这真的是一个问题: 朝天放空枪, 落下的子弹也能打死人吗?
这真的是一个问题: 朝天放空枪, 落下的子弹也能打死人吗?
这篇文章，决定轻松一次，当然了，轻松不代表不严谨，咱还是要用事实说话的。这个问题就是：朝天开枪，落下的子弹能否打死人呢？这个问题，对于理科生来说应该是一点都不难。这些学霸们只要根据子弹的质量、子弹离开枪口到达的高度，子弹下落时重力加速度，到达地面时的侵彻力，很容易就能计算出来，子弹落到人身上，是否能够打死人。
这两张照片是网上有人计算并分析的结果，先谢谢他的努力吧。根据这位学霸的计算结果，落下来的子弹并不会把人打死。但是，据本人搜集到的一些信息显示，现实中好像并非理论上设想的那么美好。所以，我只好根据看到的情况，写这篇，供网友讨论，如果有大神、学霸在下面的评论中提供更为详细的解读，那就感激不尽啦！
一颗向天空垂直射出的子弹，因地球重力的影响，弹头在上升阶段会不断减速直至速度为零，然后向下坠落并不断加速，但速度越快阻力越大，当阻力等于重力时，弹头就停止加速并保持匀速下落，这也是弹头的终端速度，它与弹头外形、下落姿态、材质和大气环境有关。上世纪美国军械局研究表明，.30-06步枪弹（口径7.62×63mm）垂直发射后，若弹头的弹尖朝下垂直下落，终端速度可达91米/秒，弹头动能为40焦耳。根据美国弹头动能致死理论，弹头动能超过78焦耳既为致命弹药。所以从天而降的弹头不命中致命部位时并不足以致死。
其次根据一个老兵的回忆，讲一下发生在70年代的事情。大概在1977年，有一天晚上，我炮兵26团侦察兵进行夜间训练，“捕捉闪光目标”。侦察兵在营房后面的北山上，无线兵负责显示目标，在叫“石背山”的高地上，距离观察所1500左右，中间相隔部队营房。显示目标用曳光弹、炸药包。打曳光弹是用7.62步骑枪（53式步骑枪）。一晚上很顺利就结束了。
第二天早上，听连队首长说，“昨晚训练时，在营房家属区，有个临时来队的家属，看到天上飞起的曳光弹很新鲜，搬一个凳子在观看，没想到被落下的子弹从肩头穿入，打到肺里去了，昨晚上就做了手术。”听到这事，我们觉得很不可思议，在其后的一个偶然发现，我才准确知道，落弹确实能够伤人。
有一天上午训练，在爬山时，我走在小路上，广东的山路是红色的黏土，硬度很大，我走着走着，突然发现有一颗曳光弹子弹头嵌入硬土中，整个弹头都没入土中，只有被发光剂烧白的尾部露在地面上。我觉得好玩，想用手抠出来，可是，费了好大劲，才从土中把子弹弄出来。可见，子弹落下时，力量是很大的，落到人身上，非死即伤。
其实，落弹伤人的事例还有很多，落弹杀人的事情自然也不少。土耳其、菲律宾就曾发生过朝天鸣枪来庆祝婚礼，结果婚礼变葬礼的惨剧。而且朝天开枪，天上落下来不只有流弹，搞不好还会落下个大炸弹呢，在阿富汗和伊拉克，美国驻军就曾将村民婚礼朝天鸣枪庆贺误判为敌袭，发动猛烈轰炸，造成大量平民伤亡。我国内蒙古05年也发生过类似的事故，宁城县气象局用高射炮发射防雹弹来预防冰雹灾害，结果一枚未爆的哑弹从高空掉落穿破一农民家的屋顶，砸碎死者的头部并钻进腹腔。为避免类似的悲剧再次发生，我国已投入使用新型防雹增雨弹，发射后一旦出现哑弹，就会自动弹开自身的降落伞，缓慢降落到地面，将弹头动能降到最低。
说了这么多流弹引发的血案，但流的全是别人的血，咱们再来点刺激的，看看美国飞行员是如何用流弹击落自己的。1956年，美国飞行员驾驶F11F-1“虎”式战斗机在俯冲训练中打了两个长点射，20毫米炮弹初速高但存速却不好，很快就在空气中减速，而战斗机却在不断加速，最终战斗机和炮弹相撞，然后炮弹爆炸了，“虎”式战斗机悲催地成为史上第一个被自己的炮弹击落的战斗机。朝天打枪，子弹会掉下来伤人吗_百度知道
朝天打枪，子弹会掉下来伤人吗
看电视里老有朝天打枪的画面，子弹不会掉下来吗，会打到人吗。
我有更好的答案
　　会的，只不过砸不到自己罢了。掉在别人头上，那也是一坑啊。　　★子弹能飞多高?　　所谓的&电视里总看到有人往天上开枪&应该是用的AK47一类的突击步枪.这类枪子弹的初速度一般在500m/s左右.最大射程1000米+.假设从枪口射出的子弹竖直向上做匀减速直线运动.忽略空气阻力,根据牛顿力学S=1/2at*t可算出,子弹上升的距离为S=0.5×10×（500÷10）×（500÷10）=12500米。　　当然由于空气阻力的存在,子弹不可能打到那么高,只有200米左右。　　见过人家用高射机枪打飞机吗?尽管飞机是俯冲,但是100多米的距离还是有的,那时候的子弹还是有很打杀伤力的,铁皮都能打穿。　　所以垂直向天开枪的情况下,子弹最少能飞到200米高.枪口倾斜的话,会打的低一点,低多少要倾斜的角度了。　　★子弹能飞多远？　　早晨7点钟左右，一位农民在自家田边，突然就感觉像手臂上猛打了一下似的，当时没有其他感觉，都又过了10来分钟，才觉得我的手臂有点痛，一看才知道是受伤了。不知道谁打的，周围几百米范围内都人。再看了一下伤口，突然脑子里有点想到了，原来，在辖区有驻军部队，这人住在部队靶场的后面，这儿的驻军部队每天都在打靶，伤可能是部队打靶的流弹所伤，不过在的地方离靶场大概直线距离有1千7、8百米远，为了查明原因，到部队医院照张X光。　　片子出来后，一看觉得有点不可思议，在右大臂里可以清晰的看见一颗步枪弹头，弹头与骨头呈水平方向，看来是打进人体后还转了向的，不过还好，据医生说，这颗子弹打进得不是很深，没伤到骨头和神经。距离太远了，从靶场内战士打靶的位置到伤者的位置至少有两千米。当手术医生把从伤者手臂里取出的弹头放在桌子上时，部队军官笑了：“果然是今天打靶的子弹，今天打的就是81-1。”原来，是一颗7.62毫米步枪弹头，弹头上有几道较深擦痕，这颗子弹在打到伤者前，应还在什么地方碰撞过。　　★飞到了哪里?会不会落下来?　　在不考虑空气阻力的理想的情况下,垂直向天开枪,结果某人打出去的子弹有落到了他自己的头上.。　　事实上这种情况不可能发生,因为当子弹飞到高空以后,会被空中的气流吹到很远的地方(空中风是很大的).所以不管是向什么方向射出的子弹,都不可能落到原地.掉下来打到人的话打的也是外地人。　　至于会不会落下来嘛,只要不是击中什么不明飞行物,是肯定会落下来的。　　★落下来还有没有杀伤力?　　其实落下来的子弹的杀伤力,就好比有人从100米高空仍下一个重量为10.8克,长度39mm,直径7.62mm左右的物体。　　因为有空气阻力的存在,初速度几百m/s的子弹落下来以后速度虽然只剩下八十多m/s了，以AK47为例，子弹的重量为10.8克,落下来以后子弹的动能为E=0.01*80*80=64J.加上子弹在跟空气摩擦的过程中产生的热量也有部分被子弹吸收,使子弹的温度上升.所以掉下来的子弹的杀伤力,虽然不太可能砸死人.但是还是具有一定的威力的。
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没有一个说人话的，700米每秒的子弹如果垂直向上打，假设没有没有大气的话，在地球上这个子弹会向上飞行25000，然后落下来也是700米每秒的速度这叫自杀。总共需要等待不到143秒就可以啦。但是有大气，一个10.8克的弹头，860米的初速度，可以向上飞行18900然后做自由落体，而掉下来的时候速度在450到500米每秒，照样能砸死头猪。哈哈，如果是60度角射击，下落速度到地面也可以达到300到340米，你想后果如何，可能没有那么打的制动性，但是绝对可以杀死个人
不会，楼主可以去看看流言终结者，上面有一期专门做了这个试验
一切都是几率
打到人理论上是可以的 不过 自己朝天打枪再被子弹打中 这个几率比较难控制
几率 还是几率的问题
有可能·······
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咱们中国人赢球、婚礼、葬礼、开业、过年了都喜欢放个鞭炮嗨皮一下，中东人也一样，爽了怒了都掏出长枪仰天来几发，某位伊拉克前领导人就挺好这一口的。那么问题来了，子弹掉下来打中人怎么办？这些流弹致命吗？今天就和大家聊聊流弹的杀伤原理及流弹引发的血案！
俄军的庆祝方式
一颗向天空垂直射出的子弹，因地球重力的影响，弹头在上升阶段会不断减速直至速度为零，然后向下坠落并不断加速，但速度越快阻力越大，当阻力等于重力时，弹头就停止加速并保持匀速下落，这也是弹头的终端速度，它与弹头外形、下落姿态、材质和大气环境有关。上世纪美国军械局研究表明，.30-06步枪弹（口径7.62×63mm）垂直发射后，若弹头的弹尖朝下垂直下落，终端速度可达91米/秒，弹头动能为40焦耳。根据美国弹头动能致死理论，弹头动能超过78焦耳既为致命弹药。所以从天而降的弹头不命中致命部位时并不足以致死。但根据数百年来射击动物、人类、肥皂、凝胶、松木板的经验，16 焦耳/平方厘米的动能断面比是弹头穿透皮肤的最小值，所以高空坠落的弹头已足以将人砸得头破血流，这也是咱们进工地必须要带安全帽的原因，要不高空坠落个小螺丝也能爆头了。
当然现实中即使朝天射击，子弹很少有直上直下飞行的，往往都带有倾角，这下问题就严重了，子弹命中人体时不仅拥有垂直方向的重力势能转化来动能，还保留了水平方向的动能，两者叠加导致弹头动能比自由落体时大多了，完全足以致死。土耳其、菲律宾就曾发生过朝天鸣枪来庆祝婚礼，结果婚礼变葬礼的惨剧。而且朝天开枪，天上落下来不只有流弹，搞不好还会落下个大炸弹呢，在阿富汗和伊拉克，美国驻军就曾将村民婚礼朝天鸣枪庆贺误判为敌袭，发动猛烈轰炸，造成大量平民伤亡。我国内蒙古05年也发生过类似的事故，宁城县气象局用高射炮发射防雹弹来预防冰雹灾害，结果一枚未爆的哑弹从高空掉落穿破一农民家的屋顶，砸碎死者的头部并钻进腹腔，一开始当地人都以为死者是被雷劈了，直到尸体火化时突然爆炸，警察在骨灰里发现大量金属弹片才查明死因。为避免类似的悲剧再次发生，我国已投入使用新型防雹增雨弹，发射后一旦出现哑弹，就会自动弹开自身的降落伞，缓慢降落到地面，将弹头动能降到最低。
伊拉克武装部队
说完倾斜射击时的弹头动能，咱们再说说射击角度对射程的影响。枪械在真空中以45度射击可达到最大射程，现实中因空气阻力，枪械达到最大射程时枪口角度一般不超过35度，超过最大射程角，弹道最高点增加，射程反而变短。例如AK47有效射程只有400米，但枪口仰角11°54′时射程却可达到2197米的最远射程。而56式半自动步枪枪口初速比AK47更高，最远射程可达2479米，且在1500米以内都具有杀伤力。16年南京邮电大学某学生军训时射击56式半自动步枪，结果击伤了1300米外一居民区内散步的女士。为防止流弹飞出，学校在靶场正后方设置了靶壕和很高的靶墙，靶墙上设有轮胎、钢板等阻挡设施，而靶场侧面的围墙则为正常高度。这次枪击事故就是学生射击偏离角度过大，流弹从靶场侧面围墙飞出所致。南京邮电大学负责人表示，年的军训季，在附近小区已发生过多次流弹伤人、伤物事件，全是学生射击脱靶所致，最后都是学校赔偿善后。
一战中的马克沁机枪
虽然盲狙只存在于游戏中，但步枪机枪利用射击角度来盲射在过去却是一种非常流行的“枪斗术”，一战前有步枪间瞄概略齐射战术，一战时有马克沁机枪超越射击术，点兵君重点说说超越射击，这种射术是将马克沁机枪安置在堑壕或掩体后面，然后像迫击炮一样曲射。马克沁机枪射程高达4公里，可以事先通过枪械射表算出命中目标区域所需的射击角度，一旦侦察员发现敌人处于此区域，便通知机枪手盲射，水冷装置可以让马克沁机枪连续射击很长时间，几个机枪组就能一口气打出上万发子弹，流弹就像雨点一般从天上掉下并呈椭圆形散布，步兵的匍匐、卧倒在这种战术面前毫无效果，就算是躲近堑壕中依然会被从天而降的子弹打到，超越射击区域内几乎没什么地方是安全的了。索姆河绞肉机战役中，德国人动用了几千挺机枪配合炮兵，采用集群超越射击的战术，疯狂杀伤了近79万英法联军。
说了这么多流弹引发的血案，但流的全是别人的血，咱们再来点刺激的，看看美国飞行员是如何用流弹击落自己的。1956年，美国飞行员驾驶F11F-1“虎”式战斗机在俯冲训练中打了两个长点射，20毫米炮弹初速高但存速却不好，很快就在空气中减速，而战斗机却在不断加速，最终战斗机和炮弹相撞，然后炮弹爆炸了，“虎”式战斗机悲催地成为史上第一个被自己的炮弹击落的战斗机。从此以后，美国空军和海军规定，在超音速飞行中开炮后必须转弯，避开自己的炮弹。事情到这里并没有结束，只能说强中自有强中手。十几年后，美帝又出了一个用导弹把自己击落的飞行员。不得不服美国人城会玩，疯来连自己都打，就问你怕不怕？
最后友情提示，流弹有风险，射击需谨慎，瞄准了再打，别老朝天开枪，就算砸不到自己，砸到小朋友怎么办？就算砸不到小朋友，砸到花花草草也是不对的！
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朝天开枪的子弹都去哪了？落下子弹能打死人吗？看完傻眼了！
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内容加载中45m；在发射6颗子弹以后，所发射的任意一颗子弹在空中可遇到10颗子弹从它旁边擦过．（g取10m/s2，空气阻力不计）
第五部分 动量和能量第一讲 基本知识介绍一、冲量和动量1、冲力（F—t图象特征）→&冲量。冲量定义、物理意义冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）2、动量的定义动量矢量性与运算二、动量定理1、定理的基本形式与表达2、分方向的表达式：ΣIx&=ΔPx&，ΣIy&=ΔPy&…3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即=ΣF外&三、动量守恒定律1、定律、矢量性2、条件a、原始条件与等效b、近似条件c、某个方向上满足a或b，可在此方向应用动量守恒定律四、功和能1、功的定义、标量性，功在F—S图象中的意义2、功率，定义求法和推论求法3、能的概念、能的转化和守恒定律4、功的求法a、恒力的功：W = FScosα= FSF&= FS&Sb、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点五、动能、动能定理1、动能（平动动能）2、动能定理a、ΣW的两种理解b、动能定理的广泛适用性六、机械能守恒1、势能a、保守力与耗散力（非保守力）→&势能（定义：ΔEp&=&－W保）b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达2、机械能3、机械能守恒定律a、定律内容b、条件与拓展条件（注意系统划分）c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。七、碰撞与恢复系数1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。2、三种典型的碰撞a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足——m1v10&+ m2v20&= m1v1&+ m2v2&m1&+&&m2&=&&m1&+&&m2解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：v1&=&，& v2&=&对于结果的讨论：①当m1&= m2&时，v1&= v20&，v2&= v10&，称为“交换速度”；②当m1&＜＜&m2&，且v20&= 0时，v1&≈&－v10&，v2&≈&0&，小物碰大物，原速率返回；③当m1&＞＞&m2&，且v20&= 0时，v1&≈&v10&，v2&≈&2v10&，b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有v1&= v2&=&3、恢复系数：碰后分离速度（v2&－&v1）与碰前接近速度（v10&－&v20）的比值，即：e =&&。根据“碰撞的基本特征”，0&≤&e&≤&1&。当e = 0&，碰撞为完全非弹性；当0&＜&e&＜&1&，碰撞为非弹性；当e = 1&，碰撞为弹性。八、“广义碰撞”——物体的相互作用1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈，但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时，碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v1&= v10&，v2&= v20的解。2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE =&ΔE内&= f滑·S相&，其中S相指相对路程。第二讲 重要模型与专题一、动量定理还是动能定理？物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m ，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾。先用动量定理推论解题。取一段时间Δt&，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP&，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。&=&&=&&=&&=&&= nmSv2如果用动能定理，能不能解题呢？同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移，引擎推力须做功W =&x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔEk为零，所以：W =&ΔMv2即：vΔt =&（n m S·vΔt）v2得到：&=&nmSv2两个结果不一致，不可能都是正确的。分析动能定理的解题，我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中，由于I =&t&，由此推出的&=&必然是飞船对垃圾的平均推力，再对飞船用平衡条件，的大小就是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑，是正确的。（学生活动）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力，试求手的拉力F 。解：解题思路和上面完全相同。答：二、动量定理的分方向应用物理情形：三个质点A、B和C ，质量分别为m1&、m2和m3&，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上，如图2所示，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I ，方向沿BC ，试求质点A开始运动的速度。模型分析：首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对三个质点均可用动量定理，但是，B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂，可采用分方向的形式表达。其三，由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。下面具体看解题过程——绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I1&，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I2&；设A获得速度v1（由于A受合冲量只有I1&,方向沿AB ，故v1的反向沿AB），设B获得速度v2（由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB ，也不沿BC方向，可设v2与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v3（合冲量+沿BC方向，故v3沿BC方向）。对A用动量定理，有：I1&= m1&v1& & & & & & & & & & & & & & & & &①B的动量定理是一个矢量方程：+= m2&，可化为两个分方向的标量式，即：I2cosα－I1&= m2&v2cosβ & & & & & & & & &②I2sinα= m2&v2sinβ & & & & & & & & & & & ③质点C的动量定理方程为：I － I2&= m3&v3& & & & & & & & & & & & & &④AB绳不可伸长，必有v1&= v2cosβ & & & & & ⑤BC绳不可伸长，必有v2cos(β－α) = v3& & &⑥六个方程解六个未知量（I1&、I2&、v1&、v2&、v3&、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——1、先用⑤⑥式消掉v2&、v3&，使六个一级式变成四个二级式：I1&= m1&v1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &⑴I2cosα－I1&= m2&v1& & & & & & & & & & & & & & & & ⑵I2sinα= m2&v1&tgβ & & & & & & & & & & & & & & & &⑶I － I2&= m3&v1(cosα+ sinαtgβ) & & & & & & & & &⑷2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：I1&= m1&v1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &㈠I2cosα－I1&= m2&v1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ㈡I = m3&v1&cosα+ I2& & & & & & & & & & && & & & & & &&&㈢3、最后对㈠㈡㈢式消I1&、I2&，解v1就方便多了。结果为：v1&=&（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v2的方位角β等于多少？解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I1&，得I2的表达式，将I2的表达式代入⑶就行了。答：β= arc tg（）。三、动量守恒中的相对运动问题物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v ，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v ，直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大？模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着，本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系，这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”，比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。设车和人的质量为M ，每个铅球的质量为m 。由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V1&第二过程获得的速度大小为V2&。第一过程，由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N个球动量守恒。0 = Nm(-v) + MV1&得：V1&=&v & & & & & & & & & & & & & & & & & &①第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u1&。值得注意的是，根据运动合成法则，铅球对地的速度并不是（-v），而是（-v + u1）。它们动量守恒方程为：0 = m(-v + u1) +〔M +(N-1)m〕u1得：u1&=第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u2&。它们动量守恒方程为：〔M+(N-1)m〕u1&= m(-v + u2) +〔M+(N-2)m〕u2&得：u2&=&&+&第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u3&。铅球对地的速度是（-v + u3）。它们动量守恒方程为：〔M+(N-2)m〕u2&= m(-v + u3) +〔M+(N-3)m〕u3得：u3&=&+&&+&以此类推（过程注意：先找uN和uN-1关系，再看uN和v的关系，不要急于化简通分）……，uN的通式已经可以找出：V2&= uN&=&&+&&+&&+ … +&即：V2&=&& & & & & & & & & & & & & & & &②我们再将①式改写成：V1&=&& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ①′不难发现，①′式和②式都有N项，每项的分子都相同，但①′式中每项的分母都比②式中的分母小，所以有：V1&＞ V2&。结论：第一过程使车子获得的速度较大。（学生活动）思考：质量为M的车上，有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程，N个人同时跳下；第二过程，N个人依次跳下。试问：哪一次车子获得的速度较大？解：第二过程结论和上面的模型完全相同，第一过程结论为V1&=&&。答：第二过程获得速度大。四、反冲运动中的一个重要定式物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当人中途停下休息，船有速度吗？人的全程位移大小是L吗？本系统选船为参照，动量守恒吗？模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系，需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾），人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S =&t 。为寻求时间t ，则要抓人和船的位移约束关系。对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V），令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算，有：0 = MV + m(-v)&即：mv = MV&由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。而且不难推知，对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系。即：m&= M& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ①设全程的时间为t ，乘入①式两边，得：mt = Mt设s和S分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：m s = M S & & & & ②受船长L的约束，s和S具有关系：s + S = L & & & & & & & & & & & & & & & & & ③解②、③可得：船的移动距离 S =L（应用动量守恒解题时，也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式。时间允许的话，可以做一个对比介绍。）另解：质心运动定律人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移。先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据力矩平衡知识，得：x =&），又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的。弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌。（学生活动）思考：如图5所示，在无风的天空，人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为m和M ，此时人离地面高h 。现在人欲沿悬索下降到地面，试问：要人充分安全地着地，绳索至少要多长？解：和模型几乎完全相同，此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。答：h 。（学生活动）思考：如图6所示，两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的顶端。将它们无初速释放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知大、小斜面的质量分别为M和m ，底边长分别为a和b ，试求：小斜面滑到底端时，大斜面后退的距离。解：水平方向动量守恒。解题过程从略。答：（a－b）。进阶应用：如图7所示，一个质量为M ，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑。试求：质点离开球面以前的轨迹。解说：质点下滑，半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒，故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。为寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标。由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示。由“定式”，易得：x =&Rsinθ & & & & & & & & & ①而由图知：y = Rcosθ & & & & & & & &②不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质，我们可以将参数θ消掉，使它们成为：&+&&= 1这样，特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R的椭圆。五、功的定义式中S怎么取值？在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例。1、如图9所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人是否做了功？2、在本“部分”第3页图1的模型中，求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移？3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是否做功？4、如图10所示，双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功？在以上四个事例中，S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移，只有第2、3例是做功的，而且，尽管第2例都做了功，数字并不相同。所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点。第1例，手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。S宜取作用点的位移；第2例，求拉力的功，在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；第3例，楼梯不需要输出任何能量，不做功，S取作用点位移；第4例，气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功，S取作用点位移。但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例，人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量，S取质心位移。（第3例的分析暂时延后。）以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？原来，功的概念有广义和狭义之分。在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度。一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。而且，我们不难归纳：求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移。那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议：&1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。当然，求解功地问题时，还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例，就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功，S取质心位移，是做了功，但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示），人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举，等效为弹簧将刚性物体举起。这样，我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面，人既是输出能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形。本题所求的功应理解为广义功为宜。以上四例有一些共同的特点：要么，受力物体情形比较复杂（形变，不能简单地看成一个质点。如第2、第3、第4例），要么，施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式。如第1例）。以后，当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待。（学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去，在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f ，对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时，是否可以用W = fS ？解：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移。注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S&。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）答：否。（学生活动）思考：如图12所示，人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功？解：分析同上面的“第3例”。答：否。六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合物理情形：如图13所示，直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长。质量分别为m1和m2的A、B两个有孔小球，串在杆上，且被长为L的轻绳相连。忽略两球的大小，初态时，认为它们的位置在同一高度，且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v2&。模型分析：A、B系统机械能守恒。A、B两球的瞬时速度不等，其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。（学生活动）A球的机械能是否守恒？B球的机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法分析：a、“微元法”判断两个WT的代数和为零；b、无非弹性碰撞，无摩擦，没有其它形式能的生成）？由“拓展条件”可以判断，A、B系统机械能守恒，（设末态A球的瞬时速率为v1&）过程的方程为：m2g&=&&+&& & & & & & ①在末态，绳与水平杆的瞬时夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v ，根据“第三部分”知识介绍的定式，有：v1&= v/cos30°, v2&= v/sin30°两式合并成：v1&= v2&tg30°= v2/& & &②解①、②两式，得：v2&=&七、动量和能量的综合（一）物理情形：如图14所示，两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下，使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90°时，质量为2m的小球的速度v2&。模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关系——两杆不可伸长。（学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v1（方向：水平向左），球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夹θ角斜向左），对题设过程，三球系统机械能守恒，有：mg( L-L) =&m&+&mv2&+&2m& & &①三球系统水平方向动量守恒，有：mv1&+ mvsinθ= 2mv2& & & & & & & & ②左边杆子不形变，有：v1cos45°= vcos(45°-θ) & & & & &③右边杆子不形变，有：vcos(45°+θ) = v2cos45° & & & & ④四个方程，解四个未知量（v1&、v2&、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下——1、③、④两式用v2替代v1和v ，代入②式，解θ值，得：tgθ= 1/4&2、在回到③、④两式，得：v1&=&v2&, & v =&v2&3、将v1&、v的替代式代入①式解v2即可。结果：v2&=&（学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少？解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题。答：0 、&、0 。（学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律。答：&。进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识，数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题。据运动的合成，有：&=&&+&&=&&-&其中必然是沿地面向左的，为了书写方便，我们设其大小为v2&；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v相&。根据矢量减法的三角形法则，可以得到（设大小为v1）的示意图，如图16所示。同时，我们将v1的x、y分量v1x和v1y也描绘在图中。由图可得：v1y&=（v2&+ v1x）tgθ & & & & & & & & & & & & & & & & ①质点和半球系统水平方向动量守恒，有：Mv2&= mv1x& & & & & & & & &②对题设过程，质点和半球系统机械能守恒，有：mgR(1-cosθ) =&M&+&m&，即：mgR(1-cosθ) =&M&+&m（&+&） & & & & & & & & & & ③三个方程，解三个未知量（v2&、v1x&、v1y）是可行的，但数学运算繁复，推荐步骤如下——1、由①、②式得：v1x&=&v2&， & & & &v1y&= (tgθ) v2&&2、代入③式解v2&，得：v2&=3、由&=&&+&解v1&，得：v1&=v1的方向：和水平方向成α角，α= arctg&= arctg（）这就是最后的解。〔一个附属结果：质点相对半球的瞬时角速度 ω =&&=&&。〕八、动量和能量的综合（二）物理情形：如图17所示，在光滑的水平面上，质量为M = 1 kg的平板车左端放有质量为m = 2 kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 。开始时，车和铁块以共同速度v = 6 m/s向右运动，车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的。车身足够长，使铁块不能和墙相碰。重力加速度g = 10 m/s2&，试求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程。模型分析：本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦生热定式的应用。由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析，综合程度较高。由于车与墙壁的作用时短促而激烈的，而铁块和车的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时，通常处理成“让短时作用完毕后，长时作用才开始”（这样可以使问题简化）。在此处，车与墙壁碰撞时，可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完了之后，才开始与铁块作用。规定向右为正向，将矢量运算化为代数运算。车第一次碰墙后，车速变为－v ，然后与速度仍为v的铁块作用，动量守恒，作用完毕后，共同速度v1&=&&=&&，因方向为正，必朝墙运动。（学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙？动力学分析：车离墙的最大位移S =&,反向加速的位移S′=&，其中a = a1&=&，故S′＜ S ，所以，车碰墙之前，必然已和铁块达到共同速度v1&。车第二次碰墙后，车速变为－v1&，然后与速度仍为v1的铁块作用，动量守恒，作用完毕后，共同速度v2&=&&=&&=&，因方向为正，必朝墙运动。车第三次碰墙，……共同速度v3&=&&=&，朝墙运动。……以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况——铁块：匀减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右……平板车：匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右……显然，只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙，所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角（总的末动能为零）。1、全程能量关系：对铁块和车系统，－ΔEk&=ΔE内&，且，ΔE内&= f滑&S相&，即：（m + M）v2&= μmg·S相&代入数字得：S相&= 5.4 m2、平板车向右运动时比较复杂，只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是匀减速的，故第一次：S1&=&第二次：S2&=&&=&第三次：S3&=&&=&……n次碰墙的总路程是：ΣS = 2（ S1&+ S2&+ S3&+ … + Sn&）=&（ 1 +&&+&&+ … +&&）& =&（ 1 +&&+&&+ … +&&）碰墙次数n→∞，代入其它数字，得：ΣS = 4.05 m（学生活动）质量为M 、程度为L的木板固定在光滑水平面上，另一个质量为m的滑块以水平初速v0冲上木板，恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定（但无初速），让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能从另一端滑下，其初速度应为多少？解：由第一过程，得滑动摩擦力f =&&。第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端，和木板具有共同速度，设为v ），设新的初速度为m&=（ m + M ）vm&-&（ m + M ）v2&= fL解以上三式即可。答：=&v0&。第三讲 典型例题解析教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社，2002年8月第一版。例题选讲针对“教材”第七、第八章的部分例题和习题。
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