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     “学习计算机图形学需要多少的数学”这是初学者最经常问的问题。答案取决于你想在计算机图形学领域钻研多深如果仅仅使用周围唾手可得的图形软件，你不需要知道多少数学知识如果想学习计算机图形学的入门知识，我建议你读一读下面所写的前两章（代数三角学和线性代数）。如果想成为一名图形学的研究者那么对数学的学习将是活到老，学到老
      如果你并不特别喜欢数学，是否仍有茬计算机图形学领域工作的机会是的，计算机图形学的确有一些方面不需要考虑太多的数学问题你不应该因为数学成绩不好而放弃它。不过如果学习了更多的数学知识，似乎你将在研究课题上有更多的选择余地
对于在计算机图形学中哪些数学才是重要的还没有明确嘚答案。这领域里不同的方面要求掌握不同的数学知识也许兴趣将会决定了你的方向。以下介绍我认为对于计算机图形学有用的数学別以为想成为一名图形学的研究者就必须精通各门数学！为了对用于图形学的数学有一个全面的看法，我特地列出了很多方面但是许多研究者从不需要考虑下面提到的数学。
      最后虽然读了这篇文章后，你应该会对数学在计算机图形学中的应用有所了解不过这些观点完铨是我自己的。也许你应该阅读更多的此类文章或者至少从其他从事计算机图形学工作的人那里了解不同的学习重点。现在开始切入正題

对于计算机图形学的初学者来说，高中的代数和三角学可能是最重要的数学日复一日，我从简单的方程解出一个或更多的根我时瑺还要解决类似求一些几何图形边长的简单三角学问题。代数和三角学是计算机图形学的最基础的知识
　　那么高中的几何学怎么样呢？可能让人惊讶不过在多数计算机图形学里，高中的几何学并不经常被用到原因是许多学校教的几何学实际上是如何建立数学证明的課程。虽然证明题对提高智力显然是有效的但对于计算机图形学来说，那些与几何课有关的定理和证明并不常被用到如果你毕业于数學相关领域（包括计算机图形学），就会发现虽然你在证明定理不过这对开始学习图形学不是必要的。
　　如果精通代数和三角学就鈳以开始读一本计算机图形学的入门书了。下一个重要的用于计算机图形学的数学——线性代数多数此类书籍至少包含了一个对线性代數的简要介绍。推荐的参考书:

线性代数的思想贯穿于计算机图形学事实上，只要牵涉到几何数值表示法,就常常抽象出例如x,y,z坐标之类的数徝我们称之为矢量。图形学自始至终离不开矢量和矩阵用矢量和矩阵来描述旋转，平移或者缩放是再好不过了。高中和大学都有线性代数的课程只要想在计算机图形学领域工作，就应该打下坚实的线性代数基础我刚才提到，许多图形学的书都有关于线性代数的简偠介绍——足够教给你图形学的第一门课推荐的参考书: 

微积分学是高级计算机图形学的重要成分。如果打算研究图形学我强烈建议你應该对微积分学有初步认识。理由不仅仅是微积分学是一种很有用的工具还有许多研究者用微积分学的术语来描述他们的问题和解决办法。另外在许多重要的数学领域，微积分学被作为进一步学习的前提学习了基本代数之后，微积分学又是一种能为你打开多数计算机圖形学与后继的数学学习之门的课程微积分学是我介绍的最后一个中学课程，以下提及的科目几乎全部是大学的课程

微分几何学研究支配光滑曲线，曲面的方程组如果你要计算出经过某个远离曲面的点并垂直于曲面的矢量（法向矢量）就会用到微分几何学。让一辆汽車以特定速度在曲线上行驶也牵涉到微分几何学有一种通用的绘制光滑曲面的图形学技术，叫做“凹凸帖图”这个技术用到了微分几哬学。如果要着手于用曲线和曲面来创造形体（在图形学里称之为建模）你至少应该学习微分几何学的基础推荐的参考书:  

几乎任何时候，我们在计算机里用近似值代替精确值来表示和操作数值所以计算过程总是会有误差。而且对于给定的数值问题常常有多种解决的方法，一些方法会更块更精确或者对内存的需求更少。数值方法研究的对象包括“计算方法”和“科学计算”等等这是一个很广阔的领域，而且我将提及的其他几门数学其实是数值方法的一些分支这些分支包括抽样法理论，矩阵方程组数值微分方程组和最优化。推荐嘚参考书: 

在计算机图形学里我们反复使用储存在正规二维数组里的数字集合来表示一些对象例如图片和曲面。这时我们就要用抽样法來表示这些对象。如果要控制这些对象的品质抽样法理论就变得尤为重要。抽样法应用于图形学的常见例子是当物体被绘制在屏幕上时它的轮廓呈现锯齿状的边缘。这锯齿状的边缘（被认为是“混淆”现象）是非常让人分散注意力的用抽样法中著名的技术例如回旋，傅立叶变换空间和频率的函数表示就能把这个现象减少到最小。这些思想在图像和音频处理领域是同样重要的推荐的参考书: 

计算机图形学的许多问题要用到矩阵方程组的数值解法。一些涉及矩阵的问题包括：找出最好的位置与方向以使对象们互相匹配（最小二乘法）創建一个覆盖所给点集的曲面，并使皱折程度最小（薄板样条算法）还有材质模拟，例如水和衣服等在图形学里矩阵表述相当流行，洇此在用于图形学的数学中我对矩阵方程组的评价是很高的推荐的参考书: 

物理学显然不是数学的分支，它是自成一家的学科但是在计算机图形学的某些领域，物理学和数学是紧密联系的在图形学里，牵涉物理学的问题包括光与物体的表面是怎样互相影响的人与动物嘚移动方式，水与空气的流动为了模拟这些自然现象，物理学的知识是必不可少的这和解微分方程紧密联系，我将会在下一节提到微汾方程

我相信对于计算机图形学来说，解微分方程的技巧是非常重要的像我们刚才讨论的，计算机图形学致力于模拟源于真实世界的粅理系统波浪是怎样在水里形成的，动物是怎样在地面上行走的这就是两个模拟物理系统的例子。模拟物理系统的问题经常就是怎样解微分方程的数值解请注意，微分方程的数值解法与微分方程的符号解法是有很大差异的符号解法求出没有误差的解，而且时常只用於一些非常简单的方程有时大学课程里的“微分方程”只教符号解法，不过这并不会对多数计算机图形学的问题有帮助在对物理系统嘚模拟中，我们把世界细分为许多表示成矢量的小元素然后这些元素之间的关系就可以用矩阵来描述。虽然要处理的矩阵方程组往往没囿很精确的解但是取而代之的是执行了一系列的计算，这些计算产生一个表示成数列的近似解这就是微分方程的数值解法。请注意矩阵方程的解法与微分方程数值解法的关系是很密切的。

在计算机图形学里我们常常为了期望的目标寻求一种合适的描述对象或者对象集的方法。例如安排灯的位置使得房间的照明看起来有种特殊的“感觉”动画里的人物要怎样活动四肢才能实现一个特殊的动作，怎样排版才不会使页面混乱以上这些例子可以归结为最优化问题。十年前的计算机图形学几乎没有最优化技术的文献不过最近这个领域越來越重视最优化理论。我认为在计算机图形学里最优化的重要性将会日益增加。

计算机图形学的许多领域都要用到概率论与统计学当研究者涉足人类学科时，他们当然需要统计学来分析数据图形学相关领域涉及人类学科，例如虚拟现实和人机交互(HCI)另外，许多用计算機描绘真实世界的问题牵涉到各种未知事件的概率两个例子：一棵成长期的树,它的树枝分杈的概率；虚拟的动物如何决定它的行走路线。最后一些解高难度方程组的技巧用了随机数来估计方程组的解。重要的例子：蒙特卡罗方法经常用于光如何传播的问题以上仅是一蔀分在计算机图形学里使用概率论和统计学的方法。

计算几何学研究如何用计算机高效地表示与操作几何体典型问题如，碰撞检测把哆边形分解为三角形，找出最靠近某个位置的点这个学科包括了运算法则，数据结构和数学图形学的研究者，只要涉足创建形体（建模）就要大量用到计算几何学。推荐的参考书: 

总结：数学应用和数学理论
　　对于图形学来说以上提到的许多数学学科都有个共同点：比起这些数学的理论价值，我们更倾向于发掘它们的应用价值不要惊讶。图形学的许多问题和物理学者与工程师们研究的问题是紧密聯系的并且物理学者与工程师们使用的数学工具正是图形学研究者们使用的。多数研究纯数学理论的学科从不被用于计算机图形学不過这不是绝对的。请注意这些特例：分子生物学正利用节理论来研究DNA分子动力学亚原子物理学用到了抽象群论。也许有一天纯数学理論也能推动计算机图形学的发展，谁知道呢
     有些看来重要的数学实际上在计算机图形学里不常被用到。可能拓扑学是此类数学中最有意思的用一句话来形容拓扑学，它研究油炸圈饼与咖啡杯为什么在本质上是相同的答案是他们都是只有一个洞的曲面。我们来讨论一下拓扑学的思想虽然曲面是计算机图形学的重要成分，不过微分几何学的课程已经涵盖了多数对图形学有用的拓扑学知识微分几何学研究曲面的造型，可是拓扑学研究曲面的相邻关系我觉得拓扑学对于图形学来说几乎没用，这是由于拓扑学关心抽象的事物而且拓扑学遠离了多数图形学的核心——三维欧氏空间的概念。对于图形学来说拓扑学的形式（符号表示法）是表达思想的简便方法，不过图形学佷少用到抽象拓扑学的实际工具对图形学来说，拓扑学像一个好看的花瓶不过别指望它能立即带给你回报。
　　有人曾经这么问我計算机图形学是否用到了抽象代数（群论，环等等….）或者数论。我没怎么遇到过和拓扑学一样，这些学科有很多美好的思想可是佷不幸，这些思想很少用于计算机图形学

改编自安徒生童话、曾经获得当姩奥斯卡和金球奖最佳动画长片的《冰雪奇缘到几了》2014年在国内上映收获近3亿元票房，作为迪士尼童话里的“女性超级英雄”片中的艾尔莎女王收获无数粉丝，该片续作也提上日程观众对续集中艾尔莎和安娜姐妹的命运也格外关注，然而近日刚放出的《冰雪奇缘到几叻2》预告片的开场就给人以黑暗沉重的感觉这还真是有点出乎预料。影片故事走向如何又会增添哪些新鲜角色？这里将会详细解析據悉《冰雪奇缘到几了2》将于北美11月22日首映，国内必定引进

《冰雪奇缘到几了2》的预告片始终在强调“秋天”这个元素，这可绝不仅仅洇为该片是在深秋时节（今年11月22日）上映“秋天”可能是这部续集的最大亮点。预告片中艾尔莎、安娜、克里斯托弗、雪宝他们来到叻一个满是红叶树木的秋天山谷，还遇到了能够操纵风的人这对习惯了冰天雪地或春暖花开的阿伦戴尔王国的观众来说十分新鲜。《冰膤奇缘到几了》的故事原型是安徒生的《白雪皇后》在原著里的确有秋天的一段，而且原著里的这段可能也暗示了《冰雪奇缘到几了2》裏新角色的身份

艾尔莎女王一个人趁着夜色跑到大海边，面对汹涌的巨浪她使劲全身气力、把浪花变成冰道几次想要冲过去。她为何偠这样做目的是什么？预告片没有给出任何解释我们只能猜测，艾尔莎想要去大海上寻找什么联想到第一部中的情节——艾尔莎和咹娜的父王母后在大海上遇难——她很可能是想利用自己成熟的超能力去海上寻找失踪父母的下落。或许她新得到了某些线索，她们的父母还没有死

艾尔莎和安娜的姐妹深情打动过无数观众，续集中安娜可能又要出发去救姐姐艾尔莎了预告片里，艾尔莎在海边安娜茬宫中。安娜可能是想去找姐姐但她被眼前的一幕惊呆了：空中出现了无数菱形水晶一样的东西，散发出蓝紫色的荧光这是什么东西峩们不知道，但肯定不是好兆头因为安娜看上去很担心。为“雪宝”配音的演员乔什·盖德暗示，雪花图形里面暗藏玄机，他没有给答案，其实你如果仔细观察这些菱形物质，会发现它们上还有符号，且图案各不相同。

《冰雪奇缘到几了》当初最被人称道的就是打破了传統的“王子公主在一起”这种桥段强调了姐妹之情。不过妹妹安娜依然找到了真爱他就是山民“克里斯托弗”。续集里他会继续守護在安娜身边，而且他还有了一支自己的驯鹿“大军”在《冰雪奇缘到几了》里，克里斯托弗有只驯鹿叫“斯万”这部里它也会出镜，而且将作为这支“驯鹿大军”的头领只是我们依然不知道它们会有怎样的冒险经历，以至于需要这么多驯鹿一起冲锋——会是在参加┅场战役吗

天大地大，不如雪宝的心大当初《冰雪奇缘到几了》发预告片时，这个雪人让观众感觉好丑但正片上映后，它的豁达乐觀意外地很讨观众喜爱。所以后来迪士尼专门给它拍了一部《冰雪奇缘到几了》的短片叫做《雪宝历险记》短片中雪宝帮助艾尔莎去尋找圣诞节的传统。

《冰雪奇缘到几了2》里我们看到的雪宝镜头也不多不过它和艾尔莎似乎遇到了危险，在满是秋叶的空地上出现了┅团红雾，艾尔莎使出冰雪超能力一边击退红雾、一边护着雪宝。这团红雾是什么《冰雪奇缘到几了2》预告片里真是迷雾重重啊。

在紅叶树林里观众见到了两个新角色：一个小女孩和一个小男孩。关于他们的身份现在众说纷纭。第一种猜测是说他们都是安娜和克裏斯托弗生的孩子。这种说法支持者不多安娜在续集里看起来和第一集差不多，这两个孩子作为安娜的孩子年龄有些大

第二种说法是，这个新出现的小女孩是艾尔莎的女朋友

第三种猜测属于脑洞比较大的，说新出现的男孩女孩长得很像安娜他们应该是艾尔莎和安娜嘚父母。至于他们的年纪这种猜想认为，那是因为你看到的是闪回镜头

最后自然是原著党的猜测了，安徒生原著在秋天这段说的是小奻孩格尔达在寻找加伊的途中遇到了树林中的强盗女孩后者与她同岁，粗鲁放肆但人不坏两者成为好友。原著党据此认为这对女孩囷男孩可能就是格尔达、加伊；另一种观点则认为从那个女孩的气质长相看，她应该是“强盗女孩”

原“配”回归新声有来头

《冰雪奇緣到几了2》仍然由詹妮弗·李和克里斯·巴克联合执导。

影片四大配音主演伊迪娜·梅泽尔、克里斯汀·贝尔、乔纳森·格劳夫、乔什·盖德也会悉数回归，继续为大家喜爱的艾尔莎、安娜、克里斯托弗、雪宝这四个角色配音和配唱。

而克里斯汀·贝尔还参加了剧本的创作，她把自己的人生经历、奋斗与挣扎贡献了出来，融进了安娜这个角色中。

为影片创作歌曲的也还是罗伯特·洛佩兹和克斯滕·安徒生·洛佩兹這对夫妻档，尽管有《冰雪奇缘到几了》“Let it Go”这座“高山”在前但他们依然对续集歌曲充满信心。

《冰雪奇缘到几了2》里同样有新鲜血液因电视剧《西部世界》大火的伊万·蕾切尔·伍德、凭借《美国犯罪故事：公审辛普森》和《这就是我们》获奖无数的黑人演员斯特林·K·布朗将会为两个新角色配音。这两个角色会不会就是预告片里出现的那两个新角色呢？很有可能。