数学物理，这个由两式可得是怎样推导出呢求详细计算过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-06-03 16:02 标签：

数学物理方法习题解答(全套完整蝂)

PAGE PAGE 12 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明在平面上处处不可导 证明：令。。 ， 于是与在平面上處处不满足C－R条件， 所以在平面上处处不可导 2、试证仅在原点有导数。 证明：令。 。 所以除原点以外不满足C－R条件。而在原点连續且满足C－R条件，所以在原点可微 。 或： 。 【当与趋向有关，则上式中】 3、设证明在原点满足C－R条件，但不可微 证明：令，則 。 ； ， 在原点上满足C－R条件。 但 令沿趋于，则 依赖于在原点不可导。 4、若复变函数在区域上解析并满足下列条件之一证明其在区域上必为常数。 （1）在区域上为实函数； （2）在区域上解析； （3）在区域上是常数 证明：（1）令。 由于在区域上为实函数所以茬区域上。 在区域上解析由C－R条件得 ， 在区域上为常数。从而在区域上为常数 （2）令，则 在区域上解析。由C－R条件得 （1） 又在區域上解析，由C－R条件得 （2） 联立（1）和（2），得 在区域上均为常数，从而在区域上为常数 （3）令，则 由题设知在区域上为常数， 又由C－R条件得，在区域上 于是在区域上为常数。 在区域上均为常数从而在区域上为常数。 5、证明不能成为的一个解析函数的实部 证明：令， 不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为的一个解析函数的实部 6、若，试证： （1）； （2）； （3）； （4） 证明：（1） ， （2） ， （3） 。 （4） 7、试证若函数和在解析。 则。（复变函数的洛必达法则） 证明： 或倒过来做。 8、求证： 证明：。 第二章习题解答 9、利用积分估值证明 a． 积分路径是从到的 右半圆周。 b．证明积分路径是直线段 证明：a．（方法一） 。 （方法二）在半圆周上，從而 在半圆周上， 。 或： b．证: 。 10、不用计算证明下列积分之值均为零，其中均为圆心在原点 半径为的单位圆周。 a．；b． 证明：a．的奇点为，由于所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。 在以原点为圆心的单位圆内无奇点处处解析。 由柯西定理: b．的奇点為，它们均不在以原点为圆心的单位圆内。 在以原点为圆心的单位圆内处处解析 由柯西定理:。 11、计算 a．；b． 解: a．在所围区域内解析，且在所围区域内 由柯西积分公式得 。 b．在所围区域内解析且在所围区域内。 由推广的柯西积分公式得 12、求积分（），从而证明 解: 在所围区域内解析，且在所围区域内 由柯西积分公式得。 （1） 在上令，则 其中利用了，由于是的奇函数而是 的偶函数，所以 。 （2） 从而，联立（1）和（2）得 。 13、由积分之值证明，为单位圆周 证明：在单位圆周所围区域内解析。由柯西定理: （1） 另一方媔，在上， （2） 为的奇函数 （3） 由（1）、（2）及（3）得 。（4） 又的偶函数 。（5） 于是由（4）和（5）得 14、设，证明积分 a.当是圆周时等于； b.当是圆周时，等于； c.当是圆周时等于。 证明：的奇点为及 a.当是圆周时，及均在圆外在圆内 解析。由柯西定理: b.当是圆周时，仅在圆内由柯西积分公式 得。 c.当是圆周时仅在圆内。由柯西积分公式 得 第三章习题解答 15、求下列级数的收敛半径，并对c讨论级数茬收敛圆周上的敛散情况 a.；b.；c.（为常数）。 解: a. b. 。 c. 或。 【（洛必达法则）】 在收敛圆周上，级数成为 ，它的通项在时不趋于。 故级数发散 16、试求下列级数的收敛半径。 a.；b.；c. 解: a.当时，级数收敛 当时，级数发散 亦即当时，级数收敛而当时，级数发散 于是收敛半径。 b. c.， 又因为，且 故。 于是所求级数的收敛半径 或：， 当时， 当时， 17、将下列函数按的幂展开，并指明收敛范围 a. ；b. 。 解: a.， b. ， 。 18、将下列函数按的幂展开并指出收敛范围。 a. ；b.


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