导读：第４４卷第５期２０１１年５月天津大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖ，天津３００３８４）摘要：针对利用鱼眼镜头构建的全方位视觉系统研究内外部参数标定及，提出成像系统中需要标定的内、外部参数，研究径向畸变系数及其他参数的标定方法：在参数标定的基础上，对图像中的像素点及整幅鱼眼图像进行畸变矫正实验证明，研究的标定方法可准确地标定出视觉系统的内外部参数，基于等距投影的像素点矫正可应用于精第４４卷第５期２０１１年５月天津大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶ０１．４４Ｎｏ．５Ｍａｙ２０１１基于鱼眼镜头的全方位视觉参数标定与畸变矫正冯为嘉１，张宝峰２曹作良２（１．天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津３０００７２；２．天津理丁大学天津市复杂工业系统控制理论及应用重点实验室，天津３００３８４）摘要：针对利用鱼眼镜头构建的全方位视觉系统研究内外部参数标定及图像畸变矫正方法，建立成像系统模型，提出成像系统中需要标定的内、外部参数；采用改进的线性标定法标定图像中心，研究径向畸变系数及其他参数的标定方法：在参数标定的基础上，分别利用等距投影和支持向量机训练方法，对图像中的像素点及整幅鱼眼图像进行畸变矫正实验证明，研究的标定方法可准确地标定出视觉系统的内外部参数；基于等距投影的像素点矫正可应用于精确定位视觉系统的空间位置；基于支持向量机训练方法的全图像畸变矫正可获得理想的鱼眼图像矫正效果，所提出的参数标定和畸变矫正方法将有利于与鱼眼镜头在机器视觉领域的应用关键词：全方位视觉；鱼眼镜头；参数标定；畸变矫正；支持向量机中图分类号：ＴＮ２４７文献标志码：Ａ文章编号：０４９３―２１３７（２０１１）０５―０４１７－０８Ｏｍｎｉ―ＤｉｒｅｃｔｉｏｎａｌＶｉｓｉｏｎＰａｒａｍｅｔｅｒＣａｌｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄＲｅｃｔｉｆｉｃａｔｉｏｎＢａｓｅｄＦＥＮＧｏｎＦｉｓｈ―ＥｙｅＬｅｎｓＢａｏ―ｆｅｎ９２，ＣＡＯＺｕｏ．１ｉａｎ９２Ｗｅｉ－ｊｉａｌ，ＺＨＡＮＧ（１．ＳｔａｔｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＰｒｅｃｉｓｉｏｎＭｅａｓｕｒｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔｓ，ＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３０００７２，Ｃｈｉｎａ；２．ＴｉａｎｊｉｎＫｅｙｏｆＴｅｃｈ―ＬａｂｏｒａｔｏｒｙｆｏｒＣｏｎｔｒｏｌＴｈｅｏｒｙａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＣｏｍｐｌｉｃａｔｅｄＩｎｄｕｓｔｒｙＳｙｓｔｅｍｓ，ＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００３８４，Ｃｈｉｎａ）ｐａｒａｍｅｔｅｒｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｒｅｃｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｏｍｎｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｖｉｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍｂａｓｅｄｆｉｓｈ?ｅｙｅｌｅｎｓＡｂｓｔｒａｃｔ：Ａｏｎｗａｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ａｎｉｍａｇｉｎｇｓｙｓｔｅｍｍｏｄｅｌｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ｗｈｉｃｈｉｎｄｉｃａｔｅｄｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｄｅｘｔｅｒｉｏｒａｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｔｈｅｏｐｔｉｃｃｅｎｔｅｒｗａｓｃａｌｉｂｒａｔｅｄｂｙｉｍｐｒｏｖｅｄｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｔｈｅｏｔｈｅｒｐａｒａｍｅｔｅｒｓｓｕｃｈａｓｔｈｅｒａｄｉａｌｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓｋｘ，最，ａｒｅａｎａｌｙｚｅｄｔＯＯ．Ｏｎｔｈｉｓｂａｓｉｓ，ｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｏｉｎｔａｎｄｆｉｓｈ―ｅｙｅｌｅｎｓｉｍａｇｅｗｉｌｌｂｅｒｅｃｔｉｆｉｅｄｂｙｔｈｅｅｑｕｉｄｉｓｔａｎｃｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｓｕｐｐｏｒｔｃａｎｖｅｃｔｏｒｍａｃｈｉｎｅｔｒａｉｎｉｎｇ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．ｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｄｅｘｔｅｒｉｏｒＴｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｂｅｃａｌｉｂｒａｔｅｄａｃｃｕｒａｔｅｌｙｕｔｉｌｉｚｉｎｇｔｈｅｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｃａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｏｉｎｔｒｅｃｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｅｑｕｉｄｉｓｔａｎｃｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍｉｍａｇｅｃａｎｂｅｕｓｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｐｒｅｃｉｓｅｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｖｉｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍ．ＡｎｉｄｅａｌｒｅｃｔｉｆｉｃａｔｉｏｎＴｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｗｉｌｌｂｅｂｅｎｅｆｉｃｉａｌｔｏｂｅａｃｈｉｅｖｅｄｂｙｕｓｉｎｇｓｕｐｐｏｒｔｖｅｃｔｏｒｍａｃｈｉｎｅｔｒａｍｍｇ．ｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆｆｉｓｈ―ｅｙｅｌｅｎｓｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｍａｃｈｉｎｅｖｉｓｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｏｍｎｉ―ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｖｉｓｉｏｎ；ｆｉｓｈ―ｅｙｅｌｅｎｓ；ｐａｒａｍｅｔｅｒｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ；ｒｅｃｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ；ｓｕｐｐｏｒｔｖｅｃｔｏｒｍａｃｈｉｎｅ全方位视觉一次拍摄可摄取３６０。方位角中的全部景物，这一特性非常有利于多目标捕获、机动目标跟踪，尤其对移动机器人的视觉导航具有特殊的意义．近年来利用全方位视觉传感器构建全方位视觉系统得到了广泛地研究‘卜３１，全方位视觉传感器虽然收稿日期：基金项目：作者简介：通讯作者：可以在一次拍摄中捕获水平方向３６０。的全部信息，但是在垂直方向有一定的视场限制，且镜头本身将会出现在拍摄的图像中造成盲区．笔者利用鱼眼镜头构建全方位视觉系统在捕获３６０。方位角信息的同时可兼顾天顶１８５。半球域视场．鱼眼镜头存在的光学２００９一ｌｌ一２７；修回日期：２０１０－０５－０５国家高技术研究发展计划（８６３计划）资助项目（２００７ＡＡ０４２２２９）；国家科技部中芬圉际合作资助项目（２００６ＤＦＡｌ２４１０）冯为嘉（１９８３一），男，博士研究生，ｆｅｎｇｗｅｉｊｉａ２００８＠１２６．ＣＯｍ．张宝峰，ｚｈａｎｇｂａｏｆｅｎｇ＠２６３．ＣＯｍ．万方数据天津大学学报第４４卷第５期偏差以及镜头与相机的装配误差，往往造成图像中心偏离成像芯片靶而中心等误差，因此需要对成像系统进行标定以确定图像中心坐标和其他成像系统参数Ｈ。Ｊ．在建立成像系统模型的基础上提出需标定的系统内、外部参数，对传统的线性标定方法进行改进，设计适合于鱼眼镜头标定的新型靶标和标定方法，为畸变矫正奠定基础．国内外学者对鱼眼图像畸变矫正和图像复原算法进行了大量研究［６－８１，目前常见的鱼眼镜头矫正模型有球面模型、对数极限模型、多项式变换模型等．不同光学结构的镜头适合于不同的矫正模型，通常为不同类型鱼眼镜头选择适合的矫正模型是较为困难的．笔者利用等距投影定理及支持向量机训练的方法分别实现了对鱼眼图像中的像素点和整幅图像的畸变矫正，取得了理想的效果．Ｙ，Ｚ），摄像机坐标系（ｘ７，ｙ’，ｚ，），图像坐标系（‘Ｃ），成像平面坐标系（“，ｖ）．其中Ｐ为世界坐标系中一点，ＯＯ＇为光轴，ｈ为Ｐ点到镜头表面的距离，ｒ为Ｐ到镜头中心Ｏ的水平距离，∞为Ｐ点相对镜头中心的入射角（仰角），０为Ｐ点在摄像机坐标系中的方位角，Ｐ７为Ｐ在成像面上的像点，ｒ为像点离图像中心点Ｏ７的距离（径向距离），臼’为像点在图像物理坐标系中的方位角．根据等距投影定理，Ｄ７为鱼眼图像的中心点（甜。，ｖｏ），（甜，ｖ）为成像点ｐ’在成像面中的像素坐标，它们之间的关系为ｒ＝Ｋ缈２成像系统参数标定１成像系统模型图１为成像系统模型．本文建立的成像系统模型包括世界坐标系（Ｘ。，１，。，Ｚ、、），鱼眼镜头坐标系（ｘ，『≥］＝曰［篓］＋ｒ＝『善｝善ｉ至ｉ］『受］＋［主］ｃ２，ｘ一（“一“。）破｛巧ＪＸｈ手ｒ１２Ｙ｜，＋ｒｕｚｌⅣ１Ｌｔ。ｒ３】ｘｗ＋ｒ３２ｙｗ＋巧３ｚｗ＋‘＝｛（３）Ｙ一（Ｖ―Ｖｏ）吐｛Ｆ２１Ｘ。十ｒｚｚＹＨ手Ｆ２３Ｚ¨．＋，ｒ３１Ｘ。＋ｒ３２Ｙ。＋ｒ３３ｚ。＋ｆ＝｛式中：（甜。，ｖ。）是像素中心坐标；巩和ｄ分别为一个像素在ｘ轴与Ｙ轴方向上的物理尺寸，而Ｓ、＿１Ｍ，，ＳＦ１／ｄ，即单位长度的像素个数．由于鱼眼镜头的“桶形”畸变量比较大，无法直接使用传统的线性标定方式，因此根据鱼眼镜头的成像模式建立简单的直接以视场角为参数的成像模型，假设偏心畸变、薄棱镜畸变、正交畸变为０，在仅考虑径向畸变和内方位元素误差的情况下，利用类似与线性标定的方法，同时解算外部参数和成像模型内部图１成像系统模型Ｆｉｇ．１Ｍｏｄｅｌｏｆ参数．根据等距投影定理式（１）和坐标系转换公式（２）和式（３）组成方程为ｉｍａｇｉｎｇｓｙｓｔｅｍ…似。ｎｆ巫互互五豆互互互１ｒｓｌｘｚ＋ｒ３２Ｙ，＋＿３ｚ』＋ｔ：ｒ＝ｋ１０９＋ｋ２∞二＋ｋ３Ｃ０３＋ｋ４０）４＋ｋｓＣＯ５＋万方数据‘＝止：＋，ｉ（４）式中：‰为标定点成像点距Ｉ利像传感器中心的距离；饥．如）为标定点所成像点的阿像传感器坐标．Ｘｄ＝（Ⅳ一№）井．蛐＝（ｖ一Ⅶ）ｄ以ｒ公式表达了径ｆ札Ｅ寸约求．另外还有径阳排列约求为ｘ。｜ｙ：＝ｘｌ｜虬ｔ５、且苎＿兰丛±坚盐：立ｆ６、‘１‘＋‘２Ｈ＋‘ｊ：，＋ｔ，ｈ联巾径向尺寸约束（４）和径向排列约束（６）．就可以±Ｈ戚包含外参数（旋转矩阵和平移矩阵）和内部参数（径向戚像模型参数）的＾程细．只婴给定比较接近的初始值便可以求解合Ｊｑ的参数值…ｏ实验平台艘采集到的色眼Ｉ譬１像如闽２和瞎ｌ３所示根据靶标【的２４个基准嘲建证世界坐标系．结合采集网像巾提取Ｈ｛的这些甚准嘲脚心的图像坐标，即可建证包含摄像机位姿旋转矩阵、，Ｆ移矩阵的惟线性＾程组，通过旋转矩阵约束关系，利崩最４＇－－－乘拟合算法解算出旋转矩阵和半移矩阵，技待求的像嘶中心实验步骤如下步骤１利用ＣＡＤ制阿软件澄计靶标．任捌定的位置绘制２４个嘲，用来构建ｌ韭界坐标系：步骤２将鱼眼镜头摄像机ｌ州定在光学平ｍ¨‘．镜头摆放的角度无特殊要求；步骤３在镜头ｆ痢放置直线位移平台．接Ｈ刮定着靶标，靶标阿垂直于平台的直线位移南｜ｆ】Ｊ，似靶标与镜头的位置无特殊要求；步骤４采集罔像，保征罔像包含所冉杯定髓ｌ；步骤５利用直线位移平台使靶标水平移动吲定距离￡．按步骤４要求再采集Ｉ幅罔像．重复此步骤．获取多｝Ｈ罔像；步骤６利用求质心由法获得每个网的同心坐标目２鱼ｍ镜＊标定ｇ验｝台Ｆｉｇ．２Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｕｎｖ】ｒ…ｒｎＩｏｆｃａ］ｉｂｒａｔｌｏｎ万方数据考虑到鱼眼矧像的剧烈畸坐，边缘的基准嘲将畸０１５６４－００６０６０９９２２Ｒ＝０００４１０９９８ｌ００６０７ｌ０９８７７＿０００５５０ｌ５６３ｌ表１基准圆圆心图像坐标与世界坐标ＴａｂＩＩｍａｇｅｃＩ．０ｒｄｉｎａｌｅａｎｄｗｏｒｌｄｃ００ｒｄｌｎａ“ｓｆｏｒＩｈｅｍF№＃Ｔｎｒ址，价ｖ恤㈠根据解算ｆｌｉ的旋转矩阵Ｒ、平移矩阵ｒ、像丽中心（加．Ⅶ），结合已建直的包冉摄像机位姿旋转矩阵、平移矩阵的忙线性南程组，以及旋转矩阵约柬关系．利用采集得到的一组基准酬的恻心罔像坐标。反向解算对应的世界坐标，并与这组基准圆实际的世界坐标进行比对．以验证标定结果的ｌＥ确性．具体验证结果如表２所＂ｉ表２基准圆圆心坐标实％值与解算值比较Ｔａｂ２Ｃｏｍｐａｄ∞ｎｂｅｔｗ∞ｎＤｎｅ６曲ｌｖＡＩｕ％ａｎｄｃａｌｃｕｌａ－ｆ｛１１｜剐４和表２可见，各个硅准嘲删心罔像啦标的实际值和解算值基奉一致．征明利川ｌ谜鱼跟镜头标定方法获褥的标定结果是准确町靠的６ｎ一扩ｖ一刀／７Ｉ刊。帅ｌ：竺．．．Ｊ（ｂ）ｒ女％ｎ。ＪF”Ⅲ目４』Ⅻ，女％值与解算值＆较ＦｉｇＡＰｒａｃｔｉｃａ［ａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｌｏｎｖａｌｕｅｃｏｍｐｓｒｊｓｏｎｏｆｘａｎｄ，２．２镜面到成像点距离，标定镜面到成像点的距离，．属于成像系统内部参数．是标定径向畸变系数的必要前提，但它无法通过直接洲蝣得到根据等距投影成像帐理．鱼¨粜卒问２点到鱼眼镜头的＾射角相同，则在成像面ｒ的往向距离相等守问中不同的２点ｐ，曲点在鱼眼成像Ｉ血｝的像点为同一点ｐｉＰ－、Ｐ２点到镜面的垂直距离为乜、＾２．到光轴的水平距离为ｓＩ、ｓ２，从陶５（ａ）中可以得万方数据△ＯＢＰ！△ＯＡＲ７）ＯＢ：！ｉ，生丛：立８）ＯＡ』Ｐ＾，＋，ｓ、（＾＋，），：＝（也＋，）＾９），一，ｈ５ｌ―ｑ５：０）（ｈ】ｅ＃，“ｔ≈ｈｉｍｍ…F目５参数¨ｉ定Ｆｉｇ．５Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｐａｒｓｍｅｔｅｒ从式（１０）小ｎＩ得知．只要在空间中找到２点能戚像于鱼跟罔像中吲一点．测得这２点的水平和垂直距离．即可求得，谩计特殊的标定靶标如图５（ｂ）所ｄｉ．针对靶标模式在程序中建讧５个基准点，一方面片１米保证戚像系统坐标系‘』靶标坐标系的…致性．另一片面便于捕获标定点枉同像中的像崇值在保证靶标。ｊ成像系统垂直的前挺下，移动靶标位覆．多次测盟、计算取平均值得到，为】７．８ｒｎｍ２．３径向畸变系数‘、☆。标定将往向畸变分解到』、ｙ轴上得‘＝＾。∞，‘＝女。口（１１）式中＾和。为像点到罔像中心点的距离在』和ｙ轴ｌ：的分世，刚像中心点为（“。，‰），空间一点人射角为ｍ的Ｐ点在闭像平面的成像点为∥（“．讨．目Ｋ么＿＝“一‰Ｉ，‘＝卜１一％Ｉ将式（１１）代八到式（１２）得！！。！兰！！！兰兰竺兰：！！：！：竺些丝兰竺竺些！！丝竺童墼丝篁：！堕竺竺！！：：竺！：￡＝量蚓ｋ、ｔ标窀模型如罔６（ａ）所示ａ）‘＾．“≈ｍⅧ（ｈ）＾＾¨ＩⅢｍＨｆ｛囤６ｋⅫ＾．标｛Ｆｉｇ６ＣａｌｉｂｒａｌｉｏｎｏｆｋＮ―ｌ表巾Ａｕ。、Ａｕ。为标定点的成像点到吲像中心的像索个数差，Ａｓ．为标定点到光轴的实际空间距离，为８标定点的入射角，－ａｒｃｔａｒ，［等］求取实验数据的平均值得女。＝３２１４５，ｋ．＝３２２５８表３ｋ的标定结果Ｔａｂ３Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎｒ６ｕｌｔｓｏｆ‘Ａｕ“／血，ｍ女ｍｍＥ｜＊。＝等万方数据表４＾．的标定结果ｒａｂ４ＣａｌｉｂｒａｔｉｏｎｒｅｓｕｌＮｏｆ＾。ｍｍ”并ｍ，一”等３畸变矫正３１像素点矫正根批｜；ｉ『文标定得ｆｌ｛的成像系统参数，建讧虚拟像衙，推导ｍ卒间任意一点与畸变阿像点之间的对应关系空问任意一点Ｐ在虚拟像丽ｒ的点与在曲眼罔像之间的关系如网７所示图７鱼眼圈像＊正槿■Ｆｉ９７Ｍｏｄｅｌｆｏｒｒｅｃｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｌ＇Ⅱｈ―ｅｙｅｌｅｍｉｍａｇｅ只时论径向畸变．则ｑ＝Ｂｍ８ｃｏｓＢ＝！≥＝Ｔ―；与２等２旆ｍ，‘√（＂‰）。十（ｖ一％）。包含总结汇报、人文社科、经管营销、资格考试、旅游景点、外语学习、文档下载、word文档、办公文档、IT计算机以及基于鱼眼镜头的全方位视觉参数标定与畸变矫正等内容。本文共2页
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基于成像激光雷达与双ccd复合的三维精细成像技术研究
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优秀论文基于交比不变性和针孔模型的数码相机系统标定
基于交比不变性和针孔模型的数码相机系统标定1 基于交比不变性和针孔模型的数码相机系统标定 数码相机作者： 任立新， 作者：尹 强，任立新，李 楠 指导教师： 指导教师：王力工摘要数码相机定位最常用的方法是双目定位，关键在于系统标定，即如何根据靶标圆心在两部相机 像平面上像点的几何关系精确确定这两部相机的相对位置。本文就此问题做了较深入的研究并建
立 了数学模型。 问题一，首先证明了一般情况下，圆在像平面上的投影是椭圆，但圆心在像平面上的投影不一 定是椭圆的形心。然后利用透视投影中的交比不变性原理，推导出了靶标上圆心在该相机像平面上 像坐标的计算公式。 问题二，对题目给出的靶标 5 个圆的像，提取其边缘点并拟合成椭圆方程，根据几何方法或最 小二乘法原理求出 5 个圆与像的 5 个椭圆的外部公切线等。对每个圆心，选择合适的 4 对对应点， 利用问题一中得到的计算公式就可以求出其像坐标，并可通过选择其他的合适的四组 4 对对应点， 对求出的值作平均，以提高计算精度。数据结果见下表。 椭圆号 A B C D E1U (像素)323 423 640 583 291V (像素)189 197 213 503 496X (mm)-50.00 -23.54 33.86 18.78 -58.47Y (mm)-51.46 -49.47 -45.23 31.75 28.84Z (像素/mm)
问题三，利用数码相机成像的针孔模型，选取切点、角点等非圆心点及其在像平面的对应点， 根据逆向投影的方法求解旋转矩阵和位移列向量，得到从世界坐标系到像素坐标系的变换矩阵，然 后代入各圆心的世界坐标，求出其在像素坐标系中的坐标，并与利用交比不变性原理求得的数值比 较，两者基本吻合，从而能判断出交比不变性原理求解圆心投影坐标的合理性与稳定性。数据结果 见下表。 圆心 A B C D E( X w , Yw , Z w )(12,112,0) (42,112,0) (112,112,0) (122, 12,0) (12, 12,0)Zc855.3 922.9 929.3211交比 (u , v ) (322.1) (422.9) (639.8) (582.3) (284.7)针孔 (u , v ) (321.8) (421.3) (639.8) (581.6) (284.)最大误差 1.6 0.722 1.129 0.2067问题四，在单相机的针孔模型基础上，以世界坐标系为中介，得到了两相机光心坐标系中的坐 标变换关系，也就得到了标定两部固定相机相对位置的方法。 最后，分析了模型优缺点、给出模型推广等。 关键词： 关键词：交比不变性，最小二乘法原理，针孔模型，系统标定，数码相机定位此题为 2008 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题，获该年全国一等奖，入选优秀论文，该论文将在《工程数 学学报》发表。 111问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相 机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机 来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部 相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定 一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相 对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在 它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论 在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点” 。实际的做法是在物平面上画若干个 圆（称为靶标） ，它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图 1 所示，所以必须从靶 标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 有人设计靶标如下，取 1 个边长为 100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为 A、C、D、E）为圆 心，12mm 为半径作圆。以 AC 边上距离 A 点 30mm 处的 B 为圆心，12mm 为半径作圆。如图 2 所 示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图 3 所示。图 1：靶标上圆的像 图 2：靶标示意图 根据以上信息提出了以下问题：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在 该相机的光学中心， x ? y 平面平行于像平面； （2） 对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机 的像距（即光学中心到像平面的距离）是 1577 个像素单位(1 毫米约为 3.78 个像素单位)，相 机分辨率为 ； （3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； （4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。2图 3： 靶标的像[注] 关于最早公布的题中存在的个别错误之处地说明：按照题中所给图像，同学应该能够判断出相 机分辨率是 ，而不是 ；如果同学按最早公布的题中所说的像距就是焦点（正确的 说法应该是光心）到像平面的距离建模和计算，可能会影响到数值结果，但这些问题本质上对模型 和算法及其检验、分析的影响不大2题背景及概念说明背景： 数码相机定位是计算机视觉技术的一个简单应用。计算机视觉是利用照相机，摄像机，计算机 等设备获得物体的二维信息，再通过分析计算进行三维重建，从而实现对物体的三维理解。如果把 三维客观世界到二维投影图像看成是一种正变换的话，则计算机视觉系统所要做的是从这种二维图 像到三维客观世界的逆变换，即根据二维投影图像去重建三维客观世界。这种技术在处理人们不易 到达或难以准确观察的领域，如立体孔径的测量、机器人智能化、自主车导航、目标跟踪等得到广 泛应用。双目立体视觉技术是计算机视觉技术的一种，包括图像获取、相机标定、立体匹配等过程。 数码相机定位就是简单的双目立体视觉技术。相机标定是实现双目立体视觉技术中最基础也是最重 要的一步。如何确定物体的三维空间坐标和二维图像坐标的对应关系是相机标定所要解决的问题。 而这个对应关系是由相机参数决定的，为了得到这些参数而进行的实验与计算的过程称为摄像机标 定。标定参数的精度直接影响到最终的定量分析精度。本文研究的就是相机标定的问题。概念说明： (1) 相机的的内参数： 相机成像的基本参数，如主点〔理论上是图像帧存的中心点，但在实际上，由于摄像机制作的 原因，图像实际中心与帧存中心并不重合)、实际焦距(与标称焦距值有一定差距)、相邻像素点 距以及其它系统误差参数。 (2) 相机的外参数：相机相对于外部世界坐标系的方位。 (3) 相机像平面：相机感光面所在的平面。3(4) CCD:电荷耦合器件,是一种半导体装置， 能够把光学影像转化为数字信号。 CCD 上植入的微小光 敏物质称作像素。一块 CCD 上包含的像素数越多，其提供的画面分辨率也就越高。 (5) 数码相机的分辨率：感光设备(通常是 CCD，电子耦合器件)有效的图像获取像素值。3基本假设把数码相机成像模型简化为针孔模型，不考虑非线性因素和镜头畸变的影响。4符号说明(X w , Yw , Zw ) (X c , Yc , Zc )( x, y ) (u , v)R T空间点在世界坐标系中的坐标 空间点在光心坐标系中的坐标 空间点在像平面内的投影坐标 空间点的像点在像素坐标系中的像素坐标，坐标值均取整数。 坐标系转换过程中的旋转矩阵 坐标系转换过程中的平移矩阵5模型建立及求解5.1问题一5.1.1问题分析我们首先证明以下结论：靶标上的圆在像平面上的投影是椭圆，但圆心的像一般不是椭圆的形 心。①符号和图形说明： 空间正圆的透视投影变换如图 4 所示。其中 π 1 是正圆 O1 ? A1 B1C1 D1 所在的平面，π 2 是像平面，O 是光学中心，O ? xyz 光心坐标系，O '? x ' y ' z ' 是空间正圆坐标系， 其坐标原点 O ' 与 O 重合，z '轴与平面 π 1 垂直。 O2、B2、D2 分别为在 x ' O ' y ' 坐标面上的正交投影。设 O1 在 O '? x ' y ' z ' 坐标系中4的坐标为 ( xe 0 , ye 0 , ze 0 ) ，矢量 O ' O1 在 O '? x ' y ' z ' 坐标系中的方向角为 α、β 、γ 。' ' 'uuuuu r图 4：空间正圆透视投影变换②空间正圆在数码相机像平面上投影椭圆的中心像坐标模型： 为了建模和仿真方便起见，且不失一般性，考虑空间正圆 O1 ? A1 B1C1 D1 的如下位置关系情形： 空间正圆 O1 ? A1 B1C1 D1 的某一轴 A1C1 与矢量 O ' O1 正交，另一轴为 B1 D1 ，通过透视中心 O 形 成 一 个 斜 椭 圆 锥 面 ， 在 O '? x ' y ' z ' 坐 标 系 下 记 为 O ? A1 B1C1 D1 ， 在 O ? xyz 坐 标 系 下 记 为'uuuuu rO ? A1 B1C1 D1 。则 O ' ? A1 B1C1 D1 的外形线 ? A1O 'C1 ,为一等腰三角形，设 θ = ∠A1O 'O1 = ∠C1O 'O1 。又 假 设 ， 当 ∠O O1 D1 & 90 时 ， 则 令 φ = ∠D1O O1 ； 当 ∠O O1 B1 & 90 时 ， φ = ∠B1O O1 ; 当'o''o'uuuur uuuur uuuur ' O 'O1 ⊥ B1 D1 时， φ = ∠D1O 'O1 = ∠B1O 'O1 。 则令 令矢量 O B2 与 x ' 轴正向沿逆时针方向的夹角为 ? 。空间正圆 O1 ? A1 B1C1 D1 在像平面 π 2 上的投影曲线 Γ 的方程建立过程如下：' ' ' ' [(x 'cos ? + y 'sin ? )-(xe 0cos? + ye 0sin? )]2 [(-x 'sin ? + y 'cos ? )-(-xe 0 sin ? + ye 0 cos ? )]2 + = 1 （1） uuuur 2 uuuur 2 B1O1 A1O1uuuur uuuur ze' 0 ' tan θ 又 A1O1 = O O1 tan θ = cos γ5（2）uuuur uuuur z' ' ' B1O1 = zeo tan(γ + φ ) ? O 'O1 sin γ = zeo tan(γ + φ ) ? eo sin γ cos γ'（3）把式 （2） （3） （1） 并用 z ' 代替 ze 0 ， 和 代入 ， 则得到在 O '? x ' y ' z ' 坐标系下的斜椭圆锥面 O ? A1 B1C1 D1 的方程为2 2 [cos?(x' cosγ ? z ' cosα)+sin?(y' cosγ ? z ' cosβ)] [-sin?(x ' cosγ ? z ' cosα)+cos?(y ' cosγ ? z ' cosβ)] '2 + =z 2 2 [tan(γ +φ)cosγ -sinγ ] (tanθ)（4） 由图 4 可见，坐标系 O ? xyz 与坐标系 O '? x ' y ' z ' 只存在旋转关系，设由式（5）给出? x ' ? ? r1 ? ? ? ? y ' ? = ? r4 ? z'? ?r ? ? ? 7r2 r5 r8r3 ?? x ? ?? ? r6 ?? y ? ?? ? r9 ?? z ?（5）令 u = tan(γ + φ ) cos γ ? sin γ ，利用式（5） ，则式（4）转换为在坐标系 O ? xyz 下斜椭圆锥面O ? A1 B1C1 D1 的方程为 tan 2θ {[cos ? (r1 cos γ ? r7 cos α ) + sin ? (r4 cos γ ? r7 cos β )]x +[cos ? (r2 cos γ ? r8 cos α ) + sin ? (r5 cos γ ? r8 cos β )] y +[cos ? (r3 cos γ ? r9 cos α ) + sin ? (r6 cos γ ? r9 cos β )]z}2 +u 2 {[? sin ? (r1 cos γ ? r7 cosα ) + cos ? (r4 cos γ ? r7 cos β )]x +[? sin ? (r2 cos γ ? r8cosα ) + cos ? (r5 cos γ ? r8 cos β )] y +[? sin ? (r3 cos γ ? r9 cosα ) + sin ? (r6 cos γ ? r9 cos β )]z}2 = [(ur7 tan θ ) x + (ur9 tan θ ) + (ur9 tan θ ) z ]2将像平面 π 2 ： z = f 代入式（6） ，并令 （6）k = u[sin ? (r1 cos γ ? r7 cos α ) ? cos ? (r4 cos γ ? r7 cos β )] l = u[sin ? (r2 cos γ ? r8 cos α ) ? cos ? (r5 cos γ ? r8 cos β )] m = u[sin ? (r3 cos γ ? r9 cos α ) ? cos ? (r6 cos γ ? r9 cos β )] f n = tan θ [cos ? (r1 cos γ ? r7 cos α ) + sin ? (r4 cos γ ? r7 cos β )] p = tan θ [cos ? (r2 cos γ ? r8 cos α ) + sin ? (r5 cos γ ? r8 cos β )] q = tan θ [cos ? (r3 cos γ ? r9 cos α ) + sin ? (r6 cos γ ? r9 cos β )] f r = ur7 tan θ s = ur8 tan θ t = ur9 f tan θ则得到在 O ? xyz 坐标系下，空间正圆 O1 ? A1 B1C1 D1 在像平面 π 2 上的透视投影曲线 Γ 方程6（7）为(k 2 + n 2 ? r 2 ) x 2 + 2(kl + np ? rs ) xy + (l 2 + p 2 ? s 2 ) y 2 +2(mk + nq ? rt ) x + 2(ml + pq ? st ) y + m2 + q 2 ? t 2 = 0（8）式（8）为二次曲线表达式，它可以表示椭圆、圆、双曲线、抛物线或者直线。但在实际的摄像过程 中，物体总是处于照相机的像平面的前方视场之内，且一般不与照相机平面平行。因此，空间正圆O1 ? A1 B1C1 D1 在像平面 π 2 上的投影曲线 Γ 为一椭圆曲线。空间正圆在像平面上的投影椭圆曲线 Γ 的中心像坐标 (a, b) 可由式（9）给出? (l 2 + p 2 ? s 2 )(mk + np ? rt ) ? (kl + np ? rs )(ml + pq ? st ) a= ? (kl + np ? rs ) 2 ? (k 2 + n 2 ? r 2 )(l 2 + p 2 ? s 2 ) ? ? 2 2 2 ?b = (k + n ? r )(ml + pq ? st ) ? (kl + np ? rs )(mk + nq ? rt ) ? (kl + np ? rs ) 2 ? (k 2 + n 2 ? r 2 )(l 2 + p 2 ? s 2 ) ?③空间正圆中心的实际投影像点坐标模型：（9）空间正圆 O1 ? A1 B1C1 D1 的中心 O1 在像平面 π 2 上的投影像点的坐标可以利用直线 OO1 与像平 面 π 2 的交点来求取。 结合式（9） ，由空间解析几何的知识容易得到直线 OO1 在坐标系 O ? xyz 下的方程为r1 x + r2 y + r3 z r4 x + r5 y + r6 z r7 x + r8 y + r9 z = = cos α cos β cos γ（10）直线 OO1 与像平面 π 2 ： z = f 的交点即为 O1 的实际像点。把 z = f 代入式（10） ，得到 O1 点的 投影像点的坐标 ( a ', b ') 的表达式为a' =其中q1l1 ? m1 p1 mn ?k q ,b' = 1 1 1 1 k1 p1 ? n1l1 k1 p1 ? n1l1（11）k1 = r1 cos γ ? r7 cos β , l1 = r2 cos γ ? r8 cos β , m1 = (r3 cos γ ? r9 cos β ) f n1 = r4 cos γ ? r7 cos β , p1 = r5 cos γ ? r8 cos β , q1 = (r6 cos γ ? r9 cos β ) f式（9）和式（11）在空间正圆 O1 ? A1 B1C1 D1 所在的平面与像平面 （12）π 2 平行时才相等，一般情况下，它们并不相等。 通过以上证明，我们得到以下结论：空间投影并不都是保形变换，当物面与像面之间有夹角时， 正圆的投影一般是椭圆，变形程度取决于物面与像面间的平移和转角；圆心在像平面上的投影一般 不是椭圆的形心。75.1.2模型建立我们把数码相机的摄像过程简化为靶标通过射影变换成为其在数码相机相平面上的像。射影几 何中存在不变量交比，射影变换中存在交比不变原理。交比定义及交比不变原理简述如下：SC1 B1 A1 l1 lD1C A B AD A图 5：共线四点的交比定义图 如上图 5 所示，直线 L 上 A、B、C、D 四点按顺序交比的定义为：CRL ( A, B, C , D) =AC * BD AD * BC交比不变性是指：在射影变换中，对于如图 5 所示的直线 AD 和直线 A1 D1 ，总存在：CRL ( A, B, C , D ) = CRL ( A1 , B1 , C1 , D1 )因 此， 如果我 们能 够在靶 标平 面上找 到一 条包含 圆心 （设为 B ）的 直线 ABCD ，其 中CRL ( A, B, C , D ) 可以根据靶标平面上已知参数确定，同时它在像面上对应的直线 A1 B1C1 D1 中只有圆心在像平面上的投影 B1 的坐标未知，则我们可以根据交比不变性得到 B1 的坐标，过程如下：uuuur r A1 D1 令 η = uuuur ，即η 是 A1 D1 方向的单位向量，由交比不变性，有： A1 D1 uuuur uuuur uuur uuu r A1C1 B1 D1 AC BD uuuur uuuur = uuur uuu = λ r A1 D1 B1C1 AD BC uuuur B1 D1 即： uuuur = λ ' B1C1 r（13）8式中uuuur A1 D1 λ ' = λ uuuur A1C1uuuur uuuur B1 D1 = A1 D1 ? m uuuur uuuur B1C1 = A1C1 ? m（14）假设 A1 B1 的长度为 m，则有：综合以上三式，则有：uuuur uuuur A1 D1 ? m = λ ' ( A1C1 ? m)（15）得到 m 的显式表达为：m=λ ' A1C1 ? A1D1 λ ' ?1uuuuruuuur则uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuu uuur r r uuur λ ' A1C1 ? A1 D1 A D 1 1 OB1 = OA1 + A1 B1 = OA1 + m *η = OA1 + * uuuur ' λ ?1 A1 D1（16）式中 λ ′ 的表达式如（14）所示 在 5.2 节中，我们将找到满足上述条件的直线 ABCD，并用上面的公式计算出各圆心在像平面 上投影的坐标。 若将坐标原点选在光学中心， x ? y 平面平行于像平面，可以将像平面沿 z 轴平移至题中所述 光心坐标面，此时 x 、 y 坐标不变， z 坐标均为 f 。5.2问题二5.2.1像平面上椭圆方程的拟合A. 像平面上椭圆边界数据的提取 图像上每个点都存在灰度，灰度值的取值规定为：0~黑色，255~白色，依据颜色深浅范围为 0~255.。一种常见的边缘提取方法认为灰度发生突变的像素点构成了边界。我们将图像上每一点的 灰度值提供给 Matlab 中内嵌 Sobel 算子的 edge 函数，得到了图像的边缘如图 7 所示，并得到了边缘 点的像素坐标，根据像素单位和毫米的换算可以得到边缘点的图像坐标。图 6：原图9图 7：边缘提取图B. 利用最小二乘法拟合椭圆方程 任意椭圆方程可表示为：x 2 + Axy + By 2 + Cx + Dy + E = 0上式中有 5 个独立的待定参数，设 Pi ( xi , yi ) (i=1,2,…,N)为椭圆上的 N 个像素点，将上述像素点 的坐标代入，得到方程个数远大于未知量个数的方程组，利用最小二乘法求解得到每个椭圆的 5 个 参数，以便降低由单个点的坐标误差造成的影响。计算结果列成下表，其标号顺序由圆 A 开始，顺 时针增大。 表 1: 拟合椭圆方程参数表 椭圆号 1 2 3 4 5 A 0.09 0.14 0.25 0.38 0.233 B 1.03 1 0.93 1.09 1.22 C -663.13 -873.5 -57.99 -686.45 D -421.51 -453.77 -557.54 -95.75 E 852.86
306.31根据拟合后的椭圆方程得到的曲线和提取的边缘散点图如下，可见拟合效果非常好。 图 8: 由散点拟合的椭圆方程图Picture A Picture BPicture CPicture D10Picture EC. 利用交比不变性计算各圆心我们认为靶标平面和相片的下列点具有确定的对应关系： ① 靶标平面上圆周点的像落在相片的对应椭圆上； ② 靶标平面上圆的公切线的像就是相片上对应两椭圆的公切线； ③ 靶标平面上某圆与某一条公切线的切点的像就是相片上对应椭圆与对应公切线的切点； ④ 靶标平面上任意两公切线的交点就是相片上对应两公切线的交点。 ⑤ 靶标平面上某圆与某直线的交点的像就是相片上对应椭圆与对应直线的交点。 例如：圆 A 的边界点与相片上椭圆 A 的边界点对应； 圆 A、B、C 的公切线 PQ 与相片上椭圆 A’、B’、C’的公切线 P’Q’对应； 圆 A 与公切线 PQ 的切点 H 与相片上椭圆 A’与公切线 P’Q’的切点 H’对应； 圆 A、 C 的公切线和圆 A、 的公切线的交点 P 与相片椭圆 A’、 B、 E B’、 C’的公切线和椭圆 A’、 E’的交点 P’对应； 直线 PN 与圆 D 的交点 M 与相片上直线 P’N’与圆 D’的交点 M’对应。 利用交比不变性求靶标圆心像坐标的过程相同，不失一般性，这里只列出求解圆 A 圆心像坐标 的过程。 如图 9 所示，直线 PAMN、FAKL、 HAJI 等都是满足 5.1.2 节模型建立中要 求的直线。这里我们只取直线 PAMN 详述，靶标在相平面上的投影两两之间 仍具有公切线，易知 PN 在像平面上的 投影仍为一条直线，记为 P’N’，由交 比射影不变性定理可得：PM * AN P ' M '* A ' N ' = PN * AM P ' N '* A ' M '图 9: 靶标平面上基线的选取11图 10: 基线在像平面上投影的确定我们已经拟合出五个椭圆的方程，由几何知识可以求出像平面上四条切线的方程，进而可以求 出切线的交点 P’、N’的像坐标，得到直线 P’N’的方程后，又可以求出该直线与椭圆 D’的一个交点 M’的像坐标,它们分别是靶标平面上点 P、N、M 的投影，如上图 10 所示。 至此， 基线 PAMN 和它在像平面中的投影直线中只有点 A’的坐标未知， 利用 5.1 中得到的公式， 我们可以计算出圆 A 圆心在像平面的投影 A’的像坐标。 用类似的方法可以得到其余四圆在该相机像 平面的像坐标。 我们求得五个圆心在像平面上投影在像素坐标系（坐标原点在 CCD 图像的左上角，u 轴、v 轴 分别平行于图像坐标系的 X 轴和 Y 轴，单位是像素） 、图像坐标系（坐标原点在 CCD 图像平面的中 点，Ｘ轴、Y 轴分别为平行于图像的两条垂直边，单位是毫米）中的坐标分别为： 表 2: 圆心在像平面中的坐标 椭圆号 A B C D E U(像素) 323 423 640 583 291 V(像素) 189 197 213 503 496 X(mm) -50.00 -23.54 33.86 18.78 -58.47 Y(mm) -51.46 -49.47 -45.23 31.75 28.84 Z(像素/mm)
5.3问题三5.3.1问题分析计算机视觉研究中，三维空间中的物体到像平面的投影关系即为成像模型，理想的投影成像模 型是光学中的中心投影，也称为针孔模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个针孔而投影 到像平面上，即满足光的直线传播条件。实际摄像系统通常都由透镜或者透镜组组成。两种模型具 有相同的成像关系，即像点是物点和光心的连线与图像平面的交点。因此，可以用针孔模型作为摄 像机成像模型。 这里，我们首先利用靶标平面上的 6 个非圆心点及其在像素平面上的投影确定了数码相机的外12参数矩阵，然后利用坐标变换，求出 5 个圆心点在像素平面上的投影坐标，并与利用交比不变性求 出的像素坐标作比较，发现两者之间最多差 1.5 个像素单位，这就可以验证我们利用交比不变性确 定圆心在像平面像坐标方法的精度。5.3.2 模型建立A. 相机成像的几何模型 针孔模型的建立包括 4 个坐标系的转换，共 3 个步骤。 相机成像过程中涉及到的 4 个坐标系： ① 世界坐标系――根据自然环境所选定的坐标系，坐标值用（ Xw, Yw, Zw ）表示。 ② 图像坐标系――坐标原点在 CCD 图像平面的中心，X 轴、Y 轴分别平行于图像的两条垂直 边，坐标值用（x,y）表示。 ③ 像素坐标系――即计算机图像坐标系，坐标原点在 CCD 图像的左上角，U 轴、V 轴分别平 行于图像坐标系的 X 轴和 Y 轴，坐标值用（u,v）表示。由于（u,v）以像素为单位，所以只 取整数值。 ④ 光心坐标系――以相机的光心为坐标原点，X 轴、Y 轴分别平行于图像坐标系的 X 轴和 Y 轴，相机的光轴为 Zc 轴，坐标值用（ Xc, Yc, Zc ）表示。 相机成像过程中的 3 个步骤分别为： 世界坐标系――光心坐标系、 光心坐标系――图像坐标系、 图像坐标系――像素坐标系。设 P 为空间中某一点，P 在世界坐标系和光心坐标系中的坐标分别为(Xw, Yw, Zw, 1)T 和 (Xc, Yc, Zc, 1)T ，在对应图像坐标系中像点的坐标为 ( x, y ) ，在像素坐标系中的坐标为（u,v） 。图 11: 各坐标系的转换图世界坐标系――光心坐标系： 由于世界坐标系和光心坐标系之间只有旋转和平移的关系，其转换关系可以表示为：13? Xc ? ? ? ? Yc ? = ? R ? Z c ? ? 0T ? ? ? ?1 ?? Xw ? ? ? T ? ? Yw ? ? 1 ? ? Zw ? ? ? ?1 ?（17）其中 R 为 3 × 3 的正交单位旋转矩阵， T 为三维平移矩阵， 0 = (0, 0, 0)T 。 光心坐标系――图像坐标系： 光学成像的理论模型是针孔模型，根据这个模型由光心坐标系向图像坐标系的转换过程符合透 视投影，即 x = fXc Y , y = f c ,应用齐次坐标表示为： Zc Zc?x? ? f ? ? ? Zc ? y ? = ? 0 ?1 ? ? 0 ? ? ?图像坐标系――像素坐标系0 f 0? Xc ? 0 0?? ? ? Y 0 0?? c ? ?? Z ? 1 0?? c ? ?1 ?（18）设 (u0 , v0 ) 为图像坐标系的原点在像素坐标系中的坐标，即 O ' 在像素坐标系中的坐标。dx、dy 分别为像素坐标系在 x 方向和 y 方向相邻像素间的距离，则图像中任意一个像点在两个坐标系下的 坐标有如下关系：u=x + u0 dxv=y + v0 dy（19）用齐次坐标与矩阵形式表示为：0 u0 ?? x ? ? u ? ?1/ dx ? ? ? ?? ? 1/ dy v0 ?? y ? ?v ? = ? 0 ?1 ? ? 0 ?? ? 0 1 ?? 1 ? ? ? ?（20）将（17）和（18）式带入（20）式，即得出了世界坐标为（ Xw, Yw, Zw ）的 P 点在像素坐标系中的 投影（u,v）为：? u ? ? f / dx ? ? ? Zc ? v ? = ? 0 ? ? ? ?1 ? ? 0此即为相机成像的几何模型。 式（21）可以简化为0u0f / dy v0 0 10? ?? R 0?? T ? 0 0??? Xw ? ? ? T ? ? Yw ? ? 1 ? ? Zw ? ? ? ?1 ?（21）? Xw ? ?u ? ? ? ? ? ? Yw ? Z c ? v ? = NM ? Zw ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ?(22)14其中 N 为相机的内部参数矩阵， M 为相机的外部参数矩阵。B.相机内外参数求解模型0 512 ? ?1577 ? ?
? 。 本题中相机的内参数均已给定，矩阵 N = ? 0 ? 0 ? 0 1 ? ?下面求解相机的外参数： 从上式可以看出内参数 N 为满秩方阵，可逆。令 α x = dx / α y = dy / f ，在式(22)两边同乘N ?1 并整理得? Xw ? ? α x (u ? u0 ) ? ? ? Y ? ? Z c ? α y (v ? v0 ) ? = ( R T ) ? w ? ? Zw ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ?令（23）k = α x (u ? u0 ), l = α y (v ? v0 ) , M = ( R T )（24）式（23）可以进一步改写成：? ki ? ? m11 ? ? ? Z ci ? li ? = ? m21 ?1 ? ? m ? ? ? 31m12 m22 m32m13 m23 m33? X wi ? ? X wi ? m14 ? ? ? ? ? ? ? Ywi ? ? Ywi ? m24 ? =M ? Z wi ? ? ? Z wi ? m34 ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ?（25）其中，( X wi , Ywi , Z wi ) 是世界坐标系中第 i 点的坐标，(ki , li ) 是由对应点的图像像素坐标 (ui , vi ) 根据 式（24）计算得到的值。将其展开得到三个方程Z ci ki = m11 X wi + m12Ywi + m13 Z wi + m14 Z ci li = m21 X wi + m22Ywi + m23 Z wi + m24 Z ci = m31 X wi + m32Ywi + m33 Z wi + m34（26）将式（26）中的第 3 式分别带入前两式消去 Z ci 可得到如下两个方程m11 X wi + m12Ywi + m13 Z wi + m14 ? ki (m31 X wi + m32Ywi + m33 Z wi ) = ki m34 m21 X wi + m22Ywi + m23 Z wi + m24 ? li (m31 X wi + m32Ywi + m33 Z wi ) = li m34若在世界坐标系中取 n 个点，将会产生 2n 个方程，用矩阵表示这些方程 （27）150 0 ? X w1 Yw1 Zw1 1 0 ? 0 0 0 X w1 Yw1 Zw1 ? 0 ? L L L ? L L L ? ? X wn Ywn Zwn 1 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 X wn Ywn Zwn ?0 ?k1 X w1 1 ?l1 X w1?k1Yw1 ?l1Yw10 ?kn X wn ?knYwn 1 ?ln X wn ?lnYwn? m11 ? ? k1m34 ? ? ? ? ? ? m12 ? ? l1m34 ? ? m13 ? ? k2m34 ? ? ?k1Zw1 ? ? ? ? ? m14 ? ? l2m34 ? ? ?l1Zw1 ? ? ? ? ? m M ? 21 ? ? ? ? × ? m22 ? = ?M ? （28） ? ? ? ? m ? ?M ? 23 ? ? ? ?kn Zwn ? ? m24 ? ?M ? ? ? ?ln Zwn ? ? ? ? ? ? m31 ? ?M ? ? m ? ? knm34 ? ? 32 ? ? ? ? m ? ?l m ? ? 33 ? ? n 34 ?从式（28）可知，若已知世界坐标系中 n 个点的坐标，同时也知道各对应点在像素坐标系中的坐标， ，式（28）可以简化为 将式（28）两边同除以 m34 （ m34 ≠ 0 ）Kh = U（29）其中， h ， U 分别为式（28）中等号左侧向量和右侧向量除以 m34 后的向量，当 2n&11 时，可用最 小二乘法解上述线性方程，其解为h = (K T K ) ?1 K T U则数码相机的外部参数矩阵与其由如下关系（30）? h1 ? M = m34 ? h5 ?h ? 9因 R 是单位正交矩阵，所以有h2 h6 h10h3 h7 h11h4 ? ? h8 ? ? 1?（31）2 2 m34 = 1/ h92 + h10 + h11（32）至此，相机的外参数矩阵已经可以解出，为了获得外参数矩阵的显式解，可取多种旋转矩阵中的一 种，如取? cos γ cos α ? R = ? sin γ cos α ? ? sin α ?cos γ sin α sin β ? sin γ cos β sin γ sin α sin β + cos γ cos β cos α sin βcos γ sin α cos β ? sin γ sin β ? ? sin γ sin α cos β + cos γ sin β ? ? cos α cos β ?（33）则有： m31 = ? sin α ; m32 = cos α sin β ; m11 = cos γ cos α 。 可以分别求出光心坐标系相对于世界坐标系的转角 α、β 、γ ，并求出世界坐标系相对于光心 坐标系的位移向量为16t x = m14 ; t y = m24 ; t z = m34将 5 个圆心的世界坐标带入式（22）便可得到它们根据光学成像原理得到的圆心像坐标，与利 用交比不变性得到的圆心像坐标做比较，如果两者基本吻合，则说明 5.1 中建立的模型与方法是有 效的。5.3.3模型求解如图 12 和图 13 所示，我们取下图所示的切点求解外参数矩阵，下图同时示出了其世界坐标和 像素坐标，我们将其代入方程(28)，得到：图 12: 所取切点在像素坐标系中的坐标图 13: 所取切点在世界坐标系中的坐标17M = ( R, T ) ? 1.. ?158.956 ? ? ? = ? 0...65068 ? ? 0...111 ? ? ?然后利用式（22）得到各靶标圆心在光心坐标系下的坐标，并与利用交比不变性得到的坐标做 比较，列成下表。 表 3：圆心投影坐标对比表 圆心 A B C D E( X w , Yw , Z w ) )(12,112,0) (42,112,0) (112,112,0) (122, 12,0) (12, 12,0)Zc855.3 922.9 929.3211交比 (u , v ) (322.1) (422.9) (639.8) (582.3) (284.7)针孔 (u , v ) (321.8) (421.3) (639.8) (581.6) (284.)最大误差 1.6 0.722 1.129 0.2067其中最大误差是指 u、v 误差的较大值，通过比较，我们可以看出，两种方法求出的圆心投影坐 标大致相同，说明我们建立的模型具有精确性和稳定度。5.4问题四5.4.1问题分析对两部相机各自取固定在其上的坐标系，决定它们相对位置可以转化为确定这两个坐标系之间 的变换关系，可以归结为求反映原点平移的三维平移向量 T 和表示绕原点旋转的三维旋转向量 R。 具体标定过程如图 14 所示： 设空间一点Ｐ在世界坐标系中的坐标为 ( X w , Yw , Z w ) ，在相机１的光心坐标系中的坐标为( X c1 , Yc1 , Z c1 ) ，在相机 2 的光心坐标系中的坐标为 ( X c 2 , Yc 2 , Z c 2 ) 。则由上文推导出的世界坐标系与光心坐标系的转换公式得：? X c1 ? ? Xw ? ? Xw ? ? ? ? ? ? ? ? Yc1 ? = ? R1 T1 ? ? Yw ? = M ? Yw ? ? 1 ? Z c1 ? ? 0T 1 ? ? Z w ? ? Zw ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ?（34）? X c2 ? ? ? ? Yc 2 ? = ? R 2 ? Z c 2 ? ? 0T ? ? ? ?1 ?? Xw ? ? Xw ? ? ? ? ? T2 ? ? Yw ? ? Yw ? = M2 ? ? Zw ? 1 ? ? Zw ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ?18（35）YwpX ZwwZcu v O1 x O yXYcc图 14: 数码相机系统标定示意图其中 M 1 = ?? R1 T1 ? ? R2 ? ， M2 = ? T T 1? ?0 ?0T2 ? ? 分别为相机１和相机 2 的外参数矩阵，可用 5.3 节 1?中建立的模型可以分别求出 T1 、 R1 和 T2 、 R 2 。由于 R1 和 R 2 是单位正交矩阵， M1 和 M 2 都是可 逆矩阵。在（34）式和（35）式两端左侧分别乘以 M1 和 M 2 ，得：?1 ?1? Xw ? ? X c1 ? ? X c2 ? ? ? ? ? ? ? ? Yw ? = M ?1 ? Yc1 ? = M ?1 ? Yc 2 ? 1 2 ? Zw ? ? Z c1 ? ? Zc2 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? X c1 ? ? X c2 ? ? ? ? ? ? Yc1 ? = M M ?1 ? Yc 2 ? 1 2 ? Z c1 ? ? Zc2 ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ? X c1 ? ? X c2 ? ? ? ? ? ? Yc1 ? = M ? Yc 2 ? = ? R12 若设 12 ? Z c1 ? ? Z c 2 ? ? 0T ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ?（36）（37）? X c2 ? ? ? T12 ? ? Yc 2 ? ?1 ?1 ，则可解得 M12 = M 1M 2 ,即 R12 = R1R 2 ， ? 1 ? ? Zc2 ? ? ? ?1 ?T12 = T1 ? R1R ?1T2 。 R12 的一种显式表达可以为： 219? cos γ cos α ? R12 = ? sin γ cos α ? ? sin α ?cos γ sin α sin β ? sin γ cos β sin γ sin α sin β + cos γ cos β cos α sin βcos γ sin α cos β ? sin γ sin β ? ? sin γ sin α cos β + cos γ sin β ? ? cos α cos β ?其中 α 、 β 、 γ 是各坐标轴绕原点的转角，可由 R12 各元素的数值解得， T12 = t x , t y , t z()T表示坐标系原点在 x，y，z 各方向的平移，由这两个坐标系之间的变换关系就可精确确定两部相机 的相对位置 。6优缺点分析优点： 1) 2)给出了圆投影是椭圆，但其圆心投影一般不是椭圆形心的严格证明。 给出了计算靶标圆心在像平面上坐标的有效算法，并利用针孔模型对其有效性和稳定性经 进行了验证。缺点： 由于加工、工艺、装配等方面的误差，相机的镜头是非理想的光学镜头，得到的图像坐标会偏 离理想坐标，在远离图像中心处畸变相对较大。主要的畸变类型有三种:径向畸变、偏心畸变和薄棱 镜畸变。由于镜头畸变等因素存在，三维空间点的图像坐标往往不是理想小孔成像模型下的坐标， 而是发生了偏移，由于时间原因，我们没有进行非线性摄像机的标定，将来可考虑非线性和畸变对 圆心投影的影响。7参考文献[1] J. Heikkil? and O. Silvén. A Four-step Camera Calibration Procedure with Implicit Correction, IEEE Proceedings of Computer Vision and Pattern Recognition，, 1997. [2] 陈利红，毛剑飞，诸静. CCD 摄像机标定与修正的简便方法. 浙江大学学报（工学版）. 第 37 卷第 4 期：406-409，2003. [3] 姜大志，孙闵，刘淼，姜梅，丁秋林. 数码相机标定方法研究. 南京航空航天大学学报. 第 33 卷第 1 期：55-59，2001. 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12 3.3 基于交比不变的相机畸变系数标定 ......23 I 硕士学位论文 第 1 章 引言计算机视觉的研究目标...虽然实际的成像要比针孔成像模型复杂的多,但是针孔...基于小孔成像的相机模型_物理_自然科学_专业资料。...摘要 本文研究数码相机的位置标定问题,在了解相机成像...而又因为相 机系统满足针孔透视投影原理, 可以利用...部相机的相对位置就是关键,这一过程称 为系统标定...(2)定理一:射影变换保持点列的交比不变。 上述...4.1.2 模型建立 模型Ⅰ线性数码相机模型(针孔模型)...模型,实现了利用相机摄制物体的图 像进行系统标定。...针对问题二,利用图像射影的交比不变性,确定靶标图...如下合理假设: 可以将数码相机简化看作一个针孔。 ...全国大学生数学建模竞赛―数码相机定位优秀论文[1] ...部相 机的相对位置就是关键,这一过程称为系统标定...(针孔模型) 可以确定像的坐标 ( x′, y′, z ...数码相机定位2008年国家赛获奖论文_数学_自然科学_...关键字:数码相机 定位 双目标定 靶标 系统标定 1 ...4 图 1 数码相机成像模型 针孔模型是目前最常见的...畸变的修正模型,对畸变进行修正,通过交比不变的性质...系统标定 一、问题重述数码相机定位在交通监管(电子...2.物距远大于焦距,相机成像为简单的针孔成像。 3....2008全国数学建模竞赛A题一等奖论文全文基于切线特征的数码相机定位摘要本文依据成像...就可以对圆心进 行标定,又考虑到照相机成像的过程可以用针孔摄像机模型进行模拟...标定的一种做法:在一块平板上画若干个点,用双目...二、 模型假设 1.相机镜头透镜很小,光学系统为针孔...该论文的数学模型的建立将数码相机复杂的成像原理简化...数码相机定位盐城工学院 童立里 摘要本文用几何的方法建立了相机标定的模型,由于靶标是一个矩形的 4 个顶点与一条 边上的点,利用针孔模型.针孔模型是由投影中心...
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