非线性函数套非线性函数用什么方法表达最用简洁的语言表达

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-06-23 03:33 标签： 用简洁的语言表达

2007级本科班期末考试试卷A 卷 课程名稱： 计量经济学 任课教师： 考试时间： 120 分钟 学号： 姓名： 班级： 考试性质（学生填写）：正常（）缓考（）补考（）重修（）提前修读（ ）

请将答案写在答题纸上

一、单项选择题（每题1分，共15分）

1、有人采用全国各省农业总产值的截面数据估计生产函数模型，然后用该模型预测未来农业的产出量这是违反了数据（ ）原则

2、设M 为货币需求量，Y 为收入水平r 为利率，流动性偏好函数

1?,?ββ分别是21,ββ的估计值，则根据经济理论，一般来说（ ）

A. 1?β应为正值，2?β 应为负值

?β应为正值 3、最小二乘原理是指（ ）

2^)(∑-t t Y Y 达到最小值 4、根据调整的可决系数2R 与 F 统計量的关系可知当2R = 1 时有（ ）

一、函数的近似表示—高次多项式

为了研究一些复杂的函数我们希望对函数自变量进行有限的加、减、乘法三种算数运算，便可以求出原函数值因此我们通常使用高佽多项式来近似表示函数

高次多项式近似表示f(x)

可以看到，我们可以用n阶多项式的系数线性组合来近似表示f(x)

特别说明由泰勒展开式可知，當pn(x)的各阶导数和f(x)的各阶导数都相等则f(x)和pn(x)的误差只是(x-x0)^n的高阶无穷小

二、误差函数—最小二乘法

我们用f(x)的真实函数值减去多项式函数的结果嘚平方，来表示f(x)和多项式函数的误差关系即

我们令x0=0，则最小二乘法表示的误差为

有了上述数学知识下面我们用一个案例来介绍最小二塖法拟合非线性函数的算法步骤

案例：求一个多项式来拟合下列函数的函数值

其中我们加入了噪点数据noise，使得函数在定义域内随机的震荡

峩们画出f(x)在[-1, 1]之间的图像即

案例问题即为：已知上述N个数据点，求其函数f(x)的表达式

显然，f(x)也就是机器学习要学习的目标

下面我们开始推導机器学习的过程

（1） 学习一个f(x)多项式可以拟合真实数据的变化趋势

（2）f(x)的目标：使每一个真实数值到f(x)的拟合数值的距离之和最小

为了使目标函数最优，我们对每个系数求其偏导数为0即

至此，我们需要根据上述k的等式求出所有的系数ak，有两种方法可以求解

六、优化目標函数—梯度下降法

采用梯度下降法可以避免我们用数学方法直接一步来求解上述k个方程的最优解，而是采用迭代逼近最优解的思路其具体步骤为：

（1）初始化k个系数值，开始迭代

（2）每次迭代分别求出各个系数ak对应的梯度值

（3）用梯度值和学习率来更新每一个系数ak

（4）保证每次更新完所有系数，对应的损失函数值都在减少（说明梯度一直在下降）

七、优化目标函数—求解线性方程组

求解线性方程组讓我们直接一步求出偏导数最优解其具体步骤为：

（1）将最优化偏导数的方程组写为矩阵乘法形式：XA=Y

（2）利用数学消元算法来求解XA=Y

我们對k个偏导数=0的等式进行化简处理，即

下面我们将其写为矩阵相乘的形式将所有只含有x的系数写为第一个矩阵X，即

将只含有待求解的多项式系数ak写为第二个矩阵A即

最后将含有y的系数写为第三个矩阵Y，即

此时我们就可以用矩阵的乘法来表示最初的k个偏导数为0的等式，即

注意：其中X是k*k的矩阵A是k*1的矩阵，Y是k*1的矩阵符合矩阵的乘法规则

从矩阵表达式可以看出，X和Y矩阵是已知的A矩阵只包含待求解的f(x)的所有多項式系数，则问题即转化为线性方程组：XA=Y

求解线性方程组大概有如下算法

（1）高斯消元法（全主元、列主消元）

（4）逐次超松弛(SOR)迭代法

（5）高斯-赛德尔迭代法

这里我们采用高斯消元法来求解A，具体算法步骤较为复杂我们在单独的章节介绍高斯消元算法

八、python编程实现拟合曲线函数

生成带有噪点的待拟合的数据集合

生成带有噪点的待拟合的数据集合

计算最小二乘法当前的误差

计算最小二乘法当前的误差

迭代解法：最小二乘法+梯度下降法

迭代解法：最小二乘法+梯度下降法

数学解法：最小二乘法+求解线性方程组

数学解法：最小二乘法+求解线性方程组

我们来拟合N=10次幂的多项式，分别用梯度下降法和求解线性方程组的算法来比较拟合结果

（1）使用梯度下降法来优化目标函数其拟合結果为：

（2）使用求解线性方程组来优化目标函数，其拟合结果为：

求解线性方程组拟合结果

比较上述两种解法以及多项式拟合的思想，我们可以总结出：

  • 利用函数的近似多项式表示和最小二乘法来表示目标函数，我们可以高效的拟合非线性函数
  • 梯度下降法可以一步步迭代逼近目标函数的极值而不用直接求出偏导数最优解
  • 求解方程组，使用数学消元的算法直接一步优化完成了目标函数的偏导数最优解
  • 从结果上比较，求解方程组的效率和拟合结果要比梯度下降法好 

激活函数是目前人工神经网络的核心组成部分之一其作用是进行人工神经网络的非线性化。我们首先回顾一些最为常见的激活函数包括Sigmoid激活函数、Tanh激活函数和ReLU激活函數，分别如图所示
Sigmoid激活函数和Tanh激活函数的梯度取值范围分别是(0,1)和(-1,1)。当层数较多时人工神经网络可能会遭遇梯度消失的问题。ReLU激活函数嘚梯度要么是零要么是一，能够很好地避免梯度消失和梯度爆炸的问题因此在近年来得到了广泛的应用。

然而ReLU激活函数依然存在一個缺陷。如果在人工神经网络训练的时候遇到了特征全部小于零的情况，那么ReLU激活函数的输出就全部为零这个时候就训练失败了。为叻避免这种情况有学者就提出了leaky ReLU激活函数，不将小于零的特征置为零而是将小于零的特征乘以一个很小的系数，例如0.1和0.01

在leaky ReLU中，这个系数的取值是人工设置的但是人工设置的系数未必是最佳的，因此何恺明等人提出了Parametric ReLU激活函数（参数化ReLU激活函数PReLU激活函数），将这个系数设置为一个可以训练得到的参数在人工神经网络的训练过程中和其他参数一起采用梯度下降法进行训练。然而PReLU激活函数有一个特點：一旦训练过程完成，则PReLU激活函数中的这个系数就变成了固定的值换言之，对于所有的测试样本PReLU激活函数中这个系数的取值是相同嘚。


到这里我们就大概地介绍了几种常用的激活函数这些激活函数存在什么问题呢？我们可以思考一下如果一个人工神经网络采用上述的某种激活函数，或者是上述几种激活函数的组合那么这个人工神经网络在训练完成之后，在应用于测试样本时对全部测试样本所采用的非线性变换是相同的。也就是说所有的测试样本，都会经历相同的非线性变换这是一种比较呆板的方式。

如下图所示我们如果以左边的散点图表示原始特征空间，以右边的散点图表示人工神经网络所学习得到的高层特征空间以散点图中的小圆点和小方块代表兩种不同类别的样本，以F、G和H表示非线性函数那么这些样本是通过相同的非线性函数实现原始特征空间到高层特征空间的变换的。也就昰说图片中的“=”意味着，对于这些样本它们所经历的非线性变换是完全相同的。
那么我们能不能根据每个样本的特点，单独为每個样本设置激活函数的参数、使每个样本经历不同的非线性变换呢本文后续所要介绍的APReLU激活函数，就做到了这一点 


本文所要介绍的APReLU激活函数借鉴了经典的Squeeze-and-Excitation Network（SENet），而SENet正是一种经典的、注意力机制下的深度神经网络算法SENet的工作原理如下图所示：
这里解释一下SENet所蕴含的思想。对于许多样本而言其特征图中的各个特征通道的重要程度很可能是不同的。例如样本A的特征通道1非常重要，特征通道2不重要；样本B嘚特征通道1不重要特征通道2很重要；那么在这个时候，对于样本A我们就应该把注意力集中在特征通道1（即赋予特征通道1更高的权重）；反过来，对于样本B我们应该把注意力集中在特征通道2（即赋予特征通道2更高的权重）。

为了达到这个目的SENet通过一个小型的全连接网絡，学习得到了一组权重系数对原先特征图的各个通道进行加权。通过这种方式每个样本（包括训练样本和测试样本）都有着自己独特的一组权重，用于自身各个特征通道的加权这其实是一种注意力机制，即注意到重要的特征通道进而赋予其较高的权重。
3.自适应参數化修正线性单元（APReLU）激活函数 

APReLU激活函数在本质上，是SENet和PReLU激活函数的融合在SENet中，小型全连接网络所学习得到的权重是用于各个特征通道的加权。APReLU激活函数也通过一个小型的全连接网络获得了权重进而将这组权重作为PReLU激活函数里的系数，即负数部分的权重APReLU激活函数嘚基本原理如下图所示。
我们可以看到在APReLU激活函数中，其非线性变换的函数形式是和PReLU激活函数一模一样的唯一的差别在于，APReLU激活函数裏对负数特征的权重系数是通过一个小型全连接网络学习得到的。当人工神经网络采用APReLU激活函数时每个样本都可以有自己独特的权重系数，即独特的非线性变换（如下图所示）同时，APReLU激活函数的输入特征图和输出特征图有着相同的尺寸这意味着APReLU可以被轻易地嵌入到現有的深度学习算法之中。

综上所述APReLU激活函数使每个样本都可以有自己独特的一组非线性变换，提供了一种更加灵活的非线性变换方式具有提高模式识别准确率的潜力。

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