&b&石墨烯（graphene）是具有六角蜂窝结构的二维材料&/b&。六角蜂窝结构是复式晶格，由两套子晶格构成。&p&
在二次量子化框架下，&b&紧束缚哈密顿量&/b&为（a,b代表不同的子晶格）&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%3D-t+%5Csum_%7Bi%2Cj%7D%28%5Chat%7Ba%7D_i%5E%2B+%5Chat%7Bb%7D_j%2B+h.c.%29& alt=&\hat{H}=-t \sum_{i,j}(\hat{a}_i^+ \hat{b}_j+ h.c.)& eeimg=&1&&&p&
若只考虑最近邻跳跃能，则化简为&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%3D-t+%5Csum_i%28%5Chat%7Ba%7D_%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%5E%2B+%5Chat%7Bb%7D_%7B%5Cvec%7Br%7D_i%2B%5Cvec%7Be%7D_1%7D%2B%5Chat%7Ba%7D_%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%5E%2B+%5Chat%7Bb%7D_%7B%5Cvec%7Br%7D_i%2B%5Cvec%7Be%7D_3%7D%2B%5Chat%7Ba%7D_%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%5E%2B+%5Chat%7Bb%7D_%7B%5Cvec%7Br%7D_i%2B%5Cvec%7Be%7D_3%7D+%2Bh.c.%29& alt=&\hat{H}=-t \sum_i(\hat{a}_{\vec{r}_i}^+ \hat{b}_{\vec{r}_i+\vec{e}_1}+\hat{a}_{\vec{r}_i}^+ \hat{b}_{\vec{r}_i+\vec{e}_3}+\hat{a}_{\vec{r}_i}^+ \hat{b}_{\vec{r}_i+\vec{e}_3} +h.c.)& eeimg=&1&&&p&
其中&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Be%7D& alt=&\vec{e}& eeimg=&1&&代表从最近邻格点对的起点指向终点的矢量。&/p&&p& 由傅立叶变换，在&b&k空间&/b&下，哈密顿量为&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%3D-t%5Csum_k%28%5Chat%7Ba%7D_k%5E%2B+%5Chat%7Bb%7D_k%28e%5E%7Bi%5Cvec%7Bk%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Be%7D_1+%7D%2B+e%5E%7Bi%5Cvec%7Bk%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Be%7D_2+%7D%2Be%5E%7Bi%5Cvec%7Bk%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Be%7D_3+%7D%29%2Bh.c.%29& alt=&\hat{H}=-t\sum_k(\hat{a}_k^+ \hat{b}_k(e^{i\vec{k} \cdot \vec{e}_1 }+ e^{i\vec{k} \cdot \vec{e}_2 }+e^{i\vec{k} \cdot \vec{e}_3 })+h.c.)& eeimg=&1&&&br&&p& 可写成矩阵形式&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%3D+%5Csum_k+%28%5Chat%7Ba%7D_k%5E%2B+%5Chat%7Bb%7D_k%5E%2B%29+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D+%0A0+%26+%5Chat%7BH%7D_%7B12%7D%28k%29+%5C%5C%0A%5Chat%7BH%7D_%7B21%7D%28k%29+%26+0%0A%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%29%0A%5Cleft%28+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%0A%5Chat%7Ba%7D_k+%5C%5C%0A%5Chat%7Bb%7D_k%0A%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%29& alt=&\hat{H}= \sum_k (\hat{a}_k^+ \hat{b}_k^+) \left( \begin{array}{ccc}
0 & \hat{H}_{12}(k) \\
\hat{H}_{21}(k) & 0
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{ccc}
\hat{a}_k \\
\end{array} \right)& eeimg=&1&&&p& 其中&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D_%7B12%7D%28k%29%3D-t%28e%5E%7Bi%5Cvec%7Bk%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Be%7D_1%7D%2Be%5E%7Bi%5Cvec%7Bk%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Be%7D_2%7D%2Be%5E%7Bi%5Cvec%7Bk%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Be%7D_3%7D%29& alt=&\hat{H}_{12}(k)=-t(e^{i\vec{k}\cdot \vec{e}_1}+e^{i\vec{k}\cdot \vec{e}_2}+e^{i\vec{k}\cdot \vec{e}_3})& eeimg=&1&&&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D_%7B21%7D%28k%29%3D%5Chat%7BH%7D_%7B12%7D%28k%29%5E%2A& alt=&\hat{H}_{21}(k)=\hat{H}_{12}(k)^*& eeimg=&1&&&br&&p&下面求解&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=2+%5Ctimes+2& alt=&2 \times 2& eeimg=&1&&矩阵的本征值（即&b&色散关系&/b&）&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B%5Cpm%7D%28k%29%3D%5Cpm+%7CH_%7B12%7D%28k%29%7C%3D%5Cpm+%5Csqrt%7B3%2B2cos%28%5Csqrt%7B3%7Dk_xa%29%2B4cos%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7Dk_xa%29cos%28%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dk_y+a%29%7D& alt=&\epsilon_{\pm}(k)=\pm |H_{12}(k)|=\pm \sqrt{3+2cos(\sqrt{3}k_xa)+4cos(\frac{\sqrt{3}}{2}k_xa)cos(\frac{3}{2}k_y a)}& eeimg=&1&&（1）&br&&/p&&p&其中&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&为最近邻原子间的距离。&/p&&p&要推导（1）式，是稍微需要一点耐心的。得到（1）式后，用MATLAB作图，便可得到石墨烯结构的能带图（E-k关系）。在第一布里渊区（BZ）作出能带后，便可观察到布里渊区边界处（K和K'点）有六个锥，&b&这六个锥便是狄拉克锥（Dirac cone）。在每个锥上，上下能带简并在一个点，该点便称为狄拉克点（Dirac point）。&/b&&/p&&p&之所以称为狄拉克锥，是有原因的。我们把哈密顿量在K和K'附近进行小量展开，发现哈密顿量的形式与狄拉克方程的哈密顿量形式一致。&/p&&p&下以K点为例进行说明。&/p&&p&在K点附近，哈密顿量可展开为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%28%5Cvec%7BK%7D%2B%5Cvec%7Bq%7D%29%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dta+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D+0+%26+q_x-iq_y+%5C%5C%0Aq_x%2Biq_y+%26+0+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%29+%2BO%28q%5E2%29& alt=&\hat{H}(\vec{K}+\vec{q})=\frac{3}{2}ta \left( \begin{array}{ccc} 0 & q_x-iq_y \\
q_x+iq_y & 0 \end{array} \right) +O(q^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&形式上可写成&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BH%7D%3Dv_F+%5Cvec%7Bq%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7B%5Csigma%7D& alt=&\hat{H}=v_F \vec{q} \cdot \vec{\sigma}& eeimg=&1&&&br&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=v_F%3D+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dta& alt=&v_F= \frac{3}{2}ta& eeimg=&1&&称为&b&费米速度&/b&，可由实验测得，对于石墨烯，其值约为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=10%5E6m%2Fs+%5Csim+%5Cfrac%7B1%7D%7B100%7Dc& alt=&10^6m/s \sim \frac{1}{100}c& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&满足无质量的狄拉克方程&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i+%5Chbar+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Cpsi%3D%5Chat%7BH%7D%5Cpsi& alt=&i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi=\hat{H}\psi& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&从形式上看（引进了自旋算符），在K点附近的哈密顿量与狄拉克方程的哈密顿量一致，而且是无质量的（massless）。因此，石墨烯结构在K点附近的电子行为就像无质量自由二维费米气（massless fermion, spin-1/2）的行为。但这里的自旋，并非真正的自旋，因此也称为赝自旋（pseudospin）。&/b&&/p&&p&参考资料&/p&&p&【1】Sun Kai &a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www-personal.umich.edu/%7Esunkai/teaching/Fall_2013/phys620.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Physics 620&/a& （Advanced Condensed Matter Physics）PDF版本课件&/p&
石墨烯（graphene）是具有六角蜂窝结构的二维材料。六角蜂窝结构是复式晶格，由两套子晶格构成。 在二次量子化框架下，紧束缚哈密顿量为（a,b代表不同的子晶格）\hat{H}=-t \sum_{i,j}(\hat{a}_i^+ \hat{b}_j+ h.c.) 若只考虑最近邻跳跃能，则化简为\hat{H}…
&p&题主该好好复习量子力学了。&/p&&p&能级排斥是指，如果有&b&两个能级&/b&之间发生了&b&耦合&/b&，那么两个能级的距离会被推大。不管这两个能级是否简并，这点都是成立的。具体来说，假设两个没有耦合的能级相差 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5CDelta& alt=&2\Delta& eeimg=&1&& ，那么我们可以把这个二能级系统的哈密顿量写成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%3D%5CDelta+%5Csigma_z& alt=&H=\Delta \sigma_z& eeimg=&1&& 。在两个能级之间引入一点耦合则哈密顿量变为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%3D%5CDelta+%5Csigma_z+%2B+%5Clambda+%5Csigma_x& alt=&H=\Delta \sigma_z + \lambda \sigma_x& eeimg=&1&& ，求解其能谱，得到新的能级差为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%5E%5Cprime%3D%5Csqrt%7B%5CDelta%5E2%2B%5Clambda%5E2%7D%3E%5CDelta& alt=&\Delta^\prime=\sqrt{\Delta^2+\lambda^2}&\Delta& eeimg=&1&&。 所以，要问两个能级是否会排斥，要先问两个能级之间能否引入耦合？&/p&&p&下面我们看能带里的能级排斥是怎么回事，也就是所谓布里渊区边界开能隙。我们假设能带有两支，第一支 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E_1%28k%29%3D-1-%5Ccos%28k%29& alt=&E_1(k)=-1-\cos(k)& eeimg=&1&& ，第二支为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E_2%28k%29%3D1%2B%5Ccos%28k%29& alt=&E_2(k)=1+\cos(k)& eeimg=&1&& ，这两支能带在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%3D%5Cpi& alt=&k=\pi& eeimg=&1&& 简并（偶然简并）。根据平移对称性不同k点上的态之间是没有耦合的，因此只能在E1与E2之间引入耦合。我们假设耦合之后的哈密顿量为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%28k%29%3D%281%2B%5Ccos%28k%29%29%5Csigma_z+%2B+g%28k%29%5Csigma_x& alt=&H(k)=(1+\cos(k))\sigma_z + g(k)\sigma_x& eeimg=&1&& ，其能谱为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E%3D%5Cpm%5Csqrt%7B%281%2B%5Ccos%28k%29%29%5E2%2Bg%5E2%28k%29%7D& alt=&E=\pm\sqrt{(1+\cos(k))^2+g^2(k)}& eeimg=&1&& 。可以看到，在布里渊区边界上开的能隙为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%7Cg%28%5Cpi%29%7C& alt=&2|g(\pi)|& eeimg=&1&& 。&/p&&p&最后再来回答题主的问题：（1）布里渊区里的能级排斥被忽略了吗？（2）能级排斥影响能带连续性吗？（1）没有忽略，上面的例子里就完整考虑了能级排斥。只是需要注意不同的k之间是没有能级排斥的，只有同一个k上的不同能带之间才有能级排斥，这是平移对称性保证的。（2）当然不影响，能带连续性是指 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7B%5Cdelta%5Cto0%7D+E_i%28k%2B%5Cdelta%29%3DE_i%28k%29& alt=&\lim_{\delta\to0} E_i(k+\delta)=E_i(k)& eeimg=&1&& ，而如上所述 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 与 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%2B%5Cdelta& alt=&k+\delta& eeimg=&1&& 之间的耦合（或能级排斥）是被平移对称性禁闭的。&/p&
题主该好好复习量子力学了。能级排斥是指，如果有两个能级之间发生了耦合，那么两个能级的距离会被推大。不管这两个能级是否简并，这点都是成立的。具体来说，假设两个没有耦合的能级相差 2\Delta ，那么我们可以把这个二能级系统的哈密顿量写成 H=\Delta \…
&p&谢邀，先说下超导穿透深度是什么以及为什么要测量穿透深度。&/p&&p&不再赘述超导体的基础知识，简单来说伦敦兄弟基于迈斯纳效应提出了一个联系超导电流和周围电磁场的唯象方程，求解这个方程得到，&b&磁感应强度随着与超导体边界的距离x成指数衰减，将磁感应强度衰减到表面处1/e时对应的x定义为穿透深度。&/b&&/p&&p&&b&穿透深度之所以是超导体的一个重要参量，是因为它与超导电流密度紧密相关：&/b&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_%7BL%7D%3D%28%5Cfrac%7Bm%7D%7B%5Cmu_%7B0%7Dn_%7Bs%7De%5E%7B2%7D%7D%29%5E%7B1%2F2%7D& alt=&\lambda_{L}=(\frac{m}{\mu_{0}n_{s}e^{2}})^{1/2}& eeimg=&1&&&/p&&p&上式中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n_%7Bs%7D& alt=&n_{s}& eeimg=&1&& 就是超导电流密度，而在GL理论中超导电流密度就是描述超导的序参量，通过测量穿透深度随温度、磁场、杂质等的依赖关系，可以得出超导序参量对称性的关键信息。&/p&&p&&b&1、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu& alt=&\mu& eeimg=&1&& SR（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu& alt=&\mu& eeimg=&1&& 子自旋弛豫法）&/b&&/p&&p&μ子（muon）是一种带有一个单位负电荷、自旋为1/2的基本粒子。μSR使用的是它的反粒子正μ子。正μ子是一种不稳定的基本粒子，通过弱相互作用发生衰变，最常见的衰变路线为一个正电子和两个中微子：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu%5E%7B%2B%7D%5Crightarrow+e%5E%7B%2B%7D%2B%5Cbar%7B%5Cnu_%7B%5Cmu%7D%7D%2B%5Cnu_%7Be%7D& alt=&\mu^{+}\rightarrow e^{+}+\bar{\nu_{\mu}}+\nu_{e}& eeimg=&1&&&/p&&p&μS测量超导体穿透深度的原理如图所示：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5bcdda04a2_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&819& data-rawheight=&277& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5bcdda04a2_r.jpg&&&/figure&&p&将超导体冷却至它的Tc以下，然后施加一个外磁场H，Hc1&H&Hc2,这样超导体将进入混合态，在超导体内部会形成磁通线的点阵。这样，通过测量超导体内部的磁场的空间分布就可以得到穿透深度。&/p&&p&将完全极化的正μ子沿着和外磁场垂直的方向注入到超导体内，这些正μ子将留在超导体中，极化的正μ子本身带有磁矩，和超导体内的磁通线发生相互作用，使得正μ子携带的磁矩P(t)发生变化。而正μ子衰变会产生正电子，通过探测这些正电子可以得到P(t)随时间变化的信息，从而得出超导体内部的磁场分布，进而得到穿透深度。&/p&&p&&b&这种方法的优点是精确，可以得到穿透深度的绝对值。缺点是受到实验条件的巨大限制，只有少数实验室可以做。&/b&因为产生μ子需要借助于粒子加速器，这玩意长这样，所以没几个地儿能做。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-45ab3bebdcee0c5e0ee86_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&401& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-45ab3bebdcee0c5e0ee86_r.jpg&&&/figure&&p&&b&2、双线圈互感法&/b&&/p&&p&这种方法的原理如图所示：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c49b3ec40a2bcb518c039_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&135& data-rawheight=&332& class=&content_image& width=&135&&&/figure&&p&将超导薄膜样品放在一个驱动线圈和一个接收线圈中间，在驱动线圈内加交流电产生磁场，会诱导出超导薄膜内产生屏蔽电流。在交流磁场中的超导薄膜其动态电感和穿透深度有如下关系：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5Clambda%7D%7Bc%5E%7B2%7Dd%7D& alt=&X=\frac{4\pi\lambda}{c^{2}d}& eeimg=&1&&&/p&&p&这个动态电感由驱动线圈和接收线圈的互感决定，这样就可以通过测量两个线圈的互感来得到穿透深度。&/p&&p&&b&3、磁力显微镜&/b&&/p&&p&磁力显微镜（Magnetic force microscope.MFM）是一种原子力显微镜，通过磁性探针扫描磁性样品，检测探针和磁性样品表面的相互作用以重构样品表面的磁性结构。&/p&&p&通过磁力显微镜扫描处于混合态下的超导体，可以得到磁通涡旋线的MFM图像，这样就可以计算出穿透深度。&/p&&p&&b&4、隧道二极管共振器&/b&&/p&&p&&b&由于测量穿透深度的绝对值代价太大，有时候我们只需要知道穿透深度随温度的依赖关系，就可以帮助我们理解超导序参量和超导能隙对称性的相关信息。&/b&隧道二极管共振器（Tunnel Diode Oscillator）即是基于此目的开发的。这种方法也是近些年paper中见的最多的一种测量穿透深度的方法。&/p&&p&将待测超导样品放在一个LC 谐振回路的线圈之中, 当温度却至 Tc 以下时, 由于 Meissner效应, 磁场只能穿透样品表面有限的深度, 用穿透深度 λ(T)来描述。磁场对超导体的穿透会引起样品磁化率的变化，
磁化率变化会引起线圈等效电感发生变化，而线圈等效电感变化可以通过隧道二极管共振器测量共振频率得到。这样通过隧道二极管共振器测量共振频率随温度的变化，就可以知道 λ(T)随温度的依赖关系。&/p&&p&&br&&/p&&p&参考文献：&/p&&p&1、μSR studies of the vortex state in type-II superconductors, Sonier, Jeff E.; Brewer, Jess H.; Kiefl, Robert F. , Reviews of Modern Physics, vol. 72, Issue 3, pp. 769-811 &/p&&p&2、磁场穿透深度测量装置的设计及其在超导序参量研究中的应用，张警蕾，浙江大学博士论文。&/p&
谢邀，先说下超导穿透深度是什么以及为什么要测量穿透深度。不再赘述超导体的基础知识，简单来说伦敦兄弟基于迈斯纳效应提出了一个联系超导电流和周围电磁场的唯象方程，求解这个方程得到，磁感应强度随着与超导体边界的距离x成指数衰减，将磁感应强度衰减…
&p&感谢热心网友（虽然不知道叫什么）的提醒，本答案已修改。&/p&&p&今天正好跟学生一起听了一节量子多体理论，我的同事讲解了一番紧束缚模型，不过用的不是原子的例子，而是电子在一维周期性有限高势垒之间的隧穿。&/p&&p&不知道为何有人说需要二次量子化、卷积什么的才能理解能带论。好好回忆一下自己是怎么学到能带论的吧。&/p&&p&0基础入门能带论：&/p&&p&R. Hoffmann，Solids and Surfaces, a chemist's view of bonding in extended structures&/p&&p&后续：&/p&&p&Dronskowski, Computational Chemistry of Solid State Materials&/p&&p&根据Ben Simons的思想，&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.amazon.cn/dp/B016K3NLFG/ref%3Dsr_1_1%3Fie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D8-1%26keywords%3Dcondensed%2Bmatter%2Bfield%2Btheory& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《凝聚态场论 第2版》 Alexander Altland(A.阿尔特兰), Ben Simons(B.西蒙斯)【摘要 书评 试读】图书&/a&&/p&&p&1个氢原子1个电子，1个占据轨道；&/p&&p&2个氢原子形成氢分子，2个&b&简并能级&/b&的占据轨道发生相互作用发生&b&能级分裂&/b&，1个成键轨道（两个简并能级的原子轨道，因为原子间距离接近，发生相互作用，形成两个分子轨道。能量降低的那个轨道称成键轨道）1个反键轨道（orbital interaction之后能量升高的那个轨道）；&/p&&p&4个氢原子，会有2个成键轨道2个反键轨道，成键轨道的标号可记为1、2，对应能级为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E_1& alt=&E_1& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E_2& alt=&E_2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B23%7D& alt=&10^{23}& eeimg=&1&& 个氢原子，会有一半成键轨道一半反键轨道，以及它们对应的成键／反键能级。&/p&&p&标号可记为1、2、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&……& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_i& alt=&k_i& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&……& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5E%7B23%7D& alt=&10^{23}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&这轨道如此之多，可以视为连续变化的。能级标记将变为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E%28k%29& alt=&E(k)& eeimg=&1&& 。因为自旋的关系，这些能级将有一半填充电子，一半为空。&/p&&p&能带图上，即使属于同一条能带，任意相邻两k点之间的能量变化都属于&b&电子受激发越迁&/b&。下边放两张Hoffmann的图感受一下。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1757badac36ce0477fda7ab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1028& data-rawheight=&680& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1028& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-1757badac36ce0477fda7ab_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ca163fceedbcdda3814fc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&860& data-rawheight=&444& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&860& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ca163fceedbcdda3814fc_r.jpg&&&/figure&&p&澄清一个概念上的错误。好些年（2009年用过大半年VASP，后来集中研究分子体系了）没用有些错误。&/p&&p&上述图像建立在每个H原子仅仅贡献1个1s轨道，做LCAO计算，且应用Huckel模型的基础上，实际是一个紧束缚模型。所以仅有1条能带，就是1s带。如果每个原子再多出一个原子轨道，会看到2s带、1s和2s的带隙。&/p&&p&如果考虑更加真实一点的情况，会得到Pierels相变， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpm%5Cpi%2F2a& alt=&\pm\pi/2a& eeimg=&1&& 处打开带隙。&/p&&p&下边放一套复杂一点的体系，1维Pt(II)原子链，每个原子贡献5个d轨道，形成能带，看得更加清楚一些。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c04a9b5c01afa31a9e545b6_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&638& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c04a9b5c01afa31a9e545b6_r.jpg&&&figcaption&原子能级去简并形成能带&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c2263ad5cbd832e304dd8_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&484& data-rawheight=&846& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&484& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c2263ad5cbd832e304dd8_r.jpg&&&figcaption&1维Pt(II)原子链k空间的能带图&/figcaption&&/figure&
感谢热心网友（虽然不知道叫什么）的提醒，本答案已修改。今天正好跟学生一起听了一节量子多体理论，我的同事讲解了一番紧束缚模型，不过用的不是原子的例子，而是电子在一维周期性有限高势垒之间的隧穿。不知道为何有人说需要二次量子化、卷积什…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ace889c34_b.jpg& data-rawwidth=&670& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&670& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ace889c34_r.jpg&&&/figure&这次来简单的看一下整数量子霍尔效应吧&br&~~(?oˇ?ˇo?)~~&p&1897年发现的经典霍尔效应我们已经非常熟悉了，如图，霍尔电压&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=U_%7BH%7D+& alt=&U_{H} & eeimg=&1&&和磁感应强度&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&成正比。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c16c1d5c2bff85bf8f5f99_b.jpg& data-rawwidth=&397& data-rawheight=&304& class=&content_image& width=&397&&&/figure&&br&&p&这次我们来看一看整数量子霍尔效应，第一部分介绍整数量子霍尔效应的实验结果，第二部分和第三部分对整数量子霍尔效应做理论上的解释。当然，这里的解释主要是建立在单电子图像上的。&/p&&p&不过呀，下面我们就会看到，单电子图像只能解释霍尔电阻&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D+& alt=&R_{H} & eeimg=&1&&为什么会产生平台，但解释不了横向电阻为什么会变成零。&/p&&h2&&b&第一部分：实验结果&/b&&/h2&&p&在整数量子霍尔效应中，电子被约束在二维平面上运动（二维电子气）。那么，我们到底怎样才能获得二维电子气呢？我们可以用电场使电子局限在半导体表面，这里可以采用硅金属氧化物场效应管来实现。实验在低温和强磁场条件下进行（电子完全极化）。&/p&&p&为了更方便的做进一步讨论这里给出有关霍尔电阻与纵向电阻的两个表达式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7BU_%7BH%7D+%7D%7BI%7D%3D%5Cfrac%7BE_%7By%7D+L_%7By%7D+%7D%7Bj_%7Bx%7D+L_%7By%7D+%7D+%3D%5Cfrac%7BE_%7By%7D+%7D%7Bj_%7Bx%7D+%7D%3D+%5Crho+_%7Bxy%7D%3D+%5Crho+_%7BH%7D+++& alt=&R_{H}=\frac{U_{H} }{I}=\frac{E_{y} L_{y} }{j_{x} L_{y} } =\frac{E_{y} }{j_{x} }= \rho _{xy}= \rho _{H}
& eeimg=&1&&；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7Bx%7D%3D+%5Cfrac%7BU_%7Bx%7D+%7D%7BI%7D%3D+%5Cfrac%7BE_%7Bx%7D+L_%7Bx%7D+%7D%7Bj_%7Bx%7D+L_%7By%7D+%7D+%3D%5Crho+_%7Bxx%7D+%5Cfrac%7BL_%7Bx%7D+%7D%7BL_%7By%7D+%7D+& alt=&R_{x}= \frac{U_{x} }{I}= \frac{E_{x} L_{x} }{j_{x} L_{y} } =\rho _{xx} \frac{L_{x} }{L_{y} } & eeimg=&1&&，&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-871fbcae452db191e8908_b.jpg& data-rawwidth=&646& data-rawheight=&468& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&646& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-871fbcae452db191e8908_r.jpg&&&/figure&&p&实验结果如图，它和我们熟知的经典量子霍尔效应有很大的不同。&/p&&p&1，如图中红线：这里的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho+_%7BH%7D+& alt=&\rho _{H} & eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&不再呈线性关系，二维电子气的Hall电阻&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D+& alt=&R_{H} & eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&的关系是在总的线性趋势上出现一系列的平台（称为量子化的Hall电阻），它们出现在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7Bh%7D%7Bie%5E%7B2%7D+%7D++& alt=&R_{H}=\frac{h}{ie^{2} }
& eeimg=&1&&，（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i%3D1%2C2%2C3%2C4%2C......& alt=&i=1,2,3,4,......& eeimg=&1&&）&/p&&p&2，量子Hall电阻&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7Bh%7D%7Bie%5E%7B2%7D+%7D++& alt=&R_{H}=\frac{h}{ie^{2} }
& eeimg=&1&&的值与具体材料无关，仅仅依赖与常数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&。&/p&&p&3，如图中绿线：对应平台的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&值处，纵向电阻为零。&br&&/p&&p&下面，我们用单电子图像对整数量子霍尔效应做一个解释。但是，单电子图像是无法解释“3”的。要想解释“3”的话我们必须要考虑到电子之间相互作用形成的强关联集体态。&/p&&h2&&b&第二部分：量子Hall电阻&/b&&/h2&&p&这部分来解释一下，为什么&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7Bh%7D%7Bie%5E%7B2%7D+%7D++& alt=&R_{H}=\frac{h}{ie^{2} }
& eeimg=&1&&，以及为什么会出现平台。&/p&&p&&b&1，朗道能级：&/b&&/p&&p&带电粒子在均匀磁场中的运动问题早在1930年就被朗道解决了。考虑沿z方向的均匀磁场&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&，选取磁矢势为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%28-B_%7By%7D%2C0%2C0+%29& alt=&A=(-B_{y},0,0 )& eeimg=&1&&，则能量本征方程为：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28+%5Ctilde%7Bp_%7Bx%7D++%7D+%2B%5Cfrac%7BeB%7D%7Bc%7Dy+%5Cright%29+%5E%7B2%7D%2B%5Ctilde%7Bp_%7By%7D+%7D%5E%7B2%7D+%2B+%5Ctilde%7Bp_%7Bz%7D+%7D+%5E%7B2%7D++++%5Cright%5D+%5Cpsi+-%5Cmu+s_%7Bz%7DB%5Cpsi+%3DE%5Cpsi+++& alt=&\frac{1}{2m}\left[ \left( \tilde{p_{x}
} +\frac{eB}{c}y \right) ^{2}+\tilde{p_{y} }^{2} + \tilde{p_{z} } ^{2}
\right] \psi -\mu s_{z}B\psi =E\psi
& eeimg=&1&&，其中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cmu+s_%7Bz%7DB+& alt=&-\mu s_{z}B & eeimg=&1&&是电子自旋磁矩在磁场&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&中的能量。由于Hamilton量中不含坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&，因此&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bx%7D+& alt=&p_{x} & eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bz%7D+& alt=&p_{z} & eeimg=&1&&都是常数，我们可以将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi+& alt=&\psi & eeimg=&1&&写为：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi+%28x%2Cy%2Cz%29%3Dexp%5Cleft%5B+i+%2F%5Cbar%7Bh%7D+%28p_%7Bx%7Dx%2B+p_%7Bz%7Dz+%29++%5Cright%5D%5Cchi+%28y%29+& alt=&\psi (x,y,z)=exp\left[ i /\bar{h} (p_{x}x+ p_{z}z )
\right]\chi (y) & eeimg=&1&&，（文章里&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bh%7D+& alt=&\bar{h} & eeimg=&1&&代表约化普朗克常数）&br&&/p&&p&将上式代回到能量本征方程中去可以发现，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cchi+%28y%29& alt=&\chi (y)& eeimg=&1&&满足如下方程：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cchi+%27%27%28y%29%2B+2m%2F%5Cbar%7Bh%7D+%5E%7B2%7D++%5Cleft%5B+%5Cleft%28+E%2B%5Cmu+s_%7Bz%7D++B-%5Cfrac%7Bp_%7Bz%7D%5E%7B2%7D+%7D%7B2m%7D+%5Cright%29+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega+_%7Bc%7D%5E%7B2%7D%28y-y_%7B0%7D+%29%5E%7B2%7D++++%5Cright%5D+%5Cchi+%28y%29%3D0& alt=&\chi ''(y)+ 2m/\bar{h} ^{2}
\left[ \left( E+\mu s_{z}
B-\frac{p_{z}^{2} }{2m} \right) -\frac{1}{2}m\omega _{c}^{2}(y-y_{0} )^{2}
\right] \chi (y)=0& eeimg=&1&&，&/p&&p&其中：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_%7B0%7D%3D-%5Cfrac%7Bcp_%7Bx%7D+%7D%7BeB%7D++& alt=&y_{0}=-\frac{cp_{x} }{eB}
& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+_%7Be%7D%3D%5Cfrac%7BeB%7D%7Bmc%7D++& alt=&\omega _{e}=\frac{eB}{mc}
& eeimg=&1&&，可以发现，上式正是一维谐振子所满足的方程，容易解得：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E_%7Bn%7D%3D%5Cleft%28+n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%5Cright%29++%5Cbar%7Bh%7D+%5Comega+_%7Bc%7D+%2B%5Cfrac%7Bp_%7Bz%7D%5E%7B2%7D+%7D%7B2m%7D-%5Cmu+s_%7Bz%7DB++& alt=&E_{n}=\left( n+\frac{1}{2}
\bar{h} \omega _{c} +\frac{p_{z}^{2} }{2m}-\mu s_{z}B
& eeimg=&1&&，相应的本征函数为：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cchi+_%7Bn%7D%28y%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi+%5E%7B1%2F4%7Da%5E%7B1%2F2%7D%5Csqrt%7B2%5E%7Bn%7Dn%21+%7D+++%7D++exp%5Cleft%5B+-%5Cfrac%7B%28y-y_%7B0%7D+%29%5E%7B2%7D+%7D%7B2a%5E%7B2%7D+%7D++%5Cright%5D+H_%7Bn%7D%5Cleft%28+%5Cfrac%7By-y_%7B0%7D+%7D%7Ba%7D++%5Cright%29++& alt=&\chi _{n}(y)=\frac{1}{\pi ^{1/4}a^{1/2}\sqrt{2^{n}n! }
exp\left[ -\frac{(y-y_{0} )^{2} }{2a^{2} }
\right] H_{n}\left( \frac{y-y_{0} }{a}
& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&上面写了这么多，说白了就是解了一个定态薛定谔方程，下面我们来观察一下方程的解：&/p&&p&可以发现，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bx%7D+& alt=&p_{x} & eeimg=&1&&并不进入能量表达式，但它通过&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y_%7B0%7D%3D-%5Cfrac%7Bcp_%7Bx%7D+%7D%7BeB%7D++& alt=&y_{0}=-\frac{cp_{x} }{eB}
& eeimg=&1&&确定谐振子的平衡位置。也就是说它影响着能级的简并度。&/p&&p&若粒子x方向运动不受限制，那么&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bx%7D+& alt=&p_{x} & eeimg=&1&&可以取任意值，能级是无穷度简并的。若电子被局限在面积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3DL_%7Bx%7D+L_%7By%7D+& alt=&S=L_{x} L_{y} & eeimg=&1&&中运动，考虑x方向的范围限制在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L_%7Bx%7D+& alt=&L_{x} & eeimg=&1&&内，那么&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bx%7D+& alt=&p_{x} & eeimg=&1&&的值就是分立的，即：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi+%5Cbar%7Bh%7D+%7D%7BL_%7Bx%7D+%7D++l& alt=&p_{x}=\frac{2\pi \bar{h} }{L_{x} }
l& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l%3D0%2C%5Cpm+1%2C%5Cpm+2%2C%5Cpm+3%2C......& alt=&l=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,......& eeimg=&1&&&/p&&p&在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L_%7By%7D+& alt=&L_{y} & eeimg=&1&&长度内能容纳下的平衡位置数为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BL_%7By%7D+%7D%7B%5CDelta+y_%7B0%7D+%7D%3D%5Cfrac%7BeBL_%7Bx%7D+L_%7By%7D+%7D%7Bhc%7D++& alt=&\frac{L_{y} }{\Delta y_{0} }=\frac{eBL_{x} L_{y} }{hc}
& eeimg=&1&&，由此可见：&/p&&p&单位面积的平衡位置数目即能级的简并度为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n_%7BB%7D%3D%5Cfrac%7BeB%7D%7Bhc%7D++& alt=&n_{B}=\frac{eB}{hc}
& eeimg=&1&&&/p&&p&面积为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3DL_%7Bx%7D+L_%7By%7D+& alt=&S=L_{x} L_{y} & eeimg=&1&&时平衡位置数目即能级的简并度为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N_%7BB%7D+%3DS%5Ccdot+n_%7BB%7D%3DS%5Cfrac%7BeB%7D%7Bhc%7D++& alt=&N_{B} =S\cdot n_{B}=S\frac{eB}{hc}
& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&2，量子Hall电阻：&/b&&/p&&p&在整数量子霍尔效应中，电子被局限在二维&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x-y& alt=&x-y& eeimg=&1&&平面内运动，没有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&方向的自由度，且强磁场下电子被完全极化，此时，能量的本征值可以写为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=E_%7Bn%7D%3D%5Cleft%28+n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%5Cright%29++%5Cbar%7Bh%7D%5Comega+_%7Bc%7D++& alt=&E_{n}=\left( n+\frac{1}{2}
\bar{h}\omega _{c}
& eeimg=&1&&，这就是朗道能级，我们上面已经讨论过它简并度的问题。下面我们用它来给出量子霍尔电阻&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D+& alt=&R_{H} & eeimg=&1&&的值。&/p&&p&样品上朗道能级的简并度为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N_%7BB%7D%3Dn_%7BB%7DL_%7By%7D+L_%7Bx%7D+++%3D%5Cfrac%7Be%7D%7Bhc%7DBL_%7Bx%7D+L_%7By%7D+%3D%5Cfrac%7B%5CPhi+%7D%7Bhc%2Fe%7D++& alt=&N_{B}=n_{B}L_{y} L_{x}
=\frac{e}{hc}BL_{x} L_{y} =\frac{\Phi }{hc/e}
& eeimg=&1&&，容易发现，分母正是磁通量子&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CPhi+_%7B0%7D+%3D%5Cfrac%7Bhc%7D%7Be%7D+& alt=&\Phi _{0} =\frac{hc}{e} & eeimg=&1&&，所以：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N_%7BB%7D%3D%5Cfrac%7B%5CPhi+%7D%7B%5CPhi+_%7B0%7D+%7D++& alt=&N_{B}=\frac{\Phi }{\Phi _{0} }
& eeimg=&1&&，通过这个关系式我们可以发现，如果一个朗道能级被填满，那么每个电子就可以“分摊”到一个磁通量子。若有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个朗道能级被填满，则总电子数满足：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N%3DiN_%7BB%7D%3Di%5Cfrac%7B%5CPhi+%7D%7B%5CPhi+_%7B0%7D+%7D++& alt=&N=iN_{B}=i\frac{\Phi }{\Phi _{0} }
& eeimg=&1&&。&/p&&p&我们定义朗道能级的填充因子为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnu+%3D%5Cfrac%7Bn_%7Bs%7D+%7D%7Bn_%7BB%7D+%7D+%3D%5Cfrac%7Bn_%7Bs%7D+%7D%7BeB%2Fhc%7D+& alt=&\nu =\frac{n_{s} }{n_{B} } =\frac{n_{s} }{eB/hc} & eeimg=&1&&，其中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=n_%7Bs%7D+& alt=&n_{s} & eeimg=&1&&为电子密度。它是电子表面密度与朗道能级简并度的比，若&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnu+%3Di& alt=&\nu =i& eeimg=&1&&（整数），则有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个朗道能级被完全填充。&/p&&p&当有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个朗道能级被完全填充时，考虑到经典霍尔效应中的关系式：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7Bn_%7Bs%7Dec+%7D++& alt=&R_{H}=\frac{B}{n_{s}ec }
& eeimg=&1&&，可得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7Bn_%7Bs%7D+ec%7D++%3D%5Cfrac%7Bh%7D%7Bie%5E%7B2%7D+%7D+& alt=&R_{H}=\frac{B}{n_{s} ec}
=\frac{h}{ie^{2} } & eeimg=&1&&，我们在此给出了量子Hall电阻的值，它出现在朗道能级被完全填充的时候。&br&&/p&&p&&b&3，为什么会出现平台？&/b&&/p&&p&在整数量子霍尔效应中，朗道能级的简并度会被Hall电压与杂志势解除，朗道能级会展宽成为宽度有限的局域态，如图。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e62f4e17b432b297defa317_b.jpg& data-rawwidth=&1294& data-rawheight=&919& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1294& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e62f4e17b432b297defa317_r.jpg&&&/figure&当一个朗道能级被填充满时，若此时磁场&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&减小，根据上面的讨论，朗道能级所能容下的电子数就会减少，根据泡利不相容原理电子会“跑”到下一个朗道能级上去，这么看，电阻应该是连续变化的。但是，由于有局域态的存在，“多余”的电子会先“跑”到局域态上，它们不参与传导过程，因此并不导致Hall电阻的变化，这就是平台。&/p&&h2&&b&第三部分：量子Hall电阻的普遍性&/b&&/h2&&p&&b&1，&/b&量子Hall电阻是与材料本身无关的，1981年，Laughlin从规范不变性这个基本的物理学原理说明了这个问题，他对整数量子霍尔效应的诠释并没有依赖哈密顿量的具体形式。&/p&&p&考虑一个周长为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L_%7Bx%7D+& alt=&L_{x} & eeimg=&1&&的带状样品形成的闭合环，处处有垂直于带的均匀磁场&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&（沿&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&&轴方向），带的上下侧有电压降&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=U_%7BH%7D+& alt=&U_{H} & eeimg=&1&&（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&轴方向），沿带子的方向有电流&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&&流过（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&轴方向）。由于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho+_%7Bxx%7D+%3D0& alt=&\rho _{xx} =0& eeimg=&1&&，体系无耗散，能量守恒。容易得出：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I%3Dc%5Cfrac%7B%5Cpartial+E+%7D%7B%5Cpartial+%5CPhi+%7D+& alt=&I=c\frac{\partial E }{\partial \Phi } & eeimg=&1&&，电子的波函数为：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi+%28x%2Cy%29%3Dexp%5Cleft%28+ip_%7Bx%7Dx%2F%5Cbar%7Bh%7D+++%5Cright%29+%5Cchi+%28y%29& alt=&\psi (x,y)=exp\left( ip_{x}x/\bar{h}
\right) \chi (y)& eeimg=&1&&，波函数的单值性要求：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi+%5Cbar%7Bh%7D+%7D%7BL_%7Bx%7D+%7Dn++& alt=&p_{x}=\frac{2\pi \bar{h} }{L_{x} }n
& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&现在，假设磁通量变化一个磁通量子，基于规范不变性的要求，相应的波函数就需要乘上一个相因子&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=exp%5Cleft%5B+i%282%5Cpi+x%2FL_%7Bx%7D+%29%5Cright%5D+& alt=&exp\left[ i(2\pi x/L_{x} )\right] & eeimg=&1&&，这相当于各个电子的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bx%7D+& alt=&p_{x} & eeimg=&1&&都改变&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi+%5Cbar%7Bh%7D%2FL_%7Bx%7D++& alt=&2\pi \bar{h}/L_{x}
& eeimg=&1&&，取代了前面一个电子原有的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%7Bx%7D+& alt=&p_{x} & eeimg=&1&&。&/p&&p&磁通量的变化会导致&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&方向产生感应电场，电场导致&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&方向的电荷运动，则，两端电势差为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=U_%7BH%7D+& alt=&U_{H} & eeimg=&1&&，设有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个朗道能级被填满，则能量变化为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+E%3DieU_%7BH%7D+& alt=&\Delta E=ieU_{H} & eeimg=&1&&。结合以上讨论可得：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=I%3Dc%5Cfrac%7B%5CDelta+E%7D%7B%5CPhi+_%7B0%7D+%7D+%3Dc%5Cfrac%7Bie%7D%7B%5CPhi+_%7B0%7D+%7D+U_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7Bie%5E%7B2%7D+%7D%7B%5CPhi+_%7B0%7D+%7D++U_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7Bie%5E%7B2%7D+%7D%7Bh%7DU_%7BH%7D+++& alt=&I=c\frac{\Delta E}{\Phi _{0} } =c\frac{ie}{\Phi _{0} } U_{H}=\frac{ie^{2} }{\Phi _{0} }
U_{H}=\frac{ie^{2} }{h}U_{H}
& eeimg=&1&&，这正好给出了：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7BH%7D%3D%5Cfrac%7Bh%7D%7Bie%5E%7B2%7D+%7D++& alt=&R_{H}=\frac{h}{ie^{2} }
& eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&2，&/b&注意到，我们以上所有的讨论都没有考虑周期场的问题，Thouless在Laughlin之后，考虑到了周期势场的问题，并且给出了Hall电导的拓扑意义。下面简单的给出一些结论，Thouless给出Hall电导为：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+_%7Bxy%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D+%7D%7B2%5Cpi+h%7D++%5Coint_%7B%7D%5E%7B%7D+%3Cu_%7B%5Calpha+%7D+%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+k%7D+%7Cu_%7Ba%7D%3E%5Ccdot+dk+& alt=&\sigma _{xy}=\frac{e^{2} }{2\pi h}
\oint_{}^{} &u_{\alpha } |\frac{\partial }{\partial k} |u_{a}&\cdot dk & eeimg=&1&&，其中回路积分环绕磁Brillouin区边缘，它代环绕一周后相位的变化，考虑到波函数的单值性，它只能为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi+i& alt=&2\pi i& eeimg=&1&&，即给出：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+_%7Bxy%7D%3D%5Cfrac%7Bne%5E%7B2%7D+%7D%7Bh%7D++& alt=&\sigma _{xy}=\frac{ne^{2} }{h}
& eeimg=&1&&。&/p&&p&我们要求磁矢势满足周期性边界条件，其等价于把矩形样品“粘合”成环面，从这个角度看可以得到Hall电导的拓扑意义：考虑一个以Brillouin区为环面底流形的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=U%281%29& alt=&U(1)& eeimg=&1&&丛，容易发现，Hall电导即为基态波函数在其上的第一陈类。&/p&&h2&&b&最后再说两句&/b&&/h2&&p&在整数量子霍尔效应之后，1982年又发现了分数量子霍尔效应。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b7454f5edb414e6b3c34fd3b39d74f24_b.jpg& data-rawwidth=&454& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&454& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b7454f5edb414e6b3c34fd3b39d74f24_r.jpg&&&/figure&&br&&p&分数量子霍尔效应发现后不久，Laughlin很快就意识到，电子之间的相互作用十分重要，其导致强关联。他给出了描述这种体系的波函数，这就是著名的Laughlin波函数：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi+_%7Bm%7D+%28z_%7B1%7D%2C...%2C+z_%7Bn%7D+%29%3D%5Cprod_%7Bj%3Ck%7D%5E%7Bn%7D%28z_%7Bj%7D-+z_%7Bk%7D+%29+%5E%7Bm%7D+exp%5Cleft%5C%7B+-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Csum_%7Bl%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%7Cz_%7Bl%7D+%7C%5E%7B2%7D+%7D+++%5Cright%5C%7D+& alt=&\psi _{m} (z_{1},..., z_{n} )=\prod_{j&k}^{n}(z_{j}- z_{k} ) ^{m} exp\left\{ -\frac{1}{4}\sum_{l=1}^{n}{|z_{l} |^{2} }
\right\} & eeimg=&1&&，其中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&为奇数。&br&&/p&&p&Laughlin当时借助液氦理论中的模型波函数，得到了Laughlin波函数。不过从二维分数统计的角度看，我们也可以很自然的构造出Laughlin波函数。当然，这都是后话了~~~~~&/p&&p&完啦，/(ㄒoㄒ)/~~&/p&&p&（所有图，侵删）&/p&
这次来简单的看一下整数量子霍尔效应吧 ~~(?oˇ?ˇo?)~~1897年发现的经典霍尔效应我们已经非常熟悉了，如图，霍尔电压U_{H} 和磁感应强度B成正比。 这次我们来看一看整数量子霍尔效应，第一部分介绍整数量子霍尔效应的实验结果，第二部分和…
&p&听说知乎有了新版的公式编辑器，所以总觉得回答这个问题时应该多写几个公式。我来说一些下面的回答里没有提到的公式吧。&/p&&p&（1）Logistic 映射&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D+%3D+r+x_n%281-x_n%29& alt=&x_{n+1} = r x_n(1-x_n)& eeimg=&1&&&/p&&p&这个公式看起来很简单，但这个公式中已经包含了一些微小的非线性，因而有复杂的动力学。它的物理意义也很明确，可以看成是在描述某种物种的生长情况。简单地看，这就是一个迭代公式，物种的繁殖（下一时刻个体的数目 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D& alt=&x_{n+1}& eeimg=&1&& ）与当前时刻的个体的数目 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_n& alt=&x_n& eeimg=&1&& 成正比，然而同时，环境中存在着某种「最大容量」，即当空间挤满了这种生物时，其繁衍的速度又会减慢，所以下一时刻个体的数目也与剩余的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1-x_n& alt=&1-x_n& eeimg=&1&& 也成正比。&/p&&p&在这个公式中，有一个参数 r，它反映的是物种的增长率，可以有繁殖和死亡率计算得到。当 r 接近0 时，物种的增长速度很慢，一旦在某个时刻个体的数目降低到接近 0 时，系统最后就会停留在 0 附近，这就是「不动点」。然而随着 r 的增加，不动点的数目变化却会出现很复杂的现象，它可以用如图所示的分支图（图片来源：维基百科）来表示。在某些 r 的取值，系统会出现多个分支，在另外某些取值时，系统会出现混沌的现象，而这一切都是由一个简单的公式所导致的。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9e1b3c4bfb49c57c68bdf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&724& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-9e1b3c4bfb49c57c68bdf_r.jpg&&&/figure&&p&（2）Gauss-Bonnet-Chern 定理&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_M+%5Ctext%7BPf%7D%28%5COmega%29%3D%282%5Cpi%29%5En%5Cchi%28M%29& alt=&\int_M \text{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)& eeimg=&1&&&/p&&p&这个定理建立起了曲面的几何（由曲率表征）和拓扑（由示性数表征）之间的联系，同时，它还建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系。定理名字中的“Chern”即为陈省身先生，他证明了这个定理的内蕴形式。（图片来源：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//slideplayer.com/slide/3362221/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&2D/3D Shape Manipulation, 3D Printing&/a&）&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9e68dcc4334f1fcf3eff51cc7d6311f6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9e68dcc4334f1fcf3eff51cc7d6311f6_r.jpg&&&/figure&&p&（3）Stokes 公式&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B%5COmega%7Dd%5Comega%3D%5Cint_%7B%5Cpartial%5COmega%7D%5Comega& alt=&\int_{\Omega}d\omega=\int_{\partial\Omega}\omega& eeimg=&1&&&/p&&p&这个公式也非常漂亮，而且非常精炼，一个公式顶过去无数个公式，其中不但包括微积分的基本定理，Green 公式、Gauss 公式，也包括大量电磁学的公式。它让空间内部的积分变成了在空间边界上的积分，例如，在三维空间中，Stokes 定理就把「向量场的旋度的曲面积分」跟「向量场在曲面边界上的线积分」之间建立了联系，而更简单的情况就是微积分基本定理，一个函数的积分变成了原函数在边界点上的加减法。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-efe9ad263f532bce391b4d1ba9613400_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&218& class=&content_image& width=&220&&&/figure&&p&（4）涨落耗散定理&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_x%28%5Comega%29%3D%5Cfrac%7B2k_BT%7D%7B%5Comega%7D%5Ctext%7BIm%7D%5Chat%7B%5Cchi%7D%28%5Comega%29& alt=&S_x(\omega)=\frac{2k_BT}{\omega}\text{Im}\hat{\chi}(\omega)& eeimg=&1&&&/p&&p&在统计物理学中，「涨落」是一个重要的研究对象，从它能看到系统到底会发生怎样的扰动，以及在受到扰动后怎样恢复到平衡态。而「耗散」可以直观地理解成某种阻力，由于耗散，系统的能量被转移了出去。涨落耗散定理联系起了涨落和耗散这两个看似不同的领域，揭示出其背后更为本质的东西。在关于布朗运动的爱因斯坦公式中其实已经出现了这个定理的雏形（如下图所示），而在日常的研究中，我们通过计算涨落来计算比热其实也隐藏了这一定理。关于这一定理更多的解释可以参考我以前曾经在知乎上提过的一个问题：&a href=&https://www.zhihu.com/question/& class=&internal&&怎样直观地解释涨落耗散定理？&/a&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dfd8afdead60df5ddc999027_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dfd8afdead60df5ddc999027_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&
听说知乎有了新版的公式编辑器，所以总觉得回答这个问题时应该多写几个公式。我来说一些下面的回答里没有提到的公式吧。（1）Logistic 映射x_{n+1} = r x_n(1-x_n)这个公式看起来很简单，但这个公式中已经包含了一些微小的非线性，因而有复杂的动力学。它的…
谢邀，题主提了个好问题。（上来就这么卖萌真的好吗！）&br&&br&--------------------------------正文分割线------------------------------------------------------------------------&br&&br&Drude模型是固体物理最基本的模型之一，由德国物理学家P Drude在&b&1900&/b&年提出。同志们，那是1900年，就在这一年的4月27日，我们伟大的开尔文勋爵说：“动力学理论认为热和光都是运动的方式，现在这一理论的优美和明晰，正被两朵乌云笼罩着。”是的，那个时候，相对论和量子力学还没出现，爱因斯坦和玻尔这两位巨人还是名不见经传的新人。然而就在经典力学的框架里，Paul Drude 提出了这个简单而又深刻的模型，&b&在一定程度上成功的&/b&解释了金属导电的原理以及一系列相关问题。可惜Drude在这个理论提出6年后就去世了，没能来得及见证Drude模型在量子时代的发展。&br&&br&Drude模型的基础是一个非常简单的想法：把金属中的电子看做气体。基于此，Drude提出了如下假设。&br&&ol&&li&金属由两部分组成，一是可以&b&自由运动的电子&/b&，二是&b&固定不动的离子实&/b&，这些可以自由运动的电子使金属导电的成分。&/li&&li&将自由电子看做带电的小硬球，它们的运动遵循牛顿第二定律。在忽略电子-电子和电子-离子间电磁相互作用（内场）的情况下，它们在金属中运动或并发生碰撞。&b&这一假设被称为独立自由电子气假设。&/b&事实上，后来的研究证明，忽略电子间的相互作用对实验结果影响并不大，但大多数情况下，电子-离子相互作用是不能忽略的。&br&&/li&&li&Drude模型中的碰撞遵循经典碰撞模型，具有瞬时性的特点。事实上电子在金属中的散射机制非常复杂，但在此我们&b&不考虑这些散射机制的详细原理&/b&，&b&只关心电子会发生碰撞并在碰撞瞬间改变速度。&/b&接下来的两条假设将会更具体的对碰撞进行描述。&/li&&li&假设电子在金属中的碰撞遵循泊松过程。每个电子在单位时间内碰撞的概率是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ctau%7D+& alt=&\frac{1}{\tau} & eeimg=&1&&，即在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=dt& alt=&dt& eeimg=&1&&时间内发生碰撞的概率为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bdt%7D%7B%5Ctau%7D& alt=&\frac{dt}{\tau}& eeimg=&1&&，其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctau& alt=&\tau& eeimg=&1&&被称为弛豫时间（又叫平均自由时间），其意义是在任意一个粒子距离下一次碰撞（或上一次碰撞）发生的时间的平均值。这是Drude模型最中最重要的概念。&/li&&li&假设电子&b&只能&/b&通过碰撞才能与周围环境达到热平衡（事实上这也是自由独立粒子假设的必然结果），即是说每次碰撞的结果都是随机的，与碰撞前电子的状态没有任何关系，只于碰撞发生地点的温度有关。&/li&&/ol&&br&&br&以上就是Drude模型中的全部假设，简单漂亮有逻辑。但是光说不练假把式，下面就来以最基本的金属直流电阻为例来说明Drude模型的应用。&br&让我们先回顾欧姆定律：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V%3DIR& alt=&V=IR& eeimg=&1&&&br&其微观形式为：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7BE%7D%3D%5Crho+%5Cbar%7Bj%7D& alt=&\bar{E}=\rho \bar{j}& eeimg=&1&&*,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csigma%7D& alt=&\rho=\frac{1}{\sigma}& eeimg=&1&&,其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&&为电阻率，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&为电导率，接下来就用Drude模型来解释电导率&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&的意义。&br&假设某处电子密度为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&,平均运动速度为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bv%7D+& alt=&\bar{v} & eeimg=&1&&,那么显然电流和该处电子运动方向平行且相反，由电流的定义，我们可以写出：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bj%7D%3D-ne%5Cbar%7Bv%7D& alt=&\bar{j}=-ne\bar{v}& eeimg=&1&&&br&无外场且热平衡时时，金属内的电子处处都在进行无规则的热运动，因此平均速度&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bv%7D%3D0& alt=&\bar{v}=0& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bj%7D%3D0& alt=&\bar{j}=0& eeimg=&1&&&br&将外场&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7BE%7D& alt=&\bar{E}& eeimg=&1&&添加进模型。考虑处于时刻0的一个电子，假设它距离上一次碰撞的时间为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&，初始速度为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bv_0%7D& alt=&\bar{v_0}& eeimg=&1&&，由假设2，0时刻它的速度为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bv%7D%3D%5Cbar%7Bv_0%7D-e%5Cbar%7BE%7Dt%2Fm& alt=&\bar{v}=\bar{v_0}-e\bar{E}t/m& eeimg=&1&&.接下来我们对0时刻金属内所有的电子求平均，由假设5，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bv_0%7D& alt=&\bar{v_0}& eeimg=&1&&的平均值为0，由假设4，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&的平均值为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctau& alt=&\tau& eeimg=&1&&，因此速度的平均值&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bv_%7Bavg%7D%7D%3D-e%5Cbar%7BE%7D%5Ctau%2Fm& alt=&\bar{v_{avg}}=-e\bar{E}\tau/m& eeimg=&1&&，将该值代入&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bj%7D%3D-ne%5Cbar%7Bv%7D& alt=&\bar{j}=-ne\bar{v}& eeimg=&1&&中，得到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bj%7D%3D%5Cfrac%7Bne%5E2%5Ctau%7D%7Bm%7D%5Cbar%7BE%7D& alt=&\bar{j}=\frac{ne^2\tau}{m}\bar{E}& eeimg=&1&&。将该式与欧姆定律比较，可以得到：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%3D%5Cfrac%7Bne%5E2%5Ctau%7D%7Bm%7D& alt=&\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}& eeimg=&1&&&br&&br&哒哒哒，这样我们就用Drude模型把电导率的表达式推出来了。事实上，由于电阻率非常方便测量，我们大部分时候都是用上面这个公式 去求弛豫时间。&br&&br&上面只是Drude模型最简单的一个应用，我们还可以用它去求霍尔效应系数，交流电阻等等问题，在准确性方面都有着不错的表现。这里不详细讨论，有兴趣的童鞋可以去看下面列出的参考文献。&br&&br&*鉴于知乎蛋疼的公式编辑器，此处用上横线代表矢量，所有平均值均有说明。&br&&br&参考文献：Neil W Ashcroft &Solid State Physics&
&br&&br&——————————————————————————————————&br&&br&PS：这题我是自问自答的，主要原因是我觉得现在知乎上自然科学领域类的问题普遍比较水，大量问题都集中在民科研究兴趣范围内，于是希望能有更多的人来分享相关领域的一些干货。二来也想借这种自问自答来梳理一下学习思路和知识体系。本人非大牛，只是普通物理系学生一枚，出错在所难免，还希望各位大神看到问题或答案后有任何想法能不吝赐教，本人在此先行谢过。如果效果不错以后我会继续采取这种形式来分享我的知识和学习结果。多谢您充满耐心看完这么一大段 : )
谢邀，题主提了个好问题。（上来就这么卖萌真的好吗！） --------------------------------正文分割线------------------------------------------------------------------------ Drude模型是固体物理最基本的模型之一，由德国物理学家P Drude在1900年提出…
最近在整理我的知乎回答. 我在知乎回答的第一个问题和这个问题本质上是一样的: &a href=&http://www.zhihu.com/question/& class=&internal&&焓的物理意义是什么？&/a& 那里的回答写得简略了点. 如果不能理解, 可以看这个细节丰富的版本. &br&&br&内能&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%28S%2CV%2CN%29& alt=&U(S,V,N)& eeimg=&1&&, 焓&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%28S%2CP%2CN%29& alt=&H(S,P,N)& eeimg=&1&&, 自由能&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28T%2CV%2CN%29& alt=&F(T,V,N)& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28T%2CP%2CN%29& alt=&G(T,P,N)& eeimg=&1&&都是自然变量不同的热力学势. 它们都是通过对热力学第一定律的推论(也称热力学基本方程)&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7Bd%7DU%3DT%5Cmathrm%7Bd%7DS-p%5Cmathrm%7Bd%7DV& alt=&\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V& eeimg=&1&&做 Legendre 变换得到的. &br&&br&之所以定义这样的函数就是为了使用方便. 内能&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%28S%2CV%2CN%29& alt=&U(S,V,N)& eeimg=&1&&的自然变量是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%2CV%2CN& alt=&S,V,N& eeimg=&1&&. 它们都是广延量. &b&在实验上, 广延量不容易控制, 而强度量则相对容易. &/b&强度量的定义都是内能&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U& alt=&U& eeimg=&1&&关于其广延量的导数. 如何将&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%28S%2CV%2CN%29& alt=&U(S,V,N)& eeimg=&1&&中的广延量改写为强度量而&b&不丢失任何信息&/b&呢[1]? Legendre 变换就可以做到这一点. 对于有确定凸性的函数[2], 既可以用其中每一点的坐标&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x%2Cy%29& alt=&(x,y)& eeimg=&1&&来表示, 也可以用每一点处切线的斜率和截距表示&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28p%2C%5Cpsi%29& alt=&(p,\psi)& eeimg=&1&&, 其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p%3D%7B%5Cpartial+y%7D%2F%7B%5Cpartial+x%7D& alt=&p={\partial y}/{\partial x}& eeimg=&1&&是切线斜率, &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p%3D%5Cfrac%7By-%5Cpsi%7D%7Bx-0%7D& alt=&p=\frac{y-\psi}{x-0}& eeimg=&1&&是切线截距. 整理得到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%3Dy-px& alt=&\psi=y-px& eeimg=&1&&, 这就是 Legendre 变换. &br&&br&自然变量不同的系统服从的热力学基本定律不同. 熵最大原理只适用于孤立系统, 即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28U%2CV%2CN%29& alt=&S(U,V,N)& eeimg=&1&&的系统. 我们还需要找到热力学基本定律在自然变量有强度量的系统中的形式. 有了 Legendre 变换, 这一工作就变得简单得多. 只需要考虑热力学势的全微分式, 如通过&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7Bd%7DF%3D-S%5Cmathrm%7Bd%7DT-p%5Cmathrm%7Bd%7DV& alt=&\mathrm{d}F=-S\mathrm{d}T-p\mathrm{d}V& eeimg=&1&&就可以轻易证明 Helmholtz 自由能最小原理: 等温等容系统达到平衡态时 Helmholtz 自由能最小. &br&&br&总结一下, 引入焓&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%28S%2CP%2CN%29& alt=&H(S,P,N)& eeimg=&1&&, 自由能&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28T%2CV%2CN%29& alt=&F(T,V,N)& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28T%2CP%2CN%29& alt=&G(T,P,N)& eeimg=&1&&之后, &b&在特定独立变量下能量表达式和热力学定律写起来更简单. &/b&如果硬要理解其物理意义的话, 可以从能量表达式入手. 比如 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7Bd%7DH%3DT%5Cmathrm%7Bd%7DS%2BV%5Cmathrm%7Bd%7Dp& alt=&\mathrm{d}H=T\mathrm{d}S+V\mathrm{d}p& eeimg=&1&&, 因此&b&等压系统通过膨胀或者热传导向环境传递的能量就是焓变&/b&. 类似地, &b&等温系统在可逆过程中做的功就是系统 Helmholtz 自由能的减小. &/b&&br&&br&&br&&br&[1] 以自然变量为温度和体积的系统为例. 也许有人会 naive 地认为可以直接将&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%28S%2CV%2CN%29& alt=&U(S,V,N)& eeimg=&1&&改写成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%28S%28T%2CV%2CN%29%2CT%2CV%2CN%29%3DU%28T%2CV%2CN%29& alt=&U(S(T,V,N),T,V,N)=U(T,V,N)& eeimg=&1&&. 但注意到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%3D%28%5Cpartial+U%2F%5Cpartial+S%29_%7BV%2CN%7D+& alt=&T=(\partial U/\partial S)_{V,N} & eeimg=&1&&, 上式实际上是一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U& alt=&U& eeimg=&1&&关于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&的一阶微分方程. 其解不唯一, 有一个待定常数. 因此直接将&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%28S%2CV%2CN%29& alt=&U(S,V,N)& eeimg=&1&&改写成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%28T%2CV%2CN%29& alt=&U(T,V,N)& eeimg=&1&&会丢失信息. &br&&br&[2] Legendre 变换中对于函数凸性的要求在热力学中是容易满足的. 因为热力学势的凸性对应着系统的稳定性. 如果热力学势没有确定的凸性, 则意味着相变的存在.
最近在整理我的知乎回答. 我在知乎回答的第一个问题和这个问题本质上是一样的:
那里的回答写得简略了点. 如果不能理解, 可以看这个细节丰富的版本. 内能U(S,V,N), 焓H(S,P,N), 自由能F(T,V,N)和G(T,P,N)都是自然变量不同的热力学势. …
电子云即电子密度在空间的分布，一般我们把电子密度等值面画出来就是电子云图了。电子密度是波函数的模方，在求算过程中丢掉了关于符号（相位）的信息，其值为0-1之间的正数。题主给出的截图很明显是一个等值面图，里面的颜色变化属于艺术处理，就是打了个光，加了个阴影啥的，不包含任何物理信息。&br&电子云图还有另外一种画法，就是在空间点点，电子密度越大的地方点的点越多，颜色也就越深。在后面这种图中是不会出现一个明显边界的。&br&&br&然后杂化。杂化是一个唯象的定性的概念，不过可以通过合理的近似定量的解释，以C原子的sp杂化为例：&br&&br&&br&&br&我们有一个C 2s轨道，一个2px轨道，（形式上，2py轨道的情况跟2px基本完全相同，2pz会更简单一点，但三者在物理上是完全等价的），2s是球对称，2px相对于x轴中心对称，其绝对值关于yz面对称，是x的奇函数。&br&&br&采用Hartree-Fock近似，就是每个电子都在原子核和其他电子共同形成的势场中运动，这个平均势场近似为球对称。这时可以将C原子的2s和2p轨道近似写成类氢原子轨道&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/efb0f8ecede_b.jpg& data-rawwidth=&563& data-rawheight=&74& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&563& data-original=&https://pic4.zhimg.com/efb0f8ecede_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/b21c2e7fca169c50adf399d_b.jpg& data-rawwidth=&709& data-rawheight=&76& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&709& data-original=&https://pic2.zhimg.com/b21c2e7fca169c50adf399d_r.jpg&&&/figure&&br& 其中Z2s和Z2px分别为3.217 和3.136 （&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Effective_nuclear_charge& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/E&/span&&span class=&invisible&&ffective_nuclear_charge&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&），是C原子2s和2px电子感受到的有效核电荷。这样我们可以画出2s和2px轨道的等值面&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/7ccc2264ae_b.jpg& data-rawwidth=&370& data-rawheight=&364& class=&content_image& width=&370&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/7a6ea462ebb19d_b.jpg& data-rawwidth=&352& data-rawheight=&270& class=&content_image& width=&352&&&/figure&这里两个图都是原子轨道的等值面，由于没有取模方，可以看到在2px的图中有不同颜色表示的不同符号（相位）。&br&下面取模方，计算电子密度分布。显然对2s轨道来说，去模方后保持球对称性不变，但2px的电子云与波函数分布不同。&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/ee08fd10dee974e71f82bb187a03f576_b.jpg& data-rawwidth=&309& data-rawheight=&316& class=&content_image& width=&309&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/c556fb02d2c696d7c293a_b.jpg& data-rawwidth=&373& data-rawheight=&278& class=&content_image& width=&373&&&/figure&所谓杂化就是将合适的轨道重新组合成对称性符合我们需求的新轨道。下面我们来看C的2s轨道和2px轨道杂化。&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/ff7ae7407cdee0f3913789_b.jpg& data-rawwidth=&412& data-rawheight=&100& class=&content_image& width=&412&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/f032bf0c0975_b.jpg& data-rawwidth=&360& data-rawheight=&378& class=&content_image& width=&360&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/d0c2eede78f9_b.jpg& data-rawwidth=&375& data-rawheight=&91& class=&content_image& width=&375&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/306cd499b4e53e7bd1f6_b.jpg& data-rawwidth=&360& data-rawheight=&378& class=&content_image& width=&360&&&/figure&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&然后看它们的几率密度：&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/4eac3deafc20a09fea6bfd_b.jpg& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&57& class=&content_image& width=&336&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/9cf1cfe09b924fa7e8fadcedbda9c7aa_b.jpg& data-rawwidth=&330& data-rawheight=&347& class=&content_image& width=&330&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/37c5d757f240b9f5f4dfc58d1eb469cb_b.jpg& data-rawwidth=&319& data-rawheight=&54& class=&content_image& width=&319&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/1aefb6a0e8e103cb3b94dc_b.jpg& data-rawwidth=&358& data-rawheight=&364& class=&content_image& width=&358&&&/figure&呃，小尾巴已经出来了。。&br&&br&&br&
电子云即电子密度在空间的分布，一般我们把电子密度等值面画出来就是电子云图了。电子密度是波函数的模方，在求算过程中丢掉了关于符号（相位）的信息，其值为0-1之间的正数。题主给出的截图很明显是一个等值面图，里面的颜色变化属于艺术处理，就是打了个…
&p&倾情奉上美国三院院士，现西北大学，原UIUC化学，电子工程，材料，生物工程等多系教授John A Rogers 原版PPT。&/p&&p&&b&别只收藏不点赞啊，让更多的人学习不好么，要是再关注一波就更赞了咩哈哈哈&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4f5fa46fd8fd71f36821_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4f5fa46fd8fd71f36821_r.jpg&&&/figure&&p&标题页：&/p&&ul&&li&简洁，美观，跟Rogers本人聊过，其ppt不同标题的字体，大小，是否使用斜体有严格标准。&/li&&li&Outline 极为清晰&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-beeb55c7ac6a1e36fdc6c8_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-beeb55c7ac6a1e36fdc6c8_r.jpg&&&/figure&&p&Introduction 页：&/p&&ul&&li&信息的浓缩，本页将Printable materials以一个迁移率数量级的变化展现出来，并有各种材料优劣势对比，一目了然&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9828e15fce683ca2f76aafaec2a25060_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-9828e15fce683ca2f76aafaec2a25060_r.jpg&&&/figure&&p&实验过程示意图：&/p&&p&感受一下其专业性，软件Rhino 4.0&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6deaef744e21f_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-6deaef744e21f_r.jpg&&&/figure&&p&样品效果图：&/p&&p&照片的美观程度，要求之严格&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c6aeda628bbee0c07cfe6c29a3e260e1_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c6aeda628bbee0c07cfe6c29a3e260e1_r.jpg&&&/figure&&p&实验数据图&/p&&p&&br&&/p&&p&再上几张slides&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b575a8cdedac08fed68f0a2_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b575a8cdedac08fed68f0a2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cdfc66b518fca52829cc4dec3f475050_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-cdfc66b518fca52829cc4dec3f475050_r.jpg&&&/figure&&p&有时候真觉得他的work是艺术品。多的就不说了，相信大家能在这些slides中学到很多，比我码一堆字强得多。&/p&&p&&br&&/p&&p&(图片源自Professor John A Rogers)请勿转载&/p&
倾情奉上美国三院院士，现西北大学，原UIUC化学，电子工程，材料，生物工程等多系教授John A Rogers 原版PPT。别只收藏不点赞啊，让更多的人学习不好么，要是再关注一波就更赞了咩哈哈哈标题页：简洁，美观，跟Rogers本人聊过，其ppt不同标题的字体，大小，…
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