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CFD 边界层问题
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别人的帖子，挺好的，大家共享一下。
我用的是Fluent，简单提示一些做CFD的共通原则，可能有用：
1。算算雷诺数Re，看看是不是湍流，是complete turbulence 还是 transient turbulence（查Moody diagram）。
2。根据Re，计算Kolmogorow microscales。
3。根据Kolmogorow microscales，计算turbulent dissipation rate (epsilon)。
4。计算turbulent kinetic energy k，你可以假设一个turbulent intensity，比如1-5%。对于管道流体，安静的流体1%，2-3%中等，5%剧烈的湍流。这个需要有点经验数据。
5。估计实际流体的边界层厚度量级，可以用平板公式。如果你的流体是complete turbulence并且你不关心drag/lift force，也不关心近管壁处的流体，那么可以不用边界层，同时在管壁上采用可滑动边界条件。不过一定要注意，这时你的解只在远离管壁的区域准确。如果是LES求解，则最好加上边界层。如果是动态问题，比如vortex shedding，如果没有边界层有时shedding不会发生。
6。如果采用velocity inlet 或 pressure inlet，需要裂纹前留足够的长度，以便流体达到fully develent。建议20Dh以上，如果困难，可以在velocity inlet指定velocity profile，同时缩短上游距离。最起码也要留够5Dh。
7。裂纹后也需要留足够长度。具体多长不好说，需要试算。只要出口流体接近均一就可。
8。出口可以采用pressure outlet 或者 outlfow，具体用哪个需要看出口的物理意义。入口的turbulence level可以采用上面计算的值。
9。如果出口入口都是fully developed flow，也可以采用periodic boundary conditions。然后设置mass flow rate。这样上游就不用保留很长距离了。
10。初始化的时候，流速采用平均流速，turbulence level采用上面计算的值。
11。裂纹有没有空气进入？混合气体我没做过，没有经验，不瞎指挥。
12。求解器，开始可以用k-e求稳态解。然后再转为瞬态解。
13。瞬态解可以用k-e，也可以用LES 或者DES。k-e是准动态（quasi-steady state），LES是真实的瞬态。如果只关心流体的统计指标，比如turbulent intensity，或者变化较慢的指标，k-e就可以。如果关心瞬时动态指标，比如局部区域快速变化的流速，压力，drag force等，最好用LES 或者DES。
14。如果采用k-e steady state，采用默认的残差就可以。算到收留为止。如果500步不收敛，说明可能有问题。如果5000步不收敛，说明肯定有问题。至少不够好。
15。前面忘了网格。定义边界层的时候一定要保证边界层网格总厚度超过实际边界层厚度，否则算出来的结果好看不好用，边界层边缘处的turbulent intensity将会大大超过合理值。边界层网格的第一层，厚度要合适，需要满足一定的y+值。如果用k-e算法 + standard wall fucntion, y+=30；如果采用k-e算法 + enchanced wall fucntion，y+=4~5；如果采用LES，y+=1。y+得值在求解前只能估计数量级，准确值需要求解后才能知道，所以试运算是必需的。网格划分可以采用hex，wedge，ansys 有一种六边形网格，据说很好，不过我没用过，不知情。据说ansys 的网格生成器比gambit强。如果网格不好划分，应当把结构切成许多小块，分块划分。
16。松弛因子先用初始值，如果收敛有问题再调整。如果你初始化合理，一般没有问题。
17。比热在材料属性里。导电系数没用过，不知道。
18。总的来说就是需要设置好多东西才能算，如果上面的工作你都做了，还是不能算，那也是可以理解的。。。
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再补充两点：
a。需要考虑流体是不可压缩还是可压缩。如果不关心声波传导，任何一处的流速远远低于声速，没有shock wave，不考虑热交换，则可以看作不可压缩。不可压缩流体可用基于压力的求解器。可压缩流体可以采用基于密度的求解器。
b。瞬态求解器的时间步长设定根求解器和你所关心的现象有关。如果是k-e，则只要保证步长小于所关心的最高频率的周期的1/2，当然最好是1/10，否则可能会有aliasing 问题。如果是LES，还需要考虑收敛问题。步长太大不收敛。可用步长应该接近Kolmogorow microscales给出的时间量。
再补充两点：
a。需要考虑流体是不可压缩还是可压缩。如果不关心声波传导，任何一处的流速远远低于声速，没有shock wave，不考虑热交换，则可以看作不可压缩。不可压缩流体可用基于压力的求解器。可压缩流体可以采用基于密度的求解器。
b。瞬态求解器的时间步长设定根求解器和你所关心的现象有关。如果是k-e，则只要保证步长小于所关心的最高频率的周期的1/2，当然最好是1/10，否则可能会有aliasing 问题。如果是LES，还需要考虑收敛问题。步长太大不收敛。可用步长应该接近Kolmogorow microscales给出的时间量。
边界层 科技名词定义
中文名称：边界层 英文名称：boundary layer 其他名称：附面层 定义1：由于流体的黏滞性，在紧靠其边界壁面附近，流速较势流流速急剧减小，形成的流速梯度很大的薄层流体。 所属学科： 电力(一级学科) ；通论(二级学科) 定义2：高雷诺数的流体绕固体流动时，在壁面附近形成的黏性流体薄层。 所属学科： 航空科技(一级学科) ；飞行原理(二级学科) 定义3：黏性流体流经固体边壁时，在壁面附近形成的流速梯度明显的流动薄层。 所属学科： 水利科技(一级学科) ；水力学、河流动力学、海岸动力学(二级学科) ；水力学（水利）(三级学科)
边界层（boundary layer）是高雷诺数绕流中紧贴物面的粘性力不可忽略的流动薄层，又称流动边界层、附面层。这个概念由近代流体力学的奠基人，德国人Ludwig Prandtl于（普朗特）1904年首先提出。从那时起，边界层研究就成为流体力学中的一个重要课题和领域。在边界层内，紧贴物面的流体由于分子引力的作用 ，完全粘附于物面上 ，与物体的相对速度为零。
　　由物面向外，流体速度迅速增大至当地自由流速度，即对应于理想绕流的速度，温度边界层一般与来流速度同量级。因而速度的法向垂直表面的方向梯度很大，即使流体粘度不大，如空气、水等，粘性力相对于惯性力仍然很大，起着显著作用，因而属粘性流动。而在边界层外，速度梯度很小，粘性力可以忽略，流动可视为无粘或理想流动。在高雷诺数下，边界层很薄，其厚度远小于沿流动方向的长度，根据尺度和速度变化率的量级比较，可将纳维-斯托克斯方程[1]简化为边界层方程。求解高雷诺数绕流问题时，可把流动分为边界层内的粘性流动和边界层外的理想流动两部分，分别迭代求解。边界层有层流、湍流、混合流 ，低速（不可压缩）、高速（可压缩）以及二维、三维之分。由于粘性与热传导紧密相关，高速流动中除速度边界层外，还有温度边界层.
边界层的发展
　　十九世纪末叶，流体力学这门科学开始沿着两个方向发展，而这两个方向实际上毫无共同之处，一个方向是理论流体动力学，它是从无摩擦、无粘性流体的Euler运动方程出发发展起来的，并达到了高度完善的程度。然而，由于这种所谓经典流体动力学的结果与实验结果有明显的矛盾——尤其是关于管道和渠道中压力损失这个非常重要的问题以及关于在流体中运动物体的阻力问题——所以，它并没有多大的实际意义。正因为这样，注重实际的工程师为了解决在技术迅速发展中所出现的重要问题，自行发展了一门高度经验性学科，即水力学。水力学以大量的实验数据为基础，而且在方法上和研究对象上都与理论流体动力学大不相同。 　　本世纪初，L.Prandtl因解决了如何统一这两个背道而驰的流体动力学分支而著称于世。他建立了理论和实验之间的紧密联系，并为流体力学的异常成功的发展铺平了道路。就是在Prandtl之前，人们就已经认识到：在很多情形下，经典流体动力学的结果与试验结果不符，是由于该理论忽略了流体的摩擦的缘故。而且，人们早就知道了有摩擦流动的完整的运动方程（Navier-Stokes方程）。但是，因为求解这些方程在数学上及其困难（少数特殊情况除外），所以从理论上处理粘性流体运动的道路受到了阻碍。此外，在两种最重要的流体，即水和空气中，由于粘性很小，一般说来，由粘性摩擦而产生的力远小于其它的力（重力和压力）。因为这个缘故，人们很难理解被经典理论所忽略的摩擦力怎么会在如此大的程度上影响流体的运动。 　　在1904年Heidelberg数学讨论会上宣读的论文“具有很小摩擦的流体运动”中，L.Prandtl指出：有可能精确地分析一些很重要的实际问题中所出现的粘性流动。借助于理论研究和几个简单的实验，他证明了绕固体的流动可以分成两个区域：一是物体附近很薄的一层（边界层），其边界层的发展中摩擦起着主要的作用；二是该层以外的其余区域，这里摩擦可以忽略不计。基于这个假设，Prandtl成功地对粘性流动的重要意义给出了物理上透彻的解释，同时对相应的数学上的困难做了最大程度的简化。甚至在当时，这些理论上的论点就得到一些简单实验的支持，这些实验是在Prandtl亲手建造的水洞中做的。因此他在重新统一理论和实践方面迈出了第一步。边界层理论在为发展流体动力学提供一个有效的工具方面证明是极其有成效的。自20世纪以来，在新近发展起来的空气动力学这门学科的推动下，边界层理论已经得到了迅速的发展。在一个很短的时间内，它与其他非常重要的进展（机翼理论和气体动力学）一起，已成为现代流体力学的基石之一。
边界层厚度
　　边界层内从物面 （当地速度为零）开始，沿法线方向至速度与当地自由流速度U 相等（严格地说是等于0.990或0.995U）的位置之间的距离，记为 δ 。由绕流物体头部（前缘）起，边界层厚度从零开始沿流动方向逐渐增厚。位移厚度的涵义是，边界层内的流体受到阻滞，因而通过的流量减小，相当于理想绕流中外流从物面上向外推移了一个距离，绕流物体的形状变成原几何形状再加位移厚度。动量损失厚度的涵义是，流体在边界层内损失的动量，相当于按层外自由流速度计算时，这个动量所占的流体层厚度。仍以平板边界层为例，层流边界层有 δ*≈δ／3和θ≈0.13δ，湍流边界层有δ*＝δ／8和θ＝0.097δ。
边界层分离
　　边界层流动从物体表面脱离的现象。二维边界层分离有两种情况，一是发生在边界层分离光滑物面上，另一是发生在物面有尖角或其他外形中断或不连续处。光滑物面上发生分离的原因在于，边界层内的流体因克服粘性阻力而不断损失动量，当遇到下游压力变大（即存在逆压梯度）时，更需要将动能转变为压力能，以便克服前方压力而运动，这种情况越接近物面越严重。因此边界层内法向速度梯度越接近物面下降越甚，当物面法向速度梯度在某位置上小到零时，表示一部分流体速度已为零，成为“死水”，边界层流动无法沿物面发展，只能从物面脱离，该位置称为分离点。分离后的边界层在下游形成较大的旋涡区；但也可能在下游某处又回附到物面上，形成局部回流区或气泡。尖点处发生边界层分离的原因在于附近的外流流速很大，压强很小，因而向下游必有很大的逆压梯度，在其作用下，边界层即从尖点处发生分离。三维边界层的分离比较复杂，是正在深入研究的课题。边界层分离导致绕流物体压差阻力增大、飞机机翼升力减小、流体机械效率降低、螺旋桨性能下降等，一般希望避免或尽量推迟分离的发生；但有时也可利用分离，如小展弦比尖前缘机翼的前缘分离涡可导致很强的涡升力。
边界层控制
　　控制边界层发展，影响其结构，从而控制边界层转捩或分离的技术，其目的一大气边界层动力学般是减小绕流物体阻力或增加飞行器的举力。经常采用以下几种控制方法：①采用良好或可变的物面形状，使边界层尽量处于有利的顺压梯度下，避免出现过早或过大的逆压梯度。②降低物面粗糙度。③采用吹气或引射方法增加边界层气流的动量，或将边界层底部低动量流体吸除，均可避免分离。④通过扰流作用（如安装扰流片等），使层流边界层变成湍流边界层，提高其抗分离能力。边界层控制在工程技术上已有重要应用，如在航空器的翼面上采用层流翼型 ，配置边界层吹除 、吸除系统，使用喷气衿翼等；在流体机械上，采用边界层控制的叶片等。
Powered by流体力学复习 （日星期五） 3：流体的物理性质 黏性、可压缩性、易流动性。 4：流体质点 宏观上充分小，微观上充分大的流体微团。（或有质量无体积的流体微团。） 5：连续介质模型 流体由连续分布的流体质点组成；流体物理量是空间位置和时间的连续可微函数；但允许在孤立的点、线、面上不连续。 6：牛顿平板实验：P9 7：牛顿切应力公式或牛顿内摩擦定律 Pyx???u?y??V??u?x??v?y??w?z?0。此式可视为不可压缩的条件或不可压流体的连续方程。 25：流体旋转角速度 过同一点O的任意两条正交微元流体线，在它们所在的平面上的旋转角速度的平均值称作O点流体的旋转角速度。 ?y???1212(?u?z??w?x),?x?12(?w?y??v?z),?z?12(?v?x??u?y)??V，即流体的旋转角速度等于速度旋度的一半。
，称????为运动粘滞系数。μ称作粘滞系数、动力粘26：角变形速率 每个流体面有两条过O点的正交边，平面中每条边与该两正交边的角平分线间的夹角在单位时间内的变化称作角变形速率。 ?xz??xz?1?u?w1?v?u1?w?v(?),?xy??yx?(?),?yz??yz?(?)2?z?x2?x?y2?y?z滞系数或绝对粘滞系数。两种粘滞系数的单位。牛顿切应力公式只能应用或推广到做层流运动的情况中，湍流不适应。称动力粘滞系数不变的 流体为牛顿流体。一般气体和分子结构简单的液体都是牛顿流体。 8：用牛顿切应力公式计算粘滞系数：P10。 9:称粘滞系数为零的流体为理想流体。 10：不可压缩流体：称D?Dt?0的流体为不可压缩流体。
27：正交六面体的运动可分解成 整体的平移运动、流体的旋转运动、线变形、角变形运动。与此相应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率、角变形速率。除平移外，六面体的运动状态，在一般情况下需要九个独立分量来描述，即：?x,?x,?x,?xx,?yy,?zz,?yz,?xz,?yz。 ?u?u?u?v?v?v?w?w?w,,,,,,,,这九个分量又是由九个11;描述流体运动的两种方法 ?x?y?z?x?y?z?x?y?z拉格朗日方法和欧拉方法。拉格朗日方法和欧拉方法只不过是描述流体分量组合而成。从本质说，由后面的九个量也可完全确定六面体的运动运动的两种不同的方法，对于同一问题，既可用拉格朗日方法也可用欧状态，但前者有明确的物理意义，因此，往往用前面九个分量来描述六拉方法描述。 12：两种方法下的导数意义。实质微商的运算不只适用于速度等向量，面体的运动状态。
28：海姆霍兹速度分解定理简述如下： 也适用于标量。 13：两种方法间的相互转变。桥梁：拉格朗日方法表示的速度等于欧拉点O邻近的任一点A上的速度可分成三个部分： （1）与O点相同的平移速度Vo； 方法表示的速度。P23-24. 拉格朗日方法下和欧拉方法下的计算方（）绕点转动在点引起的速度1(??V)?dr；14：迹线 流体质点运动的轨迹。2A o2法。P25. （3）变形在A点引起的速度E?dr。 15：流线 流线是这样的曲线，在某一时刻，此曲线上任意一点的切线方向与该点1V?V?(??V)o?dr?E?dr。其中， 即：的速度方向一致。 Ao216：流线的四个性质：
（1）一般情况下流线不能相交。三种情况例外：○1前驻点；○2后驻点；○3速度为无穷大的点，通常称为奇点。 E= （2）流场中的每一点都有流线通过，由这些流线形成流谱。 （3）流线的形状和位置在定常流动时不随时间变化；不定常流动时，一??xx?xy?xz?般说来要随时间变化。 vv1v29：将上式与刚体的运动相比较，可看出多了最后一项。所以，判断所?vv?VA?V0???V给的运动是刚体运动??r????还是流体运动就是看?E等不等于零。 yxyyyz（4）定常流动时流线和迹线重合。 ??g?r02在流体力学中简称为涡量，气象学上称为涡度。30：速度旋度??zx???V?zz（5）流线密的地方流速不一定就快 。 ?zy??用?表示。 17：流线的求法。P26。涡线的定义和求法。P41。 vv1vv根据定义，涡量场有一个重要特性，即涡量的散度为零。即：31?V0????V?0??：r?i?xx?x??xy?y??xz?z18：流管 2????0在流场中，作任一不与流线重合封闭曲线，在同一时刻过此曲线上每一vv。该式也称作涡量连续方程。
：有旋运动和无旋运动的判别方法。?j?yx?x??yy?y32?? 点作流线，由这些曲线构成的管状曲面称作流管。根据定义，流体不可yz?z?k?zx?x??zy?y??zz?z33：涡线的物理意义：流体微团的瞬时转动轴线。 能穿过流管侧面。按同样的方法可定义涡管。 34：涡通量(涡强) 19：流管的性质： （1）流管不能相交； 通过某一开口曲面的涡量总和称作涡通量，即：J?????ndA。A（2）流管的形状和位置在定常流动时不随时间变化；不定常流动时，一注意积分曲面的方向。 般说来要随时间变化。 （3）流管不能在流场内部中断。流管只可能始于或终于流场边界，如物35：速度环量：在流场中任取一封闭曲线L，速度沿该封闭曲线的线积面、自由面；或者成环形；或者伸展到无穷远处。
分称为曲线L的速度环量，即：???V?dl。注意积分路径的方向。 L涡管也有同样的性质。
36：涡管强度守恒定理 20：流体微团 同一涡管的各个以绕涡管壁面的封闭曲线为边界的曲面上流体微团是由大量流体质点所组成的具有线性尺度效应的微小的流体在同一时刻，团。注意与流体质点的区别：在连续介质的概念中流体质点是可以忽略的涡通量相同。 37：由涡强守恒定理可以得出两个结论： 线性尺度效应（如膨胀、变形、转动等）的最小单元. （1）：对于同一个微元涡管来说，在截面积越小的地方，流体旋转的角21：流体微团运动 速度越大。 平动、转动、变形（角变形和膨胀）。 （2）：涡管截面不可能收缩到零. 涡管不能始于或终于流体，而只能成22：线变形速率 为环形，或者始于边界，终于边界，或者伸展到无穷远。 单位时间内流体线的相对伸长称为线变形速率。 38：速度环量与涡通量的关系： x, y和z方向的线变形速率为： 1可缩封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意开口曲面○?v?w?u??,???xx?。 zz,yy的涡通量。 ?y?z?x2[推论]在同一涡管上绕涡管的任意封闭曲线的速度环量相等。 ○23: 体积膨胀速率 ：凯尔文定理 流体微团的体积在单位时间内的相对变化称为流体微团的体积膨胀速39封闭流体线的速度环量对于时间的变化率等于此封闭流体线的加速度?u?v?w??率。为：d(?V?dl) ?x?y?zdVL的环量。即：???dl。 微团的体积膨胀速率等于三个方向上线变形速率之和，就是速度的散度，dtdtL即??V。 40：无旋必有势，有势比无旋。即无旋与有势是等价的。故无旋流场又24：对于不可压缩流体，体积不会变化，故：称为位势流场或位势流。 ??????P41：速度势 ?t2?○在单连通域中，速度势是单值函数，而且沿任意封闭曲线的环量为零。1P0因此在单连通域的无旋流动中不可能存在封闭流线。 58：在流体不可压的情况下，设为重力场，则柯西-拉格朗日积分变为：22在双连通域的无旋流场中，某点的速度势虽然可能是多值的。 ○??qp??gz??c(t)。 42：速度无旋则加速度也无旋，即存在加速度势。加速度势为：?t2?U0???V?dr。P与P0重合时，有下面两种情况： ???q2????dp?c(t)。 ????t?12V2。
43：系统 在流体力学中，系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团。 44：系统的边界：把系统和外界分开的真实或假想的曲面。 系统的边界的特点： （1）系统的边界随着流体一起运动。 （2）在系统的边界处没有质量交换. （3）在系统的边界上，受到外界作用在系统上的表面力。 （4）在系统边界上可以有能量交换，如可以有能量（热或功）进入或跑59：在惯性坐标系中，流体处于静止状态的必要条件：f?1??p或f?(??f)?0。 60：不可压流体静止的必要条件是质量力有势。若设f???U，则U??p?。 正压流场在静止条件下，其质量力的势等于相应的压力函数的负值。61：显然，在这种情况下，等压面与等势面重合。 出系统的边界。 显然，如果我们使用系统来研究连续介质的流动，那就意味着采用拉格朗日观点，即以确定的流体质点所组成的流体团作为研究的对象。 对应的方程叫拉氏型方程 45：控制体 被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积称之为控制体。 46：控制面 控制体的边界面，称之为控制面，它总是封闭表面。 47：控制面的特点： 1）控制体的边界（控制面）相对于坐标系是固定的。 2）在控制面上可以有质量交换。 3）在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力。 4）在控制面上可以有能量交换，即可以有能量（内能、动能、热或功）跑进或跑出控制面。对应的方程叫欧拉型方程。 48：作用在理想流体上的力： 1○作用在整个流体元上的，称为质量力（亦称为体积力）。用用在单位质量上的质量力。 F表示作2○作用在体积的表面上的，称为表面力。用P表面力。n表示作用在单位面积上的 49：静止流体和理想理论中的压强与所取截面的方向无关。 50：压强梯度力 作用于单位体积流体的表面力合力的量值为??p。有的教材上将??p?即作用于单位质量流体的表面力合力称为压强梯度力。 51：流体力学基本方程:
(1)连续方程;
(2)动量方程;
(3)动量矩方程;
(4)能量方程;
(5)状态方程(适用于可压缩流体, 如空气) 52：连续方程： ○1欧拉型：直角坐标系下：???t???(?V)?0 或d?dt????V?0。 ○2拉格朗日型：直角坐标系下：?0Do??D 或?(?D)?t?0。 流体不可压时有：D?Do?D或?t?0。P111. 53：运动方程（动量方程）：欧拉型：直角坐标系下： dV?F?1dt??p。 54：正压流体 密度仅与流体压强有关的流体。其状态方程为：??f(p)。 55：伯努利定理 理想流体在质量力有势的情况下作定常流动，则沿任一流线存在伯努利积分：q22????dp??const。 56：在流体不可压的情况下，设为重力场，则伯努利积分变为：q22?gz?p??const。而这个等式的物理意义就是能量守恒。推导？ 57：柯西-拉格朗日定理 理想流体在质量力有势的情况下作无旋运动，则流场必然是正压的，并且在整个流场中有柯西-拉格朗日积分存在：62：正压流场中流体处于静止状态的必要条件是质量力有势。正压流场在平衡条件下，等压面、等密度面及等势（质量力势）面三者重合。 63：在质量力有势的条件下，处于静止状态的流场必然是正压流场（或不可压流场）。 64：重力场中静止液体的压力公式：p??gh?p：非惯性坐标系中的静止液体：0。 65 1○：直线等加速运动容器中的静止液体； 2○：旋转容器中的静止液体。 66：平面流动 在任一时刻，若流场中各点的流体速度都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化，则称这种流动为平面流动。?B?z?0,Vz?0。 若取z轴垂直于某一固定平面，则平面流动的任一物理量B都应满足：。 67：流函数由连续方程导出。分两种情况： ○1：对于不可压流场，有流函数?满足：????y?u,??x??v。 ○2：对于定常可压缩流场，有流函数?满足：?????y??u,?x???v。 流函数正负号是人为规定的 。它对某一方向的导数反映了这一方向顺时针转90o后的方向的速度。通常又把不可压缩平面流动的流函数称作拉格朗日流函数。 68：不可压缩平面流动的流函数的性质： 1○：等流函数线为流线； 2○：两点的流函数值之差等于过此两点连线的流量。 69：直角坐标系下柯西―黎曼条件或C-R条件： ???x????????y,?y???x。 70：等速度势线与等流函数线正交。 71：复势：W(z)?? ?i?。任何一种实际的不可压平面无旋流动必具有一个确定的复势。反之，任何一个解析复变函数也就代表一种不可压平面无旋流动。不过，有一些复势本身并没有什么物理意义。 72：复速度 复势导数的共轭函数。 73：解的可叠加性： 任意两个或以上的解析函数的线性组合仍然是解析函数，因此任意两个或两个以上的复势的线性组合仍然是代表某一种流动的复势。这种方法又称奇点叠加法。 74：均匀流场：W?V?i??ze。 75：点源： Q复势为?2??Wq???i?????2????i?? ?2?ln?76：点汇：Q用―或Qv替换。??iQ ??lni??i?i????ln??ei?77：点涡复势为：q??22????e??lne ??2?78：偶极子 dW??i???ln???z?iz?0???Q相距为Δh,强度相等的一对平面点源和点汇组成的流场dz2??x?xu?iv? 2??limQ?h?m积分上式?h?0。 这样的一对源汇称作源汇偶极子，简称偶极子，称W平面点涡（?Qln(??z0?z）QQ规定由汇指向源的方向为正方向。?0)?m2?为偶极子强度。ln??偶极子是有方向的。的流动图谱如图2i偶极子的三要素2:大小、方向、作用点。 79：偶极子的复势： （（（（??e???80：任意拐角绕流：W?Az(n?)且n为正实数。 281：无环量圆柱绕流相当于均匀流、反向偶极子的组合。 82：像的方法 ○平面边界的像 1○圆柱边界的像――圆定理：如果在z?a的区域内没有任何奇点（如2n1100：雷诺方程。P197。 101：普朗特混合长度理论 作湍流运动的流体是有大量的作随机脉动的流体微团所组成的。两个流体微团在碰撞前需经过一个“自由程”。x和y方向上的速度脉动量具有相同的量阶。根据连续方程知，它们的符号相反。脉动量为：u'?l?u?y。
102：边界层中的湍流速度分布 源、汇、偶等）的流场的复势为W?f(z)，则在这个区域引入 z?a 两种对数分布率和1/7次方定律。 103：湍流边界层 2a研究流体在边界层中的流动时，一般在横向分成三个层：层流层、过渡的圆周边界后，复势变为W?f(z)?f()。 层（很薄）和湍流层。 z层外流动的雷诺数越大，层流层越薄。在纵向也有类似的三种区域。 83：镜像表
原像 镜像一 镜像二 说明
流体具有下列重要物理性质:易流动性、粘性和可压缩性等。
z流体质点的定义: 微观上充分大,宏观上充分小的分子团. 流体连续介质模型的定义: (1)流体是由连续分布的流体质点所组成;(2)一源一汇
流体物理量是空间位置及时间的连续可微函数;(3)但是,允许在孤立的点、线、面上不连续。 正反两个
涡牛顿公式只能应用于或推广应用于流体作层状运动的情况，即所谓层流 情况。
粘性系数等于零的流体称作理想流体。
拉格朗日方法是通过下列两个方面来描述整个流动情况的： ?84： 1.某一运动的流体质点的各种物理量（如密度、速度等）随时间的变化； 2.相邻质点间这些物理量的变化 欧拉方法通过下面两方面来描述整个流场情况： 1.在空间固定点上流体的各种物理量（如速度、 ?Qa?Q压力等）随时间的变化；lnz????85：库塔-儒科夫斯基定理 2.在相邻的空间固定点上这些物理量的变化。 z2?b??2?库塔-儒科夫斯基定理：对于不可压平面无旋定常绕流，流体作用于物体在欧拉方法中，各物理量将是时间和空间点的函数
则称此函数是定上的合力只有升力，其数值为 ?U?，由来流方向反环量转900即为受设在空间中的某个区域内定义了标量函数或矢量函数，Q义在此空间区域内的场。
W?lnz?b?力方向。
实质微商（又称质点导数）：任何物理量的实质微商都是指“跟随”某个2?86：应力和应力张量。 i?确定的流体质点观察出来的该物理量的时变化率。
?z87：应力主轴和主应力；法向应力之和或主应力之和,与坐标系的选取无 2?关。
流体质点运动的轨迹叫做迹线。 88：奈维-斯托克斯运动方程(N-S方程)：P150 流线是这样的曲线，在某一时刻,此曲线上任一点的切线方向与流体在dV?p1??该点的速度方向一致。 ?F??????V i??a?dt?3??流线的四个性质： ?ln?z??2??b?（1）一般情况下流线不能相交。 只有三种情况下可以相交 89：泊谡叶定律 i?管中流体的流量与两端的压强差成正比，与半径的四次方成正比，与管（2）流场中的每一点都有流线通过，由这些流线形成流谱 W?lnz?b?2?（3）流线的形状及位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流子的长度成反比。 动时，一般说来要随时间变化。 a即： ）定常流动时，流线和迹线重合。 pp21a2（41 ?（5）流线密的地方流速不一定就快 。 V?V2?rdr?2?a08? l90：粘性流体运动的一般性质： （1）流动的有旋性； 在流场中，作一不与流线重合的任意封闭曲线，于同一时刻过此曲线上?a42（2）流动的能量耗散性； 的每一点作流线，由这些流线所构成的管状曲面称作流管.
Q??aV??p1?p2?（3）流动的旋涡扩散性。 8?l流管有如下性质： ：特征时间、特征长度、几何形似、时空相似和力学相似。91 （1）流管不能相交。 ：两粘性不可压缩流动力学相似的充分必要条件。92 （2）流管的形状及位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流：两流动相似的充分必要条件合在一起称为相似律，无量纲量雷诺数、93动时，可能随时间变化。 斯特罗哈数、欧拉数和佛罗得数称为相似性准则。在四个相似性准则中，（3）流管不能在流场内部中断。流管只可能始于或终于流场边界，如只有三个是独立的。 物面、自由面；或者成环形；或者伸展到无穷远处。
94：雷诺数。 流体微团可能存在的运动有:平动,膨胀,转动,角变形.
正交六面体的运动可分解成：整体的平移运动、流体的旋转运动、线变95：量纲分析和莫里森公式： 形、角变形运动。 96：：普朗特关于对边界层的定义 邻近固体界面的一薄层流体，因受摩擦影响，速度梯度很大，即使流速与此相应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率、角变形速率。除平移外，六面体的运动状态，在一般情况下需要九个独立分量来描述，即 很小，这一层中的切应力也不能忽略，这一层叫做边界层。 亥姆霍兹速度分解定理简述如下：点O邻近的任一点上的速度可分成97：边界层厚度 三个部分：（1）与O点相同的平移速度；（2）绕点转动在A点引起的1：卡门-波尔豪森动量积分关系式的物理意义：
○Q?k?lV速度；??著名的莫里森公式（3）变形在A点引起的速度。 在定常情形下，流出所论区域边界的动量流率等于作用在区域内流体上海姆霍兹速度分解定理的意义: 一切力的合力。
2：列宾森能量积分关系式的物理意义：动能的减少等于压强梯度力和1)把旋转运动从一般运动中分离出来. ○2)把流体的变形运动从一般运动中分离出来,才使我们有可能将流体的摩擦力做负功.。 变形速率与流体的应力联系起来,这对粘性规律的研究有重大的影响。 98：湍流： 3)揭示了流体运动与刚体运动的区别在于前者与后者相比多了变形引流体质点的轨道没有秩序，并且各质点间有不连续的相对移动。 起的速度项。 99：平均运动理论 平均值：空间平均和时间平均。由于在实验上，对被测的量按时间求平有旋运动又叫旋涡运动.流动究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本均比较简单，所以我们把这种实际情况作为在计算上只限于求时间平均身是否旋转来决定的，而不是根据流体微团的轨迹形状来决定的。
流体速度的旋度在流体力学中常简称为涡量,而在气象学上称为涡度. 值的根据。
W?Ua2概念汇总
偶 ?涡量场有一个重要特性，即涡量的散度为零。 通过控制面流入的流体总能量之和，等于控制体内流体的总能量对时间涡线
涡线是这样一条曲线，于某给定时刻,曲线上任意一点的切线方向的变化率。 与在该点的流体的涡量方向一致 对于不可压理想流体的绝热定常流动，流体内能近似不变
空间任一点只能作一条涡线。 正压流体：流体的密度仅与流体压强有关的流体。 二、涡管
在涡量场中任取一条非涡线的可缩封闭曲线（可缩封闭曲线伯努利定理：如果流体是理想的，质量力有势，且流动是定常的，则沿是指此曲线可收缩到一点而不越过流场的周界。下同），在同一时刻过该任一流线存在伯努利积分。(简称:三个条件一条流线) 曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称作涡管 柯西-拉格朗日定理:如果理想流体作无旋运动，且质量力有势，则流场涡通量(涡强)
通过某一开口曲面的涡量总和称作涡通量 必然是正压的，并且在整个流场中有柯西-拉格朗日积分存在。 速度环量
在流场中任取一封闭曲线L，速度沿该封闭曲线的线积分称1.伯努利积分 条件:理想,质量力有势,定常
结论:沿任一流线存在 为曲线L的速度环量 定理对于区域上的连续函数f(z),其为解析的充要条件是C-R条件 为统一起见，规定积分时的绕行方向是逆时针方向，即封闭曲线所包围如果函数在某一点不解析，称改点为函数的奇点 的区域总在行进方向的左侧 函数在一点上可导与与解析是不等价的，解析必可导，反之不成立 涡管强度守恒定理：在同一时刻，同一涡管的各个以绕涡管壁面的封闭2.定常情况下和柯西-拉格朗日积分 条件:理想,质量力有势,定常,无旋 曲线为边界的曲面上的涡通量相同。 惯性坐标系中任何物体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的外由涡强守恒定理可以得出两个结论： 力及外力矩为零 1对于同一个微元涡管来说，在截面越小的地方，流体旋转角速度越大。 质量力有势是不可压流体静止的必要条件。
2涡管截面不可能收缩到零.涡管不能始于或终于流体,而只能成为环形,质量力有势是正压流场中流体处于静止状态的必要条件。 或者始于边界,终于边界,或者伸展到无穷远,可缩封闭曲线L的速度环量正压流场在平衡条件下，等压面、等密度面及等势（质量力势）面三者等于穿过以该曲线为周界的任意开口曲面的涡通量。 重合。
[推论]在同一涡管上绕涡管的任意封闭曲线的速度环量相等。
凯尔文定理：封闭流体线的速度环量对于时间的变化率等于此封闭流体反定理:在质量力有势的条件下，处于静止状态的流场必然是正压流场线的加速度的环量。 （或不可压流场） 封闭流体线的速度环量对于时间的变化率等于此封闭流体线的加速度的帕斯卡原理：密封容器中的静止流体，由于部分边界上承受外力而产生环量。 的流体静压力，将均匀地传递到液体内所有各点上去。
任意时刻，在流体中速度旋度处处为零的流动称作无旋流动。 定义：在任一时刻，若流场中各点的流体速度都平行于某一固定平面，无旋必然有势，有势必然无旋。 并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化，则称这种流动为平面流
只要满足无旋条件，必有速度势存在，而不论流体是否可压缩，也动。 不论是定常流动还是不定常流动。
在单连通域中，速度势是单值函数，而且沿任意封闭曲线的环量为零。流函数正负号是人为规定的 。它对某一方向的导数反映了这一方向顺因此在单连通域的无旋流动中不可能存在封闭流线。 时针转90o后的方向的速度。 在双连通域的无旋流场中，某点的速度势虽然可能是多值的.
在无旋流场中质点加速度存在加速度势
经过任意曲线AB的流量，等于曲线两端点上的流函数数值之差，而与 曲线形状无关。 包含着确定不变的物质的任何集合，称之为系统，系统以外的一切，统速度势与流函数都是调和函数.它们满足C-R条件. 称为外界。 等势线与等流函数线正交。 系统的边界: 把系统和外界分开的真实或假想的曲面。 偶极子的三要素:大小、方向、作用点 系统的边界有如下特点：1）系统的边界随着流体一起运动。2）在系统因而偶被视为均匀流动对圆柱面的像。 的边界处没有质量交换.3）在系统的边界上，受到外界作用在系统上的 表面力。4）在系统边界上可以有能量交换，如可以有能量（热或功）二阶应力张量中只有三个分量是独立的。 进入或跑出系统的边界。 法向应力之和或主应力之和,与坐标系的选取无关。
法向应力与p有关，切向应力与p无关。 被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积称之为泊谡叶定律：管中流体的流量与两端的压强差成正比，与半径的四次方控制体。控制体的边界面，称之为控制面，它总是封闭表面。
成正比，与管子的长度成反比。 控制面有如下特点： 粘性流体运动的一般性质 1）控制体的边界（控制面）相对于坐标系是固定的。 （1）流动的有旋性；（2）流动的能量耗散性；（3）流动的旋涡扩散性。 2）在控制面上可以有质量交换。 普朗特关于对边界层的定义：“邻近固体界面的一薄层流体，因受摩擦3）在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力。 影响，速度梯度很大，即使流速很小，这一层中的切应力也不能忽略，4）在控制面上可以有能量交换，即可以有能量（内能、动能、热或功）这一层叫做边界层。”
跑进或跑出控制面。 压强沿着边界层的法线方向不变，所以边界层内的压强应和边界层边界作用在流体上的力 可分为两部份：一部份是作用在整个流体元上的，上的压强一致。 称为质量力（亦称为体积力） 另一类是作用在体积的表面上的，称为卡门-波尔豪森动量积分关系式的物理意义：在定常情形下，流出所论表面力 . 区域边界的动量流率等于作用在区域内流体上一切力的合力。
理想流体(不存在切应力) 列宾森能量积分关系式的物理意义:动能的减少等于压强梯度力和摩擦静止流体和理想理论中的压强与所取截面的方向无关. 力做负功. 连续方程: 对于一个确定的系统来说,质量守恒原理可简述如下:在系统在边界层内的流体运动受三种作用力的影响：1)边界的摩擦阻力;2)层上中不存在源或汇的条件下，系统的质量不随时间变化。物理意义是：单之流体向前运动时通过沾滞作用迫使其前进的作用力;3)压强梯度力。 位时间内通过控制面A流出的质量，等于同时间内控制体质量的减少。
层流:这类流动的特点是所有流体质点的轨道都是平滑的曲线，速度场动量方程: 动量定理可简述如下：系统的动量对于时间的变化率等于外和压强场是关于空间和时间的连续函数。 界作用在该系统上的合力
在层流运动中，摩擦应力服从牛顿粘性假设。 动量矩方程: 动量矩定理可简述如下：系统对某点的动量矩对时间的变湍流:流体质点的轨道没有秩序，并且各质点间有不连续的相对移动。 化率等于外界作用在系统上所有外力对于同一点的力矩之和。 两大无法使人理解的问题: 爱因斯坦相对论和湍流. 能量方程: 能量守恒原理可表述如下：单位时间内由外界传入系统的热研究湍流运动规律时的两个基本假定: 量Q与外界对系统所作的功W之和，等于该系统的总能量E对于时间（1）连续方程和运动方程式仍是正确的。 的变化率 （2）应力张量与变形速度之间的线性关系依然正确。即脉动值等混合外力对系统所作的功可分成两类：质量力所作的功和表面力所作的功。 长度乘以平均速度的偏导. 欧拉型基本方程是对控制体建立的基本方程。
边界条件 无质量交换 运动学 对控制体而言，动量定律可叙述如下：
定（运动和固定边界） 边界条件 作用在控制体内流体上的合外力加单位时间内通过控制面流入的流体动解有质量交换 量，等于控制体内的动量对时间的变化率 条作用在控制体内流体上的所有外力矩与单位时间内通过控制面流入的流动力学 件 体动量矩之和，等于控制体内流体的动量矩对于时间的变化率。
边界条件 初始条件 控制体的能量守恒原理可叙述如下： 单位时间内传给控制体内流体的热量及外界对控制体内流体所作的功与