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第一章 绪论一.填空题1. x 为精确值x 的近似值；y**=f x *为一元函数y 1=f (x )的近似值；()请写出下面的公式：y *=f (x *,y *)为二元函数y 2=f (x , y )的近似值，x *-xe *=e =*：rε(y 1)≈f (x *)?ε(x *) εr (y 1)≈*'*x *f ' (x *)f x *?εr (x *)ε(y 2)≈**?f (x *,y *)?x?ε(x *)+?f (x *,y *)?y?ε(y *)?f (x *,y *)e (x *)?f (x *,y *)e (y *)εr (y 2)≈?+?*?x ?y y 2y 2*2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。 3、分别用2..718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和 7 位；又取11.73≤ ?10-2 。≈1. 7（3三位有效数字），则4、设x 1=1.216, x 2=3.654均具有3位有效数字，则x 1x 2的相对误差限为 0.0055 。5、设x 1=1.216, x 2=3.654均具有3位有效数字，则x 1+x 2的误差限为 0.01 。6、已知近似值x A =2.4560是由真值x T 经四舍五入得到, 则相对误差限为 0.000021 .7、??y =, 如果取y 0=≈1.41作计算, 则计算递推公式?0 ??y n =10y n -1-1, n =1, 2,1到y 10时, 误差为?108 ; 这个计算公式数值稳定不稳定28、精确值π*=3.
，则近似值π1*=3. 141和π2*=3. 1415分别有位和 4 位有效数字。9、 若x =e ≈2.71828=x *, 则x 有位有效数字，其绝对误差限为1/2*10 。-510、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题1. 有一个长方形水池, 由测量知长为(50±0.01) 米, 宽为(25±0.01) 米, 深为(20±0.01) 米, 试按所给数据求出该水池的容积, 并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式, 并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W, 深为H ，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为?(V )≈?V ?V ?V?(L )+?(W )+?(H )?L ?W ?H=WH ?(L )+HL ?(W )+LW ?(H )相对误差可估计为：?r (V )=?(V )V 而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足?(L )≤0.01, ?(W )≤0.01, ?(H )≤0.01故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为?(V )≤WH ?(L )+HL ?(W )+LW ?(H )≤25*20*0.01+50*20*0.01+50*25*0.01=27.50 ?r (V )=?(V )V≤27.50=1.1*10-3250002. 已知测量某长方形场地的长a=110米, 宽b=80米. 若a -a *≤0.1(米)， b -b *≤0.1(米)试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为?(s )≈?s ?s?(a )+?(b )?a ?b=b?(a )+a ?(b )相对误差可估计为：?r (s )=?(s )s 而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足?(a )≤0.1, ?(b )≤0.1故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为?(s )≤b ?(a )+a ?(b ) ≤80*0.1+110*0.1=19.0 ?r (s )=?(s )s≤19.0=0.绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。 3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差解：由于f (x ) =x n , f ' (x ) =nx n -1, 故ε=(x *) n -x n ≈n (x *) n -1(x -x *)x -x故εr =*n ≈n *=n εr =0.02n(x ) xε* 4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R 允许的相对误差限是多少？4解：令V =f (R )=πR 3，根据一元函数相对误差估计公式，得34πR 2εR (V )≤?ε(R )=?ε(R )=3εR (R )≤1%4f R πR 331从而得εR (R )≤300f ' (R )5. 正方形的边长大约为100cm ，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm 2 解：da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm, 即边长a 的误差不超过0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。 解：V =πr 2hV *-V =2πrh (r *-r ) =2*3.*100*0.005=157.0796325V *-V r *-r=2=0.0002 V r 第二章 插值法一、问答题1. 什么是Lagrange 插值基函数? 它们有什么特性？答：插值基函数是满足插值条件的n 次插值多项式，它可表示为并有以下性质，2. 给定插值点 可分别构造Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，它们是否相同？为什么? 它们各有何优点？ 答：给定插值点后构造的Lagrange 多项式为它们形式不同但都满足条件它表明n 次多项式这与n 次多项式只有n 个零点矛盾，故即Newton插值多项式为,于是 有n+1个零点，与是相同的。是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而适合于计算。3.Hermite 插值与Lagrange 插值公式的构造与余项表达式有何异同？ 答：Hermite 插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange 插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较插值余项表达式为，而Hermite 插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为余项。后面相因子改为即可得到Hermite 插值二、填空题1. 设x i (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x)为相应的四次插值基函数，则∑(xi =044i+2)l i (x )＝(x4+2). 2. 设x i (i=0,1,2,3,4，5) 为互异节点，l i (x)为相应的五次插值基函数，则∑(xi =055i+2x i 4+x i 3+1)l i (x )=x 5+2x 4+x 3+13. 已知f (x ) =2x 3+5，则f [1, 2, 3, 4]=22, f [1, 2, 3, 4, 5]=0 4. f (x)=3x +1, 则f[1,2,3]=____3_____,f[1,2,3,4]=___0______。 5. 设=06.设4.7. 设f (0)=0, f (1)=16, f (2)=46, 则f [0,1]= 16 ,f [0,1, 2]= 7 ,f (x )的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。 8. 如有下列表函数:x i f (x i )则＝3,和节点则=0.2 0.040.3 0.090.4 0.16则一次差商f [0.2,0.4]= 0.6 。 二、计算题1、设f (x )=x 7+5x 3+1, 求差商???????f ?2, 2, f 2, 2, 2, f 2, 2, , 2, f 2, 2, , 2???????? 012????2=7, f 2=169, f 2解：f ????????=16705，故0112012f ??2, 2??=162, f ??2, 2??=8268, f ??2, 2, 2??=2702根据差商的性质，得f ??2, 2, , 2??=018f ??2, 2, , 2??= 17f (f7)7!(8)(ξ)=1 8!(ξ)=02、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式:x i :1y i y i '2231-1解：根据已知条件可求得α0(x )=(2x -1)(x -2), α1(x )=(-2x +5)(x -1)β0(x )=(x -1)(x -2), β1(x )=(x -2)(x -1)代入埃尔米特三次插值多项式公式'p 3(x )=y 0α0(x )+y 1α1(x )+y 0β0(x )+y 0' β1(x )2222 =2(2x -1)(x -2)+3(-2x +5)(x -1)+(x -1)(x -2)-(x -2)(x -1)3、如有下列表函数:x i f (x i )2222 0 31 62 113 184 27试计算此列表函数的差分表, 并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下： N 4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0≤x ≤14、给出ln x 的函数表如下：试用线性插值和抛物插值求ln 0. 54的近似值。 5．已知请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange 插值多项式。解：记x 0=-1, x 1=1, x 2=2, 则f (x 0) =3, f (x 1) =1, f (x 2) =-1所以L 2(x ) =f (x 0)+f (x 2)(x -x 0)(x -x 2) (x -x 1)(x -x 2)+f (x 1)(x 0-x 1)(x 0-x 2) (x 1-x 0)(x 0-x 2)(x -x 0)(x -x 1) (x 2-x 0)(x 2-x 1)(x -1)(x -2) (x +1)(x -2) =3?+1?(-1-1)(-1-2) (1+1)(1+2) (x +1)(x -1)+(-1) ?(2+1)(2-1) 111=(x -1)(x -2) -(x +1)(x -2) -(x +1)(x -1) 223 6. 用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f’(1)=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式得出L 2(x )=N 2(x )=3x 2-2x +1设待插值函数为：H 3(x )=N 2(x )+k (x -0)(x -1)(x -2)根据’H 3(1)=f ' (1)=3, 得参数k =1, 则H 3(x )=x 3+1.4插值余项为： f ()(ξ)2R 3(x )=f (x )-H 3(x )=x (x -1)(x -2) 4! 第三章 数值积分一、问答题1. 什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？答：一个求积公式求积公式精确成立，而当如果当为任意m 次多项式时，为次数大于m 次多项式时，它不精确成立，则称此代入求积求积公式具有m 次代数精确度。根据定义只要令公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 二、填空题 1. 求?21x 2dx ，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为2.333 。2． n 次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n 为偶数，则有 n+1 次代数精度。3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson 公式有 3 次代数精度。 4. 插值型求积公式∑A k f (x k )≈?f (x )的求积系数之和 b-a 。k =0anb5、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1) 解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。令代入公式两端并使其相等，得 解此方程组得，于是有 再令，得故求积公式具有3次代数精确度。（2） （3）解：令 代入公式精确成立，得 解得，得求积公式对 故求积公式具有2次代数精确度。 6. 求积公式?1 f (x ) dx ≈A 0f (0)+A 1f (1)+B 0f ' (0)，已知其余项表达式为R (f ) =kf ''' (ξ), ξ∈(0,1)，试确定系数A 0, A 1, B 0，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出代数精度的次数及求积公式余项。解：本题虽然用到了f ' (0)的值，仍用代数精度定义确定参数A 0, A 1, B 0。令f (x ) =1, x , x 2, 分别代入求积公式，令公式两端相?f (x ) =1, A 0+A 1=1?A 03等，则得??f (x ) =x , A 1?=11+B 0=, 求得?A 1=?, 则有?f (x ) =x 2, A =13??B = 6?1 f (x ) dx =3f (0)+3f (1)+' 6f (0)再令f (x ) =x 3, 此时?1 x 3dx =4，而上式右端=3, 两端不相等，故它的代数精度为2次。为求余项可将f (x ) =x 3代入求积公式?1 f (x ) dx =3f (0)+' 3f (1) +6f (0)+kf ''' (ξ), ξ∈(0,1)当f (x ) =x 3，f ' (x ) =3x 2, f '' (x ) =6x , f ''' (x ) =6, 代入上式得14=? x 3dx =3+6k , 即k =-72,所以余项R (f ) =-172f ''' (ξ), ξ∈(0,1)7. 根据下面给出的函数f (x ) =sin xx的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式 计算I =?1sin x0dx解 用复合梯形公式, 这里n=8,h =8=0.125, ?1sin x 0x dx ≈0.1252{f (0)+2[f (0.125)+f (0.25)+f (0.375)+f (0.5)+f (0.625)+f (0.75)+f (0.875)]+f (1)}=0.用复合辛甫生公式: 这里n=4,h =14=0.25. 可得 ?1sin x 0x dx ≈0.256{f (0)+4[f (0.125)+f (0.375)+f (0.625)+f (0.875)]+2[f (0.25)+f (0.5)+f (0.75)]+f (1)}=0. 第五章 常微分方程一、计算题?dy 2?=x +x -y1. 用改进欧拉方法计算初值问题?dx??y (0) =00<x <1，取步长h=0.1计算到y 5。?~?y n +1=y n +hf (x n , y n )解：改进的欧拉公式? ~h?y n +1=y n +[f (x n , y n ) +f (x n +1, y n +1)]2?代入f (x , y ) =x 2+x -y , 且x n =nh , 有h 22y n +1=y n +[x 2n +x n -y n +x n +1+x n +1-y n -h (x n +x n -y n )]2=y n +0. 05?(1.9x2(n =0,. 1, 2, 3, 4) n +2.1x n -1.9y n +0.11) x n 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5y n 0.93 0.94 0.14500 2. 用梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解解：用梯形法求解公式，得 相比较 解得 精确解为 ?y ' =x +y , 0<x <13．用改进的Euler 法解初值问题? ；取步长h=0.1计算y (0.5)，?y (0)=1,并与精确解y =-x -1+2e x 相比较。(计算结果保留到小数点后4位) 解：改进的尤拉公式为：?-?y n +1=y n +hf (x n , y n )???y h ??-?? n +1=y n +2 ?f (x n , y n )+f ?x n +1, y n +1????代入f (x , y )=x +y 和x n =nh ，有y n +1=y n +h 2[(2+h )x n+(2+h )yn+h ]h 2+2h +2?2 =??2??y h 2h n +2(nh +2nh )+2代入数据，计算结果如下：4. 设初值问题y ' =x 2+100y , y (0)=0，a) 由Euler 方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式； b) 由改进Euler 方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。 解：a ）根据Euler 公式：y n +1=y n +hf (x n , y n )y 2n +1=y n +hf (x n +100y n )y n +1=11y 2n +0.001n 3分?y n +1=y n +hf (x n , y n )b ）根据改进Euler 公式：????y n +1=y n +h2(f (x n , y n )+f (x n +1, y n +1))5分 h 22x n +100y n +x n +1+100y n +12h 222=y n +x n +100y n +x n +1+100y n +h (x n +100y n ) 2h 2=y n +(1200y n +12x n +0.2x n +0.01)2=61y n +0.006n 2+0.001n +0.0005 y n +1=y n +()(())?y ' =x -y5. 设初值问题??y(0)=1x >0，a) 写出由Euler 方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； b) 写出由改进Euler 方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。 解：a ）根据Euler 公式：y n +1=y n +hf (x n , y n ) y n +1=y n +n 0.1(x n -y n ) =0.9y n -0.1x n ?y n +1=y n +hf (x n , y n )?b ）根据改进Euler 公式：?hf (x n , y n )+f x n +1, y n +1?y n +1=y n +?2(()) hx n -y n +x n +1-y n +12h=y n +x n -y n +x n +1-(y n +h (x n -y n ))2h=y n +(x n -y n +x n +h -y n -hx n +hy n )2h 2-2h +22h -h 2h 2=y n +x n +222=0.905y n +0.095x n +0.005y n +1=y n +()()第六章 方程求根一、问答题1. 什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？ 答：将方程而改写为若使则称点为不动点就是不动点的迭代函数，迭代函数可以有很多，但必须使构造的满足条件 （1）a ≤x ≤b （2）MAX φ' (x )≤L <1 若2. 对于迭代法定迭代法收敛？答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间代法收敛才可由证明其收上证明且才能说明由出是迭已知，且时也收敛，称为局部收敛。 初始近似，当时为什么还不能断如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为敛性，由还不能说明迭代法收敛。3. 怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P 阶收敛需要什么条件？ 答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P的大小，若序列收敛于，记为若存在及，使则称序列为P 阶收敛，P 越若为而大收敛越快，当P ＝1，则越小，收敛越快。一个迭代公式的不动点，P 为大于1的整数，在连续，且则此迭代公式为P 阶收敛。4. 方程求根的Newton 法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根附近是几阶收敛？答：用曲线在点上的切线的零点近似曲线零点得到时是线性收敛。 5、简述二分法的优缺点就是Newton 法，在单根附近2阶收敛，当为重根答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f (x ) 要求不高(只要连续即可) ；(c)收敛性总能得到保证。缺点(a)无法求复根及偶重根 ; (b)收敛慢 6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。 x k +1f (x k )=x k -f '(x k )牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标， 所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与x 轴交点的横坐标。二、填空题1、已知方程x 3-x 2-0. 8=0在x 0=1.5附近有一个根，构造如下两个迭代公式： (1)xk +1=(2)xk +1=则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。 2、设f (x )可微，求方程x =f ()x 的根的牛顿迭代格式为x k +1=x k -x k -f (x k )1-f ' x k 。2?x =x +a x ()(-5), 要是迭代法x k +1=φ(x k )局部收敛到3、x *=，则a的取值范围是<a <04、迭代法的收敛条件是（1） （2）MAX φ' (x )≤L <1。a ≤x ≤b3x k -13x =x -5.k +1 k3x k 26．用二分法求解方程f (x ) =x 3-x -1=0在[1，2]的近似根，准确到10-3，要达到此精度至少迭代 9 次。 三、计算题 1、用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.。本题f(x)=x2-x-1=0,因解 使用二分法先要确定有根区间f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。 其误差2. 求方程并建立相应迭代公式.在 =1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，(1) (2)，迭代公式, 迭代公式. .(3)，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.解：（1）取区间且，在且，在故迭代收敛。中，则L<1，满足收敛定理条件，（2）中有，在中，故迭代收敛。，且，在（3）散。，在附近，故迭代法发在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L 较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则 3. 给定函数，设对一切x,存在，而且均收敛于方程为单调增函数，故方程，，由递推有 ，即 .证明对的根.的根是唯一的（假定方。令，则的任意常数, 迭代法解：由于程有根，）。迭代函数4. 用Newton 法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字. (1) (2)解：（1）在=2附近的根. 在=1附近的根. Newton 迭代法取，则 ，取 （2）令，则, 求立方根 ，取 5. 应用Newton 法于方程解：方程的根为的迭代公式，并讨论其收敛性.，用Newton 迭代法 此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。6. 用牛顿法求方程xe x -1=0的根，x 0=0.5，计算结果准确到四位有效数字。 解：根据牛顿法得取, 迭代结果如下表 x k -e -x kx k +1=x k -1+x k 所以，方程的根约为0.56714 第七章 线性方程组的直接解法一、问答题1. 在什么情况下Gauss 消去法会出现数值不稳定？如何克服？ 答：当消元过程中增广矩阵的元素很小时，Gauss 消去法会出现数值不稳定，此时采用列主元消去法可克服这一问题。 2．什么是矩阵的条件数？如何判断A 是" 病态的" 或" 良态的" ？，这里为矩阵的任一种从属范数。可认为A 是良态的。答：A 的条件数定义为当3. 矩阵时就认为A 为病态矩阵，通常满足什么条件才能使A 的LU 分解存在唯一？如何利用A=LU分解 时存在唯一单位下三角阵L 及上三则方程存在唯一解，此时等价于解求解不同右端项的方程组？如 答：A 的顺序主子式角阵U ，使A=LU，而当于是由及可求得Ax=b的解x, 同样解Ly ＝c 及Ux=y和Ly=d,Ux=y则分别得到不同右端项的方程解。 二、填空题1. , 则= 6 , A的谱半径=2. 设x=（11 0 5 1）T ，则x 1= 17 ，x ∞= 11，x 2=.3. 设计算A 的行范数 ，列范数 ，F-范数 ，2范数 . 解： 故 ?10 0? ?4.已知A = 0 2 4?, 则A = 8 ,0 -2 4???A 2=A∞= 6 。5．设x=（3 -1 5 8）T ，则x 1，x ∞= 8 ，x 2=99。?11?（A ）=A =6．已知?51?，则A 的谱半径ρ??，则A ∞= 6 。7、 x =(3,0,-4,12) T , 则x 1=19, x 2=13, x∞=128. 设x=（1 9 -5 2）T ，则x = 17 ，x ∞= 9 . x2=. 9.?11??2?A =?, x =. 则A = 6 ,????-25??3?A= 7 ,Ax = 16 ,Ax=∞∞ 三、计算题1. 用Gauss 消去法求解下列方程组. 解 本题是Gauss 消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。 故?12x 1-3x 2+3x 3=15?2. 用列主元消去法求解方程组?-18x 1+3x 2-x 3=-15并求出系数矩阵A 的行列??x 1+x 2+x 3=6式detA 的值. 解：先选列主元，2行与1行交换得 消元???-1833行与2行交换消元?7?0?6??00回代得解 行列式得 3. 用Doolittle 分解法求习题1(1)方程组的解. 解：由矩阵乘法得 再由求得 -1-15??1731?186??2266?77??由解得 ?126? ?4. 将矩阵A 分解为单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，其中A = 2515?，61546????2??然后求解该方程组Ax = 3?。（9分）4???答案： ?2??4? ? ?求解Ly =b 得y = -1?；求解Ux =y 得方程的解为：x = 14?-5? -5?????5. 用直接三角分解（Doolittle ）法解方程组（不选主元）?2345??x 1??14??481114??x ??37????2?=???6132026??x 3??65? ??????8182940???x 4??95?解：?1??2345??21??234??y =14952T()?????L =, U =?321??23??x =1111T()??????2??4321??6. 设解：即，另一方面 ，证明
故 7．设，证明：x∞≤x ≤n x ∞。证明：由定义可知：x∞=max 1≤i ≤nx i ≤x 1+x 2+ +x n =x ≤n max 1≤i ≤nx i =n x ∞从而x∞≤x ≤n x ∞由此可以看到x 可由x ∞控制。?38. 将矩阵A 分解为单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，其中A =??2??1?4 ?然后求解该方程组Ax = 3.5? ?。?2???1??31?解：A =L ?U =??2/31??22/31/3??????1/31/21???1/2??，???1??y 1??4??4?先求解?2/31??y ?=?3. 5?, 得Y =?5/?/21???2????6???1/31???y 3????2??? ?1/4????321??x 1??4??1/2?再解?2/31/3??x ?=?5/6?，得X ＝?1????2????? ?1/2????x 3????1/4????1/2??21?21?，11??? 第八章 线性方程组的迭代法一、问答题 1. 迭代法收敛的充要条件是什么？如果能否说明迭代法不收敛？用什么表示迭代法的收敛速度？答：迭代法收敛的充要条件是故不能说明迭代法不收敛。反之 二、填空题?x 1+ax 2=41. 用Gauss-Seidel 迭代法解方程组?，其中a 为实数，方法收敛2ax +x =-312?当时因则迭代法收敛。不一定能使的充要条件是a 满足二、计算题 1. 方程组-22。 <a <22 计算到(1) 写出用J 法及GS 法解此方程组的迭代公式并以为止.（1）J 法得迭代公式是 取，迭代到18次有 GS 迭代法计算公式为 取 2. 设方程组 证明解此方程的Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或发散.解：Jacobi 迭代为其迭代矩阵 ，谱半径为，而Gauss-Seide 迭代法为 其迭代矩阵 ，其谱半径为由于 ，故Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 法同时收敛或同时发散。3. 下列方程组Ax=b，若分别用J 法及GS 法求解，是否收敛? 解：Jacobi 法的迭代矩阵是 即GS 法的迭代矩阵为 ，故，J 法收敛、 故，解此方程组的GS 法不收敛。4、 设收敛的充分必要条件. 解 J 法迭代矩阵为 ，detA≠0，用,b 表示解方程组Ax=f的J 法及GS 法 ，故J 法收敛的充要条件是。GS 法迭代矩阵为 由得GS 法收敛得充要条件是 ?430??24??, B =?30?， 34-15. 已知方程组AX =B , 其中A =????????0-14???-24?? （1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径 答案：（1）分量形式，J 法为 GS 法为（2）?1a 0??，a 1a 6. 实数a ≠0，考察矩阵A =???试就方程组Ax =b 建立Jacobi 迭代法和??0a 1??Gauss-Seidel 迭代法的计算公式。讨论a 取何值时迭代收敛。解：当实数a ≠0时Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为?0-a 0??0-a?, B =?0a 2B J =?-a 0-a ??G ?3???0-a 0???0-a0?-a ?? a 2??由det (λI -B J )=0，求得B J 的特征值为：λ1=0, λ2=, λ3=，则ρ(B J )=，当-<a <时，Jacobi 迭代法收敛； 22由det (λI -B G )=0，求得B J 的特征值为：λ1=λ2=0, λ3=2a 2，则ρ(B G )=2a 2，当- <a <时，Gauss-Seidel 迭代法收敛； 22第九章 特征值与特征向量 1、简述幂法的算法步骤 (a)任取一个初始变量v 0≠0?u 0=v 0?v k =Av k -1?(b) 构造迭代序列?k =1, 2?m k =max(v k ) ??u k =v k /m k2、用幂法计算矩阵A 的主（按模最大的）特征值及对应的特征向量， 当特征值有3位小数稳定时迭代终止,v 0T =(1,1,1).3-2??7A =?34-1?????-2-13??解： 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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计算球的体积,要使相对误差限为0.1,问测量半径r时允许的相对误差限是多少
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V={(πD^2)/：(dV)/V＜2% 所以：3[(dD)/。 而：r=D/2 所以，有;[(πD^3)/：dV=[(πD^2)/2](dD) 所以：(dV)/：(dV)/V=3[(dD)/D] 已知：V=(πD^3)/6 (dV)/6] 整理;(dD)=(πD^2)/：V=(4πr^3)/2](dD)}/2 即;3，其中r是球体的半径解：球体的体积是
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计算球体积要使相对误差限为 1% ,问度量半径R是允许的相对误差限 是多少求秒
V=4/3πR^3dV=4πR^2dRdV/V=3dR/RdR/R=(dV/V)/3=1%/3=0.333%
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准确的是三次根号（217.5*π）.用计算器算出来约等于8.80784/3π（r三次方）=290π(r三次方)=217.5(r三次方)=217.5/π
input "输入球的半径 :" to rV(r)proc VPARA VRetu (4/3) * Pi() * r^3ENDPro 再答： * 以此为准input "输入球的半径 :" to r? V(r) proc V PARA r Retu (4/3) * Pi() * r^3ENDPro
V=4/3*pi*(D/2)^3=(pi*D^3)/6,由V对D求导：dV/dD=(pi*3D^2)/6=(pi*D^2)/2,设D的误差x,根据误差传播率,如式子y=Kx,如果x的误差为a,则可以导致Y的误差为(K^2)*a,故由D的误差所引起的计算球体积的误差：(((pi*D^2)/2)^2)*x=(pi^2*D^
球体的体积是：V=(4πr^3)/3,其中r是球体的半径.而：r=D/2所以：V=(πD^3)/6(dV)/(dD)=(πD^2)/2即：dV=[(πD^2)/2](dD)所以：(dV)/V={(πD^2)/2](dD)}/[(πD^3)/6]整理,有：(dV)/V=3[(dD)/D]已知：(dV)/V＜2%所以：3[
v=πr²h ∴h＝v/πr²表面积s＝2πr²＋2πr×v/πr²＝2πr²＋2v/rs'=4πr－2v/r²令s‘＝0 即4πr－2v/r²＝0 解得r＝³√〔v/(2π）〕这时h＝v/{³√〔v/(2π）〕}²＝&
∵43πr3＝3930π，∴r＝33930π×34π≈14（cm）．答：该篮球半径r为14cm．
∵ V=πr*rh∴ S=2（πr*r）+2πrh=2πr（r+h）≥2πr*2√（rh）=4V/√（rh）当且仅当r=h时,S取最小,为4V/√（rh）∴ 设r=h=x4V/x=2πx*2xV=πx*x*x∴ r=h=三次根号下V/π当S最小时d:h=2:1P.S.“√”后括号里的是开二次方根的.过程用的是均值定理.
要造一个圆柱形油罐,已知油罐上下两底面单位造价是侧面单位造价的a倍,体积为V,问底半径r和高h等于多少时,才能使该油罐的总造价最小?这时底直径与高的比是多少?设侧面单位造价为1,那么底面的单位造价为a,于是总造价Q=2aπr²+2πrh.(1)；V=πr²h.(2)；由(2)得h=V/πr²
V=πr²hh=V/πr²(r>0)表面积S=2πr²+2πrh=2πr²+2πr(V/πr²)=2πr²+2V/r (r>0)令S'=4πr-2V/r²=0求出r,再代入V=πr²h求出h,就可以了.
省省吧你,告诉你啊,直径越大越省料.想省多少料啊!你有那么大的地皮么?
²π：h
V=sh=π*R^2*h 所以H=V/(∏R^2)表面积 S=2πR^2+2πRH=2π（R^2+RH）将上面的H与R 的关系式带入,得到一个关于R的函数 S=2π（R^2+V/πR） V和π都不是变量,实际上就是算式Y=R^2+1/R的最小值决定着圆柱的表面积.R大于0,实际上是类Y=X^2+1/x的不等式问题X＞0
& 再答： 后面的你应该会了吧再问： 不会。。。。 再答： &
v=πr²h ∴h＝v/πr²表面积s＝2πr²＋2πr×v/πr²＝2πr²＋2v/rs'=4πr－2v/r²令s‘＝0 即4πr－2v/r²＝0 解得r＝³√〔v/(2π）〕这时h＝v/{³√〔v/(2π）〕}²＝&
v=πr²h ∴h＝v/πr²表面积s＝2πr²＋2πr×v/πr²＝2πr²＋2v/rs'=4πr－2v/r²令s‘＝0 即4πr－2v/r²＝0 解得r＝³√〔v/(2π）〕这时h＝v/{³√〔v/(2π）〕}²＝&
用250毫升的容量瓶只不过是为了,便于将液体倒入其中,而算氢氧化钠的质量时还得用200毫升计算 再问： 那这样算，配液最后得到的溶液物质得量浓度不是小于1摩尔每升吗？ 再答： 0.2*1=0.2mol m(氢氧化钠）=0.2*40=8g 反过来还是1mol/L啊再问： 可是用250ML的容量瓶配出来的溶液体积是250M
