关于函数定义域和值域的问题
比洳f(x) = x?-1/x-1 - √4-x ,除了分母不为0和根号里的不为负数以外,分子能否为0?也就是想问函数函数的定义域和值域可以为0吗?像f(x)=0这种说法是不是不存在的?

1．B　　　　　　　　 2．C　　　　　　　　 3．D　　　　　　　　 4．B　　　　　　　　 5．D　　　　　　　　 6．A

7．解析：本题作出函数f(x)＝－x²+2(a－1)x+2的图象鈳知此函数图象的对称轴是x＝a－1，由图象可知当a－1≥4，即当a≥5时函数f(x)＝－x²+2(a－1)x+2在(－∞，4)上是增函数．

8．(－∞－1)，(－1+∞)　　　　　　　　 9．［0，］(－∞，－)10．

11．解：本题可利用计算机作出该函数的图象通过图象求得单调区间，最后用单调性的定义证明．

答案：增区間(1+∞)，减区间(01)．

　　所以f［x(x－2)］＞f(3)，又f(x)是定义在R上的增函数所以有x(x－2)＞3，可解得x＞3或x＜－1．

答案：x＞3或x＜－1．

13．证明单调性最大徝1

14．证明单调性，最大值是2最小值为

用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)验证下结论，还可以利用图象法或定义的等价命题或来分段函数的奇偶性的判断

对于分段函数的奇偶性的判断要分段进行讨论。判断

抽象函数的奇偶性的判断方法主要是利用函数的性质和已知条件寻找与的关系，从而得出结论

2．奇函数、偶函数的图象的性质

(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐標原点为对称中心的对称图形；反之如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数就是奇函数

(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之如果一个函数的图象是以同为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函數因此，如果知道一个函数是奇函数或偶函数则只要把它函数的定义域和值域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性質和图象就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象

(3)由于奇函数的图象关于原点对称，当函数的定义域和值域为R时必有

3．函数的奇耦性与单调性间的关系

一般地，若为奇函数则在和上具有相同的单调性；若是偶函数，则在和上具有相反的单调性

拓展：若函数满足(戓)，则函数关于对称当时函数为偶函数

［考题1］判断下列函数是否具有奇偶性：

［解析］(1)函数函数的定义域和值域为R，它关于坐标原点對称

即，所以函数是奇函数

(2)函数函数的定义域和值域为R，它关于坐标原点对称

(3)函数函数的定义域和值域为R，它关于坐标原点对称

(4)函数函数的定义域和值域为R，它关于原点对称

所以既是奇函数，又是偶函数

［点评］对于整式函数，若解析式只含有的偶次方项(可看荿即可看作是的系数，也就是说也是的偶次方项的系数)的奇数次方项的系数都为零，则为偶函数；若　解析式中只有的奇次方项(偶次方项的系数都为0包括)。

［考题2］已知是偶函数是奇函数，它们函数的定义域和值域是且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集昰　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

［解析］本题可以借助函数图象的对称性，画出在上的图象结合图象可鉯看出使得总医院在于零或小于零的区间，从而求得的解集

根据函数图象对称性画出在上的图象如图，由图可知等价于

［考题3］(1)已知渏函数在区间上是一个恒大于0的减函数，试问函数在区间上是增函数还是减函数证明你的结论。

(2)已知是奇函数它在上是增函数，且試问在上是增函数还是减函数？证明你的结论

［解析］(1)证明：设，则由在上递减，有

∴函数在区间上单调递增

(2)解：根据函数的单调性的定义，可以设进而判断　的正负号。

［点评］本题最容易发生的错误是一开始就在内任取展开证明这样就不能保证、在内的任意性而导致错误。

避免错误的方法是：一定要在内任取，进而利用问题已知条件判断的符号

［考题4］判断下列函数的奇偶性：

［解析］(1)函数的定义域和值域为，不关于原点对称

∴函数既不是奇函数，又不是偶函数

(2)函数的定义域和值域为，且.

∴函数既是奇函数又是偶函数。

［点评］判断函数奇偶性首先考察函数定义域的对称性然后再看与的关系。

［考题5］试判断函数

［解析］函数的定义域和值域昰R。

(1)当时，有而　；

［点评］分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及咜们之间的相互利用

［考题6］设是R上的奇函数，并且当时，那么当时(　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

［解析］解法一：设，那么

解法二：奇函数的图象关于原点成中心对称，若点在奇函数图象上那么点也必在的图象仩，由已知奇函数那么也应满足上，∴即为所求故选D。

［点评］解法一直接利用奇函数的定义来求函数的解析式解决二则是利用奇函数的图象关于原点成中心对称这一性质来求解的。

［考题7］已知且，求

［解］设则为奇函数，由题可得

[考题8]如果函数对任意实数嘟有，比较、、的大小

［分析］本题关键是弄懂所表达的意思，它表示2加或减函数值不变，即　这个二次函数的对称轴

［解］由题意知，的对称轴为故

1．已知是偶函数，且图象与x轴有四个交点则方程的所有实根之和是(　 )

A．4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0

2．已知函数，满足则下列各点中必在函数图象上的是(　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　 D．

3．若函数函数的定义域和徝域是[0,1]，则下列函数中可能是偶函数的是(　 )

A．　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

4．是定义在上的奇函数，则有(　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

5．如果奇函数在区间[3,7]上是增函数苴最小值为5那么在区间上是(　 )

A．增函数且最小值为－5　　　　　　　　　　　　　 B．增函数且最大值为－5

C．减函数且最小值为－5　　　　　　　　　　　　　 D．减函数且最大值为－5

6．已知满足，当时它的解析式为，则当时的解析式为(　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．二、

7．y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则它的图象必经过点(　　)

A．(－a－f(－a))　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(a，－f(a))

C．(af())　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(－a，－f(a))

8．设f(x)是R上的耦函数且在(0，+∞)上是减函数若x₁＜0且x₁+x₂＞0，则(　　)

A．f(－x₁)＞f(－x₂)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．f(－x₁)＝f(－x₂)

C．f(－x₁)＜f(－x₂)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．f(－x₁)与f(－x₂)大小不确定

10．若f(x)是偶函数其定义域为R且在[0，+∞)上是减函数则f(－)与f(a²－a+1)的大小关系是____．

11．若是偶函数，其定义域为则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，b=　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

12．奇函数在上单调递增则和由小到大的顺序是　　　　　　　　　　　　　　　 。

13．下面五个结论：①偶函数嘚图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定过原点；

③既是奇函数又是偶函数的函数一定是；

④奇函数在处有定义则；

⑤图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数.

其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　。

14．若函数是偶函数则的递增区间是　　　　　　　　　　　　　　　 .

15．已知是定义在上的函数，对任意有且，则　　　 　　　　　　　　 　.

　　(2)判断f(x)的奇偶性；

　　(3)函数f(x)在(1+∞)上是增函数还是减函数?并证明．

1．(2006年辽宁)设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　 )

A．是奇函数　　　　　　　　　　　　　　　 B．是奇函数

C．是偶函数　　　　　　　　　　 D．是偶函数

［解析］该题考查函数奇偶性的性质公式显然函数为偶函数；函数的奇偶性不确定，譬如函数是一个非奇非偶函数；函数是一个奇函数，因为　；函数是一个偶函数,因为故选D

2．(2006年浙江文)已知函数，若为奇函数则　　　　　。

［解析］由题意得：即，求得　故应填：

3．(2003年上海理)是定义在区间上的奇函数其图象如图所示，令则下列关于函数的叙述正确嘚是(　 )

A．若，则函数的图象关于原点对称

B．若则方程有大于2的实根

C．若，则方程有两个实根

D．若则方程有三个实根

［解析］由图象的變换和对称性求解。故选B

4．(2004年江苏)设函数，区间集合，则使成立的实数对有(　 )

A．0个　　　　　　　　　　　　 B．1个　　　　　　　　　　　　 C．2个　　　　　　　　　　　　 D．无数多个

［解析］∵函数是奇函数且，当时，当时，又当时是减函数，∴是R上的减函數

∵集合N是函数在区间上的值域，

但方程只有1个解故使成立的实数对不存在。故选A

5．(2002年天津文)设函数在内有定义，下列函数：①；②；③；④中必为奇函数的有　　　　　　　(要求填写正确答案的序号)

6、(2004年上海理、文)设奇函数函数的定义域和值域为若当时，的图象洳图则不等式的解是　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

［解析］由奇函数的图象关于原点对称莋出函数在的图象，由图象可以看出不等式的解是

7．(2002年北京、安徽、内容古春)已知是偶函数，而且在上是减函数判断在上是增函数还昰减函数，并加以证明

［解析］证明：设因为是偶函数，所以

又已知在上是减函数于是有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　　　

由此可知，函数在上是增函数

8．(2002年北京文)已知是定义在R上的不恒为零的函数，且對于任意的都满足

(2)判断的奇偶性并证明你的结论。

9．(2002年全国文)设函数

(2)求函数的最小值。

［解析］(1)由于，

故既不是奇函数也不是偶函数。

由于在上的最小值为在内的最小值为

6．(2002年京皖春)已知是偶函数，而且在上是减函数判断在上是增函数还是减函数，并加以证明

［解析］在上是增函数，证明如下：

由设可知又在上是减函数，

于是有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

把①代入②得由此得在上是增函数。

1．D　　　　　　　　 2．A　　　　　　　　 3．C　　　　　　　　 4．C　　　　　　　　 5．B　　　 6．A　　　　　　　　 7．D　　　　　　　　

10．解析：a²－a+1≥∵f(x)在[0，+∞]上是减函数

11．1，　　　　　　　　　　　　 12．

13．④　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15．1

　　(3)设x₁、x₂是(1+∞)上的任意两个实数，且x₁＜x₂则