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1-2.1-约束
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3秒自动关闭窗口工程力学教案
绪课题 课时 第 1 讲――绪论 1 课时论教学目的要求1、掌握工程力学的任务、地位、作用和学习方法，可变形固体的基本假设， 工程力学的研究对象（杆件） ，杆件变形的形式。 2．理解工程力学的研究对象（杆件）的几何特征，使学生对工程力学这门 课程的任务、研究对象有一个全面的概念。 3．了解工程的发展简史和学习本课程的方法。主要内容 重点难点 教学方法 和手段 课后作业练习工程力学的研究内容 无 以讲授为主，使用电子教案 预习：第一章 静力学基础一、工程力学的研究对象建筑物中承受荷载而起骨架作用的部分称为结构。结构是由若干构件按一定方式组合而成 的。组成结构的各单独部分称为构件。例如：支承渡槽槽身的排架是由立柱和横梁组成的刚架结 构，如图 1－1a 所示；单层厂房结构由屋顶、楼板和吊车梁、柱等构件组成，如图 1－1b 所示。 结构受荷载作用时，如不考虑建筑材料的变形，其几何形状和位置不会发生改变。（a） 图 0-1（b）结构按其几何特征分为三种类型： （1）杆系结构：由杆件组成的结构。杆件的几何特征是其长度远远大于横截面的宽度和高 度。 （2）薄壁结构：由薄板或薄壳组成。薄板或薄壳的几何特征是其厚度远远小于另两个方向 的尺寸。 （3）实体结构：由块体构成。其几何特征是三个方向的尺寸基本为同一数量级。1工程力学的研究对象主要是杆系结构。二、工程力学的研究内容和任务工程力学的任务是研究结构的几何组成规律， 以及在荷载的作用下结构和构件的强度、 刚度 和稳定性问题。研究平面杆系结构的计算原理和方法，为结构设计合理的形式，其目的是保证结 构按设计要求正常工作，并充分发挥材料的性能，使设计的结构既安全可靠又经济合理。 进行结构设计时，要求在受力分析基础上，进行结构的几何组成分析，使各构件按一定的规 律组成结构，以确保在荷载的作用下结构几何形状不发生发变。 结构正常工作必须满足强度、刚度和稳定性的要求。 强度是指抵抗破坏的能力。满足强度要求就是要求结构的构件在正常工作时不发生破坏。 刚度是指抵抗变形的能力。 满足刚度要求就是要求结构的构件在正常工作时产生的变形不超 过允许范围。 稳定性是指结构或构件保持原有的平衡状态的能力。 满足稳定性要求就是要求结构的构件在 正常工作时不突然改变原有平衡状态，以免因变形过大而破坏。 按教学要求，工程力学主要研究以下几个部分的内容。 （1）静力学基础。这是工程力学的重要基础理论。包括物体的受力分析、力系的简化与平 衡等刚体静力学基础理论。 （2）杆件的承载能力计算。这部分是计算结构承载能力计算的实质。包括基本变形杆件的 内力分析和强度、刚度计算，压杆稳定和组合变形杆件的强度、刚度计算。 （3）静定结构的内力计算。这部分是静定结构承载能力计算和超静定结构计算的基础。包 括研究结构的组成规律、静定结构的内力分析和位移计算等。 （4）超静定结构的内力分析。是超静定结构的强度和刚度问题的基础。包括力法、位移法、 力矩分配法和矩阵位移法等求解超静定结构内力的基本方法。三、刚体的概念工程力学中将物体抽象化为两种计算模型：刚体和理想变形固体。 刚体是在外力作用下形状和尺寸都不改变的物体。 实际上， 任何物体受力的作用后都发生一 定的变形，但在一些力学问题中，物体变形这一因素与所研究的问题无关或对其影响甚微，这时 可将物体视为刚体，从而使研究的问题得到简化。 按照上述假设理想化的一般变形固体称为理想变形固体。 刚体和变形固体都是工程力学中必 不可少的理想化的力学模型。 变形固体受荷载作用时将产生变形。当荷载撤去后，可完全消失的变形称为弹性变形；不能恢 复的变形称为塑性变形或残余变形。在多数工程问题中，要求构件只发生弹性变形。工程中，大 多数构件在荷载的作用下产生的变形量若与其原始尺寸相比很微小， 称为小变形。 小变形构件的 计算，可采取变形前的原始尺寸并可略去某些高阶无穷小量，可大大简化计算。 综上所述，工程力学把所研究的结构和构件看作是连续、均匀、各向同性的理想变形固体，在 弹性范围内和小变形情况下研究其承载能力。2第一章 静力学基础课题 课时 教学目的要求 第 2 讲――第一章 静力学基础 1 课时＋1 学时习题课 1、掌握力学的基本概念和公理。 2、熟悉各种常见约束的性质，熟练地画出受力图。 1、静力学基本概念。 2、静力学基本公理。 3、约束与约束反力。 4、物体的受力分析与受力图 1、平衡、刚体和力的概念和静力学的基本公理。 2、掌握物体的受力分析的方法 3、正确地选取分离体，并画出受力图是求解静力学的关键， 以讲授为主，使用电子教案 习题 1-4主要内容重点难点 教学方法 和手段 课后作业练习第一节 静力学基本概念静力学是研究物体的平衡问题的科学。主要讨论作用在物体上的力系的简化和平衡两大问 题。所谓平衡，在工程上是指物体相对于地球保持静止或匀速直线运动状态，它是物体机械运动 的一种特殊形式。一、刚体的概念工程实际中的许多物体，在力的作用下，它们的变形一般很微小，对平衡问题影响也很小， 为了简化分析，我们把物体视为刚体。所谓刚体，是指在任何外力的作用下，物体的大小和形状 始终保持不变的物体。静力学的研究对象仅限于刚体，所以又称之为刚体静力学。二、力的概念力的概念是人们在长期的生产劳动和生活实践中逐步形成的， 通过归纳、 概括和科学的抽象 而建立的。力是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变，或使物 体产生变形。 力使物体的运动状态发生改变的效应称为外效应， 而使物体发生变形的效应称为内 效应。刚体只考虑外效应；变形固体还要研究内效应。经验表明力对物体作用的效应完全决定于 以下力的三要素： （1）力的大小 是物体相互作用的强弱程度。在国际单位制中，力的单位用牛顿（N）或 千牛顿（kN） ，1kN=103N。 （2）力的方向 包含力的方位和指向两方面的涵义。如重力的方向是“竖直向下” 。 “竖直” 是力作用线的方位， “向下”是力的指向。 （3）力的作用位置 是指物体上承受力的部位。一般来说是一块面积或体积，称为分布力； 而有些分布力分布的面积很小，可以近似看作一个点时，这样的力称为集中力。 如果改变了力的三要素中的任一要素，也就改变了力对物体的作用效应。 既然力是有大小和方向的量， 所以力是矢量。 可以用一带箭头的线段来表示， 如图 1-1 所示，3线段 AB 长度按一定的比例尺表示力 F 的大小，线段的方位和箭头的指向表示力的方向。线段的 起点 A 或终点 B 表示力的作用点。线段 AB 的延长线（图中 虚线）表示力的作用线。 本教材中，用黑体字母表示矢量，用对应字母表示矢量 的大小。 一般来说，作用在刚体上的力不止一个，我们把作用于 物体上的一群力称为力系。如果作用于物体上的某一力系可 以用另一力系来代替，而不改变原有的状态，这两个力系互 图 1－1 称等效力系。如果一个力与一个力系等效，则称此力为该力 系的合力，这个过程称力的合成；而力系中的各个力称此合力的分力，将合力代换成分力的过程 为力的分解。在研究力学问题时，为方便地显示各种力系对物体作用的总体效应，用一个简单的 等效力系（或一个力）代替一个复杂力系的过程称为力系的简化。力系的简化是刚体静学的基本 问题之一。第二节静力学公理所谓公理就是无需证明就为大家在长期生活和生产实践中所公认的真理。 静力学公理是静力 学全部理论的基础。公理一 二力平衡公理作用于同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条件是：力的大小相等，方向相反，作用 在同一直线上。可以表示为：F=-F/或 F+F/=0 此公理给出了作用于刚体上的最简力系平衡时所必须满足的条件，是推证其它力系平衡条件 的基础。在两个力作用下处于平衡的物体称为二力体，若物体是构件或杆件，也称二力构件或二 力杆件简称二力杆。公理二 加减平衡力系公理在作用于刚体的任意力系中，加上或减去平衡力系，并不改变原力系对刚体作用效应。 推论一 力的可传性原理 作用于刚体上的力可以沿其作 用线移至刚体内任意一点，而不改 变该力对刚体的效应。 证明：设力 F 作用于刚体上的 点 A，如图 1-2 所示。在力 F 作用 线上任选一点 B，在点 B 上加一对 平衡力 F1 和 F2，使 F1= － F2=F 图 1－2 则 F1、F2、F 构成的力系与 F 等效。将平衡力系 F、F2 减去，则 F1 与 F 等效。此时，相当于力 F 已由点 A 沿作用线移到了点 B。 由此可知，作用于刚体上的力是滑移矢量，因此作用于刚体上力的三要素为大小、方向和作 用线。4公理三 力的平行四边形法则作用于物体上同一点的两个力可以合成为作用于该点的一个合力， 它的大小和方向由以这两 个力的矢量为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。 如图 1－3a 所示， 以 FR 表示力 F1 和力 F2 的合力，则可以表示为：FR=F1+F2。即作用于物体上同一点两个力的合力等于这两个力的矢 量合。 在求共点两个力的合力时，我们常采用 力的三角形法则： （如图 1－3b）所示。从刚 体外任选一点 a 作矢量 ab 代表力 F1，然后 从 b 的终点作 bc 代表力 F2，最后连起点 a 与终点 c 得到矢量 ac,则 ac 就代表合力矢 FR。分力矢与合力矢所构成的三角形 abc 称 图 1－3 为力的三角形。这种合成方法称为力三角形 法则。 推论二 三力平衡汇交定理 刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，则此三力的作用线必汇交于一点。 证明:设在刚体上三点 A、B、C 分别作用有力 F1、 F2、 F3，其互不平行，且为平衡力系，如图 1-4 所示，根据力的 可传性， 将力 F1 和 F2 移至汇交点 O， 根据力的可传性公理， 得合力 FR1，则力 F3 与 FR1 平衡，由公理一知，F3 与 FR1 必共线，所以力 F1 的作用线必过点 O。公理四 作用与反作用公理图 1－4 两个物体间相互作用力，总是同时存在，它们的大小 相等，指向相反，并沿同一直线分别作用在这两个物体上。 物体间的作用力与反作用力总是同时出现， 同时消失。 可见， 自然界中的力总是成对地存在， 而且同时分别作用在相互作用的两个物体上。这个公理概括了任何两物体间的相互作用的关系， 不论对刚体或变形体，不管物体是静止的还是运动的都适用。应该注意，作用力与反作用力虽然 等值、反向、共线，但它们不能平衡，因为二者分别作用在两个物体上，不可与二力平衡公理混 淆起来。公理五 刚化原理变形体在已知力系作用下平衡时，若将此变形体视为刚体（刚化） ，则其平衡状态不变。 此原理建立了刚体平衡条件与谈形体平衡条件之间的关系， 即关于刚体的平衡条件， 对于变 形体的平衡来说，也必须满足。但是，满足了刚体的平衡条件，变形体不一定平衡。例如一段软 绳，在两个大小相等，方向相反的拉力作用下处于平衡，若将软绳变成刚杆，平衡保持不变。把 过来，一段刚杆在两个大小相等、方向相反的压力作用下处于平衡，而绳索在此压力下则不能平 衡。可见，刚体的平衡条件对于变形体的平衡来说只是必要条件而不是充分条件。第三节 约束与约束反力工程上所遇到的物体通常分两种：可以在空间作任意运动的物体称为自由体，如飞机、火箭 等；受到其它物体的限制，沿着某些方向不能运动的物体称为非自由体。如悬挂的重物，因为受 到绳索的限制，使其在某些方向不能运动而成为非自由体，这种阻碍物体运动的限制称为约束。5约束通常是通过物体间的直接接触形成的。 既然约束阻碍物体沿某些方向运动， 那么当物体沿着约束所阻碍的运动方向运动或有运动趋 势时，约束对其必然有力的作用，以限制其运动，这种力称为约束反力。简称反力。约束反力的 方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反， 它的作用点就在约束与被约束的 物体的接触点，大小可以通过计算求得。 工程上通常把能使物体主动产生运动或运动趋势的力称为主动力。 如重力、 风力、 水压力等。 通常主动力是已知的， 约束反力是未知的， 它不仅与主动力的情况有关， 同时也与约束类型有关。 下面介绍工程实际中常见的几种约束类型及其约束反力的特性。一、柔性约束绳索、链条、皮带等属于柔索约束。理想化条件：柔索绝对柔软、无重量、无粗细、不可伸 长或缩短。由于柔索只能承受拉力，所以柔索的约束反力作用于接触点，方向沿柔索的中心线 而背离物体，为拉力。如图 1－5 和图 1－6 所示。图 1－5图 1－6二、光滑接触面约束当物体接触面上的摩擦力可以忽略时，即可看作光滑接触面，这时两个物体可以脱离开，也 可以沿光滑面相对滑动， 但沿接触面法线且指向接触面的位移受到限制。 所以光滑接触面约束反 力作用于接触点，沿接触面的公法线且指向物体，为压力。如图 1－7 和图 1－8 所示。图 1－7图 1－8三、光滑铰链约束工程上常用销钉来联接构件或零件， 这类约束只限制相对移动不限制转动， 且忽略销钉与构 件间的磨擦。若两个构件用销钉连接起来，这种约束称为铰链约束，简称铰连接或中间铰，图 1 －9a 所示。图 1－9b 为计算简图。铰链约束只能限制物体在垂直于销钉轴线的平面内相对移动， 但不能限制物体绕销钉轴线相对转动。如图 1－9c 所示，铰链约束的约束反力作用在销钉与物体 的接触点 D，沿接触面的公法线方向，使被约束物体受压力。但由于销钉与销钉孔壁接触点与被6约束物体所受的主动力有关，一般不能预先确定，所以约束反力 Fc 的方向也不能确定。因此， 其约束反力作用在垂直于销钉轴线平面内，通过销钉中心，方向不定。为计算方便，铰链约束的 约束反力常用过铰链中心两个大小未知的正交分力 Xc，Yc 来表示如图 1－9d 所示。两个分力的 指向可以假设。图 1－9四、固定铰支座将结构物或构件用销钉与地面或机座连接就构成了固定铰支座，如图 1－10a 所示。固定铰 支座的约束与铰链约束完全相同。简化记号和约束反力如图 1－10b 和图 1－10c。图 1－10五、辊轴支座在固定铰支座和支承面间装有辊轴，就构成了辊轴支座，又称活动铰支座，如图 1－11a 所 示。 这种约束只能限制物体沿支承面法线方向运动， 而不能限制物体沿支承面移动和相对于销钉 轴线转动。所以其约束反力垂直于支承面，过销钉中心指向可假设。如图 1－11b 和图 1－11c 所 示。图 1－117六、链杆约束两端以铰链与其它物体连接中间不受力且不计自重的刚性直杆称链杆，如图 1－12a 所示。 这种约束反力只能限制物体沿链杆轴线方向运动，因此链杆的约束反力沿着链杆,两端中心连线 方向， 指向或为拉力或为压力。 如图 1－12b 和图 1－12c 所示。 链杆属于二力杆的一种特殊情形。图 1－12七、固定端约束将构件的一端插入一固定物体 （如墙） 中， 就构成了固定端约束。 在连接处具有较大的刚性， 被约束的物体在该处被完全固定，即不允许相对移动也不可转动。固定端的约束反力，一般用两 个正交分力和一个约束反力偶来代替，如图 1－13 所示。图 1－13第四节 受力分析与受力图静力学问题大多是受一定约束的非自由刚体的平衡问题， 解决此类问题的关键是找出主动力 与约束反力之间的关系。因此，必须对物体的受力情况作全面的分析，即物体的受力分析，它是 力学计算的前提和关键。 物体的受力分析包含两个步骤： 一是把该物体从与它相联系的周围物体 中分离出来，解除全部约束，单独画出该物体的图形，称为取分离体。二是在分离体上画出全部 主动力和约束反力，这称为画受力图。 例 1－1 起吊架由杆件 AB 和 CD 组成，起吊重物的重量为 Q。不计杆件自重，作杆件 AB 的受力图。 解：取杆件 AB 为分离体，画出其分离体图。 杆件 AB 上没有荷载，只有约束反力。A 端为固定铰支座。约束反力用两个垂直分力 XA 和 YA 表示，二者的指向是假定的。D 点用铰链与 CD 连接，因为 CD 为二力杆，所以铰 D 反力的 作用线沿 C、D 两点连线，以 FD 表示。图中 FD 的指向也是假定的。B 点与绳索连接，绳索作用 给 B 点的约束反力 FT 沿绳索、背离杆件 AB。图 1－14b 为杆件 AB 的受力图。应该注意， （图 b） 中的力 FT 不是起吊重物的重力 FG。力 FT 是绳索对杆件 AB 的作用力；力 FG 是地球对重物的作8用力。这两个力的施力物体和受力物体是完全不同的。在绳索和重物的受（图 c）上，作用有力 FT 的反作用力 FT@和重力 FG。由二力平衡条件，力 FT@与力 FG 是反向、等值的；由作用反作 用定律，力 FT 与 FT@是反向、等值的。所以力 FT 与力 FG 大小相等，方向相同。图 1－14例 1－2 水平梁ＡＢ用斜杆ＣＤ支撑，A、C、D 三处均为光滑铰链连接，如图 1－15 所示。 梁上放置一重为 FG1 的电动机。已知梁重为 FG2，不计杆 CD 自重，试分别画出杆 CD 和梁 AB 的受力图。 解： （1）取 CD 为研究对象。由于 斜杆 CD 自重不计，只在杆的两端分别受 有铰链的约束反力 FC 和 FD 的作用，由些 判断 CD 杆为二力杆。根据公理一，FC 和 FD 两力大小相等、沿铰链中心连线 CD 方 向且指向相反。斜杆 CD 的受力图如图 1 －15b 所示。 （2）取梁 AB（包括电动机）为研究 图 1－15 对象。它受 FG1、FG2 两个主动力的作用； 梁在铰链 D 处受二力杆 CD 给它的约束反 力 FD@的作用， 根据公理四， FD@＝－FD； 梁在 A 处受固定铰支座的约束反力， 由于方向未知， 可用两个大小未知的正交分力 XA 和 YA 表示。梁 AB 的受力图如图 1－15c 所示。 例 1－3 简支梁两端分别为固定铰支座和可动铰支座，在 C 处作用一集中荷载 FP（图 1－ 16a） ，梁重不计，试画梁 AB 的受力图。图 1－16解：取梁 AB 为研究对象。作用于梁上的力有集中荷载 FP，可动铰支座 B 的反力 FB，铅垂 向上，固定铰支座 A 的反力用过点 A 的两个正交分力 XA 的 YA 表示。受力图如图 1－16b 所示。 由于些梁受三个力作用而平衡，故可由推论二确定 FA 的方向。用点 D 表示力 FP 和 FB 的作用线 交点。FA 的作用线必过交点 D，如图 1－16c 所示。 例 1－4 三铰拱桥由左右两拱铰接而成，如图 1－17a 所示。设各拱自重不计，在拱 AC 上作 用荷载 F。试分别画出拱 AC 和 CB 的受力图。9图 1－17解： （1）取拱 CB 为研究对象。由于拱自重不计，且只在 B、C 处受到铰约束，因此 CB 为 二力构件。在铰链中心 B、C 分别受到 FB 和 FC 的作用，且 FB＝－FC。拱 CB 的受力图如图 1 －17b 所示。 （2）取拱 AC 连同销钉 C 为研究对象。由于自重不计，主动力只有荷载 F；点 C 受拱 CB 施加的约束力 FC@，且 FC@＝－FC；点 A 处的约束反力可分解为 XA 和 YA。拱 AC 的受力图如 图 1－17c 所示。 又拱 AC 在 F、FC@和 FA 三力作用下平衡，根据三力平衡汇交定理，可确定出铰链 A 处约 束反力 FA 的方向。点 D 为力 F 与 FC@的交点，当拱 AC 平衡时，FA 的作用线必通过点 D，如 图 1－17d 所示，FA 的指向，可先作假设，以后由平衡条件确定。 例 1－5 图 1－18a 所示系统中，物体 F 重 FG，其它和构件不计自重。作（1）整体； （ 2） AB 杆； （3）BE 杆； （4）杆 CD、轮 C、绳及重物 F 所组成的系统的受力图。图 1－18解：整体受力图如图 1－18a 所示。固定支座 A 自有两个垂直反力和一个约束反力偶。铰 C、 D、E 和 G 点这四处的约束反力对整体来说是内力，受力图上不应画出。 杆件 AB 的受力图如图 1－18b 所示。对杆件 AB 来说，铰 B、D 的反力是外力，应画出。 杆件 BE 的受力图如图 1－18c 所示。BE 上 B 点的反力 XB@和 YB@是 AB 上 XB 和 YB 反作 用力，必须等值、反向的画出。10杆件 CD、轮 C、绳和重物 F 所组成的系统的受力图如图所示。其上的约束反力分别是图 1 －18b 和图 1－18c 上相应力的反作用力，它们的指向分别与相应力的指向相反。如 XE@是图 1 －18c 上 XE 的反作用力，力 XE@的指向应与力 XE 的指向相反，不能再随意假定。铰 C 的反力 为内力，受力图上不应画出。 在画受力图时应注意如下几个问题： （1）明确研究对象并取出脱离体。 （2）要先画出全部的 主动力。 （3） 明确约束反力的个数。 凡是研究对象与周围物体相接触的地方， 都一定有约束反力， 不可随意增加或减少。 （4）要根据约束的类型画约束反力。即按约束的性质确定约束反力的作用 位置和方向，不能主观臆断。 （5）二力杆要优先分析。 （6）对物体系统进行分析时注意同一力， 在不同受力图上的画法要完全一致；在分析两个相互作用的力时，应遵循作用和反作用关系，作 用力方向一经确定，则反作用力必与之相反，不可再假设指向。 （7）内力不必画出。11第二章 平面汇交力系课题 学时 教学目的要求 第 3 讲――第二章平面汇交力系 1 课时 1、平面汇交力系的合成与平衡。 2、掌握平面汇交力系合成的几何法和解析法。 3、理解力在直角坐标系的投影，能熟练计算力在直角坐标轴上的投影。 1、平面汇交力系的合成与平衡的几何法。 2、平面汇交力系合成与平衡的解析法 1、平面汇交力系合成与平衡的解析法 以讲授为主，使用电子教案 习题 2-4主要内容 重点难点 教学方法 和手段 课后作业练习根据力系中各力作用线的位置， 力系可分为平面力系和空间力系。 各力的作用线都在同一平 面内的力系称为平面力系。在平面力系中又可以分为平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系 和平面一般力系。在平面力系中，各力作用线汇交于一点的力系称平面汇交力系。本章讨论平面 汇交力系的合成与平衡问题。第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法设在某刚体上作用有由力 F1、F2、F3、F4 组成的平面汇交力系，各力的作用线交于点 A， 如图 2－1a 所示。由力的可传性，将力的作用线移至汇交点 A;然后由力的合成三角形法则将各 力依次合成，即从任意点 a 作矢量 ab 代表力矢 F1，在其末端 b 作矢量 bc 代表力矢 F2，则虚线 ac 表示力矢 F1 和 F2 的合力矢 FR1； 再从点 C 作矢量 cd 代表力矢 F3， 则 ad 表示 FR 和 F3 的合力 FR2；最后从点 d 作 de 代表力矢 F4，则 ae 代表力矢 FR2 与 F4 的合力矢，亦即力 F1 、F2 、F3 、 F4 的合力矢 FR，其大小和方向如图 2－1b，其作用线通过汇交点 A。图 2－1作图 2－1b 时，虚线 ac 和 ad 不必画出，只需把各力矢首尾相连，得折线 abcd，则第一个 力矢 F1 的起点 a 向最后一个力矢 F4 的终点 e 作 ae，即得合力矢 FR。各分力矢与合力矢构成的 多边形称为力的多边形，表示合力矢的边 ae 称为力的多边形的逆封边。这种求合力的方法称为 力的多边形法则。12若改变各力矢的作图顺序， 所得的力的多边形的形状则不同， 但是这并不影响最后所得的逆 封边的大小和方向。但应注意，各分力矢必须首尾相连，而环绕力多边形周边的同一方向，而合 力矢则把向封闭力多边形。 上述方法可以推广到由 n 个力 F1 、F2 、?、Fn 组成的平面汇交力系：平面汇交力系合成 的结果是一个合力，合力的作用线过力系的汇交点，合力等于原力系中所有各力的矢量和。 可用矢量式表示为 FR=F1 +F2 +?+Fn =Σ F (2-1) 例 2－1 同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图 2－2 所示，已知三钢索的拉力分 别为：F1＝500N，F2＝1000N，F3＝ 2000N。试用几何作图法求三根钢索 在环上作用的合力。 解 先定力的比例尺如图。作力 多边形先将各分力乘以比例尺得到 各力的长度， 然后作出力多边形图 （2 －2b） ，量得代表合力矢的长度为， 则 FR 的实际值为： 图 2－2 FR ＝2700N FR 的方向可由力的多边形图直接量出，FR 与 F1 的夹角为 71?31＇ 。二、平面汇交力系平衡的几何条件在图 2－3a 中， 平面汇交力系合成为一合力， 即与原力系等效。 若在该力系中再加一个与等值、 反向、共线的力，根据二力平衡公理知物体处于 平衡状态，即为平衡力系。对该力系作力的多边 形时，得出一个闭合的力的多边形，即最后一个 力矢的末端与第一个力矢的始端相重合，亦即该 力系的合力为零。因此，平面汇交力系的平衡的 图 2－3 必要与充分的几何条件是： 力的多边形自行封闭， 或各力矢的矢量和等于零。用矢量表示为： FR =Σ F=0 （2－2） 例 2－2 图 2－4a 所求一支架，A、B 为铰链支座，C 为圆柱铰链。斜撑杆 BC 与水平杆 AC图 2－4的夹角为 30?。在支架的 C 处用绳子吊着重 G＝20kN 的重物。不计杆件的自重，试求各杆所受13的力。 解 杆 AC 和 BC 均为二力杆，其受力如图 2－4b 所示。取销钉 C 为研究对象，作用在它上 面的力有：绳子的拉力 FT(FT=G)，AC 杆和 BC 杆对销钉 C 的作用力 FCA 和 FCB。这三个力为一 平面汇交力系（销钉 C 的受力图如图 2－4c 所示） 。 根据平面汇交力系平衡的几何条件，FT、FCA 和 FCB 应组成闭合的力三角形。选取比例尺如 图，先画已知力 FT＝ab，过 a、b 两点分别作直线平行于 FCA 和 FCB 得交点 c，于是得力三角形 abc，顺着 abc 的方向标出箭头，使其首尾相连，则矢量 ca 和 bc 就分别表示力 FCA 和 FCB 的大 小和方向。用同样的比例尺量得： FCA＝34.6kN FCB＝40kN第二节力的分解和力的投影求解平面汇交力系问题的几何法， 具有直观简捷的优点， 但是作图时的误差难以避免。 因此， 工程中多用解析法来求解力系的合成和平衡问题。解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。一、在坐标轴上的投影如图 2－5 所示，设力 F 作用于刚体上的 A 点，在力作用的平面内建立坐标系 oxy，由力 F 的起点和终点分别向 x 轴作垂线，得垂足 a1 和 b1，则线段 a1b1 冠以相应的正负号称为力 F 在 x 轴上的投影，用 X 表示。即 X=±a1b1；同理，力 F 在 y 轴上的投影用 Y 表示，即 Y=±a2b2。 力在坐标轴上的投影是代数量， 正负号规定： 力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影 取正号，反之取负号。投影与力的大小及方向有关，即X ? ?ab ? F cos? ? ? Y ? ?ab ? F cos ? ?式中α 、β 分别为 F 与 X、Y 轴正向所夹的锐角。（2－3）图 2－5反之，若已知力 F 在坐标轴上的投影 X、Y，则该力的大小及方向余弦为F?X 2 ?Y 2 ? ? X ? cos? ? F ? ?（2－4）应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。投影是代数量，而分力是矢量；投影无 所谓作用点， 而分力作用点必须作用在原力的作用点上。 另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影 的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。 设一平面汇交力系由 F1、F2、F3 和 F4 作用于刚体上，其力的多边形 abcde 如图 2－6 所示， 封闭边 ae 表示该力系的合力矢 FR，在力的多边形所在平面内取一坐标系 oxy，将所有的力矢都 投影到 x 轴和 y 轴上。得14X=a1e1, X1=a1b1, X2=b1c1，X3=c1d1 ,X4=d1e1 由图 2－6 可知 a1e1=a1b1+b1c1+c1d1 +d1e1 即 X=X1+X2+X3+X4 同理 Y=Y1+Y2+Y3+Y4 将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得X ? X 1 ? X 2 ? ? ? Xn ? ?X ? ? Y ? Y1 ? Y2 ? ? ? Yn ? ?Y ?（2－5）图 2－6即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。第三节平面汇交力系合成与平衡的解析法用解析法求平面汇交力系的合成时，首先在其所在的平面内选定坐标系 oxy。求出力系中各 力在 x 轴和 y 轴上的投影，由合力投影定理得FR ?X 2 ? Y 2 ? (?X ) 2 ? (?Y ) 2 ? ? X ?X ? cos? ? ? ? FR FR ?（2－6）其中α 是合力 FR 分别与 X、Y 轴正向所夹的锐角。 例 2－ 3 如图 2－7 所求，固定圆环作用有四根绳索，其拉力分别为 F1＝ 0.2kN，F2 ＝ 0.3kN,F3=0.5kN,F4=0.4kN,它们与轴的夹角分别为α 1＝30?，α 2＝45?，α 3＝0，α 4＝60?。试求 它们的合力大小和方向。图 2－7解建立如图 2－7 所示直角坐标系。根据合力投影定理，有15X=Σ X＝X1+X2+X3+X4＝F1cosα 1＋F2 cosα 2＋F3 cosα 3＋F4 cosα 4=1.085kN Y=Σ Y＝Y1+Y2+Y3+Y4＝F1sinα 1＋F2 sinα 2＋F3sinα 2－F4 sinα 4=－0.234kN 由Σ X、Σ Y 的代数值可知，X 沿 X 轴的正向，Y 沿 Y 轴的负向。由式（2－6）得合力的大 小FR ? (?X ) 2 ? (?Y ) 2 ? 1.11kN方向为cos ? ?解得?X ? 0.977 FRα ＝12?12＇我们已经知道平面汇交力系平衡的必要与充分条件上其合力等于零， 即 FR＝0。 由式 （2－6） 可知，要使 FR＝0，须有 Σ X=0 ；Σ Y=0 （2－8） 上式表明， 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 力系中各力在力系所在平面内两个相交 轴上投影的代数和同时为零。式（2－8）称为平面汇交力系的平衡方程。 式（2－8）是由两个独立的平衡方程组成的，故用平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未 知量。 例 2－4 重量为 G 和重物，放置在倾角为α 的光滑斜面上（如图 2－8） ，试求保持重物成 平衡时需沿斜面方向所加的力 F 和重物对斜面的压力 FN。图 2－8解 以重物为研究对象。重物受到重力 G、拉力 F 和斜面对重物的作用力 FN，其受力图如 图 2－8b 所示。取坐标系 oxy，列平衡方程 Σ X=0 Gsinα －F=0 (1) Σ Y=0 －Gcosα +FN=0 (2) 解得 F＝ Gsinα FN＝Gcosα 则重物对斜面的压力 FN＇＝Gcosα ，指向和相反。 例 2－5 重 G＝20kN 的物体被绞车匀速吊起， 绞车的绳子绕过光滑的定滑轮 A （图 2－9a） ， 滑轮由不计重量的杆 AB、AC 支撑，A、B、C 三点均为光滑铰链。试求 AB、AC 所受的力。16图 2－9解 杆 AB 和 AC 都是二力杆，其受力如图 2－9b 所示。假设两杆都受拉。取滑轮连同销钉 A 为研究对象。重物 G 通过绳索直接加在滑轮的一边。在其匀速上升时，拉力 FT1＝G，而绳索 又在滑轮的另一边施加同样大小的拉力，即 FT1＝FT2。受力图如图 2－9c 所示，取坐标系 Axy。 列平衡方程 由 解得 由 Σ X=0 FAC＝－63.2kN Σ Y=0? FAC3 4 ?32 2? FT 22 1 ? 222? FT 1 ? 0? FAB ? FAC4 4 2 ? 32? FT 21 12 ? 2 2?0解得 FAB＝41.6kN 力 FAC 是负值，表示该力的假设方向与实际方向相反，因此杆 AC 是受压杆。 例 2－6 连杆机构由三个无重杆铰接组成（如图 2－10a） ，在铰 B 处施加一已知的竖向力 FB，要使机构处于平衡状态，试问在铰 C 处施加的力 FC 应取何值？图 2－10解 这是一个物体系统的平衡问题。从整个机构来看，它受四个力 FB、FC、FA、FD 不是平 面汇交力系（图 a） ，所以不能取整体作为研究对象求解。要求解的未知力 F 作用于铰 C 上，铰 C 受平面汇交力系的作用，所以应该通过研究铰 C 的平衡来求解。 铰 C 除受未知力 FC 外，还受到二力杆 BC 和 DC 的约束反力 FAB 和 FBC 和作用（图 c） 。这 三个力都是未知的，只要能求出 FAB 和 FBC 之中的任意一个，就能根据铰 C 的平衡求出力 FC。17铰 B 除受已知力 FB 的作用外，还受到二力杆 AB 和 BC 杆的约束反力 FBA 和 FBC 的作用。 通过研究铰 B 的平衡可以求了 BC 杆的约束反力 FBC。 综合以上分析结果，得到本题的解题思路：先以铰 B 为脱离体求 BC 杆的反力 FBC；再以铰 C 为脱离体，求未知力 FC。 (1)取铰 B 为脱离体，其受力图如图（b）所示。因为只需求反力 FBC，所以选取 x 轴与不需 求出的力 FBA 垂直。由平衡方程 Σ X=0 FBcos45?+FBCcos45?=0 解得 FBC=－FB （2）取 C 为脱离体，其受力图如图（c）所示。图上力 FCB 的大小是已知的，即 FCB＝FBC ＝－FB。为求力 FC 的大小，选取 x 轴与反力 FCD 垂直，由平衡方程 Σ X=0 －FCB－FBCcos45?=0 解得FC ? 2FB通过以上分析和求解过程可以看出，在求解平衡问题时，要恰当地选取脱离体，恰当地选取 坐标轴， 以最简捷、 合理的途径完成求解工作。 尽量避免求解联立方程， 以提高计算的工作效率。 这些都是求解平衡问题所必须注意的。 2－3 同一个力在两个互相平行的轴上的投影有何关系？如果两个力在同一轴上的投影相 等，问这两个力的大小是否一定相等？ 2－4 平面汇交力系在任意两根轴上的投影的代数和分别等于零， 则力系必平衡， 对吗？为 什么？ 2－5 若选择同一平面内的三个轴 x、y 和 z，其中 x 轴垂直于 y 轴，而 z 轴是任意的（图 2 －13） ，若作用在物体上的平面汇交力系满足下列方程式： Σ X=0 Σ Y=0 能否说明该力系一定满足下列方程式：Σ Z=0 试说明理由。图 2-1318第三章课题 课时力矩和平面力偶系第 4 讲――第三章平面任意力系 3 课时＋1 课时习题课 1、熟悉力和力偶的基本概念及其性质，能熟练的计算平面问题中力对点之 矩。 2、掌握合力距定理。 3、掌握平面力偶系的合成和平衡条件。 4、握平面任意力系的简化方法和简化结果，能计算平面力系的主失和主矩。 5、能熟练应用平面任意力系的平衡方程，求解单个物体的平衡问题。 6、了解静定和静不定问题的概念以及物体系统的平衡问题。 7、理解滑动摩擦的概念和摩擦力的特征。掌握摩擦角和自锁概念。能求解 当考虑滑动摩擦时单个物体和简单物体系统的平衡问题。 1、力对点之距。 2、力偶。 3、平面力偶系的合成和平衡条件。 4、力的平移定理。 5、平面任意力系的简化 6、简化结果分析及合力距定理。 7、平面任意力系的平衡。 8、静定和静不定问题的概念以及物体系统的平衡。 1、合力矩定理。 2、平面力偶系的合成和平衡条件。 3、力系简化以及力系简化结果对于平面情况要详细讨论。 4、平面力系平衡方程的各种形式要给以必要的说明。 5、物体系统的平衡。 以讲授为主，使用电子教案 习题 3-1教学目的要求主要内容重点难点教学方法 和手段 课后作业练习各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。 在工程实际中经常遇到平面 任意力系的问题。例如图 3－1 所示的简支梁受到外荷载及支座反力的作用，这个力系是平面任 意力系。 有些结构所受的力系本不是平面任意力系，但可以简化为平面任意力系来处理。如图 3－2 所示的屋架，可以忽略它与其它屋架之间的联系，单独分离出来，视为平面结构来考虑。屋架上 的荷载及支座反力作用在屋架自身平面内，组成一平面任意力系。 对于水坝（图 3－3）这样纵向尺寸较大的结构，在分析时常截取单位长度（如 1）的坝段来 考虑， 将坝段所受的力简化为作用于中央平面内的平面任意力系。 事实上工程中的多数问题都简 化为平面任意力系问题来解决。所以，本章的内容在工程实践中有着重要的意义。19图 3－1图 3－2图 3－3在研究平面任意力系之前，首先研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。这都是有关力的转动 效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。第一节 力对点之矩一、力矩的概念力不仅可以改变物体的移动状态， 而且还能改变物体的转动状态。 力使物体绕某点转动的力 学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图 3－4 所示，设螺母能绕点 O 转动。由 经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力 F 的大小，而且还与点 O 到 F 的作用 线的垂直距离 d 有关。因此，用 F 与 d 的乘积不作为力 F 使螺母绕点 O 转动效应的量度。其中 距离 d 称为 F 对 O 点的力臂，点 O 称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力 F 对 O 点之矩定义为：力的大小 F 与力臂 d 的乘积冠以适当的正负号，以符号 mo(F) 表示，记为 mo(F)＝±Fh （3－1） 通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。图 3－4由图 3－4 可见，力 F 对 O 点之矩的大小，也可以用三角形 OAB 的面积的两倍表示，即20mo(F)＝±2Δ ABC （3－2） 在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m） 。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位置变化而 变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。二、合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。图 3－5证明：设刚体上的 A 点作用着一平面汇交力系。力系的合力。在力系所在平面内任选一点 O，过 O 作 oy 轴，且垂直于 OA。如图 3－2 所示。则图中 Ob1、Ob2、?、Obn 分别等于力 F1、 F2、?、Fn 和 FR 在 Oy 轴上的投影 Y1、Y2、?、Yn 和 YR。现分别计算 F1、F2、?、Fn 和 FR 各 分力对点 O 的力矩。 由图 3－5 可以看出mO ( F1 ) ? Ob1OA ? Y1OA ? mO ( F2 ) ? Ob2 OA ? Y2 OA ? ? ? ? ? mO ( Fn ) ? Obn OA ? Yn OA? ? mO ( FR ) ? Obr OA ? YR OA? ?根据合力投影定理 YR＝Y1＋Y2＋?＋Yn 两端乘以 OA 得 YROA＝Y1OA＋Y2OA＋?＋YnOA 将式（1）代入得 mo(FR)＝mo(F1)＋ mo(F2)＋?＋mo(Fn) 即（1）mo(FR)＝Σ mo(F) （3－3） 上式称为合力矩定理。 合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。 这个定 理也适用于有合力的其它力系。 例 3－1 试计算图 3－6 中力对 A 点之矩。21图 3－6解 本题有两种解法。 （1） 由力矩的定义计算力 F 对 A 点之矩。 先求力臂 d。由图中几何关系有： d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB-BCctg)sinα =(a-bctgα )sinα =asinα -bcosα 所以 mA(F)=F?d=F(asinα -bcosα ) （2） 根据合力矩定理计算力 F 对 A 点之矩。 将力 F 在 C 点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得 mA(F)= mA(Fx)+ mA(Fy)=－Fx?b+ Fy?a=－F(bcosα ＋asinα ) =F(asinα -bcosα ) 本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。第二节一、力偶、力偶矩力偶在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反， 但不在同一直线上的 两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力（图 3－7a） ；工 人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力（图 3－7b） ；以及用两个手指拧动水龙头（图 3－7c）所 加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号 ( F ,F′)表 示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。图 3－7实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或力偶臂愈大时，力偶使刚体转动效应就 愈显著。 因此， 力偶对物体的转动效应取决于： 力偶中力的大小、 力偶的转向以及力偶臂的大小。 在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，(作为力偶对物体转动效 应的量度，称为力偶矩，用 m 或 m( F ,F′)表示，如图 3－8 所示，即22m(F)＝F?d=±2Δ ABC(3-4)图 3－8通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。 在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m） 。二、力偶的性质力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质： （1）力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡， 力偶只能与力偶平衡。 设刚体上的 A 和 B 分别作用着大小不等，指向相反的平行力 F1 和 F2，若 F1＞F2。由同向 平行力合成的内分反比关系，来求反向平行力的合力。图 3－9b 所示，将力 F1 分解成两个同向 平行力，使其中一个分力 F2′作用于点 B，且 F2′＝－F2，设另一个分力为 FR，其作用线与 AB 的延长线交于 C 点。 现将平衡力 F2 和 F2′减去， 力 FR 就与原来两反向平行力 F1 和 F2 等效。 即力 FR 为 F1 和 F2 的合力。 （图 3－9b）图 3－9因为 F2＝F2′＋FR＝F2＋FR 所以 FR＝F1－F2 由内分反比关系知? F CA F2 ? ? 2, AB FR FRCA ? AB ?F2 FR若 F1＝F2，则力 F1 和 F2 组成力偶，此时，FR＝0，于是 CA＝∞ CA＝∞，说明合力的作用点 C 不存在，所以力偶不能合成为一合力。即力偶不能用一个力代 替，也不能与一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。 (2)力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。23图 3－10如图 3－10 所示，力偶( F ,F′)的力偶矩 m(F)＝F?d 在其作用面内任取一点 O 为矩心，因 为力使物体转动效应用力对点之矩量度， 因此力偶的转动效应可用力偶中的两个力对其作用面内 任何一点的矩的代数和来量度。设 O 到力 F′的垂直距离为 x，则力偶( F ,F′)对于点 O 的矩为 mo( F ,F′)= mo( F )+ mo( F′)= F（x+d）-F′x=F?d = m 所得结果表明，不论点 O 选在何处，其结果都不会变，即力偶对其作用面内任一点的矩总 等于力偶矩。所以力偶对物体的转动效应总取决于偶矩（包括大小和转向） ，而与矩心位置无关。 由上述分析得到如下结论： 在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶的代数值相等，则这两个力偶相等。这就是 平面力偶的等效条件。 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论： 推论 1 力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的效应。 推论 2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。 由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。因此，力偶可 以用一带箭头的弧线来表示如图 3-11 所求，其中箭头表示力偶的转向，m 表示力偶矩的大小。图 3－11三、平面力偶系的合成作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。 设在刚体的同一平面内作用三个力偶( F1 ,F1′) ( F2 ,F2′) 和( F3 ,F3′)，如图 3－12 所 示。各力偶矩分别为： m1＝F1?d1， m2＝F2?d2， m3＝－F3?d3，24图 3－12在力偶作用面内任取一线段 AB＝d，按力偶等效条件，将这三个力偶都等效地改为以为 d 力偶臂的力偶( P1 ,P1′) ( P2 ,P2′) 和( P3 ,P3′)。如图 3－12 所示。由等效条件可知 P1?d=F 1?d1 ， P2?d＝F2?d2 ， －P3?d ＝－F3?d3 则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。 然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与 AB 重合，则原平面力偶系变换为作用于点 A、B 的 两个共线力系（图 3－12b） 。将这两个共线力系分别合成，得 FR＝P1＋P2－p3 FR′＝P1′＋P2′－P3′ 可见，力 FR 与 FR′等值、反向作用线平行但不共线，构成一新的力偶（FR，FR′） ，如图 3－12c 所示。 为偶 （FR， FR′） 称为原来的三个力偶的合力偶。 用 M 表示此合力偶矩， 则 M ＝FR d＝（P1＋P2－P3）d= P1?d+P2?d－P3?d=F 1?d1+F2?d2－F3?d3 所以 M＝m1＋m2＋m3 若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为 M＝m1＋m2＋?＋mn＝Σ m 由此可得到如下结论： 平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数 和。四、平面力偶系的平衡条件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡； 反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：平 面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。 即 Σ m＝0 （3－6） 平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。 例 3－2 如图 3－13 所示， 电动机轴通过联轴器与工作轴相连， 联轴器上 4 个螺栓 A、 B、 C、D 的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径 d＝150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩 m＝2.5 kN?m，试求每个螺栓所受的力为多少？25图 3－13解 取联轴器为研究对象， 作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶， 每个螺栓的 反力，受力图如图所示。设 4 个螺栓的受力均匀，即 F1＝F2＝F3＝F4＝F，则组成两个力偶并与 电动机传给联轴器的力偶平衡。 由 Σ m＝0， m－F×AC－F×d＝0 解得F?m 2.5 ? ? 8.33kN 2d 2 ? 0.15例 3－3 水平杆重量不计，受固定铰支座 A 及 CD 的约束，如图 3－14 所示，在杆端 B 受 一力偶作用，已知力偶矩 m＝100N?m，求 A、C 处的约束反力。图 3－14解 取 AB 杆为研究对象。作用于 AB 杆的是一个主动力偶，A、C 两点的约束反力也必然 组成一个力偶才能与主动力偶平衡。由于 CD 杆是二力杆，FC 必沿 C、D 两点的连线，而 FA 应 与 FC 平行，且有 FA＝FC（图 3－14B）由平面力偶系平衡条件可得 Σ m＝0， FA×h－ m＝0 其中 h＝Acsin30=1×0.5=0.5m 则FA ? FC ?m 100 ? ? 200 N h 0.5第三节力的平移定理由力的可传性可知， 力可以沿其作用线滑移到刚体上任意一点， 而不改变力对刚体的作用效 应。但当力平行于原来的作用线移动到刚体上任意一点时，力对刚体的作用效应便会改变，为了 进行力系的简化，将力等效地平行移动，给出如下定理： 力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意一指定点，但必须同时在 该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。26证明：设力 F 作用于刚体上 A 点，如图 3－15 所示。为将力 F 等效地平行移动到刚体上任 意一点,根据加减平衡力系公理，在 B 点加上两个等值、反向的力 F′和 F&，并使 F′＝F&＝F， 如图(3－15b)所示。显然，力 F、F′和 F&组成的力系与原力 F 等效。由于在力系 F、F′和 F& 中，力 F 与力 F&等值、反向且作用线平行，它们组成力偶（F、F&） 。于是作用在 B 点的力 F′ 和力偶（F、F&）与原力 F 等效。亦即把作用于 A 点的力 F 平行移动到任意一点 B，但同时附 加了一个力偶，如图(3－15c)所示。由图可见，附加力偶的力偶矩为 m＝F?d＝mB（F）图 3－15力的平移定理表明，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；反过来，也可以将同一平面内 一一个力和一个力偶合成为一个力。 应该注意， 力的平移定理只适用于刚体， 而不适用于变形体， 并且只能在同一刚体上平行移动。思考题3－1 将图 3－16 所示 A 点的力 F 沿作用线移至 B 点，是否改变该力对 O 点之矩？图 3－16图 3－173－2 一矩形钢板放在水平地面上，其边长 a＝3m，b＝2m（如图 3－17 所示） 。按图示方 向加力，转动钢板需要 P＝P′＝250N。试问如何加力才能使转动钢板所用的力最小，并求这个 最小力的大小。 3－3 一力偶( F1 ,F1′)作用在 Oxy 平面内，另一力偶( F2 ,F2′)作用在 Oyz 平面内，力偶 矩之绝对值相等（图 3－18） ，试问两力偶是否等效？为什么？27图 3－183－4 图 3－19 中四个力作用在某物体同一平面上 A、B、C、D 四点上（ABCD 为一矩形） ， 若四个力的力矢恰好首尾相接，这时物体平衡吗？为什么？图 3－193－5 水渠的闸门有三种设计方案，如图 3－20 所示。试问哪种方案开关闸门时最省力。图 3－203－6 力偶不能与一力平衡，那么如何解释图 3－21 所示的平衡现象？图 3－21第四节平面任意力系向作用面内任意一点简化设刚体受到平面任意力系 F1 、F2 、?、Fn 的作用，如图 3－22a。在力系所在的平面内任28取一点 O，称 O 点为简化中心。应用力的平移定理，将力系中的和力依次分别平移至 O 点，得 到汇交于 O 点的平面汇交力系 F1′、 F2′、?、Fn′，此外还应附加相应的力偶，构成附加力 偶系 mO1、mO2、?、mOn（图 3－22b） 。图 3－22平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即 F1′＝F1 ， F2′＝F2 ，?，Fn′＝Fn 所得平面汇交力系可以合成为一个力 RO，也作用于点 O，其力矢 R′等于各力矢 F1′、 F2′、?、Fn′的矢量和，即 RO＝F1′+ F2′+?+Fn′＝F1 +F2 +?+Fn＝Σ F＝R′ （3－7） R′称为该力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位置无关。 主矢 R′的大小与方向可用解析法求得。按图 3－22b 所选定的坐标系 Oxy,有 Rx=X1+X2+?Xn＝Σ X Ry=Y1+Y2+?Yn＝Σ Y 主矢 R′的大小及方向分别由下式确定：? ? R? R? ? Rx ? y2 2? ? tan?1R? y ? Rx?? X ? ? ?? Y ? ?Y ? tan ?X2 ?12? ? ? ? ? ? ?(3－8)其中α 为主矢 R′与 x 轴正向间所夹的锐角。 各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心 O 之矩，即 mO1＝mo(F1)，mO2＝mo(F2)，?， mOn ＝mo(Fn) 所得附加力偶系可以合成为同一平面内的力偶，其力偶矩可用符号 MO 表示，它等于各附加 力偶矩 mO1、mO2、?、mOn 的代数和，即 MO＝mO1+mO2+?+ mOn＝mo(F1)+mo(F2) +?mo(Fn)＝Σ mO（F） (3－9) 原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。 由式（3－9）可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶的力偶臂一般都要发生变化，所 以主矩一般都与简化中心的位置有关。 由上述分析我们得到如下结论：平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一力和一个力 偶（图 3－22c） 。这个力的作用线过简化中心，其力矢等于原力系的主矢；这个力偶的矩 等于 原力系对简化中心的主矩。29第五节简化结果分析及合力矩定理平面任意力系向 O 点简化，一般得一个力和一个力偶。可能出现的情况有四种： 1． R′≠0，MO＝0，原力系简化为一个力，力的作用线过简化中心， 此合力的矢量为原 力系的主矢即 RO＝R′＝Σ F。 2． R′＝0，MO≠0，原力系简化为一力偶。此时该力偶就是原力系的合力偶，其力偶矩等 于原力系的主矩。此时原力系的主矩与简化中心的位置无关。 3． R′＝0，MO＝0，原力系平衡，下节将详细讨论。 ， 4． R′≠0，MO≠0，这种情况下，由力的平移定理的逆过程，可将力 R′和力偶矩为 MO 的力偶进一步合成为一合力 R，如图 3－23 所示。将力偶矩为 MO 的力偶用两个力 R 与 R&表示， 并使 R′＝R＝R&， R&作用在点 O，R 作用在点 O′，如图 3－23b 所示。R′与 R&组成一对平 衡力，将其去掉后得到作用于 O′点的力 R，与原力系等效。因此这个力 R 就是原力系的合力。 显然 R′＝R，而合力作用线到简化中心的距离为d?mO R?MO R?图 3－23当 MO＞0 时，顺着 RO 的方向看（图 3－23） ，合力 R 在 RO 的右边；当 MO＜0 时，合力 R 在 RO 的左边。 由上分析，我们可以导出合力矩定理。 由图 3－23c 可见，合力对点之矩为 mO(R)＝R?d=MO 而 MO＝Σ mO（F） 则 mO(R)＝Σ mO（F） （3－10） 因为 O 点是任选的，上式有普遍意义。 于是：得到合力矩定理：平面任意力系的合力对其作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一 点之矩的代数和。 例 3－4 重力坝断面如图 3-24a 所示,坝上游有泥沙淤积，已知水深 H＝46m，泥沙厚度 h＝ 3 3 6m，水的容重γ ＝98kN/m ，泥沙的容重γ ′＝8 kN/m ，已知 1m 长坝段所受重力 W1 ＝4500kN， W2 ＝14000kN。受力图如图 3－24b 所示。试将此坝段所受的力向点 O 简化，并求简化的最后结 果。30图 3－24解 已知水中任一点的相对压强与距水面的距离成正比， 即在坐标为 y 处的水压强为 p＝γ (H－y)(0?y?H)。同理,泥沙压强为 p′＝γ ′(h－y)(0?y?h)。所以上游坝面所受的分布荷 载如图 3－24b 所示。 为了方便计算，先将分布力合成为合力。将水压力与泥沙压力分开计算。水压力如图中大三角形 所示，其合力为 P1 ,则P1 ?P1 过三角形形心，即与坝底相距?H 22? 10368 kN1 H ? 15 .33m 。 3泥沙压力如图中的小三角形所示，其合力设为 P2 ，则P2 ?P2 与坝底相距?h 22? 144kN1 h ? 2m 3现将 P1 、P2 、W1 、W2 四个力向 O 点简化。先求主矢。 Rx′＝Σ X＝P1 +P2 =10510kN Ry′＝Σ Y＝－W1 －W2 ＝－18500kN?2 ?2 R ? ? R x ? R y ? 21300 kN? ? tan?1再求对 O 的主矩Ry Rx? ? ? 60? 24?M O ? ?mO ? ? P1 ?H h ? P2 ? ? W1 ? 2 ? W2 ? 9 ? ?276300 kN ? m 3 3最后求合力 R＝R′，其作用线线与 x 轴交点坐标 x 为x?M O csc? ? 14.92m R?31第六节平面任意力系的平衡当平面任意力系的主矢和主矩都等于零时， 作用在简化中心的汇交力系是平衡力系， 附加的 力偶系也是平衡力系， 所以该平面任意力系一定是平衡力系。 于是得到平面任意力系的充分与必 要条件是：力系的主矢和主矩同时为零。即 R′＝0，MO＝0 （3－11） 用解析式表示可得?X ? 0 ? ? ?Y ? 0 ? ?m O ? 0 ? ?（3－12）上式为平面任意力系的平衡方程。 平面任意力系平衡的充分与必要条件可解析地表达为： 力 系中各力在其作用面内两相交轴上的投影的代数和分别等于零， 同时力系中各 力对其作用面内 任一点之的代数和也等于零。 平面任意力系的平衡方程除了由简化结果直接得出的基本形式（3－12）外，还有二矩式和 三矩式。 二矩式平衡方程形式：?X ? 0 ? ? ?m A ? 0 ? ?m B ? 0 ? ?（3－13）其中矩心 A、B 两点的连线不能与 x 轴垂直。 因为当满足时，力系不可能简化为一个力偶，或者是通过 A 点的一合力，或者平衡。如果 力系同时又满足条件，则这个力系或者有一通过 A、B 两点连线的合力，或者平衡。如果力系又 满足条件，其中 x 轴若与 A、B 连线垂直，力系仍有可能有通过这两个矩心的合力，而不一定平 衡；若 x 轴不与 A、B 连线垂直，这就排除了力系有合力的可能性。由此断定，当式（3－13） 的三个方程同时满足，并附加条件矩心 A、B 两点的连线不能与 x 轴垂直时，力系一定是平衡力 系。 三矩式平衡方程形式：?m A ? 0 ? ? ?m B ? 0 ? ?m C ? 0 ? ?（3－14）其中 A、B、C 三点不能共线。 对于三矩式附加上条件后，式（3－14）是平面任意力系平衡的必要与充分条件。读者可参 照对式（3－13）的解释自行证明。 平面任意力系有三种不同形式的平衡方程组， 每种形式都只含有三个独立的方程式， 都只能 求解三个未知量。应用时可根据问题的具体情况，选择适当形式的平衡方程。 平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情况。 当力系中各力的作用线在同一平面内且相互 平行，这样的力系称为平面平行力系。其平衡方程可由平面任意力系的平衡方程导出。 如图 3－25 所示，在平面平行力系的作用面内取直角坐标系 Oxy，令 y 轴与该力系各力的作 用线平行，则不论力系平衡与否，各力在 x 轴上的投影恒为零，不再具有判断平衡与否和功能。 于是平面任意力系的后两个方程为平面平行力系的平衡方程。由（3－12）式得32?Y ? 0 ? ? ?m O ? 0 ?由（3－13）式得(3－15)?m A ? 0 ? ? ?m B ? 0 ?其中两个矩心 A、B 的连线不能与各力作用线平行。 平面平行力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。（3－16）图 3－25例 3－5 图 3－26a 所示为一悬臂式起重机，A、B、C 都是铰链连接。梁 AB 自重 FG＝1kN， 作用在梁的中点，提升重量 FP＝8kN，杆 BC 自重不计，求支座 A 的反力和杆 BC 所受的力。图 3－26解 （1）取梁 AB 为研究对象，受力图如图 3－26b 所示。A 处为固定铰支座，其反力用两 分力表示，杆 BC 为二力杆，它的约束反力沿 BC 轴线，并假设为拉力。 （2） 取投影轴和矩心。为使每个方程中未知量尽可能少，以 A 点为矩,选取直角坐标系 Axy。 （3） 列平衡方程并求解。梁 AB 所受各力构成平面任意力系，用三矩式求解： 由Σ mA＝0 －FG×2－FP×3＋FTsin30?×4=0 得FT ?(2 FG ? 3FP ) (2 ? 1 ? 3 ? 8) ? ? 13kN 4 ? 0.5 4 ? sin 30?33由Σ mB＝0 得 由Σ mC＝0 得 （4） 校核－FAy×4+FG×2+FP×1=0FAy ?(2 FG ? FP ) (2 ? 1 ? 8) ? ? 2.5kN 4 4FAx ×4×tg30?－FG×2－FP×3=0F x?(2FG ? 3FP ) (2 ? 1 ? 3 ? 8) ? ? 11.26kN 4 ? 0.577 4 ? tg 30?Σ Fx=FAx－FT×cos30?＝11.25－13×0.866＝0 Σ Fy=FAy－FG－FP＋FT×sin30?＝2.4－1－8－13×0.5 可见计算无误。 例 3－6 一端固定的悬臂梁如图 3－27a 所示。梁上作用均布荷载，荷载集度为 q，在梁的 自由端还受一集中力 P 和一力偶矩为 m 的力偶的作用。试求固定端 A 处的约束反力。图 3－27解 由 解得 由 解得取梁 AB 为研究对象。受力图及坐标系的选取如图 3－27b 所示。列平衡方程 Σ X＝0， XA＝0 Σ Y＝0， YA－ql－P＝0 YA＝ql＋P Σ m＝0， mA－ql2／2－Pl－m＝0 mA＝ql2／2+Pl+m例 3－7 塔式起得机如图 3－28 所示。机身重 G＝220kN，作用线过塔架的中心。已知最 大起吊重量 P＝50kN，起重悬臂长 12m，轨道 A、B 的间距为 4m，平衡锤重 Q 至机身中心线的 距离为 6m。试求： （1）确保起重机不至翻倒的平衡锤重 Q 的大小； （2）当 Q＝30kN，而起重机 满载时，轨道对 A、B 的约束反力。34图 3-28解 取起重机整体为研究对象。其正常工作时受力如图所示。 （1） 求确保起重机不至翻倒的平衡锤重 Q 的大小。 起重机满载时有顺时针转向翻倒的可能，要保证机身满载时而不翻倒，则必须满足： NA?0 Σ mB＝0 ， Q（6+2）+2GD4NADP(12－2)=0 解得 Q?(5P－G)／4＝7.5kN 起重机空载时有逆时针转向翻倒的可能， 要保证机身空载时平衡而不翻倒， 则必须满足下列 条件 NB?0 Σ mA＝0 ， Q（5－2）+4NBD2G=0 解得 Q? G／2＝110kN 因此平衡锤重 Q 的大小应满足 7.5kN? Q? 110kN （2） 当 Q＝30kN，求满载时的约束反力 NA、NB 的大小。 Σ mB＝0 ， Q（6+2）+2GD4NADP(12－2)=0 解得 NA＝(4Q+GD5P)/2＝45kN 由 Σ Y＝0， NA＋NB－Q－G－P＝0 解得 NB＝Q＋G＋P－NA＝255kN第七节静定和超静定问题及物体系统的平衡从前面的讨论已经知道，对每一种力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知 数的数目也是一定的。对于一个平衡物体，若独立平衡方程数目与未知数的数目恰好相等，则全 部未知数可由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。我们前面所讨论的都属于这类问题。但 工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性， 常设置多余的约束， 而使未知数的数目多于独立方程 的数目，未知数不能由平衡方程全部求出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。图 3－29 是超静定平面问题的例子。图 a 是平面平行力系，平衡方程是 2 个，而未知力是 3 个，属于超静35定问题；图 b 是平面任意力系，平衡方程是 3 个，而未知力有 4 个，因而也是超静定问题。对于 超静定问题的求解，要考虑物体受力后的变形，列出补充方程，这些内容将在后续课程中讨论。图 3－29工程中的结构，一般是由几个构件通过一定的约束联系在一起的，称为物体系统。如图 3－ 30 所示的三角拱。作用于物体系统上的力，可分为内力和外力两大类。系统外的物体作用于该 物体系统的力，称为外力；系统内部各物体之间的相互作用力，称为内力。对于整个物体系统来 说，内力总是成对出现的，两两平衡，故无需考虑，如图 3－30b 的铰 C 处。而当取系统内某一 部分为研究对象时，作用于系统上的内力变成了作用在该部分上的外力，必须在受力图中画出， 如图 3－30c 中铰 C 处的 FCx 和 FCy。图 3-30（abc）物体系统平衡是静定问题时才能应用平衡方程求解。 一般若系统由 n 个物体组成， 每个平面 力系作用的物体， 最多列出三个独立的平衡方程， 而整个系统共有不超过 3n 个独立的平衡方程。 若系统中的未知力的数目等于或小于能列出的独立的平衡方程的数目时， 该系统就是静定的； 否 则就是超静定的问题。 例 3－8 图 3－31 所示的人字形折梯放在光滑地面上。重 P＝800N 的人站在梯子 AC 边 的中点 H，C 是铰链，已知 AC＝BC＝2m；AD＝EB＝0.5m，梯子的自重不计。求地面 A、B 两 处的约束反力和绳 DE 的拉力。36图 3-31解 先取梯子整体为研究对象。受力图及坐标系如图 3－31b 所示。 由 Σ mA＝0 , NB(AC+BC)cos75?－P ?AC cos75?／2＝0 解得 NB＝200N 由 Σ Y＝0 ，NA +NB－P＝0 解得 NA＝600N 为求绳子的拉力，取其所作用的杆 BC 为研究对象。受力图如图 3－31c 所示。 由 Σ mC＝0 , NB?BC?cos75?－T ?EC? sin75?＝0 解得 T=71.5N 例 3－9 组合梁由 AB 梁和 BC 梁用中间铰 B 连接而成， 支承与荷载情况如图如图 3－32a 所示。已知 P＝20kN，q＝5kN/m，α ＝45?；求支座 A、C 的约束反力及铰 B 处的压力。图 3－32解 先取 BC 梁为研究对象。受力图及坐标如图 3－32b 所示。 由 Σ mC＝0 , 1? P－2YB＝0 解得 YB＝0.5P＝0.5×20＝10kN 由 Σ Y＝0 , YB－P +NCcosα ＝0 解得 NC＝14.14kN 由 Σ X＝0 , XB－NCsinα ＝0 解得 XB＝10 kN 再取 AB 梁为研究对象，受力图及坐标如图 3－32c 所示。 由 Σ X＝0 , XA－XB′＝0 解得 XA＝XB′＝10 kN 由 Σ Y＝0 , YA－Q－YB′＝0 解得 YA＝Q＋YB′＝2q+YB＝20 kN 由 Σ mA＝0 , mA－1?Q－2 YB′＝0 解得 mA＝30kN?m 例 3－10 图 3－33 为一个钢筋混凝土三铰刚架的计算简图， 在刚架上受到沿水平方向均 匀分布的线荷载 q＝8 kN/m，刚架高 h＝8m，跨度 l＝12m。试求支座 A、B 及铰 C 的约束反力。37图 3－33 解 先取刚架整体为研究对象。受力图如图 3－33b 所示。 由 Σ mC＝0 , ql2/2－YAl＝0 解得 YA＝ql/2＝48 由 Σ X＝0 ， YA －ql＋YB＝0 解得 YB＝YA＝48 由 Σ X＝0 ， XA －XB＝0 解得 XA ＝XB （1） 再取左半刚架为研究对象。受力图如图 3－33c 所示。 由 Σ mC＝0 , ql2/8＋XAh－YAl／2＝0 解得 XA＝18kN 由（1）式得 XA ＝XB＝18kN 由 Σ X＝0 , XA －XC＝0 解得 XC ＝XA＝18kN 由 Σ X＝0 ， YA －ql／2＋YC＝0 解得 YC＝0第八节 考虑摩擦时物体的平衡前面讨论物体平衡问题时， 物体间的接触面都假设是绝对光滑的。 事实上这种情况是不存在 的，两物体之间一般都要有摩擦存在。只是有些问题中，摩擦不是主要因素，可以忽略不计。但 在另外一些问题中，如重力坝与挡土墙的滑动称定问题中，带轮与摩擦轮的转动等等，摩擦是是 重要的甚至是决定性的因素，必须加以考虑。按照接触物体之间的相对运动形式，摩擦可分为滑 动摩擦和滚动摩擦。 本节只讨论滑动摩擦， 当物体之间仅出现相对滑动趋势而尚未发生运动时的 摩擦称为静滑动摩擦，简称静摩擦；对已发生相对滑动的物体间的摩擦称为动滑动摩擦，简称动 摩擦。一、滑动摩擦与滑动摩擦定律当两物体接触面间有相对滑动或有相对滑动趋势时， 沿接触点的公切面彼此作用着阻碍相对 滑动的力，称为滑动摩擦力，简称摩擦力。用 F 表示。38图 3－34如图 3－34 所示一重为 G 的物体放在粗糙水平面上，受水平力 P 的作用，当拉力 P 由零逐 渐增大，只要不超过某一定值，物体仍处于平衡状态。这说明在接触面处除了有法向约束反力 N 外，必定还有一个阻碍重物沿水平方向滑动的摩擦力 F，这时的摩擦力称为静摩擦力。静摩擦力 可由平衡方程确定。Σ X＝0 , P－F＝0。解得 F＝P。可见，静摩擦力 F 随主动力 P 的变化而 变化。 但是静摩擦力 F 并不是随主动力的增大而无限制地增大，当水平力达到一定限度时，如果 再继续增大， 物体的平衡状态将被破坏而产生滑动。 我们将物体即将滑动而未滑动的平衡状态称 为临界平衡状态。在临界平衡状态下，静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用 Fm 表示。 所以静摩擦力大小只能在零与最大静摩擦力 Fm 之间取值。即 0? F?Fm 最大静摩擦力与许多因素有关。 大量实验表明最大静摩擦力的大小可用如下近似关系： 最大 静摩擦力的大小与接触面之间的正压力（法向反力）成正比，即 Fm＝fN (3－16) 这就是库伦摩擦定律。式中 f 是无量纲的比例系数，称为静摩擦系数。其大小与接触体的材 料以及接触面状况（如粗糙度、湿度、温度等）有关。一般可在一些工程手册中查到。式（3－ 16）表示的关系只是近似的，对于一般的工程问题来说能够满足要求，但对于一些重要的工程， 如采用上式必须通过现场测量与试验精确地测定静摩擦系数的值作为设计计算的依据。 物体间在相对滑动的摩擦力称为动摩擦力，用 F′表示。实验表明，动摩擦力的方向与接触 物体间的相对运动方向相反，大小与两物体间的法向反力成正比。即 F′＝f′N （3－17） 这就是动滑动摩擦定律。式中无量纲的系数 f′称为动摩擦系数。还与两物体的相对速度有 关，但由于它们关系复杂，通常在一定速度范围内，可以不考虑这些变化，而认为只与接触的材 料以及接触面状况有关外。二、摩擦角与自锁现象如图 3－35 所示，当物体有相对运动趋势时，支承面对物体法向反力 N 和摩擦力 F，这两 个力的合力 R，称为全约束反力。全约束反力 R 与接触面公法线的夹角为 φ，如图 3－35a。显 然， 它随摩擦力的变化而变化。 当静摩擦力达到最大值 Fm 时， 夹角 φ 也达到最大值 φm ， 则称 φm0 为摩擦角。如图 3－35b 所示，可见 tanφm＝Fm/N＝fN/N＝f （3－18） 若过接触点在不同方向作出在临界平衡状态下的全约束反力的作用线， 则这些直线将形成一 个锥面，称摩擦锥。如图 3－35c 所示。39图 3－35图 3－36将作用在物体上的各主动力用合力 Q 表示，当物体处于平衡状态时，主动力合力 Q 与全约 束反力 R 应共线、反向、等值，则有α ＝φ。 而物体平衡时，全约束反力作用线不可能超出摩擦锥，即 φ?φm （图 3－36） 。由此得到 α ?φm （3－19） 即作用于物体上的主动力的合力 Q，不论其大小如何，只要其作用线与接触面公法线间的 夹角α 不大于摩擦角 φm ，物体必保持静止。这种现象称为自锁现象。 自锁现象在工程中有重要的应用。如千斤顶、压榨机等就利用发自锁原理。三、考虑摩擦时的平衡问题求解有摩擦时物体的平衡问题，其解题方法和步骤与不考虑摩擦时平衡问题基本相同。 例 3－11 物体重 G＝980N，放在一倾角α =30?的斜面上。 已知接触面间的静摩擦系数为 f＝0.20。 有一大小为 Q＝588N 的力沿斜面推物体如图 3－37a 所示， 问物体在斜面上处于静止还 是处于滑动状态？若静止，此时摩擦力多大？图 3－37解 可先假设物体处于静止状态， 然后由平衡方程求出物体处于静止状态时所需的静摩擦 力 F，并计算出可能产生的最大静摩擦力 Fm，将两者进行比较，确定力 F 是否满足 F?Fm ，从 而断定物体是静止的还是滑动的。40设物体沿斜面有下滑的趋势；受力图及坐标系如图 3－37 所示。 由 Σ X＝0 , Q－Gsinα +F＝0 解得 F＝Gsinα －Q＝－98N 由 Σ Y＝0 , N－Gcosα ＝0 解得 N=Gcosα =848.7N 根据静定摩擦定律，可能产生的最大静摩擦力为， Fm＝fN＝169.7NF ? 98N ? 169.7N ? Fm结果说明物体在斜面上保持静止。而静摩擦力 F 为－98N，负号说明实际方向与假设方向相 反，故物体沿斜面有上滑的趋势。 例 3－12 重 Q 的物体放在倾角α ＜φm 的斜面上（图 3－38a） ，求维持物体在斜面上静止 时的水平推力 P 的大小。图 3－38解 因α ＞φm ，若力 P 过小，则物体下滑；若力 P 过大，又将使物体上滑；若力 P 的 数值必在某一范围内。 先求刚好维持物体不至于下所需力 P 的最小值 Pmin。 此时物体处于下滑的临界状态， 其受力 图及坐标系如图 3－38b 所示。 由 Σ X＝0 , Pmincosα －Qsinα +F1m＝0 (a) Σ Y＝0 , N1－Pminsinα －Qcosα ＝0 (b) 由式（b）有 N1＝ Pminsinα +Q cosα (c) 将 F1m=fN1 、f=tanφ m 和式（c）代入式（a） ，得Pmin ?Q(sin ? ? f cos? ) ? Q tan( ? ? ?m ) (cos? ? f sin ? )(d)再求不至使物体向上滑动的力 P 的最大值 Pmin。 此时物体处于上滑的临界平衡状态， 其受力 图及坐标如图 3－38c 所示。 由 Σ X＝0 , Pmaxcosα －F2m－Qsinα ＝0 (e) Σ Y＝0 , N2－Pmaxsinα －Qcosα ＝0 由式（f）有 N2＝Pmaxsinα +Qcosα 将 F2m=fN2 、f=tanφm 和式（g）代入（e） ，得Pmax ?Q(sin ? ? f cos? ) ? Q tan( ? ? ?m ) (cos? ? f sin ? )(h)41可见，要使物体在斜面上保持静止，力 P 必须满足下列条件。 Qtan(α －φm)?P?Qtan(α +φm)42第四章 平面任意力系课题 学时 第 5 讲――第四章 平面任意力系 1 学时 1、掌握空间力在轴和平面上的投影的关系，力对轴的矩和力对点的矩矢间 的关系。 2、掌握空间力系的平衡方程，会应用求解简单的空间平衡问题。 3、了解空间力系的简化及其简化结果。 4、掌握重心和形心坐标公式，能计算简单形状物体的重心，能计算组合形 状物体的重心。 5、理解物体的重心的概念。 1、力的投影与分解。 2、力对轴之距。 3、空间力系的平衡。 1、力在空间直角坐标轴上的投影。 2、力对轴之距。 3、物体的重心。 以讲授为主，使用电子教案 习题 4-10教学目的要求主要内容重点难点 教学方法 和手段 课后作业练习作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。 按各力的作用在空间的位置关系， 空间力系可分为空间汇交力系、 空间平行力系和空间任意力系。 前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。第一节 力的投影与分解一、力在空间直角坐标轴上的投影已知力 F 与 x 轴如图 4－1(a)所示， 过力 F 的两端点 A、 B 分别作垂直于 x 轴的平面 M 及 N ， 与 x 轴交于 a、b，则线段 ab 冠以正号或负号称为力 F 在 x 轴上的投影，即 Fx＝±ab 符号规定：若从 a 到 b 的方向与 x 轴的正向一致取正号，反之取负号。 已知力 F 与平面 Q，如图 4－1(b)所示。过力的两端点 A、B 分别作平面 Q 的垂直线 AA′、 BB′，则矢量 A?B ? 称为力 F 在平面 Q 上的投影。应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力 在轴上的投影是代数量。43(a) 图 4－1(b)图 4－2现在讨论力 F 在空间直角坐标系 Oxy 中的情况。如图 4－2(a)所示，过力 F 的端点 A、B 分 别作 x、y、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA、OB、OC 就是力 F 在 x、y、 z 轴上的投影。设力 F 与 x、y、z 所夹的角分别是 α、β、γ，则力 F 在空间直角坐标轴上的投影 为：Fx ? ? F cos? ? ? F y ? ? F cos ? ? Fz ? ? F cos? ? ?(4－1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。 一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力 F 与 z 轴夹角为 γ ,可先将力投影 到坐标平面 Oxy 上，然后再投影到坐标轴 x、y 上，如图 4－2（b）所示。设力 F 在 Oxy 平面上 的投影为 Fxy 与 x 轴间的夹角为 θ，则Fx ? ? F sin ? cos? ? ? Fy ? ? F sin ? sin ? ? Fz ? ? F cos? ? ?用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。 若已知力 F 在坐标轴上的投影，则该力的大小及方向余弦为(4－2)? F ? X 2 ?Y 2 ? Z2 ? X Y Z? cos? ? , cos ? ? , cos? ? ? F F F?（4－3）如果把一个力沿空间直角坐标轴分解， 则沿三个坐标轴分力的大小等于力在这三个坐标轴上投影 的绝对值。 例 4－1 如图 4－3 所示，已知力 F1＝2kN，F2＝1kN，F3＝3kN，试分别计算三力在 x、y、 z 轴上的投影。44图 4－3解：F1 x ? ? F1 ? F1 y ? F1 ? F1 z ? 0 F2 x ? F2 ? F2 y F2 z F3 x 2 3 ? ? 0.424kN 2 5 2 4 ? F2 ? ? ? 0.566kN 2 5 2 ? F2 ? ? 0.707kN 2 ? 0 3 ? ?1.2 kN 54 ? 1.6 kN 5F3 y ? 0 F3 x ? F3 ? 3 kN第二节力对轴之矩力对轴之矩是度量力使物体绕某轴转动效应的力学量。 实践表明， 力使物体绕一个轴转动的 效果，不仅与力的大小有关，而且和力与转轴之间的相对位置有关。如图 4－4 所示的一扇门可 绕固定轴 z 转动。 我们将力 F 分解为平行于 z 轴的分力 Fz 和垂直于轴的分力 Fxy （即为力 F 在平 面 Oxy 上的投影） 。由经验可知，分力 Fz 不能使门绕 z 轴转动，即力 Fz 对 z 轴的矩为零；只有 分力 Fxy 才能使门绕 z 轴转动。现用符号 mz(F)表示力 F 对 z 轴的矩，点 O 为平面 Oxy 与 z 轴的 交点，h 为 O 点到力 Fxy 作用线的距离。因此，力 F 对 z 轴的矩与其分力 Fxy 对点 O 的矩等效， 即 mz(F)＝mo(Fxy) ＝±Fxyh (4－4) 可得力对轴之矩的定义如下：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的量度，是一个代数 量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与该轴的交点的矩，其正负号规定为： 从轴的正向看，力使物体绕该轴逆时针转动时，取正号；反之取负号。也可按右手螺旋法则来 确定其正负号，姆指指向与轴的正向一致时取正号，反之取负号，如图 4－5 所示。 注意，当力与轴共面时力对该轴的之矩为零。 力对轴之矩的单位是牛?米（N?m）或千牛?米(kN?m)。 另外合力矩定理在空间力系中也同样适用。 例 4－2 求图 4－6 所示力 F 对 x、y、z 轴的矩。已知 F＝20N。 解： 将 F 沿 x、y、z 三个方向分解为 Fx、Fy 与 Fz（图 4－6b） 。 Fx＝Fcos60?sin45?=7.07N Fy＝－Fcos60?cos45?=－7.07N Fz＝－F sin 60? =－17.32 N45则 F 对 x、y、z 轴之矩： mx(F)＝300Fy－（200＋200）Fz＝－4.81（Nm） my(F)＝300Fx－400Fz＝－4.81（Nm） mz(F)＝－(200+200) Fx+400Fy＝0第三节?Fx ? 0, ?Fy ? 0, ?Fz ? 0空间力系的平衡与建立平面力系的平衡条件的方法相同，通过力系的简化，可建立空间力系的平衡方程。? ? ?m x ( F ) ? 0, ?m y ( F ) ? 0, ?m z ( F ) ? 0?（4－5）上式表明：空间力系平衡的必要和充分条件为各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此 三轴之矩的代数和分别等于零。 （4－5）式有六个独立的平衡方程，要以求解六个未知数。 从空间任意力系的平衡方程，很容易导出空间汇交力系和空间平行力系的平衡方程。如图 4 －7a 所示，设物体受一空间汇交力系的作用，若选择空间汇交力系的汇交点为坐标系 Oxyz 的原 点，则不论此力系是否平衡，各力对三轴之矩恒为零，即Σ mx(F)≡0,Σ my(F)≡0，Σ mz(F)≡0。 因此，空间汇交力系的平衡方程为： Σ Fx＝0, Σ Fy＝0, Σ Fz＝0 （4－6） 如图 4－7b 所示，设物体受一空间平行力系的作用。令轴与这些力平行，则各力对于轴的矩 恒等于零； 又由于轴和轴都与这些力垂直， 所以各力在这两个轴上的投影也恒等于零。 即Σ mz(F) ≡0，Σ Fx≡0, Σ Fy≡0。因此空间平行力系的平衡方程为 Σ Fz＝0，Σ mx(F)＝0,Σ my(F)＝0 （4－7） 空间汇交力系和空间平行力系分别只有三个独立的平衡方程，因此只能求解三个未知数。图 4－7（ab）例 4－3 用三角架 ABCD 和绞车提升一重物如图 4－8 所示。设 ABC 为一等边三角形，各 杆及绳索均与水平面成 60?的角。已知重物 FG＝30kN,各杆均为二力杆，滑轮大小不计。试求重 物匀速吊起时各杆所受的力。46图 4－8（ab）取铰 D 为 脱离体，画受力图如图 4－8b 所示，各力形成空间汇交力系。 由Σ Fx＝0, －NADcos60?sin60?+ NBDcos60?sin60?=0 得 NAD=NAD 由Σ Fy＝0, T cos60?+NCDcos60?－NADcos60?cos60?－NBDcos60?cos60?=0 得 FG＋NCD－0.5NAD－0.5NBD=0 由Σ Fz＝0, NADsin60?+NCDsin60?+NBDsin60?DT sin60?DFG=0 得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)－(0.866+1)FG=0 联立求解得 NAD =NBD =31.55kN ， NCD=1.55kN。 例 4－4 一辆三轮货车自重 FG＝5kN，载重 F＝10kN，作用点位置如图 4－9 所示。求静 止时地面对轮子的反力。解图 4－9解 自重 FG 、载重 F 及地面对轮子的反力组成空间平行力系。 Σ Fx＝0 FA＋FB＋FC－GA－F＝0 Σ mx(F)＝0 1.5 FAD0.5 FGD0.6 F＝0 Σ my(F)＝0 D0.5FAD1FB＋0.5FG＋0.4FA＝0 联立以上方程得 FA＝5.67kN FB＝5.66kN FC＝3.67kN 例 4－5 某厂房柱子下端固定，柱顶承受力 F1，牛腿上承受 铅直力 F2 及水平力 F3，取坐标系如图 4－10 所示。F1、F2 在 yoz 平面内， 与 z 轴的距离分别为 e1＝0.1m， e2＝0.34m； F3 平行于 x 轴。 已知 F1＝120kN，F2＝300kN，F3＝25kN，柱子自重 FG＝40kN，h47＝6m。试求基础的约束反力。解 柱子基础为固定端， 其约束反力如图 4－10 所示， 该约束反力与柱子上各荷载形成空 间任意力系。 Σ Fx＝0 FxDF3＝0 Σ Fy＝0 Fy＝0 Σ Fz＝0 FzDF1－F2DFG＝0 Σ mx(F)＝0 mx + F1e1－F2e2＝0 Σ my(F)＝0 my－F3 h＝0 Σ mz(F)＝0 mz+ F3e2＝0 将已知数值代入以上方程并求得柱子的约束反力为 图 4－10 F1＝25kN Fy＝0 Fz＝460kN mx ＝90kNm my＝150kNm mz＝－8.5kNm 例 4－6 图 4－11a 所示为水平放置的直角直杆，A 处为球铰，B 处用绳 BC 拉住，D 处 为普通轴承约束，E 悬挂重物 FG＝1kN，各尺寸如图所示。试求 A、D 的约束反力及绳 BC 的拉 力。图 4－11ab解 画出折杆的受力图并取坐标系如图 4－11b 所示。将绳的拉力 FTB 沿 x、y、z 三个方 向分解： FTBx＝FTBcosα FTBy＝FTBcosβ FTBz＝FTBcosγ 列出力矩方程时分别选择 AB、BD、AD 及 Z 轴为矩轴。 Σ mAB(F)＝0 FDz＝0 Σ mBD(F)＝0 1FDz－0.5FG＝0 FAz＝500N Σ mAD(F)＝0 d1FTBz －d2FG＝0 其中 d1 ?1 2, d2 ?0.5 2FTBz0.2 2 ? 0.32 ? FTB cos? ? FTB cos(arctg ) 0.6FTB=583N48代入上式得由 Σ mz(F)＝0－FDy×1＋FTBx×1＝0FDy ? FTBx cos? ? 583cos(arctgΣ Fx＝0 FTBx＝FAx＝0 FAx＝DFTBx＝D166.6N Σ Fy＝0 FAy+FDy－FTBy＝00.6 2 ? 0.32 ) 0.2FAy ? FTBy ? FDy ? FTB cos ? ? 583cos(arctg0.6 2 ? 0.2 2 ) ? 166.6 ? 83.4 N 0.3第四节 物体的重心物体的重力是地球对物体的引力， 如果把物体看成是由许多微小部分组成的， 则每个微小的 部分都受到地球的引力，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研 究的物体尺寸与地球的直径相比要小得多， 因此可以近似地看成是空间平行力系， 该力系的合力 即为物体的重量。由实践可知，无论物体如何放置，重力合力的作用线总是过一个确定点，这个 点就是物体的重心。 重心的位置对于物体的平衡和运动，都有很大关系。在工程上，设计挡土墙、重力坝等建筑 我时， 重心位置直接关系到建筑我的抗倾稳定性及其内部受力的分布。 机械的转动部分如偏心轮 应使其重心离转动轴有一定距离， 以便利用其偏心产生的效果； 而一般的高速转动物体又必须使 其重心尽可能不偏离转动轴，以免产生不良影响。所以如何确定物体的重心位置，在实践中有着 重要的意义。一、重心坐标公式图 4－12如图 4－12 所示，设一物体放置于坐标系 Oxyz 中,将物体分成许多微小的部分，其所受的重 力各为Δ Pi，作用点即微小部分的重心为 Ci ，其对应坐标分别为 xi、yi、zi，所有Δ Pi 的合力 P 就是整个物体所受的重力，其大小即整个物体的重量为 P＝Σ Δ p，其作用点即为物体的重心 C。 设重心 C 的坐标为 xc、yc、zc ，由合力矩定理，有 mx(P)＝Σ mx(Δ P) , DPyc＝－Σ Δ Py my(P)＝Σ my(Δ P) , Pxc＝Σ Δ Px 根据物体重心的性质，将物体与坐标系固连在一起绕 x 轴转过 90?，各力Δ Pi 及 P 分别绕其 作用点也转过 90?，如图中虚线所示，再应用合力矩定理，有49mx(P)＝Σ mx(Δ P) , Pzc＝Σ Δ Pz 由上述三式可得物体的重心坐标公式为xc ???Py ??Px ??Pz , yc ? , zc ? P P P（4－8）若物体是均质的，其单位体积的重量为 γ，各微小部分体积为Δ Vi，整个物体的体积为 V＝ Σ Δ V ，则Δ Pi＝γΔ Vi，P＝γV 代入上式，得xc ???V y ??Vx ??Vz , yc ? , zc ? V V V（4－9）由式（4－9）可知，均质物体的重心与物体的重量无关，只取决于物体的几何形状和尺寸。 这个由物体的几何形状和尺寸决定的物体的几何中心，称为物体的形心。它是几何概念。只有均 质物体的重心和形心才重合于同一点。 若物体是均质薄壳（或曲面） ，其重心（或形心）坐标公式为xc ???Ay ??Ax ??Az , yc ? , zc ? A A A ??L y ??Lx ??Lz , yc ? , zc ? L L L（4－10）若物体是或均质细杆（或曲线） ，其重心（或形心）坐标公式为xc ?（4－11）二、物体重心与形心的计算根据物体的具体形状的特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位置。 （一） 对称法 由重心公式不难证明， 具有对称轴、 对称面或对称中心的均质物体， 其形心必定在其对称轴、 对称面或对称中心上。因此，有一根对称轴的的平面图形，其形心在对称轴上；具有两根或两根 以上对称轴的平面图形，其形心在对称轴的交点上；有对称中心的物体，其形以在对称中心上。 如图（4－13）所示。图 4－13abc（二）组合法 有些平面图形是由几个简单图形组成的，称为组合图形，可先把图形分成几个简单图形，每 个简单图形的形心可查表(4－1)求得，再应用形心坐标公式计算出组合图形的形心这种方法称组 合法。 例 4－7 图 4－14 为一倒 T 形截面，求该截面的形心。50解 因图形有一对称轴，故取该轴为轴，如图所示。则图形形心必在轴上，即 xc＝0。将 图形分成两部分 A1、A2，各分图形面积及坐标 yi 如下 A1＝200×400＝80 000 (mm2) Y1＝400/2+100＝300 (mm) A2＝600×100＝60 000 (mm2) Y1＝100/2＝50 (mm) 则yc ?例 4－8 偏心块形心。解 将偏心块看成是由三部分组成的， 即半径为 R 的半圆 A1 、 半径为 （r+d） 的半圆 A2 、 及半径为 r 的圆 A3，但因为该圆是被挖去的部分，所以 A3 应取负值。取坐标如图，轴为对称轴， 故 xc＝0。各部分的面积及形心坐标为400 400 100 2 0 600 0图 4－14A1 y1 ? A2 y 2 8 ? 60000? 50 ? ? 192.9(m m) A1 ? A2 8图 4－15 所示为振动器中偏心块，已知 R＝100mm，r＝17mm，d＝13mm。求图 4－15511 4R A1 ? ?R 2 , y1 ? 2 3? 1 4(r ? b) A2 ? ? (r ? b) 2 , y 2 ? ? 2 3? 2 A3 ? ??r , y3 ? 0?yc ? A1 y1 ? A2 y 2 ? A3 y 3 2 ? A1 ? A2 ? A3? 1002 ??24 ? 100 ? ? 4(17 ? 13) ? ? (17 ? 13) 2 ?? ? 3? 2 3? ? ?? 1002 ??? 40(m m)2(17 ? 13) 2 ? ? ? 17252第五章 杆件的内力分析课题 学时 教学目的要求 第 6 讲――第五章 杆件的内力分析 8 学时＋2 学时习题课＋2 学时实验 1、能正确分析直杆在常见载荷作用下的变形形式， 2、能较熟练的分析杆件的内力，绘制相应的内力图。 1、四种基本变形的受力特点、变形特点。 2、内力的概念，求内力的基本方法----截面法。 3、轴力和轴力图 4、扭矩和扭矩图 5、剪力、弯矩和剪力图、弯矩图 1、内力图的绘制 2、直接绘制剪力图、弯矩图 以讲授为主，使用电子教案 习题：P54：1，2，5，6 预习：主要内容重点难点 教学方法 和手段 课后作业练习在进行结构设计时，为保证结构安全正常工作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解 决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截面的内力。内力计算是结构设计的基础。本章研 究杆件的内力计算问题。第一节 杆件的外力与变形特点进行结构的受力分析时，只考虑力的运动效应，可以将结构看做是刚体；但进行结构的内力 分析时，要考虑力的变形效应，必须把结构作为变形固体处理。所研究杆件受到的其他构件的作 用，统称为杆件的外力。外力包括载荷（主动力）以及载荷引起的约束反力（被动力） 。广义地 讲， 对构件产生作用的外界因素除载荷以及载荷引起的约束反力之外， 还有温度改变、 支座移动、 制造误差等。杆件在外力的作用下的变形可分为四种基本变形及其组合变形。一、轴向拉伸与压缩受力特点：杆件受到与杆件轴线重合的外力的作用。 变形特点：杆沿轴线方向的伸长或缩短。 产生轴向拉伸与压缩变形的杆件称为拉压杆。图：5-1 所示屋架中的弦杆、牵引桥的拉索和 桥塔、阀门启闭机的螺杆等均为拉压杆。53图 5-1二、剪切受力特点：杆件受到垂直杆件轴线方向的一组等值、反向、作用线相距极近的平行力的 作用。 变形特点：二力之间的横截面产生相对的错动。 产生剪切变形的杆件通常为拉压杆的连接件。 如图 5-2 所示螺栓、 销轴连接中的螺栓和销钉， 均产生剪切变形。图 5-2三、扭转受力特点：杆件受到作用面垂直于杆轴线的力偶的作用。 变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。 产生扭转变形的杆件多为传动轴，房屋的雨蓬梁也有扭转变形，如图：5-3 所示。54图 5-3四