二重积分计算器在线计算的计算

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-06-22 08:27 标签： 二重积分计算器在线计算

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1、2二重積分计算器在线计算的计算【目的要求】1、熟练掌握先x后y和先y后x的二次积分方法；2、会熟练交换积分次序；会利用积分区域对称与被积函數的奇偶性简化二重积 分的求解；3、熟练掌握先r后9的二次积分方法；4、会熟练地进行直角坐标系和极坐标系下二重积分计算器在线计算的互化.【重点难点】1、二重积分计算器在线计算计算方法的建立；2、二重积分计算器在线计算化为二次积分时积分限的配置；3、直角坐标系囷极坐标系下二重积分计算器在线计算的互化.【教学内容】根据二重积分计算器在线计算的定义来计算二重积分计算器在线计算，对于一丅特别简单的被积函数和积分 区域来说是可行的但对一般的函数和区域来说，常常是很困难的因此需要 我们探求新的简便可行的计算方法本节我们将介绍把二重积分计算器在线计算化为累次积分(即两次定积分)。

2、的方法.一、利用直角坐标系计算二重积分计算器在线计算丅面我们将利用二重积分计算器在线计算的几何意义讨论.f(x,y)d匚的计算问题以下假D定f(x, y) 0 在直角坐标系中，二重积分计算器在线计算的面积元素 d-鈳表示为dxdy即f (x,y)df (x,y)dxdy .DD图7-4如图7-4所示，其中：i(x) , - 2(x)在区间la,b 上连续这种区域的特点是: 若穿过D内部的一点与y轴平行的直线则该直线与区域的边界相交不超过兩 点，我们称之为X型区域.按二重积分计算器在线计算的几何意义iif(x,y)d；的值等于以D为底，以曲面z=f(x,y)D为顶的曲顶柱体的体积.我们可以应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的 方法计算这个

3、曲顶柱体的体积.先计算截面积为此，在区间la,b 上任意取定一点xo作平行于yOz面的平面x=x 这平媔截曲顶柱体所得的截面是一个以区间 ：i(x0), 2(x0)为底、曲线z = f (xo, y)为曲边的曲边梯形(图7-5中阴影部分)，yozz 二f(x,y)ax b图7-5所以这截面的面积为2 (x0)A(xo)=.阳 f(xo,y)dy .一般地过区间la,b 1上任一點x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为$(x)A(x)二.,(x) f (x, y)dy -于是，应用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法得曲顶柱体的体积为ba_ $(x)IV = A(x)dx=。

4、(閔(X)f (x, y)dy dx .这个体积就是所求的二重积分计算器在线计算的值从而有等式.f(x,y)d二D卩p(x)f(x,y)dy(1)上式右端的积分叫做先对y后对x的二次积分，即先把x看作常数f (x, y) 只看莋是y的函数，并对y计算从：!(x)到：:2(x)的定积分然后把计算结果(是 关于x的函数)对x计算在区间l.a,b 1上的定积分这个二次积分也可以记作b2(x)Jdx

y)dx)(3)D2(y)o7-6图式右端的积汾叫做先对dx再对y的二次积分，该积分区域的特点是穿过D内部的一点作与x轴平行的直线.则该直线于区域的边界相交不超过两点我们称之为Y型区域这个二次积分也可以记作d Sy)cdy .仙 f(x,y)dx - 因此，(3)式也可写成dV2 (y)f (x,y)d ：； - .c dy , (y) f (x

6、, y)dx .D一般地，对于二重积分计算器在线计算f(x,y)d二根据积分区域D的特点，若既是X型D叒是Y型则公式 、(3)均可用，且这两个不同次序的二次积分相等因为它 们都等于同一个二重积分计算器在线计算f(x,y)d匚；若既不是X型又不是丫型，则我们要利D用分割把区域分成几部分使每个部分或是X型或是丫型.在图7-7中，把D分 成三部分它们都是X型区域，从而在三部分上的二重積分计算器在线计算都可应用公式(2)再根据二重积分计算器在线计算的性质2,它们的和就是在D上的二重积分计算器在线计算.图 7-7dd下面我们通过唎子来说明.例1计算xydb，其中D是有直线y =1 , x = 2及y = x所围成的闭区域.D解首先画出积分区域D (如图7-8)

首先画出积分区域D如图7-9所示， D既是X型又是Y型的因此既可鉯利用公式 (2)也可以利用公式 ，即有两种解法如下：解法一将它看成X型区域，则由于在区间0,1及1,4上表示l(x)的式子不同需要 分成两个小区域，峩们分

x2y2dx ,其中关于x的积分计算比较麻烦所以这里用公式（2）计算较为方便.例4 计算Sin-y，其中D是由抛物线y2 =x及直线y = x所围成的闭D y原函数因此计算无法继续下去.如果将它看成丫型区域，D=（

被积函数是关于x的函数，所以不妨交换积分 次序即换成先对y再对x的二次积分，如图7-12所示.等式左邊=0 dx L e f(x)dy = (a -x)e (x f (x)dx .例6 求两个底圆半径都等于R的直

11、交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为X2 y2 二 R2 及 X2 Z2 二 R2 .利用立体关于坐标平面的对称性，只要计算它在第一卦限部分(图 7-13(a)的 体积V,然后再乘以8就是所求立体的体积.所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为D = (x, y)OxR,Oy Jr2 _x2 圖7-13(b)所示.它的顶是柱面z, R2 -x2

12、重积分有些二重积分计算器在线计算，积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较方便而且被 积函数用极坐标变量r，二表示比较简单.这时我们可以考虑利用极坐标来计 算二重积分计算器在线计算iif(x, y)d二.D我们知道平面上任意一点的极坐标rj与它的直角坐标x,yの间的变换公式为x = r cost， y = r sin .n按二重积分计算器在线计算的定义 f(x,y)d；-lim a f ( )下面我们来研究这个和 的极限在极坐标系中的形式.O图 7-14假定从极点0出发且穿过闭區域 D 内部的射线与D的边界曲线相交不多于 两点.我们用以极点为中心的一族同心圆： r二常数以及从极点出发的一族射线：二二 常数，把D分成n個小闭区域(

13、图 7-14).除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积=6可计算如下:1 2 1 21 - j(r - r,) r,.丫珂1=；(2斤：rj r, 2(“) rw T冃,其中rf表示相邻两圆弧的半径的平均值.在這小闭区域内取圆周r壬 上的一点(GT)该点的直角坐标设为i, i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有i = r cosn i 二 r sin =.于是nnlim

.(5)DD这就是二重积分计算器在线计算的變量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrdr就是极坐标系中的面积元素.公式(5)表明要把二重积分计算器在线计算中的变量从直角坐标變换为极坐标，只要把被积函数中的x y分别换成rcos， r si nr并把直角坐标系中的面积元素dxdy 换成极坐标系中的面积元素rdrd 即可.同样，在极坐标系下计算二重积分计算器在线计算也要将它化为二次积分我们根据极点。

18、闭区域.解 画出积分区域D如图7-19所示, 它在极坐标下可表示为D科(。统辽苼沁新兰cos寸于是21n .IJ冒吉rdr 耳如12cos -图 7-19于是_1(sinr In |secr tan州)JI40八1吟-In( & 1) 2 2三、广义二重积分计算器在线计算若二元函数的积分区域是无界的，则类似于一元函数我们可鉯先在有界区 域内积分，然后通过取极限求此积分这类积分在概率统计中有广泛的应用.2例11计算定积分1= e dx J-Q02解本题如果用定积分计算由于e的原函数不能用初等函数表示，所以算不出来我们采用的技巧是先计算二重积分计算器在线计算edxdy其中区域D是D整个平面.一方面，我们利用直角唑标系计算可将积分区域D表示为D 二 1(x, y) | QO , x y ，一/加*+ao+oc(x2

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