费米能级的不同理解
为了方便大家一其学习探讨——
关于费米能级的不同理解——总结（详见附件）
在大于0K时候，电子处于费米能级的几率是1/2，但并不是说有一半电子位于费米能级之下，另一半数量的电子位于费米能级之上。而是电子能量低于费米能级
的几率大于1/2，而高于费米能级的几率小于1/2，显然这意味着大多数电子优先排布于费米能级以下的位置，这就是为什么原子核外的电子优先占据内部能级
固体物理和半导体物理在这方面的内容没有什么差别。原子核外的电子可以拥有的能量当然可以高于费米能级，只不过具有这种能量的几率很小而已。这也正是为什么本征半导体虽然电导很低，但也不是无穷小的原因。
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& 费米能级不是一个真正存在的能级。它只是用于衡量一个系统的能级水平。
" B8 w3 K/ O) g5 C
对于一个系统来说，处处的费米能级相同。对于两个系统合并成为一个系统，则费米能级也会趋于处处相同（会有净电荷的流动）。
& 费米能级描述了各个能级上电子分布的概率。9 `2 T; W" ]" K: a1 z
- o&&j* d" L7 B%
Q&&e- ~# I4 A
& 费米能级随着温度和掺杂浓度而变化。具体来说如下：
& 对于N型半导体费米能级在禁带中央以上；掺杂浓度越大，费米能级离禁带中央越远，越靠近导带底部4
M3 |&&l9 n* o) M
2 z5 W' C% w% ]' d8 c
& 对于P型半导体费米能级在禁带中央以下；掺杂浓度越大，费米能级离禁带中央越远，越靠近价带顶部3
U+ p! J&&m$ l/ l+ `
个人总结。
当系统处于热平衡状态 且不对外做功的情况下 增加一个电子所引起系统自由能的变化 等于系统的化学势
也就是等于系统的费米能级即EF。
费米能级表征电子的填充情况 费米能级以上的量子态被电子占据的概率很小，费米能级以下量子态被电子占据的概率很大。
同时费米能级也表征了半导体掺杂水平 通常N型半导体掺杂越高费米能级越靠近导带 P型半导体掺杂越高费米能级越靠近价带
在固体物理中老师讲费米能级是电子占据概率为0.5的能级位置，可是学习半导体物理时，发现费米能级常常在半导体的禁带中，大家知道禁带中电子是不能占据的，那为何电子占据概率为二分之一的费米能级会出现在禁带里面呢？
费米能级(Fermi
level)是绝对零度下电子的最高能级。根据泡利不相容原理，一个量子态不能容纳两个或两个以上的费米子(电子)，所以在绝对零度下，电子将从低到高依次填充各能级，除最高能级外均被填满，形成电子能态的“费米海”。“费米海”中每个电子的平均能量为（绝对零度下）为费米能级的3/5。海平面即是费米能级。一般来说，费米能级对应态密度为0的地方，但对于绝缘体而言，费米能级就位于价带顶。成为优良电子导体的先决条件是费米能级与一个或更多的能带相交。
你那个说法是单纯从费米分布函数说的，没有考虑实际的物理体系。
什么是Fermi能级？为什么Fermi能级可以处于禁带中间？为什么本征半导体的Fermi能级位于禁带中央？为什么n型半导体的Fermi能级位于导带底附近？Fermi能级随着温度和掺杂浓度的改变而如何变化？
Fermi能级（EF）是一个非常重要的物理概念，它在半导体电子学中起着极其重要的作用。
（1）Fermi能级的概念：
在固体物理学中，Fermi能量(Fermi
energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量——Fermi粒子所占据的最高能级的能量。
另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为：
式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，EF是该Fermi-Dirac分布函数的一个参量（称为化学势）。在绝对零度下，所有能量小于EF的量子态都被电子占据，而所有能量大于EF的量子态都是空着的，则作为化学势的参量EF就是电子所占据的最高量子态的能量，因此这时系统的化学势也就与费米能量一致。从而，往往就形象地把费米能量和化学势统称之为Fermi能级。虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。
在非绝对零度时，电子可以占据高于EF的若干能级，则这时Fermi能级将是占据几率等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。
（2）Fermi能级的含义：
作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF，具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。
①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。
对于金属，其中的自由电子在k空间中将填充成一个球体，称为Fermi球；Fermi能量也就是Fermi球面对应的能量，该能量可以采用Fermi球的半径——Fermi半径kF来表示为
式中的 是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的Fermi能级也就是导带中自由电子填充的最高能级。pF=
kF称为Fermi动量，vF= kF/m称为Fermi速度。一般，金属的Fermi能量约为1.5～15eV。
对于绝缘体和半导体，Fermi能级则处于禁带中间。特别是本征半导体和绝缘体，因为它们的的价带是填满了价电子（占据几率为100%）、导带是完全空着的（占据几率为0%），则它们的Fermi能级正好位于禁带中央（占据几率为50%）。即使温度升高时，本征激发而产生出了电子-空穴对，但由于导带中增加的电子数等于价带中减少的电子数，则禁带中央的能级仍然是占据几率为50%，所以本征半导体的Fermi能级的位置不随温度而变化，始终位于禁带中央。
②Fermi能级实际上起到了衡量能级被电子占据的几率大小的一个标准的作用。在E&EF时，f(E)
&1/2；在E&EF时，f(E)
&1/2；在E=EF时，f(E)=1/2。譬如，当(E&EF)
&5kT时，f(E) &
0.07，即比EF高5kT的能级被电子占据的几率只有0.7%。因此，EF的高低（位置）就反映了能带中的某个能级是否被电子所占据的情况。Fermi能级上电子占据的几率刚好为50%。
在温度不很高时，EF以上的能级基本上是空着的（例如，导带就是如此，其中的自由电子很少），EF以下的能级基本上是被电子填满了的（例如，价带就填满了价电子，其中的自由空穴很少）；在EF以上、并越靠近EF（即E-EF越小）的能级，被电子所占据的几率就越大。对于n型半导体，因为导带中有较多的电子（多数载流子），则Fermi能级EF必将靠近导带底（EC）；同时，掺入施主杂质的浓度越高，Fermi能级就越靠近导带底。
③上述分布函数f(E)是指电子占据能带（导带）中某个能级的几率（电子的能量越往上越高）。如果是讨论空穴载流子的话（空穴的能量越往下越高），那么就应当是相应于价带中某个能级所空出（即没有被电子占据）的几率，所以空穴占据能带（价带）中某个能级的几率可以给出为
对于p型半导体，因为价带中有较多的自由空穴（多数载流子），则Fermi能级EF在价带顶（EV）之上、并必将靠近EV；这时，价带中越是靠近EF的的能级，就被空穴占据的几率越大；同时，掺入受主的杂质浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。
总之，凡是EF靠近导带底的半导体必将是电子导电为主的n型半导体，凡是EF靠近价带顶的半导体必将是空穴导电为主的p型半导体。当然，如果EF处于禁带中央，即两种载流子分别占据导带能级和价带能级的几率相等，则两种载流子的数量也就差不多相等，那么这就必然是本征半导体，这时的Fermi能级特称为本征Fermi能级（用EFi表示，与禁带中央线Ei一致）。
④由于Fermi-Dirac分布函数是载流子体系处于热平衡状态下的一种统计分布规律。因此，也只有在（热）平衡情况下才可采用此分布函数，并且也只有在这时Fermi能级才有意义。实际上，Fermi能级本来就是热平衡电子系统的一个热力学函数——化学势。由于在热平衡状态下整个系统具有统一的化学势，因此整个电子系统、即使是复杂的混合体系，在热平衡时也必将具有统一的一条Fermi能级。
（3）Fermi能级与温度和掺杂的关系：
①Si和GaAs半导体的Fermi能级与掺杂浓度的关系见图1 。
对于n型半导体，因为掺入的施主越多，导带电子的浓度就越大，相应地少数载流子——空穴的浓度就越小，则Fermi能级也就越靠近导带底。对于p型半导体亦然，掺杂浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。当掺杂浓度高到一定程度时，甚至Fermi能级还有可能进入到导带或者价带内部。
②Si和GaAs半导体的Fermi能级与温度的关系亦见图2 。
因为当温度升高到一定程度时，不管是n型半导体还是p型半导体，它们都将转变成为（高温）本征半导体。从而，半导体中Fermi能级也将是随着温度的升高而逐渐趋近于禁带中央。即随着温度的升高，n型半导体的EF将降低，p型半导体的EF将上升。
此外，在图1和图2中也示出了半导体的禁带宽度（Eg=EC－EV）随着温度的变化状况。Si和GaAs等半导体的禁带宽度具有负的温度系数。
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【2017年整理】热统知识梳理 1知 识 梳 理1．基本概念和基本知识（识记和领会）（1） 热力学系统，热力学平衡态和状态参量热力学系统必须由是大量微观粒子组成的。热力学平衡态；孤立系的宏观性质不随时间变化的状态。四类状态参量：力学参量，几何参量，电磁参量和化学参量。广延量：与物质的量有关的物理量称为广延量，如质量、体积、内能、熵等。强度量：与物质的量无关的物理量称为强度量，如温度，压强，密度，电阻率等。（2） 热力学第零定律与温度热力学第零定律：相互绝热的两物体 A 和 B 同时与第三个物体 C 达成热平衡,则 A、B、C 三物体彼此达成热平衡。热力学第零定律的意义：① 定义了温度。温度是达成热平衡的诸热力学系统的共同宏观性质。② 为制造温度计提供了依据。（3） 准静态过程准静态过程：过程进行得非常缓慢，使得过程进行的每一步都可以视为平衡态。（4） 循环过程的定义及分类；循环效率循环过程：系统从任意状态出发，经过任意一系列的过程又返回原状态，称完成了一个循环过程。正循环与逆循环：正循环沿顺时针方向，与热机对应；逆循环沿反时针方向，与制冷机对应；热机效率公式： 。21Q???2（5） 卡诺循环及其效率；卡诺定理卡诺效率公式： 21T???卡诺定理对提高实际热机效率的指导意义：提高高温热源温度，降低低温热源温度；尽量减少摩擦，减少漏热。卡诺定理：定理 1、 在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆机其工作效率都相等，与工作物质无关。定理 2、 在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆机其工作效率都小于可逆机的效率。（6） 热力学第二定律的两种表述，第二定律的实质热力学第二定律的两种表述：①开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量使之完全转变为功而不产生任何其他影响。或，第二类永动机不可能造成。② 克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传给高温物体而不产生任何其他影响。或，热量不能自发的从低温物体传给高温物体。热力学第二定律的实质：一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的。无摩擦的准静态过程是可逆的。（7） 热力学第二定律的数学表示热力学第二定律的数学表示： 。dQST?简单热力学过程熵差的计算。（8） 熵增加原理对于孤立系或绝热过程，系统的熵永不减少。即 。0dS?（9） 焓的定义及意义定义：H= U+pV, 意义：等压过程中系统吸收的热量等于系统焓值的增加。（10）特性函数特性函数的定义：在适当选择自变量的情况下，能表达系统所有热力学平衡性质的函数。3常用特性函数及相应的自变量。自由能 F 以 T，V 为自变量时是特性函数；吉布斯函数 G 以 T，p 为自变量时是特性函数。（11）节流膨胀过程和绝热膨胀过程节流膨胀过程是等焓过程。（12）热动平衡判据熵判据：自由能判据吉布斯函数判据：（13）单元复相系的平衡条件与平衡性质单元复相平衡条件：平衡稳定性条件：克拉珀龙方程：（14）气液两相的转变和临界点范氏等温线上各段的含义；等面积法则,对应态定律及其意义。（15）相变的分类一级相变的定义及特征：二级相变的定义及特征：（16）多元系的复相平衡条件多元系复相平衡条件：（17）吉布斯相律： 2fk????（18）粒子微观运动状态的描述粒子的经典描述和量子描述；μ 空间的定义：由 r 个广义坐标和 r 个广义动量构成的 2 r 维概念空间。空间中的一点代表粒子在某时刻的运动状态。 μ 空间的描述是特殊的的，只能处理近独立粒子系统。简单应用：近独立粒子在相体积元中的微观状态数计算。（19）系统微观运动状态的描述4系统微观运动状态的经典和量子描述·简单应用：与分布所对应的微观状态数的计算。（20）等概率原理 ·领会：系统的宏观态与微观态；等概率原理的表述及意义。（22）求最概然分布的方法·领会：求最概然分布方法的基本物理思想。（21）三种分布的关系非简并性条件及其意义：（22）玻耳兹曼关系和熵的微观解释， 说明熵是系统混乱度的量度。lnSk??（23）能量均分定理能量均分定理： ·简单应用：利用能量均分定理计算气体和理想固体的内能和热容量。（24）三种固体热容量理论的比较杜隆－泊替定律：爱因斯坦的固体热容量理论德拜的固体模型，大致划出三者的曲线。（25）金属中的自由电子气体用定性与半定量方法分析在室温下电子气对金属热容量贡献很小的原因。（26） Г 空间 Г 空间：由 Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量构成的 2Nr 维概念空间。Г 空间中的一点代表系统在某时刻的运动状态。Г 空间的描述是普遍的，既能处理近独立粒子系统，又能处理粒子间有相互作用的系统。（27）统计系综统计系综的定义：大量性质完全相同的系统的集合。52．热力学恒等式的证明（综合应用）（1） 热力学基本公式的记忆方法四个基本方程，八个偏导，四个麦氏关系。首先，画两正交箭头，从上到下为 S→T，从左到右为 P→ V。为了便于记住箭头的方向，可默读一个英文句子： The Sun is pouring down his rays upon the Trees, and the brook is flowing from the Peak to the Valley. 然后，按顺时针方向加上 E(=U)、F、G 和 H。 （如图 1 所示）① 基本方程记忆规则 a.函数的相邻两量为自变量，对应两量为系数。b.箭头离开系数，取负；箭头指向系数，取正。例如，与 U 相邻的两自变量分别为 S 和 V，对应的系数为 T 和 p，前者箭头指向系数，后者系数离开系数，故可写出 dU=TdS－pdV。用同样的方法，可方便的写出其他三个基本方程。 ② 八个偏导数的记忆方法从四个基本方程出发，利用系数比较法，可很方便地写出八个偏导数。例如，由 dU=TdS－pdV 出发，设 U=U(S,V),写出 U 的全微分，然后比较系数，即可得到， 。Sp????????VT????????③ 麦氏关系的记忆方法沿顺时针方向，例如，从 S 出法，S 对 V 求导 T 不变，等于 p 对 T 求导 V不变。箭头都指向不变量或都离开不变量取正，一个指向不变量，而一个离开不变量则取负。得 。VTpS????????按此方法，分别从 V、T 和 p 出发，就可得到另外三个麦氏关系。沿逆时针方图 16向也可得出四个麦氏关系，只不过顺序不同而已。（2）证明热力学恒等式的几种方法推导和证明热力学关系是热力学部分技能训练的重点。推导热力学关系的一般原则是：将不能直接测量的量，即函数（如，U 、 H、 F、 G、 S）用可以直接测量的量(如，p、V、T、C p、C V、 α 、 β 、 κ T)表达出来。为此，我们会经常用到下面介绍的一些关系式。设给定四个状态参量 x、 y、 z 和 w，且 F(x，y，z) = 0，而 w 是变量 x,y,z 中任意两个的函数，则有下列等式成立（倒数关系）zzxy????????1（循环关系）1?yxzy（链式关系）zzw???????????????（复合函数求导）zyzxyx?????????????（全微分条件）x??2请读者利用介绍过的系数比较法或从全微分到偏微分的方法，再结合上述5 个等式，总结和归纳热力学恒等式证明的类型与方法。（3）附加练习题：证明以下几个热力学恒等式：① ； ② ；VVpTCpU??????????????? pVTCUp???????????????③ ； ④ ；TH? TpΤ⑤ ； ⑥ ；VS-???????????? ????????????????????pHS17⑦ ； ⑧ ; VVUUpΤTp?????????????????????? V2??????????????TpCΤV⑨ 。pTpC????2（4）举例例 1． 证明 PTVPH????????????????证： VdSd??= TT????????????? P?????????例 2． 证明 0?UVS证： ；Pdd??＝VSUS?????????????0?T3．计算题（综合应用，统计物理部分）（1） 量子态数的计算求三维自由粒子在体积 V，能量在 ε—ε+dε内的量子态数：先求在体积 V，动量在 p—p+dp 内的量子态数：234d()Dh??若非相对论性的， ， 得 2pm? 3/21()d()dVDmh????若极端相对论性的， ， 得 c?234())c请同学们自行练习，若为二维自由粒子，其量子态数又等于多少呢？8（2） 玻耳兹曼统计① 由玻耳兹曼分布求理想气体的配分函数、内能、物态方程和熵。 （分二维和三维两种情况进行练习）② 由玻耳兹曼分布求爱因斯坦固体的内能和熵。 （要会求一维量子谐振子的配分函数）（3） 光子统计由玻色分布求黑体辐射的普朗克公式。 （分二维和三维两种情况进行练习）（4） 金属中的电子气体① 由费米分布求 T=0K 时电子气的内能和化学势(即费米能)② 用定性和半定量方法说明在常温下电子气对金属的热容量贡献很小的原因。（5） 正则分布① 由正则分布求理想气体的正则配分函数、内能、物态方程和熵。② 由正则分布求能量涨落。附：总结表9表 1 近独立粒子最概然分布小结表系统 定域子系 玻色子系 费米子系模型粒子可分辨，每个量子态容纳的粒子数不限。粒子不可分辨，每个量子态容纳的粒子数不限。粒子不可分辨，每个量子态只能容纳一个粒子。与分布｛a l｝对应的微观态数!laMBllN?????(1)!lBEla??????!()lFDla??????分布公式lllae???? llae????1lle????1配分函数 1lZ??????()lllΞ????()llΞ????热力学公式1nUN?lpV?11()SkZ???nU???1lpV(l)Sk????lnU???1pV(lll)Sk????应 用 对 象气体 理 想 气 体 光 子 气 电 子 气能量 2/pm??2/pm量子态数3/12()dVh??23Vdc?3/14()dVh??热力学量UNkT?pVaTU4?u3CV?05UN??低温： TCV?10固体 固体的三种模型磁介质普朗克公式： 32d(,)1VUTce??????费米能量： 2/308hNmV?????????表 2 系综理论小结表系综 微正则系综 正则系综 巨正则系综宏观条件E, V, N恒定T, V, N恒定T, V, ?恒定量子 ??1s?sEseZ????1sENseΞ?????1,分布概率经典 )( ,0其 它 ???EHC(,)(,)!EqpNrqph??,!srh?量子 Ω(N,V,E) ???sse? ??NsEse??配分函数经典(,)!EpqNrdZh?!rΞdqph?特性函数??lnkSkTFln??kTpVJln??
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font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>4、请文明对话，友好处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>5、为了杜绝以前再有类似的侵权事情，可以为我们提供相应的关键字，便于管理人员添加到系统后能有效排除和抵制与您（贵单位）相关版权作品上传；&/span>&/p>&p>&span id=&_baidu_bookmark_end_5& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_end_3& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&/p>" /> &span style=&color: rgb(85, 85, 85); font-family: 微软雅黑; background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 为了维护合法，安定的网络环境，本着开放包容的心态共建共享金锄头文库平台，请各位上传人本着自律和责任心共享发布有价值的文档；本站客服对于上传人服务前，有以下几点可提前参阅：&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(85, 85, 85); font-family: 微软雅黑; background-color: rgb(255, 255, 255);&>1、本站上传会员收益见：&a href=&https://www.jinchutou.com/h-36.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/h-36.html&/a> &/span>&/p>&p>2、本站不会为任何刚注册的上传会员特批解除上传限制，普通会员每天可以上传50份，值班经值会审核其上传内容，请自行观察自己上传的文档哪些在“临时转换中”（审核通过），哪些在审核拒绝中，连续坚持几天都没有任何文档被拒的情况下，根据文档质量和发布分类是否正常等考量合格后值班经理会特批升级会员等级，相应的权益也同时上升。&/p>&p>3、上传人本着友好、合作、共建、共享的原则，请耐心仔细的查看《&a href=&https://www.jinchutou.com/i-143.html& target=&_blank&>违禁作品内容处理规则》；&/a>&a href=&https://www.jinchutou.com/i-143.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/i-143.html&/a>&/p>&p>4、上传人可以观注本站公告，查看其它被公示永久封禁的原因&a href=&https://www.jinchutou.com/news-1.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/news-1.html&/a>&/p>&p>5、其它问题可以参阅上传常见问题指引：&a href=&https://www.jinchutou.com/info-0-25-1.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/info-0-25-1.html&/a>&/p>" />