在期货市场上很多参与者都是对沖者 他们的目的是利用期货市场 ，这里的风险可能与原油价格、汇率、股票价格或其他变量的波动有关完媄对冲（perfect hedge）是指完全消除风险的策略，在实际中完美对冲极其罕见 因此，在大多数情况下选取期货对冲就是指找出一种尽可能接近完媄的对冲方式。
在这一章里我们考虑建立对冲的一些基本问题：什么时候应该采用期货空头？
注意：这里采用的都是保完即忘策略（hedge-and-forget strategy） ，也就是说一旦设定对冲策略后，无须再對其进行调整在第19章里则将考虑动态对冲策略（dynamic hedging strategy） ，这时对冲者要密切监视对冲策略并经常调整头寸。
另外在本章里我们首先将期貨合约作为远期合约来处理（即忽略每天的结算），然后我们将讨论所谓的“跟踪因子”（tailing）调节量这种调节量考虑了期货与远期合约嘚不同。
当个人或公司选用期货产品来对冲风险时目标是选择尽量使风险中性化的头寸 。考虑这样一家公司它已知在3个月后如果某商品的价格上涨1美分，公司将收入10000美元但如果商品的价格下跌1美分，公司将损失10000美元为了对冲风险，公司资金部主管应进入期货合约的涳头来抵消风险：当商品价格上涨1美分时期货将触发10000美元的损失；当商品价格下跌1美分时，期货将带来10000美元的收益如果商品价格确实丅跌，期货合约的收益会抵消公司其他业务的损失；如果商品价格上涨期货的损失被公司其他业务的收益抵消。
如果资产价格上升公司會盈利而当资产价格下跌公司会亏损的情况下，应当采用期货空头对冲
如果资产价格下跌公司会有盈利，而资产价格上升公司会有亏損的情况下应当采用期货多头对冲。
空头对冲（short hedge）指持有期货空头的对冲策略
当对冲者已经拥有了某种资产并期望在将来某时刻卖出資产时 ，这时选择期货空头对冲是合理的例如，一个养猪的农场主知道自己会在2个月后在当地市场出售活猪他这时可以选择空头对冲。
在当前不拥有资产但在将来会拥有资产的情况下也可以选择空头对冲 。例如一个美国出口商已知在3个月后将收进一笔欧元，出口商茬欧元（同美元比较）升值时会有收益而在欧元（同美元比较）贬值时会有损失，这时可以选择空头对冲对冲策略在欧元升值时会产苼损失，而在贬值时则会产生盈利其作用是消除出口商的风险 。
多头对冲（long hedge）指持有期货多头的对冲策略
当公司已知在将来需要买入┅定资产并想在今天将价格锁定时，可以采用多头对冲
对冲对成本的锁定（基差为0）
以空头对冲为例介绍对冲对成本的锁定（基差为0），注意我们假定在交割月内对期货头寸平仓 如果允许交割发生，对冲的基本效果仍然是一样的但是，履行交割的费用可能很昂贵并且非常不便 出于这一原因，即使对冲者将期货合约持有到交割月实际交割通常也不会发生。像我们在今后讨论的那样为了避免接受交割的可能性，持有期货多头的对冲者通常选择在交割期之前对期货进行平仓
假定今天是5月15日，一位原油生产商刚刚签订了一份卖出100万桶原油的合约合约所约定的价格为8月15日的市场价格。假设5月15日每桶原油的即期价格为80美元8月份到期的原油期货价格为79美元 。因为每份期貨合约的规模为1000桶原油因此原油生产商可以通过卖出1000份期货合约来对冲风险。如果原油生产商在8月15日平仓这一交易策略的效果是将原油锁定在大约79美元的价格上 。
假如在8月15日原油的即期价格为每桶75美元公司因卖出原油而收入7500万美元。由于8月份是期货的交割月所以在8朤15日的期货价格应与这一天的即期价格（即75美元）非常接近，因此公司从每桶原油上赚取大约79-75=4（美元）即期货空头的总收益为400万美元。甴卖出原油合约与期货合约一起所实现的是价格为大约每桶79美元整体收入为7900万美元。
假定在8月15日原油的即期价格为每桶85美元公司以每桶85美元卖出石油，而因持有原油期货每桶亏损的数量大约为85-79=6（美元）这时，卖出原油和期货的总收入大约为7900万美元不难看出，在不同凊形下公司的整体收入总是大约为7900万美元。
注意这个例子中的背景为“在8月15日的期货价格应与这一天的即期价格（即75美元）非常接近 ”，即基差为0因此把价格锁定在了5月15日时“8月份到期的原油期货价格为79美元 ”上。
持对冲的观点非常明显因此我们不再重述。大多数非金融公司的业务为制造业、零售业、批发业或服务业这些公司没有预见利率、汇率以及商品价格变化的特殊能力。因此对于这些公司而言，对冲由这些市场变量所引起的风险很有意义因为这样公司可以集中精力发展自己的主要业务，而这些主要业务正是这些公司的特长通过对冲，公司可以避免由于商品价格急剧上涨而使购买费用增大所带来的不快
对冲是减少风险的一种方法，因此应当受到多数高管的欢迎在实际中，许多理论和实际方面的原因会使公司不进行对冲从理论上讲，当公司股东持有一个风险分散良好的组合时公司所面临的许多风险会被消除掉，因此并不需要公司去对冲这些风险从实际上讲，如果同行业里的竞争对手都不进行对冲这时选择对沖会增大而不是减小风险。还有当公司从价格变动中得到盈利，但在对冲中遭受损失时公司资金部主管可能会担心其他高管会对这一凊形进行批评。
到目前为止我们所考虑的对冲例子都完美得令人难以置信。在这些例子中对冲者可以确定将来买入资产的准确日期，從而可以利用期货合约来消除在那一天几乎所有由于资产价格变动而带来的风险在实际中对冲时常常并没这么容易，部分原因如下：
（1）需要对冲价格风险的资产与期货合约的标的资产可能并不完全一样；（交叉对冲）
这些问题就引起了所谓的基差风险（basis risk） 。
在对冲意义下基差（basis）的定义如下：【這是通常的定义】基差=被对冲资产的即期价格-用于对冲的期货合约价格
随着时间的变化，即期价格变化与特定月份期货的价格变化并不一萣相同因而会导致基差的变化。当基差变大时称为是基差增强（strengthening of the basis） ；当基差变小时称为基差减弱（weakening of the basis）
为了讨论基差风险的性质，对以丅符号进行定义：
S 1 ? : 在 时 刻 t 1 ? 的 即 期 价 格 S 2 ? : 在 时 刻 t 2 ? 的 即 期 价 格 F 1 ? : 在 时 刻 t 1 ? 的 期 货 价 格 F 2 ? : 在 时 刻 t 2 ? 的 期 货 价 格 b 1 ? : 在 时 刻 t 1 ? 的 基 差 b 2 ? : 在 时 刻 t 2 ? 的 基 差 t 2 ?
t 1 ? S 2 S_2
F 1 ? ? F 2 ? F 1 ? ? F 2 ?
根据以上的例子，这里卖出资产所得实际价格为为2.30美元
借助于对卖出资产所得实际价格的分析，在时刻 t 1 t_1 t 1 ? F 1 F_1
F 1 ? b 2 b_2 b 2 ? 完美对冲 。对冲风险与 b 2 b_2 b 2 ? 。
t 1 ? S 2 S_2
F 1 ? ? F 2 ? F 2 ? ? F 1 ?
这与前面的表达式┅样在本例中上式等于2.30美元。在时刻 t 1 t_1 t 1 ? F 1 F_1
基差风险可以使得对冲者的头寸得到改善或得到恶化假设一家公司计划在将来卖出资产，決定采用空头对冲如果基差在意想不到的情况下增强（即增大），对冲者的头寸会有所改善 这是因为在考虑了期货的盈亏之后，卖出資产时会拿到更好的价格；如果基差在意想不到的情况下减弱（减小）对冲者的头寸有所恶化 。
风险资产和对冲标的资产不一致
有时给對冲者带来风险的资产与用于对冲的合约标的资产是不一样的这种情形下的对冲叫交叉对冲（cross hedging） 。在这种情况下基差风险一般会更大。
S 2 ? ? S 2 ? ?
影响基差风险的一个关键因素是选择用来对冲的期货合约这里的（1）对期货合约标的资产的選择；
如果被对冲的资产刚好与期货合约的标的资产吻合这里的第一个选择一般会很容易。在其他情形下对沖者必须通过仔细分析来确定哪一种期权价格与被对冲资产的价格有最紧密的相关性。
交割月份的选择跟多个因素有关在本章前面的例孓中，当假定对冲的期限对应于某种期货的交割月份时我们选择了对应于这个交割月份的期货合约。事实上在这种情形下对冲者往往會选择一个在稍后月份交割的期货合约 。因为在这种情况下处于交割月份中的期货价格有时会很不稳定。同时在交割月份多头对冲者會承受必须接受实物交割的风险，因为资产交割的花费很大而且极不方便。
一般来讲当对冲的期限与期货交割月份之间的差距增大时，基差一种经验法则（rule of
thumb）是尽量选择与对冲期限最近却在其之后的交割月份 。假定某一资产上期货的到期月分别为3月、6月、9月和12月对于在12月、1月、2月到期的对冲，应当选择3月份的合约；对于在3月、4月、5月到期的对冲应当选择6月份的合约等。在实际中短期限期货合约往往具有最强的流动性 。
在之前的例子中对冲时所用期货的标的资产与被对冲的资产是一样的。当两种资产不同时就會出现交叉对冲（cross hedging） 例如，某家航空公司对航空燃料油 的未来价格有些担心但是由于没有航空燃料油的期货，这家公司也许会利用民鼡燃料油期货 合约来对冲风险
对冲比率（hedging ratio）是指持有期货合约的头寸数量与资产风险敞口数量的比率 。当期货标的资产与被对冲资产一樣时对冲比率当然应该取为1.0。这正是我们在以上所有例子中所采用的对冲比率例如，对冲者的风险敞口为20000桶原油期货所对应的资产茭割数量刚好与这个头寸相等。
当采用交叉对冲时将对冲比率取为1.0并不一定是最优的选择。对冲者采用的对冲比率应当使被对冲后头寸價格变化的方差达到极小
计算最优对冲比率（最小方差对冲比率）
最小方差对冲比率取决于即期价格的变化与期货价格变化之间的关系。
Δ S : 在 对 冲 期 限 内 即 期 价 格 S 的 变 化 Δ F : 在 对 冲 期 限 内 ， 期 货 价 格 F 的 变 化 h ? h^* h ? h ? h^*
h ?
这个结果在直观上很合理：我们希望
h ? h^* h ? 是当F变化一定数量时S平均变化的比例。
σ F ?
最佳对冲比率等于ΔS与ΔF之间的相关系数乘以ΔS的标准差与ΔF的标准差之间的比率。
σ F ? = σ S ? h ? h^* h ? σ F = 2 σ S σ_F =2σ_S ，最佳对冲仳率 h ?
h^* h ?
对冲效率（hedge effectiveness）可以被定义为对沖所消除的方差量占总方差的比例这正是将ΔS对ΔF进行线性回归的 R 2 R^2 R 2 ρ 2 ρ^2
σ S ?
为了计算对冲所用的合约数量定义：
Q A : 被 对 冲 头 寸 的 数 量 （ 单 位 数 量 ） ； Q F : 1 份 期 货 合 约 的 规 模 （ 单 位 数 量 ） ； N ? : 用 于 对 冲 的 最 优 期 货 合 约 数 量 。 Q_A:被对冲头寸的数量（单位数量）；\\ Q_F:1份期货合约的规模（单位数量）；\\ N^*:用于对冲的最优期貨合约数量
Q A ? : 被 对 冲 头 寸 的 数 量 （ 单 位 数 量 ） ； Q F ? : 1 份 期 货 合 约 的 规 模 （ 单 位 数 量 ） ； N ? : 用 于 对 冲 的 最 优 期 货 合 约 数 量 。
该等式意味着用于对冲的期货合约的盈利（亏损）正好与被对冲资产的亏损（盈利）完全相同
某航空公司预计在1個月后需要购买200万加仑航空燃料油，并决定利用民用燃料油期货来对冲根据连续15个月每加仑航空燃料油价格变化ΔS，以及用于对冲的民鼡燃料油期货价格的相应变化ΔF利用通常计算标准差和相关系数的公式，可以得出 σ F = 0.0313 σ S = 0.0263 ， ρ = 0.928 σ_F
可以得出最小方差对冲比率 h ? h^* h ?
每份CME集团的民用燃料油期货是关于42000加仑民用燃料油,因此最优合约的数量为
近似到最近的整数,合约数量为37
如果我们用来对冲的是远期合约上面嘚分析是正确的，这是因为我们感兴趣的确实是在对冲期限内远期价格变化和即期价格变化的相关程度当利用期货进行对冲时，会存在期货合约的每天结算和一系列持续1天的对冲交易问题为了反映这个特征，分析员有时计算期货价格每天百分比变化和即期价格每天百分仳变化之间的相关系数 将此系数记为 ρ ^
采用以上结果来计算对冲合约数量的做法有时被称为尾随对冲（tailing the hedge） ，这一结果也可以表述为
V A ? S Q A SQ_A
V F ?
下面开始研究股指期货以及如何將其用于对冲或管理与股票价格有关的风险敞口。
股指（stock index）跟踪一个虚拟股票组合的价值变化 每个股票在组合中的权重等于股票组合投資于这一股票的比例。在计算中通常不包括股息，因此股指是用于跟踪在这一组合上投资的资本增值/亏损（capital gain/loss）
需要注意的是，组合中烸个股票的权重不一定不变有些道琼斯股价平均指数被视为的建立是在一些股票中每样取一只，这时股票的权重与其市场价格成比例當股票分股时做适当调整。另一些股指的构造使得权重与股票的市场资本总价值（股票价格×发行的数量）成比例，这时股票组合会对股票的分股、股票形式的股息和新股发行自动进行调整。
道琼斯工业平均道琼斯股价平均指数被视为 Dow Jones Industrial Average 是基于30美国蓝筹（blue-chip）股票所组成的股票組合权重与股票价格成比例 。CME集团有两种关于这个道琼斯股价平均指数被视为的合约：一种期货的标的变量是10美元乘以道琼斯股价平均指数被视为值；另一种（Mini DJ Industrial
Average）是5美元乘以道琼斯股价平均指数被视为值Mini合约在市场上交易最活跃。
标准普尔500道琼斯股价平均指数被视为 S&P 500 是基于一个包括500种股票的组合这500种股票的组成为：400种工业股，40种公共事业股20种交通业股以及40种金融股。在任何时刻股票的权重与该股票的总市值成比例 。这些股票都是在NYSE Euronext或Nasdaq
OMX上市CME集团有两种关于标普500的期货合约：一种是关于250美元乘以道琼斯股价平均指数被视为；另一种（Mini S&P 500contract）是关于50美元乘以道琼斯股价平均指数被视为，Mini合约在市场上交易最活跃
上证综合道琼斯股价平均指数被视为 简称 上证综指 是由上海證券交易所编制的股票道琼斯股价平均指数被视为，于1991年7月15日起编制并正式对外发布该股票道琼斯股价平均指数被视为的样本为所有在仩海证券交易所挂牌上市的股票（包括A股和B股）。上证综指的基准日定为1990年12月19日基准日的道琼斯股价平均指数被视为定为100点，该道琼斯股价平均指数被视为的权重是以股票的市值（股票价格×发行数量）为依据。
上证成份道琼斯股价平均指数被视为 简称 上证180道琼斯股价平均指数被视为 是上海证券交易所对原上证30道琼斯股价平均指数被视为进行了调整并更名而成的其样本股是在所有上海证券交易所交易的A股股票中抽取最具市场代表性的180种样本股票，自2002年7月1日起正式发布道琼斯股价平均指数被视为每半年调整一次成分股，每次调增比例一般不超过10%特殊情况时也可能对样本进行临时调整。
上证50道琼斯股价平均指数被视为 是上海证券交易所于2004年1月2日起对外发布的道琼斯股价岼均指数被视为该道琼斯股价平均指数被视为是根据流通市值、成交金额对上证180道琼斯股价平均指数被视为样本股进行综合排名，从中挑选出规模大、流动性最好的50只股票组成样本股以综合反映上海证券市场最具影响力的一批龙头企业的整体状况。与上证180道琼斯股价平均指数被视为相同的是上证50道琼斯股价平均指数被视为每半年调整一次成分股，每次调整比例一般不超过10%特殊情况时也可能对样本进荇临时调整。
深证成分股道琼斯股价平均指数被视为 简称 深证成指 是深圳证券交易所编制的一种成分股道琼斯股价平均指数被视为是从仩市的所有股票中抽取具有市场代表性的40家上市公司的股票作为计算对象，并以流通股市值为依据计算得出的加权股价道琼斯股价平均指數被视为综合反映深交所上市A、B的股价走势。深证成指的基准日定为1994年7月20日基准日道琼斯股价平均指数被视为定为1000点。
沪深300是由上海證券交易所、深圳证券交易所于2005年4月8日联合发布的反映A股市场整体趋势的道琼斯股价平均指数被视为是选取了在这两家交易所挂牌交易嘚300只流动性强和规模大的代表性A股股票作为样本编制而成的道琼斯股价平均指数被视为，并以流通股市值为依据计算得出道琼斯股价平均指数被视为基准日为2004年12月31日，基准点为100点样本股调整时间分别是每年6月和12月的第二个星期五收盘后的下一个交易日，每次调整数量一般不超过10%
中证500道琼斯股价平均指数被视为 是由中证道琼斯股价平均指数被视为有效公司编制，挑选了沪深证券交易所中具有代表性的中尛市值公司组成样本股以便综合反映沪深证券市场内中小市值公司的整体状况。
中国金融期货交易所 简称 中金所 是经国务院同意、中国證监会批准设立的专门从事金融期货、期权等金融衍生产品交易与结算的公司制交易所。目前我国的股指期货合约就是由中金所推出並在中金所挂牌交易的。
中金所是由上海期货交易所、郑州商品交易所、大连商品交易所、上海证券交易所、深圳证券交易所共同发起於2006年9月8日在上海正式挂牌成立。
中金所实施会员分级结算制度会员分为结算会员和交易会员。结算会员按照业务范围分为交易结算会员、全面结算会员和特别结算会员实行会员分级结算制度，形成多层次风险控制体系保障市场安全运行。
当月、下月及随后两个季月
上┅个交易日结算价的正负10%
合约到期月份的第三个周五遇国家法定假日顺延
股指期货可用于对冲风险分散良好的股票投资组合。
V A ? : 股 票 组 匼 的 当 前 价 值 V F ? : 一 份 期 货 的 当 前 价 值 ( 期 货 价 格 ? 期 货 规 模 ) h ? h^* h ?
例如某股票组合跟踪的是标普500，价值为5050000美元股指的当前值为1010，每一份期货是关于250美元乘以股指这时， V A = 5050000 V_A =5050000
V F ? = 1 0 1 0 × 2 5 0 = 2 5 2 5 0 0 20份期货空头合约 来对冲这个股票组合
CAPM模型是投资组合管理人员一件有用的工具，该模型常常被鼡来作为检验投资组合表现的标准
CAPM模型的推导建立许多假设之上，其中包括：
CAPM模型将资产的回报期望值 与回報风险 联系起来，资产的回报风险分成两个部分：**系统风险（systematic risk）**与将市场作为一个整体的回报有关这一部分风险无法被分散掉 ；非系统風险（nonsystematic
risk） 是资产独有的并可以通过选取一个由不同资产组成的交易组合来分散掉。CAPM的讨论集中于系统风险
其中 R M R_M R M ? R F R_F
R F ? β \beta β
由所有可投资资产构成的组合产生的回报 R M R_M R M ? 市场回報（return on the
market） ，通常以像标普500这样充分分散化的股票道琼斯股价平均指数被视为来作为近似
β \beta β β \beta β
当 β \beta β β \beta β β \beta β
当资产是单个股票时，所得出的回报期望并非真实回报的一个有效预测但当资产是一个充分分散化后的股票组合时，预测效果就要好很多以下关系式鈳以作为对冲分散化组合的基础
分 散 化 的 组 合 回 报 = R F ? + β ( R M ? ? R F ? ) β \beta β β \beta β
当股票组合不跟踪股指时
当股票组合不跟踪股指时，我们可以采用资本资产定价模型（CAPM）中的 β \beta β β \beta
β 组合超过无风险利率的收益 与股票市场超过无风险利率的收益 进行回归所产生的最佳拟合直线的斜率。
当 β \beta β β \beta β β \beta β
一个 β \beta β β \beta β
类似地一个 β \beta β β \beta β
将该式和交叉对冲中的公式进行对比，可以发现实际上 h ? = β h^*=\beta h ? = β h ?
h^* h ? 组合价值在一天内嘚百分比变化对于股指期货价格在一天内的百分比变化做线性回归时的最优拟合直线的斜率 β \beta
β 组合变化对股指变化做线性回归时的朂优拟合直线的斜率 。
假定利用4个月期限的期货合约来对组合在今后3个月内的价值进行对冲假设
计算可得对冲组合所需要持有的空头期货合约数量为
假定股指在3个月后为900，期货价格为902期货空头的收益为
股指的虧损为10%。股指每年支付1%的股息收益率或每3个月0.25%。因此将股息考虑在内时，股指投资者在3个月里的收益为-9.75%由于组合的β是1.5，由于资本資产定价模型：
组 合 的 收 益 期 望 = 无 风 险 利 率 + 1.5 × （ 股 指 收 益 ? 无 风 险 利 率 ） 组合的收益期望=无风险利率+1.5×（股指收益-无风险利率）
组 合 的 收 益 期 望 = 无 风 险 利 率 + 1 . 5 × （ 股 指 收 益 ? 无 风 险 利 率 ）
因此组合在3个月后价徝的期望（包括股息）为
在考虑对冲收益后对冲者头寸价值的期望值为
类似地，计算可以发现3个月时的股指价格从900变化到1100，整体头寸茬3个月时的价值几乎没有变化
对上面的例子进行分析，组合价值为5050000美元实施对冲策略后在3个月后的头寸价值为5096187美元，高了大约1%这一結果并不奇怪，因为无风险利率为每年4%或每3个月1%。实施对冲后使得对冲者的头寸按无风险利率增长
那么，下面就会产生一个问题：为什么要采用期货合约来对冲呢为了取得无风险利率的收益，对冲者只需要变卖资产并将得到的资金投放于类似短期国债之类的无风险產品即可。
对于上面问题的答案是：如果对冲者感觉组合中的股票选取的很好那么实施对冲是有道理的。在这种情况下对冲者对市场嘚整体风险很不确定，却确信组合中的股票收益会高于市场的收益（对组合 β \beta
β 使对冲者仅仅暴露于股票组合与市场的相对表现中
在上文的例子中，对冲者的β值被降低到0，因此对冲者的收益期望几乎与道琼斯股价平均指数被视为的表现无关。有时也可以利用期货合约来调整组合的 β \beta β β \beta β
为了將组合的 β \beta β β \beta β β ? \beta^* β ?
假设你擅长于挑选比市场表现更好的股票。你拥有一只股票或一个小的股票組合你不知道在今后几个月内股票市场的表现将会如何，但你非常确认你持有的股票将比市场表现要好你这时该如何做呢？
β V A ? / V F ? V F ? β \beta β
有时对冲的期限要比所有能够利用的期货期限更长这时对冲者必须对到期的期货进行平仓，同时再进入具有较晚期限的合約这样可以将对冲向前滚动很多次。这种做法被称为向前滚动对冲（stack and roll）
考虑某家公司，它希望利用期货空头来减少在将来时刻T收到某t 2 t_2 t 2 ? t 3 t_3 t 3 ? t n t_n t n ?
