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运算放大器：稳定性分析4
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TI工程师谈环路稳定性主要技巧与经验
资深工程师
14:21:43　　
本帖最后由 gk320830 于
17:51 编辑
着重讨论了环路稳定性的主要技巧与经验。首先，我们将讨论45度相位及环路增益带宽准则，考察了在Aol曲线与1/β曲线以及环路增益曲线Aolβ中的极点与零点之间的互相转化关系。我们还将讨论用于环路增益稳定性分析的频率“十倍频程准则”。这些十倍频程准则将被用于1/β、Aol及Aolβ曲线。我们将给出运放输入网络ZI与反馈网络ZF 的幅度“十倍频程准则”。我们将开发一种用于在1/β 曲线上绘制双反馈路径的技术，并将解释为何在使用双反馈路径时应该避免出现“BIG NOT”这种特殊情况。最后，我们将给出一种便于使用的实际稳定性测试方法。在本系列的第5 部分中，这些关键工具的综合使用使我们能够系统而方便地稳定一个带有复杂反馈电路的实际运放应用。
环路增益带宽准则
已确立的环路稳定性标准要求在fcl 处相移必须小于180 度，fcl 是环路增益降为零时的频率。在fcl 处的相移与整个180 度相移之间的差定义为相位余量。图4.0 详细给出了建议用于实际电路的经验，亦即在整个环路增益带宽（f≤fcl）中设计得到135 度的相移（对应于45 度的相位余量）。这是考虑到，在实际电路中存在着功率上升、下降及瞬态情况，在这些情况下，运放在Aol 曲线上的改变可能会导致瞬态振荡。而这种情况在功率运放电路中是特别不希望看到的。由于存在寄生电容与印制板布局寄生效应，因此这种经验还考虑在环路增益带宽中用额外的相位余量来考虑实际电路中的附加相移的。此外，当环路增益带宽中相位余量小于45 度时，即可能在闭环传输函数中导致不必要的尖峰。相位余量越低及越靠近fcl，则闭环尖峰就会越明显。
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图4.0：环路增益带宽准则
图字（上下、左右）：Aolβ（环路增益）相位曲线、-135°“相移”、频率 (Hz)、45°“相位余量”环路稳定性标准：在fcl 处相移& -180 度
设计目的：在所有& fcl 的频率上，都有相移≤ -135 度
原因：因为Aol（开环增益）并不总是“典型”，考虑到实际电路布局与器件的寄生效应，存在着功率上升、下降及暂态现象→这些是未定义的“典型” Aol。
极点与零点转换技术
图4.1 给出了环路增益曲线与Aol 曲线之间的关系，并包括了一条1/β 曲线。此关系使我们能够利用厂商提供的运放数据资料中的Aol 曲线来在图中绘制我们的反馈曲线1/β。从这两张图，我们可以方便地推断出环路增益曲线中的情况，从而更加方便地总结出，为得到良好的稳定性我们应该对反馈进行怎样的调整。考虑到环路增益曲线是一条“开环”曲线，而Aol 已经是一条开环曲线，因此Aol 曲线中的极点就是环路增益曲线中的极点，而Aol 曲线中的零点就是环路增益曲线中的零点。1/β 曲线为小信号交流闭环增益曲线。如果我们想要断开环路来查看反馈网络的影响，则当分析网络时我们将看到一个倒数关系。用于记住从1/β 曲线到环路增益曲线转换的更简便方法就是，环路增益曲线是Aolβ 图，而闭环反馈曲线则是1/β 曲线。因此，既然β 是1/β 的倒数，那么1/β 曲线中的极点就成为环路增益曲线 (Aolβ) 中的零点，而1/β 曲线中的零点就成为环路增益曲线中的极点。
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图4.1：极点与零点转换技术
Aol&1/β 曲线、环路增益曲线 (Aolβ)
从Aol&1/β 曲线来绘制Aolβ 曲线：
Aol 曲线中的极点为Aolβ（环路增益）曲线中的极点
Aol 曲线中的零点为Aolβ（环路增益）曲线中的零点
1/β 曲线中的极点为Aolβ（环路增益）曲线中的零点
1/β 曲线中的零点为Aolβ（环路增益）曲线中的极点
（请记住：β 为1/β 的倒数）
十倍频程准则
图 4.2 详细描述了在环路增益曲线中的“十倍频程准则”。这些十倍频程准则将被用于1/β曲线，Aol曲线及Aolβ（环路增益）曲线，我们可以从Aol曲线及1/β曲线直接推导而来。对于本图所示的电路，Aol曲线在大约100kHz处包含了第二个极点fp2，这是因为存在容性负载CL及运放的RO，详细讨论将在本系列的第6 部分中给出。我们将建立一个满足我们环路增益带宽准则（即f≤ fcl时余量为45 度）的反馈网络。我们将利用我们对环路增益图(Aolβ） 的了解，使用1/β曲线及Aol曲线图来对反馈网络进行分析与综合。在环路增益曲线10Hz处给出了第一个极点fp1，这说明在10Hz处相移为 -45 度，在100Hz处相移为 -90 度。在1kHz、fz1、1/β曲线的零点处，我们在环路增益曲线上增加了一个极点，在1kHz处增加了另外 -45 度的相移。现在，在1kHz处，总的相移为 -135 度。
但如果我们从fz1 开始继续增加频率，则在10kHz处相移将达到 -180 度！因此我们增加了fp3，作为1/β曲线上的极点，这在环路增益曲线上是10kHz处的零点（在10kHz处相移为 +45 度，在10kHz以上及以下斜率为+45 度/decade）。这保证了1kHz处的相移为 -135 度，并使得从1kHz到10kHz的相位曲线都平坦地位于 -135 度（请记住极点和零点对于它们实际频率位置处的上十倍频程和下十倍频程频率都有影响）。fp2 在环路增益曲线100kHz处又增加了一个极点，这是因为fp2 是取自Aol曲线。在fp3 所在的10kHz 与fp2 所在的100kHz处，我们希望两者之间没有相移，因为fp3 是环路增益曲线的零点而fp2 则是环路增益曲线的极点。
因此，如果我们保持极点与零点之间相隔十倍频程，则可避免它们之间的相移继续减少，因为它们各自对所在位置的上、下十倍频程都有影响。环路增益十倍频程准则最后的关键点是， fp3 应置于距fcl 一个十倍频程远处。这是考虑到，在我们可以达到一个余量稳定状态以前，Aol 会向低频偏移十倍频程。当遇上最坏情况时，就是Aol 随时间和温度发生了漂移，此时，许多IC 设计者都会将观测到的数字2 读成1（也就是说，1MHz 的统一增益带宽运放可能会从500kHz 偏移到2MHz）。我们推荐我们的十倍频程准则，因为它更容易记住并在波特图上可以方便地看出。额外的相位余量设计不会带来不便，但如果同时要求带宽、稳定性与性能话，那么2 变1 准则仍不失为一个好的选择。
我们预计在环路增益离开100kHz以前，该电路的VOUT/VIN曲线都平的，之后它将跟随Aol曲线变化。
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图4.2：极点与零点转换技术
图字：环路增益图解： 极点：fp1、fp2 及fz1；零点：fp3
获得良好环路稳定性的经验：
将fp3 置于离fz1 的1 个十倍频程以内
fz1 处， fp1 和fz1 =-135°相移
fp3≤ decade 将避免相移进一步降低
将fp3 置于fcl 至少一个十倍程以下位置
容许Aol 曲线左移一个十倍频程
图4.3 给出了有关图4.2 所示电路的环路增益相位曲线的一阶人工分析预测。我们在1MHz 处增加了另一个极点fp4，来模拟真实世界中典型的双极点运放。
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图4.3：一阶环路相位分析
图字：单个极点和零点曲线、最终曲线
为检验我们的一阶环路相位分析，我们用Tina SPICE 构建了我们的运放电路，如图4.4 所示。同时我们还用SPICE 环路增益测试来对Aol 曲线与1/β 曲线进行了测量。
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图4.4：Tina SPICE 电路：SPICE 环路增益测试
图字：简单运放交流SPICE 模型
图4.5 给出了Aol 和1/β 的Tina SPICE 仿真结果，并将其与我们一阶人工分析进行了仔细的相关比较。
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图4.5：Tina SPICE 电路：Aolβ 与1/β
我们的Tina SPICE 仿真也被用来绘制环路增益与环路相位曲线。图4.6 给出了环路相位曲线，它是基于我们一阶人工分析得到的预测。
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图4.6：Tina SPICE 电路：环路增益与环路相位
图字：环路增益、环路相位
为检验我们的VOUT/VIN预测是否正确，我们将Tina SPICE电路修改成如图4.7 所示的电路并进行仿真。
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图4.7：Tina SPICE电路： VOUT/VIN
图字：简单运放交流SPICE 模型
图4.8 给出了VOUT/VIN的Tina SPICE仿真结果。我们看到VOUT/VIN传输函数从大约10kHz开始，有一个微小的上
升。这是因为环路增益由于存在Rn-Cn网络而开始明显下降。但这与我们得到的一阶人工分析预测结果相差不大。一个值得再次提醒的关键点是，VOUT/VIN并非总是与1/β一致。
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图4.8：Tina SPICE电路：VOUT/VIN 传输函数
ZI 和 ZF 幅度十倍频程准则
我们从本系列的第2 部分了解到ZI 和ZF 网络。图4.9 详细给出了ZI 输入网络中的幅度 “十倍频程准则”。如果我们标定Rn = RI/10（Rn 在数值上比RI 小“十倍”），则我们可以确定在高频情况下，当Cn 阻抗短路时，Rn将把高频设置为RF/Rn。这样标定使我们能更容易地绘出1/β 曲线中起主要作用的一阶结果。幅度十倍频程准则的另一个优势是它迫使我们加入极点/零点对——fp 与fz，这样在其彼此一个十倍频程以内，以及因此在fp 与fz之间，相移将保持平坦。
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图4.9：ZI 幅度十倍程准则
ZI：低频处1/β=RF/RI
标定Rn = RI/10
这样在高频处：
Rn 比 RI 占优势 →1/β≈RF/RI
fp=1/(2?π ?Rn ?Cn )
fz=1/(2?π ?RI ?Cn )
图4.10 给出了ZF 反馈网络中的幅度“十倍频程准则”。如果我们标定Rp = RF/10（Rp 在数值上比RF 小“十倍”），则我们可以确定在高频情况下，当Cp 的阻抗短路时，Rp 将把高频设置为Rp/RI。这样标定使我们更容易绘出1/β 图中起主要作用的一阶结果。正如在输入网络ZI 中一样，幅度十倍频程准则的另一个优势是它迫使我们加入一个极点/零点对fp 和fz，这样在其彼此一个十倍频程以内，以及因此在fp 与fz 之间，相移将保持平坦。
图4.10：ZF 幅度十倍频程准则
ZF：低频处1/β=RF/RI
标定Rp = 1/10RF
这样在高频处：
Rp 比 RF 占优势 →1/β≈Rp/RI
fp=1/(2?π ?RF?Cp )，fz=1/(2?π ?Rp?Cp )
双反馈路径
随着本系列的不断深入，我们将看到，常常运用反馈电路来确保获得良好的运放稳定性，需要使用一个以上的反馈路径。为更方便地分析和综合此类多级反馈，我们将使用叠加原理。图4.11 定义了叠加原理。在此，我们将先单独分析每个影响，然后再将主要影响作为我们反馈的最终结果。
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图4.11：叠加原理
摘自：Smith,Ralph J，“电路、器件与分析”，John Wiley&Sons 公司，1973 年第三版，纽约。
叠加原理：如果起因和影响线性相关，则同时起作用的几个起因造成的总的影响就等同于单个起因每次单独作用的影响之和。
在图4.12 中，我们看到一个使用了两条反馈路径的运放电路。第一条反馈路径FB#1，位于运放的外部，经过Riso和CL后返回，并经过RF和RI回到运放的输入端。第二条反馈路径FB#2，位于运放的外部，经过CF然后返到运放的输入端。这里分别绘制了与这些反馈等效的1/β曲线。此推导的详细过程将在本系列的后续部分给出。当围绕运放使用一个以上反馈路径时，为运放提供最大反馈电压的反馈路径就成为主要的反馈路径。这意味着如果为每个反馈都绘制了1/β图，则在给定频率处，1/β最小的反馈就将在该点起主要作用。请记住，最小的1/β即最大的β，而由于β=VFB/VOUT，因此最大的β即表明反馈到运放输入端的电压最大。请记住一个简单的类比，即：如果两个人对着你的同一只耳朵讲话，那么哪个你听得更清楚一些呢——当然是讲话声较大的那个！所以运放将会“听”具有最大β或最小1/β的反馈路径。在FB#1 或 FB#2 的任何频率上，运放所看到的的净1/β曲线应该是较低的那个。
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图4.12：双反馈网络
类比：两个人同时对着你的耳朵讲话。你更能听见哪个呢？当然是讲话声大的那个！
双反馈：有两条反馈路径在对运放“讲话”，它主要倾听反馈电压较大的路径 (β = VFB/VOUT)，这意味着最小的1/β值！
双反馈网络：
- 采用叠加原理
- 分析每个FB#1/β 并绘图、
- 最小FB# 决定了1/β
- 1/β=1/(β1-β2)。
当围绕一个运放使用双反馈路径时，有一个极其重要的情况必须避免，即“BIG NOT”。如图4.13 所示，其中的运放电路导致反馈路径中产生BIG NOT 现象，该现象在1/β 曲线中可看到，图中1/β 斜率从+20db/decade 突然变成了-20dB/decade。这种改变意味着，在1/β 曲线上有中一个复共轭极点，这样相应地在环路增益曲线上即有一个复共轭零点。复零点与极点在其对应的频率上引起一个 +/-90 度的相移。此外，复零点/复极点的相位斜率，在其出现频率位置附近的一个狭窄频带内可从+/-90 度变化至+/-180 度。复零点/复极点的产生在闭环运放响应中可能会引起严重的增益尖峰，这是很不希望看到的情况，尤其在功率运放电路中。
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图4.13：双反馈与BIG NOT
图字：警告：这对你的电路可能很危险！
双反馈和BIG NOT：
1/β 斜率从+20db/decade 变成-20dB/decade
- 表明在1/β 曲线上有一个“复共轭极点”
- 表明在Aolβ（环路增益）曲线上有一个“复共轭零点”
- 在复零点/复极点的频率处有+/-90 度的相移
- 在复零点/复极点所出现频率位置附近的一个狭窄频带内，相位频率可以从+/-90°/decade 变化至+/-180°，这取决于不同的阻尼系数
- 复零点/复极点在闭环响应中可能会引起严重的增益尖峰
图4.14 给出了不同阻尼系数情况下复共轭极点的幅度图。不论阻尼系数如何，极点都表现为双极点且斜率为-40dB/decade。但相位将给出不同的情况。
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图 4.14：复共轭极点幅度举例
摘自：Dorf, Richard C.，“现代控制系统”，Addison-Wesley 出版公司，麻省雷丁，第三版，1981年。
图4.15 给出了复共轭极点的相位图。很明显，由于阻尼系数不同，故相移相对于单纯双极点而言可能会有极大的不同。在双极点情况下，我们预计在该频率处的相移为 -90 度，斜率为-90 degree/decade（阻尼系数 =1）。
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图4.15：复共轭极点相位举例
摘自：Dorf, Richard C.，“现代控制系统”，Addison-Wesley 出版公司，麻省雷丁，第三版，1981年。
实际稳定性测试
完成一阶人工分析后，再用SPICE 仿真来进行合理性检查，我们即能建立起自己的运放电路。如果有一种简便的方法可以判断实际相位余量是否就是我们分析得到的预测结果的话，那么这将带来许多便利。许多实际运放电路都是双极点、二阶及系统响应这些因素占优势。参见图4.16，一个典型的运放Aol 曲线在10Hz 至100Hz 范围内有一个低频极点，在其统一增益转换频率处、或者其后不远处有另一个高频极点。如果采用单纯的电阻反馈，我们会看到环路相位曲线将呈现出双极点系统效应。对于更复杂的运放电路来说，总的环路增益与环路相位曲线通常都是由双极点响应来决定的。二阶系统的闭环行为得到了很好的定义，并能为我们提供一种用于实际稳定性检查的强大技术。
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图4.16：运放电路的交流行为
图字（上、下）：大部分运放电路都采用众所周知的二阶系统响应行为来进行充分的分析，模拟及进行测试。
大部分运放都有两个极点占优势：
Aol 曲线给出了一个低频极点fp1
Aol 曲线还有一个高频极点fp2
fp2 通常位于fcl 处以获得统一增益
这就在统一增益处产生45 度的相位余量
图4.17 给出了详细的实际暂态稳定性测试。将一个小幅度方波馈入闭环运放电路中作为VIN源，在环路增益带宽中选择一个频率，但这个频率要足够高以便于触发示波器。1kHz对大部分应用来都说是一个不错的测试频率。调整VIN以使VOUT为200mVpp或更小。我们感兴趣的是电路的小信号交流行为，以找出交流稳定工作点。为此，我们不希望在输出上有较大的信号摆动，这可能也包含了一些大信号限制，例如摆动速率、输出电流限制或输出级电压饱和等。Voffset提供了一种机制，以在整个输出电压范围内上下移动输出电压以寻找在所有工作点条件下的交流稳定工作点。对许多电路（尤其是驱动容性负载的电路）来说，最差的稳定性情况是输出接近于零（对双电源运放应用）、且直流负载电流很小或完全没有的时候，因为这样会导致运放的开环小信号阻抗RO达到最大值。记下方波输出上的过冲与振铃量，并将其与图4.18 所示的二阶瞬态曲线进行对比。从与您的测量电路最匹配的曲线上记下相应的阻尼系数。在图4.19 中 的二阶阻尼系数比相位余量曲线的y轴上找出此相应的阻尼系数，X轴包含了二阶电路的相位余量。
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图4.17：实际瞬态稳定性测试
图字：测试技巧：
- 选择测试频率&&fcl
- 调整VIN幅度以产生“小信号”交流输出方波
- 通常最坏情况是当Voffset=0 时→ 最大运放RO值 (IOUT=0)
- 任意改变Voffset来检验所有输出工作点，以找出稳定工作点
- 令范围＝交流耦合与扩展垂直范围刻度，以便找出VOUT小信号方波上的过冲、下冲及振铃量。&/fcl
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图4.18：二阶瞬态曲线
摘自：Dorf, Richard C.，“现代控制系统”，Addison-Wesley 出版公司，麻省雷丁，第三版，1981年。
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图4.19：二阶阻尼系数比相位余量
17:10:37　　
本帖最后由 gk320830 于
17:51 编辑
高级工程师
17:28:38　　
很强大的知识啊，顶。。。
22:41:35　　
看看的 老大
12:09:23　　
学习，自己的只是太少了
高级工程师
20:09:14　　
助理工程师
23:53:18　　
好复杂啊~~~
助理工程师
11:04:40　　
对这方面不了解
13:03:32　　
看不明白啊，，
14:03:29　　
顶，支持一下
22:58:23　　
虽然看不懂，但还要支持一下
21:33:42　　
11月注册新萌有奖哦
BUT！！“老”朋友不要看到这就走了！！！
小编这次不偏心新萌了
“老”司机们通过分享同样有奖哦
等不及了？快来加入吧！
美国时间日凌晨0点45分，在3GPPRAN1 87次会议的5G短码方案讨论中，中国华为公司的PolarCode（极化码）方案，最终战胜列强，成为5G控制信道eMBB场景编码最终方案。
Powered by如何通俗地解释 PID 参数整定？
在学PID，里面提到一些结论如：增大比例增益Kp，能够减少余差；增加积分时间、微分时间分别对输出的影响。但是我现在的疑惑是，这些影响都是通过数学公式推导的嘛？能不能从实物的角度或者其他通俗易懂的角度解释这些影响呢？就好像要给一个从来没有接触过PID的人解释这个原理？
【fmwan的回答(564票)】:
由于PID属于无模型控制，调节三个环节的参数会产生什么影响根据控制对象的不同也会有很大差别。你提到的这些结论其实都是根据经验总结出来的。
既然你说是从来没有接触过PID，那我就举例尽量说明一下PID控制是怎么一回事。
1）假设我们面对的系统是一个简单的水箱的液位，要从空箱开始注水直到达到某个高度，而你能控制的变量是注水笼头的开关大小。那么这个简单的数学模型就是
对于这个简单的系统，我们甚至只需要一个比例环节
就能将其控制住。
说白了，也就是水箱液位离预定高度远的时候就开大点，离的近的时候就开小点，随着液位逐步接近预定高度逐渐关掉水龙头。
的大小代表了水龙头的粗细（即出水量大小对液位误差的敏感程度，假设水龙头开度与误差正比关系），越粗调的越快，也就是所谓的"增大比例系数一般会加快系统响应"。如下图：
2）假设咱们这个水箱不仅仅是装水的容器了，还需要持续稳定的给用户供水。
那这个系统的数学模型就需要增加一项：
是个正的常数。
这时候我们发现如果控制器只有一个比例环节，那么当系统稳定，也就是
的时候，恰好
在系统稳定时不为0，液位离我们想要的高度总是差那么一点，这也就是所谓的稳态误差，或者叫静差。
是固定的，那么当然
就越小。这也就是所谓的增大比例系数P在有静差的情况下有利于减小静差。如下图：
3) 从上面的式子
大家可以看出来，
再大那也只是个分母，不可能把
变成0的。老是调不到预定位置老板是会骂人的，这可咋办？
然后有人就想到，第二小节里头那个水箱跟第一小节的相比，不就是多了一个漏水的窟窿么。它漏多少我给它补多少，那不就成了第一小节里的简单系统了么。靠谁补呢？积分环节这时候就派上用场了。
我们把之前的控制器变成比例环节+积分环节：
积分环节的意义就相当于你增加了一个水龙头，这个水龙头的开关规则是水位比预定高度低就一直往大了拧，比预定高度高就往小了拧。如果漏水速度不变，那么总有一天这个水龙头出水的速度恰好跟漏水的速度相等了，系统就和第一小节的那个一样了。那时，静差就没有了。这就是所谓的积分环节可以消除系统静差。
4）啥叫积分时间常数呢？一般PID控制里，表示积分环节敏感度的那个系数
就是积分时间常数。从这个式子我们可以看出，积分时间常数越大，积分环节系数就越小，积分环节就越不敏感（也就是第二个水龙头越细）。
当咱们只有一个比例环节的水龙头注水的时候，是不会注水注多的，因为离得越近水龙头关的越小啊。
但是当咱们用俩水龙头注水的时候，在没到预定高度前第二个积分环节的水龙头可以一直在往大了拧的，那当到达预定高度的时候它恰好拧到最大，自然而然就会注水注多了。而多出去的这部分水就叫做“超调”。第二个水龙头越粗，多注的水就会越多，它调到恰好等于漏水速度的时间就会越快，但同时会多更多波折。
于是，老师告诉我们增大积分时间I有利于减小超调，减小振荡，使系统的稳定性增加，但是系统静差消除时间变长。如下图：
5）接下来我们来看点有意思的东西。还是上面这个系统，假如我们选用相同的积分时间常数，但是选择不同的比例系数会如何呢？
看到上面这幅图，一些记性好的童鞋可能就有疑问了。因为老师明明说过”看到上面这幅图，一些记性好的童鞋可能就有疑问了。因为老师明明说过”过大的比例系数会使系统有比较大的超调，并产生振荡，使稳定性变坏“，但是上面这幅图里怎么比例大的反而超调小呢？
其实上面这幅图很好解释，小节4里我们说明了PI控制器超调出现原因是积分这个水龙头在到达目标液位时也恰好开到了最大。而比例这个水龙头越粗，那么它在超出目标液位时对超调的抑制也就越明显。
这里，我想再强调的是：PID参数整定的结论是根据普遍经验总结的，但是针对某个具体的系统不一定完全适用。
6) 在上面的系统中，我们假设用户用水的固定的一个值，但是实际情况中用户的用水量往往是变化的。假如我们的系统是
来分析一下：
我们的控制目标是让
，系统误差的定义是：
那么误差状态方程就是
上面我们设定的控制目标是个常数，所以
从上面这个式子我们可以看出，当
不再变化，而
是始终变化的。
不恒为零，也就是说
不恒为零。
也就是说，当
就不再是系统的稳定平衡点了，经典意义上系统不再稳定。
7）这里加一个微分环节D变成PID控制会不会让系统重新稳定呢？
当加入微分环节，
），微分环节都让
的变化减慢了，这也就是
“微分环节主要作用是在响应过程中抑制偏差向任何方向的变化”
“微分常数不能过大，否则会使响应过程提前制动，延长调节时间”
而至于“微分环节会降低系统的抗干扰性能”，更多指的是大多数细微测量噪声造成的
很小，但瞬时的
较大，微分环节相对于PI环节更容易收到这些细微噪声的影响。
无论如何选取微分参数
，PID控制都不能使系统稳定。
从这里，我们可以看到PID控制的局限。
——————————————————————————————————————————
微分环节想了很久，最后还是觉得想到的例子都不够清楚准确，还是用式子更顺手一些。
希望大家不要死记口诀，多用所学到的来针对具体问题具体分析。
——————————————————————————————————————————
指正。第7小节那个结论的准确说法应该是“微分环节会提高系统抗扰动能力，降低系统抗噪声能力”。
【周蕾的回答(11票)】:
加一点补充。 在实际系统中使用的时候，PID controller的传递函数一般使用 Lead-lag 形式：
这里Kp 是proportional gain, Ti 是integral time, alpha是一个大于1的常数， au是超前控制器的时间参数。 这里Kp 是proportional gain, Ti 是integral time, alpha是一个大于1的常数， au是超前控制器的时间参数。
使用串联lead-lag的好处是，参数可以直接确定零极点的位置，非常容易可以画出Bode图。此外在高频有时要增加一个极点，使在高频段Bode plot的斜率为-1 （-20dB/dec），比较有助于噪声抑制。
【MarinaZhao的回答(45票)】:
第一个在知乎的回答 感想这么多人点赞
非常高兴这么多人对控制感兴趣
我也在不断学习中，发现去年的回答有不准确的地方，所以做出更正 希望不要误导了大家 谢谢
～～～ 更新好吧 知乎里控制理论相关的答案确实不多。很多人自称关注科技，可是要理解现在的科技，光知道计算机结构，传感器原理是远远不够的，我们不能回避这个非常不像科技的话题。因为，当我们熟悉了各种传感器电动机等等元件（components），我们最关注的问题就是，怎么使用它们，如何有序地组合电气或是机械或是社会学甚至是生态系统中的元件，从而使整个系统按照我们的要求运行下去？
说这么多题外话，无非想要强调控制思想的重要性。现在回到PID控制器上来， PID是最常见的控制器，广泛应用与机械和电气系统。它的核心，在于一个反馈上。什么是反馈，反馈就是让系统的实时输出加入到输入中，从而实现自动调节。最常见的是负反馈。PID控制器就是一款非常典型的负反馈控制器。
P表示比例，用来瞬时大幅度调控，比如说你的输入是5v，但是你的理想输出是10v，那么此时的误差是5"V. 用比例控制时，根据你选择的比例系数，假设是1，那么下一步的输出就是5+5＝10V。但是事实真是如此轻松愉快吗？当你加入一个比例2时，有一些非常可恶的东西阻碍你达到稳定的10v，比如说系统一下子跃升，到10v刹不住车，产生了超调量，一下子奔到20v了，稳态误差非常大而且不可控，那估计机器已经烧了，或者周围一下细小的扰动进来，经过比例放大，变成了相对较大的扰动，系统扛不住了。怎么办？我们引入I，积分控制。当我们把输出反馈回来和外部输入一比较，我们得到一个误差，然后我们把误差作为输入，对误差进行积分，再反馈回来。什么时候达到稳定呢？当误差为0了，反馈回来的值就是一个常数（想下积分过程），此时输出就稳定了。并且由于此时误差为0，那么稳定点就正好是外界参考输入。结合比例控制，就能实现对抗干扰和消除稳态误差。最后，那D微分控制是拿来干嘛的呢？设想一个场景，外部输入是一个斜坡信号，电压或者力矩随着时间在增长或减少，那么光用比例和积分都无法使系统输出追上输入的变化脚步。这时候，我们使用微分控制，让我们输入的变化率等于输出的变化率。那么，我们就能追踪变化信号了。
PID控制器的优点非常明显，我其实不需要系统的精确模型! 我不管模型怎么样，把系统输出接出来和一个参考信号一比，误差一输入"PID控制器，误差就能被消除。
但是，真的有这么老少皆宜平易近人的控制器吗! PID真的这么全能吗？
那还有那么多人研究控制理论干什么! （打到自己脸了）
很重要的一点, 就是，变化信号的变化率只能是常数，就像我们所说的斜坡信号，当变化率也是时间的函数时，我们的PID就无法处理了。因为我们的控制器里只有一个一阶微分，对于求导后还是变化的信号束手无策。另一个问题就是，它是一种线性控制器，但是我们的现实系统都有非线性特征，所以只能对某个平衡点及其邻域使用，换言之，很有可能邻域很小，一旦超出，系统就崩溃了。
总而言之，PID控制器对于线性性好，输入不超过斜坡的系统是非常简单实用的，但是对复杂非线性系统和复杂信号追踪，非常有局限性。
【小心假设的回答(5票)】:
廖常初老师：
之后还有之二，之三。。。
晨枫老师：
自动控制的故事
欢迎补充～
【梁维的回答(11票)】:
个人是从学振动控制入手学PID的，尝试说一下：
自由振动方程是
第一项是牛顿第二定律，第二项是阻尼，第三项是弹簧力。这三项的导数分别是二阶，一阶，零阶。
如果有外力，或者我们说，控制，就是
这个控制器长什么样，看设计者了。这里我们采取PID控制，那么它长这样
这其中e(t)被称之为tracking error，表达式是
r(t)是参考值，是我们想要x成为的样子，他们之间的差是时变的，但是最后会趋于不变，我们通过观测这个差值来观测系统的状态。
把上面这个式子带入原式，就是：
把带x的全部归到左边，合并同类项：
这时候，就可以看出PID的影响了：
D这一项，跟系统本身的一阶导数合并在了一起；
P这一项，跟系统本身的状态量x合并在了一起；
也就是可以这么理解：
P的这一项，在物理意义上影响了这个振动系统的弹簧系数；
D的这一项，在物理意义上影响了这个系统的阻尼。
那么I这一项呢？诚然，他是没有物理意义的，算是有些人造性质。但是他在控制中着实起了作用。我们可以把他解释成，对这个系统到现在这个时刻t为止，所有误差的叠加（或者积分）。也就是，I代表着这个被控制的系统的历史的影响。
所以其实MCK的振动动力学系统，他有自己的动力学行为；但是增加了PID之后，能够影响该系统本身的参数（P,D的作用），以及观测这个系统的历史遗留问题（I），起到控制的目的，让系统可以达到诸如稳定性，快速上升等等效果。
手打的公式，粗略地推了一下，若是数学上有问题还请指出，感谢。
【刘先生的回答(31票)】:
小明接到这样一个任务：
有一个水缸点漏水(而且漏水的速度还不一定固定不变)，
要求水面高度维持在某个位置，
一旦发现水面高度低于要求位置，就要往水缸里加水。
小明接到任务后就一直守在水缸旁边，
时间长就觉得无聊，就跑到房里看小说了，
每30分钟来检查一次水面高度。水漏得太快，
每次小明来检查时，水都快漏完了，离要求的高度相差很远
，小明改为每3分钟来检查一次，结果每次来水都没怎么漏
，不需要加水，来得太频繁做的是无用功。几次试验后，
确定每10分钟来检查一次。这个检查时间就称为采样周期。
开始小明用瓢加水，水龙头离水缸有十几米的距离，
经常要跑好几趟才加够水，于是小明又改为用桶加，
一加就是一桶，跑的次数少了，加水的速度也快了，
但好几次将缸给加溢出了，不小心弄湿了几次鞋，小明又动脑筋，
我不用瓢也不用桶，老子用盆，几次下来，发现刚刚好，不用跑太多次，
也不会让水溢出。这个加水工具的大小就称为比例系数。
小明又发现水虽然不会加过量溢出了，有时会高过要求位置比较多
，还是有打湿鞋的危险。他又想了个办法，在水缸上装一个漏斗，
每次加水不直接倒进水缸，而是倒进漏斗让它慢慢加。这样溢出的问题解决了，
但加水的速度又慢了，有时还赶不上漏水的速度。
于是他试着变换不同大小口径的漏斗来控制加水的速度
，最后终于找到了满意的漏斗。漏斗的时间就称为积分时间 。
小明终于喘了一口，但任务的要求突然严了，
水位控制的及时性要求大大提高，一旦水位过低，
必须立即将水加到要求位置，而且不能高出太多，否则不给工钱。
小明又为难了！于是他又开努脑筋，终于让它想到一个办法，常放一盆备用水在旁边，
一发现水位低了，不经过漏斗就是一盆水下去，这样及时性是保证了，但水位有时会高多了。
他又在要求水面位置上面一点将水凿一孔，再接一根管子到下面的备用桶里这样多出的水会从上面的孔里漏出来。
这个水漏出的快慢就称为微分时间。
【bigtree的回答(9票)】:
楼上各位前辈们说得很好了，我就想补充一个本科时老师说过的话（估计很多教材里也有）：1.比例环节P可以反映输入信号当前的信息（现在）2.积分环节I可以反映输入信号“历史变化”的信息（过去）3.微分环节D可以反映输入信号未来的变化趋势的信息。（将来）根据这三点可以定性地理解PID参数对系统的影响。
【苏小蓝的回答(5票)】:
原文是给美国初中高中生看的,推荐下,连微积分知识都不要.
能看英文版最好,这是中文翻译的
用的方法是齐格勒尼科尔斯法,个人认为是一种非常简单好用的方法
如果想了解得跟深入，就看几篇论文吧
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转载一下文章中关于整定一块的内容好了www.
调整PID控制器，不使用复杂的数学方法
（但是我们还是要做一些计算）
在本文中，我使用了其他人总结出来的PID控制器调整的方法，测量几个系统参数就可以让你非常好地计算出 Kp,Ki 和 Kd的值。有几种技术可用于计算Ks，其中之一就叫做 "Ziegler–Nichols方法" 。通过谷歌搜索可以找到很多讲述这种技术的网页。我所使用的版本几乎是直接使用了维基网页——PID控制器中的内容（在很多其他的地方也可以找到相同的内容），我只做了一点小小的改动，包括下表中所示计算过程中的循环时间。
按以下步骤调整PID控制器：
将 Ki 和 Kd 的值置为0，即关闭控制器中的这些部分，将控制器作为一个简单的比例控制器。 
把Tp（目标功率值）设置的小一点。对于我们使用的马达来说，可以设为25. 
将 Kp 设置为一个“合理”的值，什么是合理的？
1）用我们想让马达功率达到的最大值（100）除以能使用的最大误差值。对于我们的巡线机器人，我们假定这个最大误差是5，所以推测出Kp值为 100/5=20。当误差为+5,，马达的功率将达到100,。当误差为0，马达的功率会在 Tp （目标功率值）上。
2）或者，将Kp 值设为 1 （或100），看看会发生什么。
3）如果你要把 K"s的值乘以100，在这里，1就要记成100,20记成记成10000.
运行机器人，观察运行状态。如果它不能巡线，从线上脱离开，就提高Kp值；如果它剧烈摆动，就降低Kp 值。调整Kp值，直到机器人能够巡线，并且没有明显的摆动为止。我们称这时的Kp 值为"Kc" （在PID文献中，被称为临界值） 
使用Kc值作为Kp，运行机器人，试着找出机器人运行时的“振荡周期”是多少。这个测试不需要非常准确。振荡周期（Pc)是指机器人从线的一侧开始，摆动到另一侧，再回到开始点的时间长短。对于典型的乐高机器人来说，Pc 大约是在0.5秒到1或2秒之间。 
你还需要知道，机器人的循环周期是多少。我将循环设置为一个固定的次数（如10,000），测量机器人完成全部循环次数的总时间（从开始到结束的时间，或机器人显示出结果的时间），每个循环的周期是测量时间除以循环次数。对于一个完整的PID控制器来说，使用NXT-G编程（在程序中不要使用发声、显示等模块，这些模块的使用会占用程序运行时间，影响测试结果），dT值应该在每个循环0.015秒到0.020秒之间。 
使用下表计算 Kp, Ki, 和 Kc 的值。如果你只想要一个P控制器，使用表中标注了P的那一行来计算Kp (Ki" 和 Kd" 均为0)。如果你想要一个PI控制器，就使用第二行来计算。如果你想要一个完整的PID控制器，就使用最后一行来计算。 
在实际操作时，那些K值都要用100乘以它们实际的值，但是在计算中你不需要考虑这个问题。这个因数100 ，在确定Kp = Kc 临界值时，就已经考虑在内了。 
运行机器人，看看它的表现。 
你可以调整Kp, Ki 和 Kd 的值直到获得最佳的性能。你可以从相当大的调整开始，如30%，然后尝试较小的调整，以获得最佳的（或者至少是可以接受的）效果。 
一旦你确定了一组好的K值，提高TP值，提高机器人的直线速度。 
对于新的TP值，要重新的调整K值，也许甚至要回到第1步，重复整个过程， 
不断地重复，直到机器人的表现是可以接受的。
Ziegler–Nichols方法给出的K"值
（循环时间恒定并等于 dT)
1.2KpdT/ Pc
2KpdT / Pc
KpPc / (8dT)
Ki" 和 Kd" 上的符号只是要提醒你——Ki" 和 Kd"已经考虑了时间的因素，即ki"= ki*dt，kd’=kd/dt （假定dT为恒定值）。
这里有一个我自己做机器人测试的测量数据。Kc为300，当Kp=Kc时，机器人的摆动周期大约为0.8秒，因此Pc为0.8。我测量Pc的方法是，每当机器人摆动到一个特定的方向，就大声数出来。循环时间dT为0.014秒/每个循环，用程序运行10,000次循环时，NXT上显示的程序运行时间和循环次数相除所获得。使用上表中PID控制器的各计算公式，我们得到：
Kp = (0.60)(Kc) =(0.60)(300) = 180
Ki = 2(Kp)(dT) / (Pc) =2(180)(0.014) / (0.8) = 6.3 (which is rounded to 6)（四舍五入为6）
Kd = (Kp)(Pc) / ((8)(dT)) =(180)(0.8) / ((8)(0.014)) = 1286
在进一步的反复试验后，最终的Kp, Ki 和Kd值分别为220,7 和500。别忘了所有这些K值均已乘以100，因此，它们的实际值为 2.2 ，0.07和5 。
改变Kp, Ki, 和 Kd的值对机器人运行情况的影响
在优化PID的过程中，上面说明的方法和表格是一个好的开始。有时，了解一下增加（或降低）三个K值中的一个会有怎样的结果，也是非常有帮助的。下表在很多网页上都能找到，这个版本来源于wiki——PID控制器的网页。
增加参数值的影响
Settling time
equilibrium
不确定（小的增加或减小）
“响应时间”是指机器人确定误差的时间，在我们的例子中，是指机器人在离线以后，需要多少时间能回到线的边缘。响应时间主要由Kp控制。Kp值变大，机器人返回线的速度变快，响应时间就减少。Kp过大，会造成机器人超调。
“超调”是指机器人在响应误差时，会越过线的边缘多远。例如，如果超调较小，当机器人想回到线的左边时，就不会摆动到线的右边去。如果超调较大，机器人在纠正误差时，就会摆动过大，超过线的边缘。超调受 Kd影响最大，但 Ki 和Kp对它的影响也颇强。通常情况下，纠正很大的超调，你需要增大Kd值。还记得我们第一个非常简单的巡线机器人吗，除了左转和右转，它不会做任何事，这个巡线机器人就会产生非常大的超调现象。
“稳定时间”是指机器人在发生一个大的变化时，需要多长时间才能稳定下来。在我们巡线的例子中，机器人遇到一个转弯就会发生较大的变化。当机器人对曲线做出响应，它会纠正误差，并产生一些超调，然后机器人会以另一个方向的超调来纠正当前的超调，然后再纠正这个超调......你明白了吧。当机器人对误差进行响应时，它会围绕期望位置进行摆动。“稳定时间”就是这个摆动被抑制到0的时间。Ki 和 Kd都对稳定时间有很强的影响，Ki越大，稳定时间越长；Kd越大，稳定时间越短。
“静态误差”是指系统在不受干扰的情况下运行所保持的误差。对于我们的巡线机器人来说，当机器人走了很长一段直线后，这个误差会被抵消掉。P控制器和PD控制器经常会被这种误差搞垮。增加Kp 值会降低它的影响，但会加大机器人的摆动。P控制器和PD控制器在平衡状态下会有一个恒定的误差，因此经常会在其中增加I控制，和加大Ki的值。（这是假定，当机器人巡线时，你更关注小的系统误差。这就意味着，机器人会稍微向一边或另一边偏移）
然后问题是整定，但很多人讲的不是整定额，去isef前最后一贴了
【云青天的回答(7票)】:
在石化行业干仪表自控的。其实当年刚调回路PID的时候也是一堆公式看的头大。直到一个霍尼的哥们跟我说：P你就当大小，I你就当快慢，D你就当要不要打提前量。两台站，一台调参数，一台看趋势，一般个把小时能调的比较稳定。
写公式的就算了吧，十几年在现场我就没见过哪个人这么调PID的。
认同楼上黄惠的答案，供题主参考。
【云青天的回答(3票)】:
PID的原理是利用误差消除误差。三个系数P（比例），I（积分），D（微分）分别对应误差的现在，过去，和将来。从这个角度去想每个参数的影响效果会形象一点。（搬运自《自抗扰控制技术》，韩京清）
【知乎用户的回答(2票)】:
最高票答案写的很清楚了，这些东西静下想想都是最基本的ODE，并不难理解。
我第一眼看到PID的时候，我的反应是Principal Ideal Domain。（逃
【李海的回答(2票)】:
参数整定找最佳，从小到大顺序查
先是比例后积分，最后再把微分加
曲线振荡很频繁，比例度盘要放大
曲线漂浮绕大湾，比例度盘往小扳
曲线偏离回复慢，积分时间往下降
曲线波动周期长，积分时间再加长
曲线振荡频率快，先把微分降下来
动差大来波动慢。微分时间应加长
理想曲线两个波，前高后低4比1
一看二调多分析，调节质量不会低
【Mass的回答(0票)】:
参考自动控制原理的相关书籍。
【阳刚的回答(0票)】:
今天偶得老师一图，可解释PI控制，如下图。
目的是通过C上浮实现D的计时。目的是通过C上浮实现D的计时。
浮块F可以通过控制q的水流速度，实现p控制，大了上浮，减小水流速度，反之亦然。而左上角的整个水槽是一个积分控制，想一想是不是？把水从少积多，提高了A口水流速度稳定性。
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