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青年文明号从意大利邮寄东西需要填写的CF/P.IVA是什么？ - 知乎4被浏览334分享邀请回答0添加评论分享收藏感谢收起01 条评论分享收藏感谢收起&p&想像一下你是一个973首席科学家，你的课题是用一个牛逼闪闪超级计算机模拟一杯水，看看在里面慢慢拽铁球阻力有多大。你的想法很简单：直接精确模拟每个水分子！&/p&&p&你给电脑里输入了水分子的真实大小（一个参数），形状（比如说用了2000个参数描述）和不同距离的作用力（又用了2000个参数），你的超级计算机很牛，直接模拟了10^26个水分子。然后你把铁球也建了模放了进去，用计算模拟的方法算出了让铁球慢慢前进需要克服的阻力。和实验一比，发现精确吻合！好开心，只要再模拟几回，多攒点数据就可以发nature了！&/p&&p&这时系统管理员给你发email，说你占了太多的cpu时间，别人啥事都干不了。让你想办法把计算量减少一点。&/p&&p&怎么办呢？你想了想，觉得铁球这么大，你不用把模拟搞得这么精细也能得到正确答案。所以你决定把模拟用的水分子体积加10倍，这样就只要模拟10^25个分子了。但是光这样搞不行，得出的结果肯定不对，因为有些纳米级的小运动造成的宏观效果没了。这时你有一个学生说，老板，其实咱可以试着&b&改改另外那4000个参数，说不定能把失去的东西给补偿回来&/b&。你觉得靠谱，开动聪明的大脑想了想，心算出了每个参数需要的改变。于是你用更大的分子和新的参数重新计算，&b&精确的再现了之前得到的数据&/b&。（注意，这时你已经对你的系统进行了一次 &b&renormalization&/b&）&/p&&p&系统管理员觉得你好欺负，又要求你降低占用的资源。&/p&&p&你大手一挥说“这简单，我能把cpu时间降到1/”，你就把刚才那个增大分子尺寸+调整参数的过程重复了10遍，现在你的分子体积比真实水分子大10^11次方倍，但是你仍然牛逼的&b&算出了和实验精确相符的阻力&/b&。&/p&&p&在你的nature 文章里，把为了简化计算发明的这个方法叫&b&Renormalization group (RG)&/b&。把每次模拟时水分子的大小叫做&b&RG scale&/b&, 然后你把每次用的参数按照水分子的大小列了个表，把它们在尺寸增加时的变化，叫做参数的&b&RG running&/b&。你把用这种方法得到的这个新模型，叫做&b&low energy effective theory （EFT）&/b&.&/p&&p&最后，你有点惊讶的发现，当你一步步增大水分子尺寸时，本来都很关键的4000个参数，有些干脆变成0了，有些参数和其它的参数成正比了。总之到最后，你只用了大概10个自由参数就完美的描述了这一杯水。你把那些最后没用的参数叫&b&irrelevant parameters&/b&，把它们描述的形状/作用力叫&b&irrelevant operator&/b&. 你把这些irrelevant parameter/operator 都去掉，得到的那个精简的理论模型就叫做&b&renormalizable theory&/b&。它和你之前得到的&b&EFT&/b&几乎是一样的。&/p&&p&这时，系统管理员又来欺负你，说你能不能就模拟两个水分子，这样他就可以用超算玩游戏了。但是这回你两手一摊，说哥们这真不行，如果我的水分子选的比我的铁球还大，那无论怎么调参数，我的计算肯定失败，下一篇science就发不出来了！（在水分子的例子里，RG scale不应当接近铁球的尺寸，在真正的场论里，有技术可以允许把RG scale选择的和物理过程的尺寸相当。但是在任何情况下，&b&RG scale都不应该比物理过程的尺寸更长。&/b&）&/p&&p&而且，重整化了很多次之后，似乎你得到的这个的系统越来越不像一个个水分子。那它像什么呢？你发现剩下的那几个参数里，其中一个的计算值和实验测出来的密度一样，其中一个和温度一样，另一个和压强一样，等等。也就是说这个系统经过了多次重整化之后变得更像一杯连续流体而不是很多小分子。这个现象也非常普遍，因为自然界中不同尺度的现象本来就是很不一样的。你于是在文章中指出重整化可以用来研究不同尺度的规律之间的联系和转变。&/p&&p&-------&/p&&p&吐个槽，“重整化群”真是物理名词界的一朵奇葩，把一个本来平易近人的词翻译的不明觉厉。这个词英文是 renormalization group（RG）. Normalize 大家都认得，基本意思是给一个变量乘个常数，让它更符合一些简单要求。比如几何里说 normalized vector, 就是说改变了一个矢量的定义，让它的长度等于一.
re-normalize 就是不断的 normalize. group 这里是泛指变换，不指数学上严格的群。renormalization group 的字面意思就是“不断重新定义参数的一组变换”。&/p&&p&-------&/p&&p&警告！前方有大量物理名词出没！！&/p&&p&重整化群在物理中有很多深远的影响。&b&标准模型&/b&是我们描述粒子物理的基本理论，它是一个&b&renormalizable theory&/b&. 从RG的角度看，它就相当于我们在上面把尺度扩大的10^10得到的effective theory。也就是说，真正的基本理论埋藏在比标准模型小的多的尺度。标准模型的尺度是多少呢？是10^-18米。所以终极理论描述的过程要比这个还小的多。我们离终极理论还很远很远。&/p&&p&现在想象，如果你的计算机无限强大，你能模拟无限大的一杯水。（现在不考虑铁球了）你不断的重复上面的这个RG过程，最后会怎么样呢？很可能，最后当你增大分子体积的时候，你发现系统的所有参数都不再需要变化了！这时，你就说你的系统有了&b&scale symmetry&/b&，尺度不变性。你把这个尺度不变的模型叫一个&b&不动点&/b&。后来你发现，可以乱改最初的那个精确分子模型的参数，但大部分情况下，经过很多轮RG running，它还是跑到了同一个不动点。你就说所有这样的微观理论都属于同一个&b&universality class&/b&.
有时系统也会跑到另一个不动点。&b&所以你发现RG对输入的微观系统实现了一个分类。这个和机器学习很像。(&a href=&/question/& class=&internal&&如何理解“深度学习和重整化群可以建立严格映射”，这一结论对领域有何影响？ - 物理学&/a&) &/b&两个非常不一样的系统宏观上行为可以是完全相似的（属于同一个&b&universality class&/b&）。比如在三相点的水，和在相变临界态的铁磁体就可能属于同一个universality class。在物理体系里，这个分类和相变的对称性破缺有关。&/p&&p&-------&/p&&p&&a class=&member_mention& href=&///people/d362f437df& data-hash=&d362f437df& data-hovercard=&p$b$d362f437df&&@Alex Huang&/a& 问了一个很好的问题：重整化群对什么样的系统是有效的？也就是说，什么情况下这个办法能有效的简化模型，降低计算量？&/p&&p&重整化群有效本质原因是&b&不同尺度的过程之间往往有一种相对的独立性。如果你的系统是这样的，那重整化群的方法会给你有用的结果。&/b&&/p&&p&想像一下你站在一艘长200米的大轮船上，波长一米的小浪你能感觉到吗？即使同样的浪高，如果波长变成200米，这浪就能让船晃起来，让你晕的不行。所以，&b&短距离的过程（波长一米的浪）对长距离的过程（大船的行驶）基本影响不大&/b&，最多可能就是改变了大船遇到的阻力。所以如果我们在模拟时可以&b&不直接再现这种短距离过程，只要改变一些长距离的参数&/b&（行船的阻力）&b&把它们的影响合适的加进去&/b&，就仍然可以精确的模拟系统长距离上的行为。当然在更复杂的问题里，你需要用计算的方法得出每一个参数随RG scale的变化，这样你自然能算出最终那些参数是重要的。&/p&&p&-------&/p&&p&最后，我在这里故意回避了量子场论，牺牲了一些技术细节，是想让非物理专业的读者对重整化的概念和操作有一个直观的认识。本文的目的是让读者以后能想起来用RG的思路解决问题。以上对RG的理解是上世纪量子场论的重大进步之一，后来也被用于描述其它物理体系。主要的推动者是前年去世的 Kenneth G. Wilson, 这个理解方式也被叫做Wilsonian RG。基于这个想法，Wilson同时也提出了用离散格点模拟量子场论的办法，这个方法今天叫lattice QCD, 需要用到目前世界上最好的超级计算机，和本文中水分子模拟也有更多直接对应的地方。我昨天听说，lattice qcd终于被发展到可以从第一原理出发，精确的计算质子和中子的质量差。（这也是当下唯一的办法。） Wilson泉下有知，也可以安心了！本小弱特以此文向Wilson和做lattice qcd的猛士们致敬。&/p&
想像一下你是一个973首席科学家，你的课题是用一个牛逼闪闪超级计算机模拟一杯水，看看在里面慢慢拽铁球阻力有多大。你的想法很简单：直接精确模拟每个水分子！你给电脑里输入了水分子的真实大小（一个参数），形状（比如说用了2000个参数描述）和不同距离…
谢邀，不过不懂python，只能从算法上给些意见。这是我以前写的一个帖子，转帖过来。是用来求所有水仙花数的，不限于6位。&br&&br&原贴地址：&a href=&///?target=http%3A///question/index.html%23%21questionId%3D11& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/question/inde&/span&&span class=&invisible&&x.html#!questionId=11&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&blockquote&不包括广义水仙花数，理论上水仙花数是有上界的，个数也是有限的，这个界限源于&br&&br&9^k * k & 10^(k-1) =&&br&log(k) + k*log(9) & k - 1 =&&br&log(k) + 1 & k*(1-log(9))&br&&br&假定各个数位都是9，加和的十进制表示仍然小于最小的k位数。这个界限还可以限制的更严格一些，不过暂时不管这些细节，总之k肯定是小于60的。&br&&br&尽管k & 60，但是枚举10^60显然是不靠谱的，所以优化的第一步就是，不要逐个数进行枚举，而是枚举组合，也就是说1,2,3与3,2,1同样看待，说来也是状态压缩的思路，枚举各种组合，判断组合的和是否由组合中的数字组成。枚举组合的复杂度相当于将60分为10段，分别对应0-9，由于可以重复选择，所以组合的数量大概是C(69,9) = ，大约500多亿，不到10^11，虽然相比10^60改进了很多，但仍然无法很快的枚举，并且这中间忽略了大数运算本身的复杂度。不过网上许多计算水仙花数的程序都是基于这个组合来枚举的，通过对程序的优化，可以在数个小时之内求解。&br&&br&下面再介绍一种强力的剪枝方案，应用这个剪枝，速度可以提高数百倍，计算最大的水仙花数仅需几秒。&br&&br&枚举组合的时候，从9开始枚举，并记录当前方案可以达到的最大值，由于4或5^k远远小于9^k，一般枚举到5或4时，整个方案的前面几位已经不会改变了，此时可以根据已经确定的位，判断是否符合当前方案的选择。举例来说：&br&&br&当前方案的加和Sum = &br&可以达到的最大值Max = &br&&br&则这几位已经不可能改变，判断现有方案中是否选择了9，如果没有选择，则无需计算后面的组合，可以进行剪枝了。&br&&br&按照这种方案，经常递归到5或4时，就进行了剪枝，但总的复杂度，我也说不清楚，大概不超过C(69,5).&/blockquote&
谢邀，不过不懂python，只能从算法上给些意见。这是我以前写的一个帖子，转帖过来。是用来求所有水仙花数的，不限于6位。 原贴地址： 不包括广义水仙花数，理论上水仙花数是有上界的，个数也是有限的，这个界限源于 9^k * k & 10^(k-1)…
零基礎的可以看看 &a href=&///?target=http%3A///language/fast-introduction-for-programmers/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Wolfram Language Tutorial: A Fast Introduction for Programmers&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，官方的快速入門，對浩繁的功能選擇了最核心的一部份做的極簡風格的入門教程，一個小時就入門。2015 年新出了一本 &a href=&///?target=http%3A///language/elementary-introduction/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&An Elementary Introduction to the Wolfram Language by Stephen Wolfram&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，稍微长一点，系统性一点。&br&&br&然後讀 Shifrin 的 《&a href=&///?target=http%3A//www.mathprogramming-intro.org/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mathematica programming&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ﹣ An Advanced Introduction》，英文能力夠的讀英文原作。不夠的，可以讀志願者翻譯的中文版（不完整）&a href=&///?target=http%3A//www.mathcraft.org/wiki/index.php%3Ftitle%3DMathematica_%25E7%25BC%%25A8%258B%25EF%25BC%259A%25E9%25AB%%25BA%25A7%25E5%25AF%25BC%25E8%25AE%25BA& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&mathcraft.org/wiki/inde&/span&&span class=&invisible&&x.php?title=Mathematica_%E7%BC%96%E7%A8%8B%EF%BC%9A%E9%AB%98%E7%BA%A7%E5%AF%BC%E8%AE%BA&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 。通讀一遍裨益良多。&br&&br&在有了一定基礎后，如果要達到精通，需要長期持續學習，主要是在解決實際問題的過程中學，原因是 Mathematica / Wolfram 語言的內容和功能「 包羅萬象」，用了 n 年后你還會有不斷髮現「驚喜」，而且一個新版本發佈出來經常會增加很多新功能（參見：&a href=&///?target=http%3A///mathematica/quick-revision-history.zh.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mathematica 最新版本和旧版本历史&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。在解決問題的過程中參考 &a href=&///?target=http%3A///language/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Wolfram Language & System Documentation Center&i class=&icon-external&&&/i&&/a& （官方幫助文檔），反復看裡面的語法說明、專項說明、例子，自己常用的功能就會越來越熟。官方文檔里有一部份寫成專題的稱為「&a href=&///?target=http%3A///learningcenter/tutorialcollection/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&tutorial&i class=&icon-external&&&/i&&/a&」，可以挑自己感興趣的專門拿出來深入學習。&br&&br&還可以看 &a href=&///?target=http%3A//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mathematica Stack Exchange&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 上的&a href=&///?target=http%3A///questions/18/where-can-i-find-examples-of-good-mathematica-programming-practice& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&學習資料表&i class=&icon-external&&&/i&&/a&、&a href=&///?target=http%3A///questions/18393/what-are-the-most-common-pitfalls-awaiting-new-users& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&初学者常见错误&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，MathCraft.org 整理的&a href=&///?target=http%3A//www.mathcraft.org/wiki/index.php%3Ftitle%3DMathematica_%25E5%25AD%25A6%25E4%25B9%25A0%25E8%25B5%%25BA%2590& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&參考資料表&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。這時候只怕學習時間不夠用了。還可以經常逛逛 &a href=&///?target=http%3A//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mathematica Stack Exchange&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，&a href=&///?target=http%3A///& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Wolfram Community&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，關注Wolfram 官方微博
&a href=&///?target=http%3A///wolframchina& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&@WolframChina&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，有最新的和 Mathematica / Wolfram 語言相關的信息發佈。
零基礎的可以看看
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&p&几天没上来被惊呆了，第一次过千哈哈哈，开心！其实这是我做的视频截图，想看48秒视频的小伙伴可以戳公众号道年记。夸我的回答可爱的小伙伴我都偷偷记下了，心心眼 ;)&/p&&br&&p&分割线————————————————————————————&/p&&br&&p&“康奈尔就是那个很会记笔记的学校？”&/p&&p&“我听了无数遍，所以到底是什么鬼？”&br&&/p&&p&“康奈尔的学生都会用吗？”&/p&&p&...&/p&&br&&p&康奈尔的学生&/p&&p&不一定都会&/p&&p&但是&/p&&p&康奈尔笔记法确实有官方guideline&/p&&p&而且&/p&&br&&p&&strong&非！常！简！单！&/strong&&/p&&br&&p&来康村之前用中文搜“康奈尔”，一半是学校介绍，中介广告，还有一半居然都关于&strong&康奈尔笔记法&/strong&，几乎在各种公众号，留学网站里疯传了好几年。以前大概看过介绍，但没有真的实践过，今天想到就搜了一下Cornell的网站，发现真的能找到！而且，超级容易理解。&/p&&br&&p&所以我总结了一下~&/p&&img data-rawheight=&705& data-rawwidth=&1271& src=&/cbc77bcb6cd83_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1271& data-original=&/cbc77bcb6cd83_r.png&&&img data-rawheight=&707& data-rawwidth=&1270& src=&/29bc30df4f_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1270& data-original=&/29bc30df4f_r.png&&&img data-rawheight=&705& data-rawwidth=&1272& src=&/6f03d90ef85434dfb7ed5_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1272& data-original=&/6f03d90ef85434dfb7ed5_r.png&&&img data-rawheight=&711& data-rawwidth=&1277& src=&/e289c3ff5f9c75a8b50cd2_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1277& data-original=&/e289c3ff5f9c75a8b50cd2_r.png&&&img data-rawheight=&706& data-rawwidth=&1274& src=&/4c8bc8f9c5e64cfde06bcacd2d8d3a10_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&/4c8bc8f9c5e64cfde06bcacd2d8d3a10_r.png&&&img data-rawheight=&710& data-rawwidth=&1271& src=&/c6e0dd3bcb70de54e8c6ca_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1271& data-original=&/c6e0dd3bcb70de54e8c6ca_r.png&&&img data-rawheight=&707& data-rawwidth=&1266& src=&/ad3e2fc34c14dab2fb3dd555f6f22f1a_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1266& data-original=&/ad3e2fc34c14dab2fb3dd555f6f22f1a_r.png&&&img data-rawheight=&702& data-rawwidth=&1271& src=&/f4e62a736d779c017aa9_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1271& data-original=&/f4e62a736d779c017aa9_r.png&&&img data-rawheight=&710& data-rawwidth=&1271& src=&/04efe1fc34fe07fddfc8_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1271& data-original=&/04efe1fc34fe07fddfc8_r.png&&&img data-rawheight=&706& data-rawwidth=&1270& src=&/653e8f89bc94fad5c0bb_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1270& data-original=&/653e8f89bc94fad5c0bb_r.png&&&img data-rawheight=&705& data-rawwidth=&1268& src=&/287d906f82cffbac4fa14b_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1268& data-original=&/287d906f82cffbac4fa14b_r.png&&&img data-rawheight=&704& data-rawwidth=&1272& src=&/2cef0d8e9a97d645a13f23e5_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1272& data-original=&/2cef0d8e9a97d645a13f23e5_r.png&&&img data-rawheight=&708& data-rawwidth=&1269& src=&/737c7bddbafac68ae7355e_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1269& data-original=&/737c7bddbafac68ae7355e_r.png&&&img data-rawheight=&708& data-rawwidth=&1269& src=&/ed16baedaeaf_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1269& data-original=&/ed16baedaeaf_r.png&&&img data-rawheight=&702& data-rawwidth=&1274& src=&/7fa00ad9aa187dc2566b9_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&/7fa00ad9aa187dc2566b9_r.png&&&img data-rawheight=&703& data-rawwidth=&1268& src=&/ede03a04b53f348ba020b70_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1268& data-original=&/ede03a04b53f348ba020b70_r.png&&&img data-rawheight=&704& data-rawwidth=&1270& src=&/cbb43cfbba0_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1270& data-original=&/cbb43cfbba0_r.png&&&br&&p&其实康奈尔笔记没有传说中的那么神秘，它最大的总用在于&strong&鼓励你养成课后咀嚼的习惯&/strong&，站在宏观的角度总结知识点，多次复习。比起传统的阅读笔记来，它也更接近于考试时对于知识点的回忆方式。&/p&&br&&p&这种模式的笔记本随处可见，而且就算是普通笔记本，&strong&画三条线也就可以把这种方法用起来&/strong&。对于习惯用电脑做笔记的小伙伴，印象笔记和Excel，甚至是word图表都非常容易按自己的偏好做出康奈尔笔记的模板。&/p&&br&类似的学习方法在Cornell 的 Learning Strategies Center上还能找到很多。&br&&br&&img data-rawheight=&439& data-rawwidth=&896& src=&/edaaaa97dacce7ec29ea4d_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&896& data-original=&/edaaaa97dacce7ec29ea4d_r.png&&&br&康村小能手。&br&于Olin图书馆
几天没上来被惊呆了，第一次过千哈哈哈，开心！其实这是我做的视频截图，想看48秒视频的小伙伴可以戳公众号道年记。夸我的回答可爱的小伙伴我都偷偷记下了，心心眼 ;) 分割线———————————————————————————— “康奈尔就是那个很…
&p&就这个问题，答主在MIT的时候，问过自己的一位老师，1990年诺贝尔物理学奖得主，夸克的发现人，弗里德曼。&/p&&p&在这里，答主要揭示一个关键的逻辑，这个关键的逻辑，诅咒着99%的人。&/p&&p&这个逻辑是什么呢？&/p&&p&请紧跟下面对话，不要快速阅读，要慢慢看，一句一句地看：&/p&&br&&p&弗里德曼：地球是圆的吗？&/p&&p&颜晓川：是的。&/p&&p&弗里德曼：你知道地球是圆的吗？&/p&&p&颜晓川：知道。&/p&&p&弗里德曼：但是，你知道地球是圆的，说明你很厉害吗？&/p&&p&颜晓川：不。&/p&&p&弗里德曼：你知道一个很重要的实事，而且你是对的，为什么不能证明你很厉害？&/p&&p&颜晓川：因为：这个事情已经得到大家的认同了！&/p&&p&弗里德曼：是啊。只要是大家都已经认同的东西，你再对，也没有意义了。&/p&&br&&p&其实，任何个人的成就，特别是在学科领域，都是在大家不知道、不同意，甚至强烈反对的时候，你坚持，并且发现你是对的之后，才产生的。也就是说，想要做出成就，最主要的就是：不能做大家都已经认同的事情。也就是，要出众，则不能从众。&/p&&p&&b&答主认为，这才是“钱学森之问”真正的答案。&/b&&/p&
就这个问题，答主在MIT的时候，问过自己的一位老师，1990年诺贝尔物理学奖得主，夸克的发现人，弗里德曼。在这里，答主要揭示一个关键的逻辑，这个关键的逻辑，诅咒着99%的人。这个逻辑是什么呢？请紧跟下面对话，不要快速阅读，要慢慢看，一句一句地看： …
&p&身为外行，曾经兼职做过一段时间科学报道，采访过不同领域上至院士下至在读博士几十位科研工作者，深切感受到绝大部分科研人员都是默默科研、点滴推进、为国效力、造福于民的。但他们大都谦虚诚恳，不爱讲假大空的话，也不太善于表达自己或「宣传」自己。&/p&&p&传媒界不断解构各职业形象，「科学家」或「科研工作者」大概是还剩下的唯一社会形象尚且较好的群体了。即使这样，一般公众还是不太了解这一群体。很多人以为身边各种新物件新变化都是随手就能搞出来的技术，却不知中间从概念到论文到产业历经多少时间多少环节多少积累。&/p&&p&笔者没有文中博士那么厉害，但是看到离京时老院士谈话那一段，鼻子发酸，会心苦笑。两个多月前我也刚刚经历了类似的场面。&/p&&p&临走前，系主任在办公室谈话劝留一个小时。期间，这位老先生一根接一根抽烟，「我能体会到你们年轻人的焦虑，但随着职称、话语权的慢慢提升，会好起来的」云云。老先生一片苦心，挡不住去意已决。&/p&&p&别人离职大都欢欢喜喜，我却忧郁万分。自决定做这一行，是有充分的思想认识与思想准备的，自己开心、满足就好。大不了不结婚不生小孩嘛，还自我安慰，人家划时代的数学家牛顿、莱布尼茨不也都终身未婚嘛。没想过也没资格谈论与面对学区房或高房价问题。&/p&&p&如同文中博士真心热爱科研事业，我也是真心热爱教育「事业」的，深知高等教育对国家进步、社会发展的重要性。远的不说，就看这个问题下的部分回答便可知教育事业的发展还任重道远呐！&/p&&p&百密一疏，再美好的理想与再充分的思想准备也经不起家人一场病的打击。自己固然可以自娱自乐，不追求五子登科，但为人子女，却不忍视亲长被病魔折磨。再看看我单位博导待遇尚不及好点儿外企的普通员工，顿觉人生一片灰暗。经历大半年犹豫与抉择，彻底离开了深爱的讲台与实验室，索性去产业界混了。咬咬牙，心想国家也不缺我一个教书的，无可奈何地为财而去了。&/p&&p&我虽然连屁都算不上，人微言轻，但也要为科研工作者说句公道话，这个群体真的堪称民族脊梁（之一）。除了极少数大牛，绝大多数科研工作者的回馈都配不上其贡献，尤其是基础研究领域的科研工作者。&/p&&p&这也赖不着谁，一个人的命运呐，当然要靠个人奋斗，但是也要考虑历史的进程。国家发展到这一历史阶段，就有这一历史阶段的分配机制，历史地看自己所处的时代，也就没啥好抱怨的了。谁也不能活在未来某一阶段。&/p&&p&补充今天一条消息：&/p&&p&——87岁院士&b&尽&/b&捐800万元积蓄&br&&a href=&///?target=http%3A//www./newscenter//c_.htm& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/newsce&/span&&span class=&invisible&&nter//c_.htm&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&（到下午六点时也没多少关注量；「&b&尽&/b&」一生积蓄值多少平学区房？这可是科研金字塔尖上的人物）&/p&&p&再补充两个回忆的例子：&/p&&p&——某理工物理学老教师大概是发了一篇《自然》杂志文章，学校大张旗鼓邀请各路媒体采访报道。老教师两鬓斑白，说自己没啥经费做实验，能出文章全靠学校一位院士手上经费的支持，再过一周自己就退休了，教书三十年也算圆满了。现场记者陪着他唏嘘不已。&/p&&p&——哈佛归来的某医学博士，大致不到四十岁吧，努力科研，在实验室积劳成疾而逝，撇下孤儿寡母。去世几月后学校举办的追思会上，现场记者大都唏嘘不已。（评论里有这位科学家的弟子现身说法：「他是我所见过的最纯粹的科学家，毫不贪恋名利」）&/p&&p&我见识少，但我相信这样的故事应该还有不少......&/p&
身为外行，曾经兼职做过一段时间科学报道，采访过不同领域上至院士下至在读博士几十位科研工作者，深切感受到绝大部分科研人员都是默默科研、点滴推进、为国效力、造福于民的。但他们大都谦虚诚恳，不爱讲假大空的话，也不太善于表达自己或「宣传」自己。传…
不是。&br&&br&磁场的经典理论是麦克斯韦方程组，在这个方程组里电场、磁场都是时空中的场，它不是时空本身。&br&&br&磁场的量子理论是量子电动力学（或粒子物理学标准模型），在这个理论里电场、磁场是时空量子场，它们的激发产生光子。它们也不是时空本身，它们只是时空舞台上的演员。&br&&br&以上是经过大量实验检验的、物理学共同体所认可的理论。&br&&br&关于把电磁归结为时空本身的性质，历史上和现在都有尝试，典型的如KK理论试图把电磁场作为额外维的度规。但是这些理论都没有被实验所认可，因此不是经过实验检验以后的真理，只是理论上的构想，远远&b&配不上本质这个词的含义&/b&。&br&&br&题主勤于思考，敢于提出新想法，是好的。但是作为中学生，新想法不要太多。想象力比知识更重要并不意味着知识可以不要，真正的想象力都是基于雄厚的知识积累的。你可能感觉提出一些想法可以解释很多问题，这在大部分情况下都是一种错觉，因为这种「解释」通常都不是定量的。如果只求定性，「解释事情」的想法真是太多了，从古希腊的四元素说到中国古代的五行相生相克，哪一个不是「解释」了很多事情？但是它们和我们现在所认可的科学理论没有任何直接关系。&br&&br&此外，建议不要轻易说「本质」这个词，因为它很容易落入无意义的思辨里面去。我认为，所谓本质就是对自然界做的当下最好描述，你的理论能做到，你的就是本质。刚才我所说的标准模型，它不仅能解释电子的反常磁矩，还能解释到与实验测量值相差十亿分之一的精度，其他没有任何一个&u&更简洁的理论&/u&能做到这一点。因此，我认为标准模型中的电磁场描述就是当下我们所认可的&b&本质&/b&。至于其他更新奇的理论，如果你不能在实验上符合得更好，那么不管其构想多么富有想象力、数学知识多么炫酷，也不过是镜中花水中月罢了。
不是。 磁场的经典理论是麦克斯韦方程组，在这个方程组里电场、磁场都是时空中的场，它不是时空本身。 磁场的量子理论是量子电动力学（或粒子物理学标准模型），在这个理论里电场、磁场是时空量子场，它们的激发产生光子。它们也不是时空本身，它们只是时空…
&p&其实你选择来问这个问题，说明&b&你并不确定教授能否给你一封推荐信&/b&。也许对方是名牌教授，而你们的交情有限。也许你们的交流已经过去了很久，你不是很肯定对方是否还记得你。&/p&&br&&p&如何获得对方的一句真诚的“没问题”？求推荐信的那封电邮就至关重要。我从自己向教授问信，到现在需要为人写信，走过了角色对换的整个过程，当中走过些弯路，也有一些收获。总结一下对我个人有用的一些浅显经验，邮件里最好包括这三点。
&/p&&br&&p&&b&第一， 写清楚为什么要对方的推荐（而不是其他人） &/b&&/p&&p&这里可以接受的理由其实只有一个：&b&&u&您特别适合评估我在这个方面的能力&/u&&/b&。例如我在申请的时候，邀请一位做质性研究的教授帮我写推荐信。这位教授不但自己在质性研究成果卓著，在学术界也担任不少重要的职位。我们也在定性研究方法上有过非常深入的讨论，因此这位教授完全可以对我在定性方法上的理解和能力做出专业的评估。&/p&&br&&p&小插曲：由此延伸出一个小评论。求大牛推荐信的做法未必可取，真正可取的是找有能力或有资格评估你专业水准的人，这样的人甚至可以是和你合作的博士生（假设你是本科生）。因为各种机缘，我看到一些推荐信，虽然是大牛起笔，但是内容其实对学生的论文充满了微妙的讽刺。这样的信，只会葬送你的机会。写信人若不是大牛，但真心了解你，那写起来的真情实感，也是洋溢在纸面的，反而更动人。
&/p&&br&&p&&b&第二， 帮对方提供素材&/b&&/p&&p&你们互相越不熟悉，那么你就越该主动提供写作素材。对方的咖越高，那么你就越该主动提供素材。这里的目的是，减少对方的时间成本。另外一个重要的好处是，尽量让推荐人只写那些你想让他们写的部分。但是注意，要写清楚只是“参考”，明确给对方随时修改的自由。
&/p&&br&&p&当然这里必须尽量避免留下“命题作文”的印象。有的学科的老师会希望你给明确的模板，有的学科的老师会希望你只是提供成绩单以及你的个人陈述，因此素材的范围不见得拘泥于一两种形式。&/p&&br&&p&&b&第三，“您不写也不要紧” &/b&&/p&&p&让对方有一个舒服的说“不”的权利。&/p&&br&&p&下面是一个实例：
&/p&&p&Dear XXXX, &/p&&p&第一点：Hope you are doing well. I want to ask you for a huge favor – I am applying for a xxx position at xxxx. I hope that you can consider writing a recommendation letter for me to support my application. I believe you are at a good position to assess my capabilities and potentials &b&&u&because&/u&&/b&…...&/p&&p&(请填入适当内容) &/p&&br&&p&第二点：To make the process as easy for you as possible, I have (1) made a list of potential bullet points along with a draft letter you might consider using as a template/ (2) attached my transcript and personal statement for your reference&/p&&p&(请填入适当内容；这里插入小评论。&b&&u&一个教授在期末可能要为10-30位学生写推荐信&/u&&/b&，如果你可以精确地提供这些素材，可以大大帮助他们组织语言，给你写出高质量的推荐信。这个举动，也会有助于你在众多“懒惰”的学生当中脱颖而出，让教授对你的印象加分) &/p&&br&&p&第三点：If you are not comfortable writing this letter, I completely understand. However, if you are willing to do so, please feel free to make any changes to the bullet points I made and add any new points as long as you find suitable.
&/p&&p&(收尾)&/p&&br&&p&不知道大家发现没？这里的核心要点也就一个：&b&&u&充分为对方考虑&/u&&/b&。能够做好这三点，即使对方不愿意写，那么起码也不会给对方留下坏印象。&/p&&p&祝大家能拿到自己心仪的推荐信！
&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&p&附：我还写了六篇学术导向的问题，希望可以帮助到你：
&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&学术研究中资质或天赋跟勤奋哪个更重要？&/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&导师的选择和建议? &/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&在国际学术会议上如何社交？&/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&第一次写学术论文无从下手怎么办？&/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&做学术期刊的审稿人是怎样的体验?&/a&&/b&&/p&&p&&b&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&应该采取什么策略读文献？&/a&&/b&&/p&
其实你选择来问这个问题，说明你并不确定教授能否给你一封推荐信。也许对方是名牌教授，而你们的交情有限。也许你们的交流已经过去了很久，你不是很肯定对方是否还记得你。 如何获得对方的一句真诚的“没问题”？求推荐信的那封电邮就至关重要。我从自己向…
&p&有点激动，不是因为点赞，而是因为大家对数学的热爱。我能力有限、水平不足（不是套话，真是越学越知道学无止境），所以文中不少错漏，各位大侠在讨论区里面平和、睿智的指出、讨论，和我所见的别的一些知乎的回答下面的评论中，情绪、荷尔蒙、喷子横飞的场景大不相同。果然，喜欢数学的都是好人。我爱数学！&/p&&p&----------------------------------------------正文-----------------------------------------------------------&/p&&p&&strong&1 引言&/strong&&br&&/p&&p&“为什么1+1=2？”，我眉头紧皱，抚案沉思，答案涌上心头，“存在即合理”，不叫1+1=2，也会叫a+b=c，到时候就会有人来问“为什么a+b=c”。&/p&&p&学了数学之后才发现自己太naive，纯粹属于“书读得太少，却想得太多”。&/p&&p&&strong&2 自然数的构造&/strong&&/p&&p&数学是数学家构造出来的一个世界，那么自然数的构造就是数学世界的开天辟地。&/p&&p&&strong&2.1 选择&/strong&&/p&&p&我们先放空自己，想象在连空间、时间都一无所有的数学世界里（空间、时间还要在自然数之后才能被创造出来），我们应该怎么去创造自然数？&/p&&p&自然数会不会是这样的：&img src=&/v2-11e72f5fba7df0e4d4c3978_b.png& data-rawwidth=&651& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&651& data-original=&/v2-11e72f5fba7df0e4d4c3978_r.png&&&/p&&p&或者是这样的：&img src=&/v2-c73e2ebf436a203c704c27_b.png& data-rawwidth=&804& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&804& data-original=&/v2-c73e2ebf436a203c704c27_r.png&&&/p&&p&甚至这样：&img src=&/v2-bb168b6d7_b.png& data-rawwidth=&633& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&633& data-original=&/v2-bb168b6d7_r.png&&&/p&&p&选择不同的自然数体系，那么数学世界会完全不同，大家也知道最后我们做了这个选择：&img src=&/v2-222a162eb130bdaf2f67d6_b.png& data-rawwidth=&848& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&848& data-original=&/v2-222a162eb130bdaf2f67d6_r.png&&&/p&&p&这个选择是自然而然做出来的，是经过历史考验的，所以我们称之为“自然数”。&/p&&p&你猜猜，外星人会不会做出和我们一样的选择？至少目前看来地球上各个独立发展的文明基本都做出了一样的选择。&/p&&p&&strong&2.2 皮亚诺公理&/strong&&/p&&p&意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面。&/p&&blockquote&&b&公理1：0是自然数。&/b&&/blockquote&&p&空旷的世界有了第一个孤独的元素：&img src=&/v2-3ca579ef44c9a19caa74d_b.png& data-rawwidth=&1059& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1059& data-original=&/v2-3ca579ef44c9a19caa74d_r.png&&&/p&&p&这就是产生整个宇宙的奇点。上帝创世的第一天是不是就是放置下了自然数0？&/p&&p&然后奇点0的大爆炸应该是什么样子的？&img src=&/v2-101f684782fbed9f6b27b_b.png& data-rawwidth=&724& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&724& data-original=&/v2-101f684782fbed9f6b27b_r.png&&&/p&&blockquote&&b&公理2：每一个确定的自然数 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& ，都有一个确定的后继数 &img src=&///equation?tex=a%27& alt=&a'& eeimg=&1&& , &img src=&///equation?tex=a%27& alt=&a'& eeimg=&1&& 也是自然数。&/b&&/blockquote&&p&这个公理做出了选择：&img src=&/v2-2be3f0bff8e_b.png& data-rawwidth=&724& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&724& data-original=&/v2-2be3f0bff8e_r.png&&&/p&&p&为了避免太过于“迂腐”，“后继数”这个词未加定义的就使用了。&/p&&p&基本上雏形是有了：&img src=&/v2-69c3fd1e67fff72f539876a_b.png& data-rawwidth=&686& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&686& data-original=&/v2-69c3fd1e67fff72f539876a_r.png&&&/p&&p&但是还是可能长成这种造型：&img src=&/v2-ae1e890cc9cf2b05470efb17d4bf2be1_b.png& data-rawwidth=&551& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&551& data-original=&/v2-ae1e890cc9cf2b05470efb17d4bf2be1_r.png&&&/p&&blockquote&&b&公理3：0不是任何自然数的后继数。&/b&&/blockquote&&p&这条公理直接把上面的情况给毙了：&img src=&/v2-80b003a87cc243d5bacea0f779cba966_b.png& data-rawwidth=&551& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&551& data-original=&/v2-80b003a87cc243d5bacea0f779cba966_r.png&&&/p&&p&同时这个公理也说明了0必须也只能是自然数的第一个数。&/p&&p&但是还是可能长成这种造型（真多事啊）：&img src=&/v2-b6d9618caa_b.png& data-rawwidth=&610& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&610& data-original=&/v2-b6d9618caa_r.png&&&/p&&blockquote&&b&公理4：不同的自然数有不同的后继数。&/b&&/blockquote&&p&这个公理可以避免上面的情况出现：&img src=&/v2-c67dc2d00298bb3fef5fffba_b.png& data-rawwidth=&610& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&610& data-original=&/v2-c67dc2d00298bb3fef5fffba_r.png&&&/p&&p&我们终于可以一个数一个数的数下去了。&/p&&p&但是现在就全是自然数了吗？这样行不行：&img src=&/v2-40b299ffaba8a1fb_b.png& data-rawwidth=&848& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&848& data-original=&/v2-40b299ffaba8a1fb_r.png&&&/p&&p&这个数系：&/p&&p&｛0，0.5，1，1.5，2，3……｝&/p&&p&这个数系满足公理1-4：&/p&&ul&&li&&p&0是自然数。&/p&&/li&&li&&p&每一个确定的自然数 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 都有确定的后继数 &img src=&///equation?tex=a%27& alt=&a'& eeimg=&1&& ， &img src=&///equation?tex=a%27& alt=&a'& eeimg=&1&& 也是自然数。&/p&&/li&&li&&p&0不是任何自然数的后继数。&/p&&/li&&li&&p&不同的自然数的有不同的后继数。&/p&&/li&&/ul&&p&但是0.5这样的数不是自然数啊，我们一定要干掉它。&/p&&p&于是又加上一个公理：&/p&&blockquote&&b&公理5：任意关于自然数的性质，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对 &img src=&///equation?tex=n%27& alt=&n'& eeimg=&1&& 为真，那么命题对所有自然数都真。&/b&&/blockquote&&p&这里有点绕，自然数都没有构造完，自然没有办法定义具体的自然数性质，这个公理就是说当以后我们定义了一个自然数的性质，自然数都要满足。&/p&&p&并且，这个公理就是数学归纳法！&/p&&p&感受一下这个命题:&/p&&blockquote&&b&&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 是自然数，那么 &img src=&///equation?tex=n%5E2& alt=&n^2& eeimg=&1&& 是自然数，并且 &img src=&///equation?tex=n%5E2& alt=&n^2& eeimg=&1&& 大于等于 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 。&/b&&/blockquote&&p&这个是我们的自然数的一个性质， &img src=&///equation?tex=0.5%5E2%3D0.25& alt=&0.5^2=0.25& eeimg=&1&& ， &img src=&///equation?tex=0.25%3C0.5& alt=&0.25&0.5& eeimg=&1&& ，不满足这个性质，干掉：&br&&img src=&/v2-059ae59e14dfb4_b.png& data-rawwidth=&848& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&848& data-original=&/v2-059ae59e14dfb4_r.png&&&/p&&p&上面给出了一个通俗的说明，下面为有疑问的朋友进行更严格一点的说明，一般来说会有如下疑问：&/p&&ul&&li&&p&0.5没有定义，怎么就出现了？&/p&&/li&&li&&p&0.5不过就是一个命名而已，我可以规定0.5也是自然数，0.25也是自然数，并且0.25排在0.5的后面。&/p&&/li&&/ul&&p&我们从这个角度来看待公理5：公理5就是数学归纳法，用数学归纳法可以证明的定理，如果某个数不符合此定理，则一定不为自然数。&/p&&p&对于0.5的出现这么来考虑，我们先定义了自然数集，然后又用自然数集扩张为有理数集，然后在有理数中挑一个数，比如说0.5，因为自然数本身是有理数的子集，所以我并不清楚0.5是不是自然数，但是我这么检验，其平方为0.25，对于自然数不可能平方小于自身，所以它不是自然数。&/p&&p&公理5也将在接下来的加法定义中发挥作用。&/p&&p&&strong&2.3 命名&/strong&&/p&&p&皮亚诺公理定义了什么是自然数：他们是这样｛ &img src=&///equation?tex=0%2C0%27%2C0%27%27%2C0%27%27%27%2C0%27%27%27%27%2C%5Ccdots+& alt=&0,0',0'',0''',0'''',\cdots & eeimg=&1&& ｝，这样称呼起来太麻烦了，历史上早就把它们的名字准备好了，就是｛ &img src=&///equation?tex=0%2C1%2C2%2C3%2C4%2C%5Ccdots+& alt=&0,1,2,3,4,\cdots & eeimg=&1&& ｝：&img src=&/v2-aafe7bce5c9a833a30e7562_b.png& data-rawwidth=&848& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&848& data-original=&/v2-aafe7bce5c9a833a30e7562_r.png&&&/p&&p&当然也可以叫别的，比如英语里面就是one、two、three、four、 &img src=&///equation?tex=%5Ccdots+& alt=&\cdots & eeimg=&1&& 。&/p&&p&&strong&3 加法&/strong&&/p&&p&只有自然数的数学世界仍然死气沉沉，增加的加法让数字与数字之间开始有了化学反应：&img src=&/v2-261e79bc96eb_b.png& data-rawwidth=&848& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&848& data-original=&/v2-261e79bc96eb_r.png&&&/p&&blockquote&&b&定义自然数的加法：设m是自然数，我们定义0+m:=m.如果定义m加上n:=m+n,那么&img src=&///equation?tex=m%2Bn%27%3A%3D%28m%2Bn%29%27& alt=&m+n':=(m+n)'& eeimg=&1&&&/b&&/blockquote&&p&要证明 &img src=&///equation?tex=%28m%2Bn%29%27& alt=&(m+n)'& eeimg=&1&& 也是自然数，就需要用到公理5。&br&&/p&&p&我们来计算一下3+2的值：&/p&&p&计算 &img src=&///equation?tex=3%2B2& alt=&3+2& eeimg=&1&& 的值就是计算 &img src=&///equation?tex=0%27%27%27%2B0%27%27& alt=&0'''+0''& eeimg=&1&& 的值。&/p&&p&所以有 &img src=&///equation?tex=3%2B2%3D0%27%27%27%2B0%27%27%3D%280%27%27%27%29%27%27%3D0%27%27%27%27%27%3D5& alt=&3+2=0'''+0''=(0''')''=0'''''=5& eeimg=&1&& 。&/p&&p&加法就像这样：&img src=&/v2-a9a6add7bfae_b.png& data-rawwidth=&629& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&629& data-original=&/v2-a9a6add7bfae_r.png&&&/p&&p&现在我们终于可以来解答1+1为什么等于2：&img src=&/v2-a7d18ceb8dc1db1e5f8068b_b.png& data-rawwidth=&533& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&533& data-original=&/v2-a7d18ceb8dc1db1e5f8068b_r.png&&&/p&&p&&strong&4 大爆炸的继续&/strong&&/p&&p&自然数和加法是数学世界的根基（当然还有集合论等，忍不住还是严谨一下），在这个基础上数学世界越来越辉煌，这就是为什么需要证明“1+1=2”：：&img src=&/v2-66af34cbc_b.png& data-rawwidth=&868& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&868& data-original=&/v2-66af34cbc_r.png&&&/p&&p&&strong&5 思考&/strong&&/p&&p&为什么数轴是直的， 而不是长成这样：&img src=&/v2-abbf263a4_b.png& data-rawwidth=&473& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&473& data-original=&/v2-abbf263a4_r.png&&&br&&/p&&p&这倒没什么正确答案，不过确实有一些数学原因。&/p&&p&思考是数学真正的乐趣。&/p&&p&参考文献：《陶哲轩实分析》&/p&
有点激动，不是因为点赞，而是因为大家对数学的热爱。我能力有限、水平不足（不是套话，真是越学越知道学无止境），所以文中不少错漏，各位大侠在讨论区里面平和、睿智的指出、讨论，和我所见的别的一些知乎的回答下面的评论中，情绪、荷尔蒙、喷子横飞的场…
不邀怒答，来来来……首先请题主明白一点：数学中所有美的巧合都有其更深刻的原因，绝不仅仅是巧合。&br&&br&&strong&1.Euler公式：如果&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&是一个有&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个顶点，&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&条边和&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&个面的连通平面图，那么&img src=&///equation?tex=n-e%2Bf%3D2& alt=&n-e+f=2& eeimg=&1&&&/strong&&br& 上面的这个&img src=&///equation?tex=2& alt=&2& eeimg=&1&&被称为&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&的Euler示性数，于是就有更加牛逼的Gauss-Bonnet-陈公式：&strong&若&img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B3%7D+& alt=&\mathbb{R}^{3} & eeimg=&1&&的一个紧的定向曲面，&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&是高斯曲率，&img src=&///equation?tex=%5Cchi+%5Cleft%28M+%5Cright%29+& alt=&\chi \left(M \right) & eeimg=&1&&是Euler示性数，则&/strong&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+%5Cint_%7BM%7D%5E%7B%7D+K%5Cmathrm%7Bd%7DA%3D%5Cchi+%5Cleft%28+M+%5Cright%29+& alt=&\frac{1}{2\pi } \int_{M}^{} K\mathrm{d}A=\chi \left( M \right) & eeimg=&1&&&br&说个有意思的应用，对于极大多数有机物（就是说它的结构简式是可平面的），如果记&img src=&///equation?tex=%5COmega+& alt=&\Omega & eeimg=&1&&为它的不饱和度，&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&为其结构简式平面化后的面数，则&img src=&///equation?tex=%5COmega+%3Df-1& alt=&\Omega =f-1& eeimg=&1&&&br&&br&&strong&2.勾股定理：记&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&为一直角三角形的三边长，&img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&为斜边，有&img src=&///equation?tex=a%5E%7B2%7D+%2Bb%5E%7B2%7D+%3Dc%5E%7B2%7D+& alt=&a^{2} +b^{2} =c^{2} & eeimg=&1&&&/strong&&br&更进一步，我们有勾股定理的三维推广：&strong&若三棱锥的三条棱两两垂直，记&img src=&///equation?tex=S_%7B1%7D%2C+S_%7B2%7D%2C+S_%7B3%7D+%2CS_%7B4%7D+& alt=&S_{1}, S_{2}, S_{3} ,S_{4} & eeimg=&1&&为三个侧面和一个底面的面积，有&img src=&///equation?tex=S_%7B1%7D%5E%7B2%7D+%2BS_%7B2%7D%5E%7B2%7D+%2BS_%7B3%7D%5E%7B2%7D%3D+S_%7B4%7D%5E%7B2%7D++& alt=&S_{1}^{2} +S_{2}^{2} +S_{3}^{2}= S_{4}^{2}
& eeimg=&1&&.&/strong&证明很简单，先将底面对每个侧面做投影，再将每个侧面对底面做投影，算两次就行了。（问个问题，有没有相关的&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维推广？可能有吧，因为二维的也可以通过做投影来证……有大神知道吗？）&br&&br&&strong&3.素数定理：记&img src=&///equation?tex=%5Cpi+%5Cleft%28+x+%5Cright%29+& alt=&\pi \left( x \right) & eeimg=&1&&为不大于&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的素数个数，有&img src=&///equation?tex=%5Cpi+%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%5Csim+%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Cmathrm%7Bln%7Dx%7D+& alt=&\pi \left( x \right) \sim \frac{x}{\mathrm{ln}x} & eeimg=&1&&&br&&/strong&&br&第一个关于素数分布规律的重大结果，永远的经典。在假定黎曼猜想的成立的前提下，有如下结果&br&&img src=&///equation?tex=%5Cpi+%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Cmathrm%7Bln%7Dx%7D%2BO%5Cleft%28+%5Csqrt%7Bx%7D+%5Cmathrm%7Bln%7Dx+%5Cright%29++& alt=&\pi \left( x \right) =\frac{x}{\mathrm{ln}x}+O\left( \sqrt{x} \mathrm{ln}x \right)
& eeimg=&1&&&br&&br&&strong&4.调和级数：记&img src=&///equation?tex=H_%7Bn%7D+%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D+& alt=&H_{n} =1+\frac{1}{2}+\cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n} & eeimg=&1&&，有&img src=&///equation?tex=H_%7Bn%7D+%5Csim+%5Cmathrm%7Bln%7Dn& alt=&H_{n} \sim \mathrm{ln}n& eeimg=&1&&&br&&/strong&&br&当然可以把上述估计式的误差项写出来，但实在没意义，还丧失了美感。更进一步，我们有：&strong&记&img src=&///equation?tex=P_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bp_%7Bn%7D+%7D++& alt=&P_{n}=\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+ \frac{1}{5}+\cdot \cdot \cdot + \frac{1}{p_{n} }
& eeimg=&1&&，其中&img src=&///equation?tex=p_%7Bn%7D+& alt=&p_{n} & eeimg=&1&&为第&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个素数，则&img src=&///equation?tex=P_%7Bn%7D+%5Csim+%5Cmathrm%7Blnln%7Dn& alt=&P_{n} \sim \mathrm{lnln}n& eeimg=&1&&&br&&/strong&.美不胜收，美不胜收！从上面这个估计式可以毫不费力的证明素数的倒数和是发散的，进而显然素数有无穷多。&br&&br&&strong&5.黎曼猜想与调和级数：同上定义&img src=&///equation?tex=H_%7Bn%7D+& alt=&H_{n} & eeimg=&1&&，则黎曼猜想等价于如下不等式&/strong&&br&&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bd%7Cn+%7D%5E%7B+%7D%7Bd%7D+%5Cleq+H_%7Bn%7D+%2B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7BH_%7Bn%7D+%7D%5Cmathrm%7Bln%7DH_%7Bn%7D++& alt=&\sum_{d|n }^{ }{d} \leq H_{n} +\mathrm{e}^{H_{n} }\mathrm{ln}H_{n}
& eeimg=&1&&&br&惊艳！等价性由Jeff Lagarias证明，很难想像黎曼猜想这个世界上最困难高深的命题竟然与这个几乎完全初等的不等式等价！！如果要评选最美的数学巧合，我投它一票。&br&&br&&strong&6.共点与共线：（Menelaus定理）&img src=&///equation?tex=%5CDelta+ABC& alt=&\Delta ABC& eeimg=&1&&中，点&img src=&///equation?tex=D%2CE%2CF& alt=&D,E,F& eeimg=&1&&分别在边&img src=&///equation?tex=AB%2CBC%2CAC& alt=&AB,BC,AC& eeimg=&1&&上，则&img src=&///equation?tex=D%2CE%2CF& alt=&D,E,F& eeimg=&1&&共线等价于&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7BAD%7D%7BDB%7D%5Ccdot++%5Cfrac%7BBE%7D%7BEC%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7BCF%7D%7BFA%7D%3D1+& alt=&\frac{AD}{DB}\cdot
\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA}=1 & eeimg=&1&&&/strong&&br&&strong&（Ceva定理）&img src=&///equation?tex=%5CDelta+ABC& alt=&\Delta ABC& eeimg=&1&&中，点&img src=&///equation?tex=D%2CE%2CF& alt=&D,E,F& eeimg=&1&&分别在边&img src=&///equation?tex=AB%2CBC%2CCA& alt=&AB,BC,CA& eeimg=&1&&上，则&img src=&///equation?tex=AE%2CBF%2CCD& alt=&AE,BF,CD& eeimg=&1&&共点等价于&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7BAD%7D%7BDB%7D%5Ccdot++%5Cfrac%7BBE%7D%7BEC%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7BCF%7D%7BFA%7D%3D1+& alt=&\frac{AD}{DB}\cdot
\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA}=1 & eeimg=&1&&&br&&/strong&&br&&img src=&/61af6dba258968_b.jpg& data-rawwidth=&535& data-rawheight=&329& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&535& data-original=&/61af6dba258968_r.jpg&&&img src=&/482b3d3ab5f154e28b737f_b.jpg& data-rawwidth=&652& data-rawheight=&336& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&652& data-original=&/482b3d3ab5f154e28b737f_r.jpg&&&br&难道我大Menelaus和大Ceva不美吗？？站在射影几何的高度上来看，Menelaus定理和Ceva定理是对偶命题，其中一个正确则另一个也正确。于是由对偶原则我们可以发现下面两组等价的共点、共线问题：&br&&br&&strong&1）（Desargue定理）平面上有两个三角形&img src=&///equation?tex=%5CDelta+ABC& alt=&\Delta ABC& eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=%5CDelta+DEF& alt=&\Delta DEF& eeimg=&1&&，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.&/strong&&br&&strong&（Desargue逆定理）平面上有两个三角形&img src=&///equation?tex=%5CDelta+ABC& alt=&\Delta ABC& eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=%5CDelta+DEF& alt=&\Delta DEF& eeimg=&1&&，如果对应边或其延长线相交的三个交点共线，则它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点.&/strong&&br&Desargue定理的对偶命题即是其逆命题，因而两者是等价的，换句话说Desargue定理是自对偶的.&br&&img src=&/73af008f468e8aa1d1e98cdcfdb6a339_b.jpg& data-rawwidth=&700& data-rawheight=&438& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&700& data-original=&/73af008f468e8aa1d1e98cdcfdb6a339_r.jpg&&&br&&strong&2）（Pascal定理）如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则该六边形的三对对边的交点共线.&/strong&&br&&strong&（Brianchon定理）如果一个六边形的六条边和一条圆锥曲线相切，则该六边形的三条对角线共点.&/strong&&br&&img src=&/f4d3c3eec940ccf6db176e7_b.jpg& data-rawwidth=&541& data-rawheight=&352& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&541& data-original=&/f4d3c3eec940ccf6db176e7_r.jpg&&&img src=&/9c82bfe296e7_b.jpg& data-rawwidth=&452& data-rawheight=&328& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&452& data-original=&/9c82bfe296e7_r.jpg&&&br&&br&Pascal定理是Pappus定理的推广（两条直线可以看作为一条圆锥曲线），其对偶命题就是Brianchon定理，因而两者也是等价的。&br&&br&&strong&7.共点与共圆：&/strong&借助反演变换，我们可以发现共点与共圆的等价性.&br&&strong&不过反演中心的一条直线&img src=&///equation?tex=%5Cleftrightarrow+& alt=&\leftrightarrow & eeimg=&1&&过反演中心的圆&/strong&，于是就有&strong&不过反演中心的三点共线&img src=&///equation?tex=%5CLeftrightarrow+& alt=&\Leftrightarrow & eeimg=&1&&此三点的反演点与反演中心四点共圆.&/strong&&br&这个定理也是相当惊艳，因此导出的下面两个等价命题更是其惊艳的应用：&br&&strong&（Sylvester定理）若平面上的一个有限点集&img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&满足，对于任意的&img src=&///equation?tex=P_%7B1%7D%2CP_%7B2%7D+%5Cin+P& alt=&P_{1},P_{2} \in P& eeimg=&1&&，存在&img src=&///equation?tex=P_%7B3%7D%5Cin+P+& alt=&P_{3}\in P & eeimg=&1&&使得&img src=&///equation?tex=P_%7B1%7D%2C+P_%7B2%7D%2C+P_%7B3%7D+& alt=&P_{1}, P_{2}, P_{3} & eeimg=&1&&共线，则&img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&中所有点共线.&/strong&&br&&strong&（苏联竞赛题）若平面上的一个有限点集&img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&满足，对于任意的&img src=&///equation?tex=P_%7B1%7D+%2CP_%7B2%7D+%2CP_%7B3%7D+%5Cin+P& alt=&P_{1} ,P_{2} ,P_{3} \in P& eeimg=&1&&都存在另一定点&img src=&///equation?tex=P_%7B0%7D%5Cin+P+& alt=&P_{0}\in P & eeimg=&1&&使得&img src=&///equation?tex=P_%7B0%7D%2C+P_%7B1%7D+%2CP_%7B2%7D%2C+P_%7B3%7D+& alt=&P_{0}, P_{1} ,P_{2}, P_{3} & eeimg=&1&&四点共圆，则&img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&中所有点共圆.&/strong&&br&&br&&strong&8.Euler公式：&img src=&///equation?tex=1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D+%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B2%7D+%7D+%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%3D%5Cfrac%7B%5Cpi+%5E%7B2%7D+%7D%7B6%7D+& alt=&1+\frac{1}{4}+ \frac{1}{9} +\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n^{2} } +\cdot \cdot \cdot =\frac{\pi ^{2} }{6} & eeimg=&1&&&/strong&&br&初看此定理难道没有一种“此题只应天上有”的感觉吗？更进一步，Euler证明了如下定理：&br&&img src=&///equation?tex=1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7B2k%7D+%7D%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E%7B2k%7D+%7D%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B2k%7D+%7D+%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%3D%5Cfrac%7B%282%5Cpi+%29%5E%7B2k%7D+%7D%7B2%282k%29%21%7D%5Cleft%7C+B_%7B2k%7D+%5Cright%7C++& alt=&1+\frac{1}{2^{2k} }+ \frac{1}{3^{2k} }+\cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2k} } +\cdot \cdot \cdot =\frac{(2\pi )^{2k} }{2(2k)!}\left| B_{2k} \right|
& eeimg=&1&&&br&&br&&strong&其中&img src=&///equation?tex=B_%7Bk%7D+& alt=&B_{k} & eeimg=&1&&是Bernoulli数&/strong&，前几个是&img src=&///equation?tex=B_%7B0%7D%3D+1%2CB_%7B1%7D%3D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2CB_%7B2%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%2CB_%7B3%7D%3D+0%2CB_%7B4%7D%3D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B34%7D%2CB_%7B5%7D%3D+0%2C%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot++& alt=&B_{0}= 1,B_{1}= -\frac{1}{2} ,B_{2}= \frac{1}{6} ,B_{3}= 0,B_{4}= -\frac{1}{34},B_{5}= 0,\cdot \cdot \cdot
& eeimg=&1&&&br&还有类似的定理：&img src=&///equation?tex=1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7B2k%7D+%7D%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E%7B2k%7D+%7D-%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2B%28-1%29%5E%7Bn-1%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B2k%7D+%7D+%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%3D%5Cfrac%7B%282%5E%7B2k%7D-1+%29%5Cpi+%5E%7B2k%7D+%7D%7B%282k%29%21%7D+%5Cleft%7CB_%7B2k%7D++%5Cright%7C+& alt=&1-\frac{1}{2^{2k} }+ \frac{1}{3^{2k} }-\cdot \cdot \cdot +(-1)^{n-1}
\frac{1}{n^{2k} } +\cdot \cdot \cdot =\frac{(2^{2k}-1 )\pi ^{2k} }{(2k)!} \left|B_{2k}
\right| & eeimg=&1&&&br&&br&&strong&9.Euler线定理：任意三角形中，重心&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&，垂心&img src=&///equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&&，外心&img src=&///equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&&，九点圆圆心&img src=&///equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&四点共线，且&img src=&///equation?tex=OG%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DGH+& alt=&OG=\frac{1}{2}GH & eeimg=&1&&，换句话讲这四个点构成调和点列.&/strong&&br&用向量可以毫不费力地证明Euler线定理.&br&&br&&strong&10.自然数幂的和：&img src=&///equation?tex=1%2B2%5E%7B3%7D+%2B3%5E%7B3%7D+%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2Bn%5E%7B3%7D%3D%281%2B2%2B3%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2B+n%29%5E%7B2%7D+& alt=&1+2^{3} +3^{3} +\cdot \cdot \cdot +n^{3}=(1+2+3+\cdot \cdot \cdot + n)^{2} & eeimg=&1&&&/strong&&br&高票回答提到了，这其实是下面这个更一般定理的推论：&br&&img src=&///equation?tex=1%2B2%5E%7Bk%7D+%2B3%5E%7Bk%7D+%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2B%28n-1%29%5E%7Bk%7D+%3D%5Cfrac%7BB_%7Bk%2B1%7D%28n%29-B_%7Bk%2B1%7D++%7D%7Bk%2B1%7D+& alt=&1+2^{k} +3^{k} +\cdot \cdot \cdot +(n-1)^{k} =\frac{B_{k+1}(n)-B_{k+1}
}{k+1} & eeimg=&1&&&br&&strong&其中&img src=&///equation?tex=B_%7Bk%7D+& alt=&B_{k} & eeimg=&1&&是Bernoulli数，&img src=&///equation?tex=B_%7Bk%7D%28x%29+& alt=&B_{k}(x) & eeimg=&1&&是Bernoulli多项式.&/strong&&br&这里稍微一提Bernoulli多项式：设&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&是复数，满足下列方程的多项式&img src=&///equation?tex=B_%7Bk%7D%28x%29+& alt=&B_{k}(x) & eeimg=&1&&称为第&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个Bernoulli多项式&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bz%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bxz%7D+%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bz%7D-1+%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7BB_%7Bk%7D%5Cleft%28+x+%5Cright%29++%7D%7Bk%21%7D+x%5E%7Bk%7D+%7D++%2C%5Cleft%7C+z+%5Cright%7C%3C2%5Cpi++& alt=&\frac{z\mathrm{e}^{xz} }{\mathrm{e}^{z}-1 }=\sum_{k=0}^{\infty }{\frac{B_{k}\left( x \right)
}{k!} x^{k} }
,\left| z \right|&2\pi
& eeimg=&1&&&br&特别地，&img src=&///equation?tex=B_%7Bk%7D%3DB_%7Bk%7D+%5Cleft%28+0+%5Cright%29++& alt=&B_{k}=B_{k} \left( 0 \right)
& eeimg=&1&&为第&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个Bernoulli数.&br&&br&&strong&11.Fermat小定理：设&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&是任意素数，则对任意整数&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&有&img src=&///equation?tex=a%5E%7Bp%7D%5Cequiv+a%28%5Cmathrm%7Bmod%7Dp%29+& alt=&a^{p}\equiv a(\mathrm{mod}p) & eeimg=&1&&.&/strong&特别地，若&img src=&///equation?tex=%28a%2Cp%29%3D1& alt=&(a,p)=1& eeimg=&1&&，则&img src=&///equation?tex=a%5E%7Bp-1%7D+%5Cequiv+1%28%5Cmathrm%7Bmod%7Dp%29& alt=&a^{p-1} \equiv 1(\mathrm{mod}p)& eeimg=&1&&.&br&很漂亮，很有用的定理，更进一步Euler对其有如下推广：&strong&记&img src=&///equation?tex=%5Cvarphi+%28n%29& alt=&\varphi (n)& eeimg=&1&&为不大于&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&且与&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&互素的数的个数，则对任意整数&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&有&img src=&///equation?tex=a%5E%7B%5Cvarphi+%28n%29%7D+%5Cequiv+1%28%5Cmathrm%7Bmod%7Dn%29& alt=&a^{\varphi (n)} \equiv 1(\mathrm{mod}n)& eeimg=&1&&&/strong&，&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&为素数时即为Fermat小定理.&br&特别提一句，对Euler函数&img src=&///equation?tex=%5Cvarphi+%28n%29& alt=&\varphi (n)& eeimg=&1&&有这么一个美丽的结果：&br&&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bd%7Cn+%7D%5E%7B%7D%7B%5Cvarphi+%28d%29%7D%3Dn+& alt=&\sum_{d|n }^{}{\varphi (d)}=n & eeimg=&1&&&br&有不少证法，比较简单的一个是先证明对素数的幂成立，在证明若&img src=&///equation?tex=%28m%2Cn%29%3D1& alt=&(m,n)=1& eeimg=&1&&有&br&&img src=&///equation?tex=%28%5Csum_%7Bd%7Cm%7D%5E%7B%7D%7B%5Cvarphi+%28d%29%7D%29%28%5Csum_%7Bd%7Cn+%7D%5E%7B%7D%7B%5Cvarphi+%28d%29%7D%29%3D%5Csum_%7Bd%7Cmn+%7D%5E%7B%7D%7B%5Cvarphi+%28d%29%7D& alt=&(\sum_{d|m}^{}{\varphi (d)})(\sum_{d|n }^{}{\varphi (d)})=\sum_{d|mn }^{}{\varphi (d)}& eeimg=&1&&&br&这应该没啥难度.&br&&br&&strong&12.二次互反律：设&img src=&///equation?tex=p%2Cq& alt=&p,q& eeimg=&1&&为两个不同的奇素数，则&img src=&///equation?tex=%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D++%5Cright%29+%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bp%7D%7Bq%7D++%5Cright%29%3D%28-1%29%5E%7B%5Cfrac%7Bp-1%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7Bq-1%7D%7B2%7D+%7D++& alt=&\left( \frac{q}{p}
\right) \left( \frac{p}{q}
\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2} }
& eeimg=&1&&&/strong&&br&&strong&其中&img src=&///equation?tex=%5Cleft%28+%5Cfrac%7Ba%7D%7Bp%7D++%5Cright%29+& alt=&\left( \frac{a}{p}
\right) & eeimg=&1&&是Legendre符号.&/strong&&br&怎能不提我大二次互反律，这可能是除勾股定理外证明最多的定理了，其重要性不言而喻，简直就是打开了二次剩余理论的大门啊。二次互反律相当深刻地揭示了方程&img src=&///equation?tex=x%5E%7B2%7D%5Cequiv+q%28%5Cmathrm%7Bmod%7Dp%29+& alt=&x^{2}\equiv q(\mathrm{mod}p) & eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=x%5E%7B2%7D%5Cequiv+p%28%5Cmathrm%7Bmod%7Dq%29+& alt=&x^{2}\equiv p(\mathrm{mod}q) & eeimg=&1&&之间的联系，而且形式又如此简单，当是数学中最美妙的几个定理之一了。&br&&br&&strong&13.代数基本定理：每个复系数非常数多项式在复数域内至少有一个根.&/strong&&br&最最有名的定理，当然可以加强成&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&次复系数多项式在复数域内有且仅有&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个复根。稍弱一点，我们可用数学归纳法证明：&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&次实系数多项式多项式至多有&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个实根。值得一提的是，如果你注意到同余“&img src=&///equation?tex=%5Cequiv+& alt=&\equiv & eeimg=&1&&”本质上 跟等号没有区别，就会发现这跟数论中的Lagrange定理是等价的：&br&&strong&（Lagrange定理）&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&次同余方程至多有&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个根.&/strong&&br&怎么样？是不是有种神清气爽的感觉？&br&&br&&strong&14.不等式：&/strong&各种不等式虽然算不上巧合但是不美吗？&br&&strong&（Cauchy不等式）&img src=&///equation?tex=a_%7Bi%7D+%2Cb_%7Bi%7D%3E0+& alt=&a_{i} ,b_{i}&0 & eeimg=&1&&，则&img src=&///equation?tex=%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Ba_%7Bi%7D%5E%7B2%7D++%7D%29+%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bb_%7Bi%7D%5E%7B2%7D+%7D%29+%5Cgeq+%28%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Ba_%7Bi%7D+b_%7Bi%7D+%7D+%29%5E%7B2%7D+& alt=&(\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}
}) (\sum_{i=1}^{n}{b_{i}^{2} }) \geq (\sum_{i=1}^{n}{a_{i} b_{i} } )^{2} & eeimg=&1&&&/strong&&br&&strong&（加权均值不等式）若&img src=&///equation?tex=a_%7B1%7D%2B+a_%7B2%7D+%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2Ba_%7Bn%7D%3D1+& alt=&a_{1}+ a_{2} +\cdot \cdot \cdot +a_{n}=1 & eeimg=&1&&，则 &/strong&&br&&img src=&///equation?tex=a_%7B1%7D+x_%7B1%7D%2Ba_%7B2%7D+x_%7B2%7D+%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%2Ba_%7Bn%7D+x_%7Bn%7D%5Cgeq+x_%7B1%7D%5E%7Ba_%7B1%7D+%7D+x_%7B2%7D%5E%7Ba_%7B2%7D+%7D+%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot++x_%7Bn%7D%5E%7Ba_%7Bn%7D+%7D& alt=&a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2} +\cdot \cdot \cdot +a_{n} x_{n}\geq x_{1}^{a_{1} } x_{2}^{a_{2} } \cdot \cdot \cdot
x_{n}^{a_{n} }& eeimg=&1&&&br&&strong&(Schur不等式）对任意的&img src=&///equation?tex=x%2Cy%2Cz%3E0& alt=&x,y,z&0& eeimg=&1&&及&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%5Cin+R& alt=&\alpha \in R& eeimg=&1&&，&/strong&&br&&img src=&///equation?tex=x%5E%7B%5Calpha+%7D+%28x-y%29%28x-z%29%2By%5E%7B%5Calpha+%7D+%28y-z%29%28y-x%29%2Bz%5E%7B%5Calpha+%7D%28z-x%29%28z-y%29%5Cgeq+0+& alt=&x^{\alpha } (x-y)(x-z)+y^{\alpha } (y-z)(y-x)+z^{\alpha }(z-x)(z-y)\geq 0 & eeimg=&1&&&br&&strong&（Murihead定理）对于任意的&img src=&///equation?tex=x%2Cy%2Cz%3E0& alt=&x,y,z&0& eeimg=&1&&及&img src=&///equation?tex=a_%7Bi%7D%2Cb_%7Bi%7D+%3E0%28i%3D1%2C2%2C3%29& alt=&a_{i},b_{i} &0(i=1,2,3)& eeimg=&1&&，若&img src=&///equation?tex=a_%7B1%7D%5Cgeq+b_%7B1%7D++& alt=&a_{1}\geq b_{1}
& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=a_%7B1%7D+%2Ba_%7B2%7D+%5Cgeq+b_%7B1%7D%2B+b_%7B2%7D+& alt=&a_{1} +a_{2} \geq b_{1}+ b_{2} & eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=a_%7B1%7D+%2Ba_%7B2%7D+%2Ba_%7B3%7D+%3Db_%7B1%7D+%2Bb_%7B2%7D%2B+b_%7B3%7D+& alt=&a_{1} +a_{2} +a_{3} =b_{1} +b_{2}+ b_{3} & eeimg=&1&&则&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7B%5Cmathrm%7Bsym%7D%7D%5E%7B%7D%7Bx%5E%7Ba_%7B1%7D+%7D+y%5E%7Ba_%7B2%7D+%7D+z%5E%7Ba_%7B3%7D+%7D+%7D+%5Cgeq+%5Csum_%7B%5Cmathrm%7Bsym%7D%7D%5E%7B%7D%7Bx%5E%7Bb_%7B1%7D+%7Dy%5E%7Bb_%7B2%7D+%7D+z%5E%7Bb_%7B3%7D+%7D++%7D+& alt=&\sum_{\mathrm{sym}}^{}{x^{a_{1} } y^{a_{2} } z^{a_{3} } } \geq \sum_{\mathrm{sym}}^{}{x^{b_{1} }y^{b_{2} } z^{b_{3} }
} & eeimg=&1&&&/strong&&br&&br&不等式简直美呆了……多年经验来看，Schur不等式和Murihead定理都比较精密，应用起来也相对暴力一些。&br&&br&&strong&15.Hall定理：设二部图&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&的两部分分别为&img src=&///equation?tex=X%3D%5Cleft%5C%7B+x_%7B1%7D+%2Cx_%7B2%7D+%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+x_%7Bn%7D++%5Cright%5C%7D+& alt=&X=\left\{ x_{1} ,x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{n}
\right\} & eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=Y%3D%5Cleft%5C%7B+y_%7B1%7D+%2Cy_%7B2%7D+%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot%2C+y_%7Bm%7D+%5Cright%5C%7D+& alt=&Y=\left\{ y_{1} ,y_{2} \cdot \cdot \cdot, y_{m} \right\} & eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&中一组无公共点的边，一端恰好组成&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&中的点的充分必要条件是&img src=&///equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&中的任意&/strong&&strong&&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个点至少与&img src=&///equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&中的&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个点相邻&img src=&///equation?tex=%281%5Cleq+k%5Cleq+n%29& alt=&(1\leq k\leq n)& eeimg=&1&&.&/strong&&br&Hall定理又被称为完美匹配定理，最最常用的故事大概就是说：有&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个男生向&img src=&///equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&个女生表白&img src=&///equation?tex=%28n%5Cleq+m%29& alt=&(n\leq m)& eeimg=&1&&，已知任意&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个男生至少喜欢&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个女生，则存在一种分配使得所有男生都能与自己喜欢的女生牵手。“虐狗定理”……七夕快乐：）&br&&br&&strong&16.Cayley定理：&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&阶完全图&img src=&///equation?tex=K_%7Bn%7D+& alt=&K_{n} & eeimg=&1&&有&img src=&///equation?tex=n%5E%7Bn-2%7D+& alt=&n^{n-2} & eeimg=&1&&棵生成树&/strong&（顶点不同但同构的算作不同的生成树）&br&超级漂亮的结论，有好几种神奇的证明方法（隐隐约约记得貌似有线性代数的？？），我们有如下强得多的结论&strong&：（Matrix-Tree定理）记&img src=&///equation?tex=D%5Cleft%5B+G+%5Cright%5D%2CA%5Cleft%5B+G+%5Cright%5D++& alt=&D\left[ G \right],A\left[ G \right]
& eeimg=&1&&分别为图&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&的度数矩阵和邻接矩阵，我们称矩阵&img src=&///equation?tex=C%5Cleft%5B+G+%5Cright%5D%3DD%5Cleft%5B+G+%5Cright%5D-A%5Cleft%5B+G+%5Cright%5D++& alt=&C\left[ G \right]=D\left[ G \right]-A\left[ G \right]
& eeimg=&1&&为图&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&的Kirchhoff矩阵（也称Laplace矩阵），则&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵的任意&img src=&///equation?tex=n-1& alt=&n-1& eeimg=&1&&阶代数余子式的绝对值.&/strong&但是要从Matrix-Tree定理中直接得到Cayley定理也不是那么简单，很难。&br&&br&&strong&17.Turan定理：若&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个顶点的图&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&有&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&条边，且&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&中不含三角形，则&/strong&&img src=&///equation?tex=e%5Cleq+%5Cleft%5B+%5Cfrac%7Bn%5E%7B2%7D+%7D%7B4%7D++%5Cright%5D+& alt=&e\leq \left[ \frac{n^{2} }{4}
\right] & eeimg=&1&&.&br&等号是可以取得的，作为习题自己构造去……（提示：考虑二部图）&br&Turan定理揭示了这么一个原理：&strong&当一个图的边数足够多时，这个图会出现相当多的特定结构。&/strong&&br&更进一步，Turan证明了：&strong&若&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&阶图&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&不含&img src=&///equation?tex=m%2B1& alt=&m+1& eeimg=&1&&阶完全图&img src=&///equation?tex=K_%7Bm%2B1%7D+& alt=&K_{m+1} & eeimg=&1&&，记&img src=&///equation?tex=k%3D%5Cleft%5B+%5Cfrac%7Bn%7D%7Bm%7D++%5Cright%5D+& alt=&k=\left[ \frac{n}{m}
\right] & eeimg=&1&&，则&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&的边数&img src=&///equation?tex=e%5Cleq+%5Cmathrm%7BC%7D_%7Bn-k%7D%5E%7B2%7D%2B%28m-1%29%5Cmathrm%7BC%7D_%7Bk%2B1%7D%5E%7B2%7D++& alt=&e\leq \mathrm{C}_{n-k}^{2}+(m-1)\mathrm{C}_{k+1}^{2}
& eeimg=&1&&&/strong&.这个等号也是能取到的，构造也是考虑&img src=&///equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&部图。&br&&br&&strong&18.Kuratowski定理：一个图是可平面的，当且仅当它不含&img src=&///equation?tex=K_%7B5%7D+& alt=&K_{5} & eeimg=&1&&或&img src=&///equation?tex=K_%7B3%2C3%7D+& alt=&K_{3,3} & eeimg=&1&&构型.&/strong&&br&所谓可平面的，即指一个图可以画在平面上且不存在相交的边。由Kuratowski定理可以看出，最简单的不可平面图就是&img src=&///equation?tex=K_%7B5%7D+& alt=&K_{5} & eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=K_%7B3%2C3%7D+& alt=&K_{3,3} & eeimg=&1&&了：&br&&img src=&/98c923fffe34b2a49a5328_b.jpg& data-rawwidth=&368& data-rawheight=&342& class=&content_image& width=&368&&&br&&img src=&/4ddd05dee6ee_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&365& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&/4ddd05dee6ee_r.jpg&&&br&这是相当厉害的定理，给出了一个图是否可平面化的判定标准。前面说过，几乎所有有机物的结构简式都是可平面的，这里就能说清楚了：什么有机物能既含&img src=&///equation?tex=K_%7B5%7D+& alt=&K_{5} & eeimg=&1&&或&img src=&///equation?tex=K_%7B3%2C3%7D+& alt=&K_{3,3} & eeimg=&1&&又能稳定存在？？不多吧，反正烃和卤代烃不行。&br&&br&&strong&19.Ramanujan的逆天公式&/strong&&br&说起数学之美，怎能不提Ramanujan的各种反人类的公式呢？随便举几例，你们感受下：&br&&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B5%7D+%7D%7B2%7D%2B2+%7D+-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B5%7D+%7D%7B2%7D+%7D+%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cfrac%7B2%5Cpi+%7D%7B5%7D+%7D+%7D%7B1%2B+%7D+%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-2%5Cpi+%7D+%7D%7B1%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-4%5Cpi+%7D+%7D%7B1%2B%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-6%5Cpi+%7D+%7D%7B1%2B%7D%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot++++& alt=&\sqrt{\frac{1+\sqrt{5} }{2}+2 } -\sqrt{\frac{1+\sqrt{5} }{2} } =\frac{\mathrm{e}^{-\frac{2\pi }{5} } }{1+ } \frac{\mathrm{e}^{-2\pi } }{1+}\frac{\mathrm{e}^{-4\pi } }{1+}\frac{\mathrm{e}^{-6\pi } }{1+}\cdot \cdot \cdot
& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi+%7D+%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B8%7D+%7D%7B9801%7D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B%284n%29%21%B2D%7B%28n%21%29%5E%7B4%7D396%5E%7B4n%7D++%7D+%7D+& alt=&\frac{1}{\pi } =\frac{\sqrt{8} }{9801} \sum_{n=0}^{\infty }{\frac{(4n)!(n)}{(n!)^{4}396^{4n}
} } & eeimg=&1&&（这个级数收敛极快，取第一项就能精确到小数点后8位）&br&&img src=&///equation?tex=1%2Bx%3D%5Csqrt%7B1%2Bx%5Csqrt%7B1%2B%28x%2B1%29%5Csqrt%7B1%2B%28x%2B2%29%5Csqrt%7B1%2B%28x%2B3%29%5Csqrt%7B1%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+%7D+%7D+%7D+%7D+%7D+& alt=&1+x=\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+(x+3)\sqrt{1+\cdot \cdot \cdot } } } } } & eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi+%7D+%3D1-5%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%29%5E%7B3%7D%2B9%28%5Cfrac%7B1%5Ctimes+3%7D%7B2%5Ctimes+4%7D%29%5E%7B3%7D-13%28%5Cfrac%7B1%5Ctimes+3%5Ctimes+5%7D%7B2%5Ctimes+4%5Ctimes+6%7D%29%5E%7B3%7D%2B%5Ccdot+%5Ccdot+%5Ccdot+++++++& alt=&\frac{2}{\pi } =1-5(\frac{1}{2}
)^{3}+9(\frac{1\times 3}{2\times 4})^{3}-13(\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6})^{3}+\cdot \cdot \cdot
& eeimg=&1&&&br&&br&&strong&如果&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%5Cbeta+%3D%5Cpi+%5E%7B2%7D+& alt=&\alpha \beta =\pi ^{2} & eeimg=&1&&，则&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%7D%281%2B4%5Calpha+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%5Cfrac%7Bx%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Calpha+x%5E%7B2%7D+%7D+%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B2%5Cpi+x%7D-1+%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%29+%3D++%5Cbeta++%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%7D%281%2B4%5Cbeta++%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%5Cfrac%7Bx%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cbeta++x%5E%7B2%7D+%7D+%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B2%5Cpi+x%7D-1+%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%29+++& alt=&\alpha ^{-\frac{1}{4} }(1+4\alpha \int_{0}^{\infty }\frac{x\mathrm{e}^{-\alpha x^{2} } }{\mathrm{e}^{2\pi x}-1 }\mathrm{d}x) =
^{-\frac{1}{4} }(1+4\beta
\int_{0}^{\infty }\frac{x\mathrm{e}^{-\beta
x^{2} } }{\mathrm{e}^{2\pi x}-1 }\mathrm{d}x)
& eeimg=&1&&&br&&/strong&&br&&s