基于数码相机的大型物体测量方法研究_百度文库
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基于数码相机的大型物体测量方法研究
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你可能喜欢现场量房怎么实施测量 如何绘制基础平面图
现场量房怎么实施测量 如何绘制基础平面图
量房也是一个准备工作，也是后期的铺垫，也是重要的一步，那么现场量房怎么样实施测量呢？测量了也许还会设计到图纸，然而如何绘制基础平面图呢？下面九正家居网就来为大家讲解一番，我们一起去看看吧。
现场量房怎么实施测量？
装修前的预算和设计只有通过精准的现场测量，才能得出一套完整、科学、合理的装修方案。
1、如何测量墙面
墙面在装饰过程中，需要用到腻子、乳胶漆、墙砖、踢脚线、石材、壁纸等，后续工作量十分大。所以，在测量的时候，需要从细节入手，精准把握墙壁的长高宽。例如，墙壁长度的测量应以主墙面的净长为准，也就是一个墙面到对面墙面的垂直距离;高度的测量分两种，一种是无墙裙的房子，需要从室内的地面测量至天花板，有墙裙的房子，则是从墙裙的顶端开始，测量至天花板，有门窗的墙面，要剔除门窗所占的长宽。对墙上的门孔、空调洞、通风孔、排水口等，厨房与卫生间的下水管道具体位置、水池与蹲便器的排污管道位置等，也要标记清楚宽和高，这关系着后期装修方案的预算报价，不可忽视。
2、如何测量天花板
天花板一般会采用石膏板、三合板等进行装饰，所以，在测量天花板的面积时，要计算墙面与墙面间的净面积。同时，对房子的层高也要进行专项测量，有的房子设计的是下沉式的卫生间，其高度明显低于其他房间的高度，如果天花板上方有横梁的话，也要注意测量横梁的长宽，便于后期的吊顶设计。
3、如何测量地面
地面的测量，主要是计算墙与墙之间的净面积，要注意地漏的具体位置和地面的凹凸性，如果存在地面不平整的现象，则需要后期找平。
4、如何测量家具面积
对家具的面积计算没有固定的要求，一般以各装饰公司报价中的习惯做法为准，一般延长米、平方米或项为单位来统计。但需要注意的是，每种家具的计量单位应该保持一致。例如，做两个衣柜时，不能出现一个以平方米为计量单位，另一个则以“项”为计量单位的现象。
如何绘制基础平面图：
1、基础平面图绘制内容。
(1)定位轴线及编号。
(2)基础平面的形状及总长、总宽等尺寸。
(3)基础梁、柱、墙的平面布置。
(4)不同断面的剖切位置及编号。
(5)必要的文字说明。
(6)管沟、设备孔洞位置。
2、基础平面图绘制步骤。
(1)设置绘图环境，创建新样板。
(2)绘制定位轴线及柱网。
(3)绘制墙体。
(4)绘制基础垫层。
(5)绘制柱子断面。
(6)绘制尺寸界线、标高数字、索引符号和相关注释文字。
(7)标注尺寸。
(8)添加图框和标题。
(9)打印输出。
上面就是现场量房怎么实施测量以及如何绘制基础平面图的知识讲解，相信你看了以后应该有了更多的认识了吧，内容仅作为参考，希望能对大家有更多的帮助。君，已阅读到文档的结尾了呢~~
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面向大尺寸的机器视觉精密测量方法研究
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第二学段空间与图形的教材分析与思考
材培训材料第二学段空间与图形的教材分 第二学段空间与图形的教材分析与思考小学数学几何学的教学在新课程教材中属于“空间与图形”的领域。其教学内容很丰富，主要涉及现 实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换，它是人们更好地认识和描述生活空 间并进行交流的重要工具。 《数学课程标准》 十分强调培养和发展学生的空间观念， 因此把“空
间与图形” 作为小学数学四大内容领域之一。作为小学数学教师，熟悉教材，了解教材的编排特点，编写意图；数学 学科专业知识的提高，教学艺术的修为都是使我们在教学中游刃有余的必备条件。 一、几何与图形知识内容分布 （1）图形的认识的编排顺序年级认识物体（P32） ： 认识物体（P32）呈现 顺 序按形状分类→每类实物的形状特征→建立长方体、正方体、圆柱和球的表象→直观图→举例辨认一上认识图形： 认识图形：画出物体的一个面→建立长方形、正方形、三角形和圆的表象→举例与辨认 分类（P38） ：生活中的分类→自己分→体验相同标准下分类结果的一致性，不同标准下分类结果的多样性 分类（P38） 图形的拼组（P27 图形的拼组（P27） 折：发现长方形对边等长，正方形四边等长一下摆：发现几个正方形可以摆成一个长方形或正方形 拼：发现几个正方体可以拼成一个长方体或正方体 量一条线的长度→建立线段表象→度量长度→画出给定长度的线段（P5） 观察物体（P67） 分别是谁看到的→辨认前面、后面、侧面的观测者看到的简单物体的形状二上角的初步认识（P38） 1、生活中的角→角的表象→认识角的边和顶点→制作中体验角的模型→画角 2、实际例子→认识直角→三角板中的直角→用三角板判断直角→画直角二下生活中的角→建立锐角和钝角的表象（P38） 四边形（P34） 四边形（P34）三上1、主题图→抽象出四边形→观察后说明特征（边、角及其个数）→四边形分类（思考：学生会怎样分？）→ 初步认识平行四边形（认识到何种程度？）三下直线、射线和角（P35） 直线、射线和角（P35） 1、光线的形象→射线→直线→直线、射线、线段间的关系→角的定义和符号表示 2、角的分类（P41） 角的分类（P41） ：实例演示角的变化→平角、周角的形象→锐角、钝角、直角、平角和周角的大小关系→ 角的分类 应用: 推导对顶角的性质四上平行四边形和梯形（P64） 平行四边形和梯形（P64） 1、画图体验平面上两条直线的位置→相交、平行→相交的特例：垂直，垂线与垂足→过一点画已知直线垂线 的方法→体验垂线段最短 2、平行线的画法→综合运用画图技能画平行四边形、长方形和正方形 3、四边形的分类→平行四边形和梯形（包括等腰梯形）的定义→四边形的相互关系→平行四边形的高和底 三角形（P80） 三角形（P80） 1、三角形的特性：生活中的三角形→画三角形，归纳三角形的定义→认识三角形的高和底、三角形的符号表 达→三角形的应用质疑→三角形的稳定性四下2、三角形三边间的关系：观察→实验→归纳结论→推论：两点之间线段最短。 3、三角形的分类：分类标准的讨论→按角分或按边分：按角分: 观察、分类→表述每类特征→命名→关系 按边分：观察、分类→表述每类特征→命名，认识等腰三角形和等边三角形→测量发现其角的性质 第 1 页 共 19 页材培训材料4、三角形三角间的关系：测量不同类型三角形的角→归纳出初步的猜想→撕、拼验证→确认结论→应用与拓 展 5、图形的拼组 观察物体（P38） ： 观察物体（P38）五上1、观察一个实物（长方体）→一次最多能看见几个面？哪个图是从哪个方向看到的？ 2、观察两个物体（圆柱和球）→哪个图是从哪个方向看到的？长方体和正方体（P27） 长方体和正方体（P27）1、长方体的认识：从实物抽象出模型→认识长方体的面、棱、顶点→观察长方体的面、棱、顶点的数量和关五下系→制作长方体框架模型→发现所选的棱长短、位置的关系→长、宽、高的概念 2、正方体的认识：观察实物或模型→面的特点、棱的特点 3、长方体、正方体的异同→归纳得出其关系。 认识圆（P55） 认识圆（P55） 主题图：生活中的圆，为什么都用圆形？六上1、模板画圆→圆心、半径、直径的概念→用圆规画圆（圆心、半径作用的认识） 2、圆的对称性→轴对称图形→两个圆的对称轴 圆柱和圆锥（P10） 圆柱和圆锥（P10） 1、圆柱的认识：生活中的圆柱形物体→抽象出圆柱模型→观察模型认识底面、侧面和高→观察、归纳圆柱的 特征→旋转实验：圆柱的形成六下操作→圆柱侧面展开图的形状（长方形）→观察得出，长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高。 2、圆锥的认识：生活中的圆锥形物体→抽象出圆锥模型→观察模型认识底面、侧面和高→圆锥高的测量→旋 转实验：圆锥的形成（2）测量的编排顺序年级比一比( )长短 高矮： 长短、 比一比( P6 )长短、高矮：呈现 顺 序一上如何比较两个物体的长短→探索比较的方法→归纳比较的方法。 长度单位(P1) 长度单位(P1) 1、如何量出一个物体究竟有多长→选用不同单位测量→体验统一长度单位的重要性二上2、用尺子量：认识尺子和 1 厘米并建立 1 厘米长度的表象→用尺子量的方法→量更长的物体→认识 1 米建立 其长度的表象→用厘米测量 1 米长的物体→1 米=100 厘米 4、测量→估测 测量（P2） P2） 1、估测→测量发现问题→认识 1 毫米→从米尺上看出 1 厘米=10 毫米→建立 1 毫米的表象 2、测量中发现的问题→认识 1 分米→从米尺上看出 1 分米=10 厘米→再根据 1 米=100 厘米，推知 1 米=10 分 米→体会 1 分米的长度三上3、路标中的数学问题→介绍千米的概念→1 千米=1000 米→体会 1 千米的长度 →长度单位的化与聚 周长（P41） 周长（P41） 1、实例→封闭图形→周长概念→度量周长的方法 2、长方形周长的计算→正方形周长的计算 3、线段的估测→周长的估测 ，选用标准图形 1、面积和面积单位（P70）主题图：比大小→面积的概念→如何比较面积大小→观察（重叠） 面积和面积单位（P70） 测量→标准图形的形状讨论→认识常用面积单位的并体会其大小→测量平面图形面积的一般方法 （数方格） →三下长度单位和面积单位的比较 2、长方形面积的计算：用面积单位摆长方形，发现长、宽与面积的关系→实验验证→归纳公式→应用→正方 长方形面积的计算： 第 2 页 共 19 页材培训材料形的面积公式→应用 3、正方形面积公式→面积单位之间的进率→公顷、平方千米的介绍→公顷、平方千米的介绍 角的度量（P37） 角的度量（P37）四上1、如何定量比较两个角的大小→认识量角器→用量角器测量角的方法→反思：角的大小取决于什么？ 2、用量角器画指定度数的角。 多边形的面积（P80） 多边形的面积（P80） 1、平行四边形的面积：具体问题→用数方格尝试得出粗略的结果→尝试转化为长方形面积→归纳公式→应用五上2、三角形面积：具体问题→拼组，转化成平行四边形→归纳公式→具体运用 3、梯形面积：问题→割补或拼组，转化为学过的图形面积→归纳公式→具体运用（直角梯形面积） 4、组合图形的面积：生活中的组合图形→由那些图形怎样组合得到的→计算面积。 1、长方体和正方体的表面积（P33） 长方体和正方体的表面积（P33） 模型→展开→展开图每个面的长宽与长方体的长宽高的关系→长方体表面积的概念和具体计算→正方体表面 积的具体计算（均未呈现公式） ：问题的提出→实验得出物体都占有空间大小→体积概念→如何比较体积的大小→ 2、体积和体积单位（P38） 体积和体积单位（P38） ： 认识体积单位并体会其大小→测量体积的一般方法（做一做第 2 题） 3、长方体、正方体体积的计算（P40）问题的提出→用体积单位摆长方体，发现长、宽、高与体积的关系→ 长方体、正方体体积的计算（P40）五下实验验证→归纳公式→应用举例 长方体体积公式→正方体体积公式→用底面积的概念统一体积公式：底面积×高3 3 3 34、体积单位间的进率（P46） 体积单位间的进率（P46） ：计算 1dm 的正方体是多少 cm →1dm =1000 cm （其他类似）→单位换算举例 体积单位间的进率 5、容积和容积单位（P50）介绍容积概念、容积单位与体积单位的换算关系→实例感受容积单位的大小→长 容积和容积单位（P50） 方体、正方体容器容积的计算（从内部度量→求体积→换算成容积）→应用举例：不规则物体体积的计算（物 理方法） 1、圆的周长（P62）从具体问题寻找测量方法→寻找一般的计算公式→实验找出圆周长与直径的关系→圆周 圆的周长（ P62） 率→圆周长公式→应用举例（精算、估算）六上2、圆的面积（P67） 具体问题→寻找一般的计算公式→策略启发：变成学过的图形计算→实验：分割重组转 圆的面积（P67） 化→发现问题，继续分割重组→…→领悟：无限细分，圆面积=长方形面积→关系分析，得出面积公式→应用 举例 （P13） 表面积的界定， 得出圆柱表面积=侧面积+两个底面积→计算侧面积和底面积 （重点何在？） 圆柱的表面积 P13） →实际应用举例：不一定都要计算表面积 圆柱的体积（P19 圆柱的体积（P19）体积概念和相关图形体积公式的回顾→策略启发：变成学过的图形计算→实验：分割重组六下转化→领悟：无限细分，圆柱体积=长方体体积=底面积×高→应用举例：长方体容积的计算 圆锥的体积（P25） 圆锥的体积（P25）提出具体问题，探讨体积求法→策略研讨：考察圆锥与等底等高的圆柱体积间的关系→实 验（物理方法）→得出公式→应用举例（3）图形与位置编排顺序 年级位置（P1） 位置（P1）情境图：上下→前后→左右呈现 顺 序一下教室座位：用第几组第几排（或第几行第几列）等语句来描述某个物体所在的空间位置 位置与方向（P2） 位置与方向（P2） 1、主题图→确定东方，认识南、北、西的相对位置→应用（绘制校园示意图） ：选定一个方向后，确定其他三三下个方向→地图上方向的规定→行进路线的描述：方向、距离 2、校园平面图→生活中八个方位的辨认→用指南针确定方向→根据路线图的描述行进路线 位置与方向（P17） 位置与方向（P17）四下1、定向运动主题图：方向角的认识→练习：给定基准点，用方向角和距离描述另一点的位置 2、校园平面图：给定基准点，由描述的方向角和距离描绘另一点的位置 第 3 页 共 19 页材培训材料 3、实例→说明方向角对基准点的依赖性。位置（P2） 位置（P2）六上1、教室里的座位→用有序整数对表示位置→回忆生活中确定位置的方法（做一做） 2、动物园示意图→已知点的位置，用有序整数对来描述→已知有序数对，描出点的位置 比例尺（P47） 比例尺（P47） 1、比例尺产生的现实背景（绘图的需要）→比例尺的概念和实例（缩小与放大各一个）→把线段比例尺改为 数值比例尺六下2、应用举例：把图上距离换算成实际距离→把实际距离换算成图上距离 图形的放大与缩小（P55)生活实例→在方格纸上按比例放（缩）图形的画法→观察比较，得出放缩前后图形的 异同。（4）图形的变换编排顺序 年级观察物体（P7） 观察物体（P7）呈现 顺 序二上观察图形特点→建立（轴）对称的表象→剪一剪，感受轴对称图形的特点→拓展：感知镜面对称现象 平移和旋转（P41） 平移和旋转（P41） 平移的表象→运动特征描述→平移举例→方格纸上平移二下主题图 旋转的表象→运动特征描述→生活中的旋转现象举例 图形的变换（ 图形的变换（P2) 轴对称 主题图五下旋转：生活中的旋转现象→旋转现象的定量描述（起点、中心、方向、角度）→旋转前后物体0的变化→画旋转 90 后的图形的方法 欣赏与设计：欣赏→设计（平移旋转对称的综合运用）二、关于空间与图形的教学思考 关于空间与图形的教学思考 空间与图形的教学 ㈠、图形的认识 在这部分中，有两个内容跟大家交流，一个是图形的认识整个内容呈现的线索；第二就是和大家探讨 一些教学上的想法。 1．内容呈现的主要线索 从立体到平面再到立体（唐小红老师已详细讲解） （1）从立体到平面再到立体 从生活中抽象出图形到应用于生活 （2）从生活中抽象出图形到应用于生活 第二个线索就是从生活中抽象出图形，然后学习了图形及其特征以后，再应用于生活的过程。 老师们都比较重视从生活中抽象出图形的过程，但是反过来将图形及其特征应用到生活中去，教师似 乎挖掘的比较少。这就需要教师们和学生们共同思考，学习了长方形、正方形、三角形等的特征以后，在 生活中能不能运用这些特征。 从直观辨认到探索特征（ 对称性…… ……） （3）从直观辨认到探索特征（边、角、对称性……） 第三条线索就要从直观辨认到探索特征。比如一年级直观辨认长方形等平面图形，到一定年级后，需 要继续探索这些图形的特征。图形的特征既包括边的特征、角的特征，另外就是图形的对称性的特征。图 形的对称性是非常重要的，这一点可能以前没有受到重视。举一个例子，对于长方形的特征，我们不仅要 探索它的边是否相等、角是否为直角，还应关注长方形的轴对称性。 这里向大家介绍已经得到比较广泛公认的，荷兰范?希尔夫妇的几何思维水平，当然这个研究主要针 对的是平面图形的认识： 水平 1：直观化第 4 页 共 19 页材培训材料 水平 2：描述/分析 水平 3：抽象/关联 水平 4：演绎/形式化推理 水平 5：严密/元数学 从这几个水平可以看出，按照范?希尔夫妇的理论，学生通过思维水平的进步，从一个直观化水平不 断地提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平。这实际上也说明了从直观辨认到探索特征是符合儿童的 认知规律的。 进一步，小学阶段对于平面图形的学习，显然主要是上面的第一、二、三水平，而第四、五水平呢， 应该是初中、高中，甚至大学学习应达到的。小学几何和中学几何，它们之间还是有不同的。虽然到了中 学还要学三角形内角和，还要学三角形两边之和大于第三边，包括基本图形的基本特征都要重新学，但是 那时候呢就需要从一些公认的前提出发去证明它们。而学生对于三角形内角和为 180 度等特征的一个直观 认识，或者对其证明过程的直观积淀，就需要在小学的时候完成。比如，对于三角形内角和，小学阶段学 生把角撕下拼在一起，或者折一下，这些为中学的添辅助线奠定了直观经验。所以，千万不要认为，学习 一个重要知识一下子就可以学完，或者说小学管小学的、中学管中学的，而需要以一个整体的观点看所教 学的内容。 （4）从直线到圆 （5）基本上是从静态到动态 对于图形的认识，不仅仅是从静态的角度去认识它，还可以从动态的角度去丰富对它的认识，这是跟 过去相比比较加强的。 比如对角的认识，曾经有一个老师举过学生的一个常见错误：低年级学生老有一种混淆，认为角的大 小与画出的角的两条边的长短有关。其实，这对于低年级学生也是正常的，如果从静态上去观察一个角， 孩子的关注点在于：比较容易关注它的明显因素――两条边，而相对不是那么明显的“角的张口的大小” ， 学生不容易观察到。如果这时候呢，教师鼓励学生动态地去认识角，比如利用活动角不断张开，学生会慢 慢关注角的张口。 （后面还要细谈） 事实上，利用图形的运动（变换）来认识图形，是一个将静态认识与动态认识相结合的途径。关于这 一点，在图形的变换中会大量提及。 关于教学的一些建议 教学的一些 2．关于教学的一些建议 （1）重视图形分类的价值 图形分类不仅仅在数学中是非常重要的，而且通过分类活动，学生可以不断体会图形的特征。因此， 在图形的认识的教学中，教师应重视图形分类的价值。 以前， 教师往往会在图形学习完以后， 在复习整理阶段进行图形分类的活动， 当然这还是非常重要的。 实际上，在图形性质探索的初始阶段，也可以安排图形分类的活动，鼓励学生在尝试对图形进行分类的过 程中去关注图形的边、角等的特征。 下面是一个低年级渗透图形分类的教学案例： 准备下面的一些物品或类似的东西：一个橘子、一条肥皂、一罐牛奶、一顶生日帽、一个楔子。引导 学生借助操作思考下面的问题： 哪些东西可以滑动，哪些东西可以滚动？ 哪些是平的，哪些是曲的？ 哪些有直的边？哪些有曲的边？ 哪些面是方形的？ 哪些面是三角的？ 哪些面是圆的？ 哪些有点或角？哪些没有？ 总结一下，教学中，教师可以从以下几个方面引导学生对图形进行分类： 第一，将图形分成平面的和立体的； 第二，将平面图形分成直的和曲的；第 5 页 共 19 页材培训材料 第三，将多边形按照边、角等图形的特征进行分类。 （2）重视在运动中认识图形 要鼓励学生把静态和动态结合起来，鼓励学生在运动变化中，去观察认识图形及其特征。大家都有这 个感觉，有的图形按照标准位置放，学生们就能认出来，换一个角度学生就不认识了。教学中，教师就可 以将图形转一转、移一移、翻一翻，使图形动起来，帮助学生认识图形变化中不变的特征。这部分内容还 将在图形与变换中进一步涉及。 （3）重视从复杂图形中辨别基本图形 鼓励学生能够从复杂图形中辨别一些基本图形，发展识图能力。比如对于长方体直观图中长宽高的辨 认，学生往往存在着困难，这里有一个教师的好的做法： 首先，教师出示长方体的透视图（如下，12 条棱全部能看清） 。师：如果请你擦掉其中的一条棱，你还能想象出这个长方体的大小吗？ 学生擦掉其中的一条棱，结果发现，同样能想象出长方体的大小。 师： 如果再让你擦掉一些棱， 想一想， 至少要剩下哪几条棱， 才能保证我们可以想象出长方体的大小？ 先想一想，再动手试一试。 学生展开想象，随后动手尝试。结果多数学生留下三条线段。师：根据这三条棱，你真的能想象出长方体的大小？ 生：能！ 在这个过程当中，学生不但感受了长方体的特征，同时加深理解了长宽高。 （4）恰当的运用标准图形和变式图形 重视观察、操作、想象、推理、 （5）重视观察、操作、想象、推理、表达之间的结合 在图形的认识和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动， 在图形的认识和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动，这也是小学几何跟中学几何学习 的一个区别。 的一个区别。这些活动呢，既包括学生的观察活动，也包括学生的操作活动，比如撕、剪、拼、折、画， 还包括学生的想象活动。当然，还包括一些非常简单的推理，以及对图形及其特征的表达。教学中非常重 要的一点，是能将观察、操作、想象、推理、表达进行有机的结合，既认识到它们各自的价值，又能在一 些活动中把它们结合起来。举个例子，比如说对于长方形特征的探索，教师可以首先鼓励学生观察，提出 一些猜想：它的两个对边相等……。在此基础上，教师可以鼓励学生运用操作对猜想进行验证。最后，教 师还可以鼓励学生用自己的语言表达出长方形的特征。 这里需要强调的是学生动手操作的重要性。学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建造模型、分类等活 动，对图形的多方面性质有了亲身感受，这不仅为正式地学习图形的性质奠定了基础，同时积累了数学活 动经验，发展了空间观念。亲身实践远比只是看一下要获得几多的对图形的“洞察” 。 小结：操作的价值主要体现在以下几个方面：第一，操作是探索图形性质的有效手段。第二，操作可 操作的价值主要体现在以下几个方面 操作的价值主要体现在以下几个方面：第一，操作是探索图形性质的有效手段。第二， 以对通过观察等得到的猜想进行验证。第三，操作可以加深对图形及其性质的理解。 以对通过观察等得到的猜想进行验证。第三，操作可以加深对图形及其性质的理解。比如将长方形对折，第 6 页 共 19 页材培训材料 发现长方形对边相等，实际上学生也进一步体会长方形的轴对称性；又如，画的活动非常有助于学生在头 脑中建立图形的表象。 在动手操作中，也不要忽视推理的价值。虽然小学阶段不要求学生进行严格的证明，但是不代表孩子 没有推理的意识。而且推理还能够帮助我们解决操作中出现的误差。比如在“两边之和大于第三边”教学 中，由于操作中的误差，造成了当两边之和等于第三边时，学生“拼出”了三角形。面对这一情况，最好 的解决方法是借助一些推理。其实，学生也有这个意识，比如有的学生说得非常的形象：4+5=9，9 与 9 都 平行（重合）了，拼不成了。有的学生可能会根据“两点之间线段最短”来说明等于的时候是拼不成的。 这里强调的是，教师还要注意鼓励学生在操作中积极思考， 这里强调的是，教师还要注意鼓励学生在操作中积极思考，否则缺乏思考的盲目操作会造成操作的 无效性。 无效性。为了说明问题，下面介绍一个老师设计的三角形内角和的练习活动： 老师撕了 4 个不同的三角形,分别为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和不等边三角形，得到了 12 个角，分别为 60 度、20 度、80 度、110 度、40 度、90 度、60 度、50 度、70 度、60 度、50 度、30 度。 这四个三角形每个角分别是多少度？ 在解决这个问题的过程中，学生不仅要应用“三角形内角和是 180 度”的结论，并且学生要思考从何 下手比较合适。 （6）注重图形之间的联系 教师还应重视在图形及其性质之间建立联系。学生学习的时候是分散的，这就需要老师以适当的形式 把分散的内容串起来。下面的两张表是周玉仁教授提供的有关图形性质的两个表： 表1 边 正方形 长方形 平行四边形 梯形 表2 平行四边形 对边平行 对边相等 对角相等 四边相等 四角相等 √ √ √ 菱形 √ √ √ √ √ 长方形 √ √ √ 正方形 √ √ √ √ √ 四边相等 对边相等 两组对边分别平行 只有一组对边平行 角 四角都是直角 四角都是直角 对角相等上面的第一个表是大家比较熟悉的，第二个表是从另外一个角度揭示图形之间的联系，大家不妨将两 个表都呈现给学生，使学生不断体会图形之间的联系。 ㈡、图形与位置 1．介绍两种确定位置方法的数学原理 目前，教材中有两种确定位置的方法，它们实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标 系，它们都是平面上确定位置的方法。如上图，平面直角坐标系有一个坐标原点 O，然后是横轴、纵轴。在这样的情况下，一个点对应着横第 7 页 共 19 页材培训材料 坐标和纵坐标，如图中的 P（2，2） 。我们常说的几行几列就是直角坐标。极坐标系，首先也有一个原点 O，0然后是极轴。对于点 P，就用 OP 的长度（极径）及 OP 相对于极轴的角度（极角）来刻画，如 P（2，36 ） 。 我们常说的距离方向就是极坐标。两种刻画位置的方法，既有不同点，又有一些相同点：都要有原点；都 要用两个要素来刻画，这两个要素可以是两个长度，也可以是一个长度、一个角度。 下面就是在没有学确定位置之前，对一所学校四年级学生所做的测试： 测试问题：请你在纸上描述出你们班长的位置。 下面是学生的几种做法： （1）文字叙述班长的位置：X 行 X 列。 比如三排第四个、第三列的第四个人。 （2）文字叙述班长的位置：从 X 数 X 行 X 列。 比如：从窗户数的第三排、第四个。 从门这边数是第五组的第四个。 （3）用图表示班长的位置：X 行 X 列 （4）用图表示班长的位置：从 X 数 X 行 X 列 （5）还有一个孩子谈到了，班长在我的斜后方第三个。 学生的想法很丰富，这一方面是个可喜的事情，另一方面，可能老师就犯愁了，现在的教材中或者是 利用（3，4） ，或者是利用方向和距离确定位置，那么学生的这些想法和教材中的办法有什么联系呢？ 看看这些学生在测试中的做法，你会发现学生的做法都是很有道理的。 我们来分析一下学生的几种做法：虽然做法（1）（2）是用文字刻画位置， 、 （3）（4）是用图来刻画 、 位置，但 4 种做法都对应着直角坐标的思想，它们都表明学生已经意识到需要用两个要素来刻画平面上的 位置。进一步，做法（2）和做法（4）还标明了参照物，当然参照物不同刻画的结果就不同。而做法（5） 则对应了极坐标的初步思想。所以，老师们可以看到，学生们在没学之前都有了非常好的原始经验，关键 我们老师如何去利用。我想，一个好的做法应该强调建立联系，建立学生原始想法和数学方法之间的一种 联系。教学中，可以先把同一做法内部的不同表示形式建立联系，比如说都用文字表述的方式，我们来比 一比有什么相同的地方，学生会发现尽管有说排的、列的、组的……，但都是用两个因素来刻画位置，如 果再说明以谁为参照物，位置就确定下来了。然后，就是在所有的方法之间建立联系，比如数和形之间的 对应。最后，再引申到数学上确定位置的方法。 2．教学上的一些建议 教学上的一些 教学上的一些建议 （1）重视探索如何确定位置的过程 对于这部分内容的教学，教师应鼓励学生在具体的情境中，探索如何来描述物体或图形的位置，探索 刻画位置需要哪些要素。 看下面的一个教学中的例子， 教师在学生学习确定位置之前， 设置了丰富的情境： 说一说剧院、教室是如何确定观众和学生的位置的。 城区的地图经常有小方格在上面，以便于我们确定位置，如汽车站在（E，7）小方格里。 在地图上确定某地的位置需要知道它的经度和纬度。 在此基础上，教师介绍了 17 世纪一个叫笛卡尔的法国人用同样的想法来确定点的位置，以及直角坐 标确定位置的方法。 这个案例提供了丰富的情境，针对这些现实问题的讨论，学生将感受确定位置在生活中的重要性，体 会数学对确定位置的作用，并抽象出不同确定位置方式的共同特征。 （2）注重从具体情境中抽象出坐标的过程 教学中还应重视从具体情境中抽象出坐标的过程。有这样的一节课，老师就比较重视这一过程。 教学最开始呈现的是一个教室的场景，确定教室里一个同学的位置；然后，教师利用课件将每个同学 抽象成点；接着在点上套上方格，就体现了一个抽象的过程。 淡化非本质的对“行列” （3）淡化非本质的对“行列”的讨论 在教学中不要在一些非本质的内容上下太大的功夫，比如行和列，有的老师说横为行，有的老师说竖 为行，还有的老师用组等名称，对于这些，千万不要纠缠，实际上就是一个规定，有了规定以后大家表达第 8 页 共 19 页材培训材料 起来就统一了。建议老师，不妨在教学的开始就把这些“障碍“扫清，向学生说明为了交流方便，统一把 这一行当成第一行……这个当成第一列……（评价中更不能用这些去考学生。 ） ㈢、图形与变换 平移、旋转、 1. 平移、旋转、轴对称的要素 对于这部分内容，小学生通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋 转就是绕一个点转动一定的角度，我觉得对于小学生就够了。但是作为老师，是远远不够的， 在图形的变换中有一个非常重要的变换呢，就是全等变换，或者叫做合同变换。如果图形经过变换后 在图形的变换中有一个非常重要的变换呢，就是全等变换，或者叫做合同变换 与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，它 本质上是两点之间的距离不发生变化，换句话说在原来的图形中，任意两点的距离假设是 l 的话，经过变 换后的两点之间的距离仍是 l，所以全等变换是一个保距变换，保距离的一种变换，距离保持了以后，自 然图形的形状、大小，都可以证明仍然是保持的。 全等变换有几种方式，其实可以直观地想一想，两个图形是完全一样的，要由这个图形运动得到那个 图形，可以通过怎样的运动。首先可以是平移 平移，平移到一定位置上，或者说对于三角形有一个顶点能够重 平移 合了，这时候无非有两种情况：一种情况是两个三角形的三个顶点的顺序是一致的，这时需要经过旋转两 个图形就重合了；还有一种情况是顶点的顺序相反，这时需要经过反射（翻折）两个图形就重合了。上面 的变换就是我们所说的平移变换、旋转变换和反射变换 平移变换、 平移变换 旋转变换和反射变换，它们是三种基本的全等变换。反射变换有的老师 把它叫做轴对称变换，实际上一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形是成轴对称的。具体的什么叫平移，什么叫旋转，什么叫反射，我们不给出数学上严格的定义，而是直观地给予解释， 并指出这些变换的基本要素。 如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平 移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平 行并且相等” 。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离 确定平移变换需要两个要素： 确定平移变换需要两个要素 一是方向，二是距离。 旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的 夹角都等于旋转的角度” 。显然，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。 确定旋转变换需要两个要素： 确定旋转变换需要两个要素 旋转中心、旋转角(有方向) 如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分， 如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分， 这样的全等变 换称为反射变换。 换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接 任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分” 。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。 我们看看摩天轮转动这个例子，看起来又像平移，又像旋转。实际上，这个例子不是一个好例子。为 什么这么说呢，就是因为它过于复杂了，说不清楚的东西太多了。比如说如果把人抽象成一个点的话， 似乎能够看成绕着摩天轮中心的旋转运动。但是，在数学中单纯的讨论一个点的运动没有多大意义，实 际上变换是平面上每个点都做同样的运动。如果把人抽象成一个三角形、或者一个长方形，你又发现它 不是一个旋转了。有的文章是这么认为的，如果静态地看运动前和运动后的图形，人的运动可以看成能 够通过平移得到，但是也不能简单的说就是一个平移，所以这个问题太复杂了，我们不建议让学生去讨 论这个问题。第 9 页 共 19 页材培训材料又如，窗帘拉动这件事，也是很麻烦的。如果只看窗帘的一个边，确实是在平移；但是要把窗帘看成 一个整体，又可以把它看成一种伸缩的变化。所以这些例子都不是好的例子。在学习的开始，教师应该 鼓励学生从具体情境中去理解三种变换，但是这时候选择的例子要简洁一些，并且说清楚关注的是什么。 当学生有了经验以后，可以尽快的进入到图形的变换的讨论中。 2.教学上的一些建议 教学上的一些建议 上的一些 关于平移和旋转，小红老师讲得详细，我不再拢惶柑讣父霰冉系湫偷睦 分析下面三种不同的教学活动设计。 活动一：请学生表演健美操的走步与转身动作，作为平移、旋转的观察例子，一人表演，众人观察。 活动二：让学生自己用各种动作表示平移、旋转，同桌互相表演，再全班交流。 活动三：让学生用铅笔头表示交流工具在方格纸上平移或旋转。 以上三种活动都富有童趣，都能激发学生学习热情，后两种活动还做到了人人参与。差异表现在： 实施“活动一”时，学生对健美操走步时的跳跃现象产生了质疑。争论后形成的共识是走步才是平移， 但实质上跳跃与走步在这里并没有本质上的区别。 实施“活动二”时，学生大多数能够自觉区分移动与转动，但平移与旋转的要素显示不明显，不少学 生以为旋转就是转圈。 实施“活动三”时，平移与旋转的要点反映得比较清楚。特别是旋转，经过讨论，学生在教师指点下 得到了以三种不同的旋转中心（铅笔尖、铅笔尾与铅笔中点）进行旋转。因此，从尽可能地接近数学概念的本质来看， “活动三”更具有数学的典型意义，它有利于我们避开 干扰，把学生的注意力集中到平移与旋转变换的数学意义上来。 同样，当我们采用图片来揭示平移、旋转时，也应该尽可能地关注实例的典型性。例如，下面的两幅 插图看似相同，实际上却是有区别的。转动老式的水龙头（如图 13） ，其运动是旋转与平移的合成。只要 打开水龙头就能发现一圈圈的螺纹。而新式的水龙头是转动阀门，更接近于单纯的旋转，虽说小学生一般 发现不了旋转与螺旋的区别，但为了确保教学的科学性，避免给进一步学习造成误导，还是尽可能注意为 好。关于平行四边形的对称问题。 关于平行四边形的对称问题。 案例：一位教师进行轴对称图形教学的时候，课堂上出现了一个“突发事件” ：教师组织学生对平面 图形的轴对称性进行分析。在分析过程中，像正方形、长方形、圆，这些平面图形，它们的轴对称性学生 的想法都很一致。而当判断（一般）平行四边形是不是轴对称图形的时候，学生产生了比较大的分歧。很 多学生认为平行四边形就应该是轴对称图形，主要观点如下：第 10 页 共 19 页材培训材料 （1）如果把平行四边形对折，再对折，它就能够完全重合了。 （学生对折了两次） 。 （2）把平行四边形从中间撕开，然后给它转过来，这样也完全重合了。 （不是折叠，而是转） （3）把平行四边形竖过来，看看两边是平行的，而且两边的角都是一模一样的，所以我认为它是 轴对称图形。 （这么象怎么能不对称） 这位教师在课后反思中谈道：教师已经反复强调了对折以后能够完全重合的图形是轴对称图形，为什 么学生还认为平行四边形是轴对称图形。学生的这种“执着”是什么原因呢？ 以上教学中出现的现象挺有意思的， （一般）平行四边形按照定义一判断肯定不是轴对称图形，没想 到孩子这么“执着” ，他就觉得这么一个“完美”的一个图形，看着这么对称，它怎么能会不是轴对称图 形呢？所以他特别想把它重合，想了好多办法：撕下来转过来，甚至再折一次。其实，孩子的想法蕴涵着 丰富的数学价值，平行四边形虽然不能靠对折重合，它是可以通过旋转来重合的。 ㈣、图形的测量 在图形的测量中主要有两个方面的内容，一是测量图形，二是度量单位。 关于度 单位的教学 的教学： 1、关于度量单位的教学 “空间与图形”领域的度量单位主要包括常用的长度单位、面积单位、体积（容积）单位等。以往的 教学实践已积累了不少的成功经验。此内容的教学重点是：如何激发学生感悟度量单位产生的需要，进而 以有意义接受或 “类比创造” 的方式建构度量单位， 并在多样化的数学活动中进一步丰富度量单位的表象， 深化体验，提升空间观念。 激发学生感悟度量单位产生的需要。 （1）激发学生感悟度量单位产生的需要。 度量单位的学习，通常源自这样一种需要，即解决新的问题时，原有的度量单位无法满足需求，需要 一种新的度量单位介入。教师应通过创设新的问题情境，激活学生的认知冲突，激发他们主动接受，产生 “创造”新的度量单位的愿望。如果这一类度量单位首次接触，可以采用“比较情境” ，如比较两个图形 的大小，通过观察或重叠无法直接比较大小，迫使学生想办法通过用同样大小的单位图形摆一摆，再根据 单位图形的个数多少来判断。当然，如果用不同大小的单位图形摆，结果会更复杂，但其中蕴含一些数学 思考及思想方法，同样值得考虑。如果前面已经接触过此类面积单位，则可创设“度量情境” 。 如学习了立方厘米后，教师可引导学生借用体积单位 1 立方厘米的小方块度量电视机包装箱的体积， 面对新的情境，学生在经历尝试或思考后，自然会感悟到原有体积单位的“不适用性” ，从而萌生“创造” 一个新的体积单位的愿望，使数学学习成为学生内在生成的主动诉求。 有意义接受与“类比创造”相结合。 （2）有意义接受与“类比创造”相结合。 我们以往比较关注学生对度量单位的有意义接受；现在我们更在意学生能否自己主动创造一个新的度 量单位。事实上，二者同样重要，只是适宜于不同情况罢了。倘若首次接受面积度量问题，对小学生而言 面积概念相对抽象， 要使他们自己创造出新的面积单位有一定困难， 且价值不大， 通过引导学生观察模型、 自学教材等方法进行有意义接受学习未尝不可。 至于学生已经有了同类度量单位的基础， 再遇到新的问题， 需要有新的度量单位介入，教师引导学生借助已有经验及知识背景进行“创造” ，也不失为一种可行之举。 这里结合“面积单位”一课教学，作一阐释。 师：我们先来学习一个面积单位，叫做平方厘米。什么是 1 平方厘米呢？ 生： （通过看书）边长是 1 厘米的正方形，面积是 1 平方厘米。 师： （出示平方厘米的模型）请同学们仔细观察平方厘米这个面积单位，它是什么形状，有多大？看 清楚了就把眼睛闭起来，在脑子里回想 1 平方厘米的面积是多大的正方形？在脑子里留下了平方厘米的样 子吗？现在请把信封里的所有的平面图形拿出来（课前发给一人一份） ，把 1 平方厘米从里面挑出来。 …… 师： （故意）请大家用平方厘米测量一下课桌上表面（学生使用的是单人桌）的面积。 （学生度量，面 有难色）这样量，大家感到怎么样？ 生：这样量太慢了。用平方厘米这个面积单位度量课桌上表面面积太小了。 师：那么怎么办呢？ 生：我想有没有大一点的面积单位呢？ 师：真会想问题！这大一点的面积单位，就请大家来创造一下，叫什么呢？第 11 页 共 19 页材培训材料 生：叫平方分米。 生：叫平方米。 师：你能根据平方厘米的意义，想一想什么是 1 平方分米，什么是 1 平方米吗？ 生：我想，边长是 1 厘米的正方形，面积是 1 平方厘米；边长是 1 分米的正方形，面积就是 1 平方分 米；那么边长是 1 米的正方形，面积就是 1 平方米。 师：你们能用手比划一下 1 平方分米的面积大约有多大？1 平方米呢？ 学生比划，教师出示平方分米和平方米的模型让学生观察、对照，直至形成清晰表象。 从上可知，教学平方厘米这一度量单位时，教师没有引导学生进行所谓的“创造” ，而是引导学生通 过看书、观察、闭眼等活动进行学习，这恰恰是基于对学生认知起点的精准把握，也是教学有效性的体现。 在学生掌握了平方厘米，且对什么是面积单位、面积单位通常可以用怎样的图形作“表征”后，再通过创 设适宜情境，激发冲突，并自然而然通过类比迁移进行联想与“创造” ，可谓恰到好处。既掌握了知识， 又发展了思维，培养了学生的空间观念及创造能力。 丰富度量单位的表象及体验。 （3）丰富度量单位的表象及体验。 能否准确建立度量单位的表象，在新的问题情境中能否使学生自觉唤醒，促进问题的解决，在教学中 显得尤为重要。如何建立表象？关键是强化感知与体验。感知是体验的前提，体验是感知的深化。教学时 应通过创设的多种活动，引导学生在“摸一摸、看一看、掂一掂、比一比、猜一猜、想一想、估一估”的 过程中，调动各种感官，从各个角度丰富对度量单位的认识，从而形成鲜明的表象，促进学生对度量单位 的理解与建构。比如学习“升和毫升” ，一老师为了深化学生对这两个度量单位的体验，创设了各种有价 值的数学活动。如下： 建立毫升的观念。 建立毫升的观念。 ①玩一玩 1 升的水。 a、猜：刚才两杯饮料相差 10 毫升，请大家猜一猜 1 毫升水有多少？ b、玩：用针管吸 1 毫升的水，放在手心里玩一玩。 c、数：1 毫升水会有多少滴？ ②玩一玩 10 毫升的水：用针管吸 10 毫升的水挤入杯中，与 1 毫升比一比，你有什么发现？ ③玩一玩 100 毫升的水：用针管吸 100 毫升水大概在水杯什么位置，然后小组成员盛水轮流倒入量杯 量一量，看谁最接近 100 毫升。 建立升的观念。 建立升的观念。 ①玩一玩 1 升的水。 a、猜：如果 10 个小组都把这 100 毫升的水倒在一起，就是多少毫升呢？讲台上几个空瓶哪个能盛得 下？ b、验证：10 位组长按顺序倒入一个空瓶中，结果显示刚好能盛 1000 毫升，提示：1000 毫升正好是 1 升。 ②玩一玩 2 升的水： （举起 2 升的空瓶）这空瓶可以盛多少水？ 学生猜测，教师倒水验证，并显示标签证实。 ③猜一猜几升的水：出示几只大小不等的空瓶，猜一猜，每只瓶各能盛多少升的水。学生估计后，教 师倒水验证。 活动过程中，有观察、有操作、有猜测、有验证， “放在手心玩一玩” “挤入杯中比一比” “倒入量杯 量一量”……正是在这些富有实效、充满情境的活动中，学生不断地与新的度量单位“亲密接触” ，尤其 是，刚刚获得的表象又在猜想、验证的过程中不断予以调整、矫正，直到被深刻建构，并在体验中内化为 稳定的心理表象。 至于度量单位之间的进率，教师可以在引导学生获得清晰表象后，借助必要的数学推理实现理解与建 构，并在一定练习的基础上形成技能。 2．测量 教材根据小学生的思维能力及数学知识本身的逻辑结构，从一维、二维到三维的顺序依次安排了测量 长度、度量角、测量面积和测量体积，并安排了平面图形的周长、面积与立体图形的表面积及体积等相关第 12 页 共 19 页材培训材料 内容。图形测量在传统教材中扮演重要角色，是过去“几何初步知识”的核心内容。今天，虽然它在“空 间与图形”领域的比重有所下调，但其重要性仍不可小觑。一方面，对于小学生而言，探索长度、面积及 体积的计算方法蕴含太多的数学思考及解决问题策略，而相应实际问题的解决，又可以很好地培养学生的 数学思维能力及问题解决能力。另一方面，作为一种重要技能，小学生理应掌握必要的“求积计算”及测 量能力，这是他们数学素养的重要组成部分。 具体教学，我们可以大致遵循“探索中初建模型――应用中提升思考”的整体教学思路。 在探索过程中初步建立数学模型 中初步建立数学模型。 ⑴在探索过程中初步建立数学模型 数学模型的建立依赖于探索活动。同样的探索活动，探索材料不同、活动组织不同，学生所生成的对 模型的理解程度及意义建构也会有所不同。下面，仅以“长方形、正方形面积计算”为例，作一具体解读。 案例一： 教师为学生提供如下材料： 透明方格纸、1 平方厘米正方形纸块、尺子和一张印有六个图形的纸。 教师呈现探索材料。 师：请自己选择材料和工具，想办法求出六个图形的面积，并把数据记录下来。 1 号图：长 5 宽 3 2 号图：长 4 宽 2 3 号图：正方形边长 2 4 号图：正方形边长 3 5 号图：长 4 宽 1 6 号图：长 6 宽 4 （长度单位：厘米） 学生展开探索活动，然后小组交流。 第 1 组： 我们组用透明的方格纸盖在 2 号图形上， 发现 2 号图形里面一排正好有 4 格， 有这样的 2 排， 所以它的面积是 8 平方厘米。接着，我们又把透明方格纸盖在 6 号图形上，用同样的方法发现 6 号图形的 面积是 24 平方厘米。 第 2 组：我们用小正方形摆在第 1 个图形上，横着摆一排 5 个，摆了这样的 3 排，一共摆了 15 个小 正方形，面积是 15 平方厘米。 (补充：我们也是摆小方格的，我们一排摆 5 个，竖着又摆了 2 个，也能一下子看出一共要 15 个小方 格，它的面积就是 15 平方厘米。) 师： （指图 1）瞧，原来只摆 7 个，也能一下子看出它的面积! 第 3 组：我们用尺子在图 1 上画格子，长是 5 厘米，我们每排就画 5 格，宽是 3 厘米，我们就画 3 排， 一共是 15 个小正方形，面积就是 15 平方厘米。 师：刚才用透明小方格去盖，用尺子画格子、用小正方形去摆，知道了这些图形的面积。比较这些方 法，它们有什么相同的地方？ 生：都是数方格的。 生：都需要知道一排有几格，有这样的几排。 师：长是几，就是有几个这样的面积单位，宽是几，就有几排这样的面积单位，长方形面积就是含有 面积单位的个数。看来，长方形的面积和什么有关？又有什么关系？你能结合操作中的数据，说说它们之 间有什么关系？ 生：长方形面积等于长乘宽。 …… 多元化探索素材的提供，打开了学生探索、研究的切入口与思路，他们有的数、有的摆、有的量、有 的画，同样的结果却隐含着不同的数学思考，教师及时组织求同比较，在横向沟通中实现算法的共享，同 时又使不同算法之间的本质意义在交流与比较中得到提炼和升华。 案例二： 教师为学生提供 8 个 1 平方厘米的小正方形，并先后依次出示如下四个长方形，引导学生借助手中的 8 个小正方形，通过摆一摆得出长方形的面积。 1 号图：长 4 宽 2 2 号图：长 6 宽 3 3 号图：长 8 宽 3 4 号图：长 12 宽 10第 13 页 共 19 页材培训材料 1 号图形：学生很快通过摆一摆，得出它的面积是 8 平方厘米。 2 号图形：学生先觉得小正方形不够，但通过积极思考后，他们想出“只摆 1 排和 1 列” ，同样顺利解 决问题。 3 号图形：学生再度遇到问题，8 个小正方形只够摆一排，怎么办？以上一问题解决策略的启发下， 他们想出“摆完 1 排 8 个后，从中借 3 个再摆成 1 列” ，从而同样巧妙解决问题。 4 号图形：8 个小正方形无论是摆 1 排还是 1 列都不够，怎么办？最终通过积极思考，他们从实物操 作中摆脱出来，借助“想一想” ，完成问题的解决。 四个问题恰好是四个不同层次，每一个层次的推进，都在无声地“导引”学生将思维从实物操作向表 象操作，进而向算法操作过渡，从而在探索活动中真正完成对算法的意义建构。 两个案例的呈现，恰恰表明，求积公式的探索可以多元化。但是，题材的优化选择与组织，教师的恰 当介入与指导，多种算法之间的沟通、比较与提升十分必要。唯有如此，好、更具一般意义的、相对抽象 的算法才能为更多学生所理解与建构。 在解释与应用中深化认识， ⑵在解释与应用中深化认识，提升数学思考 建立模型后，一个重要的环节是模型的应用与提升。必要的技能练习与复杂问题的解决在其中扮演重 要角色。不必过分关注情境的现实意义，倒是数学思考的内涵值得我们仔细琢磨。比如， “角的度量”一 课，江苏一个老师在练习阶段的设计相当有意思。 1．断了一角的三角形玉佩，如何测量断角的度数？ 2．用量角器如何测量一个边很短的角？ 3．猜一猜，下面的角可能是多少度？ (1)角的一条边指向右边的 20 度、30 度、50 度，另一边不给出。学生猜测 20 度、30 度、50 度后， 教师出示另一边正对着零刻度线，学生成功通过。 (2)角的一条边指着 60 度，另一条边暂不给。学生猜测 60 度后，教师出示另一条边(指向反方向)， 学生连呼上当。 (3)角的一条边指着 70 度，另一条边暂不给。学生冷静猜测：这个角可能是 70 度，也可能是 110 度。 教师出示：角的另一条边不是指向零度刻度线。学生再呼上当。 (4)角的一条边指着 80 度，另一边暂不给。学生抢着回答：如果另一条边对着零刻度，这个角是 80 度或 100 度。如果另一边没对着零刻度，则无法知道角的度数。教师出示另一边，正对着 30 度刻度线。 学生先是直呼“无法测量” ，继而纷纷举手， “应该是 50 度”…… 没有复杂、现实的问题情境，但每一个问题的设计都蕴含着丰富的思考内涵，且直指本课所学新知： 如何准确地用度量器测量角的度数。学生在一波三折的思维波澜中不断经历着认知的结构的失衡与平衡， “角的度量”的认知难点被成功突破，思维能力也在解决问题的过程中不断得以提升。 此外，理解并建构了计算公式后，教师应营造有价值的问题情境，引导学生在解决问题的过程中既巩 固计算公式、形成技能，又提升数学思考。问题情境的设置既要体现针对性，更要体现思考性、综合性。 如“长方形、正方形的面积”一课，重庆郭莉老师的下述问题设计就很好。 问题情境：(主席台背景图)每个小正方形边长是 2 米，如何计算背景图的面积。解决这一问题的过程，恰恰是学生最大限度地调用本课所学知识，并灵活予以综合应用的过程。 有些学生想到：根据正方形连长，算出长方形的长与宽，再求长方形的面积。 有些学生想到：先求出正方形的面积，再看看长方形中能有几个这样的正方形，从而间接解决问题。 其中，既有长方形、正方形面积公式的应用，又有长方形、正方形面积关系的呈现，而与此同时，平 移的操作方法，空间想像能力及转化的数学思想等都在此得到很好的蕴伏与渗透。 关于是空间观念 是空间观念？ 三、关于是空间观念？第 14 页 共 19 页材培训材料 周玉仁教授认为：空间观念可以看成物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象。它主 要表现在以下几个方面： 1.能由实物的形状想像出几何图形 2.由几何图形想像出实物的形状 3.进行几何体与其三视图、展开图之间的转化 4.能根据条件做出立体模型或画出图形 5.能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系； 6.能描述实物或几何图形的运动和变化 7.能采用适当的方式描述物体间的位置关系 8.能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。 具体分析，有这么几个角度： 第一，就是转化，这个转化既包括二维和三维的转化，也包括现实生活与抽象图形之间的转化过程。 第一，就是转化，这个转化既包括二维和三维的转化，也包括现实生活与抽象图形之间的转化过程。 过程 二维和三维空间的转化，是发展学生空间观念的一个非常好的途径。 对于二维和三维空间的转化， 课标专门设置了视图与投影的内容。 这部分内容的主要目的是通过观察、 操作、想象、推理等活动，实现基本几何体与其三视图与展开图的相互转化：即当我们面对一个几何体或 实物时，能想象出它所对应的平面图形（如三视图、展开图） ；反过来，当我们看到某个三视图、展开图 时，能想象出它所对应的几何体或实物的形状。此时，我们就可以理解，为什么要设计观察物体这样的活 动了。有的老师可能会说，小学三视图的画法跟数学中三视图画法是不一样的，确实是有些差别。但我觉 得在小学阶段，只要为学生奠定丰富的经验，没有本质上的错误就可以了。有的老师还说，明明从侧面看 它是凹凸不平的，看的感觉是立体的东西，为什么要画成平面的。从数学上讲，视图实际上是平行投影， 就相当于一束平行光线照在物体上后投射在墙上的影子。 在教学上，教师可以利用投影仪，在投影仪上一看就是一个平面的。 第二，就是制作，或者画出来。 第二，就是制作，或者画出来。有了图形以后，怎么去把它表达出来，无论是制作模型还是画出来。 第三，就是分析。 第三，就是分析。从复杂图形中去分解基本图形，在分析的过程中去体会图形的特征。 第四，就是想象。 第四，就是想象。既包括描述和想象物体或图形的运动变化，也包括描述或想象物体或图形的位置关 系。 第五，特别重要的一条，就是图形直观的作用。 第五，特别重要的一条，就是图形直观的作用 发展空间观念的价值（ 2．发展空间观念的价值（可以不讲） ） 发展学生的空间观念，主要有两方面的价值：一方面，就是生活中解决问题的需要。在生活中、在所 从事的职业中，可能真的需要有一定的空间观念。另一方面，就是图和几何直观的作用。 我们再看看国际上一些伟大的数学教育家、数学家，他们的看法： 弗赖登塔尔：几何就是把握空间……那是儿童生活、呼吸和运动的空间。为了更好地在这个空间里生 活、呼吸和运动，儿童必须学习了解、探究和征服空间。 陈省身：几何学将是 21 世纪数学研究的前沿阵地之一。 姜伯驹：几何学正在迎来一个新的高潮。 阿蒂亚：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位。……几何直觉仍是增进数学理解 力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。 庞加莱：我们是通过逻辑去证明，但我们是通过直观去创造。 3．培养学生的空间观念 （1）为学生提供多种素材 空间观念的培养，绝对不能仅仅依靠长方形、正方形等所谓的基本图形，它就需要教师提供多种的素 材和多样的活动。素材中有二维的，还有三维的；图形中有直的，还有曲边形；对图形既可以包括测量上 的把握时，也包括一些特征的把握，也包括我们所说的变换上的把握，坐标上的把握，也包括像莫比乌斯 带那样拓扑性质的把握。当然，并不是说教学中要讲这些名词，关键是设计丰富的活动鼓励学生去体会， 从而建立经验。换句话说你把这门打开了，他就有可能发展，如果你这门永远打不开，或打的很窄，学生 发展的空间就很小。第 15 页 共 19 页材培训材料 要重视观察、操作、想象、推理、 （2）要重视观察、操作、想象、推理、表达的结合 这一点是非常重要的。空间观念绝对不是多摸摸就能培养出来的，还要鼓励学生思考为什么要去摸？ 什么东西要有意识要多摸一些？也就是除了操作，还有观察、想象、推理、表达，它们之间的结合无疑是 非常重要的。 （3）根据学生实际发展空间观念 根据学生的实际来发展空间观念，这里既包括从学生熟悉的事物入手，还包括老师们一定要重视帮助 学生克服困难。比如，对于立体图形的侧面观察，学生比较困难，北京的一位老师，做了一个大面积的调 研（她班学生） ，发现学生正面观察没有太大问题，侧面观察问题比较大。进一步，她反思了自己的教学， 发现一节课就是让学生正面看完、侧面看，花的时间挺多，学生也特忙，但是仍然这个困难没解决。后来， 他又坚持思考怎么来帮助学生克服侧面观察的难题，想出了一些办法。第一，他发现学生为什么侧面观察 比较困难呢？一个原因是，一般咱们上课给学生观察的物体都比较小，而学生又不太懂得什么叫做正对着 一个面去观察，结果学生一观察三个面他全看到了，所以就影响了他的判断。后来，这位老师就有一个措 施，就是从观察大的物体开始。他们班的教室里面有一个大柜子，他就组织学生去观察，从正面看。再从 侧面看。学生再到一定年龄的时候，她就指导学生去观察小的物体了。第二，学生不会利用明显因素。他 就鼓励学生带着思考去观察，先猜一猜有些不明显特征与明显特征的位置关系，再去观察、验证，然后再 调整。当然，这位老师还有意识的在侧面观察中加大了时间。所以，无论如何观察都是一种有目的，有计 划的，有思维参与的一种活动，不是简单的看一看的活动。 图形的认识、图形的变换、图形的位置、图形的测量对培养学生空间观念都有着重要价值， （4）图形的认识、图形的变换、图形的位置、图形的测量对培养学生空间观念都有着重要价值，应 将四部分有机结合 不要把空间观念的发展孤立起来，有的老师认为好像只是观察物体等特定内容在培养学生的空间观 念。实际上，图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形的测量，都对培养学生的空间观念有着重要的 价值，在教学中应该进行有机整合。比如，我们可以把图形与变换与图形的认识结合在一起。 （在生活是 可以建立空间观念的） 要把握几何学习的阶段发展，明确小学阶段的学习任务，主要是直观上、 （5）要把握几何学习的阶段发展，明确小学阶段的学习任务，主要是直观上、整体上认识图形和空 多装一些具体的东西在学生头脑中。 间，多装一些具体的东西在学生头脑中。 要时刻把握几何直观的培养， （6）要时刻把握几何直观的培养，要有图形意识 图形的意识、几何直观的培养，不仅仅是在几何教学中，在其他内容的教学中，也应是重要的任务。 比如在数的学习中有两个模型，一个是数直线（数轴） ，一个是方格。讲加减法的时候就可以利用数轴， 加法就是顺着数轴的正方向数，减法就是顺着数轴的反方向数。又如，统计中的统计图，数据的变化用文 字描述了半天也不一定清楚，画个图它就非常的直观。再如，现在小学都比较重视渗透一些变化的内容， 类似正比例、反比例等，如果结合图来认识变化，就非常有助于学生理解。 三、几个特别注意的问题 几个特别注意的问题 特别注意 1. 关于角的认识 新教材在二年级上册安排了角的初步认识，教材的安排是：通过对实例（如剪刀等）的抽象，让学生 认识由一个顶点、两条边组成的图形是角；进而通过操作活动角并比较角的大小的活动，让学生认识到角 的大小与两边的张开度有关。但是，教师在操作活动角中并没有告诉学生什么是“角的大小” ，但却利用 这一概念提出活动要求――操作活动角并比较角的大小，而活动得到的结论恰好是在说明什么是角的大 小。这有点循环论证之嫌。学生在活动中也难免有不知多云之疑惑――到底是指边的长短还是指张开程 度？这样的设计，由于活动角的边的长短没有变化，变的是张开度，因此角的大小只能被解释为与张开度 有关，但不能说明与边的长短无关，此时还没有把角的边定义为射线，学生所见的边都有长短。正因为如 此，在后续的学习中，学生很容易受到边的长短及因此导致两边所夹区域大小的影响而产生误判。老师们 也清楚：如果明确说明角的大小与两边的张开度有关，与边的长短无关，学生的误判率就会大大降低。但 “角的大小与边的长短无关”这一说法会与后续学习中角的两边都是射线――而射线无需比长短相矛盾。 因此， “角的大小与边的长短无关”这一说法存在某种意义上的“科学性”问题，这就把教师置于某种尴 尬的境地，教也不行，不教也不行。怎么解决这一问题呢？这就需要教师设计恰当的教学情境了，而这也 是新教材赋予教师的比较艰巨的教学任务。 （介绍六校教师的公开课“角的认识”片段如下）第 16 页 共 19 页材培训材料 1、谈话引入，激发兴趣 师：大家见过鳄鱼吗？你对鳄鱼的印象如何？ 课件出示鳄鱼图（两只张开嘴的鳄鱼） ，并提出问题：哪只鳄鱼嘴巴张得开一些？学生都会认为图中的第二条鳄鱼的嘴张开得最大。 2、初步形成概念图式 师：你能用手势表示鳄鱼张开的程度吗？ （学生用手势表示） 教师立即提问：你们刚才的动作我们可以转化为画两条线来表示吗？（课件再显示图中的角） 。 师：鳄鱼的嘴巴开口朝哪一边？ 待学生回答后，教师又指出，我们可以在开口处画一条短的弧线来表示开口的方向。 （课件显示） ，这 个图形大家认识吗？ 学生很容易回答是角。 师：刚才大家说右边这条鳄鱼嘴巴比左边这条张得开，这好像不对吧？你看，它的嘴巴太长啊！ （教 者用手比划） 生：老师，你错了，这是比谁的嘴巴张得开，这和嘴的长短无关！ 师：用上我们新学的“角”谁能再来说说刚才这位同学的意思？ 生：第二条鳄鱼的角比第一条鳄鱼的角大。 师： “角大”是什么意思？ 生：两条边张开得越开，这个角就越大。 随即教师小结角的大小与什么有关？与什么无关。 显然，这位老师在处理角这一概念时，通过适时提问，解决的很轻松。 关于三角形的边的关系 2. 关于三角形的边的关系 我们经常说到，教师要吃透教材，熟悉教材！这是必须的，但还有更为重要的事：吃透知识，即数学 学科知识。这里举一个例子： 《三角形三边的关系》一课，为了使学生更好地探索“任意三角形的两边之和大于第三边” 。一教师 分三个层次引导学生学习。第一层：探究两边之和小于第三边；第二层：探究两边之和等于第三边；第三 层：探究两边之和大于第三边。每层的意思都是按“猜想――操作验证――得出结论”为线索开展学习。 三次活动相互映衬， 让学生在操作中去发现、 总结并应用 “任意两边之和大于第三边就能围成一个三角形” 这个结论。 学生在学习活动中的主体作用体现得淋漓尽致。 在课堂中， 让我们真正看到了学生就是操作者、 发现者，教师在其中起到了穿针引线的作用。就是这样一节预设充分的课，探究到刚得出“任意两边之和 大于第三边才能围城一个三角形” 的时候， 却出现了教师始料未及的 “美丽生成” 一个学生举起小手： ： “我 认为（三边长：3 厘米、4 厘米、5 厘米）只要判断出 6-3&4 或 6-4&6 就可以断定能围城三角形” 。此时教 师还没有转过神来，这个同学有解释了一遍，教师仍然不知所措。接着另一个同学说： “我们的结论是相 加，他说的是相减，和课本上不一样。 ”此时的教师没有了注意，急红了眼，最后还是没有转过弯来，教 师在迷惘中牵着学生的鼻子进行了后面环节的学习。就这样，美丽的生成被扼杀了。是在遗憾！ 的确，我们不能预设所有细节，前苏联著名教育家苏霍姆斯基曾说过： “教育的技巧并不在于预见到 课的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生的不知不觉中做出相应的变动” 。很明显，该 教师如果不束缚学生的手脚，不草草收场，再给学生一些探究的时间，教师充当学生，学生当老师，倾听 学生的意见，直至得出结论。这样引导的话就会让这节课变得十分精彩。第 17 页 共 19 页材培训材料 从另一个角度来看，该教师的数学素养似乎欠缺。不论什么教材，总会有一些瑕疵，所以，作为教师， 保险的话，还是吃透知识，吃透数学基础知识为好！ 另外，我们研究一下教材（四年级下-三角形）3、关于圆周率的教学 关于圆周率的教学 由于现在的数学课堂非常重视学生的操作活动，否则就被视为落后，于是，在教学圆周率这一课时， 教师总说是让学生动手操作去量一个圆的直径和周长， 并且在教学反思中， 信誓旦旦的说是经过动手实践， 学生量出了圆周率为 3 . 14 。实际上，可以用数学方法计算或证明，小学生用动手操作的方法，在教室 空间内用一堂课是难以量得圆周率的，证明如下： 假设测量精度为正负 1 毫米（这个精度是小学生用动手量的方法难以实现的） ，若将圆的直径测量值 定于 9999 毫米与 10001 毫米之间，此时圆的周长实际应为 31415 . 9 毫米，但因为要求测量精度为正负l 毫米，所以测量值就在 31415 与 31417 之间，根据这个范围计算圆周率Л＝周长 ，则 直径结果上限为：31417毫米 ≈3.9毫米 31415毫米 ≈3.01毫米结果下限为：即当圆的直径为 10 米时，得到的圆周率的值还不能保证精确到小数点以后第三位。 4、皮亚杰的一个实验 大家熟悉的瑞士科学家让 ? 保罗 ? 皮亚杰于 1928 年描述了他关于儿童如何逐渐形成其右和左的 观念的研究。皮亚杰虽然不是数学家，但在追求对基本问题的答案上，他和数学家一样，在明晰概念，隔 离无关因素，确证令人信服的结果上，与数学工作者的工作有高度相似性，这是值得数学教育工作者倾心 学习的。 他从一些非常基本的问题开始： “伸出你的右手，然后伸出左手。伸出你的右脚，现在再伸出左腿。 ” 五六岁的孩子大多数都能正确地回应。不过．这并不代表他们理解了右和左之间的区别。皮亚杰又问了另 一组与第一组非常相似的问题。他坐在孩子们对面，说： “告诉我哪一只是我的右手，哪一只是我的左手。 再告诉我哪一条是我的右腿，哪一条是我的左腿。 ”大多数 5 岁的孩子那能正确地回答第一组间题，却很 少有人能正确地回答第二组。 5 岁的孩子不能完全理解右和左的含义。 7 岁左右的孩子能正确地回答第 二组问题。 皮亚杰的下一个实验要复杂一些，他隔着一张桌子坐在孩子的对面，桌子上有一支铅笔和一枚硬币， 对孩子来说，硬币在左边，而铅笔在右边，然后他问： “铅笔是在硬币的右边，还是左边？硬币是在铅笔第 18 页 共 19 页材培训材料 的右边， 还是左边？” 尽管这一组问题的难度看起来与前一组几乎相同， 但孩子们无法得出正确的答案． 直 到约 6 个月后，在 7 岁或 7 岁半时才能正确回答这个问题。 下一个真正关键的问题，甚至连实验设计者皮亚杰一开始都没有意识到。在前期引导性的研究之后， 他评价说： ”应当要求这个孩子――我们直到实验结束后才想到这一点――在说完硬币在铅笔的左边后， 走到桌子的另一边，然后再问他：现在硬币是在铅笔的左边还是右边？”回答这一问题会让孩子们觉得更 加困难，他们大约要到 9 岁才能得出正确的答案。 甚至到了 9 岁，孩子们也不能完全常握右和左的性质，这是由一个稍有变化的实验所表明的。 只有在第三阶段，右和左才被看作是物体之间关系的性质，而非物体自身的性质。 （现代物理学则认 为：左旋或右旋可能是某些基本物质的属性。这是由左右不对称性，即“宇称不守恒”性决定的） 例如一把钥匙可以从孩子的角度来看，认为这位于硬币的左边和铅笔的右边，也可以被其他人以其他 方式看。只有到了这最后的皮亚杰称之为“完全的客观性”的阶段，才达到了成熟的理解。 总之，熟悉教材，理清结构，了解意图是我们应该做的，也是必须的，更重要的必须提高自己的数学 学科知识水平，还要独立思考，不迷信权威、专家，这样才能更好地实施素质教育。第 19 页 共 19 页