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交线的求法
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* 曲面体与曲面体 (回转体）相交 封闭的、光滑的、空间曲线 交线形状 ↑ ← 交线的求法 例1 → 求正面投影 H、W投影已知 交线分析 封闭的空间曲线 投影分析 投影作图 找特殊点 找中间点 判断可见性 光滑连线 圆柱与圆柱相交 方法1：利用积聚性投影用面上取点的方法求解 ① 二圆柱进行 “差” 运算 讨论 Ⅰ-Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅱ-Ⅰ ② 二圆柱进行 “交” 运算 讨论 二圆柱并、差、交运算，交线均相同。 交线分析 投影分析 PW 光滑连接曲线
P ? 圆锥面 = 圆 圆 ? 直线 = 交线上的点 W面投影已知， →求V、H面投影 找中间点 投影作图 找特殊点
P ? 圆柱面 = 直线 圆柱与圆台相交 封闭的空间曲线 辅助面与二回转体表面交线的投影为直线或圆 辅助面选择原则： 例2 方法2：辅助平面法—— 利用“三面共点”的原理 交线的H、W面投影已知 →求V面投影 求二圆柱表面的交线 交线分析 封闭的空间曲线 投影分析 PW 投影作图 特殊点 外形轮廓线投影 中间点 光滑连接曲线 例3 检查重点 先形体后交线 大圆柱对V面外形轮廓线的终止点、外形轮廓线与曲线投影的切点。 小圆柱对V面外形轮廓线的终止点，外形轮廓 线与曲线投影的切点，曲线投影虚实分界点。 多形体相交 2 3 分形体 求1、3交线 ?圆柱面3与平面P 先整体求解 后取局部交线 P? ?圆柱面1与圆柱面3 求2、3交线 有虚线 两两求交线 ?圆柱面2与圆柱面3 例4 2 1 3 1 检查 当圆球面与回转面共轴时 其交线为垂直于轴线的圆 条 件 ①二相交表
转面 ②二轴线必
面的球心 方法3：辅助球面法 * * *
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在二维平面内，交线是指同时在两个二维几何图形上的直线或曲线。例如,两个平面之间或两个曲面之间的交线;平面与曲面的交线等等。两个相交平面的交线为直线,在其余情况,交线一般为曲线。[1]
在三维空间内，交线是指平面与立体表面的交线或两立体表面的交线。有截交线和相贯线，截交线定义：平面与立体表面的交线，相贯线定义：两立体表面的交线。这里主要介绍三维空间的截交线和相贯线。
交线截交线
平面与立体表面的交线；
由平面切割立体后，表面所产生的交线称为，该平面称为截平面，被切割后的立体所露出的表面叫截断面[2]
1.截交线是截平面与立体表面的共有线,截交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有点；
2.截交线所围成的图形一般是封闭的[3]
画法举例：
截交线是截平面和几何体表面的共有线，截交线上的每一点都是截平面和几何体表面的共有点。因此，只要能求出这些共有点，再把这些共有点连起来，就可以得到截交线。[3]
分析：由图a可以看出，截交线应为一。在三视图上，截交线的正面投影积聚为一直线，说明截断面是一正垂面，而在其他两个投影面上的投影为椭圆。[2]
作图步骤：
圆锥斜切时的截交线画法图a、b
圆锥斜切时的截交线画法图c
圆锥斜切时的截交线画法图d
圆锥斜切时的截交线画法图e
(1)画出圆锥的三面投影图。并把圆锥锥底H面投影(圆周)进行十二等分，等分点分别为a、b、c、…、l，并连接圆锥顶点到各等分点(见图b)。
(2)根据三视图投影规律，由H面投影a、b、c、…、l分别作出V面a’、b’、c’、…、l’各点，并连接s'a’、s'b’、…、s'g’，分别和截交线相交，得截交点1’、2’、3’、…、7’和特殊点1”、4”、7”、10”(见图c)。
说明：为让三视图图面清晰，只标少量有代表性的符号，其他符号没标出，请读者注意。
(3)确定俯视图和上各截交点。由主视图上1’、2’、3’、…、7’各点分别向下引和俯视图上sa、sb、…、sl各素线相交于1、2、3、…、12点，则该点即为所求截交点。同理，根据主、左视图——高平齐和俯、左视图——宽相等，求出l”、2”、3”、…、12”点(见图d)。
(4)用平滑曲线分别在俯视图和左视图上连接各截交点，并擦掉多余的图线，即完成圆锥被正垂面P斜切的截交线的图形(见图e)。
交线相贯线
两立体相交，在其表面上产生的交线称为；
相贯线也是机器零件的一种表面交线，与截交线不同的是，相贯线不是由平面切割几何体形成的，而是由两个几何体互相贯穿产生的。零件表面的相贯线大都是由、、等表面相交而成。[2]
1.相贯线是两形体表面的交线.相贯线是互相贯穿的两个形体表面的共有线，也是两个相交形体的表面分界线；
2.相贯线在一般情况下是封闭的空间曲线，有时则为平面曲线。[2]
画法举例：
根据相贯线的两个特性，求相贯线表面的交线，实际上就是在两形体表面上找它们的公共点，将这些公共点顺次连接起来便构成了相贯线。
(1)表面取点法
当两个回转体中有一个表面的投影有积聚性时，可用在曲面立体表面上取点的方法作出两立体表面上的这些共有点；这种方法称为表面取点法[3]
(2)辅助平面法
作一组辅助平面．分别求出这些辅助平面与这两个回转体表面的交点，这些点就是相贯线上的点。这种方法称为辅助平面法。为了作图方便，一般选特殊位置平面为辅助平面(图2)[3]
作图时，首先应根据两体的相交情况分析相贯线的大致伸展趋势，依次求出特殊点和一般点，再判别可见性，最后将求出的各点光滑地连接成曲线。
实例展示[3]
求两圆柱的相贯线的(图三)。
分析：由图三(a)中可以看出，大圆柱轴线垂直于侧面，小圆柱轴线垂直于水平面．两圆柱轴线垂直相交。因为相贯线是两圆柱面上的共有线，所以其水平投影积聚在小圆柱的水平投影的圆周上，而侧面投影积聚在大圆柱侧面投影的圆周上(在小圆柱最前、最后之间的一段圆弧)．如图三(b)所示。需要求作的是相贯线的正面投影。因相贯线前、后对称．所以相贯线前、后部分的正面投影重合。
作图步骤如图三所示：
(1)求特殊点 特殊点是决定相贯线的投影范围及其可见性的点．它们大部分在外形轮廓线(特殊位置素线)上。本例相贯线的正面投影应由最左、最右点及最高、最低点决定其范围。由水平投影看出a、b两点是最左、最右点A、B的投影．它们也是两圆柱正面投影外形轮廓线上的交点．可由a、b对应求出a”、(b'')及a '、b '：这两点也是最高点：由侧面投影看出，小圆柱侧面投影外形轮廓线与大圆柱的交点，是相贯线最低点C的投影。由c”可直接对应求出c及c '。
(2)求中间点 中间点决定曲线的伸展趋势。任取对称点(图三(d))E、F、的水平投影e、f，然后求出其侧面投影e''、f''，最后求出正面投影e’、f’。
(3)判断可见性判断相贯线投影可见性的原则是：当两回转体表面在该投彩面上的投影均为可见时，相贯线的投影才可见．画成实线，否则为不可见，应画成虚线：可见性分界点一定在外形轮廓线上。图三中。两圆柱前半面的正面投影均可见．曲线由a '、b '点分界．前半部分a ' e ' c ' f 'b '可见，连成实线，不可见的后半部分与前半部分重合。
(4)连曲线按各点的顺序，将各点的正面投影连成光滑曲线，即得正面投影，作图结果如图三(e)所示。
(1)如下图所示，若在水平圆柱上穿孔，就会出现圆柱外表面与圆柱孔内表面的相贯线。这种相贯线可以看成是直立圆柱与水平圆柱相贯后，再把直立圆柱抽去而形成的。[3]
(2)如上图所示，若要求作两圆柱孔内表面的相贯线，作图方法与求作两圆柱外表面相贯线的方法相同。
(3)如下图所示，当正交两圆柱的相对位置不变，而相对大小发生变化时，相贯线的形状和位置也将随之变化。
当Φ1&Φ时，相贯线的正面投影为上下对称的曲线(图五(a))。
当Φ1=Φ时，相贯线的正面投影为上下对称的曲线(图五(b))。
当Φ1&Φ中时，相贯线在空间上为两相交椭圆．其正面投影为两相交直线(图五(c))。
从图五(a)、(c)可以看出，在相贯线的非积聚性投影上，相贯线的弯曲方向总是朝向较大圆柱的轴线。
工程上两圆柱正交的实例很多，为了简化作图，国家标准规定，允许采用简化画法作出相贯线的投影，即以圆弧代替非圆曲线。当轴线垂直相交且平行于正面的两个不等径圆柱相交时，相贯线的正面投影以大圆柱的半径为半径画圆弧即可。简化画法的作图过程如图六所示。
相贯线的特殊情况：
两回转体相交时，其相贯线一般为空间曲线，但在特殊情况下，也可能是平面曲线或直线。
当两个回转体具有公共轴线时，相贯线为圆，该圆的正面投影为一直线段，水平面投影为圆的实形。
当圆柱与圆柱、圆柱与圆锥轴线相交，并公切于一圆球时，相贯线为椭圆，该椭圆的正面投影为一直线段，水平面投影为类似形(圆或椭圆)
当圆柱轴线平行或两圆锥共顶相交时，相贯线为直线。[3]
沈以淡．简明数学词典：北京理工大学出版社，2003
霍长荣，韩志范．钣金下料常用技术
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李春霞，刘速，付海燕，张帅副．机械零部件测绘（理实一体化教材）：南开大学出版社，2014.05
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同济大学数学科学学院
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第三章 立体表面交线的投影作图[参考].ppt 55页
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4.2.2 曲面体的截交 ? 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 ? 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）。 (1) 曲面体截交线的性质： (2) 求曲面体截交线的实质：
求截平面与曲面上被截各素线的交点，然后依次光滑连接。 3.2.2 曲面体的截交
⒈ 空间及投影分析 ?分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置。 ?分析截平面与投影面的相对位置，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： ?光滑连接各点，并判断截交线的可见性。 ?先找特殊点（外形素线上的点和极限位置点）。 ★ 求截交线的步骤： 确定截交 线的形状 确定截交线 的投影特性 ?补充一般点。 3. 完善轮廓。
由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种不同的形状。 一、圆柱的截断 圆 椭圆 直线 垂直 倾斜 平行 截交线的侧面投影是什么形状？ 截交线的已知投影？ ★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 三、完善轮廓 截交线的空间形状？
一、分析 二、求截交线 例1：圆柱被正垂面截断，求作其视图 ● 1' ● 2 ' (4 ') ● 3' ● 1& ● 2& ● 3& ● 4& ● 5 '(6' ) ● 7 '(8' ) ● 5 ● 6 ● 8 ● 7 ● 5& ● 7& ● 8& ● 6& 1 ● 3 ● 2 ● 4 ● 例1：结果和立体图 ● 1 ● 3 ● 4 ● 2 ● 1' ● 2 ' (4 ') ● 3' ● 1& ● 2& ● 3& ● 4& ● 5 '(6' ) ● 7 '(8' ) ● 5 ● 6 ● 8 ● 7 ● 5& ● 7& ● 8& ● 6& 1 ● 3 ● 2 ● 4 ● ★空间及投影分析 ★求截交线 ★完善圆柱轮廓 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 解题步骤：
同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。
例2:求作圆柱切口开槽后的视图 ● 1′(2′) 3′(4′) 1″ ● 2″ ● ● ● 4(2) ● 3(1) ● 3″ 4″ ●
4 ● 2 ● 1 3 ● 例2:结果和立体图 ● 1′(2′) 3′(4′) 1″ ● 2″ ● ● ● 4(2) ● 3(1) ● 3″ 4″ ●
4 ● 2 ● 1 3 ● 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。 倾斜于轴线 θ＞α 椭圆 圆 垂直于轴线 θ= 90° 双曲线 平行于轴线 θ= 0° 抛物线 平行于一条素线
θ=α 直线 过锥顶 直线（三角形） 二、圆锥的截断 截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？ ★找特殊点 如何找椭圆另一根轴的端点（即最前、最后点） ★补充中间点 ★光滑连接各点 三、完善轮廓 例1: 圆锥被正垂面截断，完成三视图。 一、分析 二、求截交线 1' 2' 3‘(4’) 5' (6 ') 1& 2& 3& 4& 1 2 7‘ (8') 9‘ (10') 7& 8& ? ? 5& 6& ? ? 9& 10& ? ? 7 8 ? ? 9 10 ? ? 4 3 ? ? 5 6 ? ? 例1: 圆锥被正垂面截断，完成三视图。 1' 2' 3‘(4’) 5' (6 ') 7‘ (8') 9‘ (10') 7& 8& ? ? 5& 6& ? ? 9& 10& ? ? 7 8 ? ? 9 10 ? ? 4 3 ? ? 5 6 ? ? 2 1 2& 1& 例1: 圆锥被正垂面截切的三视图和立体图。 例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。 1' 2' 3‘(4’) ? ? 1& 3& ? ? 2& ? ? ? 1 ? 3 ? 2 ? 分析：圆锥台的切口由三个平面切割而成，分析各截交线的空间形状和投影特性。 例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。 1' 2' 3‘(4’) ? ? 1& 3& ? ? 2& ? ? ? 1 ? 3 ? 2 ? 切口圆锥台的视图和立体图。
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