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自动控制原理试题2015
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离散系统的稳定性与稳态误差
作者:管理员11
摘要:离散系统的稳定性与稳态误差 正如在线性连续系统分析中的情况一样，稳定性和稳态误差也是线性定常离散系统分析的 重要内容。本节主要讨论如何在z域和域中分析离散系统的稳定性，同时给出计算离散系统 在采样瞬时稳态误差的方法。 为了把连续系统在s平面上分
离散系统的稳定性与稳态误差
&&& 正如在线性连续系统分析中的情况一样，稳定性和稳态误差也是线性定常离散系统分析的
重要内容。本节主要讨论如何在z域和&域中分析离散系统的稳定性，同时给出计算离散系统
在采样瞬时稳态误差的方法。
&&& 为了把连续系统在s平面上分析稳定性的结果移植到在z平面上分析离散系统的稳定性，
首先需要研究s平面与z平面的映射关系。
1．s域到z域的映射
&&& 在2变换定义中，z=esrT给出了s域到z域的关系。s域中的任意点可表示为s=&+j&，映射
&&& 令&=0，相当于取s平面的虚轴，当&从-&变到&时，由式(7-84)知，映射到z平面的轨迹
是以原点为圆心的单位圆。只是当s平面上的点沿虚轴从-&移到&时，z平面上的相应点已经
沿着单位圆转过了无穷多圈。这是因为当s平面上的点沿虚轴从-&s/2移动到&s/2时，其中&s
为采样角频率,z平面上的相应点沿单位圆从-&逆时针变化到&(见式(7-84)中&z计算式），正
好转了一圈；而当s平面上的点在虚轴上从&s/2移动到3&s／2时，z平面上的相应点又将逆时针
沿单位圆转过一圈。以此类推，如图7-34所示。由图可见，可以把s平面划分为无穷多条平行于
实轴的周期带，其中从-&s／2到&s/2的周期带称为主要带，其余的周期带叫做次要带。为了研究
s平面上的主要带在z平面上的映射，可分以下几种情况讨论。
&&& (1)等&线映射
&&& s平面上的等&垂线，映射到z平面上的轨迹，是以原点为圆心，以丨z丨=e&T为半径的圆，其
中丁为采样周期，如图7-35所示。由于5平面上的虚轴映射为z平面上的单位圆，所以左半s平
面上的等&线映射为z平面上的同心圆，在单位圆内；右半s平面上的等&线映射为z平面上的
同心圆，在单位圆外。
&&& (2)等&线映射
&&& 在特定采样周期T情况下，由式(7-84)可知，s平面上的等&水平线，映射到z平面上的轨
迹，是一簇从原点出发的射线，其相角&z=&T从正实轴计量，如图7-36所示。由图可见，s平面
上&=&s/2水平线，在z平面上正好映射为负实轴。
&&& (3)等&线映射
&&& s平面上的等&线可用下式描述：
&&& s=-&tan&+j&
其中，&为&线与虚轴之间的夹角。于是
由式(7-85)可见，除&=0&和&=90&外，
当&为常数时，左半s平面上的等&线，映射
为z平面上单位圆内一簇收敛的对数螺旋
线，其起点为z平面上正实轴的1处，终点为
z平面的原点。图7-37表示了&=30&的等&
线映射关系。
&&& 有了以上映射关系，现在可以讨论s平面
上周期带在z平面上的映射。设s平面上的主
要带如图7-38(a)所示，通过z=esT变换，映射
为z平面上的单位圆及单位圆内的负实轴，
如图7-38(b)所示。类似地，由于
因此s平面上所有的次要带，在z平面上均映
射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴。
2．离散系统稳定的充分必要条件
&&& 定义& 若离散系统在有界输入序列作用
下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统
是稳定的。
&&& 众所周知，在线性定常连续系统中，系统
稳定的充分必要条件是指：系统齐次微分方
程的解是收敛的，或者系统特征方程式的根
均具有负实部，或者系统传递函数的极点均位于左半s平面。连续系统这种在时域或s域描述系
统稳定性的方法同样可以推广到离散系统。对于线性定常离散系统，时域中的数学模型是线性定
常差分方程，z域中的数学模型是脉冲传递函数，因此线性定常离散系统稳定的充分必要条件，
可以从以下两方面进行研究。
&&& (1)时域中离散系统稳定的充分必要条件
&&& 设线性定常差分方程如式(7-54)所示，即
不失一般性，设特征方程(7-76)的根或闭环脉冲传递函数(7-75)的极点为各不相同的zl，z2，&，
zn。由s域到z域的映射关系知：s左半平面映射为z平面上的单位圆内的区域，对应稳定区域；
s右半平面映射为z平面上的单位圆外的区域，对应不稳定区域．s平面上的虚轴，映射为z平面
上的单位圆周，对应临界稳定情况。因此，在z域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：
&&& 当且仅当离散系统特征方程(7-76)的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有
特征根的模均小于1，即丨zi丨&1(i=l，2，&，n），相应的线性定常离散系统是稳定的。
&&& 应当指出：上述稳定条件虽然是从特征方程无重特征根情况下推导出来的，但是对于有重
根的情况，也是正确的。此外，在现实系统中，不存在临界稳定情况，设若丨zi丨=1或丨&丨=1，在经
典控制理论中，系统也属于不稳定范畴。
&&& 例7-26 设一离散系统可用下列差分方程描述：
&&& c(n+1)-ac(n)=br(n),& c(0)&0
试分析系统稳定的充分必要条件。
&&& 例7-27 设离散系统如图7-26所示，其中G(s)=10/s(s+l)，H(s)=1，T=1。试分析该系
统的稳定性。
&&& 解 由已知G(s)可求出开环脉冲传递函效
&&& 应当指出，当例7-27中无采样器时，二阶连续系统总是稳定的，但是引入采样器后，二阶离
散系统却有可能变得不稳定，这说明采样器的引入一般会降低系统的稳定程度。如果提高采样频
率（减小采样周期），或者降低开环增益，离散系统的稳定性将得到改善。
&&& 当离散系统阶数较高时，直接求解差分方程或z特征方程的根总是不方便的，所以人们还是
希望有间接的稳定判据可供利用，这对于研究离散系统结构、参数、采样周期等对于稳定性的影
响，也是必要的。
3．离散系统的稳定性判据
&&& 连续系统的劳斯。赫尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定
性的。这种对特征方程系数和符号以及系数之间满足某些关系的判据，实质是判断系统特征方程
的根是否都在左半s平面。但是，在离散系统中需要判断系统特征方程的根是否都在z平面上的
单位圆内，因此，连续系统中的劳斯判据不能直接套用，必须引入另一种z域到&域的线性变
换，使z平面上的单位圆内区域，映射成&平面上的左半平面，这种新的坐标变换，称为双线性
变换，或称为&变换。
&&& (1)&变换与劳斯稳定判据
&&& 如果令
由于上式的分母(x-l)²+y²始终为正，因此u=0等价为x²+y²=1，表明&平面的虚轴对应于
z平面上的单位圆周;u&0等价为x²+y²&l，表明左半&平面对应于z平面上单位圆内的区
域；u&0等价为x²+y²&l，表明右半&平面对应于z平面上单位圆外的区域，z平面和&平面
的这种对应关系，如图7-39所示。
&&& 由&变换可知，通过式(7-87)，可将线性
定常离散系统在z平面上的特征方程1+GH
(z)=0，转换为在w平面上的特征方程1+
GH(w)=0。于是，离散系统稳定的充分必要
条件，由特征方程1+GH (z)=0的所有根位
于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+
GH（&）=0的所有根位于左半埘平面。这后
一种情况正好与在s平面上应用劳斯稳定判
据的情况一样，所以根据&域中的特征方程
& 系数，可以直接应用劳斯表判断离散系统的稳定性，并相应称为&域中的劳斯稳定判据。
&&& 例7-28 设闭环离散系统如图7-40所示，其中采样周期T=0.1s，试求系统稳定时K的临
&&& 对于线性定常离散系统，除了采用&变换，在&域中利用劳斯判据判断系统的稳定性外，还
可以在z域中应用朱利判据判断离散系统的稳定性。
&&& (2)朱利稳定判据
&&& 朱利判据是直接在z域内应用的稳定性判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据
是根据离散系统的闭环特征方程D(z)=0的系数，判别其根是否位于z平面上的单位圆内，从
而判断该离散系统是否稳定。
&&& 设离散系统，z阶闭环特征方程可以写为
&&& D(z)=a0+a1z+a2z²+&+anz的n次方=0，&&& an&0
利用特征方程的系数，按照下述方法构造(2n-3)行、(n+l)列朱利阵列，见表7-4。
&&& 在朱利阵列中，第2k+2行各元，是2k十1行各元的反序排列。从第三行起，阵列中各元的定
4．采样周期与开环增益对稳定性的影响
&&& 众所周知，连续系统的稳定性取决于系统的开环增益足、系统的零极点分布和传输延迟等
因素。但是，影响离散系统稳定性的因索，除与连续系统相同的上述因素外，还有采样周期T的
数值。先看一个具体的例子。
&&& 例7-30 设有零阶保持器的离散系统如图7-41
所示，试求：
&&& 1)当采样周期T分别为1s和0.5s时，系统的
临界开环增益Kc；
&&& 2)当r(t)=l(t)，K=1，T分别为0.0s，1s，2s,
4s时，系统的输出响应c(kT)。
& 由例可见，K与T对离散系统稳定性有如下影响：
& 1)当采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定。
&&& 2)当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均
不利，甚至可使系统失去稳定性。
5．离散系统的稳态误差
&&& 在连续系统中，稳态误差的计算可以利用两种方法进行：一种是建立在拉氏变换终值定理
基础上的计算方法，可以求出系统的稳态误差}另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系
数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。这两种计算稳态误差的方法，在一定条件下都可以推
广到离散系统，
&&& 由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，所以误差脉冲传递函数&c(z)也给不出一般的计
算公式。离散系统的稳态误差需要针对不同形式的
离散系统来求取。这里仅介绍利用z变换的终值定
理方法。求取误差采样的离散系统在采样瞬时的稳
&&& 设单位反馈误差采样系统如图7-43所示，其
中G(s)为连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误
差信号，e*(t)为系统采样误差信号，其z变换函数为
为系统误差脉冲传递函数。
&&& 如果&e(z)的极点全部位于z平面上的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用z变换的终
值定理求出采样瞬时的稳态误差
&&& 上式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入
序列的形式及幅值有关。除此以外，由于G(z)还与采样周期T有关，以及多数的典型输入R(z)也
与T有关，因此离散系统的稳态误差数值与采样周期的选取也有关。
&&& 例7-31 设离散系统如图7-43所示，其中G(s)=1/s(0.ls+l)，T=0.1s，输入连续信号r(t)
分别为l(t)和t，试求离散系统相应的稳态误差。
&&& 解 不难求出G(s)相应的z变换为
&&& 如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者希望求出离散系统在扰动作用下的
稳定误差，只要求出系统误差的z变换函数E(z)或En（z)，在离散系统稳定的前提下，同样可以
应用z变换的终值定理算出系统的稳态误差。
&&& 式(7-89)只是计算单位反馈误差采样离散系统的基本公式，当开环脉冲传递函数G(z）比较
复杂时，计算ess(&)仍有一定的计算量，因此希望把线性定常连续系统中系统型别及静态误差
系数的概念推广到线性定常离散系统，以简化稳态误差的计算过程。
6．离散系统的型别与静态误差系数
&&& 在讨论零阶保持器对开环系统脉冲传递函数G(z)的影响时，我们曾经指出，零阶保持器不
影响开环系统脉冲传递函数的极点。因此，开环脉冲传递函数G(z)的极点，与相应的连续传递函
数G(s)的极点是一一对应的。如果G(s)有v个s=0的极点，即v个积分环节，则由z变换算子
z=esT关系式可知，与G(s)相应的G(z)必有v个z=l的极点。在连续系统中，我们把开环传递函
数G(s)具有s=0的极点数作为划分系统型别的标准，并分别把v=0，1，2，&的系统称为0型、
I型和Ⅱ型系统等。因此，在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数G(z）具有z=1的极点数v
作为划分离散系统型别的标准，类似地把G(z)中v=0,1,2,&的系统，称为0型、I型和Ⅱ型离
散系统等。
&&& 下面讨论图7-43所示的不同型别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，并建
立离散系统静态误差系数的概念。
&&& (1)单位阶跃输入时的稳态误差
&&& 当系统输入为单位阶跃函数r(t)=1(t)时，其z变换函数
上式也是离散系统在采样瞬时的稳态位置误差，可以仿照连续系统，称为速度误差。式中
称为静态速度误差系数。因为0型系统的Kv=0，I型系统的Kv为有限值,Ⅱ型和Ⅱ型以上系统
的Kv=&，所以有如下结论：
&&& 0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度
误差，Ⅱ型和Ⅱ型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。
&&& (3)单位加速度输入时的稳态误差
&&& 当系统输入为单位加速度函数r(t)=t²／2时，其z变换函数
称为静态加速度误差系数。由于0型及I型系
统的Ka=0，Ⅱ型系统的Ka为常值，Ⅱ型及Ⅲ
型以上系统的Ka=&，因此有如下结论成立：
&&& 0型及I型离散系统不能承受单位加速度
函数作用,Ⅱ型离散系统在单位加速度函数作
用下存在加速度误差，只有Ⅲ型及Ⅱ型以上的
离散系统在单位加速度函数作用下，才不存在
采样瞬时的稳态位置误差。
&&& 不同型别单位反馈离散系统的稳态误差，
(责任编辑：laugh521521)
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& 系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系
系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系
系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系
5.3.4 系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系
对于一定的输入信号，控制系统的稳态误差与系统的类型和开环放大倍数有关。在给定了系统的开环幅频特性曲线后，即可根据其低频段的位置或斜率确定其稳态位置误差系数
、速度误差系数
和加速度误差系数
。对数幅频特性
的低频段是由因式
来表征的，对于实际的控制系统， 通常为0、1或2。
下面分析系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系及
值的确定。
1．0型系统
设0型系统的开环频率特性为
则其对数幅频特性的表达式为
－31 0型系统的对数幅频特性
据此作出对数幅频特性曲线的渐近线如图5－31所示。由图可见，0型系统的对数幅频特性低频段具有如下特点：
1） 低频段的渐近线斜率为0 dB/dec，高度为
2） 如果已知幅频特性低频段的高度，即可根据式：
的值，进而计算系统的稳态误差。
求出位置误
２、Ｉ型系统
设Ｉ型系统的频率特性为
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? 解:相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。...的关系,因 而可以通过开环频率特性求取系统闭环频率...频值的差异,反映了它们 跟随阶跃输入时稳态误差的不...特性分析系统的性能 闭环频率特性曲线的绘制 利用闭环...§5.6.2 利用开环对数幅频特性 分析系统的性能 L...低频渐近线与系统稳态误差的关系 L(?)中频段特性与...系统开环传函的型别提高,消除或减小稳态误差; B、 积分部分主要是用来改善系统...s ) 16、闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的:( D ) A、低频段...系统的开环幅相特性、对数幅频特性与闭环幅频特性存在 着密切关系。C 稳定...C 此时,稳态位置误差系数KP= K0。 4.7.2 低频段 4.7.2 低频段 ? 静态...画出对数幅频特性 曲线, 如图所示。 幅频特性及相...的关系,因 而可以通过开环频率特性求取系统闭环频率...跟随阶跃输入时稳态误差的不同,前者有稳态误差的存在...1. 低频段与稳态精度 结论:开环对数幅频特性的低频渐近线斜率越 大(指绝对值...系统开环中频段的频域指标ωc和γ反映了闭环 系统动态响应的稳定性σ和快速性...(b)所示是两个单位反馈系统的开环对数幅频特性,...s )和恒速输入下的稳态误差。 2. 比较两系统的...系统闭环传递函数 (4)系统中 H2(s)应满足什么关系...4 ,试求: s ( s ? 2) 1、绘制开环对数幅频特性曲线的渐近线。 分) (4 2、输入为 r (t ) ? 2 sin(2t ? 90 ? ) 时,闭环系统的稳态输出 c ss...模拟试题一参考答案:一、简答题 1、简述闭环系统的...满足如下指标: (1)在单位斜坡输入下的稳态误差 ...15 画未校正系统的开环对数幅频特性如图所示。 ...t 2 作用下的稳态误差 ess ? ? ,说明 ( A、 ...(共 22 分)某最小相位系统的开环对数幅频特性...稳定性与闭环零点位置无关; B、 如果闭环系统无...联系时, 称为 闭环控制系统 ;含有测速发电机的电动机速度控制系统,属于 闭环...9、开环对数幅频特性的低频段决定了系统的( A )。 A、稳态精度 B、稳定裕...