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起因是想到 1/3 是 0.33 无限循环小数,但是我想如果不是 10 进制,是 9 进制,那 1/3 就是 0.3 了
继而想到无限不循环小数,即无理数
比较熟知的无理数有 根号 2 根号 3 pie 等等
简单在百度百科看了一下
对证明根号 2 是无理数的证明也可以理解
但我的想法是为什么会有无理数?就是说( 0,1 )之间都是有无穷无尽的可能
这个问题可能和为什么有质数一样,当然并不指望能得到完美的答案。
自己想不出来,就发出来,好放下这个。
找一本数学分析的实数理论来读读。 |
代数是被发明的,这个世界没有"数”这一概念,代数里所有的一切都是伴随各个公理产生,公理不可证 |
推荐知乎周刊 VOL165,《数学妙啊!妙!》 |
有无穷个数,找到适合每一个的进制并不容易 |
楼主是想问“为什么无理数用几进制表示都是无限不循环小数”吗? |
也可以算是我想问的,但是我觉得 #4 基本回答了。 更想问的是为什么有这种“东西存在” 比如 pie 定义是圆的周长和直径的比值,这个为什么就是一个无理数,为什么不是类似 1/3 这样的。 同理 根号 2,根号 3 等。 |
无论你用什么表示方式,分式也好,十进制小数也好,九进制小数也罢,都只是某个“数”的表示方式。 我们首先假定“整数”是不言而喻的,你我都清楚“整数”的概念。通过除法可以从整数派生出有理数。然而当你研究有理数的无穷序列的时候,发现不是所有满足柯西收敛准则的有理数序列(简称柯西序列)都能在有理数里面找到收敛的极限。比如我先写一个 3,再写一个 3.1,然后写 3.14 ,以此类推…… 你会发现明明有限步操作内,每一个写出来的数字都是有理数,但是当我把它无限写下去,却不是一个有理数。 因为找不到任何一个整数除以整数,等于这个无限的不循环的小数。 因此我们需要延拓有理数域,引入无理数这个概念。有理数和无理数加起来就是实数域。实数域满足任意柯西序列都能在实数域中找到收敛到的极限,即无穷序列的很多操作都是良定义的。 所以实数的定义根基是无穷序列的收敛。用收敛的语言来看,如果两个实数 |a-b| < epsilon (即两个数的差小于任何大于零的数),那么这 a 和 b 就代表了同一个数,无论你用什么方式去表达这两个数。因为不存在一个小于“大于零的任何数”的实数。譬如 0.999999.... (零点九九循环)和 1 就是同一个数。 这些都是实分析的内容,楼主有兴趣可以去学一学。 |
我觉得存在本身的原因是... 因为有人定义了能产生无理数的运算。 |
有理数不满足所有柯西列收敛,因此引入无理数,只是从有理数延拓到无理数的一种基点。事实上存在另外的基点来引入无理数,当然这最终能退出这些基点互相都是等价的。 譬如根号二,如果你写出这样的一个集合: {x^2 < 2},你可以证明(略)在无理数范围内这个集合不存在上确界。这时候我们引入无理数,确保任何有理数和无理数加起来的这个数域里面,所有有上界的非空集合都有上确界。通过这个基点,一样能得到实数,并且满足柯西收敛准则。 |
π 是 pi,字体问题 |
pi 和 e 都是客观存在的某个“数”。只不过通过某些运算(大多是无穷序列求和,也有积分),你可以证明得到的那个答案“等于” pi 或者 e。 |
。。上面某一楼写错了一点, {x^2 < 2},你可以证明(略)在有理数范围内这个集合不存在上确界。 |
因为无理数是客观存在的,有理数是人类在认知能力还比较匮乏的时候自己发明的。 |
有限小数总是可以表示为分数 |
数学在逻辑上必须是完备的 |
其实无理数都是被定义出来的,类比“复数”,在实际中可能很难找到对应的实例(或具体表现),但它们却实实在在的影响着运算结果。 所以就先定义这些数再给它们赋值,就造成了“无理数”的出现。 关于π,就是通过观察、假设、定义出圆的周长和半径的关系系数π,再通过微积分(极限)的方法算出面积和π的关系。 因为我们有多种途径可以测得周长和半径,也就能推出π的数值(近似值,根据测量方法会产出生不同精度),而这个数正好是无限不循环的(无理数)。 但其实我不知道无理数的证明过程,所以后面部分算是主观猜测。 |
没人说楼主的例证就错了吗?十进制里面的 1 和 3 与九进制里面的 1 和 3 一样?还有很多的吐槽点。。。 |
我也一直在想 0.1 算不算二进制里的无理数 |
然而 0.1 在二进制里面也是循环小数,即有理数 |
一个数是否等于两个整数之比,结论不管在什么进制里都一样。 |
一个数是 model,用几进制写出来只是 view。无限不循环小数显然不等于无理数,在几进制都一样。 |
其实当你们说到“无限不循环小数”的时候,你们已经陷入误区了。 因为你们无法精确定义任何一个“无限不循环小数”。你们给别人看到的都是有限位数的小数,而当没有循环这一规则时,任何你没有写的小数位,都是未定义的。数学不讨论任何无定义的东西。 真正严谨地讨论无理数,必须基于明确的定义。譬如一个积分的结果,一个收敛的无穷级数的和。 |
楼主已经开始思考第一次数学危机的内容了,2000 年前就有人思考这个东西了 |
搜索 数学直觉主义 数学构造主义 |
因为它不讲道理,所以叫无理数 |
曾今有个学派叫做毕达哥拉斯学派,他们信奉万物皆整数或整数之比(有理数)。后来有个不听话的学生质疑他们这个学派的观点,说:『老大,我发现边长为 1 的正方形的对角线不能写成整数或者整数的比,怎么办?』后来他老大(毕达哥拉斯)就火了,一怒之下把这个学生就给弄死了。后来越来越多的人发现好像这个学生是对的,那就是有理数没办法挤满整个数轴,有理数之间还有大量的缝隙(现代的测度论观点证明了有理数集的测度为 0,也就是说有理数的数量和无理数比起来根本不值一提),于是就为无理数正了名。后来逐步证明了当有了 无理数 之后,有理数+无理数能够密密麻麻的挤满整个实数轴,万事大吉。 然后时间来到了十七世纪,一群爱搞事数学家(笛卡尔、欧拉、高斯等)发现,为什么要局限于一根数轴上呢,我们可以往平面上搞事。于是发明了复数,再后来哈密尔顿在有提出了四元数(四维),当然这些都是后话了。 |
其实关于引入无理数的严格理由,ipwx 举了一些角度和例子,已经说得很好了。但我想这毕竟不是纯数学学术讨论,楼主还是希望有不那么严谨但更直观一些的解释。 楼主的问题,其实涉及到完备性的概念,不严谨的解释,完备性就是对于一个集合,用某种标准去考察它,如果所有满足这种标准的元素都在这个集合内,就说这个集合在这种角度下是完备的,因为在这个角度看来,我们不用再给这个集合添加新元素。 例如对于一般空间而言,完备性的定义就是:任何空间中的柯西列的一致收敛极限包含于这个空间中。这个具体含义你不做相应研究可以不用深究,总之就是对空间这种集合,定义了某种东西,要求满足所有满足这个性质的元素包含在这个空间中,如果满足这个标准,就称这个空间是完备的。 其实毕达哥拉斯的学生希帕斯发现的问题就是类似,既然你这学派认为“万物皆数(有理数)”,那两直角边都为 1 的直角三角形的斜边长怎么表示呢?就是说,我们如果以三角形边长为标准,总有一些边长不在有理数的集合中,所以从这个角度看,有理数集合是不完备的,引入无理数可以完备化。 |
数学是我们认知世界的工具,作为工具我们希望在我们所认知的范围内能完整表达世界,从这种意义上来说,数学必须要求自己完备(以及一致),所以才有自然数、有理数、无理数、复数,也许未来还有其他数的产生,否则数学就失去了解释力。至于哥德尔所说,更像是我们的理性根本达不到这种统一,但并不妨碍我们去追求。 |
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你用的交流电就是复数,比如无功功率和有功功率 |
对于世界数学界几遍文章证明提出质疑与反驳
数字包含:自然数,无理数,分数.....
太阳系包含:地球,月亮..太阳....
动物包含:人,鸡,鸭,鹅.......
发动机包含:飞机发动机、汽车发动机、轮船发动机。
油:汽油、柴油、食用油、地沟油。
炸弹:原子弹、氢弹、手榴弹.........
整数=地球=人=飞机发动机=汽油=原子弹
分数=月亮..太阳=鸡,鸭,鹅.......=轮船发动机=地沟油=手榴弹
整数理论、(地球论)、(人类理论)、(飞机发动机理论)、(汽油理论)、(原子弹理论)
自然数理论:(出现.分数)
地球理论:(出现:月亮理论)、(出现:太阳理论)
人类理论:(出现:鸡,鸭,鹅.......)
飞机发动机论:(出现:轮船发动机论)
汽油理论:(出现:地沟油)
原子弹理论:(出现:手榴弹)
反之:你在理论地球(还是理论:月亮)(还是理论:太阳)
论述航空发动机(还是理论:轮船发动机)
那么你在论述人类(还是理论:鸡,鸭,鹅........)
那么你在论述原子弹(还是理论:手榴弹)
是因为数里里面包含、自然数,分数.......
又因为太阳系里面存在、地球和月亮、太阳。
又因为发动机包含:航空发动机,汽车发动机,轮船发动机
又因为油类包含:汽油,柴油,食用油,地沟油,
又因为炸弹包含:原子弹,氢弹,手榴弹.........
所以自然数里面:(可以包含:分数,或者无理数)
所以地球论里面:(可以包含:月亮)(可以包含:太阳)
所以航空发动机:(可以包含:汽车发动机)(可以包含:轮船发动机)
所以汽油:(可以包含:地沟油)
所以原子弹:(可以包含:手榴弹)
我们可以抽象想一下:《狗屎逻辑理论》
现实想像,人类如果生存在月亮上(冷死你)如果生存在太阳上(变成火灰)
我相信如果航空发动机里面有地沟油,要么飞不起来,要么你可以乘坐马航(370)到现在连人带机都找不到。
一颗原子弹可以炸废一座城市,不知道和原子弹相同重量的手榴弹能炸到什么(几个无知数学着就吹,与原子弹同重量手榴弹还能把地球炸没了呢。。。。。)
全部问题又围绕着数论问题(世界七大数学难题之首NP问题)
素数无穷大:下面是是最严谨的一段经典证明
素数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么,N+1
要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集合中
如果 为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1,所以不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个
那么得到素数有很多版本:
可是没有一遍论文可以证明;素数无穷大
我们谈谈筛法,筛法是从小向大进行筛选,(又称呼递增判断)
那么数又无穷大,而筛选也是,从小向无穷进行筛选。
而筛选法从小,递增向无穷进行筛选,
无穷筛选也判断不出,确定素数无穷多,或者素数有穷多。
如果筛选法需要;证明素数无穷大
那么需要证明的是筛选法,可以筛到数的尽头
反之:筛选法不能证明素数无穷大。
那么偶数无穷大,不能用筛选法,确定证明,
无穷大的偶数存在一个偶数
2N=a+b×c×d×E(E代表最少18位素因数相乘或者更多位素因素数相乘)
筛选法如果需要证明假设不成立,必须进入无穷筛选,才可以证明上面不成立,而偶数无穷大,筛选到不了无穷,
论文对上面假设不能强有力的反驳
2N=a+b×c×d×E(E代表最少18位素因数相乘或者更多位素因素数相乘)那么筛选法如何在筛选中,证明这个大偶数不存在,
素数概率论:需要的是用筛选法,
进行算术计算有限值(注:并不是真正值)
所以素数概率论属于猜测算术;
1924年,德国的拉特马赫证明了"7 + 7"。
1932年,英国的埃斯特曼证明了"6 + 6"。
1938年,苏联的布赫夕太勃证明了"5 + 5"。
1940年,苏联的布赫夕太勃证明了"4 + 4"。
1948年,匈牙利的瑞尼证明了"1+ c",其中c是一很大的自然数。
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了"1 + 5", 中国的王元证明了"1 + 4"。
1965年,苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫,及意大利的朋比利证明了"1 + 3 "。
所以以上证明都系伪论证明
(9+9到1+2)的证明概率出现分数。第一素数不是分数,整数也不是分数
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