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PN结是什么
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PN结（PN junction）。采用不同的掺杂工艺，通过扩散作用，将P型半导体与N型半导体制作在同一块半导体（通常是硅或锗）基片上，在它们的交界面就形成空间电荷区称PN结。PN结具有单向导电性。P是positive的缩写，N是negative的缩写，表明正荷子与负荷子起作用的特点。一块单晶半导体中 ，一部分掺有受主杂质是P型半导体，另一部分掺有施主杂质是N型半导体时 ，P 型半导体和N型半导体的交界面附近的过渡区称为PN结。PN结有同质结和异质结两种。用同一种半导体材料制成的 PN 结叫同质结 ，由禁带宽度不同的两种半导体材料制成的PN结叫异质结。制造PN结的方法有合金法、扩散法、离子注入法和外延生长法等。制造异质结通常采用外延生长法。 　　P型半导体（P指positive，带正电的）：由单晶硅通过特殊工艺掺入少量的三价元素组成，会在半导体内部形成带正电的空穴； 　　N型半导体（N指negative，带负电的）：由单晶硅通过特殊工艺掺入少量的五价元素组成，会在半导体内部形成带负电的自由电子。 　　在 P 型半导体中有许多带正电荷的空穴和带负电荷的电离杂质。在电场的作用下，空穴是可以移动的，而电离杂质（离子）是固定不动的 。N 型半导体中有许多可动的负电子和固定的正离子。当P型和N型半导体接触时，在界面附近空穴从P型半导体向N型半导体扩散，电子从N型半导体向P型半导体扩散。空穴和电子相遇而复合，载流子消失。因此在界面附近的结区中有一段距离缺少载流子，却有分布在空间的带电的固定离子，称为空间电荷区 。P 型半导体一边的空间电荷是负离子 ，N 型半导体一边的空间电荷是正离子。正负离子在界面附近产生电场，这电场阻止载流子进一步扩散 ，达到平衡。 　　在PN结上外加一电压 ，如果P型一边接正极 ，N型一边接负极，电流便从P型一边流向N型一边，空穴和电子都向界面运动，使空间电荷区变窄，电流可以顺利通过。如果N型一边接外加电压的正极，P型一边接负极，则空穴和电子都向远离界面的方向运动，使空间电荷区变宽，电流不能流过。这就是PN结的单向导电性。 　　PN结加反向电压时 ，空间电荷区变宽 ， 区中电场增强。反向电压增大到一定程度时，反向电流将突然增大。如果外电路不能限制电流，则电流会大到将PN结烧毁。反向电流突然增大时的电压称击穿电压。基本的击穿机构有两种，即隧道击穿（也叫齐纳击穿）和雪崩击穿，前者击穿电压小于6V，有负的温度系数，后者击穿电压大于6V，有正的温度系数。 PN结加反向电压时，空间电荷区中的正负电荷构成一个电容性的器件。它的电容量随外加电压改变。 　　根据PN结的材料、掺杂分布、几何结构和偏置条件的不同，利用其基本特性可以制造多种功能的晶体二极管。如利用PN结单向导电性可以制作整流二极管、检波二极管和开关二极管，利用击穿特性制作稳压二极管和雪崩二极管；利用高掺杂PN结隧道效应制作隧道二极管；利用结电容随外电压变化效应制作变容二极管。使半导体的光电效应与PN结相结合还可以制作多种光电器件。如利用前向偏置异质结的载流子注入与复合可以制造半导体激光二极管与半导体发光二极管；利用光辐射对PN结反向电流的调制作用可以制成光电探测器；利用光生伏特效应可制成太阳电池。此外，利用两个 　　PN结之间的相互作用可以产生放大，振荡等多种电子功能 。PN结是构成双极型晶体管和场效应晶体管的核心，是现代电子技术的基础。在二级管中广泛应用。 　　PN结的平衡态,是指PN结内的温度均匀、稳定,没有外加电场、外加磁场、光照和辐射等外界因素的作用,宏观上达到稳定的平衡状态.PN结的形成　　 　　在一块本征半导体的两侧通过扩散不同的杂质,分别形成N型半导体和P型半导体。此时将在N型半导体和P型半导体的结合面上形成如下物理过程: 　　因浓度差 　　↓ 　　多子的扩散运动&由杂质离子形成空间电荷区 　　↓ 　　空间电荷区形成形成内电场 　　↓ ↓ 　　内电场促使少子漂移 内电场阻止多子扩散 　　最后，多子的扩散和少子的漂移达到动态平衡。在P型半导体和N型半导体的结合面两侧，留下离子薄层，这个离子薄层形成的空间电荷区称为PN结。PN结的内电场方向由N区指向P区。在空间电荷区，由于缺少多子，所以也称耗尽层。PN结形成的过程可参阅图01.06。 　　图01.06 PN结的形成过程（动画1-3）如打不开点这儿（压缩后的）PN结的单向导电性　　 　　PN结具有单向导电性，若外加电压使电流从P区流到N区，PN结呈低阻性，所以电流大；反之是高阻性，电流小。 　　如果外加电压使： 　　PN结P区的电位高于N区的电位称为加正向电压，简称正偏； 　　PN结P区的电位低于N区的电位称为加反向电压，简称反偏。 　　(1) PN结加正向电压时的导电情况 　　外加的正向电压有一部分降落在PN结区，方向与PN结内电场方向相反，削弱了内电场。于是，内电场对多子扩散运动的阻碍减弱，扩散电流加大。扩散电流远大于漂移电流，可忽略漂移电流的影响，PN结呈现低阻性。 　　(2) PN结加反向电压时的导电情况 　　外加的反向电压有一部分降落在PN结区，方向与PN结内电场方向相同，加强了内电场。内电场对多子扩散运动的阻碍增强，扩散电流大大减小。此时PN结区的少子在内电场作用下形成的漂移电流大于扩散电流，可忽略扩散电流，PN结呈现高阻性。 　　在一定的温度条件下，由本征激发决定的少子浓度是一定的，故少子形成的漂移电流是恒定的，基本上与所加反向电压的大小无关，这个电流也称为反向饱和电流。 　　PN结加正向电压时，呈现低电阻，具有较大的正向扩散电流；PN结加反向电压时，呈现高电阻，具有很小的反向漂移电流。由此可以得出结论：PN结具有单向导电性。PN结的电容效应　　 　　PN结具有一定的电容效应，它由两方面的因素决定。一是势垒电容CB ，二是扩散电容CD 。 　　(1) 势垒电容CB 　　势垒电容是由空间电荷区的离子薄层形成的。当外加电压使PN结上压降发生变化时，离子薄层的厚度也相应地随之改变，这相当PN结中存储的电荷量也随之变化，犹如电容的充放电。势垒电容的示意图见图01.09。 　　图01.09 势垒电容示意图 　　(2) 扩散电容CD 　　扩散电容是由多子扩散后，在PN结的另一侧面积累而形成的。因PN结正偏时，由N区扩散到P区的电子，与外电源提供的空穴相复合，形成正向电流。刚扩散过来的电子就堆积在 P 区内紧靠PN结的附近，形成一定的多子浓度梯度分布曲线。反之，由P区扩散到N区的空穴，在N区内也形成类似的浓度梯度分布曲线。扩散电容的示意图如图01.10所示。 　　当外加正向电压不同时，扩散电流即外电路电流的大小也就不同。所以PN结两侧堆积的多子的浓度梯度分布也不同，这就相当电容的充放电过程。势垒电容和扩散电容均是非线性电容。编辑本段击穿特性　　当反向电压增大到一定值时，PN结的反向电流将随反向电压的增加而急剧增 加，这种现象称为PN结的击穿，反向电流急剧增加时所对应的电压称为反向击穿电压，如上图所示， PN结的反向击穿有雪崩击穿和齐纳击穿两种。1、雪崩击穿　　阻挡层中的载流子漂移速度随内部电场的增强而相应加快到一定程度时，其动能足以把束缚在共价键中的价电子碰撞出来，产生自由电子—空穴对，新产生的载流子在强电场作用下，再去碰撞其它中性原子，又产生新的自由电子—空穴对，如此连锁反应，使阻挡层中的载流子数量急 　　剧增加，象雪崩一样。雪崩击穿发生在掺杂浓度较低的PN结中，阻挡层宽，碰撞电离的机会较多，雪崩击穿的击穿电压高。2、齐纳击穿　　当PN结两边掺杂浓度很高时，阻挡层很薄，不易产生碰撞电离，但当加不大的反向电压时，阻挡层中的电场很强，足以把中性原子中的价电子直接从共价键中拉出来，产生新的自由电子—空穴对，这个过程 称为场致激发。 　　一般击穿电压在6V以下是齐纳击穿，在6V以上是雪崩击穿。3、击穿电压的温度特性　　温度升高后，晶格振动加剧，致使载流子运动的平 均自由路程缩短，碰撞前动能减小，必须加大反向电压才能发生雪崩击穿具有正的温度系数，但温度升高，共价键中的价电子能量状态高，从而齐纳击穿电压随温度升高而降低，具有负的温度系数。6V左右两种击穿将会同时发生，击穿电压的温度系数趋于零。4、稳压二极管　　PN结一旦击穿后，尽管反向电流急剧变化，但其端电压几 乎不变（近似为V(BR)，只要限制它的反向电流，PN结 就不会烧坏，利用这一特性可制成稳压二极管，其电路符号及伏 　　安特性如上图所示：其主要参数有： VZ 、 Izmin 、 Iz 、 Izmax 　　编辑本段电容特性　　PN结除具有非线性电阻特性外，还具有非线性电容特性，主要有势垒电容和扩散电容。1、势垒电容　　势垒区类似平板电容器，其交界两侧存储着数值相等极性相反的离子电荷，电荷量随外加电压而变化，称为势垒电容，用CT表示。 　　CT = - dQ/dV 　　PN结有突变结和缓变结，现考虑突变结情况（缓变结参见《晶体管原 理》），PN结相当于平板电容器，虽然外加电场会使势垒区变宽或变窄 但这个变化比较小可以忽略， 　　则CT=εS/L，已知动态平衡下阻挡层的宽度L0，代入上式可得： 　　CT不是恒值，而是随V而变化，利用该特性可制作变容二极管。2、 扩散电容　　多子在扩散过程中越过PN结成为另一方的少子， 当PN结处于 平衡状态（无外加电压）时的少子称为平衡少子 可以认为阻挡层以外的区域内平衡少子浓度各处是一样的，当PN结处于正向偏置时，N区的多子自由电子扩散到P区成为 P区的非平衡少子，由于浓度差异还会向P 区深处扩散，距交界面越远，非平衡少子浓度越低，其分布曲线见[PN 结的伏 安特性]。当外加正向电压增大时，浓度分布曲线上移，两边 非平 衡少子浓度增加即电荷量增加，为了维持电中性，中性区内的非平衡多子浓度也相应增加，这就是说，当外加电压增加时，P区和N区各自存储的空穴和自由电子电荷量也增加，这种效应相当于在PN结上并联一个电容，由于它是载流子扩散引起的，故称之为扩散电容CD，由半导体物理推导得 CD=（ I + Is）τp/VT 推导过程参见《晶体管原理》。 　　当外加反向电压时 I = Is ， CD趋于零。3、 PN结电容　　PN结的总电容Cj为CT和CD两者之和Cj = CT+CD ，外加正向电 压CD很大， Cj以扩散电容为主（几十pF到几千pF） ，外加反向电压CD趋于零，Cj以势垒电容为主（几pF到几十pF到）。4、变容二极管　　PN结反偏时，反向电流很小，近似开路，因此是一个主要由势垒电容构成的较理想的电容器件，且其增量电容值随外加电压而变化 利用该特性可制作变容二极管，变容二极管在非线性电路中应用较广泛， 如压控振荡器、频率调制等。
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首先你要知道PN结是由P型半导体和N型半导体接触形成的。结深这个概念主要在太阳能电池的PN结里面提到的比较多，因为晶体硅电池的PN结是在P型沉底的硅片
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固体物理学（三）：习题答案
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PART ONE 填空问题
Q01_01_001 原胞中有p个原子。那么在晶体中有3支声学波和33p ?支光学波？
Q01_01_002 按结构划分，晶体可分为7大晶系, 共14布喇菲格子?
Q01_01_004 面心立方原胞的体积为
a?=；其第一布里渊区的体积为
Q01_01_005 体心立方原胞的体积为
?=；第一布里渊区的体积为
Q01_01_006 对于立方晶系，有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。
Q01_01_007 金刚石晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿空间对角线位移 1／4 的长
度套构而成，晶胞中有8个碳原子。
Q01_01_008 原胞是最小的晶格重复单元。对于布喇菲格子，原胞只包含1个原子；
Q01_01_009 晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不
经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。由晶粒组成的固体，称
Q01_01_010 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为布喇菲格子。满足
ba πδ2=?
为基矢，由
++=构成的格子，
称作倒格子。 由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做复式格子。其原胞中有两个以上的原子。
Q01_03_001 由N个原胞构成的晶体，原胞中有l个原子，晶体共有3lN个独立振动的正则频率。
Q01_03_002 声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为ω=和q
Q01_03_003 光学波声子又可以分为纵光学波声子和横光学波声子，它们分别被称为极化声子和电
Q01_03_004 一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为
ω；光学波的频率
Q01_04_001 金属的线度为L，一维运动的自由电子波函数
)( =ψ；能量
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波矢的取值
Q01_04_002 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有() ()
形式？式中()
晶格平移下保持不变。
Q01_04_003 如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为
禁带，即带隙；能带的表示有扩展能区图式法 、简约布里渊区图式法、周期性能区图式法三种图式。
Q01_04_004 在能量标度下，费米自由电子气系统的态密度
)( CEEN =。
Q01_04_005 在动量标度下，费米自由电子气系统的态密度
Q01_04_006 电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为满带；没有任何电子占据（填充）的
能带，称为空带；导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带称为价带；最下面的一个空带称
为导带；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为带隙。
Q01_04_007 能带顶部电子的有效质量为 负
（填写正，或负）；能带底部电子的效质量为 正
写正，或负）。
Q01_06_001 温度升高，金属的导电率减小，半导体的导电率增大。对于金属，温度越高，金属中
的晶格振动对电子的散射作用越大。而在半导体中则是有更多的电子从价带激发到导带中。
Q01_06_002 自由电子气系统的费米能级为, 空间费米半径
电子的平均能量
Q01_06_003 温度为时，K0 N个自由电子构成的三维自由电子气，体系的能量
Q01_07_001 N型半导体主要含有一种施主，如果施主的能级是，施主浓度为，在足够低的
温度下，载流子主要是从施主能级
激发到导带的电子。当温度很低时，只有很少的施主被电离。当
温度足够高时，施主几乎全部被电离，导带中的电子数接近于施主数。
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PART TWO 简述问题
Q02_02_001 原子结合成晶体时，原子的价电子产生重新分布，从而产生不同的结合力，分析离子
性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。
离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不
相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡
时，形成稳定的离子晶体；
共价性结合：靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键；
金属性结合：组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有，因此在结合成金属晶体时，
失去了最外层（价）电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下，电子
云和原子实之间存在库仑作用，体积越小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现为原
子聚合起来的作用。
范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为8个，具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时
由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分
子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。
Q02_03_001 什么是声子？
晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用
声子来描述，声子可以被激发，也可以湮灭。
Q02_03_002 什么是固体比热的德拜模型？并简述计算结果的意义。
德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质，有1个纵
波和2个独立的横波。
计算结果表明低温极限下：
―与温度的3次方成正比。
温度愈低，德拜近似愈好，说明在温度很低时，只有长波格波的激发是主要的。
Q02_03_003 什么是固体比热的爱因斯坦模型？并简述计算结果的意义。
对于有N个原子构成的晶体，晶体中所有的原子以相同的频率ω
计算结果表明温度较高时：―― 与杜隆－珀替定律一致。
温度非常低时：
=――按温度的指数形式降低，与实验结果不符。
爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。
Q02_04_001 根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性；
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对于金属：电子在能带中的填充可以形成不满带，即导带，因此它们一般是导体。对于半导体：
从能带结构来看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体的窄，依靠热激发即可以将满带中的
电子激发到导带中，因而具有导电能力。
对于绝缘体：价电子刚好填满了许可的能带，形成满带。导带和价带之间存在一个很宽的禁带，
所以在电场的作用下没有电流产生。
Q02_04_002 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。
考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以
用势场的平均值代替离子产生的势场：)(rVV
=。周期性势场的起伏量VVrV ?=?)(
作为微扰来
处理。当两个由相互自由的矩阵元状态k
+='的零级能量相等时，一级修正波函数和二级
能量修正趋于无穷大。
+=，或者0)
，在布里渊区的边界处，能量发出突变，形成一系列
Q02_04_003 简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。
紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格点）附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其
它原子（格点）势场的作用看作是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组
合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。
一个原子能级ε
对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列
能量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子之间内层电子的波函数相互重叠较少，所以对应
的能带较窄。
能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层电子的波函数相互重叠较多，所以对应
的能带较宽。
Q02_05_001 什么是空穴？
状态的近满带中所有电子运动形成的电流和一个带正电荷，以e
状态电子速度
运动的粒子所产生的电流相同。这个空状态称为空穴。
Q02_05_002 将粒子看作是经典粒子时，它的速度和运动方程是什么？
电子状态变化基本公式：F
; 电子的速度：Ev
Q02_05_003 简述导带中的电子在外场作用下产生电流的原因。
导带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会使布里渊区的状态分布发生变化。所有的电子状
态以相同的速度沿着电场的反方向运动，但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电子较多，因
此产生电流。
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Q02_05_004 简述满带中的电子在外场作用下不产生电流的原因。
有外场E时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运
动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时，满带中的电子不产生宏观的电流。
Q02_06_001 从电子热容量子理论简述金属中的电子对固体热容的贡献。
在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受到泡利原理的限制不能参与热
激发，只有在附近约范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。计算结果表明电子
的热容量与温度一次方成正比。
Q02_06_002 为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？
在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受到泡利原理的限制不能参与热
激发，只有在附近约范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。在一般温度下，晶
格振动的热容量要比电子的热容量大得多；在温度较高下，热容量基本是一个常数。
Q02_06_003 为什么温度较低时可以必须考虑电子对固体热容量的贡献？
在低温范围下，晶格振动的热容量按温度的3次方趋于零，而电子的热容量与温度1次方成正比，
随温度下降变化比较缓慢，此时电子的热容量可以和晶格振动的热容量相比较，不能忽略。
Q02_06_004 为什么在绝对零度时，金属中的电子仍然具有较高的能量？
温度时：电子的平均能量（平均动能）：0=T
E= E，电子仍具有相当大的平均能量。因
为电子必须满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子
不可能都填充在最低能量状态。
Q02_06_005 简述研究金属热容量的意义，并以过渡元素Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量
为例说明费密能级附近能态密度的情况。
许多金属的基本性质取决于能量在附近的电子，电子的热容量
kTkENC )])((
成正比，由电子的热容量可以获得费米面附近能态密度的信息。 )(
过渡元素Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量，反映了它们在费米面附近具有较大的能态密度。
过渡元素的特征是d壳层电子填充不满，从能带理论来分析，有未被电子填充满的d能带。由于原
子的d态是比较靠内的轨道，在形成晶体时相互重叠较小，因而产生较窄的能带，加上的轨道是5
重简并的，所以形成的5个能带发生一定的重叠，使得d能带具有特别大的能态密度。过渡金属只
是部分填充d能带，所以费密能级位于d能带内。
Q02_06_006 简述金属接触电势差的形成？
两块不同的金属A和B相互接触，由于两块金属的费米能级不同，当相互接触时可以发生电子
交换，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，使一块金属的接触面带正电（电子流
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出的金属），使另一块金属的接触面带负电（电子流入的金属），当两块金属达到平衡后，具有相同
的费米能级，电子不再流动交换。因此在两块金属中产生了接触电势差。
Q02_07_001 以对Si掺入As后形成的N型半导体为例，简述掺杂对半导体导电能力的影响。
对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。在Si掺入As后形成的N型半导体，杂质
在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激发到
导带中形成电子载流子。
Q02_07_002 如图XCH007_018_02所示, 简述N沟道晶体管的工作原理。
栅极电压很小时，源区S和漏区D被P型区隔开，
即使在SD之间施加一定的电压，但由于SP和DP区构
成两个反向PN结，因此只有微弱的PN反向结电流。
如果栅极电压达到或超过一定的阈值，在P型半导体和
氧化物表面处形成反型层――电子的浓度大于体内空穴
的浓度，反型层将源区S和漏区D连接起来，此时在SD
施加一个电压，则会有明显的电流产生。
通过控制栅极电压的极性和数值，使MOS晶体管处于
导通和截止状态，源区S和漏区D之间的电流受到栅极
电压的调制――集成电路应用。
Q02_07_003 半导体本征边吸收光的波长为多少？
本征光吸收光子的能量满足：
, 长波极限：
本征吸收边。
Q02_07_004 简述半导体本征激发的特点。
在足够高的温度时，由满带到导带的电子激发（本征激发）将是主要的。本征激发的特点是每产
生一个电子同时将产生一个空穴: 有：pn ≈
为带隙宽度。
因为：，因此本征激发随温度变化更为陡峭。在这个范围里，测量和分析载流子随温度的
变化关系，可以确定带隙宽度。
Q02_07_005 什么是非平衡载流子？
在热平衡下，半导体中的杂质电子，或价带中的电子通过吸收热能，激发到导带中（载流子的产
生），同时电子又可以回落到价带中和空穴发生复合（载流子的复合），最后达到平衡时，载流子的
产生率和复合率相等，电子和空穴的浓度有了一定的分布。
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电子和空穴的浓度满足：
在外界的影响作用下，电子和空穴浓度可能偏离平衡值。如本征光吸收将产生电子―空穴对。
ppp,nnn ?=?= ??――称为非平衡载流子
Q02_07_006 以在P型材料形成的PN结为例，简述光生伏特效应?
利用扩散掺杂的方法，在P型半导体的表面形成一个薄的N型层，在光的照射下，在PN结及其
附近产生大量的电子和空穴对，在PN结附近一个扩散长度内，电子－空穴对还没有复合就有可能
通过扩散达到PN结的强电场区域（PN结自建电场），电子将运动到N型区，空穴将运动到P型区，
使N区带负电、P区带正电，在上下电极产生电压 ―― 光生伏特效应。
Q02_07_007 什么是异质结的窗口效应？
光子能量小于宽带隙的N型层，即
Eh )(&ν，可以透过N型层，在带隙较窄的P型层被吸收。
用同质PN结制作光电池，入射光的大部分在表面一层被吸收，由于表面缺陷引起的表面复合和高
掺杂层中载流子寿命低等因素，使得一些电子－空穴对不能到达强电场以前，就发生了复合，降低
了太阳能电池的效率。利用异质结的窗口效应，可以有效地减小电子－空穴的复合率，提高太阳能
电池的光电转换效率。
Q02_07_008 对于掺杂的N型半导体在热平衡下，为什么导带中电子的浓度越高，价带中空穴的浓
半导体中的电子和金属中的电子一样服从费密――狄拉克统计。
导带中电子浓度：
=和价带中空穴浓度：
在N型半导体中，施主越多，激发到导带中的电子越多，电子跃迁与价带中空穴发生复合的几率越
大，因此满带中的空穴越少。
Q02_07_009 什么是本征光吸收跃迁和电子－空穴复合发光？
本征光吸收：光照可以将价带中的电子激发到导带中，形成电子―空穴对，这一过程称为本征光
吸收。电子－空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程，即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级，
发出能量约为带隙宽度的光子。
Q02_07_010 为什么半导体掺杂可以提高其导电能力？
理想的半导体材料是没有缺陷或没有杂质，半导体中的载流子只能是激发到导带中的电子和价带
中的空穴。对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。因此实际的半导体中除了与能带
对应的电子共有化状态以外，还有一些电子可以为杂质或者缺陷原子所束缚，束缚电子具有确定的
能级，杂质能级位于带隙中接近导带的位置，在一般温度下即可被激发到导带中，从而对半导体的
导电能力产生大的影响。
Q02_07_011 什么是P型和N型半导体？
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根据掺杂元素对导电的不同影响，杂质态可分为两种类型。
杂质在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激
发到导带中，称为电子载流子。主要含有施主杂质的半导体，主要依靠施主热激发到导带的电子导
电――N型半导体。
杂质提供带隙中空的能级，电子由价带激发到受主能级要比激发到导带容易的多。主要含有受主杂
质的半导体，因价带中的一些电子被激发到施主能级，而在价带中产生许多空穴，主要依靠这些空
穴导电――P型半导体。
Q02_07_012 半导体中掺入深能级杂质，对半导体的导电有何影响？
1) 可以成为有效复合中心，大大降低载流子的寿命；2) 可以成为非辐射复合中心，影响半导体
的发光效率；3) 可以作为补偿杂质，大大提高半导体材料的电阻率。
Q02_07_013 以在Ge半导体掺入As为例，简述为什么类氢杂质能级的施主能级位于导带附近？
一个第IV族元素Ge（4价元素）被一个第V族元素As（5价元素）所取代的情形，As原子和近邻
的Ge原子形成共价键后尚剩余一个电子。因为共价键是一种相当强的化学键，束缚在共价键上的电
子能量很低，从能带的角度来说，就是处于价带中的电子。多余一个电子受到As
离子静电吸引，其
束缚作用是相当微弱的，在能带图中，它位于带隙之中，且非常接近导带底。这个电子只要吸收很
小的能量，就可以从带隙跃迁到导带中成为电子载流子。
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PART THREE 计算题
Q03_01_001 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方
由倒格子定义：
体心立方晶格原胞基矢：
a i jk a i jk a i jk=?++ = ?+ = ?+)
K KKKK KK KK
体心立方晶格原胞体积：
倒格子基矢：
==??+×+
=? ?+×+?
KKKK KKK
KKKKKK
为基矢构成的格子为面心立方格子。
面心立方格子原胞基矢：
ajkakiai=+ =+ =+
面心立方格子原胞体积：
倒格子基矢：
为基矢构成的格子为体心立方格子。
Q03_01_002 证明倒格子原胞体积为
，其中为正格子原胞的体积。
倒格子基矢
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倒格子体积：)()()(
KKKKKK
×××?×=×?=
KKKKKKKKK
)()( ???=××
)())()()( aaaaaaaaaaaaa
KKKKKKKKKKKKK
?=?×??×=×××
Q03_01_003 证明：倒格子矢量
++=垂直于密勒指数为(的晶面系 )
ba πδ2=?
如图XCH_001_047所示。
很容易证明：0,0
=?=? CBGCAG
与晶面系正交。 )(
Q03_01_004 如果基矢c,b,a
构成简单正交系，证明晶面族的面间距为： )(hkl
并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理。
对于简单正交系：cba
⊥⊥ , 原胞的基矢：a kcajbaia
倒格子基矢：
将kcajbaiaa
,,代入倒格子的定义式得：k
KKKKKK
倒格子矢量
πππ 222
晶面族的面间距：)(hkl
G hb kb lb
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面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理。
Q03_01_005 指出立方晶格（111）面与（100）面，（111）面与（110）面的交线的晶向。
如图XCH_001_051_01所示（111）面与（100）面的交线的晶向为AB
将平移，A点到原点O，B点的位矢：AB
R aj ak=? +
因此，（111）面与（100）面的交线的晶向：AB aj ak=? +
JJJG K
―― [0 1 1]
如图XCH_001_051_02所示（111）面与（110）面的交线的晶向
将平移，A点到原点O，B点的位矢：AB
R ai aj=?+
因此，（111）面与（110）面的交线的晶向： AB ai aj=?+
―― [1 10]
Q03_01_006试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立
方晶格的维格纳―塞茨原胞(Wingner-Seitz)。
维格纳―塞茨原胞：由某一个格点为中心，做出最近各点
和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间为维格纳―
塞茨原胞。如图所示为一种二维格子的维格纳―塞茨原胞。
简单立方、面心立方晶格和体心立方晶格如图
XCH001_002、007和003所示。
简单立方格子的维格纳―塞茨原胞为原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立正方体。
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如图XCH001_058所示。
面心立方格子的维格纳―塞茨原胞为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如
图XCH001_059所示。
体心立方格子的维格纳―塞茨原胞为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿
立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体。八个面是正六边
形，六个面是正四边形。如图XCH001_060所示。
Q03_02_001 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为：2ln2=α
马德隆常数：
对于一维一价离子：
'α，选定某一个离子为参考离子，假定离子数目很大，参考离子
左右两边各有一个异号离子。
++?+?+??= &α，当∞→N时：2ln2α =
Q03_02_002 若一晶体中两个离子间的相互作用能表示为：()
=?+。计算：
1）平衡间距
2）结合能（单个原子的） W
3）体弹性模量
4）若取eVWnmrnm 4,3.0,10,2
====，计算βα,的值。
晶体总的内能：() ( )
=?+ ―― N为原子的总数
―― 平衡时原子的间距：
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2）单个原子的结合能：
=? =? ? +将
3）体弹性模量；
，晶体的体积： ―― 其中为一常数，
NArV = A N为原子的总数。
U βαβα
―― 平衡位置满足的条件
=，代入上面的表达式得到：][
U βααββα
+??=+?=+?=
4） eVWnmrnm 4,3.0,10,2
5.9 10 eV mβ =× ?
4.5 10 eV mα
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Q03_02_003 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为)
来代替排斥项
，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求和n ρ的关系。
将结合能在平衡位置处展开：
选取结合能形式：)
)(')('
根据题意：，)(')(
在平衡位置：0)
β lnln2lnln)1(lnln
β lnlnlnlnlnln
所以 ρlnlnln
=? nr，ρnr =
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Q03_03_001 讨论N个原胞的一维双原子链
（相邻原子间距为a），其2N格波解，当
M m=时与一维单原子链的结果一一对应。
如图XCH003_005所示，质量为M的原
子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……
质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……
牛顿运动方程：
μμμβμ
μμμβμ
―― 体系N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式：
将带回到运动方程得到：
0)2()cos2(
0)cos2()2(
若A、B有非零的解，系数行列式满足：0
{1 [1 s i n ] }
两种不同的格波的色散关系：
{1 [1 s i n ] }
{1 [1 s i n ] }
―― 第一布里渊区
―― 第一布里渊区允许q的数目：/ N
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为2N。
{1 [1 s in ] }aq
ωβ=±?
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(1 cos )aq
ω =±
―― 两种色散关系如图XCH003_017所示
在长波极限),0( aq &&→ λ情况下：当q，0→
―― 与一维单原子晶格格波的色散关系一致。
Q03_03_002质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于
10cβ =，并且最近邻的间距。 /2a
1） 求出色散关系和分析计算0,qq
==处格波的频率值；
2） 大致画出色散关系图。
如图XCH003_018所示，设蓝色标记的原子位
于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。
红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。
第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：
21 1 2 21 122 22
μ ββμ βμ βμ
μ ββμ βμ βμ
―― 体系N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式：
，将其带回到运动方程得到：
mA e e B A
mB e e A B
ωβ β ββ
ωβ β ββ
ωωω ω ω
ωω ωωω
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若A、B有非零的解，系数行列式满足：
ωωω ω ω
ωω ωωω
12 1 2 1 2
iaq iaq iaq iaq
ee e eωωω ω ω ω ω
1ω ωω== = =ω代入得到
(11 ) 20(10 c 01) osaqωω ωω?? =
(11 20cos 101)qaωω=± +
―― 两种色散关系
(11 121)ωω=±：
(11 81)ωω=±：
色散关系如图XCH003_019所示。
Q03_03_003 计算一维单原子链的频率分布函数)(ωρ
设单原子链长度 NaL =
，每个波矢的宽度：
=，状态密度
dq间隔内的状态数：dq
，对应±，q ω取相同值
2)( ×=
一维单原子链色散关系：)
两边微分得到 dq
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ωωω ?=，
×=×
频率分布函数
Q03_03_004 设三维晶格的光学振动在0=q附近的长波极限有：
)( Aqq ?=ωω
证明：频率分布函数
三维晶格振动的态密度
间隔内的状态数：dqq
对两边微分得到
)( Aqq ?=ωω Aqdqqd 2)( ?=ω，)(
dq ω?=和ωω ?=
ω ωω ωω
ωω &，为虚数，有
)( ωω ? () 0f ω =
Q03_04_001 写出一维近自由电子近似，第n个能带（1, 2, 3n =）中，简约波矢
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一维近自由电子近似，用简约波矢表示的波函数
第n个能带零级波函数：
如图XCH004_006所示。
第一个能带：m，0=
第二个能带：
第三个能带：
Q03_04_002 电子在周期场中的势能函数：
bnaxbnanaxbm
且ba 4=，ω是常数。
1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值；
2) 用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙宽度。
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势能曲线如图XCH004_049所示。
势能的平均值：
令nax ?=ξ， NaL =
V ξξω )(
在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数
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晶体的第一个禁带宽度：
晶体的第二个禁带宽度：
Q03_04_003 一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理。如果晶格常数为 ,电子的波函数为 a
maxfix )()()(ψ
laxfx )()(ψ，求电子在这些态中的波矢。
根据布洛赫定理 )()( reRr
一维情形 )()( xenax
ψψ =+ , )()( xeax
1）电子的波函数：πψ
sinsin)( ?=
=+，)()()( xexax
ψψψ =?=+
2）电子的波函数：
maxfix )()()(ψ
???=+ ])1([)()( amxfiax
????= ])1([)(
)()()( xilaxfii
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3）电子的波函数：)(
ψππψ ?=?=
4）电子的波函数：
laxfx )()(ψ
alxfax ])1([)(ψ )()( xmaxf
Q03_04_004 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数。
当只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级
相对应的能带)(kE
函数可以表示为：
面心立方晶格如图XCH_001_007所示。任意选取一个格
点为原点。
有12个最邻近的格点，其位置为
++=等12个格矢代入
s原子态波函数具有球对称性：
() ( )[() ()]()}
JJR RU V d? ξξξ?ξ== ? ?
K KKKKK K
Ek J J eε
++=代入进行计算。
kR ki kj kk i j k?= + + ? + +
KKK KKKK
kR k k?= +
(cos sin )(cos sin )
―― 类似的表示共有12项
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经过化简得到：
( ) 4 (cos cos cos cos cos cos )
ka ka ka ka
Ek J Jε=?? + +
体心立方格子如图XCH_001_003所示，任意选取一个格点为原点。
有8个最邻近的格点，其位置为
++=等8个格矢代入
s原子态波函数具有球对称性：
() ( )[() ()]()}
JJR RU V d? ξξξ?ξ== ? ?
K KKKKK K
Ek J J eε
k代入进行计算。
kR ki kj kk i j k?= + + ? + +
KKK KKKK
kR k k k?= ++
(cos sin )(cos sin )(cos sin )
i k k k ik ik ik
ka ka ka ka
―― 类似的表示共有12项
经过化简后得到：
() 8 cos cos cos
Ek J Jε=??
Q03_04_005 有一个一维单原子链，原子间距a，总长度LNa=
1）用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带)(kE
2）求出其能带密度函数的表达式
时的费密能级和处的能态密度。
E3）如每个原子s态中只有一个电子，计算T K0=
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只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应的能带)(kE
函数可以表示为：
―― 任意选取一个格点为原点。
s原子态波函数具有球对称性：
Ek J J eε
有两个最近邻的格点，其坐标为：
ε得到： )()(
E kJJkaε=??
能带函数：
一维情形下的能态密度：， kaJJkE
??=ε dkkaaJkdE
对于一维格子，波矢为k and k+ ?具有相同的能量，此外考虑到电子自旋有2种取向，因此在区
间的状态数：
能态密度函数：
总的电子数 ―― 其中
() 2 cos 2
Ek JJka JJεε
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arcsin arcsin
E Jε=? 费密能级：
0T= K时的费密能级：
E Jε=? ―― 代入
0T=时费密能级处的能态密度：
Q03_04_006 半金属交叠的能带：
( ) (0) , 0.18
() ( ) ( ), 0.06
Ek Ek k k m m
其中为能带1的带顶，为能带2的带底，交叠部分：
(0) ( ) 0.1EEk eV? =
由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能
带1中形成空穴，讨论时的费密能级。 0T= K
半金属的能带1和能带2如图XCH004_050所示。
能带1的能态密度
2[(0) ()]mE Ek
2[ (0) ( )] /
EEEk?= ?=
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(2 ) 2[ (0) ( )] /
() ( ) (0) ()
同理能带2的能态密度：
() ( ) () ( )
半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带，形成绝缘体。但由于能带交叠，能带1中的
电子填充到能带2中，满足
N E dE N E dE=
11 2 2022 22
() (0) () () () ()
EEkdE EkEkd
[(0) ()] [() ()]
mE Ek mEk Ek?? = ?
[(0) ] [ ()]
mE E mE E k?= ?
0.18 , 0.06mmmm==
(0) ( ) 0.1EEk eV? =代入得到：
Q03_04_007 设有二维正方晶格，晶体势场为：)
cos(4),( y
用近自由电子近似的微扰论，近似求出在布里渊顶角),(
处的能隙。
晶体布里渊顶角),(
处的能隙：
在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数
ddd ξξξ =
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, ξξ +=+= anyanx代入
布里渊顶角：
??=+='，
布里渊顶角),(
处的能隙：
Q03_04_008 限制在边长为L的正方形中的N个电子，电子的能量为：)(
1）求能态密度
2）求二维系统在绝对零度时的费米能量
=+，对于给定的能量，方程在波矢空间是一个圆。
在k空间，单位面积内的状态数：
k =的圆内的状态数：
能量E到E+dE之间的状态数：dE
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能态密度：
能量电子的数目：，dEEE +→ dEEfENdN )()(= dEEf
绝对零度时：0T =
绝对零度时的费米能量：
Q03_04_009 如果
EkE +++= , 求能态密度。
EkE +++=改写为1][
这是k空间的一个椭球方程，其半轴a, b, c分别为
椭球在k空间的体积abc
k空间的状态密度
，椭球内的状态数:
3/2 1/2 1/2
() ( ) ( ) ( )
NE mmm E E
Q03_05_001 设一维晶体的电子能带可以写成：)2cos
，式中a为晶
格常数。计算1）能带的宽度；2）电子在波矢k的状态时的速度；3）能带底部和能带顶部电子的
有效质量。
1）能带底部：， 0=k 0)0( =E
能带顶部：
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能带宽度：
() (0)EE E
2）电子在波矢k的状态时的速度：
() (sin sin2 )
= =，)2cos
能带底部电子的有效质量：，0=k *2mm=
能带顶部电子的有效质量：
Q03_05_002 设电子等能面为椭球：
++=，外加磁场B相对于椭球主轴方
向余弦为γβα ,,
1) 写出电子的准经典运动方程
2) 证明电子绕磁场回转频率为：
γβα mmm
恒定磁场中电子运动的基本方程：Bkvq
= ×?= )(
γβα kkkBB
电子的速度：)(
电子能量：
电子速度：
将电子速度和磁感应强度代入电子运动方程：Bkvq
= ×?= )(，应用
=×关系
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γβα kkkk

++×++?=
运动方程：
代入运动方程得到：
,, kkk有非零解，系数行列式为零：0
βγαωω
0=ω无意义，因此旋转频率：
mm mα βγ
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Q03_06_001在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成：。
如果一个摩尔的金属钾有个电子，求钾的费米温度和德拜温度
KmolmJTTC ?+= /57.208.2
106×=N
一摩尔的电子对热容的贡献：
与实验结果比较得到： KmolJTk
?×== /1008.2)(
费米温度：
××
根据德拜定律：
与实验结果比较得到：
( ) 2.57 10 /
德拜温度：
××
Q03_06_002 设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明在KT 0=时
1） 每个电子的平均能量
2） 自由电子气的压强满足UpV
金属中自由电子的能态密度：
时，费米分布函数：
每个电子的平均能量：
金属中的电子总数：，
)()( dEEfENN
U π=得到：
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将电子气看作是理想气体，压强Unp
Q03_07_001 InSb的电子有效质量0.015
mm=，介电常数18ε =，晶格常数，计
0.6479an= m
1) 施主的电离能
2) 基态的轨道半径
3) 如果施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？
(18) (4 ) (2 )
基态的轨道半径：
* 0.015 0.015
πεε πε
，62.4anm=
相邻杂质原子的轨道之间发生交叠，杂质原子之间的间距：2 124.8da nm= =
施主浓度：
5.1 10 /ncm
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