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计算机视觉（8）
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计算机视觉的基本任务之一是从摄像机获取的图像信息出发计算三维空间中物
体的几何信息，并由此重建和识别物体，而空间物体表面某点的三维几何位置与其
在图像中对应点之间的相互关系是由摄像机成像的几何模型决定的，这些几何模型
参数就是摄像机参数。在大多数条件下，这些参数必须通过实验与计算才能得到，
这个过程被称为摄像机定标(或称为标定)。标定过程就是确定摄像机的几何和光学
参数，摄像机相对于世界坐标系的方位。标定精度的大小，直接影响着计算机视觉
（机器视觉）的精度。迄今为止，对于摄像机标定问题已提出了很多方法，摄像机
标定的理论问题已得到较好的解决，对摄像机标定的研究来说，当前的研究工作应
该集中在如何针对具体的实际应用问题，采用特定的简便、实用、快速、准确的标
二、 摄像机标定分类
1 根据是否需要标定参照物来看，可分为传统的摄像机标定方法和摄像机自标定方法。
传统的摄像机标定是在一定的摄像机模型下，基于特定的实验条件，如形状、尺寸已知的
标定物，经过对其进行图像处理，利用一系列数学变换和计算方法，求取摄像机模型的内部参
数和外部参数（分为最优化算法的标定方法、利用摄像机透视变换矩阵的标定方法、进一步考
虑畸变补偿的两步法和采用更为合理的摄像机模型的双平面标定法）；
不依赖于标定参照物的摄像机标定方法，仅利用摄像机在运动过程中周围环境的图像与图
像之间的对应关系对摄像机进行的标定称为摄像机自标定方法，它又分为：基于自动视觉的摄
像机自标定技术（基于平移运动的自标定技术和基于旋转运动的自标定技术）、利用本质矩阵和
基本矩阵的自标定技术、利用多幅图像之间的直线对应关系的摄像机自标定方以及利用灭点和
通过弱透视投影或平行透视投影进行摄像机标定等。自标定方法非常地灵活,但它并不是很成
熟。因为未知参数太多,很难得到稳定的结果。
一般来说，当应用场合所要求的精度很高且摄像机的参数不经常变化时，传统标定方法为
首选。而自标定方法主要应用于精度要求不高的场合，如通讯、虚拟现实等。
2 从所用模型不同来分有线性和非线性。
所谓摄像机的线性模型，是指经典的小孔模型。成像过程不服从小孔模型的称为摄像机的
非线性模型。线性模型摄像机标定, 用线性方程求解，简单快速，已成为计算机视觉领域的研
究热点之一，目前已有大量研究成果。但线性模型不考虑镜头畸变，准确性欠佳；对于非线性
模型摄像机标定，考虑了畸变参数，引入了非线性优化，但方法较繁，速度慢，对初值选择和
噪声比较敏感，而且非线性搜索并不能保证参数收敛到全局最优解。
3 从视觉系统所用的摄像机个数不同分为单摄像机和多摄像机
在双目立体视觉中，还要确定两个摄像机之间的相对位置和方向。
4 从求解参数的结果来分有显式和隐式。
隐参数定标是以一个转换矩阵表示空间物点与二维像点的对应关系，并以转换矩阵元素作
为定标参数，由于这些参数没有具体的物理意义，所以称为隐参数定标。在精度要求不高的情
况下，因为只需要求解线性方程，此可以获得较高的效率。比较典型的是直接线性定标(DLT)。
DLT 定标以最基本的针孔成像模型为研究对象，忽略具体的中间成像过程，用一个3×4 阶矩阵
表示空间物点与二维像点的直接对应关系。为了提高定标精度，就需要通过精确分析摄像机成
像的中间过程，构造精密的几何模型，设置具有物理意义的参数(一般包括镜头畸变参数、图像
中心偏差、帧存扫描水平比例因子和有效焦距偏差)，然后确定这些未知参数，实现摄像机的显
参数定标。
5 从解题方法来分有解析法、神经网络法和遗传算法。
空间点与其图像对应点之间是一种复杂的非线性关系。用图像中的像元位置难以准确计算
实际空间点间的实际尺寸。企图用一种线性方法来找到这种对应关系几乎是不可能的。解析方
法是用足够多的点的世界坐标和相应的图像坐标，通过解析公式来确定摄像机的内参数、外参
数以及畸变参数，然后根据得到的内外参数及畸变系数，再将图像中的点通过几何关系得到空
间点的世界坐标。解析方法不能不能囊括上述的所有非线性因素，只能选择几种主要的畸变，
而忽略其它不确定因素。神经网络法能够以任意的精度逼近任何非线性关系，跳过求取各参数
的繁琐过程，利用图像坐标点和相应的空间点作为输入输出样本集进行训练，使网络实现给定
的输入输出映射关系，对于不是样本集中的图像坐标点也能得到合适的空间点的世界坐标。
6 根据标定块的不同有立体和平面之分。
定标通过拍摄一个事先已经确定了三维几何形状的物体来进行，也就是在一定的摄像机模
型下，基于特定的实验条件如形状、尺寸已知的定标参照物(标定物)，经过对其图像进行处理，
利用一系列数学变换和计算方法，求取摄像机模型的内部参数和外部参数。这种定标方法的精
度很高。用于定标的物体一般是由两到三个相互正交的平面组成。但这些方法需要昂贵的标定
设备，而且事前要精确地设置。平面模板(作为标定物)，对于每个视点获得图像,提取图像上的
网格角点，平面模板与图像间的网格角点对应关系，确定了单应性矩阵(Homography)，平面模
板可以用硬纸板，上面张贴激光打印机打印的棋盘格。模板图案常采用矩形和二次曲线（圆和
7 从定标步骤来看，可以分为两步法、三步法、四步法等；
8 从内部参数是否可变的角度来看，可以分为可变内部参数的定标和不可变内部参
数的定标；
9 从摄像机运动方式上看，定标可以分为非限定运动方式的摄像机定标和限定运动
方式的摄像机定标，后者根据摄像机的运动形式不同又可以纯旋转的定标方式、正
交平移运动的定标方式等。
不管怎样分类，定标的最终目的是要从图像点中求出物体的待识别参数，即摄
像机内外参数或者投影矩阵。然而，不同应用领域的问题对摄像机定标的精度要求
也不同，也就要求应使用不同的定标方法来确定摄像机的参数。例如，在物体识别
应用系统中和视觉精密测量中，物体特征的相对位置必须要精确计算，而其绝对位
置的定标就不要求特别高；而在自主车辆导航系统中，机器人的空间位置的绝对坐
标就要高精度测量，并且工作空间中障碍物的位置也要高度测量，这样才能安全导
三、 摄像机成像模型
在计算机视觉中，利用所拍摄的图像来计算出三维空间中被测物体几何参数。
图像是空间物体通过成像系统在像平面上的反映，即空间物体在像平面上的投影。
图像上每一个像素点的灰度反映了空间物体表面某点的反射光的强度，而该点在图
像上的位置则与空间物体表面对应点的几何位置有关。这些位置的相互关系，由摄
像机成像系统的几何投影模型所决定。计算机视觉研究中，三维空间中的物体到像
平面的投影关系即为成像模型，理想的投影成像模型是光学中的中心投影，也称为
针孔模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个针孔而投影到像平面上，即
满足光的直线传播条件。针孔模型主要有光心（投影中心）、成像面和光轴组成。
小孔成像由于透光量太小，因此需要很长的曝光时间，并且很难得到清晰的图像。
实际摄像系统通常都由透镜或者透镜组组成。两种模型具有相同的成像关系，即像
点是物点和光心的连线与图像平面的交点。因此，可以用针孔模型作为摄像机成像
当然，由于透镜设计的复杂性和工艺水平等因素的影响，实际透镜城乡系统不
可能严格满足针孔模型，产生所谓的镜头畸变，常见的如径向畸变、切向畸变、薄
棱镜畸变等，因而在远离图像中心处会有较大的畸变，在精密视觉测量等应用方面，
应该尽量采用非线性模型来描述成像关系。
四、 常用坐标系及其关系
计算机视觉常用坐标系采用右手准则来定义，图1 表示了三个不同层次的坐标
系统：世界坐标系、摄像机坐标系和图像坐标系（图像像素坐标系和图像物理坐标
1 世界坐标系：
也称真实或现实世界坐标系,它是客观世界的绝对坐标。一般的3Ｄ场景都用这
个坐标系来表示。
1 三个层次的坐标系统
（1）世界坐标系（xw,yw,zw）：也称真实或现实世界坐标系，或全局坐标系。它
是客观世界的绝对坐标，由用户任意定义的三维空间坐标系。一般的3Ｄ场景都用
这个坐标系来表示。
（2）摄像机坐标系(xoy)：以小孔摄像机模型的聚焦中心为原点，以摄像机光轴为
zc 轴建立的三维直角坐标系。x，y 一般与图像物理坐标系的xf,yf 平行，且采取前
投影模型。
（3）图像坐标系，分为图像像素坐标系和图像物理坐标系两种：
图像物理坐标系：其原点为透镜光轴与成像平面的交点，X 与Y 轴分别平行于
摄像机坐标系的x 与y 轴，是平面直角坐标系，单位为毫米。
图像像素坐标系[计算机图像（帧存）坐标系]：固定在图像上的以像素为单位
的平面直角坐标系，其原点位于图像左上角, xf,yf 平行于图像物理坐标系的X 和Y
轴。对于数字图像，分别为行列方向。
2 坐标系变换关系
定义了上述各种空间坐标系后，就可以建立两两不同坐标变换之间的关系。
（1） 世界坐标系与摄像机坐标系变换关系
世界坐标系中的点到摄像机坐标系的变换可由一个正交变换矩阵R 和一个平移
变换矩阵T 表示为：
正交旋转矩阵实际上只含有3 个独立变量，再加上x y z t ,t ,和t ，总工有6 个参数决定
了摄像机光轴在世界坐标系中空间位置，因此这六个参数称为摄像机外部参数。
（2） 图像坐标系与摄像机坐标系变换关系
如图 1 所示，摄像机坐标系中的物点P 在图像物理坐标系中像点u P 坐标为
上式就是摄影测量学中最基本的共线方程。说明物点、光心和像点这三点必须
在同意条直线上。这是针孔模型或者中心投影的数学表达式。根据共线方程，在摄
像机内部参数确定的条件下，利用若干个已知的物点和相应的像点坐标，就可以求
解出摄像机的六个外部参数，即摄像机的光心坐标和光轴方位的信息。
3 摄像机镜头的畸变
由于摄像机光学系统并不是精确地按理想化的小孔成像原理工作，存在有透镜畸
变，物体点在摄像机成像面上实际所成的像与理想成像之间存在有光学畸变误差。
主要的畸变误差分为三类：径向畸变、偏心畸变和薄棱镜畸变。第一类只产生径向
位置的偏差，后两类则既产生径向偏差，又产生切向偏差，下图2 为无畸变理想图
像点位置与有畸变实际图像点位置之间的关系。
(1)径向变形(径向畸变) 光学镜头径向曲率的变化是引起径向变形的主要原因。这种
变形会引起图像点沿径向移动，离中心点越远，其变形量越大。正的径向变形量会
引起点向远离图像中心的方向移动，其比例系数增大；负的径向变形量会引起点向
靠近图像中心的方向移动，其比例系数减小。见下图3，数学模型如下
（2）偏心变形由于装配误差，组成光学系统的多个光学镜头的光轴不可能完全共
线，从而引起偏心变形，这种变形是由径向变形分量和切向变形分量共同构成，见
图4，其数学模型为：
参考知识库
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已经标定出摄像机内外参数,如何根据图像坐标求物体的世...
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新手, 积分 5, 距离下一级还需 45 积分
我已经使用Camera Calibration Toolbox for Matlab 标定出摄像机内外参数,如何根据图像坐标求物体的世界坐标？
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:):)只能签到一次
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楼主找到方法了吗 遇到了同样的问题 求指点。。。
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xiangzi125 发表于
楼主找到方法了吗 遇到了同样的问题 求指点。。。
同学，你会了吗？
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关注者： 1
艾小晴 发表于
同学，你会了吗？
之前看了些论文 都是讲的摄像机坐标系、图像坐标系与世界坐标系的关系 可以反推出来 最近在做相机标定这一部分 具体坐标还没分析呢 其实我是做智能车视觉定位这一块内容 具体思路还不太清晰:L
你是做什么的？
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xiangzi125 发表于
之前看了些论文 都是讲的摄像机坐标系、图像坐标系与世界坐标系的关系 可以反推出来 最近在做相机标定这 ...
嘻嘻，我是做三维重建的，也用到相机标定了，有机会多多交流哈
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关注者： 1
好啊 你做的怎么样了 ？ 我现在用标定工具箱可以标定出 但是误差很大 正在找原因呢:L
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艾小晴 发表于
嘻嘻，我是做三维重建的，也用到相机标定了，有机会多多交流哈
(*^__^*) 嘻嘻……我也是三维重建，最近在困惑怎样求世界坐标啊
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同求啊& & 知道像素坐标 怎么求世界坐标
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linjenky 发表于
(*^__^*) 嘻嘻……我也是三维重建，最近在困惑怎样求世界坐标啊
啊哈，咱俩进度差不多哦，多交流吧
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世界坐标系和相机坐标系,图像坐标系的关系
一、四个坐标系简介和转换
相机模型为以后一切标定算法的关键，只有这边有相当透彻的理解，对以后的标定算法才能有更好的理解。本人研究了好长时间，几乎每天都重复看几遍，最终才会明白其推导过程。
& & &我觉得首先我们要理解相机模型中的四个平面坐标系的关系：像素平面坐标系（u,v）、像平面坐标系（图像物理坐标第（x,y）、相机坐标系（Xc,Yc,Zc）和世界坐标系（Xw,Yw,Zw），在每一篇介绍相机模型的文章中都有介绍。
& & &我刚开始理解时，看着那一堆的公式十分的头晕，我相信很多初学者和我一样，但仔细想想，只不过是，我们假设了一些参数，使四个坐标系之间的坐标联系起来，这样我们就可以从拍摄的图片上一个点坐标一路反推出世界中的那个点的坐标，这样就达到了我们的目的，三维重建。而那些我们假设的参数，就是我们要标定的内外参数。
1、像素坐标与像平面坐标系之间的关系&
& & & 确定他们的关系之前，我们可以假设每一个像素在u轴和v轴方向上的物理尺寸为dx和dy。仔细看下他们的模型可以推出以下公式（这个还是比较好理解的）：
解释：1、dx,dy,u0,v0其实都是我们假设出来的参数，dxdy表示感光芯片上像素的实际大小，是连接像素坐标系和真实尺寸坐标系的，u0,v0是图像平面中心，最终是要我们求的内外参数。
得出这个公式后我们可以运用线性代数的知识把方程用矩阵形式表示：
当然我们也可以用另一种矩阵形式表示：
2、相机坐标系与世界坐标系之间的关系&
& & &这两个坐标系之间的关系我们可以旋转矩阵R和平移矩阵T来得到以下关系：
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 公式4
& &解释：1、 在这个公式中，R为3*3矩阵，T为3*1，0为（0，0，0），简化用Lw表示后为4*4矩阵。
3、成像投影关系（相机坐标系与像平面坐标系）&
& & &在相机模型中我们可以得到以下公式：
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &公式5
& & & & & &解释：1、
同样我们用矩阵形式表示：
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &&
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &公式6
4、得到公式
而我们可以将以上公式综合一下就可以得到：
因此，内参数矩阵可以表示为：
外参矩阵可以表示为：，由旋转矩阵R和平移向量T组成
当然在好多资料上都有这种做法：
上图中表示的情况是像素坐标系和图像物理坐标系的两个坐标轴不是平行的关系，像素坐标系的两个坐标轴也不是垂直90°的关系，而图像物理坐标系的两个坐标轴是垂直关系。所以，我们在转换两个坐标轴的坐标之间的关系时就必须考虑像素坐标系两个坐标轴之间的夹角了。就有了上面的不同的内参矩阵，理解了就好了。
二、图像坐标：我想和世界坐标谈谈(B)
& & & & &玉米将在这篇博文中，对图像坐标与世界坐标的这场对话中涉及的第二个问题：谈话方式，进行总结。世界坐标是怎样变换进摄像机，投影成图像坐标的呢？
& & & & 玉米做了一个简单的图示，在这里做一个提纲。图中显示，世界坐标系通过刚体变换到达摄像机坐标系，然后摄像机坐标系通过透视投影变换到达图像坐标系。可以看出，世界坐标与图像坐标的关系建立在刚体变换和透视投影变换的基础上。为了奖励刚体变和透视投影变换沟通了“世界上最远的距离”，玉米在图上奖励了他们两朵小红花。哈哈
&首先，让我们来看一下刚体变换是如何将世界坐标系与图像坐标系联系起来的吧。这里，先对刚体变换做一个介绍：
& & & & 刚体变换(regidbody motion):中，
当物体不发生形变时，对一个物体作，&的，称之为。
因为世界坐标系和摄像机坐标都是右手坐标系，所以其不会发生形变。我们想把世界坐标系下的坐标转换到摄像机坐标下的坐标，如下图所示，可以通过刚体变换的方式。空间中一个坐标系，总可以通过刚体变换转换到另外一个个坐标系的。转一转，走一走，就到另外一个坐标系下了。以前可能是面朝大海，经过平移旋转，最终可能只能面朝冰山了，哈哈
下面让我来看一下，二者之间刚体变化的数学表达。
其中，XC代表摄像机坐标系，X代表世界坐标系。R代表旋转，T代表平移。R、T与摄像机无关，所以称这两个参数为摄像机的外参数(extrinsic parameter)可以理解为两个坐标原点之间的距离，因其受x,y,z三个方向上的分量共同控制，所以其具有三个自由度。
& & & & &R则为分别绕XYZ三轴旋转的效果之和。如下面所示：
&R=r1*r2*r3.其由三个方向的θ控制，故具有三个自由度。
& & & & & &好了，刚体变换就讲完了。大家应该都了解，世界坐标系到摄像机坐标系之间的转换过程了吧。
& & & & & 接下来，让我们看看摄像机坐标下的坐标如何投影到图像坐标系下，最终变为照片中的一个像素。这其中包含两个过程：一是从摄像机坐标到“空间图像坐标”（x,y）所发生的透视投影；二是从“连续图像坐标”到“离散图像坐标”(u,v)。后者我们已经在第一篇博文中解释过。所以在这里，主要介绍一下透视投影。
& & & & &透视投影(perspective projection):&用中心投影法将形体投射到投影面上，从而获得的一种较为接近视觉效果的单面投影图。有一点像皮影戏。它符合人们心理习惯，即离视点近的物体大，离视点远的物体小，不平行于成像平面的平行线会相交于消隐点(vanish point)。
& & & & &啰嗦这么多，其实大家看看示意图，看看公式，秒懂。
&&以图中B(XB,YB)点为例，在小孔成像摄像机模型下（几何分析的最常用模型）。这里的f为摄像机的焦距，其属于摄像机的内参数(intrinsic
parameter)。其在成像平面上的投影点b(xb,yb)的坐标利用简单的相&#20284;三角形比例关系很容易求出：
上面两式也阐明了摄像机坐标与图像坐标之间的透视投影关系。
& & & & & & 好吧，现在玉米已经把图像坐标与世界坐标之间的这场对话所需经历的三个波折的过程加以了解释。即：刚体变换、透视投影、(x,y)换(u,v)（ps.这个在上一篇博文中讲过）。接下来玉米用一张图把三个过程连接起来。实现从世界坐标(X,Y,Z)到(u,v)之间的转换。让图像坐标与世界坐标直接对话。
& & & & &下图中的转换关系，都是用齐次坐标表达的，大家会发现这样的表达非常整洁。
& & & & &其实这张图显示的过程还有一个名字：摄像机模型(camera model)。其实也就是摄像机的几何模型了。
& & & & &将三者相乘，可以把这三个过程和在一起，写成一个矩阵：
P就是世界坐标到图像坐标的直接联系人，P就表示了一个投影相机，有下面公式：
注意在表示齐次坐标时，需要在符号上面加个小帽子。除去齐次坐标控制位P23，P具有11个自由度。
& & 摄像机模型及其中涉及的坐标系等，是弄清3D重建几何框架的基础。可以把它们视为基本运算关系。后面对于三维重建几何框架的推导，都是要用到三个基本坐标系和摄像机模型的。
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&&&& 1 引言
　　立体视觉系统的设计目标是从获取的图像信息出发, 计算三位空间物体的位置、形状等信息, 并由此识别环境中的物体。图像上每一点反映了空间物体表面某点反射光的强度,而该点在图像上的几何位置则与空间物体表面相应点的几何位置有关。这些位置的相互关系,由成像的几何模型所决定。该几何模型的参数称为摄像机参数,这些参数必须由实验与计算来确定,实验与计算的过程称为摄像机标定。
　　至今已经有许多摄像机标定的方法。如Tsai 提出的基于三维标定参照物的标定方法,标定参照物一般由两块互相垂直的平面模板组成,标定前需要知道参照物表面标定点的空间三维坐标,因而这种方法需要一套昂贵的精密标定设备。张正友提出了基于二维平面模板的标定方法 ,张氏标定法只要求从不同角度拍摄的同一标定平面(标定板)2 幅以上的图像,就可以求出摄像机的内外参数,由于该方法不需要知道平面模板移动的具体方位和位移信息, 而且平面模板的制作简单, 因此这种方法更简单、灵活。
　　本文采用的即为张正友的平板标定法。对于标定点阵列中心提取运用椭圆拟合获得;由于张正友平板标定法对模板和图像点的单应性要求, 本文还给出了简单易行的圆阵列排序方法, 从而给出了完整的摄像机标定方案。
　　2 标定原理
　　2.1 摄像机模型
　　摄像机模型的选择直接影响了最后的标定结果。
　　常用的模型忽略了的厚度和畸变的存在,因此不能很好的反映实际情况。本文算法中考虑了二阶径向畸变,比只引入一阶径向畸变的Tasi 模型和针孔模型更加真实地反映了透镜实际的畸变情况。在该模型中, 将空间点P 在世界坐标系中的坐标值(Xw ,Yw , Zw）变换为图像平面上像素坐标系中的坐标值(u,v) 的过程可分解为下述的4 步变换:
　　(1) 三维空间刚体变换:将世界坐标系中的坐标值Pw(Xw ,Yw , Zw）变换为摄像机坐标系中的坐标值Pc(Xc ,Yc ,Zc )。
　　式中: R ――一个3×3 的旋转矩阵;
　　t ――一个平移向量。
　　(2) 将坐标值Pc(Xc ,Yc ,Zc )在针孔模型中进行规范化投影, 得到归一化的坐标值Pn(x ,y )为:
　　(3) 引入透镜的畸变,畸变后的规范化坐标值可以用Pd(xd ,y d)表示为:
　　将Pd(xd ,y d)转换为图像上像素坐标系上的坐标值Pv(u ,v ):
　　各参数的意义: f 为摄像机的有效焦距; sx 为比例因子,用来适应在计算机图像(帧存)水平方向( x 方向)上带来的种种不确定因素; dpx 为计算机图像在水平方向( x方向)上相邻两像素之间的有效距离( mm / pixel ); dpy为计算机图像在垂直方向( y 方向)上相邻两像素之间的有效距离( mm / pixel );& u 0为光轴Z 与图像平面的交点Oi& 在像素坐标系u 轴上的坐标值;& v0 为Oi& 在像素坐标系v 轴上的坐标值。
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