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【新步步高】2016
来源：gkstk &责任编辑:小易 &时间: 4:29:49
=================相关文字版=================4．3　简单线性规划的应用
明目标、知重点　1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的常见类型.3.会求一些简单的非线性函数的最值．
1．用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)确定线性约束条件；
(2)确定线性目标函数；
(3)画出可行域；
(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解．
2．在线性规划的实际问题中的题型
主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
探究点一　生活实际中的线性规划问题
思考　采取什么方法，能比较容易的从已知条件中列出线性约束条件？
答　要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确目标函数和约束条件是有相当难度的，要解决这个难点关键是通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理．
例1　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解　将已知数据列成下表：
原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位 费用/元
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，
那么目标函数为z＝3x＋2y，
作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28 (g)，乙种原料3×10＝30 (g)，才能既满足营养，又使费用最省．
反思与感悟　解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
(1)作图――画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；
(2)平移――将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
(3)求值――解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
跟踪训练1　某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
答案　20　24
解析　设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意得约束条件为
目标函数为S＝7x＋12y，可行域如图所示，
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的截距最大，S取最大值．
解方程组，得A(20,24)，
故当x＝20，y＝24时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
例2　某厂生产一种产品，其成本为27元/kg，售价为50元/kg，生产中，每千克产品产生0.3 m3的污水，污水有两种排放方式：
方式一：直接排入河流．
方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有85%.污水处理站最大处理能力是0.9 m3/h，处理污水的成本是5元/m3.
另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元/m3，且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225 m3/h，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每时净收益最大？
思考　如果设该厂生产的产量为x kg/h，直接排入河流的污水为y m2/h，每小时净收益为z元，如何用x，y表示：
(1)污水处理费用？
(2)环保部门要征收的排污费？
(3)污水处理能力有限？
(4)允许排入河流的污水量有限？
(5)目标函数？(写出例题的解题过程)
答　(1)5(0.3x－y)；(2)17.6[0.15(0.3x－y)＋y]；(3)0≤0.3x－y≤0.9；(4)y＋(1－0.85)(0.3x－y)≤0.225；(5)z＝50x－27x－5(0.3x－y)－17.6[0.15(0.3x－y)＋y]＝20.708x－9.96y.
解　根据题意，本问题可归纳为
在约束条件下，求目标函数z＝20.708x－9.96y的最大值．
作出可行域，如图所示，
令z＝0作直线l0：20.708x－9.96y＝0，由图形可以看出，平移直线l0，在可行域中的顶点A处，z取得最大值．
解方程组得A(3.3,0.09)．
故该厂生产该产品3.3 kg/h，直接排入河流的污水为0.09 m3/h时，可使每小时净收益最大，最大值20.708×3.3－9.96×0.9＝67.44(元)．
答　该厂应安排生产该产品3.3 kg/h，直接排入河流的污水为0.09 m3/h时，其每小时净收益最大．
反思与感悟　在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．
跟踪训练2　要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解　设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
.作出可行域如图(阴影部分)
目标函数为z＝x＋y，作出一族平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点M，直线方程为x＋y＝.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点M不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．
答　要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
探究点二　非线性目标函数的最值问题
问题　一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如：
①z＝x2＋y2表示可行域中的点(x，y)与原点(0,0)距离的平方；
②z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域中的点(x，y)与点(a，b)距离的平方；
③z＝表示可行域内的点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；
④z＝ (ac≠0)，可以先变形为z＝?，可知z表示可行域内的点(x，y)与定点连线斜率的倍；
⑤z＝|ax＋by＋c| (a2＋b2≠0)，可以化为z＝?的形式，可知z表示可行域内的点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的倍．
例3　已知实数x，y满足
(1)试求z＝的最大值和最小值；
(2)试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．
解　(1)由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)，∴zmax＝kMB＝3；
zmin＝kMC＝.
∴z的最大值为3，最小值为.
(2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．
故zmax＝|OA|2＝13，zmin＝2＝2＝.
反思与感悟　当斜率k，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．
跟踪训练3　已知x，y满足的约束条件同例题，求下列函数z的最值：
(1)z＝；(2)z＝|x＋2y－4|.
解　(1)将z＝化为z＝，问题化归为求可行域内的点M(x，y)与点P(－2，－1)连线斜率的最值．
由图(1)可知zmin＝kPB＝，zmax＝kPC＝.
(2)将目标函数化为z＝?，问题化归为求可行域内的点(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离的倍的最大值．观察图(2)，点C(0,2)到直线x＋2y－4＝0的距离最小，为0；点A(2,3)到直线x＋2y－4＝0的距离最大，为.所以zmax＝4，zmin＝0.
1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(　　)
解析　设购买软件x片，磁盘y盒．则，
画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．
落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．即有7种选购方式．
2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为(　　)
解析　画出不等式组对应的可行域如右图所示：
易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，
C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
3．若x、y满足则z＝的最大值是________．
解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z＝可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率．由图可知z＝的最大值为kAB＝3.
4．已知实数x，y满足则z＝x2＋y2的最小值为____．
解析　实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，
故zmin＝2＝.
[呈重点、现规律]
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
一、基础过关
1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　　)
A．2 000元
B．2 200元
C．2 400元
D．2 800元
解析　设需使用甲型货车x辆，http://www.xue63.com/===================相关推荐===================
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商院案例：步步高8亿广告费疯狂投放背后
来源：　 14:20:02　【】　
　　步步高(OPPO)用每年8亿元广告费的疯狂投放，验证了一个高溢价投放的内在逻辑。但这种模式能否可持续发展，将取决于其产品的受欢迎程度和持久魅力。
　　当孟非每周无数次说出“欢迎收看步步高VIVO智能手机非诚勿扰”，另一边，何炅也会带着他的快乐家族喊出“欢迎来到OPPO Real快乐大本营”。
　　事实上，步步高和OPPO同出一门，他们都是广东步步高电子工业有限公司旗下品牌。
　　无论你何时打开电视，你总会有意无意地看到步步高和OPPO的广告。这样的惊骇不仅仅在电视上，上班走进地铁，你会看到步步高和OPPO的户外广告;上网打开百度和腾讯，你会看到其网络广告;闲暇时翻开一本《读者》或《瑞丽》你会看到步步高和OPPO的平面广告;2012年中国最火的两家地方电视台――江苏卫视和湖南卫视的跨年演唱会，步步高和OPPO更是同台打擂，一时蔚为壮观。
　　我们已处在一个被步步高和OPPO包围的场中。
　　当商业逐渐回归理性，对商业价值和模式的探索愈加求证的时候，一个并不拥有核心技术的企业，用10年前惯用的大砍大杀方式，却依旧能游刃有余，沿袭至今。这究竟是中国式企业生存的独特方式，还是对商业规则的颠覆和嘲讽?
　　史上最疯狂的投放
　　步步高和OPPO的广告投放堪称疯狂。国内所有收视率最高的电视节目――湖南卫视的《快乐大本营》、《天天向上》，江苏卫视的《非诚勿扰》、《老公看你的》，东方卫视的《中国达人秀》，浙江卫视的《我是大评委》，天津卫视的《非你莫属》，央视CCTV5体育频道的法网和美国职业篮球总决赛等，被步步高和OPPO的广告一网打尽。另外，与这两个品牌相关的大手笔活动还有：冠名“2011快乐女生”、成为NBA官方市场合作伙伴、与全球音乐台 MTV结成战略合作伙伴……任意一项单列，都足以让其他企业“望其项背”。
　　一个国产手机制造商，既非国企垄断大鳄，也非国际品牌强人，竟然在中国电视广告投放领域独领风骚。其广告的投放密度、播放频率、知名度、投放对象的影响力、以及赚取眼球的效果，堪比中国移动、可口可乐、联想、宝洁这样的商业巨擘;在电视娱乐节目领域，更是唯我独尊的王者，一掷千金又显得潇洒自若，这份闲庭信步让所有对手都不寒而栗，望之却步。
　　与广告上的强势和凶猛形成反差，步步高这家企业在外界可谓神秘而低调。其创始人段永平2001年移民海外，媒体难觅踪影。企业中据传不设公关部，门户网站上没有留下任何电话号码。
　　疯狂的背后，是怎样一笔可怕的费用?本刊记者为此做了一番调查。
　　其投放费用大致如下：《非诚勿扰》1.6亿元，《快乐大本营》1.13亿元，《中国达人秀》8000万元，《快乐女声》7000万元，江苏卫视和湖南卫视的两台跨年演唱会共8000万元，另外还有浙江卫视《我是大评委》、天津卫视《非你莫属》、CCTV1黄金剧场、CCTV5 NBA直播以及NBA官方市场合作伙伴，这几部分费用分别在万元之间……
　　除了电视节目的直接投放费用，步步高为两个品牌邀请的广告代言人同样地位显赫，费用不菲：步步高音乐手机代言人宋慧乔代言费累计已超过1500 万美元，OPPO Find智能手机代言人莱昂纳多坐收500万美元，为这两个品牌代言过的还有金敏智、鞠知延和莉顿 梅斯特这样的重量级明星。
　　初略计算，步步高每年投放在广告宣传上的费用平均8亿元人民币，放眼国内手机企业，不仅空前，恐怕也会绝后。
　　巨额广告投入凭什么来支撑?步步高还能火多久?当越来越多的企业号称将把更多的精力花在创新和研发上，当以创新见长的苹果引领的智能手机浪潮在全球横行无阻之时，步步高无疑正在挑战一个悖论，这种被认为过时的烧钱式营销，为何依旧能成为一种模式，并且骄傲地生存着。
　　此时，在各大电视台黄金时段里闪烁的，依旧是那支耗资千万，在巴黎街头拍摄的香艳而略带神秘的OPPO手机广告――Find me。
　　――很显然，这是一个独特而值得咀嚼的企业。
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