一阶电路零状态响应
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摘要: 当动态电路中所有储能元件都没有原始储能 ( 电容元件的电压为 0 ，电感元件的电流为 0) 时，换路后仅由输入激励（独立源）产生的响应称为零状态响 应。
RC电路的零状态响应
所谓RC 电路的零状态，是指换路前电容 ...
当动态电路中所有储能元件都没有原始储能 ( 元件的电压为 0 ，电感元件的电流为 0) 时，换路后仅由输入激励（独立源）产生的响应称为零状态响
RC电路的零状态响应
&&& 所谓RC 电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，在此条件下，由独立源激励所产生的电路响应，称为零状态响应。分析 RC 电路的零状态响应，实际上是分析电容元件的充电过程。 如图1 所示RC 电路，时刻，开关断开，电路处于零初始状态； 时开关闭合。其物理过程为：开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，电容相当于短路，此时 ，充电电流 ，为最大；随着对电容充电， 增大，电流逐渐减小；当 时， ， ，充电过程结束，电路进入另一种稳态。
图1 RC电路的零状态响应
当 时，由 KVL定律可得 : &&
把 ， 代入得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&& ( 1 )
此方程为一阶线性非齐次微分方程，初始条件为 。方程的解由非齐次微分方程的特解 和对应齐次微分方程的通解 组成，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&( 2 )
不难求得其特解为： &&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （3 ）
而对应的齐次方程 的通解为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&& ( 4 )
其中， A 为待定常数 , 为 RC 电路时间常数。故，
&&&&&&& &&&&&&& &&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&& (5 )
代入初始条件 ，可得 。
所以 &&&&&& & &&&&&&&& （ 6 ）
电路中的电流为： & &&&&&&&&&&&（ 7 ）
和 的零状态响应波形如图 2 所示。可见：在直流电压源激励下，电容电压不能突变，须经历一个动态的充电过程，充电速度取决于时间常数 ，当电容电压达到电源电压 时充电结束，电路进入稳态；电容电流 换路瞬间发生突变，随充电过程的进行逐渐下降，下降速度取决于时间常数 ，充电结束后，电流为零，电路进入稳态。充电过程中电容元件获得的能量以电场能量形式储存。
图 2 和 的零状态响应波形
图 3 RL电路的零状态响应
RL电路的零状态响应
如图 3 所示，在换路前 ( t&0) 开关处于断开状态，电感元件 L 处于零初始状态，即 。 t=0时刻开关闭合瞬间，电路即与一恒定电压为 的电压源接通，此时相当于接入一个阶跃电压。
时 , 根据 KVL 基尔霍夫电压定律 :
把 ， 代入并整理得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ( 8 )
这也是一个一阶非齐次微分方程，其初始条件为： .
与 RC 电路相似，电流 的解可分为微分方程的特解 和通解 两部分。容易求得特解 ，同解可表示为 。故
代入初始条件 ，得 。所以
&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&& (8 )
电感两端的电压为
&&&&&& &&& && &&&&&&&&&& && ( 9 )
和 的零状态响应随时间的变化规律如图 4 所示。
对比图 2 与图 4 可见，一阶 RC 电路与一阶 RL 电路有强烈的对偶性： 在直流电压源激励下，电感电流 不能突变，须经历一个动态充电过程，变化速度取决于时间常数 ，当电感电流达到 时电路进入稳态；电感电压 在换路瞬间发生突变，随充电过程的进行逐渐下降，下降速度取决于时间常数 ，充电结束后，电压为零，电路进入稳态。充电过程中电感元件获得的能量 以磁场能量形式储存。
(a) &&&&&&&&&&& &&&&&&&&&& ( b )
& 图 4 和 的零状态响应
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iframe(src='//www.googletagmanager.com/ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')零状态电容元件相当于短路元件是为什么_百度知道
零状态电容元件相当于短路元件是为什么
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在交流电路中电容元件相当于短路元件，因为电容有隔直通交的作用，频率越高，阻抗越小。
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在电路分析里，电路的响应有两种，一种是零输入响应，一种是零状态响应。
所谓零输入响应，指的是输入信号为零；所谓零状态响应，指的是电路中所有储能元件和各种电源的状态均为零。
在分析零状态响应时，要把电压源短路，电流源开路。
对于电容来说，在零状态响应的通电瞬间，它可以认为是电压为零的电压源，所以它相当于短路。
我们来看下图：上一张图是电路结构，我们看到电源E和它的内阻r，开关QF，还有电容C和电阻R。
当开关QF接通后，我们来看流过电容的电流Ic和电容上的电压Uc，如下：
我们看到，在t=0的时刻，流过电容的电流最大。知道为什么吗？
因为此时的电容相当于一个电压为零的电压源，电源E要通过内阻r向它充电。既然此时的电容是电压源，所以我们可以理解它事实上是短路的，因此充电电流的最大值，也即t=0时的充电电流Icmax为：
从图中我们看到，经过5r的时间，电流已经为零，而电压则充到近乎于E。从此以后，流经电容的电流不会再发生任何变化，这时的电容就起到隔绝直流电的作用。
我们看到，电容的充电过程分为两部分，其一是暂态的过渡过程，其二是稳态过程。
现在我们来仔细研究一下过渡过程，看看有什么现象：
我们先来看电阻R与电容C的乘积RC等于什么。电阻等于电压除以电流，而电容等于电量除以电压，而电量又等于电流乘以时间，于是有：
这里的T被称为时间常数，一般用r来代表。
于是流过电容的电流为：
注意这里的指数函数，它的指数等于时间与时间常数之比，故是一个纯数。当时间等于0时，Ic=Icmax；当时间等于5r时，指数函数的值为6.738*10-3，代入上式后，得知此时的电流：
此时电容上所充的电压等于E。
注意电容电压Uc的表达式，是：
提示：按道理，电容上的电压应当充到ER/(R+r)，但因为在稳态下，电容的阻抗为无穷大，因此它的电压可以充到E。
从这里我们可以看出：所谓电容隔直流，其实指的是它的稳态特性。在稳态下，电容的等效阻抗为无穷大，直流电流无法通过它，故电流为零，最多只有极小的漏电流；在暂态下，电容是可以流过电流的，其中在初始时刻，电流因为电容近似为电压源，它的特征近乎为短路，故电流的初始值为最大。
我们继续。
第一，如果我们的电源不是电池，而是一个方波脉冲发生器，那么电容之后电阻R上的电压是什么样的呢？
答案：看下图：
上图是时间常数很小的情况，下图是时间常数很大的情况。上图反映的是电容的冲激响应，而下图反映的是电容的滤波效应。对于它们的数值分析，此处从略。
这两种效应都有大量的应用。
第二，如果我们的电源为交流，那么电容之后电阻R上的电压是什么样的？
在讨论电容对交流电流的反应时，我们需要暂时回看第一张图。从图中我们看到，当电流取最大值时，电压为最小值；而当电流取最小值时，电压反而取最大值。这是为什么呢？
我们已经知道，电容等于电量与电压之比，也即C=Q/U=It/U
我们从中解出电流，也即：I=CU/t
我们已经知道，电容上的电压Uc其实是不断变化的，它是时间的函数，所以上式可以写成：
这个式子非常重要，它是解开电容在交流电源作用下的一把钥匙。
我们知道，交流电压可以写成：，把它代入到电容电流的表达式中，得到：
我们看到，当电压为零时，电流却达到了最大值。也就是说，对于交流电源而言，流过电容的电流超前电容电压90度！
这是一个非常重要的结论，它揭示了电容在交流电压下的表现形式。
最后，我来回答题主的问题：
电容是可以用来隔直流的，但只有在稳态时电容才具有这种性能。
当直流电源迅速变化时，也即电源不断地从零变化到最大值，再变到零，以此循环往复，我们看到电容不但不会隔直流，反而成为一个阻抗近乎为零的元件。
事实上，由容抗可知，当电源变化频率增大时，电容的容抗随着频率增加而线性地降低。注意这里的名词——线性。
当我们用直流电源给电容充电，并且时间足够长，则电容的充电电压可以达到与电源电动势相同的水平。
所以，关键的关键是：电容是储能元件，它能储存能量。这就是答案！
给大家提几个有点意思的问题：
第一：什么叫做伏安特性曲线？电阻的伏安特性曲线是什么样的？电容的伏安特性曲线又是什么样的？
第二：电容上储存的电量可以无限制地进行下去吗？如果我们想来做这个试验，我们该如何建立电路？如何测试？估计会有什么现象发生？
第三：当电容储存有电压时，我们用一个电压值高于电容电压的电源来对电容充电，此时电容的阶跃响应是什么样的？
第四：我在写出电容的电流Icmax时，用的是基尔霍夫电压定律，也即KVL。我想问大家的问题是：基尔霍夫电压定律KVL成立的条件是什么？（当然也包括基尔霍夫电流定律KCL在内）。这个问题有一定的难度，而且与本文的主题无关。
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我的2016：
问题揭秘。
先从第四问开始：
我在写出电容的电流时，用的是基尔霍夫电压定律，也即KVL。我想问大家的问题是：基尔霍夫电压定律KVL成立的条件是什么？（当然也包括基尔霍夫电流定律KCL在内）。这个问题有一定的难度，而且与题主的主题无关。
我们知道光速是3*108m，事实上所有的电磁波都是按这个速度传递的，对于50Hz的交流电也不例外（注意，这里指的是电场传播速度）。
假定我们现在考虑的是频率为200MHz的信号，它的波长是1.5m。那么我们很容易知道在一根长1m的导线（电视天线）上，各处电压的代数和不见得为零，在这里KVL不成立。
因此，KVL成立的条件是：电路的尺寸小于电压波长的1/4，也即正弦的0到90度以内。换句话说，电路的尺寸对于电源电压的波长来说，可以视为一个点。
我们来看看50Hz工频的波长是多少：，再除以4，得到1500km。这么大的距离尺寸，哪怕一个供电片区，也是符合要求的，绝对是一个点。因此对于工频，我们无需考虑KVL失效。
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