结果如果对k的取值做了详细讨论的也算对
时间： 12:01:05
亲，只要你选择了《数字信号处理》这门课，或者说你自学了，想测试一下自己的能力水平，当你看到这个文档，我负责任的告诉你，亲，你找对地方了！本文档收集整理了各种复习资料，名校的历年的考试题，已经相关答案，提供亲们复习使用！如果觉得资料好，请在右边给五分！谢谢亲的支持！下载打印出来，作为复习资料，事半功倍哦！&&&&《数字信号处理》考试题（A）&&&&注：通信/电子专业学生做一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一题；工程电子学生做一、二、三、四、五、六、七、八、九、十二、十三题。做错题者不给分。&&&&一、研究一个线性时不变系统，其单位冲激响应为指数序列h(n)?a?u(n)其中0a1，求其对&&&&n&&&&矩形输入序列x(n)?RN(n)&&&&?10?n?N?1的输出序列。（15分）其它?0&&&&二、过滤限带的模拟数据时常采用数字滤波器如图所示，图中T表示采样周期，假设T足够小，足以防止混迭效应，则从x(t)到y(t)的整个系统可以等效为一个模拟滤波器。x(t)采样（T）x(n)h(n)y(n)D/A理想低通Ωc=π/Ty(t)&&&&第2题图&&&&?rad；1/T=10KHz，求整个系统的截止频率。（8分）811三、求x(n)?(?)nu(n)?10()nu(?n?1)的Z变换（10分）102&&&&如果截止频率为&&&&四、设序列x(n)是长度为4的序列即x(n)?{2,1,0,1}，试求x(n)离散傅里叶变换X(k)。分）（7五、如图表示两个周期都为6的有限长序列，确定这两个序列的6点圆周卷积。(共10分)&&&&x1(n)&&&&12345&&&&62&&&&x2(n)&&&&&&&&六、试画出8点按频率抽取的FFT算法流图，要求具有自然顺序输入，反序输出，并表示成“原位”计算。（共8分）七、试画出H(z)?&&&&3?4.2z?1?0.8z?2直接II型结构图。2?0.6z?1?0.4z?2&&&&（6分）&&&&八、使用窗函数法设计一个线性相位FIR数字低通滤波器，要求该滤波器满足技术指标：1.通带截止频率Ωp=30πrad/s，此处衰减不大于-3db。&&&&2.阻带起始频率Ωs=46πrad/s，此处衰减不小于-40db。3.对模拟信号进行采样的周期T=0.01s。（10分）(N?n)k?nknk*九、证明WN（6分）?WN?(WN)十、用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，采样频率为fs=1.2kHz，截止频率为fs=400Hz。分）（8十一、一个简单的两点差分器可用下式描述&&&&y(n)?x(n)?x(n?2)&&&&其中x(n)为一零均值，方差为?x2的白噪声信号，试求输出y(n)的自相关函数和功率谱密度。（12分）十二、已知模拟滤波器的系统传递函数为&&&&H(s)?&&&&s?a(s?a)2?b2&&&&试使用脉冲响应不变法将上述传递函数转变为数字滤波器的传递函数。分）（8十三、随机相位正弦序列X(n)?Asin(2?fnTs)，式中A,f均为常数，是随机变量，（0～Φ在&&&&?210?22π）内服从均匀分布即P(?)求该序列的均值、自相关函数并判断其平稳性。?0其它&&&&(12分)&&&&附录:可能用到的数据&&&&表1归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表&&&&阶次1&&&&归一化系统函数&&&&1s?1&&&&&&&&23&&&&1s2?2s?s?1&&&&表2窗函数性能表&&&&窗函数矩形窗汉宁窗海明窗布莱克曼窗&&&&旁瓣峰值衰减（db）-13-31-41&&&&过渡带宽4π/N8π/N8π/N&&&&窗函数&&&&?(n)&&&&?(n)?sin2&&&&?1n?0,1,2,?,N?1其它?0&&&&-57&&&&12π/N&&&&n?n?0,1,2,?,N?1N?12?n?(n)?0.45?0.46cos()n?0,1,2,?,N?1N?12?n4?n?(n)?0.42?0.5cos()?0.08cos()N?1N?1n?0,1,?,N?1&&&&《数字信号处理》考试题&&&&一、共15分输出序列&&&&(A)答案&&&&y(n)?x(n)*h(n)&&&&k?&&&&?x(k)h(n?k)&&&&?&&&&k?&&&&?R&&&&?&&&&N&&&&(k)an?ku(n?k)&&&&（1）当n0时，y(n)=0.（3分）（2）当0≤nN-1时，x(k)与h(n-k)在k=0到k=n有非零区间重叠，即：&&&&y(n)x(k)h(n?k)an?k?an?(a?1)k&&&&k?0nk?0k?0&&&&n&&&&n&&&&n&&&&1?a?a1?a?1&&&&?n?1&&&&（6分）&&&&&&&&（3）当n≥N-1时，x(k)与h(n-k)在k=0到k=N-1有非零区间重叠，即：&&&&y(n)x(k)h(n?k)an?k?an?(a?1)k&&&&k?0k?0k?0&&&&N?1&&&&N?1&&&&N?1&&&&1?a?an1?a?1&&&&?N&&&&（6分）&&&&二、共8分（1）h(n)的截止频率为?rad，其对应的模拟频率为：8&&&&?Tc?c?T8T&&&&c?&&&&因为低通滤波器的截止频率为π/T，所以系统的截止频率为π/8T，即&&&&?c&&&&T&&&&?&&&&?&&&&8T&&&&?10?103?3925rad/s?625Hz（8分）8&&&&三、共10分1令x1(n)?(?10)nu(n)x2(n)?(1)nu(?n?1)2则：X1(z)?&&&&z1z?10&&&&1z?10&&&&（3分）&&&&1n2&&&&X2(z)?&&&&?&&&&n&&&&n?&&&&?&&&&x2(n)z?n?&&&&n&&&&n?&&&&?(&&&&?&&&&)z?n&&&&（5分）&&&&12&&&&2znn?()z?1?2zn?1&&&&1?n2&&&&z?&&&&?X(z)?X1(z)?10X2(z)?&&&&四、共7分&&&&N?1n?03&&&&z20z?1z?101?2z&&&&?j?nk2&&&&11?z?102&&&&（2分）&&&&nkX(k)x(n)WNx(n)en?0&&&&?X(k)?{4,2,0,2)&&&&五、共10分10122六、共8分468&&&&(7分)&&&&012345&&&&n&&&&x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)&&&&x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)&&&&WN1WN2WNWN&&&&3&&&&0&&&&WN2WN&&&&0&&&&WNWN&&&&00&&&&0&&&&WN2WN&&&&WN&&&&0&&&&WN&&&&0&&&&&&&&七、共6分&&&&1.52.1x(n)Z-1Z-10.4y(n)&&&&-0.3八、共10分解：（1）选择海明窗(2分)（2）?ssT?0.46?0.2&&&&?ppT?0.3?&&&&sp?0.16?&&&&N?&&&&p?450sin0.3?nn?&&&&选N=51(3分)(3)根据题意得理想低通滤波器的单位脉冲响应为：&&&&hd(n)?&&&&（2分）&&&&对hd(n)进行m?&&&&N?1?25移位得2sin0.3?(n?25)?hd(n)?(n?25)?&&&&乘以窗函数后为：&&&&h(n)?&&&&sin0.3?(n?25)2?n[0.45?0.46cos()]0?n?50(n?25)?N?1&&&&（3分）&&&&九、共6分&&&&(WNN?n)k?e?WNnk?e?&&&&j2N(N?n)k&&&&?e&&&&?j2N&&&&?j2Nnk&&&&（2分）（2分）&&&&?j2N&&&&(?n)k&&&&?e&&&&nk&&&&&&&&nk(WN)*?(e&&&&j2Nnk*&&&&)?e&&&&?j2Nnk&&&&（2分）&&&&(?nk?WNN?n)k?WNnk?(WN)*&&&&十、共8分解：1.求数字频率&&&&ccT?23&&&&2.预畸变&&&&?222?Ttg2c?TtgT3c3&&&&（2分）&&&&3.查表得归一化巴特沃斯低通滤波器的系统函数为：&&&&?Ha(s)?&&&&令s?&&&&1s2?2s?1&&&&s得c&&&&1(2T3)s?2T32s?1&&&&22&&&&Ha(s)?&&&&（2分）&&&&4.双变换后为：&&&&H(z)?Ha(s)s?21?z?1?&&&&T1?z?1&&&&3?6z?1?3z?2(4?6)?4z?1?(4?6)z?2&&&&（4分）&&&&十一、共12分1．求自相关函数（1）求系统的单位脉冲响应&&&&h(n)(n)(n?2)&&&&（2分）&&&&n?0?1?即：h(n)?1n?2?0其他?&&&&（2）求h(n)的自相关函数&&&&1&&&&0&&&&1-1&&&&2&&&&Rh(m)?&&&&n&&&&n?&&&&?h(n)h(n?m)&&&&Rh(2)?，?1&&&&（2分）&&&&R(0)?1?1?2，Rh(1)?0，&&&&Rh(?1)?0，Rh(?2)?1，其它Rh(m)?0（3）?x(n)是白噪声?Rx(m)x2?(m)&&&&&&&&?&&&&Ry(m)?Rx(m)*Rh(m)?Rx(m)*?x2?(m)x2Rh(m)&&&&（2分）&&&&?2?x2m?0?2即：Ry(m)xm2?0其它?&&&&2.求功率谱密度（1）系统幅度平方函数：&&&&H(ej?)?H(z)z?ejsin?[sinjcos?]&&&&H(ej?)?4sin2?&&&&（2）功率谱密度：&&&&2&&&&（3分）（3分）&&&&Py(ej?)?Px(ej?).H(ej?)?4?x2sin2?&&&&十二、共8分1.将Ha(s)化成部分因式和的形式：&&&&Ha(s)?&&&&12&&&&s?a?bj&&&&1?e&&&&?&&&&12&&&&s?a?bj&&&&z?1?1?e&&&&（3分）&&&&12(?a?bj)T&&&&则：H(z)?&&&&12(?a?bj)T&&&&z?1&&&&（5分）&&&&十三、共12分解：1.?x(n)?02.rx(n1,n2)?&&&&A22&&&&（4分）&&&&cos2?f(n1?n2)Ts&&&&（4分）&&&&（4分）&&&&3.是平稳随机过程&&&&哈哈，测试怎么样呢？来，复习一下吧：&&&&一、填空题（每空1分，共13分）1、若xa?t?是频带宽度有限的，要想抽样后x?nxa?nT?能够不失真地还原出原信号&&&&xa?t?，则抽样频率必须大于或等于两倍信号谱的最高频率，这就是奈奎斯特&&&&抽样定理。2、如果系统函数H?z?的收敛域包括单位圆&&&&，则系统是稳定的。&&&&3、圆周卷积可被看作是周期卷积的主值；圆周卷积的计算是在主值区间中进行的，而线性卷积不受这个限制。4、直接计算一个序列N点的DFT所需的复数乘法次数为N2，复数加法次数为NN?N?1?；用FFT算法计算DFT所需的复数乘法次数为log2N，复数加法次数2&&&&&&&&为Nlog2N。5、频率分辨力是指对两个最近的频谱峰值能够分辨的能力。。6、表征数字滤波器频率响应特性的三个参量是幅度平方响应、相位响应、群延时响应。二、1、①解：&&&&?&&&&6&&&&，&&&&2?&&&&?&&&&?&&&&212为整数，?6&&&&（3分）&&&&2?&&&&所以此序列为周期序列，且最小周期为②解：&&&&12?2?，（316?为无理数，分）?188所以此序列为非周期序列。（2分）&&&&?&&&&?12；&&&&（2分）&&&&2、①设x?nM，则有y?n2x?n3?2M?3，所以该系统是稳定系统。（3分）由于y?n?仅取决于现时的输入x?n?，所以该系统为因果系统。分）（2＋?01?2，所以该系统稳定。分）②Sh?n?2n2?n?（31n＝－?n?n?01?2由于n?0时，h?n0，所以该系统为非因果系统。分）（2三、（1）解：Z?n?m?&&&&n?&&&&?n?m?z&&&&&&&&?n&&&&?1?z?m?z?m&&&&（3分）&&&&m?0时，收敛域为0?z；&&&&m?0时，收敛域为0?z；m?0时，收敛域为0?z。&&&&（2分）&&&&1?n1?n?n＋1?1?n?1?1?1?z?1?（2）解：Z?u?nz＝z?＝?21－1z?1?n＝0?2?2n?0?2?21?n?11即：Z?u?n?（3分）（2分）z?1221?z?121（3）解：由收敛域z?可知，X?z?对应的是一个左边序列，（2分）211X?z＝111?z?11－?－z?1?2?2?&&&&&&&&?1x?nZ?1?X?z?un?12?&&&&n&&&&（3分）&&&&四、解：（1）x?nx?n结果的波形为：&&&&n?&&&&?x?m?x?n?m?&&&&10&&&&&&&&x?nx?n?&&&&8&&&&8&&&&4&&&&4&&&&10123&&&&1456n（4分）&&&&（2）结果的图形为：&&&&x(n)4x(n)&&&&989&&&&10&&&&0&&&&1&&&&23&&&&n（4分）&&&&（3）由于8?4?4?1，所以利用（1）得结果的图形为：&&&&&&&&x(n)8x(n)&&&&8&&&&108&&&&4&&&&4&&&&10123&&&&14567n（4分）&&&&?jknkn?X五、解：?kDFS[x?n?]x?n?WNx?n?eN,?k（3分）n?0n?0&&&&N?1&&&&N?1&&&&2?&&&&图示序列周期为4，即N?4，所以其傅立叶级数的系数为：&&&&?kDFS[x?n?]x?n?eX&&&&n?03?jkn2&&&&（2分）&&&&?&&&&?2?1?e&&&&?jk2&&&&?&&&&?2?cos&&&&?&&&&2&&&&?0?1?e&&&&?j3k2&&&&?&&&&k?jsin&&&&?&&&&k,?k2六、解：由题意，X?kDFT?x?n,Y?kDFT?y?n&&&&?2?2cos&&&&?&&&&2&&&&k?cos&&&&3?3?k?jsink22&&&&（5分）&&&&构造序列Z?kX?kjY?k?&&&&（3分）&&&&对Z?k?作一次N点IFFT可得序列z?n?，z?nIDFT?Z?k又根据DFT的线性性质，z?nIDFT?Z?k?IDFT?X?kjY?k&&&&?x?n&&&&?IDFT&&&&?Xkj?y?n&&&&jI?FT?YkD&&&&（5分）&&&&y?nIm?z?n（2分）&&&&而x?n?,y?n?都是实序列，?x?nRe?z?n,七、解：对系统函数求反z变换，得13h?n?n?n1?55&&&&n2&&&&3?5&&&&n3&&&&1?5&&&&n4?（2分）?&&&&&&&&得h?0h?4&&&&1?0.253h?1h?30.6?5h?21&&&&即，h?n?是偶对称的，对称中心在n?得线性相位结构。结构图如下：&&&&x?n?&&&&N?1，?2处，N为奇数（N=5）2（3分）&&&&z?1&&&&z?1&&&&z?1&&&&0.20.6&&&&z?1&&&&1&&&&y?n?&&&&（5分）&&&&八、解：冲激响应不变法：将Ha?s?展开成部分分式得：Ha?s&&&&211?s?1s?3?s?1s?3&&&&TAk得：skT?1zk?11?e&&&&N&&&&（2分）&&&&Ha?s?的极点为s11,s23，由式H?z?&&&&（3分）&&&&H?z&&&&TT,T?11?ez1?e?3Tz?1&&&&（2分）&&&&又T＝，?H?z1&&&&111?11?ez1?e?3z?1&&&&（1分）&&&&0.?0..0183z?2&&&&（2分）&&&&&&&&评分细则&&&&一、1、第一个空填“?”也对；2、填“z?1”或“z?ej?”也对；二、1、由于题目只要求判断，不要求说明理由，所以②的答案不要求写推导过程，结果正确就得5分，但若写了过程就要遵循参考答案的过程打分。2、由于题目只要求判断，不要求说明理由，所以答案不要求写推导过程，但若写了过程就要遵循参考答案的过程打分。①若判断时，没有带绝对值符号则扣1分；②若写成s?2，则扣1分（s只是无限地接近2，即s?2）三、求得z变换后没有给出收敛域的扣2分，写了但是写错的扣1分；z变换的公式写对，但是算错的扣3分。四、对每一小题，只要画出最后的结果图就可得全部分。若有计算过程，算错一个点值扣一份，直到全部扣完。五、DFS的公式写错的，此题没有分。结果如果对k的取值做了详细讨论的也算对，但只需做到答案的结果就可得全部分。没注明k的取值范围的扣1分。六、按参考答案上的过程打分。七、图中的箭头或系数标错的，每错一个扣一分。八、用冲激响应不变法求解，最后的结果中系数没有算出具体数值的扣2分。如果用抽样的方法进行推导，结果会有出入（分子上没有T），扣4分。&&&&第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。第二章离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理&&&&&&&&计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从（a）（b）&&&&x(t)到y(t)的整个系统等效为一个模拟滤波器。&&&&如果对于&&&&h(n)截止于?8rad,1T?10kHz，求整个系统的截止频率。&&&&1T?20kHz，重复（a）的计算。&&&&y?n?&&&&D/A理想低通?cT&&&&x?t?&&&&采样（T）&&&&x?n?&&&&h?n?&&&&y?t?&&&&解（a）因为当&&&&?8rad时H(ej?)?0，在数&&&&Y(ej?)?11j?Xa(j?)?Xa()TTT&&&&—模变换中&&&&所以h(n)得截止频率&&&&?c8对应于模拟信号的角频率?c为&&&&?cT?&&&&?&&&&因此&&&&由于最后一级的低通滤波器的截止频率为是625Hz。（b）采用同样的方法求得1T&&&&8?1fc?c625Hz2?16T?&&&&T&&&&，因此对&&&&?&&&&8T&&&&没有影响，故整个系统的截止频率由H(e&&&&j?&&&&)决定，&&&&?20kHz，整个系统的截止频率为&&&&fc?&&&&1?1250Hz16T&&&&二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1．设序列&&&&x(n)的傅氏变换为X(ej?)，试求下列序列的傅里叶变换。x*(n)（共轭）&&&&（1）（2）解：（1）x(2n)由序列傅氏变换公式&&&&x(2n)&&&&j?)?DTFT[x(n)]?X(e&&&&n?&&&&?x(n)e&&&&?&&&&?j?n&&&&可以得到DTFT[x(2n)]?&&&&n?&&&&?&&&&?&&&&x(2n)e?jn&&&&n?为偶数&&&&?x(n?)e&&&&?j?n?2&&&&&&&&&&&&?j?n12[x(n)?(?1)nx(n)]e2n?&&&&?&&&&?&&&&?jnj()n1?1x(n)e2?2n?x(n)e22n&&&&?&&&&jj()11?X(e2)?X(e2)22jj1?X(e2)?X(?e2)2&&&&?&&&&?&&&&（2）&&&&x*(n)（共轭）&&&&x*(n)?&&&&n?&&&&解：DTFT&&&&?x*(n)e&&&&?&&&&?jn?&&&&?[?x(n)ejn?]*?X*(e?j?)&&&&n?&&&&?&&&&2．计算下列各信号的傅里叶变换。&&&&2nu[?n]（a）&&&&（c）&&&&1()nu[n?2]（b）4&&&&?[4?2n]&&&&1nn()2（d）&&&&n?&&&&解：（a）&&&&X(?)?&&&&?&&&&?2nu[?n]e?j?n?&&&&n&&&&?&&&&n?&&&&?2&&&&0&&&&n&&&&e?j?n&&&&1(ej?)?n?02&&&&?&&&&111?ej?2&&&&?1n1?j?n（）u[n?2]e()ne?j?n（b）X(?)n?4n24&&&&1m?2j?(m?2)ej2?()e?161m?041?e?j?4&&&&?&&&&（c）&&&&X(?)?&&&&?X(?)?&&&&n&&&&n?&&&&?x[n]e&&&&1&&&&n&&&&?&&&&?j?n&&&&?&&&&n?&&&&?j?n&&&&[4?2n]e&&&&?&&&&?j?n&&&&?e?j2?&&&&（d）&&&&（?2）e&&&&11?[1]1?j?1j?1?e1?e22&&&&利用频率微分特性，可得&&&&?dX(?)X(?)jd?1111eje?j?1j?221?j?22(1?e)(1?e)22jwx(n)的傅里叶变换为X(e)，求下列各序列的傅里叶变换。3．序列&&&&&&&&（1）&&&&?&&&&x*(?n)&&&&*?jwn&&&&（2）&&&&Re[x(n)]&&&&?jw(?n)&&&&(3)&&&&nx(n)&&&&解：（1）&&&&n&&&&?x(?n)e&&&&?&&&&?&&&&（2）&&&&n?&&&&?Re[x(n)]e&&&&?jwn&&&&?&&&&?&&&&n?&&&&?2[x(n)?x(n)]e&&&&?&&&&n&&&&?[x(?n)e&&&&1&&&&?&&&&]*?X*(ejw)&&&&?jwn&&&&1?[X(ejw)?X?(e?jw)]2&&&&1dx(n)e?jwnd?dX(ejw)?j?x(n)e?jwn?jjdwdwn?dwn?n?jwx(n)的傅里叶变换为X(e)，求下列各序列的傅里叶变换。4．序列&&&&（3）&&&&?nx(n)e?jwn?&&&&&&&&（1）&&&&?&&&&x?(n)&&&&jwn&&&&（2）&&&&jIm[x(n)]&&&&?j(?w)(?n)&&&&(3)&&&&x2(n)&&&&解：（1）（2）&&&&n?&&&&?x(n)e&&&&?&&&&?&&&&n?&&&&?[x(n)e&&&&?&&&&]?[?x(n)e?j(?w)n]X?(e?jw)&&&&n?&&&&?11?[x(n)?x?(?n)]e?jwn?[?x(n)e?jwnx?(n)e?jwn]?2n?n?2n?&&&&1X(ejw)?x(n)e?j(?w)n?2n&&&&（3）&&&&?&&&&?&&&&&&&&1X(ejw)?X?(e?jw)2&&&&?12?n&&&&?&&&&?&&&&?&&&&X(ej?)dx(n)e?j(w)nn&&&&n?&&&&?x2(n)e?jwn?&&&&?&&&&1?j?j(w)?X(e)X(e)d?2?1?X(ej?)?X(ejw)2?x(n)和X(ejw)表示一个序列及其傅立叶变换，利用X(ejw)表示下面各序列的傅立叶变换。5．令?&&&&（1）&&&&g(n)?x(2n)&&&&（2）g(n)&&&&?x?n2?n为偶数n为奇数?0&&&&n?&&&&解：（1）G(e&&&&jw&&&&)?&&&&?g(n)e?jnw?&&&&?&&&&n?&&&&?x(2n)e?jnw?&&&&?&&&&k?k为偶数&&&&?x(k)e&&&&?&&&&k?jw2&&&&&&&&?jw1x(k)?(?1)kx(k)e2k?2&&&&?&&&&?&&&&?&&&&k&&&&&&&&?jk?jk1?1?x(k)e2x(k)(ej?)e2?2k?2k?wj?jk()11?2X(e2)x(k)e22k?ww&&&&w&&&&wwj11?j(2)?2?X(e)?X?e?22wwjj?1?2X(e)?X(?e2)?2&&&&（2）G(e6．设序列（1）&&&&jw&&&&)?&&&&n?&&&&?g(n)e?jnw?&&&&n0&&&&?&&&&r?&&&&?g(2r)e?j2rw?&&&&jw&&&&?&&&&r?&&&&?x(r)e&&&&?&&&&?jr2w&&&&?X(ej2w)&&&&x(n)傅立叶变换为X(e)，求下列序列的傅立叶变换。&&&&为任意实整数&&&&x(n?n0)&&&&?x?n2?n为偶数n为奇数?0x(2n)（3）&&&&（2）g(n)解：（1）X(e&&&&)?e?jwn0x(n)（2）2g(n)?&&&&jw&&&&n为偶数&&&&?X(ej2w)&&&&n为奇数&&&&2&&&&0（3）x(2n)&&&&?X(e&&&&jw&&&&)&&&&7．计算下列各信号的傅立叶变换。&&&&1()n?u(n?3)?u(n?2)?（1）218cos(?n)?sin(2n)7（2）&&&&（3）x(n)&&&&cos(?n3)－1?n?4?0其它?&&&&?2?&&&&?jkn1n【解】（1）X(k)()?u(n?3)?u(n?2)?eNn?2&&&&1?jkn?1?jkn()neN()neNn32n?22&&&&?&&&&2?&&&&2?&&&&&&&&?&&&&8e&&&&j3&&&&2?kN2jkN&&&&11?e2&&&&?&&&&14&&&&e&&&&?j2&&&&2?kN2?&&&&1?jk1?eN2&&&&2?&&&&15?j5Nk2?1?()ej3k2?8eN2?1?jNk1?e218（2）假定cos(?n)和sin(2n)的变换分别为X1(k)和X2(k)，则7&&&&?2?18?2?18?X1(k)?(k?2k?)(k?2k?)?N7N7?k22X2(k)(k?2?2k?)(k?2?2k?)?jkNN?所以X(k)?X1(k)?X2(k)?2?182?2?18(k?2k?)(k?2k?)?j?(k?2?2k?)?j?(k?2?2k?)?7N7NN?kN&&&&（&&&&3&&&&）&&&&X(k)?&&&&n4&&&&?cos3ne&&&&4&&&&4&&&&?&&&&?jn&&&&2?kN&&&&?jn?jnk1jn(e3?e3)eNn42&&&&?&&&&?&&&&2?&&&&1j4(Nk?3)9j(3?Nk)n1j4(Nk?3)9j(3?N)n?e?e?e?e22n?0n?0&&&&2?&&&&?&&&&?2?&&&&2?&&&&?&&&&?2?&&&&1?e2&&&&2j4(k?)N3&&&&1?e1?e&&&&?2?j(?k)93N?2?j(?k)3N&&&&1?e2&&&&2j4(k?)N3&&&&1?e1?e&&&&?2?j(?k)93N?2?j(?k)3N&&&&8．求下列序列的时域离散傅里叶变换&&&&x?(?n)，Re?x(n)?，x0(n)&&&&?&&&&?x?(?n)?x(?n)e?j?(?n)X?(ej?)解：?11?Re?x(n)?2?x(n)?x?(n)?e?j?n?2?X(ej?)?X?(e?j?)Xe(ej?)?1x0(n)e?j2x(n)?x?(?n)?e?j?n?jImX(ej?)&&&&?&&&&?&&&&?&&&&三、离散时间系统系统函数填空题：1．设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（）。&&&&&&&&解：由线性相位系统零点的特性可知，z点需4个1组，所以系统至少为7阶。简答题：&&&&?1的零点可单独出现，z?0.8的零点需成对出现，z?1?j的零&&&&2．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数min有何特点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式&&&&H&&&&(Z)&&&&P(Z)H(Z)Q(Z)&&&&?bZ&&&&r?0Nrk?1&&&&M&&&&?r&&&&1akZ&&&&?k&&&&，他的所有极点都应在单位圆内，即?k&&&&?1。但零点可以位于&&&&Z平&&&&面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G(Z)&&&&?1&&&&H(Z)&&&&也是稳定因果的。这就需要&&&&H(Z)的零点也位于单位圆内，即?r?1。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这&&&&个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值先求&&&&H(ejw)&&&&唯一确定。e从&&&&jw&&&&求H(Z)的过程如下：给定&&&&ejw&&&&，&&&&1kkw(Z?Z?k)替代cos()2G(Z)?H(Z)H(Z?1)。最后，最小相位系统由单位圆内的G(Z)的极、零点形成。&&&&ejw&&&&2&&&&，它是&&&&cos()kw&&&&的函数。然后，用&&&&，我们得到&&&&一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即&&&&H(Z)?Hmin(Z)Hap(Z)&&&&完成这个因式分解的过程如下：首先，把H(Z)的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数Hmin映射回单位圆外。3．何谓全通系统？全通系统的系统函数&&&&(Z)是最小相位的。然后，选择全通滤波器Hap(Z)，把与之对应的Hmin(Z)中的零点&&&&Hap(Z)&&&&有何特点？&&&&解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap(Z)对应的傅里叶变换幅值条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即&&&&H(ejw)?1，该单位幅值的约束&&&&P(Z)Hap(Z)Q(Z)&&&&倒数点Z&&&&?bZ&&&&r?0Nrk?1&&&&M&&&&?r&&&&1akZ&&&&?k&&&&&&&&?Z?1k?1k?11kZN&&&&。因而，如果在Z&&&&k处有一个极点，则在其共轭&&&&?1&&&&k&&&&处必须有一个零点。&&&&4．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。&&&&x?n?&&&&h?n?&&&&y?n?&&&&解：频率响应：H(e&&&&j?&&&&)h(n)e?j?n&&&&&&&&?&&&&&&&&系统函数：H(Z)&&&&?1&&&&h(n)Z?n&&&&&&&&?&&&&差分方程：Z&&&&?Y(Z)X(Z)?&&&&?&&&&卷积关系：&&&&y(n)h(n)?x(n)&&&&第三章离散傅立叶变换&&&&一、离散傅立叶级数计算题：1．如果有&&&&~(n)~(n)xx是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把看作周期为N的周期序列~~~(n)?X(k)~(n)?X(k)~(n)xxx&&&&1&&&&~~X（k）X（k）1表示2。&&&&（周期为N）；把&&&&看作周期为2N的周期序列有&&&&2&&&&（周期为2N）；试用&&&&解：&&&&N?1N?1?jkn~knX1(k)~(n)WN~(n)eNxxn?0n?0&&&&2?&&&&2N?1N?12N?1?jn?jn~X2(k)~(n)W2kn~(n)eN2~(n)eN2xxxN&&&&2?k&&&&2?k&&&&对后一项令n?&&&&n?0&&&&n?0&&&&n?N&&&&?n?N，则&&&&2?k2?kn?0n0&&&&N?1N?1?jn?j(nN)~X2(k)~(n)eN2~(nN)eN2xx&&&&?(1?e&&&&?jk?&&&&?j)?~(n)eNxn?0&&&&N?1&&&&2?kn2&&&&~k?(1?e?jk?)X()2&&&&所以X2(k)&&&&?~k?2X()12?0?&&&&k为偶数k为奇数&&&&二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT的表达式是（解：2?）。&&&&klX(l)x(k)WMk?0N?1&&&&，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是&&&&M&&&&klX(l)x(k)WMk?0N?1&&&&3．某序列DFT的表达式是&&&&，由此可看出，该序列的时域长度是（）。&&&&），变换后数字&&&&频域上相邻两个频率样点之间隔是（解：N&&&&2?M&&&&）。&&&&4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（解：纯实数、偶对称&&&&&&&&5．采样频率为FsHz的数字系统中，系统函数表达式中z列x(n)的序号位置又是（解：延时一个采样周期T&&&&?1&&&&代表的物理意义是（&&&&），其中时域数字序代表的样值实际&&&&n代表的样值实际位置是（&&&&）。&&&&）x(n)的N点DFT；，?k&&&&X（k)中，序号k&&&&?1F，nT?nF&&&&?&&&&2?kN&&&&6．用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔&&&&?f&&&&为_______,数字角频率间隔?w为_______和模拟角频率间隔______。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。（）解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题8．令&&&&X(k)表示N点的序列x(n)的N点离散傅里叶变换，X(k)本身也是一个N点的序列。如果计算X(k)的&&&&N?1N?1N?1N?1X(k)WNnkx(n?)WNknWNnkx(n?)?WNk(n?n?)?0k?k?0?n0n0k?0?N?1&&&&x(n)，试用x(n)求x1(n)。离散傅里叶变换得到一序列1&&&&解：x1(n)?因为&&&&?W&&&&k?0&&&&N?1&&&&k(n?n?)N&&&&?N?0&&&&n?nNl其他&&&&所以&&&&x1(n)Nx(?n?Nl)?Nx((?n))NRN(n)&&&&n?&&&&N?1&&&&9．序列，其4点DFT如下图所示。现将点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）&&&&x(n),1,0,0?1&&&&x(k)&&&&x(n)按下列（1）（2）（3）的方法扩展成8，，&&&&x?n?&&&&X?k?&&&&n&&&&k&&&&n?0~3?x(n)y1(n)?x(n?4)n?4~7（1）n?0~3?x(n)y2(n)n?4~7?0（2）&&&&?x(n)?2y3(n)?0?（3）&&&&n?偶数n?奇数&&&&&&&&解：（1）&&&&Y1?2k2X?k?,0?k?3Y1?2k?10&&&&（2）Y2&&&&（3）&&&&?2?Y3?k1Xk14?X?k?&&&&?k1X?k1X?k?,k1?2k,0?k1?7,0?k?3&&&&0?k1?7,0?k?3,k?k1mod4&&&&10．设x(n)是一个2N点的序列，具有如下性质：&&&&x(n?N)?x(n)&&&&另设x1(n)解：&&&&?x(n)RN(n)，它的N点DFT为X1(k)，求x(n)的2N点DFTX(k)和X1(k)的关系。&&&&?k?X?k2X1推导过程略?2?&&&&11．试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1）&&&&x(n)?anRN(n)x(n)?anRN(n)，所以&&&&（2）x(n)&&&&?nRN(n)&&&&解：（1）因为&&&&X(k)ae&&&&nn?0&&&&N?1&&&&?j&&&&2?nkN&&&&?&&&&1?aN1?ae&&&&?j2?kN&&&&（2）由&&&&x(n)?nRN(n)，得&&&&N?1n?0&&&&nkX(k)nWNRN(k)&&&&(WX(k)nWNn?1)kRN(k)kNn?0&&&&knk(X(k)(1?WN)?(?nWNnWNn?1)k)RN(k)N?1n?0N?1n?0&&&&N?1&&&&?WNk?2WN2k?3WN3k?(N?1)WN(N?1)k?(WN2k?2WN3k?(N?2)WN(N?1)k?N?1)RN(k)?(?(N?1)WNnk)RN(k)&&&&n?1N?1&&&&?&&&&?&&&&?Wk?1(N?1)?Nk?RN(k)NRN(k)1?WN&&&&所以&&&&X(k)?&&&&?NRN(k)k1?WN&&&&12．计算下列序列的N点DFT：（1）x(n)&&&&?P116?&&&&?an,0?n?N?1?2（2）x(n)?cos?nm?，0?n?N，0?m?N?N?&&&&&&&&解：（1）&&&&X(k)aW&&&&nn?0&&&&N?1&&&&N?1&&&&nkN&&&&1?aNWNNK1?aNkk1?aWN1?aWN&&&&2?2?&&&&，0?k&&&&2?&&&&?N?1&&&&（2）X(k)?&&&&1N?1?jmn?jmnjnk?2cos?mn?WNnk?eN?eN?eN?0?N2n?0?n?&&&&?&&&&1?1?e?j2?(k?m)1?e?j2?(k?m)2?2?j(k?m)?j(k?m)?21?eN?1?eN?&&&&N?1N?11?ej?(k?m)?e?j?(k?m)?jN(k?m)?ej?(k?m)?e?j?(k?m)?jN(k?m)?eej(k?m)?j(k?m)2?jN(k?m)?j?(k?m)?NNN?ee?e?e?N?1N?11sin((k?m)?)?jN(k?m)?sin?(k?m)?jN(k?m)e?e2?sin(k?m)sin(k?m)?NNN,k=m或k=-m2&&&&?&&&&?&&&&?&&&&?&&&&=0,其它13．已知一个有限长序列x(n)(n)?2?(n?5)（1）（2）（3）解；（1）求它的10点离散傅里叶变换已知序列&&&&X(k)&&&&2y(n)的10点离散傅立叶变换为Y(k)?W10kX(k)，求序列y(n)已知序列m(n)的10点离散傅立叶变换为M(k)?X(k)Y(k)，求序列m(n)&&&&nknkX(k)x(n)WN(n)?2?(n?5)?W10n?0n?0&&&&N?1&&&&9&&&&=1+2W10=1+2e=1+2(?1)，k（2）由Y(k)&&&&k&&&&5k&&&&?j&&&&2?5k10&&&&?0,1,...,9&&&&y(n)?x?(n?2)?10(n?2)?2?(n?7)&&&&?W&&&&2k10&&&&X(k)可以知道，y(n)是x(n)向右循环移位2的结果，即&&&&（3）由M(k)&&&&?X(k)Y(k)可以知道，m(n)是x(n)与y(n)的10点循环卷积。一种方法是先计算x(n)与y(n)的线性卷积&&&&l?&&&&u(n)?x(n)?y(n)?&&&&=&&&&?x(l)y(n?l)&&&&y(n)的&&&&10点&&&&?&&&&?0,0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4?&&&&然后由下式得到10点循环卷积&&&&?m(n)?u(n?10l)?R10(n)0,0,5,0,0,0,0,4,0,05?(n?2)?4?(n?7)另一种方法是先计算?l&&&&离散傅立叶变换&&&&nknk27Y(k)y(n)WN?n?22n?7W10?W10k?2W10k再计算乘积n?0n?0N?19&&&&&&&&527M(k)?X(k)Y(k)?1?2W10kW10k?2W10k&&&&?&&&&&&&&?&&&&?W&&&&由上式得到&&&&2k10&&&&?2W&&&&7k10&&&&?2W&&&&7k10&&&&?4W&&&&12k10&&&&m(n)?5n?24n?7214．（1）已知序列：x(n)?sin?n?，?n?N?1，求x(n)的N点DFT。0?N?&&&&（2）已知序列：&&&&27?5W10k?4W10k&&&&x(n)?&&&&?&&&&1，n?0,1,20，其它&&&&，&&&&则&&&&x(n)&&&&的&&&&9&&&&点&&&&DFT&&&&是&&&&X(k)?e&&&&?j&&&&2?k9&&&&?sin?k3?，k?0,1,2,...,8?sin?k9?&&&&2?&&&&正确否？用演算来证明你的结论。&&&&?P345?&&&&解：（1）&&&&N?1?2?jNknn?eX(k)sinN?n?02?2?2jnjkn1N?1?jNn?eeN?eN?2jn?02?N?1?j2?(1?k)n?j(1?k)n?1?eN?eN?2jn?0N?j,k?12N=j,k12&&&&0，其它&&&&2?kn96jk9?j2?k9&&&&(2)&&&&X(k)e&&&&n?0&&&&2&&&&?j&&&&?&&&&1?e1?e&&&&jkj?k?e3?e3jk?jk?jk?e9?e9?e9?&&&&e&&&&?jk3&&&&?&&&&e&&&&2jk9&&&&?sin?k3?，K?0,1,...,8?sin?k9?&&&&X(k)如图5.29所示。在x(n)的每两个取样值之间插入一个零&&&&可见，题给答案是正确的。15．一个8点序列x(n)的8点离散傅里叶变换值，得到一个16点序列&&&&y(n)，即&&&&y(n)?&&&&?n?x?2?&&&&0&&&&，n为偶数&&&&，n为奇数&&&&&&&&（1）求(2)设&&&&y(n)的16点离散傅里叶变换Y(k)，并画出Y(k)的图形。&&&&X(k)的长度N为偶数，且有&&&&NX(k)?X(N?1?k),k?0,1,...,?1，求x?2?X?k?&&&&?N2?。&&&&&&&&解：（1）因n为奇数时&&&&67&&&&y(n)?0，故&&&&nkY(k)y(n)W16?n?015&&&&?n?nkxW16n?0,2,...?2?&&&&?&&&&14&&&&x(m)W8mk&&&&m?0&&&&7&&&&，&&&&0?k?15&&&&另一方面&&&&?7x(m)W8mk,0?k?7X(k)m?0?0,其它?&&&&因此&&&&?7x(m)W8m(k?8),8?k?15X(k?8)m?0?0,其它?&&&&?7x(m)W8mk,0?k?15m?0?0,其它?&&&&所以&&&&?7x(m)W8mk,0?k?15Y(k)m?0?0,其它?&&&&0?k?7?X(k),?X(k?8),8?k?15?0,其它?&&&&按照上式可画出Y(k)的图形，如图5.34所示。&&&&&&&&Y(k)&&&&2?101x(n)的DFT，假设长度为N。16．计算下列有限长序列?&&&&k&&&&（1）（2）解：（1）&&&&x(n)?an&&&&N?1n?0&&&&x(n),2,?3,?1?1&&&&0?n?N?1&&&&nkkX(k)anWNaWN&&&&N?1n?0&&&&?&&&&?&&&&n&&&&1?aW?1?aW&&&&3&&&&?&&&&kNNkN&&&&?&&&&1?aN?k1?aWN&&&&0?k?N?1&&&&(2)&&&&X(k)x(n)W4nk&&&&?W?2W4k?3W42k?W43k?1?2W4k?3W2k?W43k&&&&?1?2(?j)k?3(?1)k?jk(0?k?3)17．长度为8的有限长序列x(n)的8点DFT为X(k)，长度为16的一个新序列定义为nx()n?0,2,...142y(n)?0n?1,3,...,15试用X(k)来表示Y(k)?DFT?y(n)?。&&&&解：Y(k)&&&&nky(n)W16n?07&&&&7&&&&n?004&&&&15&&&&2(y(2r)W16rky(2r?1)W162r?1)k&&&&x(r)W8rk&&&&r?0&&&&r?07&&&&r?0&&&&(k?0,1,...,15)(k?0,1,...,7)&&&&而&&&&X(k)x(n)W8nk&&&&n?077&&&&7&&&&因此，当&&&&k?0,1,...,7时，Y(k)?X(k)；当k?8,9,...,15时，令k?l?8(l?0,1,...,)，得到：7&&&&r?0r?0&&&&Y(l?8)x(r)W8r(l?8)x(r)W8rl?X(l)&&&&Y(k)?X(k?8)于是有X(k)k?0,1,...,7Y(k)?X(k?8)k?8,9,...,15&&&&即&&&&&&&&n?0,1?2?18．若x(n)1n?2,N?4?0n?3?&&&&【解】&&&&knX(n)x(k)WNk?04?1&&&&试计算&&&&x(n)的离散傅里叶变换X(k)的值(k?0,1,2,3)。&&&&所&&&&3&&&&以&&&&?j2?4&&&&kn000X(0)x(k)WN?2WN?2WN?1WN?0?5k?0&&&&3&&&&1X(1)x(k)WNkn?2WN0?2WN?1WN2?0?2?2ek?0&&&&?e&&&&?j&&&&2?24&&&&?2?2e&&&&?j&&&&?2&&&&?e?j?&&&&kn024X(2)x(k)WN?2WN?2WN?1WN?0?2?2e?je?j2?k?0&&&&3&&&&kn036X(3)x(k)WN?2WN?2WN?1WN?0?2?2ek?0&&&&3&&&&?j&&&&3?2&&&&?e?j3?证明题：&&&&19．设（1）&&&&X(k)表示长度为N的有限长序列x(n)的DFT。证明如果x(n)满足关系式x(n)x(N?1?n)&&&&证明当N为偶数时，如果&&&&则&&&&X(0)?0&&&&x(n)?x(N?1?n)&&&&（2）&&&&则解&&&&X(&&&&N)?02&&&&N?1n?0&&&&（1）&&&&nkX(k)x(n)WNN?12n?0&&&&0X(0)x(n)WNx(n)?n?0n?0&&&&N?1&&&&N?1&&&&?x(n)?&&&&?x(N?1?n)&&&&n?N2&&&&N?1&&&&令N&&&&?1?n?m&&&&X(0)x(n)?&&&&n?0&&&&N?12&&&&?x(m)&&&&n?N?12&&&&0&&&&显然可得（2）&&&&X(0)?0&&&&N?1N?1N)x(n)ejk?x(n)(?1)n2n?0n?0&&&&N?12r?0&&&&X(&&&&（将n分为奇数和偶数两部分表示）&&&&x(2r)(?1)2rx(2r?1)(?1)2r?1&&&&r?0&&&&N?12&&&&&&&&x(2r)x(2r?1)&&&&r?0r?0&&&&N?12&&&&N?12&&&&x(N?1?2r)x(2r?1)?令N?1?2r?2k?1?&&&&r?0r?0&&&&N?12&&&&N?12&&&&?&&&&?x(2r?1)x(2r?1)&&&&k?N2r?0&&&&0&&&&N?12&&&&显然可得&&&&X(&&&&N)?02&&&&简答题：21．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？解：因为为采样时没有满足采样定理减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率22．试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。解：离散傅立叶变换是Z变换在单位圆上的等间隔采样。三、离散傅立叶变换性质填空题：1．已知序列，序列长度N?4，写出序列（）。解：x[(2?k)N]R4[k]x[2],x[1],x[0],x[3];k?0,1,2,3?3,2,?2,?1;k?0,1,2,3?2．已知（）。&&&&fs2的频率成分。&&&&x[k]?2,2,3,?1;k?0,1,2,3?&&&&x[(2?k)N]R4[k]&&&&的值&&&&x[n],2,3,2,1;k?0,1,2,3,4?,h[n],0,1,?1,0;k?0,1,2,3,4?，则x[n]和h[n]的11&&&&5点循环卷积为&&&&x[k]?[k][k?2][k?3]x[k]?x[(k?2)5]?x[(k?3)5]0,1,3,3,2;k?0,1,2,3,4?x[n]3,2,0,2;k?0,1,2,3?,h[n]4,?2,1,?1;k?0,1,2,3?则x[n]和h[n]的3．已知&&&&解：x[k]?h[k]?4点循环卷积为（?h[0]h[3]解：?h[1]h[0]h[2]h[1]h[3]h[2]4．试证N点序列&&&&h[2]&&&&x?n?的离散傅立叶变换X?k?满足Parseval恒等式&&&&）。h[1]x[0]4?11?236?h[3]h[2]x[1]?24?1124?证明题：?h[0]h[3]x[2]1?24?10?3h[1]h[0]x[3]?11?2427?&&&&?&&&&k?0&&&&N?1&&&&2&&&&x[n]?&&&&2&&&&1N&&&&m?0&&&&?&&&&N?1&&&&2&&&&X[k]&&&&证：&&&&1N&&&&m?0&&&&?&&&&N?1&&&&X[m]?&&&&1N&&&&m?0&&&&?X[m]X*[m]&&&&N?1&&&&&&&&?&&&&1N&&&&N?1k?0&&&&m?0&&&&?X[m](?x[k]WNmk)*&&&&k?0&&&&N?1&&&&N?1&&&&x*[k]&&&&N?1k?0*&&&&1N&&&&m?0&&&&?X[m]W&&&&N?1k?0&&&&N?1&&&&?mkN2&&&&x[k]x[k]x[k]&&&&5．证明略。6．&&&&x(k)和X(n)是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：&&&&1X(k)?x(?n)N&&&&x(n)长为N的有限长序列，xe(n),xo(n)分别为x(n)的圆周共轭偶部及奇部，也即&&&&1xe(n)?xe*(N?n)?[x(n)?x*(N?n)]21xo(n)xo*(N?n)?[x(n)?x*(N?n)]2证明：DFT[xe(n)]?Re[X(K)]&&&&DFT[xo(n)]?jIm[X(K)]&&&&证&&&&11xe(n)?xe*(N?n)?[x(n)?x*(N?n)]?[x(n)?x*((?n))N]22&&&&1?[X(k)?X*(k)]?Re[X(k)]xo(n)xo*(N?n)?1[x(n)?x*(N?n)]?1[x(n)?x*((?n))N]2221?[X(k)?X*(k)]?jIm[X(k)]2&&&&7若证：&&&&DFT[x(n)]?X(k),求证DFT[X(n)]?Nx((?k))N&&&&k?0N?1&&&&k?0&&&&1x(n)?N&&&&?X(k)W&&&&N?1&&&&?knN&&&&（1）&&&&knX(k)x(n)WN&&&&（2）&&&&kn由（2）X(k)x(n)WN&&&&N?1&&&&，将&&&&k与n互换，则有&&&&knX(n)x(k)WNn?0&&&&k?0N?1&&&&（这应该是反变换公式）&&&&?&&&&1N&&&&?Nx(k)W&&&&k?0&&&&N?1&&&&knN&&&&（用?k?代替k，且求和取主值区）&&&&?&&&&1N?1?Nx(?k?)WN?k?nNk?0&&&&&&&&与（1）比较8．若x(n)证：IDFS&&&&所以&&&&X(n)?Nx((?k))N&&&&1X((?n)N)RN(n)。N&&&&N?1k?0&&&&?IDFT?X(k)?，求证IDFT?x(k)&&&&?~(k)x&&&&1N&&&&N?1k?0&&&&1N&&&&x?~(k)W&&&&?knN&&&&&&&&而&&&&N?1k?0&&&&N?X(r)W?&&&&r?0N?1r?0r?0&&&&?1&&&&N?1&&&&~&&&&?rkN&&&&kn?WN?&&&&1N2&&&&~N?1kX(r)?WN(?r?n)?&&&&N&&&&?r?n?lN&&&&（l为整数）&&&&?W&&&&k(?r?n)N&&&&?&&&&0&&&&?r?n?lN&&&&1~1~所以IDFS?~(k)2X(?lN?n)?N?X(?n)xNN1~1于是IDFT?x(k)X(?n)RN(n)?X((?n)N)RN(n)NN9．令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT，试证明：（a）如果x(n)满足关系式x(n)x(N?1?n)，则X(0)?0。N（b）当N为偶数时，如果x(n)?x(N?1?n)，则X()?0。2&&&&证：&&&&nkX(k)x(n)WNn?0N?1&&&&(k?0,1,...,N?1)&&&&（a）X(0)&&&&x(n)&&&&n?0&&&&N?1&&&&N为偶数：&&&&X(0)x(n)x(N?1?n)&&&&&&&&N?12&&&&N?12n?0&&&&x(n)?x(N?1?n)?&&&&n?0&&&&n?0N?12&&&&x(n)?x(n)0&&&&n?0&&&&N?12&&&&&&&&?x(&&&&N?1?12n?0&&&&N?1)?2&&&&N?1?12n?0&&&&x(n)?x(N?1?n)?&&&&N为奇数：X(0)&&&&?&&&&?x(n)x(N?1?n)?x(&&&&n?0&&&&N?1?12&&&&N?1N?1)?x(n)?x(n)?)?x(22n?0N?1N?1?x()?0?x()22&&&&N?1?12&&&&而x(n)中间的一项应当满足：&&&&N?1N?1n?1)x(N?1?)x()222n?1因此必然有X()?02这就是说，当N为奇数时，也有X(0)?0。x(&&&&（b）当N为偶数：&&&&X(&&&&N?1N?1nN)x(n)WN2x(n)(?1)n2n?0n?0N&&&&&&&&当N为偶数时，N&&&&?x(n)(?1)&&&&n?0&&&&N?12&&&&n&&&&x(N?1?n)(?1)N?1?n&&&&n?0&&&&N?12&&&&?x(n)(?1)&&&&n?0&&&&N?12&&&&n&&&&?(?1)N?1?x(n)(?1)?n&&&&n?0&&&&N?12&&&&?1为奇数，故(?1)&&&&N?1N&&&&N?1&&&&1；又由于(?1)?n?(?1)n,故有&&&&22NX()x(n)(?1)nx(n)(?1)n?02n?0n?0&&&&?1&&&&10．设DFT【解】因为&&&&?x(n)X(k)，求证DFT?X(k)?Nx(N?n)?。&&&&?nkWNk(N?n)?WN&&&&根据题意&&&&x(n)?&&&&1N&&&&?X(k)W&&&&k?0&&&&N?1k?0&&&&N?1&&&&?nkN&&&&?Nx(N?n)X(k)WNk(N?n)&&&&因为所以&&&&W&&&&?k(N?n)N&&&&?W&&&&nkN&&&&Nx(N?n)X(k)WNkn?DFTX(k)?k?0&&&&N?1&&&&11．证明：若x(n)为实偶对称，即x(n)&&&&N?1n?0&&&&?x(N?n)，则X(k)也为实偶对称。&&&&【解】根据题意&&&&N?1n?0&&&&nkX(k)x(n)WN&&&&?x(N?n)W&&&&(?n)(?k)N&&&&nk再利用WN的周期性质&&&&&&&&?x(N?n)W&&&&n?0&&&&N?1&&&&(N?n)(N?k)N&&&&下面我们令N&&&&?n?m进行变量代换，则X(k)?&&&&m?N&&&&?x(m)W&&&&1&&&&(N?k)mN&&&&又因为x(n)为实偶对称,所以x(0)&&&&(x(0)WNN?k)0&&&&?x(N)?0，所以(N?k)m(?x(N)WN?x(0)WNN?k)0&&&&Nm?1&&&&可将上式写为&&&&((X(k)x(m)WNN?k)m?x(0)WNN?k)0(x(m)WNN?k)mN&&&&((x(m)WNN?k)m?x(N)WNN?k)N&&&&(x(m)WNN?k)mm?0&&&&m?0N&&&&m?0N?1&&&&所以&&&&(X(k)x(m)WNN?k)m?X(N?k)m?0&&&&N?1&&&&即证。注意：若x(n)为奇对称，即x(n)计算题：12．已知x(n)&&&&x(N?n)，则X(k)为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。&&&&?n?1(0?n?3),y(n)?(?1)n(0?n?3)，用圆周卷积法求x(n)和y(n)的线性卷积&&&&z(n)。11解：x(n),2,3,4?0?n?3，y(n),?1,1,?1?0?n?3因为x(n)的长度为N1?4,y(n)的长度为N2?4所以z(n)?x(n)?y(n)的长度为N?N1?N2?1?7,故应求周期N?7x(n)?y(n)的值，即&&&&的圆周卷积&&&&?N?1?z(n)?x(n)?y(n)?~(m)~(n?m)RN(n)xy?m?0?1,所以z(n)?x(n)?y(n),1,2,2,?3,1,?4?0?n?6&&&&13．序列&&&&a(n)为?,2,3?，序列b(n)为?3,2,1?。1&&&&（1）求线性卷积a&&&&?nb?n?&&&&（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？解：（1）w(n)所以w(n)&&&&?a(n)?b(n)?&&&&?a(n)?b(n)3,8,14,8,3?，0?n?4?3；所以&&&&n?&&&&?a(m)b(n?m)&&&&?&&&&（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为a(n)的长度为N1&&&&a?nb?n?得长度为N?N1?N2?1?5。3故FFT至少应取2?8点。&&&&14．有限长为N=100的两序列&&&&&&&&?1x(n)?0&&&&做出解&&&&0?n?1011?n?99&&&&?1?y(n)0?1?&&&&n?01?n?8990?n?99&&&&x(n),y(n)示意图，并求圆周卷积f(n)?x(n)?y(n)及做图。x(n),y(n)示意图略，圆周卷积f(n)?x(n)?y(n)&&&&n?0n?1,99n?2,98n?3,97n?4,96n?5,95n?6,94n?7,93n?8,92n?9,91n?10,9010?n?90&&&&?11?1098?76?f?n?5?43?210&&&&15．已知&&&&x(n)是长度为N的有限长序列，X(k)?DFT[x(n)]，现将x(n)的每两点之间补进r?1个零值，得到一个长为rN的有限&&&&长序列&&&&y(n)&&&&n?ir,i?0,1,?,N?1n?ir,i?0,1,?,N?1&&&&x(nr)y(n)?0?&&&&求：DFT[&&&&y(n)]与X(k)的关系。&&&&0?k?N?1&&&&?N?1lk?x(l)WN解：因为X(k)?l?0?0?&&&&Y(k)?&&&&rN?1n?0&&&&kn?y(n)WrN?&&&&nknx()WrNrl?0,r,2r?&&&&?&&&&N?1&&&&令n?l&&&&r&&&&&&&&?&&&&l?0,r,2r?&&&&?x(l)W&&&&N?1&&&&lkN&&&&0?k?rN?10?k?N?1N?k?2N?1(r?1)N?k?rN?1其他0?k?rN?1&&&&X(k)X(k?N)?X[k?(r?1)N]?0?X(k?mN)&&&&m?0r?1&&&&16．已知x(n)是N点有限长序列，&&&&X(k)?DFT[x(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)&&&&N?n?rN?1试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。&&&&解：由可得&&&&?x(n)y(n)?0&&&&0?n?N?1&&&&X(k)?DFT[x(n)]x(n)e&&&&n?0&&&&N?1&&&&?j&&&&2?nkN&&&&,0?k?N?1&&&&Y(k)?DFT[y(n)]?&&&&x(n)e&&&&N?12?k?jnNr&&&&rN?1n?0&&&&nknk?y(n)WrNx(n)WrNn?0&&&&N?1&&&&?kX,k?lr,l?0,1,?,N?1?r?n?0所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当于在X(k)的每两个值之间插入r?1个其他的数&&&&值（不一定为零），而当k为r的整数17．已知x(n)是N点有限长序列，得到一个rN点的有限长序列&&&&X(k)?DFT[x(n)]。现将x(n)的每两点之间补进r?1个零值点，&&&&?k?l倍时，Y(k)与X相等。?r?&&&&y(n)&&&&n?ir,i?0,1,?,N?1其他n&&&&N?1n?0&&&&?x(nr)y(n)?0&&&&试求rN点DFT[解：由可得&&&&y(n)]与X(k)的关系。&&&&nkX(k)?DFT[x(n)]x(n)WN,0?k?N?1&&&&Y(k)?DFT[y(n)]?&&&&N?1i?0N?1n?0&&&&rN?1n?0&&&&?y(n)W&&&&nkrN&&&&irkikx(irr)WrNx(i)WN,0?k?rN?1&&&&&&&&而&&&&Y(k)?X((k))NRrN(k)&&&&所以Y(k)是将&&&&X(k)（周期为N）延拓次形成的，即Y(k)周期为rN。18．已知序列x(n)?4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)(n?3)和它的6点离散傅立叶变换X(k)。4k（1）若有限长序列y(n)的6点离散傅立叶变换为Y(k)?W6X(k)，求y(n)。&&&&（2）若有限长序列u(n)的6点离散傅立叶变换为&&&&r&&&&X(k)的实部，即U(k)?Re?X(k)?，求u(n)。（3）若有限长序列v(n)的3点离散傅立叶变换V(k)?X(2k)(k?0,1,2)，求v(n)。&&&&?W64kX(k)知，y(n)是x(n)向右循环移位4的结果，即&&&&解：（1）由Y(k)&&&&y(n)?x((n?4))6?4?(n?4)?3?(n?5)?2?(n)(n?1)&&&&（2）X(k)?&&&&4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)(n?3)?W&&&&n?0&&&&5&&&&nk6&&&&?4?3W6k?2W62k?W63kX?(k)?4?3W6?k?2W6?2k?W6?3k1Re?X(k)X(k)?X?(k)2&&&&?&&&&?&&&&?&&&&14?3W6k?2W62k?W63k?4?3W6?k?2W6?2k?W6?3k2&&&&?&&&&?&&&&?&&&&18?3W6k?2W62k?W63K?3W65k?2W64k?W63k21?8?3W6k?2W62k?2W63k?2W64k?3W65k2&&&&?&&&&?&&&&?&&&&?&&&&由上式得到&&&&33u(n)?4?(n)(n?1)(n?2)(n?3)(n?4)(n?5)22&&&&（3）X(2k)?&&&&?x(n)W&&&&n?0&&&&5&&&&2nk6&&&&x(n)W3nkx(n)W3nkx(n)W3nk&&&&n?0n?0n?3&&&&5&&&&2&&&&5&&&&x(n)W3nkx(n?3)W3k(n?3)&&&&n?02n?0&&&&2&&&&2&&&&x(n)W3nk?W33k?x(n?3)W3nk&&&&n?02n?0&&&&2&&&&?x(n)?x(n?3)?W3nk,k?0,1,2&&&&n?0&&&&2&&&&由于&&&&V(k)v(n)W3nk?X(2k)?x(n)?x(n?3)?W3nk,k?0,1,2&&&&n?0n?02&&&&所以&&&&v(n)?x(n)?x(n?3),n?0,1,2v(0)?x(0)?x(3)?5&&&&即&&&&v(1)?x(1)?x(4)?3v(2)?x(2)?x(5)?2&&&&&&&&v(n)?5?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)19．X(k)表示N点的序列x(n)的N点离散傅里叶变换，X(k)本身也是一个N点的序列。令如果计算X(k)&&&&或的离散傅里叶变换得到一序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。解&&&&N?1N?1N?1N?1N?1x1(n)X(k)WNnkx(n?)WNknWNnkx(n?)?WNk(n?n?)k?0k?0?n0n0k?0?&&&&因为&&&&?W&&&&k?0&&&&N?1&&&&k(n?n?)N&&&&?N?0&&&&n?nNl其他&&&&所以&&&&x1(n)Nx(?n?Nl)?Nx((?n))NRN(n)&&&&n?&&&&N?1&&&&20．为了说明循环卷积计算（用DFT算法）分别计算两矩形序列x(n)，求（1）两个长度为6点的6点循环卷积。（2）两个长度为6点的12点循环卷积。【解】这是循环卷积的另一个例子。令&&&&?RN(n)的卷积，如果x(n)?R6(n)，&&&&?10?n?L?1x1[n]?x2[n]其他?0图3-6中L?6，N定义为DFT长度。若N?L，则N点DFT为N?1?Nk?0knX1(k)?X2(k)WNn?0?0其他&&&&x1[n]&&&&1&&&&N&&&&n&&&&(a)&&&&如果我们将&&&&X1[k]和X2[k]直接相乘，得&&&&?N2k?0X3(k)?X1[k]X2(k)?0其他由此可得x3[n]?N0?n?N?1&&&&这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列x2和始终等于N。&&&&?((n?m))N?是对于x1[m]旋转，则乘积x1[m]x2?((n?m))N?的&&&&当然也可以把x1[n]和x2[n]看作是2L点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。若我们计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列x1[n]和x2[n]的线性卷积。注意如图3-7所，&&&&N?2L时&&&&1?WNLkk1?WN所以图3-7（e）中矩形序列x3[n]的DFT为（N?2L）X1[k]?X2[k]?&&&&&&&&?1?WNLkX3[k]?1?WkN?&&&&循环卷积的性质可以表示为&&&&&&&&2&&&&DFTx1[n]?x2[n]?X1[k]X2[k]?&&&&考虑到DFT关系的对偶性，自然两个N点序列乘积的DFT等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若x3[n]?&&&&x1[n]x2[n]，则&&&&X3[k]?1N&&&&?X[l]X?((k?l))?&&&&l?012N&&&&N?1&&&&或&&&&DFTx1[n]x2[n]&&&&1X1[k]?X2[k]N&&&&21．设x(n)是一个2N点序列，具有如下性质&&&&0?n?N?1x(n?N)?x(n)另设x1(n)?x(n)RN(n)，它的N点DFT为X1(k)。&&&&X(k)和X1(k)的关系。?k?【答案】DFTX(k)?2X1?2?322．已知某信号序列f(k),2,1,2?，h(k)2,3,4,2?，试计算（1）f(k)和h(k)的循环卷积和f(k)?h(k)；（2）f(k)和h(k)的线性卷积和f(k)?h(k)；&&&&求x(n)得2N点DFT（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】（1）y(k)?6h(k)?13h(k?1)?20h(k（2）&&&&?2)?21h(k?3)y(k)?6h(k)?13h(k?1)?20h(k?2)?21h(k?3)?&&&&14h(k?4)?10h(k?5)?4h(k?6)&&&&（3）略23．如图表示一个5点序列（1）试画出&&&&x(n)?x(n)&&&&5&&&&x(n)。&&&&x(n)?x(n)（2）试画出&&&&x?n?&&&&&&&&解：&&&&&&&&x?nx?n?&&&&321&&&&&&&&&&&&x(n)?x(n)34&&&&5&&&&n&&&&简答题：24．试述用DFT计算离散线性卷积的方法。解：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。25．已知是两个N点实序列的DFT值，今需要从值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意取序列&&&&X(k),Y(k)&&&&x(n),y(n)&&&&X(k),Y(k)求x(n),y(n)的&&&&x(n)?X(k),y(n)?Y(k)&&&&Z(k)?X(k)?jY(k)&&&&对Z(k)作N点IFFT可得序列又根据DFT性质&&&&z(n)。&&&&x(n),y(n)都是实序列。再&&&&x(n)?Re[z(n)]y(n)?Im[z(n)]&&&&IDFT[X(k)?jY(k)]?IDFT[X(k)?jIDFT[Y(k)]?x(n)?jy(n)由原题可知，&&&&根据&&&&z(n)?x(n)?jy(n)，可得&&&&四、频域取样填空题：1．从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（）；从频域角度看是（）。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断2．由频域采样解：X(k)&&&&X(k)恢复X(e&&&&内插&&&&j?&&&&)时可利用内插公式，它是用（&&&&）。&&&&）值对（&&&&）函数加权后求和。&&&&3．频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（解：NT（频域采样点数N?时域采样周期T）简答题：4．已知有限长N序列&&&&x[n]的z变换为X(z)，若对X(z)在单位圆上等间隔抽样M&&&&点，且M&&&&?N，试分&&&&析此M个样点序列对应的IDFT解：&&&&x1[n]与序列x[n]的关系。&&&&&&&&如果即&&&&X1[m]?X(z)z?ej2M?m,m?0,1,?,M?1&&&&是&&&&X1[m]&&&&X(z)&&&&在单位圆上&&&&&&&&M&&&&点等间隔抽样，根据频域抽样定理，则存在&&&&x1[k]?IDFT?X1[m]&&&&l?&&&&?x[k?lM]R&&&&M&&&&[k]&&&&?1]上的值，即得序列x1[k]。由&&&&上式表明，将序列x(k)以M为周期进行周期延拓，取其主值区间[0，M于M〈N，故在对x[k]以M为周期进行周期延拓时，必然存在重叠。5．FFT算法的基本思想是什么？解：答案略。6．简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。解：答案略。计算题：&&&&x(n)是长度为M的有限长序列，其Z变换为7．设&&&&X(Z)&&&&X(Z)?&&&&M?1n?0&&&&?x(n)Z&&&&?n&&&&今欲求在单位圆上N个等距离点上的采样值列问题（用一个N点的FFT来算出全部的值）&&&&X(Zk)&&&&，其中&&&&Zk?e&&&&j&&&&2?kN&&&&,k?0,1,?,N?1,解答下&&&&（1）当(2)&&&&N?M和N?M时，写出用一个N点FFT分别算出X(Zk)的过程；&&&&若求&&&&X(Zk)&&&&的IDFT，说明哪一个结果和&&&&x(n)等效，为什么?&&&&解：（1）N&&&&?M，对序列x(n)末尾补零至N个点得序列x(n)，计算x(n)的N点FFT即可得到X(Zk)。&&&&N?M时，对序列x(n)以N为周期进行周期延拓得到一个新的序列x(n)，求序列x(n)的前M点的FFT&&&&即可得（2）&&&&X(Zk)。&&&&N?M时得到的结果与x(n)等效，因为其满足频域取样定理。&&&&x(n)?anu(n),0?a?1，今对其&&&&N&&&&8．已知&&&&z变换&&&&X(z)&&&&在单位圆上等分采样，采样值为&&&&X(k)?X(z)z?W?k&&&&解方法一&&&&，求有限长序列IDFT&&&&[X(k)]&&&&X(z)?&&&&11?az?1&&&&N&&&&X(k)?X(z)z?Wk?&&&&11?az?1&&&&?&&&&?z?WNk&&&&111?aNkk1?aWN1?aN1?aWN&&&&?&&&&11?aN&&&&?(aWNk)n?&&&&n?0&&&&N?1&&&&11?aN&&&&?aW&&&&nn?0&&&&N?1&&&&knN&&&&1IDFT[X(k)]?anRN(n)1?aN&&&&方法二&&&&X(z)anz?n?&&&&n?0&&&&?&&&&11?az?1&&&&?z?WNk&&&&X(k)?X(z)z?W?kalz?l&&&&N&&&&?&&&&?&&&&l?0&&&&l?&&&&?au(l)W&&&&l&&&&?&&&&klN&&&&&&&&x1(n)?&&&&1N?11N?1kl?X(k)WNnk[?alu(l)WN]WNnk?0NK?NK?0lN?11alu(l)?WNk(l?n)Nl?k?0&&&&交换求和次序&&&&（因为&&&&?W&&&&k?0&&&&N?1&&&&k(l?n)N&&&&?N?0&&&&l?n?mNl?n?mN&&&&，m&&&&?0,1,2?）&&&&所以x1(n)&&&&?&&&&?&&&&m?&&&&?x(n?mN)&&&&?&&&&0?n?N?1&&&&?&&&&an?mNu(n?mN)?an?amN&&&&m?0m?0&&&&0?n?N?1&&&&?&&&&1anRN(n)N1?a&&&&9．研究一个长度为M点的有限长序列x(n)。&&&&?x(n),0?n?M?1x(n)0,其他n?&&&&我们希望计算求z变换&&&&j2?kN&&&&X(z)?&&&&M?1n?0&&&&?x(n)z&&&&?n&&&&在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即在&&&&z?e&&&&解：若&&&&,k?0,1,?N?1上的抽样。当N?M&&&&时，试找出只用一个N点DFT就能计算X(z)&&&&的N个抽样的方法，并证明之。&&&&N?M，可将x(n)补零到N点，即&&&&?x(n),0?n?M?1x0(n)?0,M?n?N?1&&&&2?kN2?nkN&&&&则&&&&X(e&&&&j&&&&)x0(n)e&&&&n?0&&&&N?1&&&&?j&&&&,0?k?N?1&&&&Z变换&&&&10．对有限长序列x(n)&&&&,0,1,1,0,1?的1&&&&X(z)在单位圆上进行&&&&5等份取样，得到取样值&&&&X(k)，即&&&&X(k)?X(z)&&&&求解：&&&&z?W5?k&&&&,k?0,1,2,3,4&&&&X(k)的逆傅里叶变换x1(n)。&&&&5&&&&X(z)x(n)z?n?1?z?2?z?3?z?5&&&&n?0&&&&X(k)?X(z)z?W?k&&&&5&&&&?1?W?W53?W55?2?W52?W53&&&&25&&&&x1(n)W5kn&&&&n?0&&&&4&&&&&&&&x1(n)2,0,1,1,0?&&&&11．设如图所示的序列x(n)的Z变换为&&&&X(z)，对X(z)在单位圆上等间隔的&&&&4点上取样得到&&&&X(k)，即&&&&X(k)?X(z)&&&&z?e&&&&j&&&&2?4&&&&k&&&&,k?0,1,2,3&&&&试求&&&&X(k)的4点离散傅里叶逆变换x1(n)，并画出x1(n)的图形。?P379?&&&&x?n?&&&&1&&&&-2-1012345&&&&解：因为对&&&&67&&&&4点上取样，将使&&&&1&&&&X(z)在单位圆上等间隔的&&&&x(n)&&&&以4为周期进行周期延拓，所以&&&&x1(n)?&&&&r?&&&&?x((n?4r))，根据上式可画出x(n)的图形，如下图所示。&&&&x1?n?&&&&21&&&&?&&&&-2-10&&&&1&&&&2&&&&3&&&&45&&&&6&&&&7&&&&n&&&&四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题简答题：1．理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法?解：答案略2．补零和增加信号长度对谱分析有何影响？是否都可以提高频谱分辨率?解：时域补零和增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。3．试说明连续傅里叶变换采样点的幅值和离散傅里叶变换幅值存在什么关系？解：两个幅值一样。4．解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？解：如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。计算题：5．用某台FFT仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中，上限频率?1025kHz。要求谱分辨率?5Hz。试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。解：因为待分析的信号中上限频率所以抽样频率应满足：因为要求谱分辨率&&&&X(f)&&&&X(k)&&&&fm?1.25kHz&&&&fs?2fm?2.5kHz&&&&fs2.5?1000?5kHz，所以N500N5&&&&&&&&因为选用的抽样点数N必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数N相邻样点间的最大时间间隔T信号的最小记录时间Tpmin&&&&?512&&&&11?ms?0.4msfsmin2fs2.5?N?T?512?0.4ms?204.8ms&&&&1&&&&6．（1）模拟数据以10.24千赫速率取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。（2）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？&&&&10240?10（赫）?s（2）抽样点的间隔?T?10.24&&&&解：（1）频率间隔?F&&&&?&&&&整个1024点的时宽T=97.ms7．频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。证明：由得&&&&?&&&&?s?,F0?02?2?fs?s?F0?0fs?&&&&其中?s是以角频率为变量的频谱的周期，?0是频谱抽样之间的频谱间隔。又&&&&fs?sNF0?0&&&&则对于本题有所以&&&&F0?&&&&fsNfs?8kHz,N?512&&&&Hz512&&&&F0?&&&&8．设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力?10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。解：（1）因为T0&&&&?&&&&1,而F0?10Hz，所以F0&&&&T0?&&&&即最小记录长度为0.1s（2）因为&&&&1s10&&&&fs?&&&&11103?10kHz，而T0.1fs?2fh&&&&所以&&&&fh?&&&&1fs?5kHz2&&&&&&&&即允许处理的信号最高频率为5kHz。（3）N&&&&T00.，又因NT0.110N?2?1024。?&&&&必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为&&&&第四章快速傅立叶变换一、计算DFT效率及其改善途径填空题：1．如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100&&&&?s，每次复加需20?s，今用来计算N=1024点的DFT&&&&）时间。&&&&{x(n)]。问直接运算需（&&&&直接运算所用计算时间T1为&&&&）时间，用FFT运算需要（&&&&2&&&&解：（1）直接运算：需复数乘法N次，复数加法N（N&&&&?1次。）&&&&T1?N2?100?N（N?1?20??s?125.80864s）&&&&Nlog2N次，复数加法Nlog2N次。2用FFT计算1024点DTF所需计算时间T2为&&&&（2）基2FFT运算：需复数乘法&&&&T2?&&&&Nlog2N?100?Nlog2N?20?716800?s?0.7168s2&&&&）。&&&&2．N点FFT的运算量大约是（&&&&N解：log2N次复乘和Nlog2N次复加2&&&&3．快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换___________和利用旋转因子e其特点是_______,_________和__________。&&&&?j2?kN&&&&的________&&&&来减少计算量，&&&&解：快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换长度逐次变短和利用旋转因子e其特点是蝶形计算、原位计算和码位倒置。简答题：4．FFT主要利用了DFT定义中的正交完备基函数&&&&(n?N)kNnWN(n?0,1,?,N?1)&&&&?j&&&&2?kN&&&&的&&&&周期性来减少计算量，&&&&的周期性和对称性，通过将大点数的DFT&&&&运算转换为多个小数点的DFT运算，实现计算量的降低。请写出答：①周期性：W②对称性：W&&&&WN&&&&的周期性和对称性表达式。&&&&?W&&&&nN&&&&nkN&&&&?W&&&&(k?N)nN&&&&n?N2N&&&&kn&&&&W&&&&5．基2FFT快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少？解：原理：利用WN的特性，将N点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT，最后再组合起来。复乘次数：&&&&NNNlog2，复加次数：Nlog22&&&&二、按时间抽取FFT算法简答题：1．简略推导按时间抽取基2-FFT算法的蝶形公式，并画出N=8时算法的流图，说明该算法的同址运算特点。解：答案略。&&&&&&&&作图题：3．画出N?8基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计算序列解：答案略。4．对于长度为8点的实序列略流程图。&&&&7&&&&x[k],1,1,1,0,0,0,0?的DFT。1&&&&x(n)，试问如何利用长度为4点的FFT计算x(n)的8点DFT？写出其表达式，并画出简&&&&解：&&&&X(k)x(n)W8nk&&&&x(2r)W82rkx(2r?1)W8(2r?1)k&&&&r?03r?0&&&&n?03&&&&3&&&&g(r)W4rk?W8k?h(r)W4rk&&&&r?0r?0&&&&3&&&&①&&&&?G(k)?W8kH(k),k?0,1,2,3&&&&X(k?1)g(r)W4r(k?4)?W8k?4?h(r)W4r(k?4)&&&&r?0r?033&&&&g(r)W4rk?W8k?h(r)W4rk&&&&r?0r?0&&&&3&&&&3&&&&②&&&&?G(k)?WH(k),k?0,1,2&&&&k8&&&&按照式①和式②可画出如下图所示的流程图。&&&&x(0)x(2)&&&&G(0)&&&&x(4)x(6)&&&&x(1)&&&&x(3)x(5)&&&&4点DFT&&&&G(1)&&&&X(0)&&&&X(1)&&&&G(2)&&&&G(3)&&&&H(0)W80&&&&X(2)X(3)&&&&?1&&&&?1&&&&4点H(2)W82DFT3&&&&H(3)W8&&&&H(1)W81&&&&x(7)&&&&三、按频率抽取FFT算法计算题：&&&&?1?1&&&&X(4)X(5)X(6)X(7)&&&&NX[k]是N点序列x[n]的DFT，N为偶数。两个21．1x1[n]?(x[2n]?x[2n?1])2&&&&点序列定义为&&&&x2[n]?&&&&1N(x[2n]?x[2n?1]),0?n122&&&&点DFT，试由&&&&NX1[k]和X2[k]分别表示序列x1[n]和x2[n]的2&&&&解：&&&&X1[k]和X2[k]确定x[n]的N&&&&点DFT。&&&&&&&&DFT&&&&?x[2k]?x[2k]W&&&&k?0&&&&N?12&&&&mkN2&&&&x[l]W&&&&l?0&&&&N?1&&&&ml2N2&&&&（l为偶数）&&&&lN&&&&1?WN2ml1Nx[l]WN?(X[m]?X[m?])222L?0&&&&N?1&&&&DFT&&&&?x[2k?1]?x[2k?1]W&&&&k?0&&&&lNN?1&&&&N?12&&&&mkN2&&&&x[l]W&&&&l?0&&&&N?1&&&&m（l?1）2N2&&&&（l为奇数）&&&&(1?WN2)ml?m1N?x[l]WNWN?(X[m]?X[m?]WNm222l?0&&&&11NNX1[m]?(1?WNm)X[m]?(1?WNm)X[m?],0?m14422&&&&11NN(1?WNm)X[m]?(1?WNm)X[m?],0?m14422解上述方程可得X2[m]?&&&&mmX[m]?(1?WN)X1[m]?(1?WN)X2[m],0?m?&&&&N?12&&&&X[m?&&&&NNmm]?(1?WN)X1[m]?(1?WN)X2[m],0?m122&&&&简答题：2．简略推导按频率抽取基2-FFT算法的蝶形公式，并画出N?8时算法的流图，说明该算法的同址运算特点。【答案】其同址运算特点为输入按自然顺序存放，输出序列按码位颠倒顺序存放。作图题：3．画出基2时域抽取4点FFT的信号流图。解：答案略。四、其它FFT算法&&&&简答题：1．已知两个N点实序列x(n)和次N点IFFT运算来实现。解：依据题意取序列&&&&y(n)得DFT分别为X(k)和Y(k)，现在需要求出序列x(n)和y(n)，试用一&&&&x(n)?X(k),y(n)?Y(k)&&&&Z(k)?X(k)?jY(k)&&&&对Z(k)作N点IFFT可得序列又根据DFT性质&&&&z(n)。&&&&y(n)都是实序列。再根&&&&IDFT[X(k)?jY(k)]?IDFT[X(k)?jIDFT[Y(k)]?x(n)?jy(n)由原题可知，x(n),x(n)?Re[z(n)]据z(n)?x(n)?jy(n)，可得y(n)?Im[z(n)]&&&&2．已知长度为2N的实序列x(n)的DFT为了提高效率，请设计用一次N点IFFT来完成。解：如果将x(n)按奇偶分为两组，即令&&&&现在需要由X(k)计算x(n)，X(k)的各个数值(k?0,1,...,2N?1)，&&&&&&&&u(n)?x(2n)&&&&n?0,1,...,N?1&&&&v(n)?x(2n?1)&&&&那么就有&&&&X(k)?U(k)?W2kNV(k)&&&&k?0,1,...,N?1&&&&X(k?N)?U(k)?WV(k)其中U(k)、V(k)分别是实序列u(n)、v(n)的N点DFT，U(k)、V(k)可以由上式解出：1U(k)X(k)?X(k?N)?2k?0,1,...,N?11V(k)?W2?Nk?X(k)?X(k?N)?2由于X(k)(k?0,1,...,2N?1)是已知的，因此可以将X(k)前后分半按上式那样组合起来，于是就得到了U(k)和V(k)。到此，就可以像4.9题那样来处理了，也即令y(n)?u(n)?jv(n)根据U(k)、(k)，做一次N点IFFT运算，就可以同时得到u(n)和v(n)(n?0,1,...,N?1)，它们分别是x(n)V的偶数点和奇数点序列，于是序列x(n)(n?0,1,...,2N?1)也就求出了。&&&&k2N&&&&五、简答题：&&&&快速傅立叶变换应用&&&&1．采用FFT算法，可用快速卷积完成线性卷积。现预计算线性卷积步骤（注意说明点数）。答：如果x(n)，h(n)的长度分别为N1,N2,那么用长度NFFT运算来求x(n)?h(n)值（快速卷积）的步骤如下：（1）对序列x(n)，h(n)补零至长为N，使N&&&&x(n)?h(n)，试写采用快速卷积的计算&&&&?N1?N21的圆周卷积可计算线性卷积。用&&&&?N1?N21，并且N?2M(M为整数)，即&&&&（2）&&&&n?0,1,...N1?1?x(n)x(n)n?N1,N1?1,...N?1?0n?0,1,...,N2?1?h(n)h(n)n?N2,N2?1,...,N?1?0用FFT计算x(n)，h(n)的离散傅立叶变换x(n)?FFTX(k)?（N点）&&&&h(n)?FFTH(k)?（N点）（3）计算Y(k)?X(k)H(k)（4）用IFFT计算Y(k)的离散傅立叶变换得：x(n)?h(n)?IFFT[Y(k)]（N点）&&&&第五章数字滤波器一、数字滤波器结构填空题：1．FIR滤波器是否一定为线性相位系统？（解：不一定&&&&）。&&&&&&&&计算题：2．设某FIR数字滤波器的冲激响应，&&&&h(0)?h(7)?1,h(1)?h(6)?3,&&&&h(2)?h(5)?5,h(3)?h(4)?6，其他n值时h(n)?0。试求H(ej?)的幅频响应和相频响应的表示&&&&式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。解：&&&&h(n),3,5,6,6,5,3,1?,0?n?71&&&&N?1n?0&&&&H(ej?)h(n)e?j?n&&&&?1?3e?j5e?j26e?j36e?j45e?j53e?j6e?j7e&&&&7&&&&7?j?2733711?jjj?jjj?j7j7?j7j5j5?e2?e23e2?e2?e25e2?e2?e26e2?e2?e2?&&&&?3?5?7j?12cos?10cos?6cos?2cos?e2?H(?)ej?(?)?2222?&&&&所以H(e&&&&j?&&&&)的幅频响应为&&&&7&&&&?3?5?7j2?H(?)12cos?10cos?6cos?2cos?e2?2?2?2?&&&&H(ej?)的相频响应为7?(?)?2&&&&作图题：3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：&&&&H(z)?&&&&0.6z?1?2.5z?1?1?1....3699z?2&&&&?&&&&1.3z?11?0..2570z?2&&&&请采用并联型结构实现该系统。解：答案略4．用级联型结构和并联型结构实现一下传递函数（1）H(z)?&&&&3z3?3.5z2?2.5z(z2?z?1)(z?0.5)&&&&（2）H(z)&&&&?&&&&4z3?2.8284z2?z(z2?1.4142z?1)(z?0.7071)&&&&(z?z?1)(z?0.5)3?3.5z?1?2.5z?2(z?2?z?1?1)(1?0.5z?1)&&&&32解：（1）H(z)?3z?3.5z?2.5z?2&&&&&&&&（5z?1?3)(0.5z?1?1)21?z?1?2(z?2?z?1?1)(1?0.5z?1)1?0.5z?1z?z?1?13?3.5z?1?2.5z?21?1.5z?1?1.5z?2?0.5z?3&&&&级联型结构及并联型结构图略（2）&&&&H(z)?&&&&4z3?2.8284z2?z(z2?1.4142z?1)(z?0.7071)&&&&&&&&?&&&&4?2.8284z?1?z?2(1?1.4142z?1?z?2)(1?0.7071z?1)&&&&4.3z?1?0.?1.4142z?z1?0.7071z?1&&&&级联型结构及并联型结构图略5．用横截型结构实现以下系统函数：&&&&H(z)?(1?&&&&解：&&&&1?11z)(1?6z?1)(1?2z?1)(1?z?1)(1?z?1)26&&&&1?11z)(1?6z?1)(1?2z?1)(1?z?1)(1?z?1)26&&&&H(z)?(1?&&&&?(1?&&&&1?11z?2z?1?z?2)(1?z?1?6z?1?z?2)(1?z?1)26&&&&5?137?1z?z?2)(1?z?z?2)(1?z?1)5?38?4?1?z?1?z?z?z?z??&&&&结构图略。6．设某FIR数字滤波器的系统函数为&&&&1H(z)?(1?3z?1?5z?2?3z?3?z?4)5&&&&试画出此滤波器的线性相位结构。解：由题中所给的条件可知1331h(n)(n)(n?1)(n?2)(n?3)(n?4)5555&&&&则&&&&1?0.253h(1)?h(3)0.65h(2)?1h(0)?h(4)?&&&&?&&&&z?1z?1&&&&0.61&&&&即h(n)是偶对称，对称中心在n线性相位结构如下图示x(n)z?1&&&&N?1?2处，N为奇数（N=5）。2&&&&z?1&&&&0.2&&&&y(n)&&&&图&&&&P5-7&&&&7．画出由下列差分方程定义的因果线性离散时间系统的直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、级联型和并联型结构的信号流程图，级联型和并联型只用1阶节，&&&&&&&&y(n)?&&&&311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)483&&&&解：（1）直接Ⅰ型&&&&x(n)&&&&y(n)&&&&z?113&&&&3/4&&&&?1/8&&&&（2）直接Ⅱ型&&&&z?1&&&&z?1&&&&x(n)&&&&y(n)&&&&z&&&&?1&&&&3/4&&&&?1/8&&&&（3）级联型&&&&1/3&&&&z?1&&&&x(n)&&&&y(n)&&&&z&&&&1/4&&&&将系统函数写成&&&&?1&&&&z&&&&1/2&&&&?1&&&&1/3&&&&11?z?113H(z)111?z?11?z?142&&&&（4）并联型&&&&?7/3&&&&x(n)&&&&y(n)&&&&z&&&&1/4&&&&?1&&&&10/3&&&&z?1&&&&1/2&&&&8．用级联型及并联型结构实现系统函数：H(z)解：①用级联型结构实现&&&&?&&&&2z3?3z2?2z(z2?z?1)(z?1)&&&&&&&&?12z(z?2)(z?1)1?z1?2z?12?2?2H(z)?21?2?1(z?z?1)(z?1)1?z?z1?z&&&&信号流图如图（a）所示。②用并联型结构实现&&&&H(z)?2?&&&&7z2?6z?24z?13?2?2?2(z?z?1)(z?1)z?z?1z?1&&&&?2?&&&&4z?1?z?23z?1?1?z?1?z?21?z?1&&&&信号流图如图（b）所示。&&&&X&&&&2&&&&z?1z?1&&&&?1&&&&z?11&&&&2&&&&?2&&&&Y&&&&（a）&&&&2X&&&&z?1&&&&Y&&&&3&&&&z?1&&&&z?1&&&&4&&&&?1&&&&（b）9．已知滤波器单位抽样响应为&&&&?2nh(n)?0&&&&解：&&&&0?n?5其它&&&&画出横截型结构。&&&&55&&&&y(n)?h(n)?x(n)h(k)x(n?k)2kx(n?k)&&&&k?0k?0&&&&横截型结构如图所示。&&&&z?1&&&&x(n)&&&&z?1&&&&2&&&&z?1&&&&4&&&&z?1&&&&8&&&&z?1&&&&1632&&&&y(n)&&&&10．用卷积型和级联型网络实现系统函数：H(z)解：&&&&?(1?1.4z?1?3z?2)(1?2z?1)&&&&(8.3)&&&&H(z)?(1?1.4z?1?3z?2)(1?2z?1)&&&&?1?2?3&&&&(8.4)?1?0.6z?0.2z?6z由（8.3）式得到级联型结构如图T8.11（a）所示，由（8.4）式得到卷积型结构如图T8.11（b）所示。&&&&&&&&z?1&&&&X&&&&z?1&&&&0.2&&&&z?1&&&&6&&&&z?1.4z?1&&&&3&&&&?1&&&&z?12&&&&Y&&&&x(n)&&&&0.6&&&&y(n)&&&&(a)图T8.11&&&&填空题：&&&&(b)&&&&二、IIR数字滤波器设计&&&&0.9?z?11．已知一IIR滤波器的H（z)?1?0.9z?1&&&&解：全通系统2．脉冲响应不变法的基本思路是（&&&&L?1[?]抽样&&&&，试判断滤波器的类型为（&&&&）。&&&&）。&&&&L?1[?]&&&&?解：H(s)?ha(t)?ha(nT)?h(n)?H(z)&&&&3．写出设计原型模拟低通的三种方法：（（1））（2），（）（3），（）。解：（1）巴特沃兹逼近，（2）切比雪夫逼近，（3）椭圆滤波器4．设计数字滤波器的方法之一是先设计模拟滤波器，然后通过模拟S域（拉氏变换域）到数字Z域的变换，将模拟滤波器转换成数字滤波器，其中常用的双线性变换的关系式是（）。解：答案略5．设计IIRDF时采用的双线性变换法，将S域（）处。解：2arctg(?)&&&&j?轴上的模拟抽样角频率2?Fs变换到Z域单位圆上的数字频率&&&&简答题：6．试分析脉冲响应不变法设计数字滤波器的基本思想、方法及其局限性。解：答案略7．从以下几个方面比较脉冲响应不变法和双线性变换法的特点：基本思路，如何从S平面映射到Z平面，频域变换的线性关系。解：答案略。判断说明题：8．将模拟滤波器转换成数字滤波器，除了双线性变换法外，脉冲响应不变法也是常用方法之一，它可以用来将模拟低通，带通和高通滤波器转换成相应的数字滤波器。）（答：由于采用脉冲响应不变法转换时，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。所以当模拟滤波器的频响是限带于半抽样频率之内时，周期延拓不会造成频谱混叠，变换得到的数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响。故脉冲响应不变法只适用于设计频率严格有限的低通、带通滤波器，不适用于设计高通滤波器。9．采用双线性变换法设计IIRDF时，如果设计出的模拟滤波器具有线性频响特性，那么转换后的数字滤波器也具有线性频响特性。（）答：采用双线性变换法设计IIRDF时，数字频率?与模拟频率?的关系不是线性的，?即&&&&?&&&&变换前的线性频响曲线在经过?非线性变换后，频响曲线的各频率成分的相对关系发生变化，不再具有线性特性。计算题：10．假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)字滤波器的通带中心位于：&&&&2?因此，tg。T?2?&&&&?Ha(&&&&z?1z?1）于是数)（用了变换s?z?1z?1&&&&&&&&（1）0（是低通）?（是高通）（2）（3）在（0，?）内的某一频率上是判定哪个结论对。&&&&&&&&解：只要找出对应于0的数字频率?的值即可。由&&&&s?&&&&z?1s?1?z?,z?ej?,s?j?代入上式，得z?1s?1&&&&频率点的对应关系为S平面Z平面&&&&0&&&&即将模拟低通中心频率0映射到?11．设有一模拟滤波器&&&&?&&&&?0&&&&处，所以答案为（2）&&&&Ha(s)?1(s2?s?1)&&&&抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数解由变换公式&&&&H(z)。&&&&1?z?1s?c?1?z?1&&&&及c&&&&?&&&&2,T?2，可得T&&&&1?z?1s?1?z?1&&&&所以&&&&H(z)?Ha(s)|&&&&?&&&&s?&&&&1?z?11?z?1&&&&1&&&&2&&&&?1?z?11?z?1?1?z?1?1?z?1112(1?z)?3?z?2&&&&12．下图表示一个数字滤波器的频率响应。（1）用冲激响应不变法，试求原型模拟滤波器的频率响应。（2）当采用双线性变换法时，试求原型模拟滤波器的频率响应。&&&&H(ej?)1&&&&13&&&&&&&&?2?3&&&&3&&&&0&&&&?3&&&&2?3&&&&?&&&&?&&&&解&&&&&&&&（1）因为&&&&?大于折叠频率时H(ej?)为零，故用此法无失真。&&&&H(ej?)?T?1?Ha(j)?Ha(j?)TT&&&&冲激响应不变法&&&&由图可得&&&&又由?&&&&?&&&&?&&&&T&&&&?25?2H(ej?)?,?3330,[,?]内的其他&&&&，则有&&&&522?T?3,?3T?3T?25?2T?,?j?Ha(j?)?H(e)|?T?33T3T0,其他?&&&&Ha(j?)&&&&1&&&&13&&&&?2?3T&&&&3T&&&&0&&&&?3T&&&&2?3T&&&&?&&&&（2）双线性变换法根据双线性变换公式，可得：&&&&Ha(j?)?Ha(jc?tan)2&&&&推出&&&&?&&&&即故&&&&c?tan()2?2arctan()c&&&&?&&&&?4?53?arctan?,?3cc33?53?4Ha(j?)?arctan?,c?3c?c33?0,其他&&&&&&&&Ha(j?)&&&&1&&&&13&&&&?3c&&&&?&&&&3c3&&&&0&&&&3c3&&&&3c&&&&?&&&&13．用双线性变换法设计一个3阶Butterworth数字带通滤波器，抽样频率别为&&&&fs?720Hz，上下边带截止频率分&&&&f1?60Hz，f2?300Hz。&&&&附：低阶次巴特沃斯滤波器的系统函数H(s):&&&&阶1234&&&&次&&&&2&&&&系统函数?pc/(s+?pc)?pc/(s+1.414?pcs+?pc)&&&&23?pc/(s+2?pcs+2?pcs+?pc)4432234?pc/(s+2.613?pcs+3.414?pcs+2.613?pcs+?pc)33223&&&&解：该数字带通滤波器的上下边带截止频率：&&&&?1?2?f1f?2607206s&&&&?2?2?f2f??6s数字低通原型滤波器的截止频率?p可以自选，为了使下面参数k的表示比较简单，这里选?p2?2?p3。则相应的模拟低通滤波器的截止频率c?tan?2fstan?fs&&&&Ts263&&&&于是可以得到3阶模拟低通滤波器的系统函数&&&&c3Ha(s)?3?22s?2cs?2c2s?c3&&&&83fs?fss2?fs2s?fs3333&&&&而数字低通原型滤波器的系统函数&&&&H1(z)?Ha(s)&&&&21?z?11?z?1s?1?2fsTs1?z1?z?1&&&&1?(1?z?1)3?332&&&&(1?z?1)3&&&&21(1?z?1)2(1?z?1)?(1?z?1)(1?z?1)2?(1?z?1)33333&&&&下面将数字低通变换位数字带通。&&&&a?cos(&&&&?12&&&&2&&&&?21&&&&2&&&&)/cos(&&&&)tan&&&&?21&&&&k?ctan(&&&&?p&&&&2&&&&?ctan.tan?.3633&&&&)?cos/cos22331&&&&?&&&&?&&&&于是得到变换公式：&&&&&&&&2?k?1k?11Z?Z?22k?1k?12?2Z?1z?1k?1?22?k?11Z?2?2Z?Z?1?Z?2?1k?1k?12Z?2?&&&&最后可以得到所要求的数字带通滤波器的系统函数&&&&Hd(Z)?H1(z)&&&&z?1?&&&&2Z?2?1Z?2?2&&&&1?33&&&&?23&&&&(3Z?2?3)3&&&&三、FIR数字滤波器设计&&&&21?(Z?1)?(Z?1)(3Z?3)?(Z?2?1)(3Z?2?3)2?(3Z?2?3)33333&&&&?22?2&&&&2&&&&填空题：1．用频率取样法设计线性相位FIR滤波器时，控制滤波器阻带衰减的方法为（解：增加过滤点&&&&）。&&&&H（z)?&&&&2．已知一FIR数字滤波器的系统函数（）。解：高通&&&&1?z?12&&&&，试判断滤波器的类型（低通，高通，带通，带阻）为&&&&3．要获得线性相位的FIR数字滤波器，其单位脉冲响应⑴（）⑵（解：（1）h(n)是实数（2）h(n)满足以n4．FIR系统称为线性相位的充要条件是（解：（1）h(n)是实数（2）h(n)满足以n&&&&h(n)必须满足条件:&&&&）&&&&?(N?1)2为中心的偶对称或奇对称，即h(n)h(N?1?n)&&&&）。&&&&?(N?1)2为中心的偶对称或奇对称，即h(n)h(N?1?n)H(?)对?点奇对称，这说明?频5．FIR滤波器（单位取样序列h（n）为偶对称且其长度N为偶数）的幅度函数&&&&率处的幅度是（），这类滤波器不宜做（）。解：0高通、带阻滤波器6．用窗口法设计出一个FIR低通滤波器后，发现它过渡带太宽。这样情况下宜采取的修改措施是（）。解：加大窗口长度，或换用其他形状的窗口7．线性相位FIR滤波器传递函数的零点呈现（）的特征。解：互为倒数的共轭对（四零点组、二零点组或单零点组）判断说明题：&&&&?8．所谓线性相位FIR滤波器，是指其相位与频率满足如下关系式：?（?）&&&&解：错。所谓线性相位滤FIR波器，是指其相位与频率满足如下关系式：&&&&?k?,k为常数&&&&（&&&&）&&&&?(?)k?,k,?为常数。&&&&9．用频率抽样法设计FIR滤波器时，减少采样点数可能导致阻带最小衰耗指标的不合格。（）解：错。减小采样点数，不会改变通阻带边界两抽样点间的幅度落差，因而不会改变阻带最小衰耗。10．只有当FIR系统的单位脉冲响应h(n)为实数，且满足奇/偶对称条件h(n)统才是线性相位的。（）&&&&h(N?n)时，该FIR系h(N?1?n)时，&&&&解：错。只有当FIR系统的单位脉冲响应h(n)为实数，且满足奇/偶对称条件h(n)该FIR系统才是线性相位的。11．FIR滤波器一定是线性相位的，而IIR滤波器以非线性相频特性居多。解：错。FIR滤波器只有满足一定条件时，才是线性相位的。（）&&&&&&&&简答题：12．利用窗函数法设计FIR滤波器时，如何选择窗函数？解：答案略。13．什么是吉布斯（Gibbs）现象?窗函数的旁瓣峰值衰耗和滤波器设计时的阻带最小衰耗各指什么，有什么区别和联系？答：增加窗口长度N只能相应地减小过渡带宽度，而不能改变肩峰值。例如，在矩形窗地情况下，最大肩峰值为8.95%;当N增加时，只能使起伏振荡变密，而最大肩峰值总是8.95%,这种现象称为吉布斯效应。旁瓣峰值衰耗适用于窗函数，它是窗谱主副瓣幅度之比，即旁瓣峰值衰耗=20lg(第一旁瓣峰值/主瓣峰值)。阻带最小衰耗适用于滤波器。工程上习惯于用相对衰耗来描述滤波器。相对衰耗定义为。当滤波器是用窗口法得出时，阻带最小衰耗取决于窗谱主副瓣面积之比。14．何为线性相位滤波器?FIR滤波器成为线性相位滤波器的充分条件是什么？答：线性相位的滤波器是指其相位函数?(?)与数字频率?成线性关系，?(?)即FIR滤波器成为线性相位的充分条件是：①h(n)是实数。②h(n)满足以n&&&&?(?,?为常数)。&&&&?&&&&N?1为中心的偶对称或者奇对称，即h(n)h(N?1?n)。2&&&&15．仔细观察下图。（1）这是什么类型具有什么特性的数字滤波器？（2）写出其差分方程和系统函数。&&&&x?n?&&&&?1&&&&z?1&&&&?1&&&&z?1&&&&?1&&&&?3&&&&?1&&&&z&&&&z&&&&?1&&&&z?1&&&&1&&&&解：（1）因为h(n)为奇对称，N=6为偶数。&&&&?6&&&&y?n?&&&&所以是第四类线性相位的FIRDF，适合用做希尔伯特滤波器及微分器。（2）系统函数：H(z)&&&&?1?3z?1?6z?2?6z?3?3z?4?z?5差分方程：y(n)?x(n)?3x(n?1)?6x(n?2)?6x(n?3)?3x(n?4)?x(n?5)&&&&16．设h(n)是一个N点序列(0为：?(?)&&&&?n?N?1)，表示一个因果的FIR滤波器，如果要求该滤波器的相位特性&&&&m?,m为常数。&&&&说明：h(n)需要的充分必要条件，并确定N和m的关系。解：充分必要条件：h&&&&?n?h?N?1?n?&&&&?N?12&&&&N与m的关系：m&&&&17．试述窗函数法设计FIR数字滤波器的基本步骤？解；原理：在时域内用窗函数对理想滤波器的时域特性hd用截断后长冲激响应去逼近理想滤波器的hd解：线性相位条件：h&&&&?n?，所得到的频率响应?Hd?ej&&&&?n?截断，&&&&18．FIR滤波器具有线性相位的条件是什么？其相位表达式是什么？&&&&?n?h?N?1?n?相位表达式：0?，?0是起始相位。&&&&计算题：19．如下图所示，两个长度为8的有限长序列&&&&h1(n)和h2(n)是循环位移关系。试问：&&&&&&&&h1?n?&&&&h2?n?&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&（1）它们的8点离散傅立叶变换的幅度是否相等？（2）做一个低通FIR数字滤波器，要求么？解：&&&&h1(n)或h2(n)之一作为其冲激响应，说明下列哪种说法正确？为什&&&&①用h1(n)比h2(n)好；②用h2(n)比h1(n)好；③两者相同&&&&h1(n)可看成是由h2(n)循环移序而得到&&&&根据DFT的循环移序特性，得到&&&&~~h1(n)?h2(n?4)RN(n)?h2(n?4)R8(n)&&&&H1(k)?W8?4kH2(k)?(?1)kH2(k)&&&&H1(k)?H2(k)&&&&故&&&&（2）用h1(n)比h2(n)好，即说法①比较正确。原因是：理想低通的hd(n)是sinc&&&&?函数，是非因果，不&&&&可实现的，要实现必须加时延。加时延截断后的h(n)图形正如h1(n)。而h2(n)在数值最高处截断，其频谱H2(e的。&&&&j?&&&&)的泄漏大于H1(ej?)，显然不好。所以作为低通滤波器，从衰减特性看，h1(n)是优于h2(n)&&&&A一、选择题（每题3分，共5题）1、x(n)?e&&&&n?j(?)36&&&&，该序列是&&&&。&&&&&&&&A.非周期序列B.周期N?&&&&n&&&&?&&&&6&&&&C.周期N?6?&&&&D.周期N?2?。D.Z?a&&&&2、序列x(n)au(?n?1)，则X(Z)的收敛域为A.Z?a3、对x(n)B.Z?aC.Z?a&&&&(0?n?7)和y(n)(0?n?19)分别作20点DFT，得X(k)和Y(k)，&&&&F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,?19，f(n)?IDFT[F(k)],n?0,1,?19，&&&&n在A.0?n?7范围内时，f(n)是x(n)和y(n)的线性卷积。B.7?n?19C.12?n?19D.0?n?19&&&&4、x1(n)?R10(n)，x2(n)?R7(n)，DFT计算二者的线性卷积，用为使计算量尽可能的少，应使DFT的长度N满足A.N?16B.N?16。C.N?16。D.双边序列D.N?16&&&&5.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜1，则该序列为A.有限长序列B.右边序列C.左边序列&&&&二、填空题（每题3分，共5题）1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是后就是信号。，这就是奈奎信号，再进行幅度量化&&&&2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须斯特抽样定理。3、对两序列x(n)和y(n)，其线性相关定义为4、快速傅里叶变换（FFT）算法基本可分为两大类，分别是：5、无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，三、x(n)。；&&&&。四种。&&&&，______和______&&&&?anb&&&&n&&&&n?0n1&&&&求该序列的Z变换、收敛域、零点和极点。（10分）&&&&四、求X(Z)?&&&&?&&&&11?z1?2z?1&&&&?1&&&&&&&&?&&&&，1?z?2的反变换。（8分）&&&&B一、单项选择题（本大题12分，每小题3分）1、x(n)?cos(0.125?n)的基本周期是。&&&&&&&&（A）0.125（B）0.25（C）8（D）16。2、一个序列x(n)的离散傅里叶变换的变换定义为（A）X(ej?)?（C）X(z)?&&&&。&&&&?j2?nk/N&&&&n?&&&&?x(n)z&&&&n&&&&?x(n)e&&&&?n&&&&?&&&&?jn?&&&&（B）X(k)?&&&&?x(n)e&&&&n?0&&&&N?1&&&&（D）X(zk)?&&&&?x(n)A&&&&n?0&&&&N?1&&&&?n&&&&Wkn。&&&&。&&&&3、对于M点的有限长序列，频域采样不失真恢复时域序列的条件是频域采样点数N（A）不小于M（B）必须大于M（C）只能等于M（D）必须小于M。4、有界输入一有界输出的系统称之为。（A）因果系统（B）稳定系统（C）可逆系统（D）线性系统。三、填空题（本大题10分，每小题2分）1、在对连续信号进行频谱分析时，频谱分析范围受速率的限制。2、&&&&?&&&&?&&&&&&&&?(?d&&&&。&&&&3、对于一个系统而言，如果对于任意时刻n0，系统在该时刻的响应仅取决于在时刻及其以前的输入，则称该系统为系统。。4、对一个LSI系统而言，系统的输出等于输入信号与系统单位采样响应的线性。5、假设时域采样频率为32kHz，现对输入序列的32个点进行DFT运算。此时，DFT输出的各点频率间隔为Hz。七、综合题（本大题20分）16000?t)，用T?1/6000对其采样。已知连续时间信号xa(t)?cos(（1）求最小采样频率；（2）图示其频谱特性；（3）分析其频谱是否有混叠。&&&&C一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率Ωs与信号最高截止频率Ωc应满足关系（A.Ωs2ΩcB.ΩsΩc）C.ΩsΩcD.Ωs2Ωc）&&&&2.下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？（A.y(n)=y(n-1)x(n)B.y(n)=x(n)/x(n+1)C.y(n)=x(n)+1D.y(n)=x(n)-x(n-1)3.已知某序列Z变换的收敛域为5|z|3，则该序列为（A.有限长序列4.实偶序列傅里叶变换是（A.实偶序列B.右边序列）B.实奇序列C.虚偶序列）C.左边序列）D.双边序列&&&&D.虚奇序列&&&&5.已知x(n)=δ(n)，其N点的DFT〔x(n)〕=X(k)，则X(N-1)=（A.N-1B.1C.0D.-N+1&&&&&&&&6.设两有限长序列的长度分别是M与N，欲通过计算两者的圆周卷积来得到两者的线性卷积，则圆周卷积的点数至少应取（A.M+NB.M+N-1））C.M+N+1D.2(M+N)&&&&7.下面说法中正确的是（&&&&A.连续非周期信号的频谱为周期连续函数B.连续周期信号的频谱为周期连续函数C.离散非周期信号的频谱为周期连续函数D.离散周期信号的频谱为周期连续函数8.下列各种滤波器的结构中哪种不是IIR滤波器的基本结构？（A.直接型B.级联型C.频率抽样型））D.并联型&&&&9.下列关于FIR滤波器的说法中正确的是（A.FIR滤波器容易设计成线性相位特性B.FIR滤波器的脉冲响应长度是无限的C.FIR滤波器的脉冲响应长度是确定的&&&&D.对于相同的幅频特性要求，用FIR滤波器实现要比用IIR滤波器实现阶数低10.下列关于冲激响应不变法的说法中错误的是（A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系B.能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器C.具有频率混叠效应D.可以用于设计低通、高通和带阻滤波器三、填空题(本大题共5小题，每空2分，共20分)。16.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是________。17.傅里叶变换的四种形式________，________，________和________。18.使用DFT分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有________、栅栏效应和________。19.下图所示信号流图的系统函数为________。）&&&&20.对于N点（N＝2）的按时间抽取的基2FFT算法，共需要作________次复数乘和________次复数加。四、计算题&&&&L&&&&&&&&1?z?423．(10分)考虑一个具有系统函数H(z)?16的稳定系统。1?41?z16?&&&&1）求系统的零点和极点，并作出图表示；2）画出系统的级联型结构图。24.(10分)有一用于频谱分析的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数次幂，假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为：频率分辨率小于10Hz；信号最高频率小于4kHz。1）2）试确定以下参量：1）最小记录长度tp；2）最大抽样间隔T；3）在一个记录中的最少点数N。&&&&25．(10分)将双线性变换应用于模拟巴特沃兹滤波器Ha(s)?率?c?Ωc）&&&&1，设计一个3dB截止频1?s/?c&&&&?&&&&3&&&&的一阶数字滤波器。（注：式中模拟巴特沃兹滤波器的3dB截止频率为&&&&D一、单项选择题(每小题3分，共24分)1、在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期Ts与信号最高截止频率fh应满足关系A.Ts2/fhB.Ts1/fhC.Ts1/fhD.Ts1/(2fh))&&&&2、下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？(A.y(n)=x(n)D.y(n)=x(n)3、已知某序列z变换的收敛域为|z|1，则该序列为()。&&&&23&&&&B.y(n)=x(n)x(n+2)&&&&C.y(n)=x(n)+2&&&&&&&&A．有限长序列&&&&B.右边序列&&&&C.左边序列&&&&D.双边序列&&&&4、设两有限长序列的长度分别是M与N，欲用圆周卷积计算两者的线性卷积，则圆周卷积的长度至少应取(A．M＋N&&&&L&&&&)。B.M＋N－1C.M＋N＋1D.2(M＋N))级蝶形运算。&&&&5、计算N=2（L为整数）点的按时间抽取基-2FFT需要(A．LB.L/2C.ND.N/2&&&&6.、因果FIR滤波器的系统函数H(z)的全部极点都在(A.z=0B.z=1C.z=j)。&&&&)处。D.z=≤&&&&7、下列对IIR滤波器特点的论述中错误的是(A．系统的单位冲激响应h(n)是无限长的&&&&B.结构必是递归型的D.肯定是稳定的&&&&C.系统函数H(z)在有限z平面（0|z|≤）上有极点8、线性相位FIR滤波器主要有以下四类&&&&(Ⅰ)h(n)偶对称，长度N为奇数(Ⅱ)h(n)偶对称，长度N为偶数(Ⅲ)h(n)奇对称，长度N为奇数(Ⅳ)h(n)奇对称，长度N为偶数则其中不能用于设计高通滤波器的是(A.Ⅰ、ⅡB.Ⅱ、ⅢC.Ⅲ、Ⅳ)。D.Ⅳ、Ⅰ&&&&二、填空题（每题3分，共24分）1、序列x(n)?Asin(&&&&13?n)的周期是3&&&&。__。，0?K?N。、__、和DFT&&&&2、序列R4(n)的Z变换为______，其收敛域为____3、对序列x(n)(n?n0)，0?n0?N的N点的DFT为4、用DFT对连续信号进行频谱分析时，可能出现的问题有的分辨力。5、下图所示信号流图的系统函数为H(z)=__________。&&&&&&&&6、有一模拟系统函数Ha(s)?系统函数H(z)是&&&&2，已知采样周期为T，采用脉冲响应不变法将其转换为数字s?3&&&&。&&&&7、在利用窗函数法设