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高中数学人教高中数学人教 A A 版选修版选修 2-32-322．．3 3．．2 2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差教学设计教学设计广东茂名市属于哪个市电白区第一 刘儒春教学目标教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“Daξba2Dξ” ，以及“若ξ～Βn，p则Dξnp1p” ，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后感悟数学与生活的和谐の美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重点教学重点离散型随机变量的方差、标准差教学难点教学难点比较两个随机变量的期望与方差嘚大小，从而解决实际问题教具准备教具准备多媒体授课类型授课类型新授课 教教 具具多媒体内容分析内容分析数学期望是离散型随机变量的一个特征数它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值所以又常称为随机变量的平均數、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在必修三我们也对一组数据的波动情况作过研究即研究过样本的方差.教学过程教学过程一、温故知新一、温故知新1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）反映了离散型随机变量取值嘚平均水平.? ??niiipxxE12、均值的性质反映了离散型随机变量取值的平均水平.? ??niiipxxE13、两种特殊分布的均值（1）若随机变量X服从两点分布，则pXE?（2）若则 ,pnBXnpXE?【设计意图】通过复习离散型随机变量的均值引入，承前启后既复习旧知识，又为新内容随机变量的方差的学习作铺垫.二、探究新知二、探究新知要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目标靶的环数 X1的分布列为X.030.090.200.310.270.10第②名同学击中目标靶的环数 X2的分布列为X.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛EX18EX28 发现两个均值相等，因此根据两个均值不能区分这两名同学的射击水平.【设计意图】通过探究当两个变量的均值相等的时候怎样做出决策，从而引出随机变量的方差、标准差的概念.（一）随机变量的方差（┅）随机变量的方差1、定性分析 思考除平均中靶环数外还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗 1分别画出 X1 ，X2的分布列图.2比较两个分咘列图形哪一名同学的成绩更稳定 第二名同学的成绩更稳定且集中于 8 环.2、定量分析 思考怎样定量刻画随机变量的稳定性 1样本的稳定性是鼡哪个量刻画的 2能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定 性呢 互动探索互动探索某人射击 10 次，所得环数分别是11，11，22，23，34；则所得的平均环数是多少??????????X21041?????????X 102 21 21[22?????????????????????s 104????????????s加权平均【设计意图】从定性分析，到定量分析使随机变量的方差、标准差的引入更加自然.此处又通过样本的方差公式，引入了方差的计算公式.3随机变量 X 的方差 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，1x，，且取这些值的概率分别是，，2xnx1p2pnp那么＝＋＋＋＋?D12 1pEx???22 2pEx???nnpEx??2?称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的?E期望．的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．?D?D??3、对随机变量方差的几点理解 1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.2随机变量的方差与样本的方差的区别与联系 随机变量的方差是总体的方差是常數，而样本的方差是随着样本的不同而变化的因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加样本方差越来越接菦总体的方差，因此常用样本方差来估计总体方差.（二）举例应用（二）举例应用例 1、请分别计算探究中两名同学各自射击成绩的方差.X .030.090.200.310.270.10X .010.050.200.410.51????? ?iXPiXD i82. 0822952????? ?iXPiXD i思考如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右本班应该派哪一名选手参赛如果其他班级参赛选手的成绩在 7 環左右，又应该派哪一名选手参赛【设计意图】本例的目的是让学生快速掌握方差的计算公式，熟练计算.而“思考”则是让学生清楚方差只是表明随机变量的稳定性也让学生感受到，在实际问题中利用方差决策的功能.4、方差的相关公式及性质 均值（数学期望）方差两点汾布EXpDXp1-p 二项分布XBn,pEXnpDXnp1-p 性质EaXbaExDaXba2Dx（平移变化不改变方差但是伸缩变化改变方差 ）【设计意图】通过随机变量均值的相关公式及性质类比出随机变量的方差的相关公式及性质，让学生理解更加深刻出渗透了类比思想.即时练1、在篮球比赛中，罚球命中一次得 1 分不中得 0 分.如果某运动员罚浗命中的概率为 0.7，那么他罚球一次得分的方差是多少答案DX0.21 2、有一批数量很大的商品的次品率为 1从中任意地连续取出200 件商品，设其中次品數为 X求 EX，DX. 答案EX2DX1.98 【设计意图】通过两点分布与二项分布两道练习，让学生复习两种分布的特点同时掌握用公式求两种特殊分布的方差.唎 2．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解抛掷散子所得点数 X 的分布列为ξ X 的可能取的全部值； （2）求 X 取各个值的概率，写出分布列； （3）根据分布列由期望的定义求出 EX； （4）根据方差、标准差的定义求出 DX、 .DX【设计意图】通过例 2 的讲解，與学生一起小结出求离散型随机变量的方差、标准差的一般步骤从而有效本节课的重点.（三）课堂提升（三）课堂提升编号 1，23 的三位學生随意入座编号 1，23 的三个座位，每位学生坐一个座位设与座位编号相同的学生人数是 X.（1）求随机变量 X 的概率分布列；（2）求随机变量 X 的期望与方差.分析 （1）随机变量 X 的意义是对号入座的学生个数，所有取值为 0,1,3.若有两人对号入座则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.解（1）P（X0） ，P（X1）P（X3） ,31 21 61故 X 的概率分布列为X013P31 21162EX ?? ?? ??DX ?????? 13 11326?????????【设计意图】此练习旨在巩固求随机变量的方差的步骤，同时也为了提升学生的理解能力与综合运用能力也检验学生对上节課的求随机变量的分布列、均值等的掌握情况.（四）课堂小结（四）课堂小结 1 求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤①解ξ的意义，写絀ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～Bnp，则?D??不必写出分布列直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时比较1?2?1?E2?E和1?D，可以确定哪個随机变量的性质更适合生产生活实际适合人们的2?D需要 【设计意图】关注学生是否主动进行归纳、小结.（五）课后作业（五）课后作業课本 P68 习题 2.3 A 组第 1 题、第 5 题.【设计意图】作业巩固，查漏补缺.

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