶幻方（1）――基本篇_百度文库
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三阶幻方是最简单的，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的（如右图示），其对角线、横行、纵向的的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。中心数为5。
三阶幻方基本型
相传，时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这是借鉴思维的开端。这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一。从洛书发端的幻方在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的。十三世纪，中国南宋数学家在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿！
由1、2、3、……等生成的幻方为基本幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成由零或组成的新幻方，新
由三阶基本幻方各数减1生成的新幻方
幻方的幻和也随之变化，不再与原幻方幻和同。
如上图基本幻方中各数减1生成的新幻方，幻和为12，如下图示：
三阶幻方构造
想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四应分别填在横、竖和的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。
南宋数学家概括的构造方法为：
“九子斜排。上下对易，
左右相更。四维突出。”
中国古代九宫格的填法口诀是：
九宫之义，法以灵龟，
二四为肩，六八为足，
左七右三，戴九履一，
五居中央。
　　也有把这两者综合起来说的：
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出，
戴九履一，左七右三，
二四为肩，六八为足
奇阶幻方通用构造法
口诀：　　1 居上行正中央，
依次斜填切莫忘，
上出框界往下写，
右出框时左边放，
重复便在下格填，
出角重复一个样。
1)在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…；
2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4)如果右上方已有数字和出了，则向下移一格继续填写。
5)也可将所填数在幻方中所对应的数填在幻方中对应的位置。
例如：1为第一行中间数，则将对应的9填在最后一行的中间。2以次类推。
按照这种方式，做镜像或旋转对称，可得到实际相同的其他填法：　　只要将1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字调到另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。
三阶幻方旋转情况
用1~9填出的三阶基本幻方的所有情况都是相互镜像或旋转的。　　是本质相同的不同表现：
三阶幻方特殊数组
任意等差数列
任意等差数列都可以由1~9的每个数乘以X，再加Y，得到。　　因此按照原先的从小到大的顺序排列，幻方仍然成立。
例如要用6、9、12、15、18、21、24、27、30构成幻方：　　把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：
等差的三组等差
3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。　　同样按照基本幻方的大小排列他们的顺序即可
例如以下3组9个数：
【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】构成幻方，
幻和值=45。
三阶幻方规律
以下规律对所有三阶幻方均成立：
三阶幻方幻和与中心数
幻和=3×中心数　　证明：
通过中心数有4条线。将这4条线全部加起来，可以得到：
幻和×4=全体数的和+中心数×3
而我们知道三阶幻方中，全体数的和=3×幻和（三行或三列）
幻和×4=幻和×3+中心数×3
化简得到：　　幻和=3×中心数
三阶幻方过中心的线
过中心的线上的三个数，依次成等差数列。或者说，关于中心位置对称的两数，平均数是中心数。
过中心线的三个数之和为幻和。性质1已经说明，幻和=3×中心数。　　因此中心数是这三个数的平均数。　　从这之中去掉中心数不改变平均数。　　因此中心数是关于中心位置对称的两数。　　也就是一个数比中心数多多少，另一个数就比中心数少多少。即他们成等差数列
三阶幻方边角关系
2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。2a=b+c　　如：基本幻方中：2*8=9+7，2*4=1+7，2*6=3+9，2*2=1+3
过a有3条线。计算这三条线的和：
幻和×3=全体数的和+2×a-b-c
全体数的和=幻和×3
2×a-b-c=0
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幻方的性质与应用
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幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方也是一种中国传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。幻方（中的数列A006052）的数目还没有得到解决。
幻方完全幻方
完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等
幻方乘幻方
乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。
幻方高次幻方
n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶，其各行、各列及两条对角线所含的
　　n个数的和相等。例子：（三阶幻方，幻和为15，）
高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。
幻方反幻方
的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。
反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及几个数之和。如下图3阶反幻方的比较。
图中边框外围的数字之和就是幻和。红色为，黑色为奇数。
可以说反幻方是一种特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同，也可以部分相同。如下图多种3阶反幻方。
多种反幻方
幻方三阶幻方
如图，1和7相加除以2=4
1和3相加除以2=2
幻方起源记载
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻
《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方
方”。中国古代称为“”、“”，又叫“”。
九宫洛书蕴含奇门遁甲的布阵之道。九宫之数源于《易经》。幻方也称、、，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代的洛书——。公元前一世纪，时的在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重要影响。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物，这种古代地域广泛的应该说是极其少见的。1975年出版的自然辩证法丛书《自然科学大事年表》，对于幻方作了特别的述说：“公元前一世纪，《》记载，中国古代有象征吉祥的河图洛书纵横图，即为九宫算，被认为是现代‘组合数学’最古老的发现。”还附了全书唯一的插图！
2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数
杜勒的《忧郁》，内含四阶幻方
字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这是借鉴思维的开端。这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一。从洛书发端的幻方在数千年后更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。
十三世纪，中国数学家在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。它已在、实验设计、、、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿。
幻方历史发展
幻方又称为，方阵或厅平方，最早起源于。宋代数学家称之为。
幻方的幻在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
大约两千多年前西汉时代，流传治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称「」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为「」.他们发现，这个图案每一列，每一行及，加起来的数字和都是一样的，这就是我们所称的幻方.也有人认为&洛书&是外星人遗物；而&河图&则是描述了（包括外星人）的基因排序规则，幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外在上海浦东地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的正面写着：「万物非主，惟有真宰，默罕默德，为其使者」，而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.
关于幻方的起源，中国有“”和“洛书”之说。相传在远古时期，取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...
后来，人们经过研究，得出计算任意幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：
S=n(n^2+1) /2
其中n为幻方的阶数，所求的数为S.
幻方最早记载于中国公元前500年的《》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，才第一次提起幻方。
中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《》一书中。在欧洲，直到1514年，著名画家才绘制出了完整的四阶幻方。
而在国外，十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载，中国的考古学家们曾经在西安发现了献上的五块六阶幻方，除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的，那是一个完全幻方（后面会提到），而且比中国的杨辉还要早了两百多年，印度人认为那是天神的手笔.1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古)十三世纪，才对幻方产生兴趣，但却没有什么成果.
直到十五世纪，住在的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人，欧洲人认为幻方可以镇压妖魔，所以把它作为，也把它叫作「Magic Square」.
欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的，
上面有一个四阶幻方，而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514年）.这是欧洲最古老的幻方.
清末民初数学家寿孝天自攥：
1956年冬，陕西省西安市郊元朝安西王府出土的金属铁板：
中国幻方协会前十位大师级人物：李文，郭先强，潘凤雏，苏茂挺，钟明，吴硕辛，曹陵，牛国良，彭保旺，曾学涵，他们全是中国的草根幻方达人，在幻方的学术研究上取得了一系列重大成果，很多研究成果领先于世界幻方研究同行。许仲义，李抗强，王忠汉，郭大焱，林正录等幻方前辈，他们也为中国幻方的研究与发展作出了无私的奉献，还有很多我们可能已经忘记了他们的名字，或许他们过去的研究成果在今天看来已经平淡无奇，但他们的历史阶段为我们后来者的研究提供了积极的养分。本协会一系列的幻方研究者，为中国乃至世界幻方学术研究、推广普及事业一直不懈奋斗着并将继续努力奉献。
中国取得不少幻方世界纪录：幻方专家第一位构造成功10阶标准，第一位构造出最低阶729阶五次幻方,第一位构造出最牛的36阶广义五次幻方，第一位理论上证明了存在最难的完美平方幻方，和多项平方幻方世界纪录，幻方专家苏茂挺第一位构成功32阶完美平方幻方.等。
提醒大家注意，任意阶幻方，任意维幻方构造法，任意次幻方构造法，都早已找到。
不存在最大阶幻方的世界纪录之类.
对于各种媒体报导的幻方世界之最，很多是不实报导，不存在未解最大阶数幻方。
幻方幻方欣赏
中国幻方网站
在线二维任意阶幻方生成；
法国高次幻方网站；
日本多维幻方网站；
富兰克林的幻方；
九阶平方幻方；
十二阶完美幻方（每个2×2子和为286):
幻方构造原理
在《射雕英雄传》中郭黄二人被追到黑龙潭，躲进的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被一下子就答出来了。
492357816这就是一个最简单的3阶平面幻方。因为幻方的智力性和趣味性，很多游戏和玩具都与幻方有关，如捉放曹、我们平时玩的六面体，也成为学习编程时的常见问题。
幻方又称、，最早记录于中国古代的洛书。夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为&洛书&或&河图&，又叫河洛图。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了
最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。对于立体幻方、高次幻方世界上很多数学家仍在研究，只讨论平面幻方。
对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式）
1、 N 为奇数时，最简单：
⑴ 将1放在第一行中间一列；
⑵ 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：
按 45°方向行走，如向右上
每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1
⑶ 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;
⑷ 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，
则把下一个数放在上一个数的下面。
2、 N为4的倍数时
采用交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵
然后将方阵的所有4×4子方阵中的两上位置的数关于方阵中心作对
称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。
（或者将对角线不变，其它位置对称交换也可）
**以上方法只适合于n=4时**
3、 N 为其它时
当n为非4倍数的偶数（即4n+2形）时：首先把大方阵分解为4个(2m+1阶）子方阵。
按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值
由小到大依次为上左子阵（i），下右子（i+v），上右子阵（i+2v)，下左子阵（i+3v），
即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4
四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③
然后作相应的元素交换：a(i,j）与a(i+u,j）在同一列做对应交换（j&t或j&n-t+2),
a(t-1,0）与a(t+u-1,0）；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使行列及上元素之和相等。
#include&stdio.h&
#include&math.h&
int&a[256][256];
int&check();
void&ins(int&n);
void&main(){&&
int&i,j,n,k,t,p,x;&&
scanf(&%d&,&n);&&
sum=(n*n+1)*n/2;&&
if(n%2==1)&//奇数幻方&&&&
if(n%4==2)&{&//单偶数幻方&&&&
k=n/2;&&&&
ins(k);&&&&
for(i=0;&i&k;&i++)&&&&&&
for(j=0;&j&k;&j++){&&&&&&&
a[i][j+k]=a[i][j]+2*k*k;&&&&&&&&
a[i+k][j]=a[i][j]+3*k*k;&&&&&&&&
a[i+k][j+k]=a[i][j]+k*k;&&&&&&
t=(n-2)/4;&&&&
for(i=0;&i&k;&i++)&&&&&&
for(j=0;&j&k;&j++){&&&&&&&&
if((j&t)&&(i&t)){&&&&&&&&&&
p=a[i][j];&&&&&&&&&&
a[i][j]=a[i+k][j];&&&&&&&&&
a[i+k][j]=p;&&&&&&&&
if((j&t)&&(i&k-t-1)){&&&&&&&&&&
p=a[i][j];&&&&&&&&&&
a[i][j]=a[i+k][j];&&&&&&&&&&
a[i+k][j]=p;&&&&&&&&
if((i&=t&&i&=k-t-1)&&(j&=t&&j&t*2)){&&&&&&&&&&
p=a[i][j];&&&&&&&&&&
a[i][j]=a[i+k][j];&&&&&&&&&&
a[i+k][j]=p;&&&&&&&&
if(j&1&&j&=t){&&&&&&&
p=a[i][j+k];&&&&&&
a[i][j+k]=a[i+k][j+k];&&&&&&&&&&
a[i+k][j+k]=p;&&&&&&&&
if(n%4==0)&{&//双偶数幻方&&&&
for(i=0;&i&n;&i++)&&&&&&
for(j=0;&j&n;&j++)&&&&&&&&
a[i][j]=x++;&&&&
for(i=0;&i&n;&i++)&&&&&&
for(j=0;&j&n;&j++){&&&&&&&&
if(i%4==0&&abs(i-j)%4==0)&&&&&&&&&&
for(k=0;&k&4;&k++)&&&&&&&&&&&&
a[i+k][j+k]=n*n-a[i+k][j+k]+1;&&&&&&&&
else&if(i%4==3&&(i+j)%4==3)&&&&&&&&&&
for(k=0;&k&4;&k++)&&&&&&&&&&&&
a[i-k][j+k]=n*n-a[i-k][j+k]+1;&&&&&&
if(check(n)==1){&&&&
for(i=0;&i&n;&i++){&&&&&&
for(j=0;&j&n;&j++)&&&&&&&&
printf(&%5d&,a[i][j]);&&&&&&
printf(&\n&);&&&&
int&check(int&n)&{&//检验是否是幻方&&
int&i,j,sum1=0,sum2;&&
for(i=0;&i&n;&i++){&&&&
for(j=0;&j&n;&j++)&&&&&&
sum1+=a[i][j];&&&&
if(sum1!=sum)&&&&&&
return&0;&&&&
for(i=0;&i&n;&i++){&&&&
for(j=0;&j&n;&j++)&&&&&&
sum1+=a[i][j];&&&&
if(sum1!=sum)&&&&&&
return&0;&&&&
for(sum1=0,sum2=0,i=0,j=0;&i&n;&i++,j++){&&&&
sum1+=a[i][j];&&&&
sum2+=a[i][n-j-1];&&
if(sum1!=sum)&&&&
return&0;&&
if(sum2!=sum)&&&&
return&0;&&
void&ins(int&n)&{&//单偶数幻方的输入&&
int&x,y,m;&&
for(m=1;&m&=n*n;&m++){&&&
a[x][y]=m;&&&
if(m%n!=0){&&&&
x=x+n;&&&&
y=n-y;&&&&
else{&&&&&&
x++;&&&&&&
c++语言实现
（1）求奇数幻方
#include&stdio.h&
#include&math.h&
int&a[256][256];
int&check();
void&ins(int&n);
void&main(){&&
int&i,j,n,k,t,p,x;&&
scanf(&%d&,&n);&&
sum=(n*n+1)*n/2;&&
if(n%2==1)&//奇数幻方&&&&
if(n%4==2)&{&//单偶数幻方&&&&
k=n/2;&&&&
ins(k);&&&&
for(i=0;&i&k;&i++)&&&&&&
for(j=0;&j&k;&j++){&&&&&&&
a[i][j+k]=a[i][j]+2*k*k;&&&&&&&&
a[i+k][j]=a[i][j]+3*k*k;&&&&&&&&
a[i+k][j+k]=a[i][j]+k*k;&&&&&&
t=(n-2)/4;&&&&
for(i=0;&i&k;&i++)&&&&&&
for(j=0;&j&k;&j++){&&&&&&&&
if((j&t)&&(i&t)){&&&&&&&&&&
p=a[i][j];&&&&&&&&&&
a[i][j]=a[i+k][j];&&&&&&&&&
a[i+k][j]=p;&&&&&&&&
if((j&t)&&(i&k-t-1)){&&&&&&&&&&
p=a[i][j];&&&&&&&&&&
a[i][j]=a[i+k][j];&&&&&&&&&&
a[i+k][j]=p;&&&&&&&&
if((i&=t&&i&=k-t-1)&&(j&=t&&j&t*2)){&&&&&&&&&&
p=a[i][j];&&&&&&&&&&
a[i][j]=a[i+k][j];&&&&&&&&&&
a[i+k][j]=p;&&&&&&&&
if(j&1&&j&=t){&&&&&&&
p=a[i][j+k];&&&&&&
a[i][j+k]=a[i+k][j+k];&&&&&&&&&&
a[i+k][j+k]=p;&&&&&&&&
if(n%4==0)&{&//双偶数幻方&&&&
for(i=0;&i&n;&i++)&&&&&&
for(j=0;&j&n;&j++)&&&&&&&&
a[i][j]=x++;&&&&
for(i=0;&i&n;&i++)&&&&&&
for(j=0;&j&n;&j++){&&&&&&&&
if(i%4==0&&abs(i-j)%4==0)&&&&&&&&&&
for(k=0;&k&4;&k++)&&&&&&&&&&&&
a[i+k][j+k]=n*n-a[i+k][j+k]+1;&&&&&&&&
else&if(i%4==3&&(i+j)%4==3)&&&&&&&&&&
for(k=0;&k&4;&k++)&&&&&&&&&&&&
a[i-k][j+k]=n*n-a[i-k][j+k]+1;&&&&&&
if(check(n)==1){&&&&
for(i=0;&i&n;&i++){&&&&&&
for(j=0;&j&n;&j++)&&&&&&&&
printf(&%5d&,a[i][j]);&&&&&&
printf(&\n&);&&&&
int&check(int&n)&{&//检验是否是幻方&&
int&i,j,sum1=0,sum2;&&
for(i=0;&i&n;&i++){&&&&
for(j=0;&j&n;&j++)&&&&&&
sum1+=a[i][j];&&&&
if(sum1!=sum)&&&&&&
return&0;&&&&
for(i=0;&i&n;&i++){&&&&
for(j=0;&j&n;&j++)&&&&&&
sum1+=a[i][j];&&&&
if(sum1!=sum)&&&&&&
return&0;&&&&
for(sum1=0,sum2=0,i=0,j=0;&i&n;&i++,j++){&&&&
sum1+=a[i][j];&&&&
sum2+=a[i][n-j-1];&&
if(sum1!=sum)&&&&
return&0;&&
if(sum2!=sum)&&&&
return&0;&&
void&ins(int&n)&{&//单偶数幻方的输入&&
int&x,y,m;&&
for(m=1;&m&=n*n;&m++){&&&
a[x][y]=m;&&&
if(m%n!=0){&&&&
x=x+n;&&&&
y=n-y;&&&&
else{&&&&&&
x++;&&&&&&
（2）求单偶幻方
#include&iostream.h&
#include&iomanip.h&
int&main(){&&
int&n,i=0,j=0,a[100][100],tot=0;
cout&&&请输入4的倍数&&&
for(i=0;i&n;i++)&&&&
for(j=0;&j&n;&j++){&&&&&&
a[i][j]=++
for(i=0;&i&n;&i++){&&&&
for(j=0;&j&n;&j++){&&&&&
if(i%4==j%4||i%4+j%4==3)&&&&&&&
a[i][j]=n*n+1-a[i][j];
for(i=0;&i&n;&i++){&&&&
for(j=0;&j&n;&j++){&&&&&&
cout&&setw(4)&&a[i][j];
当n为时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。
当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶(4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。
在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：
Merzirac法生成奇阶幻方
在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方：
loubere法生成奇阶幻方
在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。如下图用Louberel法生成的5阶幻方：
Hire法生成偶阶幻方
将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列的数字记为a(i,j）。在A内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。填写方法为：第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写（第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法：
1 5 4 3 2 6
6 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 6
6 5 3 4 2 1
6 2 4 3 5 1
1 5 4 3 2 6
如下所示为8阶填写方法（以后）：
1 8 1 1 8 8 8 1
7 2 2 2 7 7 2 7
6 3 3 3 6 3 6 6
5 4 4 4 4 5 5 5
4 5 5 5 5 4 4 4
3 6 6 6 3 6 3 3
2 7 7 7 2 2 7 2
8 1 8 8 1 1 1 8
将A上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j）－1)。则AT+B为目标幻方
（AT为A的）。如下图用Hire法生成的8阶幻方：
1 63 6 5 60 59 58 8
56 10 11 12 53 54 15 49
41 18 19 20 45 22 47 48
33 26 27 28 29 38 39 40
32 39 38 36 37 27 26 25
24 47 43 45 20 46 18 17
16 50 54 53 12 11 55 9
57 7 62 61 4 3 2 64
⑴.Strachey法生成单偶幻方
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格，其中1格为该行居中1小格，另外m-1个小格任意，其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
⑵Spring法生成以偶幻方
将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j）。
先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后进行对角交换。对角交换有两种方法：
方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。
如下图用Spring法生成的4阶幻方：
YinMagic构造偶阶幻方
先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用该方法将边缘数字填写完毕。该方法适用于n&4的所有幻方，我于日构造的数学模型。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：
10 1 34 33 5 28
29 23 22 11 18 8
30 12 17 24 21 7
2 26 19 14 15 35
31 13 16 25 20 6
9 36 3 4 32 27
如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。
用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。
1居上行正中央，依次斜填右上方，上出框往下填，
右出框左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。
幻方程序编写
利用计算机编程序，可求解出任意阶幻方.（但数字位数受电脑限制，实际上只能是有限范围内的任意阶），如利用进行计算n阶幻方，其命令为：A=magic(n)。
对于某些平方幻方，高次幻方，利用计算机辅助计算，也可快速求得。
一次幻方，一次幻立方，一次多维幻方，甚至可用简单公式全部求得。
某些类型的平方幻方，甚至高次幻方，也可用公式求得。
在幻方公式求解方法，中国处于世界领先水平.中国李文的高维高次幻方公式，是幻方理论中的精品.吴硕辛的高次幻方理论，也可用公式求解。
幻方错位补角
1.对于所有的奇阶幻方，1-n*n从小到大填入n*n的方格中。以n=5时，1-25为例。
2.横错位，将方格横向错位，每行错位数为 n-行数，即第一行横向移动n-1位，第二行横向移动n-2位...直到形成一个左低右高的楼梯。
3.横补角，以中间行为基准，将突出的数字补回本行所缺的方格内，4，5补到1的前，10补到6前，16补到20后，21，22补到25后。从而重新得到一个n*n方格。
4.竖错位，将方格纵向错位，每列错位数为 n-列数，即第一列横向移动n-1位，第二列横向移动n-2位...直到形成一个左低右高的楼梯。
5.竖补角，以中间列为基准，将突出的数字补回本列所缺的方格内，17，23补到4上，24补到5上，2补到21下，3，9补到22下。从而重新得到一个n*n方格，及得到结果。
结语：错位补角可以先横后竖，也可以先竖后横。楼梯可以左低右高，也可以左高右低。只要保证横竖做出的楼梯方向相同，就能得到正确结果。一共可以求出4个答案。
．中国知网[引用日期]
谈祥柏．趣味数学辞典：上海辞书出版社 ，1995
．C语言中文网．[引用日期]
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