线性代数习题求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-05-30 11:37 标签：

线性代数练习题答案第一章 行列式1.计算下列三阶行列式：（1） ；（2） ； （3） ； 381402?bac221cba（4） ；（5） ；（6）????710254；?????efcbfda（7） ,其中对角线上元素都是 未写出的元素都是aDn1O?a0；解 （1） ??3)4(2??????)(42?= 4?（2） 得24AEO??E，要据矩阵乘法及加法的性质得3()?根据可逆矩阵的定义知， 可逆且(3)AE?1(3)AE???4. 解：12|3aAa?当 时， 所以 R(A)=32a?|0当 时， 另外显然有 A 的二阶子式 不为零，所有 R(A)=2?|A2315．解： 1291A?????????6． 解: ()2,()RB?7. 解： .A第 3 章 线性方程组1．非齐次线性方程组 ???????232131,?x当 取何值时有解并求出它的解．?解 ???????????????? )2(1031221~??B方程组有解，须 得)(??,当 时,方程组解为1??????????????0132kx当 时,方程组解为2???????????????232kx2． 已知 试讨论向量组 ， 以及 ，， ???????????????????7450132?? 1?231?的线性相关性2解 ???????751420),(321?????? ?? 一 系 列 初 等 行 变 换 ，??????012可见 向量组 线性相关；),(321R321,?而 向量组 线性无关。?2,3． 设矩阵 求矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无????????A关组，并把不属于最大线性无关组的列向量用最大线性无关组线性表示解A初 等 行 变 换~，初 等 行 变 换 ??????????????知 3)(?R .3 个 向 量组 含故 列 向 量 组 的 最 大 无 关彡 列 ，、、元 在而 三 个 非 零 行 的 非 零 首 421事实上.,421 无 关 组为 列 向 量 组 的 一 个 最 大故 a?),421（ ???????76321初 等 行 变 换 ??????01线 性 无 关， 故知 421421,),(aaR而由行最简形矩阵??????42153 , 即 得4． 求齐次线性方程组???????037,252421xx的基础解系和通解解 第一步， ,21~???????????????A得同解方程组 ??????.745, 321x第二步 ,1043????????????及令 x,743521?????????????及对 应 有 ,10,7521??????????即 得 基 础 解 系第三步， 并 由 此 得 到 通 解 ).,(432 Rccx??????????????????5． 求解非齐次线性方程组 ????????.x解 第一步 ,~~ ????????????????A4)(??BR可 见 并 有故 方 程 组 有 无 穷 多 解 ,,?????.21 ,43x第二步， 得??????042x取 即 得 方 程 组 的 一 个 特 解 .021???????X第三步 ，?????x4321 组 为导 出 方 程 组 的 同 解 方 程取 得到基础解系为,1042?????????????及x,031??????及则 ,12 ,01??????????第四步原非齐次线性方程组的通解为).,(21210 RcX??即 ).,(cx??????????????第四章 1． 计算矩阵 的特征值与特征向量???????20143解：因为方阵 A 的特征多项式为 ),2(120143?????????E所以 A 的特征值为 ， 3当 时，代入特征方程组 由21????OXAE??????????? ???????????0110242经 初 等 行 变 换AE得基础解系 ，因此属于 的全部特征向量为 。??????21?21??)0(1?k?当 时代入特征方程组 ，由3????OXAE??????????? ?????????010142经 初 等 行 变 换AE得基础解系 因此，属于 的全部特征向量为 ???????21?23??)0(21?k?2． 已知三阶矩阵 A 的 3 个特征值分别为 1, -1, 2，矩阵 求 B 的特征值，235AB??并求出行列式 的值B解：因为 ，所以 B 的特征值为 将235?? )()(23的 特 征 值昰其 中f??矩阵 A 的 3 个特征值分别为 1, -1, 2 分别代入 得 B 的三个特征值：-4, -6，-12.从而 8)1(6)4(??B3． 设三阶方阵 A 的三个特征值为 ， ，对应的特征向量分别为1?02?13?? ， 求 。T)2,1(??T),2(??T),(3??EA?2解：根据题意知 A 能对角化故根据矩阵对角化的性质有：，其中 11 010?? ???????????????PP ????????21所以有 ， 13????????PA12???????A所以 ，又因为 所以123 204?????????PEA ?????????2191??????． 判断下列矩阵是否与对角阵相似。若与对角阵相似求一个可逆矩阵 P，使 为A1?对角矩阵（1） （2）???????3210 ???????120解：（1）由 求解得 （二重） 。将 代入特征方程组得：0?AE?,41??2??

内容提示：线性代数（第二版）課后答案解析

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本书是与《线性代数》（ISBN：978-7-115-42275-0）配套的学习辅导书是按照工科类本科“线性代数”课程的基本要求，充分吸收相关教材辅导书的精华结合编者在同济大学多年的教学实踐经验，针对当今学生的知识结构和习惯特点编写而成的．全书共5章分别是线性方程组与矩阵、方阵的行列式、向量空间与线性方程组解的结构、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换．每章包含知识结构、归纳总结、典型例题、习题详解4个部分．

第一章　线性方程组與矩阵　1 一、知识结构　1 二、归纳总结　1 三、典型例题　8 四、习题详解　15 习题1－1　矩阵的概念及运算　15 习题1－2　分块矩阵　19 习题1－3　线性方程组与矩阵的初等变换　22 习题1－4　初等矩阵与矩阵的逆矩阵　28 测试题一　33 第二章　方阵的行列式　39 一、知识结构　39 二、归纳总结　39 三、典型例题　44 四、习题详解　52 习题2－1　行列式的定义　52 习题2－2　行列式的性质　53 习题2－3　行列式按行(列) 展开　58 习题2－4　矩阵求逆公式与克莱姆法则　62 测试题二　66 第三章　向量空间与线性方程组解的结构　73 一、知识结构　73 二、归纳总结　74 三、典型例题　78 四、习题详解　86 习题3－1　姠量组及其线性组合　86 习题3－2　向量组的线性相关性　88 习题3－3　向量组的秩与矩阵的秩　92 习题3－4　线性方程组解的结构　96 习题3－5　向量空間　102 测试题三　106 第四章　相似矩阵及二次型　118 一、知识结构　118 二、归纳总结　119 三、典型例题　123 四、习题详解　131 习题4－1　向量的内积、长度忣正交性　131 习题4－2　方阵的特征值与特征向量　133 习题4－3　相似矩阵　137 习题4－4　实对称矩阵的相似对角化　141 习题4－5　二次型及其标准形　150 习題4－6　正定二次型与正定矩阵　155 测试题四　158 第五章　线性空间与线性变换　165 一、知识结构　165 二、归纳总结　165 三、典型例题　168 四、习题详解　173 习题5－1　线性空间的定义与性质　173 习题5－2　维数、基与坐标　178 习题5－3　线性变换　182

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