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地址：合肥市新站区临泉路安徽大学东区江晨园&B8栋602（或A1幢-204） 24小时技术支持及销售热线：& 4226906&& 24小时客服QQ：1622748 刘工& & & 电话繁忙，烦请多拨打几遍 配件维修（新时达电梯配件维修，永大电梯配件维修，三菱电梯配件维修，日立电梯配件维修）
电梯系列： 1、 东芝系列：东芝CV55、东芝CV60、东芝CV150、东芝CV180 、东芝CV190 、东芝CV320、东芝CV300、东芝CV330 （包括电梯电路板 , 电梯变频门机, 驱动板、电梯主板、门机控制板、轿厢显示板、门机变频器、变频器、操纵厢指令板、楼层召唤显示板、分频板等 ，维修解密等。 电梯专用变频器,电梯调试,电梯维修, 电梯改功能） 2、OTIS奥的斯（包括西子）电梯系列电路板维修：
奥的斯300VF、奥的斯2000、奥的斯3000、奥的斯3100、奥的斯3100R2、奥的斯3200、GEN2、奥的斯SPAN、奥的斯E311、 奥的斯E411 、 奥的斯TOEC& 3 、 奥的斯TOEC &40、 奥的斯TOEC&60、 奥的斯TOEC& 90 、奥的斯STAR，& 奥的斯2000VF 、 奥的斯OH5000 、OTIS OH5100等系列（包括电梯电路板、驱动板、门机控制板、轿厢显示板、门机变频器、变频器、操纵厢指令板、楼层召唤显示板 、分频板等，维修解密等。 电梯专用变频器,电梯调试,电梯维修, 电梯改功能） 3、GVF（GH98）系列、GVF-2（NPH、GVF-3、GVF-2（NPH），、GVF-3、HGP、HVF、HVF4、NPX、NPX2(VF5)、UAX、VFMG、YPVF、EX-ENH 扶梯、（包括电梯电路板, 电梯变频门机, 电梯主板、门机控制板、轿厢显示板、门机变频器、变频器、操纵厢指令板、楼层召唤显 示板、分频板等，维修解密等。 电梯专用变频器,电梯调试,电梯维修, 电梯改功能） 4、三菱HOPE1、HOPE2系列、GPS 、GPS-2、 GPS-3系列、VFCL(SPVF)系列（包括电梯电路板, 电梯变频门机, 电梯主板、驱动板、门 机控制板、轿厢显示板、门机变频器、变频器、操纵厢指令板、楼层召唤显示板、分频板等，维修解密等。 电梯专用变频器,电梯调 试,电梯维修, 电梯改功能） 5、通力3000 (小机房，无机房）、通力7000、通力扶梯) 6、永大日立系列：（ENT、NTVF、Y95） 7、迅达系列：（迅达300P、迅达9300、扶梯、迅达MB-DS） 8、蒂森系列：（TE-E、TE-B、扶梯、TCM、MC1、MC2） 9、现代系列电梯:（STVF、STVF5、W-BT、ELEX4B） 10、LG系列电梯：LG-SI210、LG-DL2、LG-DL1、LG-MGP、LG-MRL、LG-NEW DSS） 11、崇友GF-88、GF-168系列 富士达电梯维修: CP28主板，IF78A门机板，IN79B显示板，IN87B显示板，CP38主板，IF118，MC15，IF82D，DR12C门机板，DR13门机板，IN83轿厢显示 板，IN103B厅外显示板，BC20A，BC32，IF61C，IF61B。IF66C,CR7A,CP15A,CP16A,IP8A,IF34,IF61E,IF61B等 12、江阴多快、山东百斯特、富士达、康力、富士、昆山通佑、成都慕尼黑、申龙、华立、蒙哥马利、三洋、上海新时达控制系统、 无锡中秀控制系统、德国里霸EKM64 、EKM65、德国米高控制系统、阿尔法电梯控制系统、德国奔克控制系统、爱登堡、艾默生、西威 变频器、西尔康RCF1变频门机、申菱门机、展鹏门机等，包括电梯电路板, 电梯变频门机, 电梯主板、门机控制板、轿厢显示板、门 机变频器、变频器、操纵厢指令板、楼层召唤显示板、分频板等，维修解密等。 电梯专用变频器,电梯调试,电梯维修, 电梯改功能 13合肥天浦硕能电子科技有限公司：专业从事工控设备电路板维修、包括电梯电路板, 电梯变频门机, 电梯主板、驱动板、门机控制 板、轿厢显示板、门机变频器、变频器、操纵厢指令板、楼层召唤显示板、分频板等，维修解密等。 电梯专用变频器,电梯调试,电梯 维修, 电梯改功能、 &医疗设备电路板维修、注塑机电路板维修、绣花机电路板维修、变频器维修、伺服放大器维修、工业显示屏、触摸屏维修、步进控制 器维修、PLC维修、自动化PLC工程和旧设备改造等。本公司在工控电子维修方面已经取得了非常丰富的实践经验，我们向你承诺:只要 是电路板，我们都可以维修。在国内我公司在电梯维修改造行业***专业!维修各种变频器,各种工业电路板、ＰＬＣ、触摸屏以及仿造 工业电路板,仿造电梯电路板等。 &
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我公司是安徽一家芯片级核心部件维修、单片机解密、软件破解、电路板仿造、软件开发、电路设计、PCB抄板、PLC触摸屏解密、控制系统研发的高科技公司。公司利用精湛技术和专业维修检测设备是的维修成功率已达98%，现已成功解密艾默生EC10、EC20 PLC，同时破解了永大日立厚膜LVDM2、LG星玛厚膜HIC—118、SCG—E16、LT78K—E21、MIA—E02、MIE—E03，日立厚膜I48A、I24B以及日立军工芯片MB674153，日立GVF3，HGP广日GreenMax，GVPII编程器烧写程序工具、新时达电梯控制系统、日本安川变频器、通力解码器，永大电梯系统等。真诚为广大用户以及电梯界同仁提供远程技术解密服务。
合肥天浦硕能电子科技有限公司专业变频器维修：富士变频器维修、安川变频器维修、 LG 变频器维修、科比F4 ?F5变频器、 米高变频器、艾默生TD3100 TD3200 变频器、松下变频器、台达变频器修理、三垦变频器维修、三菱变频器维修、日立变频器维修、西门子变频器维修、 ABB 变频器维修、丹佛斯变频器维修 ，施耐德维修变频器 　
国产变频器，维修台达变频器，维修阿尔法变频器，维修英威腾变频器，维修易能变频器，维修安邦信变频器，维修台安变频器，森兰变频器维修，科姆龙变频器维修及各类软启动器维修，维修变频调速器维修供应变频器控制板 / 驱动板 / 二极管 / 整流器 / 变频器配件等。
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线性方程组迭代求解及相关问题的研究
电子科技大学 博士学位论文 线性方程组迭代求解及相关问题的研究 姓名：刘福体 申请学位级别：博士 专业：应用数学 指导教师：黄廷祝
摘要摘要随着计算机技术的发展，线性方程组的迭代法求解在科学与工程计算中 起着越来越重要的作用．本文主要研究了线性方程组、鞍点问题、线性互补问 题（ＬＣＰ）的迭代算法及相关的误差估计和预处理技术，主要内容和创新点包括：研究了求解线性方程组的ＵＳＡＯＲ迭代法的误差界．在线性方程组似＝６的系数矩阵对称正定及具有（１，１）相容秩序的条件下，我们得到了ＵＳＡＯＲ迭代法的误差 的上界估计．由于许多实际问题如偏微分方程的求解最后常转化为解大型稀疏线性 方程组，因而该结果具有实际应用价值．数值结果表明估值有效． 研究了Ｄ．Ｊ．Ｅｖａｎｓ和Ｎ．Ｍ．ＭｉｓｓＭｉｓ等学者提出的预条件同时置换迭代法的误差 界．在系数矩阵对称正定及具有（１，１）相容秩序的条件下，我们获得了预条件同时置 换迭代法的误差上界． 将线性互补问题将其转化为等价方程组，应用矩阵分裂和迭代算法的思想， 我们给出了求解该问题的预条件同步置换迭代算法．并在日．矩阵的条件下，建立 了该数值迭代算法的收敛理论． 针对鞍点问题的结构特点，我们给出了ＭＡＯＲ型迭代算法并证明该方法的收 敛性．该结论推广了Ｇ．Ｈ．Ｇｏｌｕｂ等知名学者２００１年和２００４年的结果． 我们研究了鞍点线性系统的迭代法，给出了鞍点线性系统ＭＰＳＤ迭代解法， 并证明了ＭＰＳＤ型迭代法的收敛性． 对线性方程组求解，给出了预条件ＡＯＲ迭代算法，我们的结果显示在系数矩 阵为Ｌ一矩阵等条件下，预条件ＡＯＲ迭代算法比经典ＡＯＲ迭代算法的收敛速度快． 建立了线性方程组的一类预条件ＳＡＯＲ迭代算法，并证明了在系数矩阵为不 可约对角占优Ｚ一矩阵的条件下该方法收敛． 关键词：日．矩阵，迭代法，预处理，鞍点问题ＡＢＳＴＲ ＡＣＴＡＢＳＴＲＡＣＴＷｉｔｌｌｅａｒｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｎ－ａｓｙｓｔｅｍ ｔａｋｅｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｉｎ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄｅｎ－ｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｈｅｓｉｓ，ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ，ｅｒｒｏｒ ｂｏｕｎｄｓ ａｎｄ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇａｓｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｉｎｎｏｖａｔｉｏｎｓ ａｒｅｆｏｌｌｏｗｓ： Ｔｈｅｅｒｒｏｒｂｏｕｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ＵＳＡＯＲ ｍｅｔｈｏｄ ｉＳｓｔｕｄｉｅｄ．Ｗ色ａｓｓｕｍｅｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌｍａｔｒｉｘ ｏｆ ＡＸ＝ｂ ｉｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ，ｄｅｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｌｙ ｏｒｄｅｒｅｄｅｒｒｏｒＳＯｂｏｕｎｄ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｓｉｎｃｅ ｍａｎｙ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌｃａｌｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｅ ｔｕｒｎｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ，ｅｒｒｏｒｔｈｅｎｏｕｒｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ．ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｂｏｕｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ＵＳ－ＡＯＲ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．既ｈａｖｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｂｏｕｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ Ｄ．Ｊ．Ｅｖａｎｓ ａｎｄＮ．Ｍ．Ｍｉｓｓｉｒｌｉｓ．Ｉｆ ｔｈｅａｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｂｏｕｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅｉｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ，ｄｅｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｌｙ ｏｒｄｅｒｅｄ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ． Ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇｐｒａｃｔｉｃａｌｅｒｒｏｒｃｈａｎｇｅｄｔｏｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｏｎ ｔｈｅａｎｄｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ，ｗｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｓｉ―ｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｅＭＡＯＲ－ｌｉｋｅ ｍｅｔｈｏｄｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ，ａｎｄ ｉｔｓｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｇ．Ｈ．Ｇｏｌｕｂ ｅｔ ａ１．ｉｎ ２００ １ ２００４． Ｔｈｅａｎｄ ｉｎＭＰＳＤ ｍｅｔｈｏｄｉｓｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍａｎｄ ｔｈｅＭＰＳＤ―ｌｉｋｅ ｍｅｔｈｏｄｄｅｒｉｖｅｄ．Ｗｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙｆｏｒ ｔｈｅｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ． ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄｎｅｔａｉｎｅｄＡＯＲｍｅｔｈｏｄｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄａｎｄ Ｏｕｒｅａｒｌｒｅｓｕｌｔｓ ｂｅ ｏｂ―ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｓｏｍｅ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｏｎｂａｓｉｓ ｏｆＨ．ｍａｔｒｉｃｅｓ． ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄｌｉｎｅａｒＷｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ＳＡＯＲ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅｏｎｓｙｓｔｅｍｓ，ａｎｄ ａｎｉｒｒｅ一ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｓⅡＡＢＳＴＲＡＣＴｄｕｃｉｂｌｅ ｄｉａｇｏｎａｌ ｄｏｍｉｎａｎｔ Ｚ―ｍａｔｒｉｘ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：日－ｍａｔｒｉｘ，ｉｔｅｒａｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄ，ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ，ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍＭ主要符号对照表主要符号对照表＜佗＞自然数集｛１，２，…，ｎ）实数集Ｒ Ｒ＋正实数集空集 复礼维列向量空间 实钆维列向量空间 ｍ×ｎ复矩阵集 ｍ×佗实矩阵集 单位矩阵 矩阵Ａ的转置 矩阵Ａ的共轭转置 矩阵Ａ各元素取绝对值的矩阵 矩阵Ａ的谱范数 矩阵Ａ的无穷大范数 向量ａ，ｂｌ拘Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ内积 矩阵Ａ是非负矩阵 矩阵Ａ是正矩阵 矩阵Ａ是Ｈｅｒｍｉｆｉａｎ正半定矩阵 矩阵Ａ是Ｈｅｒｍｉｆｉａｎ正定矩阵０Ｃｎ Ｒｎ Ｃｍ×ｎ Ｒｍ×ｎ Ｉ ４Ｔ ＡＨ川ＩＩＡＩｌ２ ｜ＩＡＩｌ。 （ａ，ｂ）Ａ≥０Ａ＞０Ａ三ＯＡ卜０ｐ（Ａ）ｎｕｌｌ（Ａ）方阵Ａ的谱半径，若Ａ为非负矩阵，即为Ｐｅｒｒｏｎ根矩阵４的零空间ｄｉａｇ（ｄｌ，…，ｄ竹） ｔｒｉｄｉａｇ（ａ，ｂ，Ｃ）圆以ｄ１，…，如为对角元的对角矩阵以ｂ为主对角元，口为下次对角元和ｃ为上次对角元的三对角矩阵 为Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积符号ＶＵ独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。签名：日期：∥７年厂序７日关于论文使用授权的说明本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后应遵守此规定）签名：导师签名：日期：力归了年矿月’７日第～章绪论第一章绪论１．１广义对角占优矩阵在科学和工程计算上，偏微分方程常常通过区域分解算法、差分方法、有限 元法、边界元法等方法离散化处理后将原方程化为的稀疏的线性方程组，然后通 过求解该方程组得到相应的数据．因而稀疏的线性方程组求解一直是一热门研究课题． 在实际问题中，线性方程组的系数矩阵常常具有某种特殊形式或者具有某些数值特征．如，在投入产出分析、均衡论、轴承油墨振荡的研究中产生的Ｍ一矩 阵；在神经网络大系统的稳定性、控制论以及线性时滞系统的稳定性研究中 的日．矩阵、正稳定矩阵．由于日．矩阵理论在线性时滞系统的稳定性、神经网络大 系统及控制论的稳定性研究中的重要性，引起了越来越多的科技工作者的兴趣． １９３７年Ａ．Ｍ．Ｏｓｔｒｏｗｓｋｉ率先引入日．矩阵的定义并研究了它的一些性质．随着研 究的深入，人们对日一矩阵的认识已越来越深刻．日．矩阵的一种定义是其比较矩阵 为Ｍ．矩阵．在研究对角占优矩阵时，人们又定义了广义对角占优矩阵，即存在一 个正对角矩阵Ｑ，右乘Ｑ后变为严格对角占优矩阵．后来证明了广义对角占优矩阵 与日．矩阵是等价的概念．随后人们又相继提出了半严格对角占优矩阵、不可约对 角占优矩阵、具有非零元素链对角占优矩阵、Ｑ一对角占优矩阵、Ｑ一链对角占优 矩阵、双Ｑ一对角占优矩阵、双Ｑ一链对角占优矩阵等概念．Ｆ．Ｒｏｂｅｒｔ在文［１６］中研 究线性方程组的块迭代算法的收敛性时提出了块日．矩阵．此后许多数学工作者对 此做了大量细致深入的研究． 日一矩阵之所以引起很多研究者的兴趣，另一个很重要的原因就是对线性方 程组的求解．当线性方程组的系数矩阵为日．矩阵时，很多传统的迭代法（如Ｊ迭代 法、Ｇ．Ｓ迭代法、ＳＯＲ迭代法、ＡＯＲ迭代法、ＳＡＯＲ迭代法）等都收敛，并且很多修 正的迭代法诸女ＩＭＡＯＲ迭代法、ＧＡＯＲ迭代法、ＵＳＡＯＲ迭代法等以及相关的多分 裂并行算法也收敛． 既然日．矩阵具有如此重要的作用，那么日．矩阵实用判据就变得很有实际研究 价值．尤其是一些实际问题中产生的一些上百万阶的大规模稀疏矩阵能否找到简 便、实用而又有效的日．矩阵判据就显得尤为重要．电子科技大学博士学位论文１．２线性方程组的预条件迭代法对于线性方程组Ａｘ＝ｂ，将系数矩阵Ａ进行分裂Ａ＝Ｍ一Ⅳ（Ｍ非奇异），则 有求近似解的迭代格式 。七＋１＝Ｍ一１Ｎｘ七＋Ｍ一１６ｋ＝０，１，２，．．．若取非奇异矩阵尸左乘该线性方程组两端，即ＰＡｚ＝Ｐｂ，再做分裂ＰＡ＝ＭＲ一ⅣＰ（坼非奇异），由此构成的迭代格式ｚ七十１＝蚱１Ｎｐｘ七＋蚱１ｂ被称为预条件迭代法．ｋ＝０，１，２…．对迭代法进行预处理的目的是为了改善求解线性方程组的迭代法的收敛速 度，或者使得原来不收敛的变得收敛．对迭代法进行预处理的关键是在于如何选取 预条件矩阵．一般来说，预条件矩阵Ｐ的选取要么能降低矩阵ＰＡ的条件数，要么 使得预处理后的迭代矩阵的谱半径变小．文［６９】提出了对对角占优的Ｚ．矩阵做预处 理的两种方法，随后文［７０，７１］又通过引入参数对该方法进行了推广．由于在实际 讨论中，均对Ｚ一矩阵附加条件使之变成日．矩阵．所以，实际上是对这种特殊日．矩 阵的预处理迭代进行讨论． 文［７２］用，＋Ｕ对矩阵Ａ做预处理，其中Ｊ为ｎ阶单位矩阵，一Ｕ为Ａ的严格上三 角矩阵，并证明了：对于严格占优的Ｚ．矩阵，就Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ迭代而言，经预处理 后迭代的收敛速度比预处理前迭代的收敛速度快．文［７１】用Ｊ＋ｐＵ对矩阵Ａ做预处 理，证明了对严格占优的ｚ一矩阵，在０≤∥≤１的条件下，（，＋ｐ沙）（，一Ｌ―Ｕ）仍 然是一个严格占优的Ｚ．矩阵，同时也证明了一些收敛性问题．Ｍｉｌａｓｚｅｗｉｃｚ在文献［７０，７１］用矩阵圪（见１．１）作为预条件子对矩阵Ａ＝Ｉ―Ｌ―Ｕ进行预处理．则Ａｃ＝（Ｉ＋Ｃ）Ａ＝Ｉ―Ｌ―Ｕ＋Ｃ―ＣＵ＝Ｍｃ一％其中Ｍｃ＝（，一Ｄｃ）一（Ｌ―Ｃ＋如），Ⅳ．ｃ＝Ｕ＋乃 而Ｄｃ，昆和岛分别为矩阵ＣＵ的对角、严格下三角和严格上三角部分．从而建立预条件Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ迭代算法２第‘?章绪论ＭｃｌＮｃ＝［（，一Ｄｃ）一（Ｌ―Ｃ＋助）】一１（ｕ＋Ｆｃ）．１一ｎ２１０… １…：● ?． ●…０…０?． ●尼＝（，＋Ｃ）＝：●（１－１）● ●●：’?：－－ａｎｌ０……１１９９１年，Ａ．Ｄ．Ｇｕｎａｗａｒｄｅｎａ等人提出了修改的Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ方法（ＭＧＳ方法）．取 矩阵Ｐ＝Ｉ＋Ｓ，其中０－ａ１２ ０ Ｓ＝ ０－ａ２３一‰一１．仃０则Ａｓ＝（Ｉ＋Ｓ）Ａ＝Ｉ―Ｌ―Ｕ＋Ｓ―ＳＬ―ＳＵ＝Ｍｓ一％其中Ｍｃ＝（Ｉ―Ｄｓ）一（Ｌ＋Ｂ），帆＝Ｕ―Ｓ＋ＳＵ而Ｄｓ，Ｅｓ分别为矩阵ＳＬ的对角和严格下三角部分．，贝ＩＪＰＡｘ＝Ｐｂ的Ｇａｕｓｓ―Ｓｅｉｄｅｌ迭 代格式为Ｘｋ＋１＝蜂１Ｎｓｚ七＋石ｋ＝０，１，２…其中，Ａ缮１Ⅳｓ＝【（，一Ｄｓ）一（Ｌ＋毋）】一１（ｕ―ｓ＋ｓｕ），～ｂ＝［（Ｊ―Ｄｓ）一（Ｌ＋毋）］一１Ｐｂ．Ａ．Ｄ．Ｇｕｎａｗａｒｄｅｎａ证明了该方法的收敛性并指出ＭＧＳ方法优于Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ方法和Ｊａｃｏｂｉ方法．为了进一步研究修改的Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ方法及改善收敛速度，１９９７年，Ｋｏｈｎｏ等 人提出用，＋＆对矩阵Ａ做预处理，并采用迭代格式ｘｋ＋ｌ：元奄＋石知：０，ｌ，２…其中，Ｔ～＝（，一．ｓ二Ｌ―Ｌ）一Ｉ（Ｕ一＆＋＆ｕ），石＝（』一＆Ｌ―Ｌ）一１尸６，３电子科技大学博士学位论文０－－Ｑｌａｌ２ ０ －－ｏ。２ａ２３●●＆＝一ｏ！竹一ｌａｎ一１．ｎＯ将Ａ．Ｄ．Ｇｕｎａｗａｒｄｅｎａ的相关结果进行了推广，给出了当Ａ是某类对角占优Ｚ．矩阵时 的一个收敛定理，并从数值上说明所给出的方法优于ＳＯＲ方法． ２０００年，Ｗ．Ｌｉ，Ｗ．Ｗ．Ｓｕｎ及２００４年，Ｈ．Ｎｉｋｏ等研究者进一步给出了当系数 矩阵Ａ为Ｚ．矩阵时更一般的情形，并讨论预条件Ｇａｕｓｓ．Ｓｅｉｄｅｌ迭代法和经典Ｇａｕｓｓ― Ｓｅｉｄｅｌ迭代法的比较定理． ２００１年，Ｄ．Ｊ．Ｅｖａｎｓ等人提出了预条件ＡＯＲ迭代法．分别取了预条件矩阵Ｐ：Ｊ＋Ｓ，其中０ ０ Ｓ＝ ０一口ｎ１０ ００ ０●●●Ｏ ００ ００ ００ ０和预条件矩阵Ｐ＝，＋Ｓ’，其中０ ０ Ｓ７： ０－ａｎｌ０ ００ ０●●●０ ００ ００ ００ ０对于预条件方程组（，＋Ｓ）Ａｘ＝（，＋Ｓ）ｂ，设Ａ＝Ｊ―Ｌ―Ｕ，且令 彳＝（Ｊ＋Ｓ）Ａ＝（Ｊ＋Ｓ―Ｌ―ＳＵ）一Ｕ＝一Ｄ―Ｚ一一Ｕ 其中，一Ｄ＝ｄｉａｇ（１，１…．，１一ａｌｎａｎｌ）．则预条件ＡｏＲ迭代格式为ｚ七＋１：磊七＋苫ｋ＝０，１，２…４第一章绪论其中，于＝（万一－ｒＥ）一１【（１一ｕ）面＋Ｗ一７）乙＋ｕ＿】．类似地，对预条件方程组（，＋Ｓ７）Ａｘ＝（Ｉ＋Ｓ７）６应用ＡｏＲ迭代法，也相应地得到其对应的预条件ＡＯＲ迭代格式．１．３线性方程组的迭代算法的误差估计误差界问题是数值计算中重要而又有实际意义的研究课题．用迭代法求解之前 并不知道线性方程组的精确解，而每一次迭代得到的都仅仅是一近似解，那么何 时得到的近似解才是满足需要精度的数据是一必须考虑的问题．误差界问题的研究 正是对这一问题的有效解决办法．１９８２年，Ｔ．Ｒ．Ｈａｔｃｈｅｒ研究了ＳＯＲ迭代法的误差界，并且得到了如下的结果【７５１ｌＩ岛１１２≤［Ｗ一１）４ＩＩ如１１２―２∽一１）２（如，矗＋１）＋ＩＩ民＋１１１２］／Ｄ２．其中，％＝ｚ＋一扩为第礼次迭代结果与精确解的误差向量，如为第佗次迭代结果与第ｎ一１次迭代结果的差向量，Ｄ＝ｕ２（１一ｐ；），ｐ１为ＪａｃｃｏｂｉＪ迭代矩阵的谱半径，ｕ为松弛因子． １９９６年，Ｍａｒｔｉｎｓ研究了ＳＳＯＲ和ＵＳＳＯＲ迭代法的误差界【７６１．１９９９年，宋永忠讨 论了ＡＯＲ迭代法的误差界【７８】并证明了１ＩＩ￡佗１１２≤号茜｛【（ｕ一１）２＋Ｉｕ（ｕ一７）Ｉｐ；】２Ｉｌ如１１２―２（ｕ一１）２（如，既＋－）＋２Ｉｕ（ｕ一，ｙ）Ｉｐ；（１如Ｉ，ｌ厶＋１Ｉ）＋ＩＩ如＋１１１２）． １．４线性互补Ｉ＇＝－Ｊ题，（ＬＣＰ）｛孰，．。．电子科技大学博士学位论文非常浓厚兴趣，很多人纷纷参与这项研究．到８０年代中后期，经过２０来年的努力， 线性互补问题在算法研究方面取得了丰硕成果．很多实际问题最后都能转化为互 补问题．近年来，对线性互补问题ＬＣＰ（Ａ，６）的研究，国内外有很多研究者进行了 大量的研究［８５ｔ ８６，９９，１０１，１０４］，给出了很多的求解法．大致可分为置换法和迭代法，其 中，迭代法对大规模、稀疏矩阵的互补问题尤其有效． 线性互补问题在计算几何、马尔科夫链、市场平衡理论，最优不变资本理论 等诸多方面有重要应用．关于线性互补问题的解的唯一性、存在性以及高效的数值 计算方法，是较困难却十分有意义的研究工作，已经有许多学者的致力研究．白中 治在文［８５］通过将线性互补问题等形变形为不动点问题，构造了一类解线性互补 问题的迭代算法，研究了保证线性互补问题的解存在唯一的充分条件，并且证明 了新算法的收敛性．白中治在文［８６］采用逐次松弛加速技巧，构造了求解线性互补 问题的两类加速超松弛迭代算法，完整地建立了新算法的收敛性理论，详细地刻 画了算法的渐进收敛速度对松弛参数的依赖关系．１．５鞍点线性系统鞍点线性系统（ｓａｄｄｌｅ―ｐｏｉｎｔｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ）：＃要讨论如下稀疏线性系统的迭代解法（ＢＡＴ乞）（：）＝Ｐ）鞍点线性系统（Ｓａｄｄｌｅｐｏｉｎｔ ｌｉｎｅａｒ（１―２）其中矩阵Ａ∈∥×ｍ对称正定，Ｂ∈Ｒｍ×竹为列满秩，即秩（Ｂ）＝佗，向量ｚ，ｐ∈ 胛，向量秒，ｑ∈舻．基于如上条件，鞍点线性系统存在唯一解．ｓｙｓｔｅｍ），或称为ＫＫＴ系统，或又称之为扩展系统（Ａｕｇｍｅｎｔｅｄ ｓｙｓｔｅｍ）．在最小二乘问题、最优化问题和鞍点型偏微分方程等领 域都有非常重要的应用．１．６本文研究的内容、方法与主要贡献针对上述问题，并结合一些实际中线性系统的特点，本文就科学计算中特殊 矩阵的迭代算法及其误差估计问题、鞍点线性系统和预处理技术进行了若干研究． 其内容主要涉及非奇日．矩阵的研究、线性方程组迭代算法的误差上界、鞍点线性 系统的迭代算法求解、线性互补问题的迭代算法以及线性系统预处理技术等等． 本文所采用的研究方法包括： （１）线性代数的基本理论；６第一章绪论（２）非负矩阵、非奇日．矩阵、Ｍ．矩阵等特殊矩阵理论；（３）矩阵分块和矩阵分裂技术；（４）迭代算法；（５）线性矩阵不等式理论； （６）预条件处理技术；（７）微分方程的差分法等等． 主要内容和创新点包括：本文主要研究了线性系统的迭代算法及相关的误差 估计和预处理技术，主要内容和创新点包括： １．研究了求解线性方程组的ＵＳＡＯＲ迭代法的误差界．在线性方程组ＡＸ＝６的 系数矩阵对称正定及具有（１，１）相容秩序的条件下，我们得到了ＵＳＡＯＲ迭代法的一 个的上界估计．由于许多实际问题如偏微分方程的求解最后常转化为解大型稀疏线 性方程组，因而该结果具有实际应用价值．数值结果表明估值有效． ２．研究了Ｄ．Ｊ．Ｅｖａｎｓ和Ｎ．Ｍ．Ｍｉｓｓｉｒｌｉｓ等学者提出的预条件同步置换迭代算法 及ＭＰＳＤ迭代法的误差界．在系数矩阵对称正定及具有（１，１）相容秩序的条件下获得 了该算法的一个误差上界估计． ３．将线性互补问题将其转化为等价方程组．应用矩阵分裂和迭代算法的思 想，提出了求解该问题的预条件同步置换迭代算法．并在日．矩阵的条件下建立了 该迭代算法的收敛理论． ４．针对鞍点问题的结构特点，我们给出了ＭＡＯＲ型迭代算法，并证明该方法 的收敛性．推广了Ｇ．Ｈ．Ｇｏｌｕｂ等学者２００１年和２００４年的结果． ５．研究了将预条件同步置换迭代算法应用于鞍点线性系统的求解，并讨论了 鞍点线性系统的预条件同步置换迭代算法的收敛性． ６．研究了求解线性方程组的预条件ＡＯＲ迭代算法，我们的结果显示在系数矩 阵为三一矩阵等条件下，预条件ＡＯＲ迭代算法比经典ＡＯＲ迭代算法的收敛速度快． ７．建立了求解线性方程组的一类预条件ＳＡＯＲ迭代算法，并证明了在系数矩 阵为不可约对角占优Ｚ一矩阵的条件下该方法收敛．１．７本文的结构安排本节将对本文所做工作作以简单介绍．除本章对本文的研究背景、对象和研究 方法给出了概要性介绍外，下面的第二章到第六章主要总结了迄今作者本人在这 一领域所作的几点工作．其主要内容已在前面作了介绍，各章的结构安排如下： 第二章中主要研究非奇日．矩阵的性质，获得了一种改进的非奇日一矩阵判别算７电子科技大学博士学位论文法．第三章中主要研究线性方程组求解的ＵＳＡＯＲ迭代算法、ＭＰＳＤ迭代法及预条 件同步置换迭代算法的误差估计问题．在线性方程组ＡＸ＝６的系数矩阵对称正定 及具有（１，１）相容秩序的条件下分别得到了ＵＳＡＯＲ迭代法、ＭＰＳＤ迭代法和预条件 同步置换迭代算法的实用的上界估计． 第四章研究了鞍点问题的ＭＡＯＲ型迭代算法和ＭＰＳＤ型迭代法，并证明它们的收敛性．第五章研究了线形互补问题的预条件同步置换迭代算法，并证明预条件同步 置换迭代算法的收敛性． 第六章研究了求解线性方程组的预条件ＡＯＲ迭代算法．在系数矩阵为Ｌ一矩阵 等条件下，证明了预条件ＡＯＲ迭代算法比经典ＡＯＲ迭代算法的更好的收敛速度； 同时又给出了线性方程组求解的一类预条件ＳＡＯＲ迭代算法，并证明了在系数矩 阵为不可约对角占优Ｚ一矩阵的条件下该方法收敛． 在第七章中对全文进行了总结，并提出了对今后进一步工作的展望．８第＿章，“义对角占优矩阵的研究第二章广义对角占优矩阵的研究２．１引言广义对角占优矩阵是应用性很强的矩阵类．在生物学、控制论、神经网络系 统、线性时滞系统的稳定性等方面起着重要的作用；其次对线性方程组Ａｘ＝ｂ， 当系数矩阵Ａ为广义对角占优矩阵时，许多经典的迭代法，ＳＯＲ迭代法、ＡＯＲ迭 代法等都收敛；另外，广义对角占优矩阵类包含着许多其它矩阵类，如Ｍ．矩 阵类、严格对角占优矩阵类、按环路严格对角占优矩阵类、具有非零元素链 的对角占优矩阵类等．因此，在理论上及实际应用上都很有价值，引起了许多 研究者的兴趣，近些年来出现了大批的研究成果［１―２４１．日．矩阵自１９３７年由Ａ．Ｍ． Ｏｓｔｒｏｗｓｋｉｚ提出至今已近七十年．特别是近十年，随着电子计算机技术的迅猛发 展，日．矩阵的简捷判据、迭代算法、不等式及奇异值估计理论也得到了长足的进步．１９７４年，Ｓｈｉｖａｋｕｍａｒ与Ｋｉｎ Ｈｏ Ｃｈｅｗ提出了非零元素链的对角占优的概念，将经典的不可约对角占优概念加以推广，成为一个重要的阶段性成果． 定义２．１．１记Ｎ＝１［１，２，…，礼），Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｃ似ｎ，ｈｉ（Ａ）＝∑ｌａ／ｊｌ，Ｊ＝ ｛｛∈Ｎ：ＩａｉｉＩ＞∑Ｉａ，ｊｌ｝．若Ａ满足：１）Ｉａｉｉｌ≥几（Ａ）；２）Ｊ≠０；３）对任意ｉ ｇ 有Ａ的非零元素链 ａｉｉｘａｉｌｉｚ…ａｉｐＪ， 使，∈Ｊ，则称Ａ为非零元素链的对角占优矩阵．Ｊ，设％（Ｃ）表示ｎ阶复矩阵的集合，对任意矩阵Ａ＝（ａｉｊ）∈螈（Ｃ），Ｎ＝｛１，２，…，ｎ），记人ｔ（Ａ）＝∑Ｉａｉｊ［，＆（Ａ）＝∑ｌ奶ｔＩ，ｉ∈Ⅳ；ｊ≠ｔ Ｊ≠ｔⅣ１＝．［ｔ∈Ⅳ：Ｉ。衍Ｉ≤争赴（４）＋＆（Ａ）】，ｉ∈Ⅳ）， Ⅳ２＝｛ｉ∈Ⅳ：ｌａ托Ｉ＞争Ａｔ（Ａ）＋最（Ａ）］，ｉ∈Ⅳ），９电子科技大学博士学位论文则Ⅳ＝Ⅳ１＋Ⅳ２．又记锄 ＝ｂ 一”＋ 彩瓦＝∑（Ｉ口巧Ｉ＋ｌａｊｉｌ），Ｖｉ∈Ⅳ１；Ｊ∈Ⅳ１屁＝Ａ的比较矩阵记为Ｍ（４）＝（嘞），其中佻ｉ＝ｌａｉｉＩ，嘞＝一ａ巧Ｊ，ｔ，Ｊ∈Ｎ，ｉ≠Ｊ． 定义２．１．２设Ａ＝（％）∈％（ｃ），若Ｖｉ∈Ｎ，有ｌａ杌Ｉ＞Ａｔ，则称Ａ为严格对角占优矩阵，记为Ａ∈Ｄ．若存在正对角阵Ｘ，使ＡＸ是严格对角占优矩阵，则 称Ａ为广义严格对角占优矩阵（即非奇Ｈ．矩阵），记作Ａ∈Ｄ?．一ｍ蚋ａｘ掣．∑锴∑繁陋 一叼＋嘶玩＝∑（ｆｏ玎Ｉ＋ＩａｊｔＩ），Ｖｉ∈Ｎ２，』∈Ⅳ２２．２广义对角占优矩阵的判据引理２．２．１‘５３’设４＝（ｏ订）∈Ｍｎ（Ｃ），Ｂ＝Ｍ（Ａ）＋Ｍ丁（Ａ）（其ｅｅＭｒ（Ａ）表 示Ｍ（４）的转置），若Ｂ∈Ｄ＋，则Ａ∈Ｄ?．定理２．２．２设Ａ＝（ａ纡）∈地（Ｃ），Ｎ２≠历，若对忱∈Ⅳｌ，有。Ｉ％Ｉ＞互１则Ａ∈Ｄ＋．ｂ＋蒹∽卅㈨等】，Ｊ∈Ⅳ２一ｆ―ＪＪ‘（２．１）证：设Ｂ＝Ｍ（Ａ）＋ＭＴ（４）＝（６巧）ｎｘｎ，记Ⅳ１＝＿［ｉ∈Ｎ：吲≤∑１６巧Ｉ），Ｊ≠ｔⅣ２＝｛ｔ∈Ｎ：ＩｂｉｔＩ＞∑Ｉｂｔｊｌ｝．Ｊ≠ｉ不失一般性，我们假设对任意ｔ有凡（Ｂ）≠０．如果对某一个ｉ有九（Ｂ）≠０，则 去掉矩阵Ａ的第ｉ行与第ｉ列，进而研究其子矩阵． 对任意ｉ∈Ⅳｌ，由式（２―１）得１０第二章广义对角占优矩阵的研究ｒ∑Ｉ％ｔｌ＋∑Ｉ％ｔｌＩｂ．Ｉ＞篆１６巧Ｉ＋三吲上１丁一Ｊ∈Ⅳ１（２‘２）Ｊ∈Ⅳ２’“。由（２．２）知，对任意Ｖｉ∈Ⅳ１，存在￡＞０满足ｒ∑Ｉｂｊ小卜∑ＩｂｉｔＩ‰Ｉ＞羡蚓＋（１托）∑吲羔１丁一ｊＥＮｊ∈Ⅳ１。。。’２令婉：｛（１＋￡）型Ｌｒ，ｉ∈Ⅳ２ｆＩ７。邑１６“ｌ＋。吾。Ｉｂ．Ｉｉ∈Ⅳ１１，构造正对角阵Ｘ＝ｄｉａｇ（ｘｔ），记Ｂｘ＝Ｃ＝（％）ｎ×ｎ，下面证明Ｃ∈Ｄ＋．如果ｉ∈Ⅳ１，贝０如果ｉ∈Ｎ２，贝０Ｉｃｔ，ｌ啪Ｉ＞≤阱（１＋Ｅ）磊１６巧Ｉ旦丁２萎‰ Ｉｃ。，ｌ刊（１＋￡）兰矿＿（１托№驴“＋三慨ｄ）ｒ∑Ｉ幻ｔｌ＋∑Ｉ如ｔｌＪ∈Ⅳ１ Ｊ∈』ｖ２…’，产ｔｒ∑１６让ｌ＋∑‰Ｉ因为７＇＜１，所以，当∑ＩｂｉｔＩ≠ｏ时，有ｔＥＮ２ ｔ≠ｔｒ∑酬＋∑Ｉｂｊｔｌ＜∑酬＋∑陈Ｉ＝Ａｊ（Ｂ）ｔ∈Ⅳ２ｔＥＮｌｔ∈Ｎ２ｔＥＮｌｔＣｊｔ＃ｊ于是得磊蚓＝∑ＥＮｌｊｅ歹和＇≠ＩＭ＋（１＋引，∑２吲兰矿ｒ∑Ｉｂｊｔｌ＋Ｅ ｌｂｉｔＩｔ∈Ⅳ２ ｔＥＮｌ。‘，∈Ⅳ２电子科技大学博士学伉论文＜倒Ｅ，Ｉｂ，ｊｌ＋（１＋引Ｊ赢酬哿～ ，∈Ⅳ１Ｊ∈川２≤∑１６巧ｌ＋（１＋￡）∑ＩｂｉｊＩ≤（１＋ｇ）（∑Ｉ％Ｉ＋∑１％Ｉ）ｊ６ＮＩｊＥＮ２Ｊ≠ｏ＝Ｉｃ／ｉＩ 当∑Ｉ％ｌ＝ｏ时，由于～（Ｂ）≠０，ＮＮＮ∑ＩｂｉｔＩ＝０．故ｒＥ Ｉｂｊｔｌ＋∑ｌｂＪｔｌｊ≠ｔ∑１％Ｉ＝∑Ｉ％ｌ＋（１＋￡）∑｜％Ｉｊ盐１霸一ｊ∈Ｎ１｛∈Ｎ２…ｊ≤ｊ∑ＥＮＩ蚓＋（１＋ｇ）ｊ∑ＥＮ２吲锵●●≤∑ＩｂｉｊＩ＋（１＋Ｅ）∑Ｉ％ｆ ＜（１＋￡）（∑１％Ｉ＋∑ＩｂｉｊＩ） ＝ｌ劬ｔＩ 综上所述，知Ｃ∈Ｄ＋，故Ｂ∈Ｄ＋，由引理２．２。ｌ知Ａ∈Ｄ＋．定理２．２．３设Ａ＝（ａ巧）∈坛（Ｃ）且不可约，Ｎ２≠０，若Ｖｚ∈Ⅳ１，有ａｉｉＩ事＋黔卅㈣寄】且上式中至少有一严格不等式，则Ａ∈Ｄ＋． 证：构造正对角阵Ｘ＝ｄｉａｇ（ｘｔ），其中貌：｛（１＋￡）』■ｒ，ｔ∈Ⅳ２ｆｌｒ。虽１６ｉｔＩ＋ｔ善，１６ｔｔＩｉ∈ＮＩ１，令Ｃ＝ＢＸ，类似于定理２．２．２之证明，有ｂｆ≥∑１％１．因为Ａ不可约，所以Ｂ不可Ｊ≠ｔ约，进而可知Ｃ为不可约对角占优，于是Ｃ∈Ｄ＋，故由引理２．２．１得Ａ∈Ｄ木．引理２．２．４【３７１设Ａ＝ａ巧）∈伊舰，对任意ｉ∈Ｎ，有Ｉｏ瓿｝≥Ｉ凡Ｉ，则Ａ∈Ｄ＋的充要条件是Ｊ＝．（ｉ：ｌａ“Ｉ＞Ｉｈ，Ｉ，ｉ∈Ⅳ）≠０，且对每一ｉ∈Ｎ＼Ｊ有吼ｔ。ｏｔｌｔ：…ａｉｎｊ，１２第一章广义对角占优矩阵的研究锄∈Ｚ 定理２．２．５设Ａ＝（％）∈坛（Ｃ），Ⅳ２≠０，若Ⅵ∈Ⅳ１，有№扣＋∑∽卅㈣等】。 一Ｉ―ＪＪ２’。。ＮＥｊ）３－２（了：｛ｔ∈Ⅳ１：ａｉｉ［＞孰Ｑｉ＋∑（１ａ巧ｌ＋Ｉ％；１）笔若孚］）≠Ｄ，且对Ｖｉ∈Ⅳ１＼ｚｊｅＮ２有毗ｎａｎｔ２…ａｉｎｊ≠０，使歹∈Ｊ，则Ａ∈Ｄ＋． 证：设Ｂ＝Ｍ（Ａ）＋ＭＴ（Ａ）＝（％）ｎ×ｎ，记Ⅳ１＝｛ｔ∈Ⅳ：Ｉｂｉｉｌ≤∑Ｉｂ，ｊ１），Ｊ≠ｔⅣ２＝｛｛∈Ｎ：ＩｂｉｉＩ＞∑蚓），ｊ≠ｔｒ∑Ｉ幻ｔＩ＋∑Ｉ幻ｔｔＥＮ２挺Ⅳ１７＝｛ｔ∈Ⅳ１：１６“ｌ＞∑吲＋∑Ｉ％ｊＥＮｌｔ≠Ｊ）≠０．Ｊ∈Ⅳ２Ｊ≠ｔ显然对Ⅵ∈Ⅳ１＼Ｚ有啦ｔ，ｎｔ，ｔ。…‰Ｊ≠０，使歹∈Ｚ由（２．３）可知，对任意ｉ∈Ⅳ１，有１６“Ｉ＞ｊ∑ＥＮｌ卅姚Ｉｂ，ｊｌ÷矿‘ｒ∑ｌｂｔＩ＋∑１％ｔＩＪ∈川２…。令戤２ｔｆｒ∑１６“ｌ＋∑１６“ｔＥ］Ｖ２ｔＥＮｌｔ＃１ｌ阮Ｉ １，’ｉ∈Ｎ２ｉ∈Ⅳ１构造正对角阵ｘ＝ｄｉａｇ（ｘｉ），记Ｂｘ＝Ｃ＝（％）ｎ×ｎ，下面证明Ｇ∈Ｄ４．如果ｉ∈Ⅳ１，则蚓刊≥三吲＋三‰Ｉ旦丁２萎ｈＩ．ｒ∑１％ｔＩ＋∑Ｉ幻ｔＩｔＥＮ２ｔ∈ＮＩＪ∈Ⅳ１Ｊ∈』ｖ２…。Ｊ产ｏＪ≠ｔ电子科技大学博士学何论文由于丁＝｛ｉ∈Ⅳ１：ＩＱ一≥Ｅ Ｉ％Ｉ）≠０，并且对Ｖｉ∈Ⅳｌ＼７，有％，龟，ｔ。…‰Ｊ≠０，ｔ卸所以歹∈歹如果ｉ∈Ｎ２，贝０悱‰Ｉ上矿一篆卅龇Ｅｒ∑１６计Ｉ＋∑１６计Ｉ ＪＥ≠ｔ Ｉ岛ｊｌ２Ｊ≠ｔ１％｜．当Ｅ ＩｂｉｔＩ≠ｏ时，有ｔ∈Ⅳ２ ｔ≠ｔＪ∈ＥⅣ。Ｉ％Ｉ＋，吾Ｎ２Ｊ∈Ⅳ１ 强ｌ≠ＪＩ％Ｉｊ盟］砑厂ｒＥ Ｉｂｔｌ＋Ｅ１６ＪｔＩ…。＜Ｊ∈Ｅ Ｊ∈ｊＥＮｌ…。 Ｉｂ，ｊｌＮｌ＋ｊ∑ＥＮ２吲哿ｉ列≤Ｅ ＩｂｉｊＩ＋ｒ∑Ｉ％ＩＪ∈Ｎ２ｌ≠Ｊ＝ＩＱｉｌ． 当Ｅ Ｉ吆Ｉ＝ｏ时，由于人Ｊ（Ｂ）≠０，因而有∑ＩｂｉｔＩ≠０．故ｔ∈Ｎ２ｔ∈Ⅳ１ｔ≠ｊ’．Ｅ ｌｂｊｔｌ＋ＥｌｂｉｔＩ硝Ｅ ｊ≠ｔＩ白ｊｌ…１ ２㈣Ｅ Ｉｂｉｊ［＋ＥｊｅＮ２吲＿１ｉ厂一ｊ∈Ｎ１Ｉ≠Ｊ≤删Ｅ，Ｉｂｏｌ＋，Ｅ∈ＩｂＮ２巧Ｉ哿Ｊ∈Ⅳ１Ｊ∈’“。磅巧≤Ｅ ＩｂｉｊＩ＋ｒ∑Ｉ％Ｉｊ∈Ｎ１ｊ∈Ｎ２ｌ≠Ｊ＝Ｉｃ４ｉｌ． 因为有∑ＩｂｉｊＩ≠０，故存在ＩｂｉｔＩ≠０，亡∈Ⅳ１．如果芒∈Ｊ，则有非 零元素ｃ巧＝ｂｉｊ；如果亡∈Ⅳ１＼Ｊ，则有ｃｕ。Ｑ。妒．．％ｋ≠０，ｋ∈Ｊ，于是 有％％，Ｑ。ｔ：…％七≠０综上所述，对Ⅵ∈Ｎ，有ｂｌ≥∑Ｉ％ｌ，Ｊ＝｛ｔ∈Ⅳ１：ｌｃ４ｉｌ≥Ｅ Ｉ％Ｉ）≠０， 且对Ｖｉ∈Ｎ＼Ｊ，有％，ｃｉ，ｉ。…ｃｉ订≠０，使Ｊ∈Ｊ，故Ｃ∈Ｄ＋，进而知Ｂ∈Ｄ＋．１４第一章广义对角占优矩阵的研究２．３数值例子Ａ＝雌１４ ０斟．５ＪｅＮｌ１．６１．５ｊＥＮＩｊ≠３ Ｊ∈Ⅳｌ ｊＥＮｌＪ≠４∑（Ｉｏ黝Ｉ＋Ｉ％３１）＝８．７，＿４＝∑（Ｉ％Ｉ＋Ｉａｊ４ｌ ）＝８．７；历＝∑（１０１Ｊｌ＋Ｉａｊｌ［）＝ＪＥＮ２Ｊ≠１３．２，侥＝∑（１ ｎ２ＪＩ＋ｌｑ２Ｉ）＝３．２，ｐ１＝∑（蚓＋Ｍ）＝１０，ｒ翼鬣警旦１－ｊｅＮ∑（ＩａｌｊＩ＋ｌａｊｌ［）＝８．４，ｐ２＝ｊｅＮ２Ｊ∈Ⅳ２Ｊ≠２’…２ｉ℃Ｊｖ２３．５＝Ｉ口３３Ｉ＞丢［Ｑ３＋（Ｉｎ３。Ｉ＋ｌ。，３１）三乌丢三产＋（１。３２Ｉ＋Ｉ。２３Ｉ）三鲁丢予】＝２．６７１４３制＞弘Ｉ４地。㈨４１）酱讹２№４Ｉ）智］－２．７５７３由定理２．２．２可知，矩阵Ａ为非奇异日．矩阵．１５电子科技大学博士学位论文第三章３．１引言迭代算法的误差界研究随着计算机技术的发展，在计算机上可以求解的线性方程组的规模越来越大． 众所周知，许多实际问题如偏微分方程的求解最后常转化为解大型稀疏线性方程 组．线性方程组的解法主要有直接法与迭代法这两类．迭代法由于能保持线性方程 组系数矩阵的稀疏性、对累积误差的不敏感而成为数值代数中一个非常重要的研 究课题． 迭代法是按一定规则构造一个向量序ｙＵ（ｘｋ’｝，使其极限向量ｚ＋是方程组Ａｚ＝ ｂ的精确解．因此，对迭代法来说一般有下面几个必须面对的问题： （１）如何构造迭代格式； （２）构造迭代格式的收敛问题； （３）构造迭代格式如果收敛，收敛的速度如何？ （４）因为计算次数总是有限，所以必须讨论近似解的误差估计． 因而误差界问题是数值计算中重要而又有实际意义的研究课题．由于用迭代法求解 之前并不知道线性方程组的精确解，而每一次迭代得到的都仅仅是一近似解，那 么何时得到的近似解才是满足需要精度的数据是一必须考虑的问题．误差界问题的 研究正是对这一问题的有效解决办法． １９８２年，Ｔ－Ｒ．Ｈａｔｃｈｅｒ研究了ＳＯＲ迭代法的误差界，并且得到了如下的结果ＩＩ％１１２≤［∞一１）４ｌＩ如１１２―２∞一１）２（如，如＋１）＋ｌＩ如＋１１１２］／Ｄ２．其中，‰＝ｚ＋一Ｘｎ为第亿次迭代结果与精确解的误差向量，如为第佗次迭代结果与第凡一１次迭代结果的差向量，Ｄ＝ｕ２（１一肛；），ｐ１为Ｊａｃｃｏｂｉ迭代矩阵的谱半径，ｕ为松弛因子．１９９６年，Ｍａｒｔｉｎｓ等研究了ＳＳＯＲ和ＵＳＳＯＲ迭代法的误差界．１９９９年，宋永忠讨 论了ＡＯＲ迭代法的误差界并证明了ＩｋｎＩｌ２≤壶（【∞一１）２＋ｌｕ∽一７）Ｉｐ；］２ＩＩ矗１１２―２∽一１）２（如，如＋１）十２Ｉｕ（ｕ一７）Ｉｐ；（Ｉ如Ｉ，Ｉ如－Ｉ－１１）＋ＩＩ如＋１Ｉ｜２）．本章我们将讨论ＵＳＡＯＲ迭代法、预条件同步置换迭代算法和ＭＰＳＤ迭代法的误差估计．１６第二三章迭代算法的误芳界研究３．２ＵＳＡＯＲ迭代法的误差界研究３．２．１ＵＳＡＯＲ迭代法为了求解线性方程组Ａｘ＝ｂ（３?１）其中Ａ为竹阶非奇异实矩阵，提出了ＵＳＡＯＲ迭代法．如果矩阵Ａ的对角元都不等于０，那么对矩阵Ａ进行如下的分裂Ａ＝Ｄ一既一劬，其中Ｄ＝ｄｉａｇ（Ａ），一魄和一ｃｖ分别是矩阵Ａ的上三角和下三角矩阵．记Ｌ＝Ｄ～ＣＬ，Ｕ＝Ｄ～ｃｖ．则ＵＳＡＯＲ迭代法定义如下ｚｎ＋≥＝Ｌ－ｎ，ｗｌｚｎ＋ｕ１（１―７１Ｌ）一１Ｄ一１ｂ， ｚｎ＋１＝ｖ，２，屹ｚ钆＋｛＋ｏＪ２（１一＂ｙ２Ｌ）一１Ｄ～ｂ，即，ｚ七＋１＝岛１，ｕ１；倪，屹Ｘ血＋，，ｋ＝０，１，２，…，其中（３―２）ｑ１，㈨，ｙ２，ｕ２＝Ｕ毛，ｕ２Ｌ‰㈨ Ｌ１。，ｕ，＝（Ｉ一７１Ｌ）一１［（１一ｗ１）Ｉ＋（０２１―７１）Ｌ＋ｗｌｕ］， Ｖｏ，２，ｕ：＝（Ｉ一７Ｗ）一１［（１一ｗ２）／＋（０／２一仇）ｕ＋ｕ２纠，，＝（Ｉ一他ｕ）一１［（ｕ１＋０２２一．Ｊ１ｗ２）Ｉ＋（．ｄ２（Ｗ１一Ｏ＇Ｉ）Ｌ ＋ｕ１（０９２一仇）矿】（，一－ｎＬ）一１Ｄ一１ｂ， ｍ，姚（ｔ＝１，２）为实数． 设ｚ是线性方程组Ａｚ＝６的解并且记第ｋ次迭代与精确解的误差向量为￡七＝ ｚ―ｚ七，５ｋ为第ｋ次与第ｋ．１次迭代的差向量，即如：ｚ％一ｚ知～．‘１７电子科技大学博士学位论文于是有８ｋ＋１２５～１，ｕ１；７２，ｕ２Ｅ七，６ｋ＋１＝Ｓ１，㈨能纰５ｋ， Ｅｋ＝（１一Ｓ１，ｕ１；７２，峨）一１．Ｓ，，ｕ，；他，ｕ２５ｋ． 我们要求矩阵Ａ满足如下两个条件： Ａ１．Ａ矩阵对称正定： Ａ２．Ａ是相容秩序矩阵． 在上述Ａ１和Ａ２的条件下，不妨设矩阵Ａ为［二可对应的Ｊａｃｏｂｉ迭代矩阵Ｂ为睇］设矩阵Ｂ的特征值为胁０＝１，２…．，佗）．如果胁都为实数，记ｐ３，竺２ ｌｍ气～ｉｎ｛＃ｉ｝，ｐ２１ｍ气…ａｘ｛ｐｄ?显然，当Ａ对称正定时，地都为实数，并且肛＝一面． 引理３．２．１１８０１设Ａ为对称正定的相容秩序矩阵，则ｕｓＡＯＲ迭代收敛的充分必要 条件为参数０３ｉ，ｍ（ｔ＝１，２）满足（１）．０＜蚍＜２，（２）．‘‘＾一（２一∞ｔ）／ｐ１＜ｍ＜“如＋（２―０Ｊｉ）／１比１， 其中ｐ１为对应Ｊａｃｏｂｉ迭代矩阵Ｂ的谱半径．引理３．２．２【∞】设Ａ为相容秩序矩阵且对角元非零，＆一，；∞，ｕ：及对应Ｊａｃｏｂｉ迭代矩阵Ｂ的特征值分别为．【入）、．［ｐ），则队一（１一ｗ１）（１一忱）］２＝．［队一（１一ｕ１）（１一ｗ２）］［＇ｈｗｌ（１―０９２）＋７２ｗ２（１一ｕ１） ＋ｕｌｕ２（１＋（１一饥）（１一他））】一ｕｌｕ２（ｕｌ一７１）（ｕ２―７２）ｐ２＋ｐ１（１一ｕ２）十ｕ２（１一ｕ１）（１一他）］［ｕ２（１一ｕ１）＋ｕ１（１一ｗ２）（１―９＇１）】）ｐ２．１８第二章迭代算法的误差界研究３．２．２迭代矩阵Ｓ，，㈨能，ｕ。的特征值与特征向量在本节，我们假定线性方程组Ａｘ＝６的系数矩阵Ａ满足上面的假 设Ａ１和Ａ２，ＵＳＡＯＲ迭代法收敛．不失一般性，进一步假定矩阵Ｓ是秩为ｍ＝ 礼／２的非奇异矩阵．由文献【７５，３４］矢ｆｌ，矩阵Ｂ的特征值满足 －１＜－＃１≤－＃２≤…≤一肛ｍ＜０＜胁ｎ≤…≤ｐ２≤ｐ１＜１．旎＝（薹：：），后ｍ分量构成的向量．于是ｔ＝１，２，…，ｍ，为矩阵Ｂ对应于特征值胁的特征向量，其中爰¨，ｚ２’为向量乞的前ｍ个分量和厄＝（一萎兰），ｔ＝１，２，…，ｍ，矩阵Ｂ对应于特征值一地的特征向量． 引理３．２．３１７５１设矩阵４满足条件Ａ１和Ａ２，旎为Ｊａｃｏｂｉ迭代矩阵Ｂ对应特征值地＞ｏ的特征向量，Ｚ¨，ｚ２’定义如上，则（秽珊＝（移鼢＝丢，江１，２…．７ｍ，（Ｚ¨，２ｊ１’）＝（Ｚ２１，２；２’）＝０，ｉ≠歹；ｉ，Ｊ＝１，２，…，ｍ．当矩阵Ａ满足条件Ａ１和Ａ２时，Ｓ，，吲仇他有如下形式 ＆ｌ，ｕ。；能，ｕ２＝（１一∽１）（１一ｕ２），＋Ｔ，Ｔ＝Ｐ≯娜舻］’其中ａ＝ｗ２１７２（Ｉ一０，７１）＋ｕ１（１一饥）（１一能）】， ｂ＝ｕ１№＋饥（１一ｕ２）］，ｃ＝ｕ１（１一ｕ２）＋ｕ２（１一Ｗ１）（１一他），１９电子科技大学博士学位论文ｄ＝ｕｌｕ２［讹＋７ｌ（１一仇）】， ｅ＝ｏｖａ（１一Ｏｄｌ）＋０．１１（１一忱）（１一饥）．由引理３．２．２，有九＝（１～ｕ１）（１一忱）＋气，忑＝（１一ｆｉＪｌ）（１―０３２）＋瓦，其中％＝专［（口＋６）ｐ；十、／同，瓦＝砉［（ｏ＋６）詹一￣／固，Ｒ＝＜＠＋６）２ｐ；一４［（０６一ｅｄ）店一ｃｅ］詹）．下面我们讨论Ｓ，Ｍ；仇，ｕ。的特征值与特征向量．当尼≠０时，记阢＝讵㈦）一讵㈦）．而当兄＝０时，记（３―４）矾＝讵㈦）一以０∥）．其中Ｑｔ＝（死一。肛；）／（ｃ胁＋ｄｔｚ？），瓦＝Ｒ―ａ＃；）／（ＣｌＺ。＋扯ｉ），ｉ＝１，２…。，仇．由直接计算易知下面结论成立．引理３．２．４对任意ｊ＝ｌ…．，ｍ，（３?５）（１）当局≠０时，＆，Ｍ；讹，ｕ。％ （２）当弓＝ｏ时，ｑ，Ｍ；能他％）、｛Ｕ｛，岛。，ｕ。；他，ｕ。Ｖｊ＝～ｖｊ，～％，％，㈨能，ｕ。巧＝～巧＋ｍｊ％，其中％＝（％＋嘲）／（２％）．引理３?２?５％和巧◇＝１，２…．，ｍ）如（３－４），（３．５）所定义．则＜％，Ｋ）Ｕ＝１，２…．，ｍ）为礼维线性空间Ｃｎ的～组基．且如果ｉ≠Ｊ，则（阢，％）＝（阢，Ｋ）＝（Ⅵ，％）＝（Ｋ，％）＝ｏ； 当马＞０时，（％，％）＝１＋田，当马＝０时， （％，％）＝１＋晖２，当Ｒｆ＜０时，（巧，巧）＝１＋苟，（％，巧）＝（Ｋ，％）＝１＋％弓；（％，Ｋ）＝礤１，（％，Ｋ）＝（巧，％）＝丢；（巧，％）＝１＋苟，（％，％）＝（Ｋ，Ｋ）＝１＋％弓．（％，巧）＝１＋霹，２０第二章迭代算法的误差界研究引理３．２．６ ｖｊ和ｙｊ（ｊ＝１，２…．，ｍ）Ｎ（３―４），（３―５）所定义，如：果ａｊＵｊ＋ｂ巧 和勺Ｕｊ＋ｄｊＶ，均为实向量，则当ｔ≠歹时，＜。；矾＋玩Ｋ，勺％＋吗Ｋ＞＝ｏ；如果局≠０，则ＱｉＵｊ＋ｂ｛ｙｊ，ｅｊｕｊ七ｄｊＹｊ＞＝％勺（１十。考）＋ｂ奶（１＋苟）＋（％奶＋％勺）（１＋。。弓）；（３－６）如果马＝０，则ｃＪ％＋ｄｊ巧）＝ａｊｃｊ（１＋《）＋％呜 碍１＋去（％奶＋㈣?（３－７） ＋畸）＋％呜 ＜。ｊｕｊ＋ｂｊ５， ｃＪ％＋ 巧）＝证：当ｉ≠歹时，结论显然成立．当局＝ｏ和马＞０时，由引理３．２．３，易知结论（３．６）和（３．７）也成立．当马＜０时，因为％和Ｋ为复共轭向量，所以幻和奶必然分别为％和勺的共 轭复数．于是有 （％％＋幻巧，白％＋奶％）＝吻弓（％，％）＋％弓（％，Ｋ）＋％弓（％，％）＋幻砖（Ｋ，Ｋ），＝％如（％，％）＋哟勺（％，％）＋％奶（Ⅵ，％）＋ｂ勺（Ｋ，Ｋ）＝ａＪｄｉ（１＋哟弓）＋％勺（１＋霹）＋ｂｆｌｊ（１＋苟）＋ｂＪｃ３（１＋％嘞） ＝ａｊｃｊ（１十《）＋ｂｆｌ歹（１＋苟）＋（％也＋％勺）（１＋哟嘞）．下面我们用基向量｛％，Ｋ）（Ｊ＝１，２…．，ｍ）表示鼠，以．厶Ⅵ’ 以＝∑（％％＋％巧）＝ 孓ｃｊ＝ｌ ｊ＝ｌｍ其中已＝ｑ％＋％Ｋ为实向量．因此有ｆＤ 七 ＋ｌＩＩ仇∑ Ｓ，，ｕ。；仇ｕ。白，ｇ知＝∑（Ｊ―ｓ；。，ｕ，；倪ｕ。）一１＆，ｕ。；他，忱白．ｊ＝１ ｊ＝ｌ竹ｔ因为当ｉ≠歹时， （已，岛）＝０，所以 ｍｍ ｊ＝ｌｍＩＩ氏旧＝∑ ４，ｊ＝ｌ（５ｋ，以＋－）＝∑岛，ＩＩ以＋?Ｉ 偿＝∑０，ｊ＝ｌ￡知旧＝∑易，ｊ＝ｌ２１电子科技大学博士学位论文其中Ａｊ＝ＩＩ已ＩＩ；，岛＝（岛，Ｓ，，ｕ，；能，忱白），Ｃｊ＝ＩＩ岛。，ｕ，；忱，ｕ。岛ｌｌ；，Ｅｊ＝Ｉ Ｉ（Ｊ一．Ｓ，，ｕ。；能，ｕ。）一１＆。，ｕ，；他，ｕ。岛ＩＩ；．３．２．３ＵＳＡＯＲ迭代算法误差估计引理３．２．７如，岛，Ｇ和马定义如上，功＝（１一～）（１一孓），则ＥｊＤ２证：当局≠０时， 办 哟％＋％Ｋ，ｘ２ｌ－－＾２ｉＡ｛一２）、夏ｉＢ｛＋Ｃｉ．包｛Ｕ｛＋幻Ｋ（１＋Ｑ；）＋螃（１＋苟）＋２ａＪｂｊ（１＋ＱＪ弓），励／＼弓／＼ ％％＋幻巧，％～％ ＋幻孓巧＞ 霹入Ｊ（１＋田）＋霹瓦（１＋苟） ＋％幻（～＋～）（１＋ｏｏ弓）， ＝丐２～２（１＋《）＋蟛２－－＾Ｊ２（１＋苟）＋２ａＪｂ２入ｊ瓦（１＋Ｑｊ码）， ％２～２（１＋鸳）＋巧２－－～２（１＋苟）＋２％ｂ～瓦（１＋％弓），ａｊＡｊ％１一入ｊｃｊ＝＜％沁％＋幻弓巧，％～％＋％瓦Ｖ＞马＝＋磐２２（１一～）２（１一～）２【丐２＾Ｊ２（１＋霹）（１一瓦）２＋巧２－－／、Ｊ２（１＋苟）（１一～）２＋２％％～～（１一～）（１一～）（１＋％弓）】．于是有易巧＝％２＾Ｊ２（１＋《）（１一瓦）２＋巧２－－～２（１＋苟）（１一～）２＋２％幻～瓦（１一～）（１一瓦）（１＋％弓）＝《（１＋％２儿＾Ｊ２（１一瓦）２】＋ｇ（１＋丐２Ｊ【－－～２（１一～）２】＋ａ３ｂｊ［２Ａｊ―Ａ歹（１一Ａｊ）（１一瓦）】（１＋％弓）２２第二章迭代算法的误差界研究＝％乃［２鸳２－－～２―２～瓦（～＋孓）＋２～瓦］（１＋％弓）＋霹（１＋％２八１２－／、Ｊ２―２碍孓＋碍）＋螃（１＋－－％２八＾Ｊ２－－＾Ｊ２―２葛～＋－－～２）＝ｘ２ｌ－－＾２ｌＡｊ一２Ａ夏ｌＢｉ＋ｃｉ．当弓＝ｏ时， 如Ｂｊ拍瑚＋差蝴，＜ａｊＶｊ＋ｂｊＹｊ，（％～＋％ｍＪ）％＋％～Ｋ＞ ＝（《～＋％％咧ｌ＋霹）＋篙ｑ１ ２％如～＋鳄吼ｃｊ＝ｌＩ（ａｊ）、ｊ＋ｂｊｍｊ）ｕｊ＋ｂ，ａｊｖｊ ｌｌ；Ｅｊ＝＝（％～坳扩（１埘）＋髫地～＋ｂｊ．ｍｊ）ｂｊｂ 叭（砒＋如啊）（１一～）＋６Ｊ％～］杀ｂ ％＋兰ＫＩ№～＋％咧１叫＋幻叻砰舄芒同＋＋［（％～＋幻％）（１一～）＋ｂｊｍ２Ｘｊ］ｂ｛）＼｛（１一～）３‘因为当局＝ｏ时，～＝瓦．所以Ｂ＝（１一～）２，于是有易磅＝［（％～＋６Ｊ叻）（１一～）＋％叻～】２（１＋《）＋巧２～２（１一～）２碍１＋【（％～＋％叻）（１一～）－Ｉ－ｂｊｍ３Ａｊ］ｂｊ）、ｊ（１一～）＝碍ＡＪ一２碍岛＋Ｇｊ．定理３．２．８设Ａｘ＝ｂｇＪ系数矩阵Ａ满足条件Ａ１，Ａ２，那么ＵＳＡＯＲ迭代的误差向量￡七满足电子科技大学博士学位论文ＩＩＥｋｌｌｌ≤击＿［［（１一Ｗ１）２＋Ｉｕ?（饥一ｕｔ）ｌｐ；】２［（１一ｕ２）２＋Ｉｕｚ（仇一ｕ２）Ｉｐ；］２Ｉｌ以ＩＩ； ＋２［（１一ｕ１）２Ｉｕ２（他一ｕ２）Ｉｐ；＋（１一ｕ２）２Ｉｕｌ（饥一０２１）１．；＋Ｉｕｌｕ２（饥一ｕ１）（仇一ｕ２）Ｉｐ：］¨６七１１２Ｉｌ以＋１２―２（１一ｕ１）２（１一ｕ２）２（以，以＋１）＋ｌＩ以＋１眩）．（３―８）其中ａ＝ｍｉｎ｛岛，Ｊ＝１，２……ｍ．】．，岛，以，Ｅ南，６惫＋１如前所定义，０＂１，他，０２１，０２２为松弛因子．证：由引理３．２．２，有Ａ歹瓦＝［（１一ｕ１）２＋ｕ１（，ｙ１一ｕ１）孵］［（１一ｕ２）２＋０２２（０＇２一ｕ２）孵］，于是由引理３．２．７得易巧＝［（１―０２１）２＋０２１（０＂１一ｕ１）圬］２【（１―０２２）２＋０２２（０＇２一ｕ２）店】２Ａｊ －－２［（１―０２１）２＋０２１（０＂１一ｕ１）店］【（１一ｕ２）２＋０２２（０＂２一ｕ２）圬］马＋ｃ；．义功＝（１一～）（１一～），其中～，瓦为Ｓ，，㈨他以的特征值． 熟知，ｕｓＡｏＲ迭代法收敛的充要条件是Ｉ～Ｉ＜１，Ｉ瓦ｌ＜１．故，当Ｒｊ＜ ｏ时，（１一～）为（１一瓦）的共轭复数，则功＝ｌ（１一ｂ）１２＞ｏ；当马＝ｏ时，～＝ 瓦，则岛＝（１一～）２＞ｏ；当弓＞ｏ时，～，瓦均为实数．注意到Ｉ～Ｉ＜１，Ｉ瓦Ｉ＜１，所以有功＞０．因而当Ｓ，，㈨他，屹收敛时，有岛＞０．因此对任意Ｊ，有ｏ＜口≤ 功，且有易≥０．于是ｍ１ｍ∑易≤去｛［（１―０２１）２＋０２１（饥一０２１）懈】２［（１―０２２）２＋０２２（仇一０２２）１ｐ１２］２∑如ｊ＝ｌｊ＝ｌ＋２【（１一ｕ１）２Ｉｕ２（能一０２２）１ｐ；＋（１一ｕ２）２１０２１（饥一０２１）１肛；＋１０２?ｕ２（，ｙ?－－０２?）（能一ｕ２）倘∑吲ｊ＝ｌ一２（１一ｕｔ）２（１一ｕ２）２∑岛＋∑Ｇ）２４第二三章迭代算法的误差界研究注意到岛＝（白，ｑ，舰ｍ忱岛），ｌ岛ｌ＝ｌ（岛，％，ｕ，，他，ｕ：白）Ｉ≤１１岛１１２１１，Ｓ０，，ｕ。，仰，屹白１１２，并由Ｃａｕｃｈｙ―Ｓｃｈｗａｒｚ不等式得，∑ｌ岛Ｉ≤∑ＩＩ岛１１２ＩＩ％，ｕ，ｍ，∽岛１１２ｊ＝ｌ ｊ＝ｉ≤（∑如）≥（∑ｏ）｛ｊ＝ｉ ｊ＝ｌ＝１１６ｋ１１２１１以＋?怯因而有，∑易≤壶∞一ｕｔ）２＋…７ｔ―ｕ，）懈［（１一ｕ２）２＋Ｍ仇一ｕ。）蚶恻层＋２【（１一叫１）２Ｉｕ２（他一ｕ２）Ｉ詹＋（１一ｕ２）２ｌｕｌ（７ｌ―ｕ１）ｌｐ； ＋Ｉｕｌｕ２（饥一ｕ１）（他一ｕ２）ｌｐ：】ＩＩ如１１２１１６知＋１ｌ｜２ ―２（１一ｕ。）２（１一ｕ２）２（民，以＋。）＋ＩＩ以＋，１１２）．注：（１）当ｕ１＝，ｙ１，ｕ２＝７２时，得ＵＳＳＯＲ迭代法的误差界【７６】，蚓屋≤壶ｆ（１一ｕ１）４（１一忱）４㈧；一２（ｉ―ｕｚ）２（１一眈）２’（以，以＋ｔ）＋慨＋１旧．（２）当ｕ１＝饥＝ｕ２＝讹＝ｕ时，得ＳＳＯＲ迭代法的误差界【７６】，Ｉｋ南幢≤壶＿［（１一ｕ）８ＩＩ以幢一２（ｉ一叫）４（民，如＋?）＋Ｉｌ民＋?幢）．（３）当ＯＪｌ＝ｕ≠０，７１－ｗ，ｙ，０３２＝讹＝０时，得ＡＯＲ迭代法的误差界【７８】，蚓偿≤壶伸一ｕ）２＋№一ｕ）旧２恻１２－２（１一ｕ）２’（以，６ｋ＋?）＋２Ｉｕ（７一ｕ）Ｉｐ；ｌｌｌ以１１２ｌ｝６七＋?１１２＋ｌｌ民＋?Ｉｌ；）．电子科技大学博士学位论文３．２．４数值实验考虑Ｌａｐｌａｃｅ方程△钍＝２＾Ｉ磐＋豢＝０（ｚ，Ｙ）∈ＤＯｘＩ２。Ｏｙ２一Ｐ删ｃ（ｚ，Ｙ）∈ＯＤｕ（ｘ，Ｙ）＝１其中，Ｄ＝．（（ｚ，耖）ｌ０≤ｚ，Ｙ≤１），ａＤ为边界．取步长允＝南将区域Ｄ网格化，内网格点按红．黑排序，采用五点差分格式对Ｌａｐｌａｃｅ方程做离散化处理，最后我们得 到线性方程组Ａｘ＝ｂ．由文献［３４】可知，矩阵Ａ满足条件Ａ１，Ａ２．矩阵召的谱半径为肛１＝９．７１０２９６８９２２３９０５０ｅ一００１．对方程组Ａｘ＝６采用ＵＳＡＯＲ迭代法求解，表３．１给出了定理２．３．１的估值与精确误差、文［７８］的估值的比较结果．Ｕ１３＇１ Ｕ２舰ｋＵＳＡＯＲｆｌｅｋｌｌ２ＡＯＲＯ．９９ １．２ １．５ ０．９ ２７５ ４．５６２８６４８３４７２６８ １ ７ｅ一０７ ４．１７５６８７５６８５３８８５ ｌｅ一０７ ７．０３００２２３５０ｌ ３ ｌ ８７５ｅ一０６ １．３ ２．０ ０．５ １．６ ２３０ ８．５４８７１３９９３８２８３７３ｅ一１４ ３．５８０２２３９６４１ ８２９５４ｅ一１４ ２．５６０９９０４４８２３７３４２ｅ一０１ ０．２ １．７ １．０ ０．８ ４９９ ５．１ ７７４３７８５９３０１ ８９８ｅ．１ ｌ ５．１７７ｌ １ １０５３８９４０３５ｅ．１ ｌ １．３２７１４５１２８４４９８５３ｅ．０５ １．２ １．９ ０．２ ―０．６ ２６８ ３．５６６１４４０９０６８４４５６ｅ．１４ ２．５１１６５７２３２０７５９２１ｅ．１４ １．０２８ １７３３０２２１５ １２１ｅ一０９ １．５ １．６ ０．３ ０．２ ２００ ７．３７ １ ３７９４２５５０４３４８ｅ．１ ２ ５．９５２９０８８９７１７４２８３ｅ一１２ ４．０７６５３８８９ １ｌ ０００２４ｅ一１１ Ｏ．６ ０．２ Ｏ．５ ０．７ ５８８ ２．８６８ ｌ ８０３８７８３８８９９ｅ一０９ ２．７６３１６４４２１１８１０８６ｅ一０９ ６．１６１５１３４７０１５８４２８ｅ―０３ ０．８ ０．４ １．０ ０．９ ２３２ １．４９１４４８７４４４５７ｌ １０ｅ．０５ １．４０４４４ １ ４６００４５４４９ｅ―０５ ３．６３２１６３１０３３７２４７７ｅ．０１ １．１ １．０ １．１ １．２ ３７６ ４．３０９８ １ ５７２４４６０８６２ｅ．０９ ４．３００４６５９６０５８ １ ３３８ｅ．０９ ５．６２８３３６８１８１００１９０ｅ．０８１．３ ０．８ ０．５ ０．２ ３６５ １．８００１４７５４１ ８５０１７０ｅ―１０ １．５１９４２１７３９８５２３８２ｅ．１０ ７．２４５０４７４８０１０２８２１ｅ一０９ Ｏ．４ ０．８ １．０ Ｏ．６ ４５０ ９．１１５１３８３５６４４４１０６ｅ一１０ ９．１ １５０９３１０４１ １８２２７ｅ．１０ ２．２１５２４１０４５７００３２８ｅ．Ｏｌ其中‰２壶伸一ｕ?）２＋０３１（饥一ｕ?）蝌［（１一ｕ２）２＋姒能一眈）御恻睦＋２［（１一ｕ１）２［０３２（他一ｕ２）ｌ肛；＋（１一ｕ２）２ ０３１（仇一ｕ１）ｌｐ； ＋１０３１０３２（＇ｒｌ―ｕ１）（仇一忱）Ｉｐ４］Ｉｌ以１１２１１６七＋１１１２ ―２（１一ｕ１）２（１一叫２）２（氏，以＋１）＋ＩＩ＇，ｋ＋１ＩＩ；］．考．注：数值结果表明定理３．２．８给出的ＵＳＡＯＲ迭代算法的误差上界有效．２６第』章迭代算法的误筹界研究３．３预条件同时置换迭代法的误差界 ３．３．１预条件同时置换迭代法如果矩阵Ａ的对角元都不等于０，那么对矩阵Ａ进行如下的分裂Ａ＝Ｄ―Ｑ一∞， 其中Ｄ＝ｄｉａｇ（Ａ），一Ｃ２和一国分别是矩阵Ａ的上三角和下三角矩阵． 记Ｌ＝Ｄ－１既，Ｕ＝Ｄ＿１国．则求解线性方程组Ａｘ＝６的预条件同步置换迭代格式为ｚ七＋１＝舅，ｕｚ％＋Ｔ（１一ｕＵ）一１（１一ｗＬ）一１Ｄ一１ｂ，ｋ＝０，１，２，…，其中（３―９）母，ｕ＝（１一ｕｕ）一１（１一ｕ己）一１【（１一丁），＋（７－一ｕ）（￡＋Ｕ）＋ｕ２ＬＵ］７Ｉ，ｕ为实松弛因子．（３―１０）记第ｋ次迭代的误差向量为￡血＝ｚ―Ｘ七，５ｋ为第ｋ次与第ｋ―１次迭代的差向量，即５ｋ＝Ｘ七一扩～． 于是有２，ＴＣｋ＋ｌＪｆ，ｕＳ凫，以＋ｌ＝辞，。５ｋ， ￡％＝（，一肆，ｕ）一１舅，ｕ矗． 引理３．３．１［ｓａ］若Ａ是（１，１）相容秩序矩阵且对角元非零，则预条件同时置换迭代 法收敛的条件是参数７－，ｕ满足１）０≤ｕ≤２，０＜丁≤１２）１一锈＜ｕ＜０或２＜ｕ＜１＋、／５，０＜７－＜射２＋ｕ（２一ｕ）】．引理３．３．２【８４】若Ａ是（１，１）相容秩序矩阵且对角元非零，Ｓ．ｕ以及对应的Ｊａｃｏｂｉ迭 代矩阵的特征值分别为｛入）与．［肛），则 （Ａ一１＋７－）２＝［７－２一ｒｗ（２一ｕ）（１一入）】ｐ２．２７（３．１１）电子科技大学博士学位论文３．３．２预条件同时置换法迭代矩阵的特征值的与特征向量Ａ＝［一：一日：］，ｃ３－?２，男＝∽］．‰－【１一右与］¨右与‰《钆＝（Ｉ―ｕｕ）一１［（１一叫），＋ｍＬ］（Ｉ―ｕＬ）一１［（１一ｕ）Ｊ＋ｕＵ］ｐ㈣Ｉ（１一ｕ）２Ｉ＋ｕ２（１一ｕ）（２一ｕ）日ＴＨ．４１一ｕ）（２一ｕ）日Ｔ＋ｕ３（２一ｕ）日ＴＨＨＴ ｌｌｕ（１一ｕ）（２一ｕ）日 （１一ｕ）２Ｉ＋ｕ２（２一ｗ）ＨＨＴｌ九＝［１一而Ｔ］＋砸与死，ｘ＝［１一而Ｔ］＋砸与瓦，其中瓦＝扭１一ｕ）２＋（２一ｕ）２ｕ２詹＋侗，瓦＝扭１一ｕ）２＋（２一叫２０２２地２一侗，乞＝（萎：；），量和后ｍ分量构成的向量．ｔ＝１，２，…，ｍ，为矩阵Ｂ对应于特征值他的单位正交特征向量，其中Ｚ¨，ｚ２’为向量兹的前ｍ个分第三章迭代算法的误差界研究当Ｒ＞０时，记矾＝以㈦）一以㈦），当Ｒ＝０时，ｐ∽其中Ｑｔ＝≤等龋一高等褊一…，ｍ．引理３．３．３对任意ｉ＝１，２…．，仇，当Ｒ＞０时， 肆，ｕ阢＝九巩， Ｓ，ｕＫ＝九Ｋ，（３－１６） 母，ｕ阢＝九巩，阢＝讵㈦）一讵０≯），ｐ㈣当尼＝０时，母，ｕＫ＝九Ｋ＋ｍｉ阢，（３－１７）其中ｍｔ＝击（１一ｗ＋ｗ２ｐ驴引理３．３．４阢，Ｋ（ｔ＝１，２…．，ｍ）定义如上．｛巩，磁）（ｉ＝１，２…．，ｍ）为Ｃ佗的一 组正交基．且有，当ｉ≠歹时， （矾，ｕｊ）＝（阢，ｙｊ）＝（Ⅵ，ｕｊ）＝（Ｋ，ｙｊ）＝ｏ； 当局＞ｏＮ，（３－１８）（％，％）＝１＋《，当局＝Ｏ时，（巧，巧）＝１＋－－％２，（ｕｊ，ｖｊ）＝（％，％）＝１＋ｃｔｊ―Ｇｊ；（３－１９）（％，％）＝１＋田，（Ｋ，％）＝碍１，（％，Ｋ）＝（Ｋ，％）＝互１．（３－２０）引理３．３．５设阢，Ⅵ０＝１…．，ｍ）定义如上．如果％％＋％Ｋ和勺％＋吗巧均为２９电子科技大学博士学伉论文实向量，则当ｉ≠歹时，（锄阢＋ｂｉＶｉ，勺ｕｊ＋ｄｊＶｊ）＝ｏ； 且有，当局＞０时，（３－２１）＜ａｊＵｊ＋％Ｋ，勺％＋ｄｊＶｊ＞＝ａｊｃｊ（１＋鸳）＋ｂｊｄｊ（１＋苟）＋（ｏｊｄｊ＋％勺）（１＋％弓）；（３－２２）当局＝０时，（哟ｕｊ＋％Ｋ，勺％＋ｄＪＶｊ＞＝ａｊｃｊ（１＋霹）＋％嘭南＋三（劬略＋㈣－（３－２３）设以＝∑（ｎｊｕｊ＋ｂｉＤ）全卢１ｍ∑触白其中岛＝ａｊｕｊ＋ｂｊ５为实向量．则ｍ民＋?＝∑肆，ｕ岛，Ｅ－－ｃ＝ ∑（，一母，ｕ）ｑ舅，ｕ岛．ｊ＝１ ｊ＝１因为当ｚ≠歹时，（已，岛）＝０，所以ｍ ｍ ｍ以旧＝∑４，ｊ＝１马，ＩＩ嘶?旧＝∑ｃｊ，蚓睦＝∑马，ｊ＝１ ｊ＝１其中今＝｝Ｉ白旧岛＝（白，母，。岛），０＝Ｉ ＩＳ．，ｕ岛幢Ｅｊ＝ＩＩ（Ｊ一研，ｕ）＿１研，ｕ巳幢 ３．３．３预条件同时置换迭代法的误差界引理３．３．６设如，局，Ｇ和易定义如上，则Ｅ｛或 ＝ｘ２ｉ－－＾２ｉＡｊ一２Ａ磊ｊＢ｛＋ｃ｛．其中功＝（１一～）（１一瓦）．证：当Ｒｊ＞０时，Ａ９＝＜％％＋％巧，％％＋幻Ｋ＞第三章迭代算法的误筹界研究＝《（１＋《）＋ｂ；－（１＋苟）＋２口ｊｂｊ（１＋％弓），Ｓｊ＝＜％％＋幻％， 吩～％＋幻ｘ巧＞＝４ａｊ（１＋霹）＋骘瓦（１＋苟）＋ａｊｂｊ（），ｊ＋瓦）（１＋ｏｏ弓），ｏ＝＜％～％＋％ｘＫ，％～％＋％瓦Ｋ＞％２＾Ｊ２（１＋《）＋巧２－－～２（１＋苟）＋９．ａｊｂｐ，／ｘｊ（１＋％嘞），Ｅｊ＝＝”可ａｊＡｊＵｊ＋鬻幢［吁２～２（１＋鸳）（１一孓）２＋蟛２－－＾Ｊ２（１＋苟）（１一～）２＋２ａＪｂｊＡｊＡ．／（１一～）（１一Ａｊ）（１＋哟弓）】．因此有易巧＝９２２ａ；）（１一＿Ｊ）２＋丐２－－＾Ｊ２（１＋苟）（１一入Ｊ）２＋２％％～～（１一～）（１一～）（１＋％弓）＝莺（１＋％２，【～２（１一瓦）２】＋磅（１＋苟）［葛（１一～）２］＋％幻［２～瓦（１一～）（１一弓）】（１＋％弓） ＝％％［２碍２－－～２―２Ａ歹瓦（～＋孓）＋２ＡｊＡｊ］（１＋％嘞）＋弓（１＋《）（碍葛一２碍瓦＋碍） ＋骘（１＋－－％２八～２－～２―２葛～＋葛）＝ｘ２５－－＾２ｌＡ｛一２＼夏｛Ｂ｛＋Ｃｊ．当马＝０时，如＝ａ２（１＋伊丢蝴，马＝＜％％＋％巧， （％～＋％叻）％＋％～Ｋ＞＝（如＋％％咧１＋霹）＋嚣ｑ１ ２％ｂ～＋写吼０＝ｌＩ（哟～＋幻％）％＋６Ｊ～巧旧３１电子科技大学博士学位论文易＝Ⅲ％～＋ｂＪｍｊ）（１一～）＋ｂ了ｍｊ，Ｘｊ］ ＝（（％～＋％叻）（１一～）＋ｂｊｒｎｊ）、ｊ】＝（％～＋㈣２（１瑚＋箬讹～＋ｂｊｍｊ）ｂｊｈ ％＋兰驯；（１一～）２１＋晖２＋鼎２２（１一～）４ｂｊ）、ｊ２＋［（％～＋％咧１一～）＋ｂｊｍｊ）、ｊ］ （１一～）３。由于局＝ｏ时，～＝弓，于是有功＝（１一～）２，因此弓巧＝［（％ｂ＋ｂｊｍｊ）（１一～）＋ｂｊｍｊａｊ］２（１＋霹）＋螃碍（１一～）２碍１＋［（％～＋ｂｊｍｊ）（１一～）＋％％～】％～（１一～）＝毪Ａ｛一２蝎Ｂｊ＋Ｃｊ．由引理３．３．６，就能得到如下的误差估计． 定理３．３．７若Ａ为对称正定的（１，１）相容秩序矩阵，方程组Ａｘ＝６的预条件同时 置换迭代算法的误差向量￡≈满足蚓层≤壶脾一丁）２＋Ｉ丁ｕ（２一ｕ）＿７－２１ｐ；】２Ｉｌｇｋｌｌ＠－４－１１６ｋ＋。幢＋２１ＴＷ（２一ｕ）一７－２Ｉｐ；｜｜ｌ以１１２１１６惫＋－１１２―２（１―７－）２（以，民＋。））， 其中Ｑ＝７－２（１一ｐ；），以，“，如＋１定义如上，７－，ｕ为松弛因子．证：由引理３．３．２，易知有～瓦＝（１―７－）２＋［丁ｕ（２一ｕ）一丁２】店又由引理３．３．６，得Ｅ｛或＝ 【（１一丁）２＋（丁ｕ（２一ｕ）一丁２）圬］２山 一２［（１―７－）２＋（俐（２一ｕ）一７―２）田】岛＋ｃｊ．３２第二章迭代算法的误差界研究因为Ｂ＝７－２（１一圬）≥Ｑ＞０，易≥０．所以有，∑ｍ易≤扣（１Ｊ２ｌ丁）２＋１７－ｕ（２一ｕ）一丁２阈２∑Ａｊ＝ｌ－－２（１一丁）２∑岛＋２ｌＴＷ（２一ｕ）一丁２Ｉｐ；ｊ＝ｌ仇∑同易＋ｍ∑洋０又由 马ｌ＝Ｉ（岛，母，ｕ岛）Ｉ≤１１４１１２１１母，ｕ４１１２，得ｍ∑触于是有已＜一ｍ∑芦钏ｚ慨ｕ４１１２≤（∑ｊ＝ｌ＝ｌＩ以１１５｜Ｉａｋ＋ｌＩＩ姜易≤扣１叫２＋Ｍ２刊一懈忪川２＋Ｉ酬层＋２１７－ｕ（２一ｕ）一７－２Ｉｐ；｜｜Ｉ以１１２ＩＩ以＋－１１２―２（１―７－）２（６ｋ，以＋１））．注：当７－＝ｕ（２一ｕ）时，由定理３．３．７得至ＩＪＳＳＯＲ【７６】迭代法的误差估计，￡南惦≤孑１｛（１一ｕ）８俐｜２－２（１一ｕ）４（以，嘶－）＋ｌｌａＭ嘲．３．３．４数值实验我们用ＤｉｒｉｃｈｌｅｔＩｈ－ｊ题的一种特殊情形Ｌａｐｌａｃｅ方程作为数值算例．△ｕ：』貉＋崇＿ｏ（训）印 “（ｚ，Ｙ）＝１ （ｚ，Ｙ）∈ｃＯＤＩ其中，Ｄ＝｛（。，秒）ｌ ０≤ｚ，Ｙ≤１），ａＤ为边界．设Ｌａｐｌａｃｅ方程的边界值为１．对 该区域进行１０×１０的网格化，采用五点差分格式及红黑排序离散化得线性方程 组Ａｚ＝ｂ．易知系数矩阵Ａ对称正定且具有（１，１）相容秩序矩阵，其ＪａｃｃｏｂｉＪ塞代矩阵Ｂ的谱半径为肛１＝９．７１０２９６８９２２３９０５０ｅ一００１．３３电子科技大学博士学倚论文用预条件同时置换迭代算法求解该方程组．表３．２给出了定理３．３．７的估值妒七与精确 误差ＩＩ￡ｋｔｌ。的比较结果．数值结果表明定理２．３．７的估值非常有效．忙知１１２２．９５０８１４０９１９５８１０７ｅ一０１ ｌ７－Ｕ ０．６ １．０ １．２ １．２ １．３ １．５ １．６ ０．９庇 ５８９ ２０９ ３５６ １９８ ３６８ ５００妒忌 ３．０３９５７４８２８９８７８４３ｅ．０１１０．９ １．７ １．６ １．５ ０．９ １．２ １．１ １．９６．３１８５３１６４５０５３８６１ｅ．００９６．３１３５６８０５１４９１７８２ｅ一０１４ ４．６９７７ ｌ ６０９２５０５７８９ｅ一００７ ２．１ ７９０４２３６４２９２３ ｌ ６ｅ一００７ ６．０９４８３１６７１３８０５７２ｅ一０１２ ３．０４９８８６３８６８９４０８０ｅ．００７ ２．１９１４４００９３１２５９９３ｅ一０１２７．７７６２４８３８９６１７４５５ｅ．００９９．４３７９０７５０９９０６８９７ｅ一０ １ ４ ５．４９０４３３７５６８２２８０６ｅ一００７ ２．２４１ １６６３０１７３ １７２７ｅ一００７６．５３５５８２１８４２３５３４９ｅ．０１２３．２４６７０２５２３８８９３８８ｅ―００７ ６．１８４７８００８８８２１３７５ｅ―０１ １３６７３１２其中妒七＝三＿（［（１一丁）２＋Ｉ丁ｕ（２一ｕ）一Ｔ２Ｉｐ；】２１１６ｋｌｌ；＋ＩＩ以＋１１１； ＋２１ＴＷ（２一ｕ）一Ｔ２Ｉ肛；｜ＩＩ民１１２１１６％＋１１１２―２（１―７－）２（以，以＋１））｛．３．４ＭＰＳＤ迭代法的误差界 ＭＰＳＤ迭代法３．４．１如果矩阵４的对角元都不等于零，那么对矩阵４进行如下的分裂Ａ＝Ｄ一既一国，其中Ｄ＝ｄｉａｇ（Ａ），一既和一国分别是矩阵Ａ的上三角和下三角矩阵．记Ｌ＝Ｄ～ＣＬ，Ｕ＝Ｄ～ｃｕ．则求解线性方程组Ａｘ＝ｂ的ＭＰＳＤ迭代格式为ｚ七十１＝母，ｕ１，ｕ２ｚ七＋７．（１一ｕ２Ｌ）一１（１一ｕｌｕ）一１Ｄ一１ｂ，ｋ＝０，１，２，…，其中（３．２４）．鼻，ｕ１，眈＝（１－ｗ２Ｌ）一１（１一∽１Ｖ）一１［（１一丁），＋（丁一ｕ２）己＋（７－一ｗ１）Ｕ＋ｗｌｗ２ＵＬ］（３－２５）ｒ，ｕ１，ｕ２为实松弛因子． 记第ｋ次迭代的误差向量为‰＝ｚ一一，以为第七次与第ｋ．１次迭代的差向量，即氏＝ｚ七一ｚ七一．３４第三章迭代算法的误差界研究于是有Ｅｋ＋ｌ＝母，‰屹“，５ｋ＋ａ＝母舰，忱以，Ｅｋ＝（Ｉ一鼻，‰忱）＿母，％ｕ２５ｋ． 引理３．４．１１８２１若Ａ是（１，１）相容秩序矩阵且对角元都为１，肆Ｍ，忱以及对应 的Ｊａｃｏｂｉ迭代矩阵Ｂ的特征值分别为．［入＞与＿【ｐ），则 （Ａ一１＋７．）２＝Ｔ（１一巧）（入一１＋７．）ｐ２＋巧７－２ｐ２． 其中，巧＝（１一ｕ１）（１一ｕ２）．（３－２６）３．４．２ＭＰＳＤ迭代矩阵的特征值的与特征向量如果矩阵４为对称正定的（１，１）相容秩序矩阵，不失一般性，可设矩阵Ａ有如下的形式４＝［一三一日：］，对应的Ｊａｃｏｂｉ迭代矩阵为ｃ３―２７，Ｂ：｜－ⅢＴ ｌＬ（３－２８）Ｈ０ＭＰＳＤ迭代矩阵为肆Ｍ加＝（１―７－），＋７＿＆，％眈 其中＆Ｍ，ｕ２＝（，一ｕ２Ｌ）一１（Ｊ―ｕｌｕ）一１［（１一ｗ２）Ｌ＋（１一ｕ１）ｕ＋Ｗｌｗ２ＵＬ］ｌｕ１月Ｔ日（１一ｕ１）月Ｔ ｕ２（１一ｕ１）日日ＴＩｌ（１一ｕ２）日＋ｕｌｕ２ＨＨＴＨ由引理３．４．１得，ｌ九＝（１一ｒ）＋去（１一万）碱２＋厄；天＝（１一丁）＋互１（１－面）丁版２一瓶３５电子科技大学博士学位论文其中尼＝丢（１一＿）２ｐ４＋矶２．下面我们来构造矩阵研，㈨ｕ。的特征向量．设磊＝（薹：；），后ｍ分量构成的向量． 当Ｒ≠ＯＢ寸，记ｔ＝１，２，…，ｍ，为矩阵Ｂ对应于特征值胁的单位特征向量，其中Ｚ¨，墨２’为向量旎的前ｍ个分量和阢＝讵㈦）一以㈦），当见＝０时，记ｐ２９，阢＝以（墨２，），Ｋ＝讵０≤。，），其中ｃ３－３。，一垃等等鉴监，瓦：虹等等警监卢１７２…．，ｍ．引理３．４．２对任意ｉ＝１，２…．，ｍ，当兄≠０时， 耳，㈨ｕ：阢＝九阢，当鼠＝０时，研，‰忱Ｋ＝九Ⅵ，（３－３１）母舰，ｕ。阢＝凡阢，其中母，乩屹Ｋ＝九Ｋ＋ｍｉ矾，（３―３２）ｍ产（！二堂二一．０Ｊ２一Ｕ１一Ｕ１Ｕ２引理３．４．３阢，Ｋ（ｔ＝１，２…．，ｍ）定义如上．则｛阢，Ⅵ）（ｉ＝１，２…．，ｍ）为Ｃ２ｍ的 一组正交基；且有当ｉ≠歹时， （阢，％）＝（阢，Ｋ）＝（Ⅵ，％）＝（Ⅵ，Ｋ）＝ｏ；３６（３－３３）第二章迭代算法的误差界研究当局＞０时，（％，％）＝１＋苟，当岛＝ｏ时，（Ｋ，Ｋ）＝１＋苟，＜ｕｊ，ｙｊ＞＝（Ｋ，％）＝１＋％砀；（３－３４）＜Ｕｊ，Ｕｊ＞＝１＋《，当局＜０时，（Ｋ，Ｋ）＝碍１，＜ｕｊ，Ｋ）＝（Ｋ，％）２互１?（３?３５）（巧，％）＝１＋《，（％，巧）＝１＋苟，（％，％）＝（％，％）＝１＋哟码．（３－３６）引理３．４．４设矾，Ｋ“＝１…．，仇）定义如上．如果％ｕｊ＋幻巧和勺ｕｊ＋ａｊｖｊ均为实向量，则当ｉ≠Ｊ时，（ａｉ矾＋坟Ｋ，勺％＋ｄｊＹｊ）＝ｏ； 且有，当弓≠ｏＦ＃，（３－３７）＜ｎｊｕｊ＋ｂＫ，勺％＋略巧）＝ａｊｃ歹（１＋００２）＋幻奶（１＋苟）＋（ａｊｄｊ＋％白）（１＋ｏｏ嘞）；（３―３８）当忌＝０时，（％％＋％Ｋ，勺％＋奶巧）＝％勺（１＋霹）＋％如去＋互１（％嘭＋吻勺）．论（３．３８）和（３．３９）也成立．（３―３９）证：当ｔ≠歹时，结论显然成立．当Ｂ＝０和弓＞ｏ时，由：３１Ｎ３．２．３，易知结当局＜ｏ时，因为％和Ｋ为复共轭向量，所以％和吗必然分别为％和勺的共 轭复数．于是有 （ａｊ％＋幻Ｋ，勺ｕ３＋略巧）＝％弓（％，％）＋ｑ弓（％，巧）＋ｂ弓（巧，％）＋幻己（巧，巧），＝哟由（％，％）＋％勺（％，巧）＋％略（巧，％）＋％勺（巧，巧）＝％奶（１＋０ｆＪ码）＋ａｊｃ３（１＋《）＋ｂ呜（１＋苟）＋幻勺（１＋ｏ，ｊ弓） ＝ａｊｃｊ（１＋霹）＋幻呜（１＋苟）＋（ａｌｄｊ＋％勺）（１＋Ｑ歹弓）．３７电子科技大学博士学位论文设 氏＝ｍ∑触＠ ％＋％吩全ｍ∑芦白其中岛＝％ｕｊ＋ａｊｖｊ为实向量．则以＋?＝∑ｓ舢他岛，鼠＝ ∑（，一肆舢，眈）。ｓ…：岛．ｊ＝ｌ Ｊ＝ｌ因为当ｉ≠ｊｌｔ寸，（已，白）＝０，所以ｍ竹ｔｍ以旧＝∑４，（以，以＋?）＝∑马，Ｉ Ｉ氏＋，旧＝ ∑岛，蚓恳＝ｊ＝ｌ 歹＝１ ｊ＝ｌｍ∑触已其中如＝临眩Ｂｊ＝（白，母舢，忱白），Ｇ＝ｌＩＳ，，㈨ｕ。岛眩Ｅｊ＝ｌｌ（，一母Ｍ，忱）－１鼻，㈨ｕ。白幢３．４．３ＭＰＳＤ迭代法的误差界引理３．４．５设如，Ｂ，Ｇ和易定义如上，则Ｅ｛Ｄ巴＝入２ｊ－－＾２ｉＡ｛一２入夏｛Ｂ｛＋ｃ｛．其中岛＝（１一～）（１一忑）．证：当局＞０时，如＝＜．ｊｕＪ＋ｂｊＶｊ，％％＋如Ｋ＞＝霹（１＋霹）＋骘（１＋苟）＋２％％（１＋％弓），易＝＜％％＋幻巧， ％～％十％瓦Ｋ＞＝亏～（１＋霹）＋骘－Ｊ（１＋苟）＋％６Ｊ（～＋瓦）（１＋哟弓），０（％～％＋６ＪＸ％，ｑ～％＋％瓦Ｋ）＝丐２１２（１＋《）＋蟛２－－＾Ｊ２（１＋苟）＋２％ｂ～瓦（１＋％弓），弓＿Ｉ｜辔＋鬻惦３８第三章迭代算法的误差界研究（１一～）２（１一～）２［丐２＾Ｊ２（１－ｔ－ａ２）（１一瓦）２＋巧２－－～２（１＋苟）（１一入Ｊ）２－Ｆ２ａｊｂｊＡｊＡｊ（１一～）（１一孓）（１＋ＱＪ弓）】．因此有易功＝ａ；‘Ａｊ‘（Ｉ‘－－Ｉ－《）（１一瓦）２＋蟛２－－＾Ｊ２（１－Ｉ－苟）（１一～）２＋２％％～～（１一～）（１一～）（１＋％弓）＝《（１＋％２，【／、Ｊ２（１一瓦）２］＋跨（１＋弓２儿－－＾Ｊ２（１一～）２］＋％６Ｊ【２～瓦（１一～）（１一瓦）］（１＋％砀） ＝％％［２苗２－－＾，２―２；，ｊ－Ｘｊ（；＼Ｉｊ＋瓦）＋２～瓦］（１－Ｉ－％弓）＋霹（１－Ｉ－％２八＾Ｊ２－＾歹２―２入；瓦－－ｔ－－碍）＋鳄（１＋－－％２，Ｌ／、歹２－～２―２葛～＋葛）＝入２ｊ－－＾ＺｊＡ｛一２）＼ｊ入ｊＢｊ＋Ｃ｛．当弓＝０时， 如＝Ｂ｛＝ａ２（１＋甜茜懈，＜％％＋６Ｊ巧，（％～＋％叻）％＋幻～Ｋ＞＝（莺～＋％％咧１＋《）＋鏊ｑ１ ２０Ｊ％～＋鳄毗０＝ＩＩ（％～＋ｂｊｍｊ）％＋幻～Ｋ幢＝（吼＋㈣２（１瑚＋髫讹～＋例‰易＝ＩＩ［（％～＋幻％）（１一～）－Ｉ－％ｍＪ～】 ＝［（％～＋％％）（１一～）＋幻叻～］－ｔ●（１一～）２Ｕｊ＋。ｂＪ＿．＿一Ｌ、ｊＶｊ ｌｂ｛）、５２１＋嘭（１一～）４一似 一１鳄ｌＩ碍一ｂ －、●， 写 ＋【（％～＋ｂ％）（１一～）－．ｔ．－６Ｊ％～】 （１一～）３‘３９电子科技大学博士学位论文由于弓＝ｏｔ，－Ｊ－，～＝弓，于是有功＝（１一～）２，因此马巧＝［（ａｊＡｊ＋幻叻）（１一～）＋幻％～］２（１＋《）＋螃茑２（１一～）２碍１＋［（％～＋ｂ仇Ｊ）（１一～）＋ｂ．ｊｍｊＡｊ］ｂｊＡｊ（１一～）＝Ａ；ＡＪ一２譬岛＋ｃｊ．由引理３．４．５，就能得到如下的误差估计． 定理３．４．６若Ａ为对称正定的（１，１）相容秩序矩阵，方程组Ａｚ＝６的ＭＰＳＤ迭代 算法的误差向量￡七满足础≤去胛一丁）２＋Ｉ丁（∽。 ＋ｕ。一ｕ。ｕ。）一Ｔ２Ｉ肛；］２１１６ｋｌｌ；＋ＩＩ以＋１１１；＋２１７－（ｕ１－＇ｔ－ｕ２一ｕｌｕ２）一Ｔ２１詹１ １，５七Ｉ １２ｌ １６知＋１ １２―２（１一丁）２（以，以＋１））， 其中Ｑ＝７．２（１一肛；），以，ＥＪｃ，以＋１定义如上，７．，ｕ１，ｕ２为松弛因子．证：由引理３．３．２，易知有～瓦＝（１―７．）２＋［Ｔ（Ｗ１＋ｕ２―０３１０）２）一７－２］店又由引理３．４．５，得易巧＝［（１―７－）２＋（７－（ｕ－＋ｗ２一ｕｌｕ２）一７－２）店］２Ａｊ 一２［（１一丁）２＋（Ｔ（ｗｌ－－ｔ－忱一ｕｌｕ２）一７－２）店］岛＋ｃｊ．因为Ｄｊ＝Ｔ２（１一磅）≥Ｏｔ＞０，Ｅｊ≥０．所以有，ｍＦ邑＜ ―ｚ０ Ｊｊ＝ｌ扣１丁）２＋Ｉ丁（ｕ，＋ｗ２一ｕ?ｕ２）一下２Ｉｐ；］２∑如ｊ＝ｌ一２（１一丁）２∑岛＋２№，＋ｕ２一ｕｔｕ２）一丁２）懈∑ｊ＝ｌ ｊ＝ｌ又由岛Ｉ＝Ｉ（岛，研，ｕ岛）ｌ≤ＩＩ岛１１２ＩｌＳ，ｕ岛Ｉｌｚ，得ｍ∑触易＜一ｍ∑弹白舅ｕ白＜一ｍ∑斟Ａ力ｌ一２ｍ∑ｍ０＝民以“第三章迭代算法的误筹界研究于是有ｍ∑马ｊ＝ｌ≤壶胛一丁）２＋Ｉ丁（Ｗｌ＋ｗ２－－ｗｌｗ２）－Ｔ２］ｐ硎础＋慨?旧＋２１７．（ｕ１＋ｕ２一ｕｌｕ２）一Ｔ２ｌｕ；ｌｌｌ＇Ｓｋｌｌ２１１＇Ｓｋ＋１１１２―２（１―７－）２（５ｋ，以＋１））．注：（１）当ｕ１＝０，叫２＝ｕ，７．＝ｕ时，由定理３．４．６得到ＳｏＲ【７５】迭代法的误差估计￡Ｊ。幢≤石１｛（１一ｕ）４ｌＩ以旧一２（１一ｕ）２（以，以＋?）＋ｌＩ民＋?旧）．（２）当ｕ１＝ｕ２＝ｕ，７－＝ｕ（２一ｕ）时，由定理３．４．６得到ｓｓｏＲ【７６】迭代法的误差估计，圳≤孑１｛（１一ｕ）８蚓１２＿２（卜ｕ）４（氏，瞻－）＋¨“嘲．（３）Ｎｗｌ＝０，ｕ２＝７，７．＝ｕ时，由定理３．４．６得到ＡＯＲ【７８】迭代法的误差估计，训≤去｛［（１一ｕ）２＋Ｉｕ（＇７－－６０）懈ｌｌ，Ｓｋｌｌ；一２（１一ｕ）２（以，ｋ－）＋２ｌｕ（７一ｏ．，）ｌ所ｌ ｌ，Ｓ七Ｉ １２Ｉ １６知＋，Ｉ １２－－Ｉ－Ｉ １５ｋ＋?Ｉ １１）． ３．４．４数值实验我们用如下的方程组作为数值算例．４ ｏ ｏ ｏ ｏ ４ ｏ ｏ ｏ ｏ ４ ｏ ｏ １ ．一． ｌ ．一． １ｏ ｏｏ ｏＺ１４ ４ ４ ４ ４ ４Ｘ２０４ ｏ ｏ ４Ｘ３ｏ ｏ ｏ ｏ ｏ ｏ ｏＸ４ｏ ４Ｘ５０Ｚ６易知系数矩阵Ａ对称正定且具有（１，１）相容秩序矩阵，其Ｊａｃｃｏｂｉ迭代矩阵艿的谱半径为ｐｌ＝５．４３８３１９３６７９０２６８６ｅ一００１．用ＭＰＳＤ迭代法求解该方程组．表３．３为定理３．４．６的上界‰与方程组的真实误 差ＩＩ￡ｋ１１２的比较结果．４１电子科技大学博士学位论文七 ３０ ２６ ２４ １８ ３６ ３２ ２９ ３１Ｕ１Ｗ２ ０．５ １．５ １．１ １．０ Ｏ．７ Ｏ．２ ０．６ ０．７ １．７７．妒忌 ２．００３４６６７４５８０９４３ ｌｅ一０１０ ２．４６３８６５８９０２４３４９４ｅ一０１４ ４．９２５０８ １ ７４３８２３３４４ｅ．０１ ３ ９．９８１９１９９７４４６７６７９ｅ一０１２ ２．３７３７１７７１９８０２１４９ｅ一０ｌ ｌ ３．５４６２４８１９５１５４６５０ｅ一００７ １．９３８９９７５６３６６７０２７ｅ．０１０ １．１６５５７００３８９７２６９１ｅ一００９ ３．０２３２３５１ １０７４８３８３ｅ一０１２ｌｌ￡ｋ１１２１．９９８５６９９２４８５３２０４ｅ。０１０ １．４５２１４４５５４５３６１２４ｅ一０１４ ４．８２８６８１４５１５３４２７４ｅ．０１３ ９．８７７５７５９７３８７８０００ｅ．０１２ １．１９８３３３０６９１７３１６８ｅ一０１１ ３．５３６１７３００１５０５７６６ｅ。００７ １．９３５８４８４９６８８８９４９ｅ．０１ ０ １．０６３５３９８２２１ ６２２８８ｅ一００９０．６ ０．８ ０．９ ０．９ ０－３ Ｏ．６ Ｏ．６０．９ １．３ １．Ｏ １．１ １．３ ０．７ ０．９ Ｏ．８ Ｏ．７Ｏ．６１．６５６２．９８０５９７２２５６２４２６５ｅ一０１２其中妒忌＝丢｛［（１一丁）２＋Ｉｒｗ（２一ｕ）一丁２Ｉｐ；】２１１以１１ｉ＋ＩＩ以＋１１１；＋２１７－ｗ（２一ｕ）一７－２Ｉｐ；ＩＩ以ｆ｜２ｌＩ民＋１Ｉ Ｊ２―２（１一下）２（民，６Ｊｃ＋１））≥．注：数值结果表明定理３．４．６给出的ＭＰＳＤ迭代算法的误差上界有效．３．５本章小结在本章，我们研究了线性方程组迭代求解的误差估计问题，并在系数矩阵为 相容秩序矩阵的条件下，获得了的ＵＳＡＯＲ、ＭＰＳＤ和预条件同时置换迭代算法三 类迭代算法的误差界．许多偏微分方程采用差分技术和有限元技术经红黑排序离 散化处理得到的线性方程组的系数矩阵都具有相容秩序这一性质，因而我们得到 的两个误差估计具有实用的价值．另外，我们的结果也从数学理论上推广了Ｔ．Ｒ． Ｈａｔｃｈｅｒ，Ｍ．Ｍ．Ｍａｒｔｉｎｓ，宋永忠等国内外专家的结果