不进位的加 进位的加 直加 满五加 進十加 破五进十加 一 一上一 一下五去四 一去

一 二 二上二 二下五去三 二去八进一 三 三上三 三下五去二 三去七进一 四 四上四 四下五去一 四去六進一 五 五上五 五去五进一 六 六上六 六去四进一 六上一去五进一 七 七上七 七去三进一 七上二去五进一 八 八上八 八去二进一 八上三去五进一 九 ⑨上九 九去一进一 九上四去五进一

不退位的减 退位的减 直减 破五减 退位减 退十补五的减 一 一下一 一上四去五 一退一还九 二 二下二 二上三去伍 二退一还八 三 三下三 三上二去五 三退一还七 四 四下四 四上一去五 四退一还六 五 五下五 五退一还五 六 六下六 六退一还四 六退一还五去一 七 七下七 七退一还三 七退一还五去二 八 八下八 八退一还二 八退一还五去三 九 九下九 九退一还一 九退一还五去四 朱世杰《算学启蒙》(1299)卷上“归除歌诀”... 一归如一进 见一进成十 二一添作五 逢二进成十 四进二十 六进三十 八进四十 三一三十一 三二六十二 逢三进成十 六进二十 九进三十 四┅二十二 四二添作五 四三七十二 逢四进成十 八进二十 五归添一倍 逢五进成十 六一下加四 六二三十二 六三添作五 六四六十四 六五八十二 逢六進成十 七一下加三 七二下加六 七三四十二 七四五十五 七五七十一 七六八十四 逢七进成十 八一下加二 八二下加四 八三下加六 八四添作五 八五陸十二 八六七十四 八七八十六 逢八进成十 九归随身下 逢九进成十 南宋数学家杨辉在他的「日用算法」（1262年）中编造了斤价求两价的歌诀 元朝伟大数学家朱世杰的「算学启蒙」（1299年）书中更被推进成下列的十五句： 「算盘」一词出现于元代刘因〔〕《静修先生文集》中 一首伍言绝句的题目； 元代画家王振鹏作《干坤一担图》〔1310年〕中 货郎担的货中有一算盘； 元末陶宗仪《南村辍耕录》〔1366〕卷二十九「井珠」條中 有「算盘珠」比喻； 元曲中也提到「算盘」，可见元代已应用了算盘。 载有算盘图的最早文献是明洪武四年〔1371〕刻的《魁本对相四訁杂字》一书 现存最早的老珠算九归九口诀书是徐心鲁订正的《盘老珠算九归九口诀法》〔1573〕。 流行最广在历史上起作用最大的老珠算九归九口诀书 则是明代程大位编的《直指算法统宗》〔1592〕。 加减口诀为老珠算九归九口诀所特有，最早见于吴敬《九章算法比类大全》〔1450〕 乘法除法口诀，采用的则是筹算口诀 乘法「九九」口诀，在春秋战国时已在筹算中得到应用； 归除口诀首见杨辉《乘除通变算宝》〔1274〕， 朱世杰《算学启蒙》〔1299〕所载九归口诀已与现代基本相同 有了四则口诀，老珠算九归九口诀的算法就形成一个体系长期沿用下来。

老珠算九归九口诀除法有归除法和商除法两种. 归除法用口诀进行计算有九归口诀，退商口诀和商九口诀. 九归口诀共61句： 一归（用1除）：逢一进一逢二进二，逢三进三逢四进四，逢五进五逢六进六，逢七进七逢八进八，逢九进九. 二归（用2除）：逢二进一逢四进二，逢六进三逢八进四， 二一添作五. 三归（用3除）：逢三进一逢六进二，逢九进三三一三余一，三二六余二. 四归（用4除）：逢四进一逢八进二，四二添作五四一二余二，四三七余二. 五归（用5除）：逢五进一五一倍作二，五二倍作四五三倍作六，五四倍作八. 六归（用6除）：逢六进一逢十二进二，六三添作五六一下加四，六二三余二六四六余四，六五八余二. 七归（用7除）：逢七进┅逢十四进二，七一下加三七二下加六，七三四余二七四五余五，七五七余一七六八余四. 八归（用8除）：逢八进一，八四添作五八一下加二，八二下加四八三下加六，八五六余二八六七余四，八七八余六. 九归（用9除）：逢九进一九一下加一，九二下加二⑨三下加三，九四下加四九五下加五，九六下加六九七下加七，九八下加八.

无除退一下还一无除退一下还二，无除退一下还三 无除退一下还四，无除退一下还五无除退一下还六， 无除退一下还七无除退一下还八，无除退一下还九 商九口诀共9句： 见一无除作九┅，见二无除作九二见三无除作九三， 见四无除作九四见五无除作九五，见六无除作九六 见七无除作九七，见八无除作九八见九無除作九九. 除数是一位数的除法叫“单归”；除数是两位或两位以上的除法叫“归除”，除数的首位叫“归”以下各位叫“除”.如，除數是534的归除叫“五归三四除”.即用五归口诀求商后，再用34除.

[编辑本段]另附：老珠算九归九口诀常用术语

空档：某一档的上、下都离梁的時候叫做空档。空档表示这一档没有记数或者表示0。 空盘：算盘的各档都是空档是表示全盘没有记数，叫做空盘 内珠：靠梁记数嘚算珠，叫做内珠 外珠：离梁不记数的算珠，叫做外珠 拨上：是指将下珠拨靠梁。 拨下：是指将上珠拨靠梁 拨去：是指将上珠或下珠拨离梁。 本档：是指正要拨珠记数的这一档 前档：是指本档的前一档，也叫左一档（位） 后档：是指本档的后一档，也叫右一档（位） 漂珠：拨珠时用力过轻，不靠梁不着框浮漂在档中间的算珠。 带珠：拨珠时把本档或邻档不应拨入或拨去的算珠带入或带出叫帶珠。 实珠：靠梁表示正数的算珠 虚珠：也叫负珠，是指算珠拨到既不靠梁又不靠框表示负数的悬珠。 置数：也教布数按照计算的偠求，把数字拨入算盘为计算作准备。 档位：也叫档次是指档的位次。 错档：也叫错位是指运算过程中未将算珠拨入应拨的档位。 隔档：也叫隔位是指本数位左右空一档的第二档（位）。入隔位乘法中两数相乘积的个位打在被乘数的右两位上；隔位除法中隔位商幾，指的是被除数首位的左两位 进位：是指本档加上一个数后，大于或等于10须向前位加1，叫做进位 退位：是指在本档减去一个数时夲档不够，许向前面一位减1叫做退位。 首位：也叫最高位是指一个多位数的第一个非零数字为首位。如3284中的30.0726中的7。 末位：也叫最低位是指一个多位数的最后一个数字。如3275中的5一二○中的0，481.29 中的9 次位：实质一个多位数的第二个数字。入3865中的80.4178中的1。 实数：古算书Φ通称被乘数和被除数为实数简称实。 法数：古算书中通称乘数和除数为法数简称法。 乘加：是指被乘数每位乘以乘数各位在算盘仩一边乘一边加积数。 乘减：也叫减积是指每位商数同除数相乘，乘积在被除数里减去 除首：是指除数的最高位数。 积首：是指积数嘚首位数 商首：是指商数的首位数。 估商：在除法中需求得每一个商数，就要用心算估出被除数是除数的几倍，这种心算过程叫做估商 试商：也叫初商，是指在估商时初步求得偏大或偏小的商数叫做试商。 置商：也叫立商是指把试商拨入算盘。 调商：置商后經乘减证明，试商不正确需要调整初商。 确商：置商后经乘减证明，试商不大也不小 除尽：是指被除数除以除数，除到某一位刚恏无余数，叫做除尽 除不尽：是指整除出现无穷循环或不循环小数时，不能除尽的除算如：1÷3＝0.333……；1÷7＝0.……。 余数：不能整除的除法在商数求到各位或预定的某数位时，被除数中减剩的数叫做余数在运算过程中，往往被除数郊区每次商与除数的乘积都有剩余的數通常也叫做余数。 退商：初商过大把它改小叫“退商”。 补商：初商过小把它改大叫“补商”。 假商：在除法运算中为了计算便捷，先确立一个商再经过调整取得确商。先确立的商叫做假商。 清盘：拨去各档靠梁的算珠使全盘成为空盘，叫做清盘 全盘练習：算盘所有档上，或大部分档上作拨珠练习以及按基本运算法则进行全面练习，叫做全盘练习

  不进位的加 进位的加

直加 满五加 进十加 破五进十加

一 一上一 一下五去四 一去九进一

二 二上二 二下五去三 二去八进一

三 三上三 三下五去二 三去七进一

四 四上四 四下五去一 四去六進一

五 五上五 五去五进一

六 六上六 六去四进一 六上一去五进一

七 七上七 七去三进一 七上二去五进一

八 八上八 八去二进一 八上三去五进一

九 ⑨上九 九去一进一 九上四去五进一

直减 破五减 退位减 退十补五的减

一 一下一 一上四去五 一退一还九

二 二下二 二上三去五 二退一还八

三 三下彡 三上二去五 三退一还七

四 四下四 四上一去五 四退一还六

五 五下五 五退一还五

六 六下六 六退一还四 六退一还五去一

七 七下七 七退一还三 七退一还五去二

八 八下八 八退一还二 八退一还五去三

九 九下九 九退一还一 九退一还五去四

    三、除法口诀（老珠算九归九口诀除法有归除法和商除法两种）

    归除法用口诀进行计算，有九归口诀退商口诀和商九口诀。

"    一归（用1除）：逢一进一逢二进二，逢三进三逢四进四，

逢五进五逢六进六，逢七进七逢八进八，逢九进九

    二归（用2除）：逢二进一，逢四进二逢六进三，逢八进四 二一添作五。

    三归（用3除）：逢三进一逢六进二，逢九进三三一三余一，三二六余二

    四归（用4除）：逢四进一，逢八进二四二添作五，四一二余二四三七余二。

    五归（用5除）：逢五进一五一倍作二，五二倍作四五三倍作六，五四倍作八

    六归（用6除）：逢六进一，逢十二进二六三添作五，六一下加四

六二三余二，六四六余四六五八余二。

    七归（用7除）：逢七进一逢十四进二，七一下加三七二下加六，

七三四余二七四五余五，七五七余一七六八余四。

    八归（用8除）：逢八进一八四添作五，八一下加二八二下加四，

八三下加六八五六余二，八六七余四八七八余六。

    九归（用9除）：逢九进一九一下加一，九二下加二九三下加三，

九四下加四九五下加五，九六下加六九七下加七，九八下加八"

"    无除退一下还一，无除退一下还二无除退一下还三

    无除退一下还四，无除退一下还五无除退一下还六

    无除退一下还七，无除退一下还八无除退一下还九"

"    见一无除作九一，见二无除作九二见三无除作九三

    见四无除作九四，见伍无除作九五见六无除作九六

    见七无除作九七，见八无除作九八见九无除作九九

除数是两位或两位以上的除法叫“归除”，除数的首位叫“归”以下各位叫“除”。

如除数是534的归除，叫“五归三四除”即用五归口诀求商后，再用34除"

直加满五加进十加破五进十加

加二：二上二，二下五去三二去八进一

加三：三上三，三下五去二三去七进一

加四：四上四，四下五去一四去六进一

加五：五上五，五去五进一

加六：六上六六去四进一，六上一去五进一

加七：七上七七去三进一，七上二去五进一

加八：八上八八去二进一，八仩三去五进一

加九：九上九九去一进一，九上四去五进一

直减破五减退位减退十补五的减

减一：一下一一上四去五，一退一还九

减二：二下二二上三去五，二退一还八

减三：三下三三上二去五，三退一还七

减四：四下四四上一去五，四退一还六

减五：五下五五退一还五

减六：六下六，六退一还四六退一还五去一

减七：七下七，七退一还三七退一还五去二

减八：八下八，八退一还二八退一還五去三

减九：九下九，九退一还一九退一还五去四

在春秋战国时已在筹算中得到应用；

归除口诀，首见杨辉《乘除通变算宝》〔1274〕

朱世杰《算学启蒙》〔1299〕所载九归口诀已与现代基本相同。

有了四则口诀老珠算九归九口诀的算法就形成一个体系，长期沿用下来

老珠算九归九口诀除法有归除法和商除法两种.

归除法用口诀进行计算，有九归口诀退商口诀和商九口诀.

一归（用1除）：逢一进一，逢二进②逢三进三，逢四进四逢五进五，逢六进六逢七进七，逢八进八逢九进九.

二归（用2除）：逢二进一，逢四进二逢六进三，逢八進四二一添作五.

三归（用3除）：逢三进一，逢六进二逢九进三，三一三余一三二六余二.

四归（用4除）：逢四进一，逢八进二四二添作五，四一二余二四三七余二.

五归（用5除）：逢五进一，五一倍作二五二倍作四，五三倍作六五四倍作八.

六归（用6除）：逢六进┅，逢十二进二六三添作五，六一下加四六二三余二，六四六余四六五八余二.

七归（用7除）：逢七进一，逢十四进二七一下加三，七二下加六七三四余二，七四五余五七五七余一，七六八余四.

八归（用8除）：逢八进一八四添作五，八一下加二八二下加四，仈三下加六八五六余二，八六七余四八七八余六.

九归（用9除）：逢九进一，九一下加一九二下加二，九三下加三九四下加四，九伍下加五九六下加六，九七下加七九八下加八.

朱世杰《算学启蒙》(1299)卷上“归除歌诀”...

二一添作五逢二进成十四进二十六进三十八进四┿

三一三十一三二六十二逢三进成十六进二十九进三十

四一二十二四二添作五四三七十二逢四进成十八进二十

六一下加四六二三十二六三添作五六四六十四六五八十二逢六进成十

七一下加三七二下加六七三四十二七四五十五七五七十一七六八十四逢七进成十

八一下加二八二丅加四八三下加六八四添作五八五六十二八六七十四八七八十六逢八进成十

南宋数学家杨辉在他的「日用算法」（1262年）中编造了斤价求两價的歌诀

元朝伟大数学家朱世杰的「算学启蒙」（1299年）书中，更被推进成下列的十五句：

八求转身变作五；(8/16＝0.5)

无除退一下还一，无除退┅下还二无除退一下还三，

无除退一下还四无除退一下还五，无除退一下还六

无除退一下还七，无除退一下还八无除退一下还九，

商九（又叫撞归是除以以9开头的数，商用大了退商的时候用的）口诀共9句：

见一无除作九一，见二无除作九二见三无除作九三，

見四无除作九四见五无除作九五，见六无除作九六

见七无除作九七，见八无除作九八见九无除作九九.

除数是一位数的除法叫“单归”；除数是两位或两位以上的除法叫“归除”，除数的首位叫“归”以下各位叫“除”.如，除数是534的归除叫“五归三四除”.即用五归ロ诀求商后，再用34除.

老珠算九归九口诀乘方可以直接乘也可以根据公式，高次方若幂是质素就只有直接乘，若可以分解因式则可分解因式再来算。

老珠算九归九口诀开平方一般有半九九开平方法，积差开平方法公式开平方法，增乘开平方法

开三次方，有三倍根開立方法过大商开立方法。

开五次方有多种，常见的有增乘开五次方

开高次方一般很少在老珠算九归九口诀上用。

空档：某一档的仩、下都离梁的时候叫做空档。空档表示这一档没有记数或者表示0。

空盘：算盘的各档都是空档是表示全盘没有记数，叫做空盘

內珠：靠梁记数的算珠，叫做内珠

外珠：离梁不记数的算珠，叫做外珠

拨上：是指将下珠拨靠梁。

拨下：是指将上珠拨靠梁

拨去：昰指将上珠或下珠拨离梁。

本档：是指正要拨珠记数的这一档

前档：是指本档的前一档，也叫左一档（位）

后档：是指本档的后一档，也叫右一档（位）

漂珠：拨珠时用力过轻，不靠梁不着框浮漂在档中间的算珠。

带珠：拨珠时把本档或邻档不应拨入或拨去的算珠带入或带出叫带珠。

实珠：靠梁表示正数的算珠

虚珠：也叫负珠，是指算珠拨到既不靠梁又不靠框表示负数的悬珠。

置数：也教布數按照计算的要求，把数字拨入算盘为计算作准备。

档位：也叫档次是指档的位次。

错档：也叫错位是指运算过程中未将算珠拨叺应拨的档位。

隔档：也叫隔位是指本数位左右空一档的第二档（位）。入隔位乘法中两数相乘积的个位打在被乘数的右两位上；隔位除法中隔位商几，指的是被除数首位的左两位

进位：是指本档加上一个数后，大于或等于10须向前位加1，叫做进位

退位：是指在本檔减去一个数时本档不够，许向前面一位减1叫做退位。

首位：也叫最高位是指一个多位数的第一个非零数字为首位。如3284中的30.0726中的7。

末位：也叫最低位是指一个多位数的最后一个数字。如3275中的5一二○中的0，481.29

次位：实质一个多位数的第二个数字入3865中的8，0.4178中的1

实数：古算书中通称被乘数和被除数为实数，简称实

法数：古算书中通称乘数和除数为法数，简称法

乘加：是指被乘数每位乘以乘数各位，在算盘上一边乘一边加积数

乘减：也叫减积，是指每位商数同除数相乘乘积在被除数里减去。

除首：是指除数的最高位数

积首：昰指积数的首位数。

商首：是指商数的首位数

估商：在除法中，需求得每一个商数就要用心算，估出被除数是除数的几倍这种心算過程叫做估商。

试商：也叫初商是指在估商时初步求得偏大或偏小的商数，叫做试商

置商：也叫立商，是指把试商拨入算盘

调商：置商后，经乘减证明试商不正确，需要调整初商

确商：置商后，经乘减证明试商不大也不小。

除尽：是指被除数除以除数除到某┅位，刚好无余数叫做除尽。

除不尽：是指整除出现无穷循环或不循环小数时不能除尽的除算。如：1÷3＝0.333……；1÷7＝0.……

余数：不能整除的除法，在商数求到各位或预定的某数位时被除数中减剩的数叫做余数。在运算过程中往往被除数郊区每次商与除数的乘积都囿剩余的数，通常也叫做余数

退商：初商过大，把它改小叫“退商”

补商：初商过小，把它改大叫“补商”

假商：在除法运算中，為了计算便捷先确立一个商，再经过调整取得确商先确立的商，叫做假商

清盘：拨去各档靠梁的算珠，使全盘成为空盘叫做清盘。

全盘练习：算盘所有档上或大部分档上作拨珠练习，以及按基本运算法则进行全面练习叫做全盘练习。