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因为涉黄。国家现在扫黄打非，“扫黄”指清理黄色书刊、黄色音像制品及歌舞娱乐场所、服务行业的色情服务，就是指扫除淫秽色情、封建迷信等危害人们身心健康、污染社会文化环境的文化垃圾。“ 打非”是指打击非法出版物，即打击违反《中华人民共和国宪法》规定的破坏社会安定、危害国家安全、煽动民族分裂的出版物，侵权盗版出版物以及其他非法出版物。扫黄打非是&文化市场管理的一个专业术语，是一项执法活动。开展扫黄打非活动是净化文化市场的一个重要手段，这项工作由“扫黄办（扫黄打非办公室）”来执行。国家新闻出版广电总局（反非司）负责组织、指导、协调全国“扫黄打非”工作，组织查处大案要案，承担全国“扫黄打非”工作小组日常工作。
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src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/7b5fa8cf4ee6d1c98f0b1_b.jpg& data-rawwidth=&476& data-rawheight=&218& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&476& data-original=&https://pic1.zhimg.com/7b5fa8cf4ee6d1c98f0b1_r.jpg&&&/figure&圣诞节马上就要来啦，圣诞节除了跟家人一起团聚之外，还要交换圣诞礼物，你的圣诞礼物准备好了吗？&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/2d041f2662eabf6c344cde1d4d1b2760_b.png& class=&content_image&&&/figure&大家知道每一年的圣诞节都是日本零食界限定款的盛会，但是呢，日本的零食类产品实在是保质期太短了，所以国内用户很难享用到，这次呢我们从日本看中了一些限量版的白色恋人礼盒和Royce圣诞套装，限量销售产生订单之后从日本直邮回来，保证到手都还在赏味期内绰绰有余。&br&&br&&br&&br&▋Top1.北海道色恋人年轮蛋糕圣诞限定款&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/0d5d7f96a3878ac51abaaeb_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&这款年轮蛋糕精选原材料，配比绝妙，加入了柔软醇厚的白色恋人巧克力，反复配比尝试，打造出了这款纯白色的年轮蛋糕，润泽柔软，风味浓郁，口感醇厚，蛋糕中没有添加奶油，而是用白色恋人白巧克力调制出的&br&&br&&br&▋Top2.北海道白色恋人鲜奶蛋糕圣诞限定礼盒&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/611ded529cce80e959d2ce_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&白色恋人经典的浓香鲜奶蛋糕，特别推出2015年圣诞节限定礼盒，每盒5枚装。&br&&br&&br&▋Top3.北海道白色恋人雪人巧克力&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/3b8dba313d_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&萌萌哒雪人娃娃巧克力，是北海道著名的巧克力制造商白色恋人特别推出的圣诞限定款，分为原味黑巧和牛奶白巧两种，用精致的礼盒包装，喜欢吃巧克力的同学一定不要错过！ 由于本商品是节日限定款，数量十分有限，手慢无哦~&br&&br&&br&▋Top4.北海道白色恋人糖果巧克力日历圣诞限定礼盒&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/72d625b4bc7a49c1aaddc_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&日历从12月1日开始 共25枚 每天打开一枚 都要惊喜 内含：巧克力11枚+饼干9枚+糖果4枚+白色恋人1枚 圣诞日历是从12月1日开始的，一直到25日，每打开一扇日历小门都会有一枚果子出现哦~&br&&br&&br&▋Top5.北海道Royce经典日历巧克力圣诞礼盒&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d1d1fee8dc70e_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&ROYC家最经典的日历巧克力，总共有24个格子，从12月1日~24日打开相应的格子就能拿到一个巧克力和或者糖果，总共有25种，42个，送给小孩子一定喜欢的圣诞礼物！有1%的几率会拿到幸运的金色圣诞老人玩具哦！！可以挂在圣诞树上装饰~&br&&br&&br&▋Top6.北海道Royce花样公园圣诞礼盒&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/fdd6b7cf8e77b07b98519_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&Royce 2015年圣诞限定款礼盒，包含35件Royce人气牛奶巧克力： 原味巧克力夹心饼干5枚 白色巧克力夹心饼干5枚 果仁夹心巧克力2个 牛奶夹心巧克力2个 原味波浪巧克力4个 牛奶波浪巧克力4个 原味薄片巧克力5个 牛奶薄片巧克力5个 果仁bar巧克力棒3根~&br&&br&&br&▋Top7.北海道Royce草莓棉花糖巧克力圣诞礼盒&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/ee450f4ce26dea24c2df14_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&萌萌哒草莓棉花糖，外面包裹着香甜的巧克力，再加上粉色的圣诞主题礼盒包装，是日本妹子们的最爱~&br&&br&&br&▋Top8.北海道Royce Pure纯正巧克力圣诞礼盒&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/32b8a5bd9_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&Royce 2015年圣诞限定款，Pure波浪牛奶巧克力礼盒 40枚入 来自北海道的纯正Royce牛奶巧克力，浓郁香醇，口感丝滑，加上萌萌的圣诞礼盒包装，是送女票、送朋友、送家人的不二选择~&br&&br&&br&▋Top10.北海道ROYCE 2015 圣诞什锦礼盒&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/6abe06f4170bcfba63eea6_b.png& class=&content_image&&&/figure&&br&&br&北海道最著名的巧克力品牌Royce又推出限量款啦！2015年圣诞节限量款！包装盒上精美的圣诞树、雪花、铃铛，拿在手里就感受到浓浓的圣诞气氛，内含13款Royce本年度人气零食，打开礼盒，醇厚香甜的巧克力味道就会扑面而来，绝对是看上一眼就想拥有的超值大礼盒！ 礼盒内共有13款Royce零食，共31块： 曲奇（圣诞袜子、圣诞树、圣诞老人各一枚） 杏仁牛奶巧克力120g 一包 原味巧克力夹心饼干4枚 白色巧克力夹心饼干4枚 水果bar巧克力棒（草莓味）3根 棉花糖夹心巧克力2枚 果仁夹心巧克力2个 草莓夹心巧克力3个 原味夹心巧克力2个 牛奶夹心巧克力2个 果仁bar巧克力棒3根 黑巧克力威化饼2个 白巧克力威化饼2个~&br&&br&&br&&br&&br&唯有友谊与爱不可辜负，想要买来送朋友怎么办？&br&1.关注『全球好东西』官方微信：zheliyouhuo&br&2.给全球好东西发送消息，消息内容『圣诞礼盒』&br&3.获得购买链接和10元代金券
圣诞节马上就要来啦，圣诞节除了跟家人一起团聚之外，还要交换圣诞礼物，你的圣诞礼物准备好了吗？大家知道每一年的圣诞节都是日本零食界限定款的盛会，但是呢，日本的零食类产品实在是保质期太短了，所以国内用户很难享用到，这次呢我们从日本看中了一些限…
&p&谢邀，单词，看这一篇就够了。&b&全文手码5000字，被收藏50000次了，所以如果你觉得这篇文章真的有用，请不要只收藏不点赞，不为自己求赞，只为认真的答案能被更多人看到。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&我在大学本科的四年间，完成了从语言“低能”到多语种使用者的转变，英语到达了雅思8分，西班牙语达到C1，日语达到中级。也因为多语言学习带来的成长和机会，参加全英大学生日语演讲比赛，受邀参加英国国会晚宴，入选联合国全球青年论坛并在联合国大会用西班牙语演讲。语言学习是我的兴趣所在，也是我改变人生轨迹的杠杆点。因为融会贯通语言学习摸索出的学习方法，我取得了学术上的一些成功，也借此获得通往世界舞台的门票。&/p&&figure&&img data-rawheight=&3024& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfa14ee7b7ffafb2477e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&4032& data-tags=&politic& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4032& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfa14ee7b7ffafb2477e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&在这篇攻略中，我总结自身之前英语，西班牙语，以及日语三门语言的单词学习经验，从&b&词汇的思维，实践细节以及如何使用词典等工具&/b&三个方面来分享高效地学习单词的打开姿势。&/p&&p&&b&（更多语言学习笔记见公众号 潇峰学长，输入“语言学习笔记”即可获取）&/b& &/p&&p&&br&&/p&&p&同系列二：怎样才能从英语很糟糕的人变成英语很厉害的人？&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/2280&/span&&span class=&invisible&&8635/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&同系列三：.有哪些提高英语听力的经验和诀窍？&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/1956&/span&&span class=&invisible&&6985/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&同系列四： 如何有效提高英语写作？&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/2072&/span&&span class=&invisible&&7479/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&同系列五：自学考雅思 7.0，要做到些什么？&br&怎么学？&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/2016&/span&&span class=&invisible&&6937/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&同系列六：有哪些易读的英文著作？&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/2432&/span&&span class=&invisible&&7190/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&同系列七：长时间坚持做一件事是怎么样的体验？&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/3845&/span&&span class=&invisible&&5082/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&同系列八： 哪一句日常用的英语很简单但是格调和品位很高？&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/2888&/span&&span class=&invisible&&9256/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&同系列九： 如何提高学术方面的英语水平，尤其是论文写作？&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/2951&/span&&span class=&invisible&&9513/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&单词是英语学习的基础，也是大家感到最头疼的地方。词汇量是语言能力的一个重要指标。太多人抱着单词书从abandon背起，背了又忘，忘了又背，到了应用的时候，手心出汗，头脑一片空白，就是出不来。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&1278& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-450a60f4c23e3d82d03ce651abec559b_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1422& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-450a60f4c23e3d82d03ce651abec559b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&思维：&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&要做到高效地学习单词，我们首先要意识到“语境”和“周期”的重要性。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&204& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6a3a5a21084dbd86a8371_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&554& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-6a3a5a21084dbd86a8371_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&语境：&/b&单词从来不是单独存在的，其所在的语境非常关键。在学习单词的时候，我们不应该把它单独剥离，机械性地记忆。&/p&&p&&br&&/p&&p&语境（context）,指的是单词所在的场景，可以是一个词汇，可以是一个句子，也可以是一篇文章，更深层的是一个文化背景。比如英式英语与美式英语的拼写，用法，发音都存在着差异。比如单词颜色美式英语是color， 在英式英语则被拼写为“colour”。英国人经说“Brilliant”和“Cheers”，美国人则经常说“Cool”和“See you”。不同的表达和用法都体现着其背后的语境。不同的句子中，单词的意思也会有所改变。比如“Blue”单单指蓝色也可以在“He looks blue”表示一种低落的情绪。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&当我们谈学习单词的时候，我们应该要时刻联系其背后的语境，在语境中学习单词，记录它在不同语境中的具体用法。&/b&只有这样，我们才能活学活用。同时，学习单单不仅仅是记住它的拼写还有意思，我们要从听说读写全方面认识它（例子在下文“精记”中会解释）。&/p&&p&&br&&/p&&p&听：我们要从语音中认识单词，要熟悉它的声音。&/p&&p&说：我们要在表达中认识单词，能够说出这个发音和恰当表达。&/p&&p&读：我们要在文章中认识单词，理解它在上下文的作用。&/p&&p&写：我们要在书面中认识单词，熟悉它的拼写。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&在拥有“语境“思维的同时，我们需要建立“周期”思维。&/b&&/p&&p&单词的学习是一个循序渐进的过程，也对应着不同的语言能力。高效学习，要了解自己整体语言学习所处在周期，有节奏感地学习，而不是揠苗助长，盲目追求词汇量。在刚入门的时候就背诵复杂词汇往往会起到反作用，与整体语言能力不协调，反而让自己的信心受挫。就像我在《英语的道与术》第一篇中提到的，英语学习是有周期的，分为&b&导入期，成长期，成熟期和衰退期&/b&，不同的阶段有着对应的特点和词汇量。&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&潇峰学长：怎样才能从英语很糟糕的人变成英语很厉害的人？&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&学习单词要结合整体英语学习周期的进度和情况来选择词汇进行学习。&b&假设对照下来，你发现自己综合来说B1阶段的英语能力使用者，但是你发现自己在工作这个场景的词汇还有很大的欠缺，那么你可以根据这个情况，集中提高工作主题的词汇以及他们在这个场景的专门表达。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&实践：&/b&讲了“语境”和“周期”思维，下面我们来谈谈实践。&/h2&&p&&br&&/p&&p&&b&1. 重复！重复！重复！是高效学习单词的关键。&/b&&/p&&p&这里主要介绍一种方法叫&br&“Spaced Repetition“，我的理解是有距离的重复。&/p&&p&&br&&/p&&p&根据Alan（1997）的著作“&Human Memory: Theory and Practice”中介绍：&/p&&p&Spaced repetition is a learning technique that incorporates increasing intervals of time between subsequent review of previously learned material in order to exploit the&br&psychological spacing effect. Alternative names include spaced rehearsal, expanding rehearsal, graduated intervals, repetition spacing, repetition scheduling, spaced retrieval and expanded retrieval.&/p&&p&&br&&/p&&p&在我实践中，&b&我会定期回顾单词库中的资料，有距离地重复，忘了就翻翻。&/b&这里要与大家熟悉并经常使用的艾宾浩斯遗忘曲线区别开来。艾宾浩斯遗忘曲线主要是基于人对无意义，无规律内容新事物的记忆，主张记忆的间隔是刚记完，20分钟后，1小时后，8-9小时后，1天后，2天后，以此类推。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&而语言其实是有规律又意义的内容。在我看来，每个人学习语言遗忘间隔因人而异，只要根据自己的情况定期回顾复习，确保自己仍然记住就好，不必严格按照艾宾浩斯遗忘曲线的时间间隔。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2.词库！词库！词库！单词学习的大本营&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&要做到定期回顾，单词库的作用就非常关键。从学一门语言开始，单词的学习就不会停止，不管你最终到了哪个等级。单词库是词汇升级迭代，不断积累的一个基础。下面我来谈谈如何建立单词库。这里继续推荐在微软的 Onenote上建立单词库，免费支持云端存储和手机端打开。如下图所示，我们可以用 Ononote建立一个笔记本，命名为单词库，&b&同时在不同的子页面设置词库的类型：如生词，易错词，经典表达，雅思核心词，托福核心词，俗语表达，词根等等&/b&。将单词分类整理，并定期回顾。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&平时在学习和生活中遇到的单词尽量养成随时随地入库的意识&/b&。比如看美剧，觉得非常地道的表达，可以马上拿出手机打开Onenote记录到“经典表达”里面。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&476& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6a4e4d1e84e31a250b842b3b01e1ce29_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-6a4e4d1e84e31a250b842b3b01e1ce29_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&有了单词库，妈妈再也不用担心我每次都从头开始背单词了。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么如何记单词呢？下面我来重点介绍一下&b&精记和泛记&/b&两种方式。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3. 精记！精记！精记！ 词汇的深度&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&因我们学习语言的时间和精力都有限，不能做到每一个单词都全面学习。于是&b&有区分有策略地学习单词&/b&就显得尤其重要。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&在真实的表达场景中，词汇和句型的复杂性其实并没有那么重要，活用才关键。&/b&举个例子，大家听美国总统 Trump演讲时候是否觉得“我是不是遇到了一个假总统，说的假英语“，自己以四级词汇居然能完全听得懂，比如用来用去”Great great man, I like him, make America great again”。他用的都是简单到极致的语言，据不完全统计，川普的演讲长达千多句话，却只用了&b&480&/b&个单词！美国有个用来界定文章难度的Flesch-Kincaid测试。经测试，特朗普的语言大概就在&b&小学四年级&/b&吧。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&558& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d148ddf99cea65e03de3e6a6220eba0f_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&339& data-tags=&politic& class=&content_image& width=&339&&&/figure&&p&
（图摘自网络，侵删）&/p&&p&&br&&/p&&p&哲学中说“大道至简”，其实日常交流中也是如此，能简单的表达一般不用长篇大论，文绉绉，当然学术和商业场合对语言的精致程度要求比较高。&b&我们在日常交流中，受之前应试教育的一些影响，说的时候往往想找到最漂亮的词汇和句型（高考作文中就是好词好句的堆积）和最完美纯正的发音，而忘了其真实作用在于最快最高效表达那一刻的感情。很多口语其实是不符合严格的语法的，为表达而生，成为习惯用法。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&212& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9cabb5d05dbae8d496a529_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&554& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9cabb5d05dbae8d496a529_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&对于核心常见词汇，我们不光光要认识它，还要掌握它的核心用法。从听说读写中全面了解。不同英语等级阶段的核心词汇都有无数的单词书圈划，这里因为篇幅不做展开，重点谈谈怎么学。我们要学习核心词的&b&发音，拼写，常见词组，同义词，反义词以及掌握一些例&/b&句。比如以下这个我的笔记中的单词”lapse”:&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&323& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1daa4da2bb_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&315& class=&content_image& width=&315&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当我们把核心词的核心用法记入单词库后，我们要尽量能在接下来的口语表达和写作中应用出来。比如“a lapse of time”（时间的流逝）就很常用，也是一首歌的名字。这样有深度和广度地精记一个单词带来的应用能力立竿见影。 &b&顾名思义，精记单词不求多，但求深度和理解。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&4. 泛记！泛记! 泛记! 词汇的广度&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&当然我们无法做到，也没有必要做到每个单词都精记。&b&对于非核心词和生僻词，我们可以采取泛记的策略，做到不求甚解，广泛涉猎。&/b&在阅读中遇到，尽量避免直接查单词，而是联系上下文推测。泛记单词，我们只需要阅读中遇到认识它，而不是深入了解，甚至不需要知道准确的发音，比如很多GRE词汇，医学的术语，专有名词等等。&b&之后如果反复遇到，我们可以再转入精记模式，深入了解。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&5. 词根！词根！词根！ 泛记的法宝&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&最后说说词根，很多学习攻略也都提到了词根词缀的用法。词根是单词的构成部分，作用类似汉字的偏旁，很多单词可以根据它的词根来推测意思。&b&常用的总共200多个，我会把它们放在单词库的词根库中&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&关于词根的参考书很多，这里不做展开。&b&我在使用词根的时候，不是去死记硬背这些词根，就像我们学中文的时候不会死记所有的硬背偏旁。&/b&在单词库的词根库中，我会有意识地记录下泛记库中当时无法推测的单词，分析它的词根组成。&b&慢慢地形成一种推测能力，泛记的时候可以快速结合上下文和词根来进行推测。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&精记和泛记的结合可以很好在词汇的宽度和深度上取得一个平衡。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&字典推荐： &/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&最后谈谈字典的用法。&/p&&p&这里推荐3个我用得比较多的：&b&欧路词典&/b&；&b& Cambridge D Word R三款词典各有优劣，容我一一解读。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&以单词-企业家“entrepreneur”为例。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先是欧陆词典，主要方便在手机端使用，安卓和苹果都可以下载。&/p&&p&包含单词的等级，拼写，音标，英音，美音，形容词，名词，近义词，习惯用语，以及常用例句库。&b&如下图所示，优点是使用很方便，基本精记需要的内容都有了，缺点是缺乏单词的英文解读。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&751& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b9ca55cb6c5e03c1c1780f_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&422& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b9ca55cb6c5e03c1c1780f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当我们需要对单词更加深入了解时，我们需要剑桥词典&b&Cambridge Dictionary。剑桥词典的优势是更加全面，包含英文解读，不同场景的用法以及更多鲜活的用法。缺点是没有移动端APP，不是那么方便，主要在PC电脑端使用，不要翻墙。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&网站是dictionary.cambridge.org.&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&333& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a7f94a10f9d001a720af85bd566ef3fa_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a7f94a10f9d001a720af85bd566ef3fa_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&单词的内容会丰富很多，更重要的是给出了不同语境下的意思，包含英式，美式，商务三种用法。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&英式：&/p&&figure&&img data-rawheight=&289& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-11fcb46b3d017caa3669_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&305& class=&content_image& width=&305&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&美式：&/p&&figure&&img data-rawheight=&455& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-50c2d001b88dfc445cacd8e7a59568f2_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&369& class=&content_image& width=&369&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&同义词：&/p&&figure&&img data-rawheight=&412& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-42f355dfe1cd35079d86_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&421& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&421& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-42f355dfe1cd35079d86_r.jpg&&&/figure&&p&例句：&/p&&figure&&img data-rawheight=&572& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca8a2ac27c38c22c04dd02de7fea5c12_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&442& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&442& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca8a2ac27c38c22c04dd02de7fea5c12_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&最后谈谈&b&Word Reference, 多语种词典。优点顾名思义，可以实现多语种之间互相查询，英英，英西，英日，中英，英中，是一个比较全能的字典。缺点也是没有APP，适合在PC端使用。特别适合多语种的语言学习者。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&425& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1273577cac49ede81f6bf_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1273577cac49ede81f6bf_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&让我们同样搜entrepreneur:&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&574& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-88bf4bbd496b8b969475db_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-88bf4bbd496b8b969475db_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&搜索支持西班牙语，法语等其他语言中的解读，同时支持一键到Collins字典。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&425& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-27dbf9fa415f751d1712f7cda555a04c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-27dbf9fa415f751d1712f7cda555a04c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&三种字典各有优劣，大家可以根据情况三种结合来使用。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&平时使用欧陆词典，深度了解使用剑桥词典，多语种学习使用WordReference。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&结语：&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&单词学习非一日之功，重在坚持和积累，融会贯通，伴随着语言学习的整个过程。要建立“语境”和“周期”意识，打造体系化的词库，不定期地复习回顾，同时采取精记和泛记，打开词汇的深度和广度。单词学习没有“最科学的”学习方法，每个人可以找到他适合的方法。以下是我与英日西三门语言单词战斗的总结，希望对苦于单词的学弟学妹们有些帮助。&/p&&p&&br&&/p&&p&更多语言学习笔记见
&b&微信公众号 潇峰学长，ID：xuxiaofeng600&/b&。&/p&&figure&&img data-rawheight=&1136& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e154e89b3a2dd42b48cbe7_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-qrcode-value=&http://weixin.qq.com/r/Sz8fB4bEzduyrcJk92pZ& data-tags=&qrcode politic& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e154e89b3a2dd42b48cbe7_r.jpg&&&/figure&&p&回复“语言学习笔记”即可获得。&br&专注语言学习和青年成长，追求真知，让每一篇掷地有声。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&良心码字，如果你觉得本文有帮助，就点赞分享给更多爱好语言的小伙伴哈~谢谢！&/b&&/p&
谢邀，单词，看这一篇就够了。全文手码5000字，被收藏50000次了，所以如果你觉得这篇文章真的有用，请不要只收藏不点赞，不为自己求赞，只为认真的答案能被更多人看到。 我在大学本科的四年间，完成了从语言“低能”到多语种使用者的转变，英语到达了雅思8…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-91fcd83de77ba4fab3a8de_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-91fcd83de77ba4fab3a8de_r.jpg&&&/figure&&p&小编今天给大家安利几部来自BBC的神级纪录片，看着渺茫的宇宙、庞大的自然界，能让你有一种足不出户，也在外出冒险的感觉！建议马了慢慢看～&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9087e3ccc483dda229f23de0345747dd_b.png& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&1008& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9087e3ccc483dda229f23de0345747dd_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&《地球脉动》
&/b&豆瓣评分：9.8&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-006e40f02bb8dab3a85cb894_b.png& data-rawwidth=&1272& data-rawheight=&712& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1272& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-006e40f02bb8dab3a85cb894_r.jpg&&&/figure&&p&《地球脉动》无论是第一部还是第二部，都非常之好看！在豆瓣上甚至有9.9的高分！&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5a5a324eb9c1f8e7ce1e2_b.png& data-rawwidth=&1194& data-rawheight=&668& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1194& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5a5a324eb9c1f8e7ce1e2_r.jpg&&&/figure&&p&从南极到北极，从赤道到寒带，从非洲草原到热带雨林，再从荒凉峰顶到深邃大海，难以数计的生物以极其绝美的身姿呈现在世人面前。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-37f52df224a9bce36fd5_b.png& data-rawwidth=&1276& data-rawheight=&666& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-37f52df224a9bce36fd5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-942a315e11b99f063d63_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&716& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-942a315e11b99f063d63_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8cf40cef7d3b55cd7d64c584b5362ec9_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&572& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8cf40cef7d3b55cd7d64c584b5362ec9_r.jpg&&&/figure&&p&有人说《地球脉动》这部纪录片美得一塌糊涂、美得动人心魄，动物的皮毛、地球的纹路都无比清晰，它与利益无关，只有人类对地球的敬仰和感恩。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3bdffddc0dc35b0ffde03b9a_b.jpg& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&242& data-thumbnail=&https://pic3.zhimg.com/v2-3bdffddc0dc35b0ffde03b9a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3bdffddc0dc35b0ffde03b9a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-66de13cf34_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&270& data-thumbnail=&https://pic1.zhimg.com/v2-66de13cf34_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-66de13cf34_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-acc7f12dac6_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&225& data-thumbnail=&https://pic3.zhimg.com/v2-acc7f12dac6_b.jpg& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&blockquote&&b&《太阳的奇迹》 &/b&
豆瓣评分：9.4&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fd1aebe5abc23f_b.png& data-rawwidth=&1272& data-rawheight=&708& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1272& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-fd1aebe5abc23f_r.jpg&&&/figure&&p&人类从何而来，宇宙又将走向何处？布赖恩考克斯教授游历地球上一些最令人惊奇的地点。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-6ccae07c9aa5cb7bf737d3de97e2c087_b.png& data-rawwidth=&1270& data-rawheight=&712& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1270& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-6ccae07c9aa5cb7bf737d3de97e2c087_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-19ec1dca8faa_b.png& data-rawwidth=&1270& data-rawheight=&712& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1270& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-19ec1dca8faa_r.jpg&&&/figure&&p&看完这个纪录片，你会感慨人类的渺小和宇宙的磅礴，还有为什么物理科学家还长得那么帅？！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d11dcc311eab_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&722& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d11dcc311eab_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea6b919a5d4cbfb9a39fa9_b.png& data-rawwidth=&1276& data-rawheight=&716& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea6b919a5d4cbfb9a39fa9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-72ca565ecee0c4a2ac5ed8_b.png& data-rawwidth=&1276& data-rawheight=&680& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-72ca565ecee0c4a2ac5ed8_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&生命
&/b&豆瓣评分：9.2&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e93dcb6cb8_b.png& data-rawwidth=&1270& data-rawheight=&710& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1270& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e93dcb6cb8_r.jpg&&&/figure&&p&这绝对是最为震慑人心的一部纪录片，从最渺小的生物到我们人类，每一种生物都有自己的无比精细的生存方式。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-496b5d70f7e6aabbe7a6f6ce520aa5fe_b.png& data-rawwidth=&1194& data-rawheight=&670& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1194& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-496b5d70f7e6aabbe7a6f6ce520aa5fe_r.jpg&&&/figure&&p&为了生命繁衍，每种生物都在生生不息的坚持自然法则，地球终将不朽。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5b53cfae058a3_b.png& data-rawwidth=&1334& data-rawheight=&888& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1334& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5b53cfae058a3_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-727dc0f4c322beb473b3f1abc7942e54_b.png& data-rawwidth=&1268& data-rawheight=&806& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1268& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-727dc0f4c322beb473b3f1abc7942e54_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&《美丽中国》
&/b&豆瓣评分：9.3&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f0ae0c48ae11_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&714& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f0ae0c48ae11_r.jpg&&&/figure&&p&这是CCTV和BBC第一次联合摄制的作品，在中国这片古老神奇的地方，藏着无比深厚的文化自然底蕴。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b2bb761b70d2beca9d26be7_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&714& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b2bb761b70d2beca9d26be7_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7676044fab23dac28eb45_b.png& data-rawwidth=&1144& data-rawheight=&756& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1144& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7676044fab23dac28eb45_r.jpg&&&/figure&&p&于是，我们可以通过外媒的视角，一起去看看熟悉又陌生的祖国！相信你会对我们的祖国产生新的认知和震撼！&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-1d1b006a7ffff69ae06f70_b.png& data-rawwidth=&1272& data-rawheight=&716& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1272& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-1d1b006a7ffff69ae06f70_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-73a9ceef2ff57da42e76a_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&844& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-73a9ceef2ff57da42e76a_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&《人类的星球》
&/b&豆瓣评分：9.8&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9d1dfdd41b050d44dd0c_b.png& data-rawwidth=&1272& data-rawheight=&952& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1272& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-9d1dfdd41b050d44dd0c_r.jpg&&&/figure&&p&在这部纪录片里，我们感受到了在这个水蓝色星球里，人类和自然的关系，极地、山区、海洋、丛林、草原、河流、沙漠和城市的人类活动。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a85b03ddbd8d0af6a1fb_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&716& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a85b03ddbd8d0af6a1fb_r.jpg&&&/figure&&p&BBC前往了80多个城市，拍摄了在世界上不同的地方，都有哪些罕见的人类活动，他们都是如何跟世界相处的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9d579a3aa93d35a5379492_b.png& data-rawwidth=&1272& data-rawheight=&710& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1272& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9d579a3aa93d35a5379492_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6a6347faf4e318c5eff093e851fbe69a_b.png& data-rawwidth=&1276& data-rawheight=&846& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6a6347faf4e318c5eff093e851fbe69a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-40dd07ba06a2bab6428862c_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&832& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-40dd07ba06a2bab6428862c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ab9f52e302cde156b838d13d3e9d6513_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&710& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ab9f52e302cde156b838d13d3e9d6513_r.jpg&&&/figure&&p&有句话说的好：“这个世界存在了千万亿年，而人类只是初来乍到”
作为人类的我们，必须要尊重这个世界！&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-28f522e1f0a3640dddd40d_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&718& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-28f522e1f0a3640dddd40d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-269cc5abbd8a3d3d3f56c4_b.png& data-rawwidth=&1316& data-rawheight=&798& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1316& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-269cc5abbd8a3d3d3f56c4_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&《家园》
&/b&豆瓣评分：9.2&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-47cfafa6bc0a780f8e3ce7d_b.png& data-rawwidth=&1174& data-rawheight=&686& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1174& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-47cfafa6bc0a780f8e3ce7d_r.jpg&&&/figure&&p&这仍然是一部人类与自然关系的纪录片，我们只用了20万年的时间，就快要将地球上的资源耗尽。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-42abcb73fc7222653efd5ff00bb79785_b.png& data-rawwidth=&1276& data-rawheight=&716& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-42abcb73fc7222653efd5ff00bb79785_r.jpg&&&/figure&&p&让人忍不住想象人类出现之前，或者人类消失之后，世界又会变成怎样？&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-87a98acc2c2f0b657f27af0d019995ab_b.png& data-rawwidth=&1276& data-rawheight=&718& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1276& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-87a98acc2c2f0b657f27af0d019995ab_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-8a1fbef4e38b013b7effba_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&712& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-8a1fbef4e38b013b7effba_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&《海洋星球》
&/b&豆瓣评分：8.7&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9aaf1badb7d9e80d40cf1d_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&714& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9aaf1badb7d9e80d40cf1d_r.jpg&&&/figure&&p&海底世界的画面美轮美奂，令人窒息！&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7cfc0fb5c537d3f6dfc8f5_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&880& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7cfc0fb5c537d3f6dfc8f5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-632ea41bdfc74c_b.png& data-rawwidth=&1278& data-rawheight=&714& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1278& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-632ea41bdfc74c_r.jpg&&&/figure&&p&但是洋流完成一个循环需要一千年，等它回到原点，已经是被劫掠和污染后的沧海桑田。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4a421bda6d1064fed4df98_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&698& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4a421bda6d1064fed4df98_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f1aa29ffa9_b.png& data-rawwidth=&1274& data-rawheight=&716& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1274& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f1aa29ffa9_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&《企鹅群里有特务》
&/b&豆瓣评分：9.7&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c474b7a2c119d9ef540d64b_b.png& data-rawwidth=&1154& data-rawheight=&642& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1154& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c474b7a2c119d9ef540d64b_r.jpg&&&/figure&&p&BBC用将近一年的时间，对热带秘鲁的洪堡企鹅、亚南极海岛上的跳岩企鹅，以及寒带南极的帝企鹅进行了跟踪拍摄，还安插了一只假的企鹅摄像头，实在魔性...&/p&&figure&&img src=&https:/