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经济数学基础课后答案
1习题 四1 6 1．设总体 X 服从正态分布 N 10,32 , X1 , X 2 ,?, X 6 是它的一组样本， X ? ? X i 6 i ?1 （1）写出 X 所服从的分布； （2）求 X ＞11 的概率. ? 32 ? 解 （1） X ～N ? ?10, 6 ? ?， ? ?即? 3? X ～N ? ?10, ? ?. ? 2???? ? ? ? ? X ? 10 11 ? 10 ? （2） P ?X＞11? ? 1 ? P ?X ? 11? ? 1 ? P? ? ? 3 3 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 11 ? 10 ? ? 1 ? ?? ? 3 ? ? ? 2 ? ? =1-Φ (0.8165) . 解法一： P?X＞ 11? ? 1 ? ??0.82? ? 1 ? 0.7939 ? 0.2061. 解法二： 查表得： Φ (0.81) = 0.7910， Φ (0.82) = 0.7939， 可以求出一条过点（0.81，0.7910） 、 （0.82，0.7939）的直线，其方程为： 0.7939 ? 0.7910 ?x ? 0.81?, y ? 0.7910 ? 0.82 ? 0.81 对于 x∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似 Φ (x)，则有 Φ (0.9 ? 0.5? 0.81? ? 0.7910 ? 0.82 ? 0.81 ? 0.7929. 故 P?X＞ 11? ? 1 ? ??0.8165? ? 1 ? 0.7929 ? 0.2071 这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度. 1 n 2. 设 X1，X2，…，Xn 是总体 X 的样本， X ? ? X i ，分别按总体服从下列指定分布求 E( X )，D( X ). n i ?1 1?k k （1）X 服从 0-1 分布： P?X ? k? ? p ?1 ? p? , k ? 0,1 ；k k （2）X 服从二项分布： P?X ? k? ? Cm p ?1 ? p? m?k,k ? 0, 1，2，…，m；2（3）X 服从泊松分布： P?X ? k ? ?e ?? , ?＞0, k =0，1，2，…； k! ? 1 , a ? x ? b, ? （4）X 服从均匀分布：f (x) = ? b ? a ? 0, 其他 其他； ??k（5）X 服从指数分布：f (x) = ?e??x ?x＞0, ?＞0?. 解 （1）X 服从 0-1 分布，EX=p，DX=p(1-p),故?1 n ? EX ? E ? ? X i ? ? n i ?1 ? n 1 ? ? E? ?? Xi ? n ? i ?1 ? 1 n ? ? EX i n i ?1 1 ? ? np n ? p.?1 n ? DX ? D? ? X i ? ? n i ?1 ? n 1 ? ? 2 D? ?? Xi ? n ? i ?1 ? 1 n ? 2 ? DX i n i ?1 1 ? 2? np?1 ? p ? n 1 ? p ?1 ? p ?. n（2）X 服从二项分布，EX=mp，DX=mp (1-p)，同（1） ，可以求得 1 EX ? mp, DX ? mp?1 ? p?. n （3）X 服从泊松分布EX=λ ，DX=λ ，同（1） ，可以求得： 1 E X =λ ，D X = λ . n （4）X 服从均匀分布?b ? a ? ， a?b , DX ? 2 12 同（1） ，可以求得 ?b ? a ?2 . a?b EX ? , DX ? 2 12n （5）X 服从指数分布2EX ?3EX ?1?, DX ?1?2,同（1） ，可以求得 1 1 EX ? , DX ? 2 . ? n? 注 一般地讲，设 X1，X2，…，Xn 是总体 X 的样本， X ?1 n ? X i ，若 X 的样本与方差均存在，则 n i ?1EX ? EX , DX ?1 DX . n对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题. 3．设总体 X 服从正态分布 N ? ,0.32 ，X1，X2，…，Xn 是总体 X 的一组样本， X 是样本均值，试问：样本 容量 n 至少应取多大，才能使??P X ? ? ＜0.1 ? 0.95.解??? ? ? ?X～N ?? ,0.32 ?，? 0.3 2 X～N ? ??, n ?故P X ? ? ＜0.1??? ? 0.1 X ?? 0.1 ? ? P? ＜ ＜ ? ? 0.3 / n 0.3 / n 0.3 / n ? ? n? ? ? ? ?? ? ? n ? ??? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? n ?? ??? ? 3 ? ? ? 3 ?? ? ? ? ? ?? ? n? ? ? 1. ? 2? ? ? 3 ? ? ? 根据题目的要求 ? n? ? ? 1 ? 0.95, 2? ? ? 3 ? ? ? ? n? ? ? 0.975, ?? ? 3 ? ? ? 查表得 Φ (1.96)=0.975. 故n ? 1.96 ， 3 n ? 34.57. 因为 n 只能取正整数，所以，样本容量 n 至少应取 35.6 2 ? 4．设 X1，X2，…，X6 为正态总体 N 0,2 2 的一个样本，求 P? ?? X i ＞6.54? . ?i ?1 ? 2 解 由 Xi～N 0， ， 2 （i=1，2，…，6） X ?0 知 i ～N（0，1） （i=1，2，…，6） ， 2 且它们相互独立，故????41 2 X i ～X 2 ?1? , 4 1 6 2 2 ? X i ～X（6） 4 i ?1 6 2 ? 所以 P? ?? X i ＞6.54? ?i?1 ? 6 ?1 ? ＝P ? ? X i2＞1.635? ? 4 i ?1 ? =0.955．设总体 X 和 Y 相互独立，都服从正态分布 N（30，3 ） ，X1，X2，…，X20，Y1，Y2，…，Y25 分别是来自 X 和 Y 的样本.求 X ? Y ＞0.4 的概率. 2 解 由 Xi～N（30，3 ） （i=1，2，…，20） ， 2 Yi～N（30，3 ） （i=1，2，…，25） ， 知 32 X～N (30, ), 20 32 Y ～N (30, ), 25 又 X 与 Y 相互独立，所以 X 与 Y 也相互独立. 32 32 从而 X－Y～N (0， ＋ )， 20 25 即 X ? Y～N (0,0.92 ). 故P X ? Y ? 0.42?? 2? P X ? Y ? 0.4? 2 ?1 ? P X ? Y ? 0.4? ? 0.4 ? 0 ?? ? 2 ?1 ? Φ? ?? ? 0.9 ?? ? ? 2 ?1 ? Φ?0.4444?????????? 2 ?1 ? 0.67? ? 0.66 .6．设 X 和 Y 是来自正态总体 N(μ , σ )的容量为 n 的两个样本均值.试确定 n，使得两个样本均值之差 超过 σ 的概率大约为 0.01. ? 1 ? 解 X ~ N ? ? , ? 2 ?, ? n ? ? 1 ? Y ~ N ? ? , ? 2 ?, ? n ? 因为 X，Y 是两个不同的样本，故 X 与 Y 相互独立， X 与 Y 也相互独立. ? 2 ? 从而 X ? Y ~ N ? 0, ? 2 ?, ? n ? 故P2? X ?Y ???? ?? 2P X ? Y ? ???? 2 1? P X ?Y ????5? ? ? ? ? ? ?? ?0? ? 2 ?1 ? Φ ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ? n ? ?? ? n?? ? . ? 2 ?1 ? Φ ? ? 2?? ? ? ?? ? ? 根据题设? ? ? ? ? ?? ? n?? ? ? 0.01, 2 ?1 ? ? ? ? 2?? ? ? ?? ? ? ? n? ? ? 0.995, Φ? ? 2? ? ? 查表得n ? 2.58, 2 n=13.3128. 所以 n 可以取 13 或 14. 7.设 X 服从正态分布 N（ ? ,? 2 ） ， X 1 , X 2 ,?, X 10 是 X 的样本.试求下列概论：1 10 ? ? 2 （1） P ?0.25? 2 ? ? ? X i ? ? ? ? 2.3? 2 ? . i ? 1 10 ? ? 10 2 1 ? ? （2） p ?0.25? 2 ? ? X i ? X ? 2.3? 2 ? . 10 i ?1 ? ? 2 ?i ? 1,2,?,10? , 解 (1) X i ~ N ? ,? Xi ? ? ~ N 0,12 ?i ? 1,2?,10? ,???? ? ? ?2从而 即? X ??? ? ~ ? 2 ?10? , ? ? i i ?1 ? ? ?101?2i ?1? ? X i ? ? ? ~ ? ?10? .10 22记W?1?2i ?12 ? ? X i ? ? ? , 则 W ~ ? ?10? . 于是, 10 21 10 ? ? 2 P ?0.25? 2 ? ? ? X i ? ? ? ? 2.3? 2 ? 10 i ?1 ? ? 1 10 ? ? 2 ? P ?2.5 ? 2 ? ? X i ? ? ? ? 23? ? i ?1 ? ? ? P? 2.5 ? W ? 23?? P? W ? 23? ? P? W ? 2.5?? P? W ? 2.5? ? P? W ? 23?? ?1 ? P? W ? 23?? ? ?1 ? P? W ? 2.5? ?? 0.99 ? 0.01　　　　（查 ? 2分布表，n ? 10 ） ? 0.98.(2) 根据样本方差的性质，1?22 ? X i ? X ~ ? ?10 ? 1?, 10 2 i ?1??记 W?1?22 ? X i ? X , 则 W ~ x ?9?, 于是, 10 2 i ?1??62 1 10 ? ? P ?0.25? 2 ? ? X i ? X ? 2.3? 2 ? i ? 1 10 ? ? 10 2 1 ? ? ? P ?2.5 ? 2 ? X i ? X ? 23? ? i ?1 ? ? ? P? 2.5 ? W ? 23?????? P? W ? 23? ? P? W ? 2.5?? P? W ? 2.5? ? P? W ? 23? ? 0.975 ? 0.005 ? 0.97.? ?1 ? P? W ? 23?? ? ?1 ? P? W ? 2.5??8.用附表 4 求下列各式中的 ? 值：? ? （2） P? ? ?9? ? ??? 0.01; （3） P? ? ?15? ? ??? 0.025; （4） P? ? ?15? ? ??? 0.025;（ 1 ） P ? 2 ?9? ? ? ? 0.95;222解（2）由 P ? 2 ?9? ? ? ? 0.01,2（1） 直接查表得 ?＝3.325.得 查表得 λ ? 2.088. （3）直接查表， λ ? 27.488. （4）由 P ? 2 ?15? ? λ ? 0.025,? P? ? ?9? ? λ?? 0.99,??2 得 查表得 ? ? 6.262. 9.用附表 5 求下列各式中的 ? 值： （1） P? t ?10? ? ??? 0.05;? P?? (5)＞λ? ＝0.975 ，（2） P? t ?10? ? ??? 0.90; （3） P? t ?10? ? ?? ? 0.05; （4） P? t ?10? ? ?? ? 0.01;（5） P? t ?150? ? ?? ? 0.025. 解 （2）由 P? t ?10? ? ??? 0.90 得 （1） 直接查表得 ?＝2.228.P? t ?10? ? ??? 0.10,查表得 ? ? 1.812. （3）由 P? t ?10? ? ?? ? 0.05, 知? ? 0 故有 P? t ?10? ? ??? 0.10, 查表得 ? ? 1.812. （4）由 P? t ?10? ? ?? ? 0.01, 知? ? 0,P?? t ?10? ? ??? ? 0.01P? t ?10? ? ???? 0.02?? ? ? 0?查表， ?? ? 2.764， ? ? ?2.764. （5）因为n ? 150 比较大， 由 P? t ?150? ? ?? ? 0.025, 知 P? t ?150? ? ??? 0.05, 查表得 ? ? 1.96. 10.用附表 6 求下列各式的 ? 值：7（ 1 ）P? F ?8， 9? ? ?? ? 0.05;（3）P? F ?10,15? ? ?? ? 0.95;（2）P? F ?8,9? ? ?? ? 0.05;（4）P? F ?10,15? ? ?? ? 0.90.解(1)先找 a ? 0.05 的表，在该表中，找 n1 ? 8, n2 ? 9 对应的 ? 值，可知 ? ? 3.23. （2）在这里先复习一下 F 分布的一个性质： 1 若 F~F ?m, n? , 则 ~ F ?n, m? . F 利用上述性质，可得： ? 1 ? P? ? ? ? ? 0.05, ? ? F 9 , 8 ? ?1? ? P ? F ?9,8? ? ? ? 0.05, ? ? ? 1 查表得 ? 3.39,?故1 ? 0.295. 3.39 （3）P? F ?10,15? ? ?? ? 0.95,??P? F ?10,15? ? ?? ? 0.05,? 1 ? P? ? ? ? ? 0.05, ? F ?15,10? ? 1? ? P ? F ?15,10? ? ? ? 0.05, ?? ? 1 查表得 ? 2.85,?1 ? 0.351. 2.85 （4）P? F ?10,15? ? ?? ? 0.90,??P? F ?10,15? ? ?? ? 0.10, 查表得 ? ? 2.06.2 211.设总体 X 服从标准正态分布 N（0,1） , X1 , X 2 ,?, X n 为其样 本，S 为样本方差， X 为样本均值，求 D( X ), E(S ). ?1 n ? 解 (1)D( X ) ? D? ? X i ? ? n i ?1 ? n 1 ? ? 2 D? ?? Xi ? n ? i?1 ? 1 n ? 2 ? DX i n i?1?1 .n n2 1 ? . n2（2）解法一：EXi2 ? DX i ? ?EX i ? ? 1? 0 ?i ? 1,2,?, n? . ?18E X ? DX ? E X 1 ? ?0 n 1 ? , n故2? ?22? ? 1 n E S 2 ? E? ? Xi ? X ? i ? 1 ?n ?1 ? n 2 1 ? E ?? X i ? X ? ? ?i ?1 ? n ?1 ? n 2 1 ? E ?? ? X i2 ? 2 X i X ? X ? ? ?? ?? ?i?1 ? ? n ?1 ? n n 2 1 ? E ?? X i2 ? 2 X ? X i ? n X ? ? i ?1 ?i?1 ? n ?1 ? n 2 1 ? E ?? X i2 ? 2 X ? n X ? n X ? ? ?i?1 ? n ?1 ? n 2 1 ? E ?? X i2 ? n X ? ? ?i?1 ? n ?1 ? 2 1 ?n 2 ? ? EX i ? nE X ? ? ?i ?1 ? n ?1 ? 1 ? 1? ? n ? 1? n ? ? n ?1 ? n? ? 1 ? n ? 1? ? n ?1 ? 1. 解法二：? ?????E Xi ? X??2? D Xi ? X ? E Xi ? Xi? ? ?? ? D?X ? X ?? 0 ? D?X ? X ?i??2X ? X2 ??? Xn ? ? ? D? X i 1 ? n ? ? 1 n ?1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? D? ? X 1 ? ? X i ?1 ? X i ? X i ?1 ? ? ? X n ? ? D? ? X i ? ? ? ? D? ? X i ?1 ? ? n n n n n ? n ? ? ? ? n ? ? n ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? D? X i ? ? D? ? X i ?1 ? ? ? ? D? ? X n ? ? n ? ? n ? ? n ??n ? 1? DX ? 1 1 DX1 ? ? ? 2 DX i ?1 ? i 2 n n n2 1 1 DX i ?1 ? ? ? 2 DX n 2 n n 2 1 1 ?n ? 1? 1 1 ? 2 ??? 2 ? ? 　2 ? ? ? 2 2 n? n n n? n ? ? ??? ? ? ? ??? ?2?i ?1个n ?i个1 1 ? 2 ?n ? 1? ? 2 ?n ? 1? 2 n n n ?1 ? . n故? 1 n E S 2 ? E? ? Xi ? X ? n ? 1 i ?1? ???2? ? ?9n 1 E ? Xi ? X 2 n ? 1 i?1 1 n 2 ? ? E Xi ? X n ? 1 i ?1 1 n n ?1 ? ? n ? 1 i?1 n 1 ?n ? 1? ? n ?1 ? 1. 12. A 牌灯泡的平均寿命为 1400 小时， 标准差为 200 小时.B 牌灯泡的平均寿命为 1200 小时， 标准差为 100 小时，从两种牌子的灯泡中各取 250 个进行测试.问 A 牌灯泡的平均寿命至少大于 B 灯泡寿命（1）180 小时， （2）230 小时的概率分别是多少？ 解 （1）因为题中未给出两种牌子灯泡的寿命所服从的分布，因而不能严格地利用其分布进行计算.题中 考虑的问题主要是对 250 个灯泡进行测试，因试验的数比较多，故可以使用中心极限定理.按照中心极限 定理, X 与 Y 近似地服从正态分布. ? 2002 ? X 近似服从N ?1400 ， ?, 250 ? ??? ???? 1002 ? Y 近似服从N ?1200 ， ? , 250 ? ?根据题意, Y 与 X 相互独立，故?
? ? ,即N ?200,200?. X ? Y 近似服从 N ? 1400 － 1200 , ? ? 250 250 ? ? ?从而P X ? Y ? 180 ? 1 ? P X ? Y ? 180 ? 1 ? F ?180?? 180 ? 200 ? ? ? 1 ? Φ? ? ? 200 ? ? ? 1 ? Φ?? 1.4142?? ??1.4142?????? 1 ? ? 1 ? Φ ?1.4142? ?在查表时，表中没有 1.4142，因而需要使用 Φ?1.41? ? 0.92073, Φ?1.42? ? 0.92220进行线性插值，可得 1.4142 ? 1.41 ?Φ?1.42? ? Φ?1.41?? Φ?1.4142? ? Φ?1.41? ? 1.42 ? 1.41 ? 0.9213. 注? 0.9213.（2）　P X ? Y ? 230?? 1 ? P X ? Y ? 230 ? 1 ? F ?230????? 230 ? 200 ? ? ? 1 ? Φ? ? ? 200 ? ? ? 1 ? Φ?2.1213? ? 1 ? 0.983 ? 0.017 . 注 2.1213 未在表中，但与表中的 2.12 比较接近，在对精度要求不太高的情况下，可以用 2.12 来代 替 2.1213. 如果对精度要求比较高，就需要使用（1）中使用的线性插值方法. 13.分别从方差为 20 和 35 的正态总体中抽取容量为 8 和 10 的两个样本，求第一个样本方差是第 2 个样本 方差两倍以上的概率范围. 解 对于第 1 个样本10n1 ? 8, ? 1 ? 20. 对于第 2 个样本2n2 ? 10, ? 2 ? 35. 统计量2S1 F? S222? 122~ F ?n1 ? 1, n2 ? 1? ,? 22即 故F? S1 / 20 ~ F ?7,9? . 2 S 2 / 352 2P S1 ? 2S22??? S ? ? P? 1 2 ? 2? ? S2 ? 2 ? 35 S1 35 ? ? P? ? 2? ? 2? 20 ? ? 20 S 2 ? S 2 / 20 ? ? P? 1 2 ? 3.5 ? ? S2 / 35 ? ? P ? F ? 3.5?. 查 F 分布表 P ? F ? 3.29 ? ? 0.05,P ? F ? 4.20 ? ? 0.025.由 可得 即P ? F ? 3.29 ? ? P? F ? 3.5? ? P ? F ? 4.20?,0.05 ? P ? F ? 3.5 ? ? 0.025,0.05 ? P S1 ? 2 ? S2 ? 0.025.?22?所求的概率范围为（0.025，0.05）. 2 14.设 X 1 , X 2 ,?, X n 是取自正态总体 N ? ,? 2 的一个样本，S 为样本方差，求满足等式 ?S2 ? P ? 2 ? 1.5? ? 0.95 的最小 n 值. ? ? ???解? S2 ? P ? 2 ? 1.5? ? 0.95, ?? ? ?S2 ? 知 P ? 2 ? 1.5 ? ? 0.05, ?? ? 2 ? ?n ? 1?S ? ? 1.5?n ? 1? ? ? 0.05.??? ( A) 即 P? 2 ? ? ? 2 ?n ? 1? S 服从自由度为 ?n ? 1? 的 x 2 分布. 根据上侧分位数的定义，我们得到如下等式 依题设，易知 2由? ?n ? 1? S 2 ? 2 P? ? ?0 .05 ?n ? 1? ? ? 0.05. ???? （B） 2 ? ? ? 由（A） 、 （B）两个式子，可以得到 2 1.5?n ? 1? ? ? 0 ???????? （C） .05 ?n ? 1? .?（A）式与（C）式等价，因此满足（C）式的最小 n 值即为满足（A）式的最小 n 值.查表并整理得nn ?11.5?n ? 1?2 2 ?0 1.5?n ? 1? ? ? 0 .05 ?n ? 1? .05 ?n ? 1?112 3 4 ? 25 26 27 28 ? ?1 2 3 ? 24 25 26 27 ? ?1.5 3 4.5 ? 36 37.5 39 40.5 ? ?3.841 5.991 7.815 ? 36.415 37.652 38.885 40.113 ? ?× × × ? × × √ √ ? ?故所求的最小 n 值为 27. 15. 已知 X 服从 n 个自由度的 t 分布，求证 X 服从自由度为 （1，n）的 F 分布，即 X 2 ~ F ?1, n? 证 当 U ~ N ?0, 1? ,W ~ ? 2 ? n ? 时 U X＝ ~t?n ? W/n2X2 ?所以U2 ,又U 2 ~ ? 2 ? 1 ? W /nU2 U 2 /1 ? ~ F ?1 , n? . W /n W /n 16.设 X , X 2 ,?, X 9 是来自正态总体 N 的简单随机样本，求系数 a,b,c,使 （ 0,22 ） X2 ?1Q ? a ? X1 ? X 2 ? ? b ? X 3 ? X 4 ? X 5 ? ? c ? X 6 ? X 7 ? X 8 ? X 9 ? 服从 ? 分布，并求其自由度.2 2 22解由于 Xi 独立同分布，有 X i ~ N 0,22 , X1 ? X 2 ~ N 0, 2.22 ,? ?X 3 ? X 4 ? X 5 ~ N 0, 3.2 ,2?X 6 ? X 7 ? X 8 ? X 9 ~ N 0, 422 ,?????从而1 ?X 1 ? X 2 ?2 ~ ? 2 ? 1 ? , 1 ?X 3 ? X 4 ? X 5 ?2 ~ ? 2 ? 1 ? , 8 12 1 2 ?X1 ? X 2 ? X 3 ? X 4 ? ~ ? 2 ? 1 ? . 162由 ? 分布的可加性知， 1 ?X1 ? X 2 ?2 ? 1 ?X 3 ? X 4 ? X 5 ?2 ? 1 ?X 6 ? X 7 ? X 8 ? X 9 ?2 8 12 16 2 ~ ? ?3? . 1 1 1 所以，当 a ? , b ? , c 时，Q服从自由度为3的? 2分布， 8 12 16 即Q ~ ? 2 ?3? . 17.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N（0，3 ） ，X1, X2,…, X9 和 Y1,Y2, …,Y 9 分别来自总 体 X 和 Y 的简单随机样本，试证统计量 X1 ? X 2 ? ? ? X 9 T? Y12 ? Y22 ? ? ? Y92 服从自由度为 9 的 t 分布. 证 首先将 Xi,Yi 分别除以 3，使之化为标准正态.212Y ?2 ? Y1/ ? Y2/ ? ?? Y9/ ,Y ?2 ~ ? 2 ? 9 ? . ? ? ? ? X ?9 X ?1 ? X 2 X ? X 2 ??? X 9 因此 T ? 1 ? 2 2 2 2 2 2 Y1 ? Y2 ? ? ? Y9 Y1/ ? Y2/ ? ? ? Y9/ X? X?/3 ? ? , 且X ?，Y ?2相互独立 . 2 2 Y? Y? /9 由服从 t 分布统计量的典型模式知，T 服从自由度为 9 的 t 分布，即 T ~ t ( 9 ). 18. 设 总 体 X 服 从 正 态 分 布 N ? , ? 2 , 从 中 抽 取 一 个 样 本 X 1 , X 2 , … , X n + 1 .2 2 2X i ? Yi ? ? , Yi ? , i ? 1,2,?,9, 则X i ~ N ?0 , 1?, Yi ~ N (0,1). 3 3 X? 再令 X? ? X1? ? X 2? ? ? ? X 9? , 则X ? ~ N ?0 , 9? . ~ N ?0 , 1? . 3令 X i? ???记Xn ?1 1 2 X i , Sn ? ? ? Xi ? X n n i ?1 n ? 1 i ?1nn??2.试证：X ? Xn n ? n?1 ~ t ?n ? 1? . n ?1 Sn分析：因为 明?n ? 1? S n2?2~ ? 2 ?n ? 1? , 由t分布知，分子需要一个服从标 准 正 态 分 布 的 随 机 变 量 ，故 只 需 证n X n?1 ? X n ~ N ?0 , 1? 即可. n ?1 ?? ?2? X n?1 ~ N ?? , ? 2 ? , X n ~ N ? ? , ?. n ? ? ? n ?1 2 ? X n?1 ? X n ~ N ? 0, ? ?, n ? ?证故U?X n?1 ? X n n ?1 ? n?2?X n?1 ? X n??n ~ N ?0 , 1? , n ?1W??n ? 1?S n2U~ ? 2 ?n ? 1? , 且 U、W相互独立， ~ t ?n ? 1? .所以 又T?W / n ?1T?X n?1 ? X n??n n ?1?n ? 1? Sn2 / ? 2n ?1?X n?1 ? X n n ? , Xn n ?1从而X n?1 ? X n ? ~ t ?n ? 1? . Sn n ?119. 设 X1,X2,…,Xn 是来自总体 N ? , ? 2 的样本，记 1 n d ? ? X i ? ? . 试证： n i?1 2? ?2 ? ? 2 ? , D ?d ? ? ? E? ｄ . ?1 ? ? π ? π? n 证明 记 Yi ? X i ? ? , 则 Yi ~ N 0 , ? 2 , i ? 1 , 2 ,?, n .E ? X i ? ? ? ? E ? Yi??????1 2π???? ??y e?y2 2? 2dy13? ??D ? Xi ? ?2 2π? 2? 2π???ye?y2 2? 2dy 2 ?. π0 ? y2 2? 2 ?? 0e?2 i?? D ?Yi? ? E ? Y ? ? ?E ?Yi??2所以? 2 ? ? DYi ? ?EYi ? 2 ? ? ? ? 2 ? π ? ? ? 2 ??2 ? 0? ?2 π ? 2? ? ?1 ? ? ? 2 , ? π? ?1 n ? 1 n E ?d ? ? E ? ? X i ? ? ? ? ? E ? X i ? ? ? n i ?1 ? n i ?11 ?n n ?1 n ?D? ? ? n i ?1 ? 2 ?? π 2 ?. π?D ?d ?? 1 n Xi ? ? ? ? 2 ?D ? Xi ? ? ? n i ?12?2 ?? ? ? ? 1? ? . π ? n ?20.设总体 X 服从正态分布 N(62，100)，为使样本均值大于 60 的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应 取多大？ 解 设需要样本容量为 n, 则X ?? X ?? ? n ~ N ?0 , 1? ,?/ n??? X ? 63 ? 60 ? 62 P X ? 60 ? P ? n? n? 10 ? 10 ???? 1 ? Φ ? 0.2 n ? Φ 0.2 n ? 0. 95. 查标准正态分布表，得 Φ ?1.64? ? 0.95 .所以? 1.64 ? 0.2 n ? 1.64 ? n ? ? ? ? 67.24 . ? 0.2 ?2 2?? ??2故样本容量至少应取 68. 21.设 X1,X2,…,X9 为来自总体 X～N(a,2 ),Y1,Y2,…,Y16 为来自总体 Y～N(b,2 )的两个相互独立的简单随机样 本. 记Q1 ? ? X i ? X , Q2 ? ? Y j ? Y2 i ?1 j ?19??16??2.求满足下列各式的常数 ?1 ,? 2 , ?1 , ? 2 , ? 1 , ? 2 .( 1 ) P ? Q1 ? a2 ? ? P ? Q1 ? a1 ? ? 0.05 ;(2)P? X ? a ? ? ? ? 0 .9 ;1? Y ?b ? ? ? (3) P ? ? ? 2 ? ? 0.9 ; Q2 ? ? ? ?14解故?Q ? ?Q ? ( 4 ) P ? 2 ? ? 2 ? ? P ? 2 ? ? 1 ? ? 0.05 . ? Q1 ? ? Q1 ? 2 ( 1 ) 由题设知 DX ? 4 ? ? , 从而 2 Q 1 9 W1 ? 1 ? ? X i ? X ~ ? 2 ( 8 ) ， 4 4 i ?1 ?Q ? ? P ? Q1 ? ? 2 ? ? P ? 1 ? 2 ? ? 0.05 . 4 ? ? 4??2 P W1 ? ?0 ? 0.05, .05(8)?类似地4 ? ? ? Q1 ?1 ? ? P ? Q1 ? ?1? ? P ? ? ? ? P ?W1 ? 1 ? ? 0.05, 4? 4? ?4 ???22 ?8? ? 15.507 . ? ?0 .052 ? ?0 (8) ? 2.733. .95 4 所以 ?1 ? 4 ? 2.733 ? 10.932 ; ? 2 ? 62.028 .?1?2? U1 ?P?X ?a X ?a 3 ? ? X ? a ~ N ?0 , 1? , 2/3 2 ?/ 9 3 ? ?3 X ? a ? ? 1 ? P ? X ? a ? ?1 ? 2 2 ? ????3 ? ? ? P ? U 1 ? ? 1 ? ? 0 .9 , 2 ? ?3 ?1 ? 1.64, 所以?1 ? 1.093. 2 Y ?b Y ?b ( 3 ) U2 ? ? ? 2 Y ? b ~ N ?0 , 1? , ? / 16 2 / 4 2 Q 1 16 W2 ? 2 ? ? Yj ? Y ~ ? 2 ?15? . 4 4 j?1 U2 ~ t ?15? . 可见 T ? W2 / 15查标准正态分布得????即T?2 Y ?b??1 Q2 / 15 4? 4 15Y ?6 Q2~ t ?15? ,所以查表得 P ? T ? 1.753 ?? 0.10， P ? T ? 1.753 ?? 0.9 . 可知? Y ?b ? ? ? Y ?b ? ? ? ? P? ? ? 2 ? ? P ? 4 15 ? 4 15? 2 ? ? 0.9. Q2 Q2 ? ? ? ? ? ? ? ?4 15?2 ? 1.753, 即?2 ? 0.113. ?4? 由F ? Q2 / 15 ~ F ?15 , 8? , 可得 Q1 / 18?Q ? ? Q / 15 8 ? P ? 2 ? ?2? ? P ? 2 ? ? 2 ? ? 0 .05 , Q ? 1 ? ? Q1 / 8 15 ? ?Q ? ? Q /15 8 ? P ? 2 ? ?1 ? ? P ? 2 ? ? 1 ? ? 0 .05 , ? Q1 ? ? Q1 / 8 15 ? 8 ? 2 ? F0.05 ?15 , 8? ? 3.22 ? ? 2 ? 6 .
1 1 ?1 ? ? ? ? 1 ? 0 . 709 . 15 F0.05 ?8,15? 2.645因此15习 1. 设 X 1 , X 2 , ?, X n 是总体 X 的样本， X ?题 五S2 ?1 n 2 2 ? X i ? X , 分别按总体服从下列分布求 E S . n ? 1 i ?1 ? 1 ,a ? x ? b , ? （1）X 服从均匀分布： f ( x) ? ? b ? a ? ?0, 其他.（2）X 服从泊松分布： P ?X ? x? ???1 n ? Xi , n i?1? ??xx!xme ?? , ? ? 0 ,( x ? 0 ,1 , 2, ?) .x m? x（3）X 服从二项分布： P ? X ? x? ? C P ?1 ? p? 解2?x ? 0 ,1 , 2,? m? .2故由方差的计算公式可以直接求出 E(S ). 因为E ( S ) ? DX ， （1）X 服从均匀分布 ?b ? a ?2 . E ?S 2 ? ? DX ? 12 （2）X 服从泊松分布 E S 2 ? DX ? ? . （3）X 服从二项分布 E S 2 ? DX ? np ?1 ? p? . 2. 设 X1,X2,…,Xn 是总体 X 的一个样本, EX ? ? . 试证： n ? 2 ? 1 ? ? X ? ? ?2 是总体方差的无偏估计量. S 0 i n i?1 证 由期望公式有 n n ? 2 ? E ? 1 ? ? X ? ? ?2 ? ? 1 ? E ? X ? ? ?2 E S 0 i ? n i ?1 i ? n i ?1 ? ? 1 n 1 ? ? DX i ? ? nDX ? DX . n i?1 n n 1 2 ? 2 ? ? ? X ? ? ? 是 DX 的无偏估计量 . 所以， S 0 i n i?1 3. 对样本 X1,X2,…,Xn 作变换 ?a , m 为常数 , m ? 0? Yi ? m ? X i ? a ?? ?? ?? ?试证： ( 1 ) X ?证Y ?a; m 1 2 2 ( 2 ) SX ? 2 SY . m ( 1 ) 因为 m ? 0,由Yi ? m ? X i ? a ? 得Xi ?1 Yi ? a , m 1 n 1 n ?1 ? X ? ? X i ? ? ? Yi ? a ? n i?1 n i?1 ? m ? n 1 1 ? ? Yi ? a n i?1 m 1 1 n 1 ? ? ?Yi ? Y ? a m n i?1 m162 ( 2 ) SX ?1 n 2 ? Xi ? X n ? 1 i ?1 2 1 n ?1 1 ? ? ? ? Yi ? a ? Y ? a ? n ? 1 i?1 ? m m ? n 1 1 ? Yi ? Y 2 ? n ? 1 i?1 m2 1 1 n 2 ? 2? ? Yi ? Y m n ? 1 i ?1 1 2 ? 2 SY . m??????4. 设 X1 , X2 , … , Xn 是 X 的一样本，试证估计量 X ?W ? ? ai X ii ?1 n n1 n ? Xi , n i ?1( ai ? 0 为常数， ? ai ? 1 ) , 都是 EX 的无偏估计，且 X 的方差不超过 W 的方差.i ?1证?1 ? 1 E X ? E ? ? X i ? ? ? EX i i ? 1 n ? ? n i?1 因为 X 与 Xi 同分布，所以 EXi=EX .n n故E X ? EX同理， EW ? E ? ai X i ? ? ai EX ii ?1 i ?1nn? EX ? ai ? EX .i ?1n所以 X与W都是EX的无偏估计 . n n 1 由于 D X ? DX , DW ? ? ai2 DX ? DX ? ? ai2 , 根据柯西不等式 i ?1 i ?1 n 1 得 DW ? DX , n 从而有 D X ? DW .n? ai2 ? (? ai ) 2 ? 1 ,i ?1 i ?1nn5. 从某种灯泡的总体中，随机抽取 10 个样本，测得其寿命(小时)为 27 83 40 1987 试求方差的无偏估计 . 1 n 2 解 因为 S 2 ? ? X i ? X 2 是方差的无偏估计量，故只要计算 S 的值. n i ?1 1 X ? (? ? ? 60 ? 1540 ? 1987) ?
n 1 n 2 2 S2 ? ? X i ? X ? ? ? X i ? 1619.6? n ? 1 i ?1 9 i ?1 =. 设 X1,X2,…,Xn ?n ? 2? 为正态总体 N ? , ? 2 的一个样本，适当选择常数 C，使??????C ? ? X i ?1 ? X i ? 为? 2的无偏估计 .2 i ?1n ?1解设 ? ? X 1,X 2 ,? ,X n ? ? C ? ? X i?1 ? X i ? .2 i ?1n?1由期望的定义与性质可得 n?1 2 E? ? X 1 , X 2 ,?, X n ? ? E ?C ? ? X i?1 ? X i ? ? ? ? ? i ?1 ?? C ? E X i2 ?1 ? 2 X i ?1 X i ? X ii ?1 n?1?2?17? C ? E ( X i2?1 ) ? 2E ( X i ?1 X i ) ? E ( X i )i ?1 n ?1 i ?1 n ?1n ?1?2?2? ? ?? ? C ? ?E ( X ) ? ( EX ) ? EX ? E ( X ) ? ? C ? ?? ? ? ? ? C ?n ? 1?2? ? ? ,? C ? E ( X i2?1 ) ? 2E ( X i ?1 ) E ( X i ) ? E X i2i ?1 n ?1 2 i ?1 2 2 i2222i ?1故C?1 2 ?n ? 1? .7. 设总体 X 的密度函数是?? x ? ?1， 0 ? x ? 1 ,? ? 0 , f (? ) ? ? 其他 . ? 0, x1 , x2 ,?, xn 是一组样本值，求参数α 的最大似然估计量.解 似然函数 L ? ??xii ?1 n? ?1n? ? n ? xii ?1n? ?1.ln L ? n ln? ? (? ? 1)? ln xi .i ?1得dlnL n n ? ? ? ln xi ? 0 , d? ? i?1 ? n 1 n ?? m ? ( ? ln xi ) ?1. n i?1 ? ln xii ?18. 设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数是f ( ? ) ? ?? x? ?1e?? x x ? 0,? ? 0, ? ? 0 其中 ? 为已知，X1, X2, … , Xn 是来自 X 的样本,求参数 ? 的最大似然估计.解 似然函数?L ? Π ??X i? ?1e ??Xi ?1n i ?1ni?? ? n? n Π X i? ?1e ??X .i?ln L ? n ln? ? n ln? ? (? ? 1)? ln X i ? ? ? X i? .i ?1 i?1nndlnL n n ? ? ? ? Xi ? 0 , d? ? i?1 从而得到 n ? ? n ? ( 1 ? X ? ) ?1 Q i n ? n i ?1 ?Xi ?1 i9.设总体 X 服从马克斯韦尔分布，密度函数是 x ) ? 4 x 2 ?( ? e , x ? 0, ? ? 0 , ? 3 f (? ) ? ?? π ? 0, x?0 ? X1, X2, … , Xn 是总体 X 的样本，求 ? 的最大似然估计. 解 似然函数2L?Πnn4 X i2i ?1?3 π4 X i2 πn i ?1e?x ? ?? i ? ?? ?2?Πi ?1???3 n?en ? X ? ??? i ? i ?1? ? ?2ln L ? ln Π4 X i2 π? 3nln? -1?2i ?1? Xin218dlnL 3n 2 n ? ? ? 3 ? X i2 ? 0 d? ? ? i?1 2 n 2 ?? a 所以 ? Xi . 3n i ?110.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，密度函数是f ( ? ) ? ?e??x x ? 0, ? ? 0今随机抽取 14 台，测得寿命数据如下(单位：小时) 80 21 67 20
求 ? 的最大似然估计值. 解 由于指数分布 ? 的最大似然估计 n 1 ?? n ? , 又 X ? 2013 X ?X? i ?1 i1 . 2013 11.设总体 X 服从［a , b］区间上的均匀分布， x1 , x2 , ?, xn 是总体 X 的一组样本,求 a 和 b 的最大似然估 计量. 解 似然函数 L ?x1, x2 ,?, xn , a, b? ?所以???? 1 , a ? x1 , x2 ,?, xn ? b , ? n ? (b ? a) ? 0 , 其他 . ?由于似然方程组 n ? ?L ? ?a ? ?b ? a ?n?1 ? 0 , ? ? n ? ?L ? ? ?0, ? ?b ? a ?n?1 ? ?b 无解，不存在驻点，考虑边界上的点， 因为 a ? x1 , x2 ,?, xn ? b, 故有 a ? min ?x1 , x2 ,?, xn ? ,b ? m a ?x1 , x2 , ?, xn ?.max ?x1 , x2 ,?, xn ?时， L 取到最大值.? ?b ? a 越小 L 越大，所以当 a ? min ?x1 , x2 ,?, xn ? , b ?即： a ? min ?x1 , x2 , ? , xn ? , b ? max ?x1 , x2 , ? , xn ? 是 a , b 的最大似然估计量. 12.设总体 X 的密度函数为f ? x ,? ? ? 1? x?e?x ? 0,? ? 01 n ? X i 是否为 ? 的无偏估计？为什么？ n i?1 1 解 因总体 X 是服从参数 ? ? 的指数分布，由指数分布的期望公式知，问X ??EX ?又 所以1??? ,E X ? EX ,E X ? ? , 即X是? 的无偏估计.1913.求习题 7,10,11 中的参数的矩估计. 解 （7）由于 ?? 1 ? EX ? ? xf ?x , ? ? dx ? ? x ? ?x ? ?1dx ? ? ?? 0 ? ?1故 解得 取? ?V， ? ?1 1??V1 . 1 ? V1n? ? 1 ? X ? X. V 1 i n i ?1X . 1? X （10）已知 f ( x) ? ?e ??x，n ? ? 1 ? X ? X, V 1 i n i ?1 1 1 V1 ? EX ? ，? ? . ? V1?? 所以 ? 的矩估计量 ?所以?? 1 ? 1 ? 1 . λ ? X 2013 V 1a?b ? ?V1 ? EX ? 2 , ? （11） ? ?V ? EX 2 ? 1 (a 2 ? ab ? b 2 ), 2 ? 3 ? ?a ? V ? 3(V ? V 2 ) , ?a ? b ? 2V1 , 1 2 1 ? 即 ? ? ? 2 2 2 ?a ? ab ? b ? 3V2 , ? ?b ? V1 ? 3(V2 ? V1 ) . n ? ? 1 ? X ( K ? 1， 用 V 2） 估计VK , K i n i?1 2 ?a ? ? ? X ? 3S 0 ， 得 ? 2 ? ? ?b ? X ? 3S 0 ， 1 n 2 其中 S0 ? ? ( X i ? X )2 . n i?1 14．对球的直径作了 5 次测量，测量的结果是 6.33 6.37 6.36 6.32 6.37 (厘米)，试求样本均值和样本方 差. 1 解 X ? (6.33 ? 6.37 ? 6.36 ? 6.32 ? 6.37) ? 6.35 (厘米) 5 1n 1 S 2 ? ? ( X i ? X ) 2 ? (0.022 ? 0.022 ? 0.012 ? 0.032 ? 4 i?1 4 2 ?4 0.02 ) ? 5.5 ? 10 . 15．在一批螺丝钉中，随机抽取 16 个，测其长度(厘米)为： 2.23 2.21 2.20 2.24 2.22 2.25 2.21 2.24 2.25 2.23 2.25 2.21 2.24 2.23 2.25 2.22 设螺丝钉的长度服从正态分布，试求总体均值 μ 的 90％置信区间. (1)若已知 ? ＝0.01 (2)若 ? 未知 解 (1)由于已知 ? ＝0.01，α ＝0.1 u ? ? u0.05 ? 1.64. 所以 ? 的置信区间为2200.01 0.01? ? , X ? 1.64 ? X ? 1.64 ? 16 16 ? ? 1 n X ? ? X i ? 2.23 16 i ?1 故得 ? 的 90％置信区间为(2.226，2.234)(2)由(1)知 X ? 2.23 1 16 1 S 2 ? ? ( X i ? X ) 2 ? ? 0.0042 15 i ?1 15 ? 0.00028 由 α ＝0.10，查自由度为 15 的 t 分布，得分位数 t 0.1 (15) ? 1.753.X ? t? (n ? 1) S2 0.0167 ? 2.23 ? 1.753? ? 2.223, n 4S2 X + t? (n 1) = 2.237. n 得 EX 的置信度为 0.9 的置信区间为 (2.223，2.237). 2 16．设正态总体的方差 σ 为已知，问抽取的样本容量 n 应为多大，才能总体均值 μ 的置信度为 0.95 的置信 区间长不大于 L. σ 解 正态总体置信区间长为 2u ? n, 2 u? ? u0.025 ? 1.96.2由题意 故2u ?2σ n? L ? 4 ? 1.962σ2 ? L2 . nσ2 . L2 17．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差是 0.05 秒，为了以 95％的置信度使他的平均反应时间 的估计误差不超过 0.01 秒，应取容量为多大的测量样本？ 解 若假定反应时间 X 服从正态分布，则由 16 题解的结果可以直接求出 n. ? 2 ? 0.052，L2 ? (2 ? 0.01) 2 0.05 2 n ? 15.37( ) ? 96.06 0.02 所以应取样本容量 n＝97. 若没有正态性假定，则可用切贝绍夫不等式进行估计，但比较粗，此题因 n 较大，故可以假定其服从 正态分布. 18．对某机器生产的滚珠轴承随机抽取 196 个样本，测得直径的均值为 0.826 厘米，样本标准差 0.042 厘 米，求滚珠轴承均值的 95％与 99％置信区间. 解 因样本容量 n 较大，故可假定滚珠轴承的直径 x 服从正态分布. 由已知 n ? 196，X ? 0.826，S ? 0.042. u ? ? u0.025 ? 1.96， U 0.005 ? 2.58. n ? 15.372将上述各值代入置信区间公式中，可得 0.042 0.042 (0.826 ? 1.96 ? ， 0.826 ? 1.96 ? ) 196 196 ? (0.820, 0.832). 0.042 0.042 (0.826 ? 2.58 ? ， 0.826 ? 2.58 ? ) 14 1421? (0.818, 0.834).19．在一批铜丝中，随机抽取 9 根，测得其抗拉强度为： 578 582 574 568 596 572 570 584 578 2 设抗拉强度服从正态分布，求 σ 的置信度为 0.95 的置信区间. 2 解 由于铜丝抗拉强度服从正态分布，σ 的置信区间为 ? ? ? (n ? 1) S 2 (n ? 1) S 2 ? . ? ? 2 (n ? 1) ， ? 2 ? (n ? 1) ? ? ? ? 1? 2 ? 2 ? n 1 经计算 X ? ? X i ? 578, 9 i ?1i ?1 2 ? ( X i ? X ) ? 592. 92 2 ?2 ? ? 0 , ?1 ? ? 0 . .975 (8) ? 2.180 .025 (8) ? 17.535置信区间为 (33.76，271.56). 20．求习题 14 的期望与方差的 0.90 置信区间. 解 由 14 题知 X ? 6.35, S 2 ? 5.5 ? 10?4 , n ? 5. 2 2 t0.9 (4) ? 2.132, ? 0 , ?0 .05 (4) ? 9.488 .95 (4) ? 0.711.? 的置信区间 ? 6.35 ? 2.132? ? 6.35 ? 2.132 5.5 ? 10?4 5?5.5 ? 10?4 ， 5? ? ? (6.328, 6.372) ? ?? 5.5 ? 10?4 ? 4 5.5 ? 10?4 ? 4 ? ? ? 2 的置信区间 ? , ? 9.488 0.711 ? ? ?? (0.00023 , 0.00309).*21．为比较 A 牌与 B 牌灯泡的寿命，随机抽取 A 牌灯泡 10 只，测得平均寿命 X A ? 1400 小时，样本标准 差 S A ? 52 小时；随机抽取 B 牌灯泡 8 只，测得平均寿命 X B ? 1250 小时，样本标准差 S B ? 64 小时， 设总体都服从正态分布，且方差相等，求二总体均值 ? A ? ? B 的 95％置信区间.2 2 由题设 ? A ，故两总体均值差的置信区间为 ??B解[( X 1 ? X 2 ) ? t? (n1 ? n2 ? 2)S w( X 1 ? X 2 ? t? (n1 ? n 2 ) SW1 1 ? , n1 ? n21 1 ? ] n1 n2(*)SW ? ?SW2 2 (n A ? 1) S A ? (nB ? 1) S B n A ? nB ? 2(10 ? 1)522 ? (8 ? 1)642 ? 57.56, 10 ? 8 ? 21 1 1 1 ? ? 57.56 ? ? 27.1, n1 n2 10 8t0.05 (16) ? 2.120.将以上各数值代入(*)，得 ? A ? ? B 的置信区间为(92.65，207.35).2 22．从二正态总体 X、Y 中分别抽取容量为 16 和 10 的两个样本，求得 ? ( X i ? X ) 2 ? 380， ? (Yi ? Y ) ? 180. 试 i ?1 i ?1 16 1022求方差比 解? x2 的 95％置信区间. 2 ?y16 i ?1已知 n1 ? 16，n2 ? 10, ? （X i ? X ) 2 ? 3802 ? ( yi ? y) ? 180， 从而S1 ? 25.33，S 2 i?1 10 2 2? 20又 α ＝0.05，查 F 分布上侧分位数表，得 F0.025(15, 9) = 3.77, F0.025(9, 15) = 3.12， 代入方差比的置信区间 ? ? ? S12 S12 ? 1 , F? (n2 ? 1, n1 ? 1) 2 ? ? 2 S2 ? ? F? (n1 ? 1, n2 ? 1) S 2 2 ? 2 ? 得 0.95 置信区间为 25.33 ? ? 1 25.33 ， 3.12 ? ? ? (0.34,3.95). 20 ? ? 3.77 20 23．在某一地区中，随机对 100 名成年居民作民意测验，有 80％的居民支持粮食调价，求在该地区的所有居 民中，支持粮食调价的比率的 0.95 与 0.99 的置信区间. ? ? 0.8， 0.1 ? 0.8 ? 0.9, n ? 1 0 是 0 大 样 本 ， 由 比 率 的 置 信 区 间 公 式 解 因 为 p? ?p ? ? u? ? 2 ?得u?2? (1 ? p ?) p ? ? u? ,p n 2? (1 ? p ?) ? p ? ? n ?? (1 ? p ?) p 0.8 ? 0.2 ? 1.96 ? 1.96 ? 0.04 ? 0.0784. n 100所以置信区间为(0.4). 同理可得置信度为 0.99 的置信区间为 (0.8 ? 2.58 ? 0.04,0.8 ? 2.58 ? 0.04) ≈(0.697，0.903) *24．欲估计某县城拥有洗衣机的家庭所占比率，随机抽查了 15 户，其中 6 户有洗衣机，求该县城购置洗 衣机家庭比率的 0.99 置信区间. 解 利用二项分布和 F 分布的关系 n ? f2 p ? k k n ?k ? Cn p (1 ? p) ? F ? ? f (1 ? p) ? ?, k ?? ? 1 ?n其中 F ( x) 是自由度为 f1 ? 2?n 和 f 2 ? 2(n ? ? n ? 1) 的 F 分布函数，可得 p 的 1 ? ? 置信区间? f1 f1 ? 2 ? ? ? f ? a, f ?b ? 2? ?, 1 ? 1 ? 其中 a ? f 2 F? / 2 ( f 2 , f1 ), b ? ( f 2 ? 1) F??/12 ( f1 ? 2, f 2 ? 2), 而 F? ( f1 , f 2 ) 是自由度为 ( f1 , f 2 ) 的 F 分布水平 β 上侧分位数. ?1 , p ? 2 ) ，其中 n ? 15 ， ?n ? 6 ，1 ? ? ? 0.90 ，? ? 0.10 ；自由 我们利用上面公式求 p 的 0.90 置信区间 ( p 度 f1 ? 2?n ， f 2 ? 2(n ? ?n ? 1) ? 20 ，由附表可直接查出 F0.05(f2，f1)＝F0.05(20，12)＝2.54；该表中查不到 F0.05(f1+2，f2-2)＝F0.05(14, 18)，故用线性内插法求其近似值：由附表 6，有 F0.05(10, 18)＝2.41，F0.05(15, 18)＝2.27 则 F0.05(14, 18) ≈F0.05(15, 18)+ ?F0.05 (10,18) - F0.05 (15,18)? ＝2.27+0.2(2.41-2.27)＝2.298.1 由此，得 F0? .05 (14, 18)＝1/2.298＝0.435. 从而，有a＝f2F0.05(f2, f1)＝20×2.54＝50.8， 1 b＝(f2-1) F0? .05 (f1+2，f2-1)＝18×0.435＝7.83.23于是?1 ＝ pf1 12 ? ? 0.191, f1 ? a 12 ? 50.8f1 ? 2 14 ? ? 0.641. f1 ? b ? 2 14 ? 7.832?2 ＝ p最后，求得 p 的 0.90 置信区间为(0.191，0.641). *25.设总体 X 的期望为 μ ，方差为 σ ，分别抽取容量为 n1、n2 的两个独立随机样本， X 1 ， X 2 为两个样 本的均值，试证：如果 a，b 是满足 a+b=1 的常数，则 Y＝a X 1 +b X 2 就是 μ 的无偏估计量，并确定 a， b，使 DY 最小. 证 由两个样本独立知 X 1 与 X 2 独立，有EY＝E(a X 1 +b X 2 )＝aE X 1 +bE X 2 ＝aμ +bμ ＝μ (a+b)＝μ ， 所以 Y 是 μ 的无偏估计量. DY＝D( aX 1 + bX 2 )＝ a 2 DX 1 + b 2 DX 2＝a ?21 1 n DX ? b2 ? 2 n2 DX 2 1 n1 n2? a2 b2 ? 2 =? ?n ?n ? ?? . 2 ? ? 1为使 DY 最小，需求 设 g(a)＝a 2 b2 ? 的最小值. n1 n2a 2 (1 ? a ) 2 n2 a 2 ? n1 (1 ? a ) 2 ? . + n1 n2 n1n22n2 a ? 2n1 (1 ? a ) . n1n2g′(a)＝令 g′(a)＝0， n1 得 a＝ ， n1 ? n2由于 a+b=1,所以，b＝ 将 a=n1 . n1 ? n2n1 n1 ，b= 代入 DY 中， n1 ? n2 n1 ? n2得 (DY)min＝?2n1 ? n22.2 2*26．设总体 X、Y 相互独立，且 X～N(μ 1，σ )，Y～N(μ 2，σ )，从中分别取容量为 n1，n2 的简单随机样 本，记 S1 ， S2 为样本方差，试证：当常数 a，b 满足 a+b＝1 时，Z＝a S1 +b S2 是 σ 的无偏估计量， 并确定 a，b，使 DZ 最小.2222证 因为 S1 与 S2 是来自两个总体的样本方差，故相互独立.由期望和方差的性质，有2 2 2 EZ＝E(a S12 +a S2 )=aE S1 +bE S2 ,22又 S1 与 S2 都是 σ 的无偏估计量， 2 2 2 2 故 EZ＝aσ +bσ =σ (a+b)=σ .2222 DZ=a2D S12 +b2D S2 4 2? 4 2 2 2? =a ? +bn1 ? 1n2 ? 1? a b ? 4 =? ? n ?1 ? n ?1? ?2? . 2 ? 1 ? 为使 DZ 达到最小值，仿 25 题2 2(*)24g(a)=a2 (1 ? a) 2 (n2 ? 1)a 2 ? (n1 ? 1)(1 ? a) 2 ? ? ， n1 ? 1 n2 ? 1 (n1 ? 1)(n2 ? 1)求 g′(a)=0， 即可得到a=n1 ? 1 n2 ? 1 ,b ? . n1 ? n2 ? 2 n1 ? n2 ? 2代入 DZ 中，得 2? 4 (DZ)min= . n1 ? n2 ? 2 注：在(*)式中用到 D(S )＝ 因为2n ?12? 4 这一结论. n ?1?2S2 ?1?2i ?12 2 ? ( X i ? X ) ～ x (n ? 1) .n? ?n 1? 2 ，而 χ (n)＝Γ ? ， ? ， ?2 ?2 2? 2 故 χ (n)的方差等于 2n，于是已知 Γ (α ，β )的方差等于? n ?1 ? D? 2 S 2 ? ? 2(n ? 1) ， ? ? ?? 2? 4 ? D( S 2 ) ? ? ? n ?1? ?. ? ?习 题 六 2 2 5.由经验知某味精厂袋装味精的重量 X～N(μ ，σ )，其中 μ ＝15，σ ＝0.05，技术革新后，改用机器包装， 抽查 8 个样品，测得重量为(单位:克)：14.7 15.1 14. 8 15 15.3 14.9 15.2 14.6. 已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为 15？(显著水平 α ＝0.05) 解 待检验的假设是 H0 : μ ＝15. 取统计量 X ? 15 U＝ ，在 H0 成立时，U～N(0，1).?n 查表知 P｛｜U｜≥1.96｝＝0.05. 根据样本值计算得 X ＝14.95， 14.95 ? 15 U0 ? ? ?0. 8 因｜U0｜＝0. 故 H0 相容，即不能否认机器包装的平均重量仍为 15. 2 6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 N(4.550，0.108 )，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为 4.484， 如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.550(α ＝0.05)？ 解 待检验的假设是 H0 : μ ＝4.550. 因 X ＝4.484，故 ｜U0｜＝X ? 4.550 ? 1.833 . 0.1089 在 H0 成立条件下，U～N(0，1)，查表知25P{｜U｜＞1.96}＝0.05. 而｜U0｜＝1.833＜1.96，故 H0 相容，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.550. 7．在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽测 6 块，其抗断强度为：32.66 30.06 31. 64 30.22 31.87 2 2 31.05 公斤/厘米 .设砖的抗断强度 X～N(μ ，1.1 ).问能否认为这批砖的抗断强度是 32.50 公斤/厘米 2 (α ＝0.01)？ 解 待检验的假设是 H0 : μ ＝32.5 在 H0 成立条件下 X ? 32.5 统计量 U ? ～N(0，1)，?n 查表知 P{｜U｜＞2.58}＝0.01. 由样本值算得 X ＝31.25｜U0｜＝31.25 ? 32.5 ? 2.78 ＞2.58. 1.16 2 故否定 H0，即不能认为这批砖的抗断强度为 32.50 公斤/厘米 . 2 2 8．某厂生产的钢筋断裂强度 X～N(μ ，σ )，σ ＝35(公斤/厘米 )，今从现在生产的一批钢筋中抽测 9 个 2 样本，得到的样本均值 X 较以往的均值 μ 大 17(公斤/厘米 ).设总体方差不变，问能否认为这批钢筋 的强度有明显提高(α ＝0.05，α ＝0.1)？ 解 待检验的假设是 H0 : μ ≤μ 0. 取统计量 X ? ?0 ， U??n由题设知X -μ 0＝17，U＝17 35 9? 1.457查表得 P{U＞1.64}＝0.05， 故 α ＝0.05 时，H0 相容，即在 α ＝0.05 水平下不能认为这批钢筋的强度有明显提高. 当 α ＝0.1 时，查表得 P{U＞1.29}＝0.1， U＝1.457＞1.25， 故应否定 H0，即在 α ＝0.1 水平下可以认为这批钢筋的强度有明显提高. 9．某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是 1120 小时，现从一批新生产的灯泡中抽取 8 个样本，测得其平均寿命 2 2 2 为 1070 小时，(样本方差 S ＝109 (小时 )，试检验灯泡的平均寿命有无变化(α ＝0.05 和 α ＝0.01)？ 解 待检验的假设是 H0 : μ ＝1120. 取统计量 X ? 1120 T＝ ，在 H0 成立条件下，T～t(n-1). Sn 由样本值 X ＝1070，S＝109， 1070 - 1120 得 T0＝ ＝1. 297. 109826当 α ＝0.05 时，查 t 分布临界值表，得 t0.05(7)＝2.365， 因｜T0｜＝1.297＜2.365， 故 H0 相容，即在 α ＝0.05 水平下不能认为平均寿命有显著变化. 当 α ＝0.01 时，查 t 分布临界值表， t0.01(7)＝3.499， ｜T0｜＝1.297＜3.499. 故 H0 相容，即在 α ＝0.01 水平下不能认为灯泡的平均寿命有显著变化. 10． 正常人的脉博平均为 72 次/分， 今对某种疾病患者 10 人， 测其脉博为 54 68 65 77 70 64 69 72 62 71(次/分).设患者的脉博次数 X 服从正态分布，试在显著水平 α ＝0.05 下，检验患者的脉博与正常 人的脉博有无差异？ 解 待检验的假设是 H0 : μ ＝72(σ 未知). 取统计最T＝X ? 72 ，当 H0 成立时，T～t(n-1). Sn 由样本值算得 X ＝67.2， 1 n 2 S2 ? ? ( X i ? X ) ? 40.178， n ? 1 i ?1故 ｜T0｜＝67.2 - 72 ? 2.3947 . 6.3410 α ＝0.05 时，查 t 分布临界值表得 t0.05(9)＝2.262， 而｜T0｜＝2.. 故否定 H0，即在显著水平 α ＝0.05 下，患者的脉博与正常人的脉博有显著差异. 11．过去某工厂向 A 公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为 49.1 日，现改为向 B 公司订购 原料，随机抽取向 B 公司订的 8 次货，交货天数为： 46 38 40 39 52 35 48 44 问 B 公司交货日期是否较 A 公司为短(α ＝0.05)？ 解 待检验的假设是 H0 : μ ≥49.1. 使用统计量 X ? 49.1 T＝ ， Sn α ＝0.05，自由度为 7，查 t 分布临界值表 t0.1(7)＝1.895， 故 H0 在检验水平 α ＝0.05 的否定域为 ? ? ? ? X ? 49 . 1 ? ? V ?? ＜ - 1.895? . S ? ? ? ? 8 ? ?由样本值算得 X ＝42.75，S ＝32.7832， 因此 S＝5. ? 49.1 = -3.137＜-1.895， T0 ? 5.72578227所以应否定 H0，即可以认为 B 公司交货日期显著比 A 公司要短. 12．用一台自动包装机包装葡萄糖，规定标准每袋净重 500 克.假定在正常情况下，糖的净重服从正态分 布.根据长期资料表明， 标准差为 15 克.现从某一班的产品中随机取出 9 袋， 测得重量为： 497 506 518 511 524 510 488 515 512. 问包装机工作是否正常：(1)标准差有无变化？(2)平均重量是否符 合规定标准？(α ＝0.05) 解 待检验的假设是 2 (1)H0 : σ ＝152， (2)H0 : μ ＝500. 2 2 (1)H0 : σ ＝15 选取统计量? i ?1 . ? 02 ? 02 2 当 H0 成立时，W～χ (n-1). 2 α ＝0.05，查 χ 分布临界值表得临界值 λ 1＝2.18，λ 2＝17.535， 由样本值得 X ＝509，i ?1W?(n ? 1) S22 ?(Xi ? X )n? ( X i ? X ) 2 ? 950 ，n950 ? 4.2 . 152 由于 2.18＝λ 1＜W0＜λ 2＝17.535. 故 H0 相容，即不能认为标准有显著变化. (2)H0 : μ ＝500 选取统计量 X ? 500 U? ? 1.8 ，当 H0 成立，U～N(0，1). 15W0＝9 查表 P{｜U｜＞1.96}＝0.05， U＝1.8＜1.96. 所以 H0 相容. 13．某种罐头在正常情况下，按规格平均净重 379 克，标准差为 11 克，现在抽查十盒，测得如下数据 370.74 372.80 386.43 398.14 369.21 381.67 367.90 371.93 386.22 393.08(克) 试根据抽样结果，说明平均净重和标准差是否符合规格要求(提示：检验 H0 : μ ＝379，H0 : σ ≤11， α ＝0.05). 2 解 设 X 为罐头净重，X～N(μ ，σ ). 检验假设(1)H0 : μ ＝379. (2)H0 : σ ≤11. (1)H0 : μ ＝379 取统计量 X ? 379 ，在成立时，T～t(9) T? S 10 查表得 t0.05(9)＝2.262， 2 计算 X ＝379.81，S ＝116.49｜T0｜＝379.81 ? 379 ? 0.2374 ＜2.262 10.7910 故 H0 相容，即不能认为平均重量不符合要求. (2)H0 : σ ≤1128取统计量? 2 对于 α ＝0.05，自由度为 9，查 χ 分布临界值表得 W 的临界值 λ ＝16.919. 由于 W＝8.663＜16.919， 故 H0 相容，即标准差符合规格要求. 14．为校正试用的普通天平，把在该天平上称量为 100 克的 10 个试样在计量标准天平上进行称量，得如 下结果： 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布.问普通天平称量结果与标准天平有无显著差异(α ＝0.05)？ 2 解 设称量结果为 X，则 X～N(μ ，σ )，待检验假设 H0 : μ ＝100 取统计量 X ? 100 . H0 成立，T～t(9). T? S2 0W?( n ? 1) S 2H0 成立 χ 2(9).10 查 t 分布临界值表得 t0.05(9)＝2.262， 计算得 X ＝99.9，S＝1.169，故｜T0｜＝99.9 ? 100 =0.， 1.169 10故 H0 相容，即不能认为普通天平称量结果与标准天平有显著差异。 15．某牌香烟生产者自称其尼古丁的含量方差为 2.3，现随机抽取 8 支，得样本标准差为 2.4，问能否同 意生产者的自称？α ＝0.05，假定香烟中尼古丁含量服从正态分布. 解 因香烟中尼古丁含量 X～N(N，σ )待检验假设为2H0 : σ 2≤2.3取统计量W? (n ? 1) S 2 ? 7 ? 2 .4 2 ? 17.53 ， 2 .32 0.05?2 0α ＝0.05，查表得 χ(7)＝14.067.因 W＝17.53＞14.067. 从而应否定 H0，即不能同意生产者的自称. 16．加工某一机器零件，根据其精度要求，标准差不得超过 0.9，现从该产品中抽测 19 个样本，得样本标 准差 S＝1.2，当 α ＝0.05 时，可否认为标准差变大？ 解 待检验假设H0 : σ 2≤0.92.取统计量 (n - 1)S2 18 ? 1.44 ? ? 32 . W＝ ? 02 0.81 2 2 查 χ 临界值表得 χ 0.05(18)＝28.869. 因 W＝32＞28.869， 所以应否定 H0，即可以认为标准差变大. 17．测得 A、B 两批电子器件的样本的电阻为(单位：欧姆)：A. 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.13729B. 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设 A、B 两批器件的电阻分别服从 N(μ 1，σ 的正态分布？ 解 待检验的假设为 (1)H0 : σ (1)H0 : σ2 1 2 1 2 1)，N(μ 2，σ2 2)，试问，能否认为 A，B 两总体服从相同＝σ2 22 2，(2)H0 : μ 1＝μ2＝σ在 H0 成立下，统计量 S2 F＝ 12 ～F(5，5). S2 取 α ＝0.05，查 F 分布分位数表得 1 ? ? P ? F＜ ? ＝0.025， 7.15 ? ? P ?F＞7.15? ＝0.025，2 由样本值得 X ＝0.1407， S X ＝7.87× 10 ?6 ，2 Y ＝0.1385， SY ＝7.1× 10 ?6 ，F0＝由于2 SX ? 1.108 . S Y21 ＜1.108＝F0＜7.15， 7.15 故 H0 相容，不能认为两总体方差不同. (2)H0 : μ 1＝μ 2 取统计量 X ?Y T? ～t(10). 1 1 SW ? n1 n2查表得 t0.05(10)＝2.228. 又 n1＝n2＝6， X ＝0.1407， Y ＝0.1385， 2 Sw ? 7.485?10?6 . T0＝1.393. 由于 T0＝1.393＜2.228， 故 H0 相容，即不能认为两总体均值不同，综上所述，不能否认 A、B 两总体服从相同的正态分布. 18．从城市的某区中抽取 16 名学生测其智商，平均值为 107，样本标准差为 10，而从该城市的另一区抽 取的 16 名学生的智商平均值为 112，样本标准差为 8，试问在显著水平 α ＝0.05 下，这两组学生智商有无差异？ 解 待检验假设 2 (1)H0 : σ 1 ＝σ2 1 2 2 2 2；(2)H0 : μ 1＝μ 2.(1)H0 : σ ＝σ 在 H0 成立条件下， 统计量 S2 F＝ 12 ～F(n1-1，n2-1). S210 2 ＝1.5625. 82 当 α ＝0.05 时，查 F 分布临界值，得 F? (15，15)＝2.86F0＝230由于 所以 H0 相容1 ＜1.. 2.86(2)H0 : μ 1＝μ 2 2 由于 σ 1 ＝σ 2 2 ，在 H0 成立条件下， 统计量 X ?Y T? ～t(n1+n2-2). 1 1 SW ? n1 n2 α ＝0.05，查 t 分部分位数表得 t0.05(30)＝2.042. 计算 107 ? 112 T0 ? ? ?1.562 . 2 15(10 ? 82 ) 1 1 ? ? 30 16 16 由于｜T0｜＝1.562＜2.042， 所以 H0 相容，即不能认为两组学生的智商有差异. 2 19．用老工艺生产的机械零件方差较大，抽查了 25 个，得 S 1＝6.47，现改用新工艺生产，抽查 25 个零件， 得 S2 2 ＝3.19，设两种生产过程皆服从正态分布，问新工艺的精度是否比老工艺显著地好？(α ＝0.05) 2 解 设 X、Y 分别表示旧、新工艺的精度，则 X～N(μ 1，σ 1)，Y～N(μ 2，σ 2 2 ). 待检验假设H0 : σ 12 ≤σ 2 2.取统计量 S2 F＝ 12 ＝2.028 S2 当 α ＝0.05 时，查 F 分布临界值表得F0.05(24，24)＝1.98，由于 F＝2.028＞1.98. 故否定 H0，即新工艺的精度比老工艺的精度显著地好. 20．为比较甲、乙两种安眠药的疗效，将 20 名患者分成两组，每组 10 人，如服药后延长的睡眠时间分别 近似服从正态分布，其数据如表所示a甲 乙 1.9 0.7b0.8 -1.6c1.1 -0.2d0.1 -1.2e-0.1 -0.1f4.4 3.4g5.5 3.7h1.6 0.8i4.6 0j3.4 2.0问在显著水平 α ＝0.05 下，两种安眠药的疗效有无显著差异？ 解 此题需先检验方差再检验期望，设甲组服药延长的睡眠时间 X～N(μ 1，σ2 2 2 1)，乙组服药后延长的睡眠时间 Y～N(μ 2，σ).2 1待检验的假设是 (1)H0 : σ (1)H0 : σ2 1＝σ2 2，(2)H0 : μ 1＝μ 2. ＝σ2 2选取统计量 S2 F＝ 12 .在 H0 成立时，F～F(n1-1，n2-1). S231由 n1＝n2＝10，计算 X ＝2.33， Y ＝0.75， S12 ＝4.0092 2 ＝3.20， S w ＝3.605， SW ＝1.899. S2 4.009 从而 F0＝ ＝1.25 3 .2 在 α ＝0.05 时，查 F 临界值表，得 F0.025(9，9)＝4.03， 1 由于 ＜1.25＜4.03. 4.03故 H0 相容. (2)H0 : μ 1＝μ 选取统计量T? SW X ?Y 1 1 ? n1 n 22.在 H0 成立时，T～t(n1+n2-2). 查 α ＝0.05，自由度为 18 的 t 分布临界值，得 t0.05(18)＝2.101. 2.33 ? 0.75 T0 ? ? 1.86 . 1 1 1.899 ? 10 10 由于｜T｜＝1.86＜2.101，故 H0 相容，即不能认为两种安眠药有显著差异. 21．10 名失眠患者，服用甲、乙两种安眠药，延长的睡眠时间数据同 20 题，可以认为服从安眠药增加的 睡眠时间服从正态分布，问两种安眠药的疗效有无显著差异(α ＝0.05)，(注意，这里是成对数据). 解 设服用甲种安眠药后增加的睡眠时间为 X， 服用乙种安眠药后增加的睡眠时间为 Y， 令 Z＝X-Y， 则 Z～N(μ ，σ 2)待检验假设 H0 : μ ＝0. 取统计量 Z T＝ . S n 当 H0 成立时，T～t(9). 查 t 分布临界值表得 t0.05(9)＝2.262. 1 10 由样本值计算 Z ＝ ? ( X i ? Yi ) ＝1.58 10 i ?1 S＝1.23 1.58 T0＝ ＝4.06＞2.262， 1.23 10 故否定 H0，即两种安眠药的疗效有显著差异. 22.取 9 份马铃薯的块茎，将每份块茎分成两半，分别用两种不同方法测定其淀粉含量，每对测定结果的 差值如下： 0.2 0.0 0.2 0.3 -0.3 0.2 0.0 -0.1 0.1 问分析结果是否说明两种测定方法有显著差异(α ＝0.05)? 解 待检验的假设 H0 : μ ＝0 取统计量T＝Z ，当 H0 成立时，T～t(n-1). S n32查表知 t0.05(8)=2.306， 由样本值计算得 Z ＝0.0667，S＝0.187， 0.0667 ｜T0｜＝ 0.187 ＝1.07＜2.306. 9 故 H0 相容，即分析结果说明不能认为两种测定方法有显著差异. 23.检验了 26 匹马， 测得每 100 毫升的血清中， 所含的无机磷平均为 3.29 毫升， 样本标准差为 0.27 毫升， 又检验了 18 头羊，100 毫升的血清中含无机磷平均为 3.96 毫升，标准差为 0.40 毫升，试以 0.05 的显 著水平检验马与羊的血清中含无机磷的量是否有显著性差异? 2 解 设 X，Y 分别为马与羊 100 毫升血清中的无机磷含量.则 X～N(μ 1, σ 1 )，Y～N(μ 2, σ 2 2 ). 2 2 待检验假设为 (1)H0 : σ 1 ＝σ 2 ， (2)H0 : μ 1＝μ 2. 2 2 (1)H0 : σ 1 ＝σ 2 取统计量 S2 F＝ 12 ～F(25，17)(在 H0 成立条件下). S21 ? ? 由 α ＝0.05，查表得 P ?F＜ ? ＝0.025， 2.41? ? P{F＞2.56}＝0.025. 由样本值知 S1＝0.27，S2＝0.4. 0.27 2 故 F0＝ ＝0. 2 1 因为 ＝0.4149＜F0＜2.56， 2.41 2 从而 H0 相容，即不能否定 σ 1 ＝σ 2 2. (2)H0 : μ 1＝μ 2 取统计量 X ?Y T? . 1 1 SW ? n1 n2由样本值知 X =3.29， Y ＝3.96， S1＝0.27，S2＝0.4，n1=26，n2＝18. 2 经计算得 Sw ＝0.108，Sw＝0.329， ｜T0｜＝故＝6.64. 1 1 0.329 ? 26 18 查表得 t0.05(32)≈2.042. ｜T0｜＝6.64＞2.042. 故否定 H0，即马与羊的血清中无机磷的含量有显著性差异. 24.在 100 次试验中，事件 A 出现了 13 次,试检验假设:事件 A 出现的概率等于 0.15. 解 待验假设分别为 H0 : p=0.15，H1 : p≠0.15 ? n ? np0 ~ 13 ? 15 U? ? ? ?0.56 np0 (1 ? p0 ) 15 ? 0.85 取 α ＝0.05，查表得 U ? ＝1.96，~ 显然｜ U ｜＝0.56＜1.96， 故 H0 相容，即不能否认事件 A 出现的概率为 0.15.23.29 ? 3.963325.根据验收标准，一批产品不合格率 p 超过 2％，则拒收，不超过 2％，则接收，现随机抽验了 200 件， 发现 6 件不合格品，问这批产品应否接收(α ＝0.05)? 解 待检验的假设为 H0 : p≤0.02. 固样本 n=200 较大，p0 较小，故可用泊松分布近似二项分布，即 (np0 ) m ?np m m P{x ? m} ? C n p0 (1 ? p0 ) n?m ? e m! 其中 n=200，p0＝200×0.02＝4. ? 4m 由 ? e ?4 ≤0.05 m?c m! 查表可得满足该不等式的最小整数 C=8，故假设 H0 的否定域 V = {μ n≥8} = {8，9，…200}. 由于 μ n = 6＜8，故这批产品没有理由拒收. 26.在 25 题条件下，出现几件不合格品时，拒收这批产品? 解 由 25 题的解答知，出现多于或等于 8 件不合格品时，应拒收这批产品. 27.一种特殊药品的生产厂家声称， 这种药能在 8 小时内解除一种过敏的效率有 90％， 在有这种过敏的 200 人中，使用药品后，有 160 人在 8 小时内解除了过敏，试问生产厂家的说法是否真实(α = 0.01)? 解法一: 由题设知，8 小时内不能解除过敏的概率为 0.1，μ n=200-160 = 40，故待检验假设为 H0 : p≤ p0 = 0.1 因为 np0 = 20，α = 0.01，查表得0200m?33m m 200? m ? 0.＝α ? C200 (0.1) (0.9)而 μ n = 40＞33，故应否定 H0，即无效的概率大于 0.1，所以生产厂家的说法是不真实的. 解法二： 设该种药品的有效率为 p， 记 p0=0.9.问题可归结为假设 H0 : p≥0.9 (教材中表 6-6 情形 3)的检验. 以 μ n 表示 n 个服用该药品的患者中有效的人数.由于 n=200 较大，p0=0.9，可用正态分布逼近 μ n 的分布，使 用近似的 U 检验. ~ 对于 α = 0.01，查正态表，得 μ 0.01 =2.33.将 μ n =160，n =200，p0 = 0.9 代入统计量 U ，得 ? n ? np0 ~ 160 ? 200? 0.9 U? ? ? ?4.71 . np0 (1 ? p0 ) 200? 0.9 ? 0.1 ~ 由于 U = -4.71＜-2.33，所以应否定假设 H0，说明生产厂家的说明不真实. 28.从选区 A 中抽取 300 名选民的选票，从选区 B 抽取 200 名选民的选票，在这两组选票中，分别有 168 票和 96 票支持所提候选人，试在显著水平 α = 0.05 下，检验两个选区之间是否存在差异? 解 待检验假设为 H0 : p1= p2，H1 : p1≠ p2 由教材中表 6-7 中情形 1，取统计量 ?1 ? p ?2 p ~ U? ， ?1 1 ? ? (1 ? p ? )? ? ? p ?n m? 根据样本值 n =300，m = 200，μ n =160，μ m = 96. ? ? ?m 168 96 ?1 ? ?? n ?2 ? ，p ，p p ? 0.528 m?n 300 300 代入统计量中，得 168 96 ? ~ 300 300 U? ? 1.755 1 ? ? 1 0.528? 0.472? ? ? ? 300 200? 当 α =0.05，查正态表 U ? =1.96.234~ 由于 ｜ U ｜=1.755＜1.96. 从而 H0 相容，不能认为两个选区之间有显著差异. 29. 在某地抽查了 27 个家庭，其中有 6 家使用 H 牌洗衣粉，问 H 牌洗衣粉在该地占有率是否大于 1/6?(α =0.05) 解法一：问题归结为假设 H0 : p≤p0 =1/6 的检验(教材中表 6-3 情形 2). 由于样本容量 n = 27 为小样本， 所以用精确分布――二项分布进行计算.在 H0 成立时，在抽查的 27 个家庭中使用 H 牌洗衣粉的家庭数 μ n 服从参数为(n，p0)的二项分布，由于满足不等式27 m?1? ?5? ≤0.05 ? C27 ? ? ? ? m ?c ?6? ?6? 的最大整数 c = 9，可见假设 H0 在水平 α = 0.05 下的否定域为 V = {μ n≥9} = {9，10，…，27}. 由于 μ n = 6＜9，所以不能否定假设 H0，说明 H 牌洗衣粉在该地的占有率不大于 1/6. 1 解法二：以 p 表示 H 牌洗衣粉在该地的实际占有率，记 p0 = ，因 6 6 1 ?? ＞ ，所以选定待检验假设为 p 27 6 H0 : p≤ po，H1 : p＞p0. m 27? m根据教材中表 6-4 情形 2，选取统计量? 2 (1 ? p0 ) ，其中υ 1=2(n -μ u+1)，υ 2=2μ n ?1 p0 临界值为 F2(υ 1,υ 2). 将 n = 27，μ u = 6，υ 1 = 44，υ 2 = 12，代入统计量 F 中，得 ? 1? 12 ? ?1 ? ? 6? ? F0 ? ? 1.36 1 44 ? 6 查 F 分布临界值表 n1= 44，n2 = 12，α = 0.05，得 F? (44，12) = 2.43. 由于 F0=1.36＜2.43，故 H0 相容，即不能认为 H 牌洗衣粉在该地区占有率大于 1 6 . 30.某车床生产滚珠，随机抽取了 50 个产品，测得它们的直径为(单位：毫米)： 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 2 2 经过计算知道，样本均值 X =15.1，样本方差 S = (0.4325) .问滚珠直径是否服从正态分布 N(15.1， 2 0.4325 )? 解 这是总体分布的假设检验. 用 X 表示滚珠直径. 2 待检验的假设为 H0 : X～N(15.1，0.4325 ) 对数据进行分组，分成 7 组，在数轴上选取 6 个分点：14.3，14.6，14.9，15.2，15.5，15.8 将数轴分 成 7 个区间(-∞，14.3］ ，(14.3，14.6］…(15.8，+∞). 当 H0 成立时，列表如下：F=i pi npi vi1 0.032 1.6 32 0.091 4.55 53 4 5 6 7 0.2 0.268 0.233 0.124 0.053 10 13.4 11.65 6.2 2.63 10 16 8 6 235(npi-vi)21.960.20250 06.76 13.32 0.440.384(npi ? vi ) 2 npi71.225 0.04450.504 1.144 0.006 0.148(npi ? vi ) 2 ? 3.07 ， i ?1 npi 2 α = 0.05 时，查自由度为 4 的 χ 分布分位数表得 V 的临界值 λ 由于 V=3.07＜9.4988， V ??= 9.4988.故 H0 是相容的.即可以认为滚珠直径服从 N(15.1，0.4325 ). 31.在一正 20 面体的 20 个面上，分别标以数字 0，1，2，…，9，每个数字在两个面上标出.为检验其匀称 性，共作 800 次投掷试验，数字 0，1，…，9 朝正上方的次数如下： 数字 频数 0 74 1 92 2 83 3 79 4 80 5 73 6 77 7 75 8 76 9 912问：该正 20 面体是否匀称? 解 以 X 表示正 20 面体掷出(朝正上方)的数字，其可能值为 0，1，…，9.若此正 20 面是匀称的，则 1 P{X=i}= (i=0，1，…，9). 10 问题归结为假设 1 H0 : P{X=i} = (i= 0，1，…，9). 10 的检验，所用统计量为(见(6.9)式)： 2 2 9 (υ ? n 10) 9 (υ ? 80) V ?? i ?? i ? 5.125 . i ?0 i ?0 n 10 80 2 2 统计量 V 近似服从自由度为 υ =10-1= 9 的 χ 分布. 对于 a =0.05，查附表 5，χ 0.05,9 =16.919. 由于 V = 5.125＜16.919，所以不能否定假设 H0，从而可以认为该正 20 面体是匀称的. 习 题 七 1.令Ｘ＝x＋h，Y＝y＋k，h，k 为任意常数，试证明? ? n? X iYi ? (? X i )(? Yi ) b n ? X i2 ? (? X i ) 2 n ? xi y i ? ? x i ? y i ) = ，其中∑是 i 从１到 n 求和. n ? xi2 ? (? xi ) 2证n ? X i Yi ? ? ( X i )( ? Yi ) n ? X i2 ? (? X i ) 2 n? ( xi ? h)( yi ? k ) ? [? ( xi ? h)][( ? yi ? k )] = n? ( xi ? h) 2 ? [? ( xi ? h)]2 n ? ( xi yi ? xi k ? yi h ? hk ) ? (? xi ? hn)( ? yi ? nk )] = n ? ( xi ? h) 2 ? [? ( xi ? h)]2 n(? xi yi ? k ? xi ? h? yi ? nkh = n(? xi2 ? h? xi ? nh2 ) ? (? xi ? nh) 2-2 ? xi ? yi ? nk ? yi ? nk ? xi ? n hk n(? xi2 ? h? xi ? nh2 ) ? (? xi ? nh) 236= 又?xn ? xi yi ? ? xi ? yi n ? xi2 ? (? xi ) 2i? n x,?yi?n y ，所以又有n ? xi yi ? ? xi ? yi n ? xi2 ? (? xi ) 2n ? xi y i ? n 2 x y n ? xi2 ? n 2 x 2 ? x i y i ? nx y = 2 2 ? x i ? nx ?. =b=2.随机抽取某地区５个家庭的年收入与年储蓄（千元）资料： 年收入 X 年储蓄 Y 8 0.6 11 1.2 9 1.0 6 0.7 6 0.3?x ，并作散点图. ? ?b （１）求Ｙ 对 x 的回归方程 Y ? a ? ，截距 a ? 的意义. （２）解释斜率 b ??x . ? ?a ?? ? b （３）求消费 C 对收入 x 的回归直线 C ? 与b ? ? 的关系. （４）比较两回归直线的斜率 b解 （１）散点图如下图 7－1x ? 8, y ? 0.76,5l xx ? ? xi2 ? 5x 2 ? 18,i ?15l x y ? ? xi yi ? 5 x y ? 33 ? 30.4 ? 2.6 ,i ?1?? blx y lx x? 0.1444，? x ? ?0.395， ? ? y ?b a 所以回归方程为 y ＝-0.395+0.1444x.? ＝0.1444，说明当收入增加 ? 说明当收入 x 是零时，储蓄为负值，即不但没有储蓄，还要借贷. b （２） a 一个单位时，储蓄将增加 0.1444 个单位.（３）消费 C＝X－Y 年收入 X 年消费 C 8 7.4 11 9.8 9 8.0 6 5.3 6 5.7x ? 8, c ? 7.24, l xx ? 18 l x c ? 305? 289.6 ? 15.437? ? =0.8556， a ? ? =0.395 b ? ? 0.395 ? 0.8556X . 故 c ? =0.1444， b ? ? =0.8556. （４） b ??b ?? =1. b３.为确定广告费用与销售额的关系，现作一统计，得资料如下表： 广告费Ｘ 40 25 20 30 40 40 25 20 50 20 50 50 （万元） 销售费Ｙ 490 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540 （万元） （１）求销售额 Y 对广告费 x 的回归方程. （２）以显著水平 α ＝0.05 检验假设 H0 : b＝０. （３）求当广告费 x＝35 时，销售额的点预测与区间预测. 解 （１）n＝12， X = 34.1667 , Y = 462.0833， 2 2 2 ? xi =15650，lxx= ? xi -n x =1641.64? xi yi =196325 y = 6870.66 lxy= ? xi yi -n x 　 ? ? = 319.0863. b = 4.1853， a于是，Y 对 X 的经验回归方程 ? =319.3x. y （２）为检验假设 H0 : b＝０，需计算回归平方和Ｕ与残差平方和 Q ， ? lxy=28755.8. lyy = 2251.7 = 48673.3. U = bQ ＝lyy-Ｕ＝19917.5.Ｆ＝(n-2)U =14.437. Q当 α ＝0.05 Ｆ0.05(1，10) = 4.96 由于 Ｆ＝14.437＞4.96，故否定 H0，即可以认为回归效果显著.? = 465.572. （3）将Ｘ＝35 代入经验回归方程，当广告费为 35 万元时，销售额的预测值为 Y 预测区间S=1?Q 19917.5 ? ? 1991.75 ? 44.629 . n?2 101 (35 ? 34.167) 2 ? ? 1.041， 12
λ ＝2.228， 故广告费 x＝35 时的预测区间为 (465.57-44.629×1.041×2.228，465.57+44.629×1.041×2.228) = (362.06，569.08). 4. 某 进 修 班 有 学 员 150 人 ， 以 X 、 Y 分 别 表 示 期 中 与 期 末 成 绩 ， 已 知 各 统 计 量 x ? 65, y ? 72, l xx ? 36000 , l yy ? 24000 , l xy ? 15000 ，另有一学员期中缺考，期末得 57 分，试估计该学员期中考试成绩的 95％预测区间. 解 由题意可得： ? ? l x y ? 15000 ? 0.625， b l y y 24000 ?y ? 65 ? 72 ? 0.625 ? 20 ， ? ? X ?b a? ? 0.625y ? 20 . 所以 X 检验假设 H0 : b＝0. ? l ? 0.625?1， U= b xy38Q= l y y ?U ? 2? 14625， F=(n ? 2)U ? 94.87 ， Q由于Ｆ值较大，可见回归效果显著. 将 y＝57 代入方程得 x＝55.625. ? l ? 0.625? 1， U = b xyQ = lxx-U = = 26625， S=Q ? 13.458 ， 1471 (72 ? 57) 2 ? ? 1.008 ， 149 24000 λ ＝1.960. 所以预测区间为 (55.6-13.458×1.008×1.96，55.6+13.458×1.008×1.96)≈(29，83). 1?5.在服装标准的制定过程中， 调查了很多人的身材， 得到一系列服装各部位的尺寸与身高、 胸围等的关系， 下面是一组女青年总体高 x 与裤长 y 的数据表：i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x168 162 160 160 156 157 162 159 168 159y107 103 103 102 100 100 102 101 107 100i11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x158 156 165 153 166 162 150 152 156 159y100 99 105 101 105 105 97 98 101 103i21 22 23 24 25 26 27 28 29 30x156 164 168 165 162 158 157 172 147 155y99 107 108 106 103 101 101 110 95 99（1）求裤长 y 对总体高 x 的回归方程； （2）检验回归方程的显著性. 解 (1) x =159.9， y ? 102.27 ，l xx ? ? ( xi ? x ) 2 ? 908.7 ，il yy ? ? ( yi ? y ) 2 ? 357.41 ，il xy ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) 2 ? 550.81.i?? bl xy l xx?550.81 ? 0.606 . 908.7故 (2)提出待检验假设 H0 : b＝0. 当 α ＝0.05 时，自由度为(1，28)，查Ｆ表得 λ ＝4.20. l 550.81 R= xy ? ? 0.9665 . l xx l yy 908.7 ? 357.41?x ? 102.3 ? 0.606 ? 159.9 ? 5.40 . ? ? y ?b a ? ? 5.40 ? 0.606x . yR2 0.96652 ? 28 ? ? 397.07 . 2 1? R 1 ? 0.96652 因为Ｆ＝397.07＞4.20，所以身高与裤长有显著的线性相关关系.F= (n ? 2)6.某商品需求量 Y 与价格 X 的统计资料由下表给出：39需求量 Y 价格 X543 580 618 695 724 812 887 991
54 50 43 38 36 28 23 19 10试求需求函数方程（需求函数可用价格的幂函数表示）. 解 需求函数，指某一时间商品和劳务的需求量与影响其需求数量的诸因素之间的对应关系，以 Y 表示需 求量，以 X1，X2，…表示诸影响因素，则需求函数可表示为Y= f (X1，X2，…）.实际中，常考虑需求量与价格 X 的关系，假定影响需求量的其他因素保持不变，这时，需求函数可以表示 为Y= f (X).由所给数据可见，随机价格的上扬需求量有迅速下降的趋势.我们试用幂函数Y= aXb来描绘需求量 Y 与价格的关系，经变换Z＝lnY＝lna -blnX，可将其化为线性关系Z=α +β t，其中 Z＝lnY，α ＝lna，β ＝-b，t＝lnX. 则，题意的数据转化为Z 6.297 6..544 6.585 6.7 6.788 6.899 7.078 7.57 t 4.111 3..761 3.638 3.584 3.332 3.135 2.944 2.3026于是t ? 3.471 ， z = 6.725，lt t = 2.7711，lt z = -1.9126， lz z=1.330.? ? ?? ? ? ?0.6902, b ? ? 0.6902. ?? ? ? 9.1206, a ? ? ea ? ? .于是，得经验需求方程? ? X ?0.6902 y ? 与 Y 作比较： 我们将 YY? Y543 536580 583618 614695 682724 742812 771887991 917 86可见效果较好.
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