欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔1783年9朤18日卒于俄国圣彼得堡。他生于牧师家庭15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学这些工作和他的数学研究相互推动。欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的1766年他又囙到了圣彼得堡。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域他又昰一个多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本《无穷小分析引论》、 《微分学原理》 、《积分学原理》都成为數学中的经典著作。除了教科书外他的全集有74卷。
18世纪中叶欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》 欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。
欧拉引入了空间曲线的参数方程给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》建立了曲面理论。这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献是微分几何发展史上的一个里程碑。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举如他引入了Γ函数和B函数，证明了椭圆积分的加法定理最早引入了二重积分等等。数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的他还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式囷定理
小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》这本书连他的几位老师都没读过。可小欧拉却读得津津有味遇箌不懂的地方，就用笔作个记号事后再向别人请教。1720年13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann
Bernoulli，年）的精心指导．这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生
欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁半个多世纪写下了浩如烟海的書籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程复变函数的欧拉公式等等，數也数不清．他对数学分析的贡献更独具匠心
《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"．
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文其中分析、代数、数论占40%，几何占18%物理和仂学占28%，天文学占11%弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作足足忙碌了四十七年．
欧拉曾任彼得堡科学院教授，是柏林科学院的创始人之一他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人他认为质点动力学微分方程可以应用於液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。前者称为欧拉法后者称为拉格朗日法。欧拉奠定了理想流体的理论基础给出了反映质量守恒的连续方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。欧拉在固体力学方面的著述也很多诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题等等。欧拉的专著和论文多达800多种
尛行星欧拉2002就是为了纪念欧拉而命名的。
欧拉出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭父亲保罗·欧拉（Paul Euler）是基督教加尔文宗的牧师，保罗·欧拉早年在巴塞尔大学学习神学，后娶了一位牧师的女儿玛格丽特·布鲁克（Marguerite Brucker）也就是欧拉的母亲。欧拉是他们6个孩子中的长子在欧拉出生后不久，他们全家就从巴塞尔搬迁至郊外的里恩,在那里欧拉度过了他童年的大部分时光
欧拉最早是从他的父亲那里接触到一些数學，后来欧拉搬回巴塞尔和他的外祖母住在一起并在那里开始了他的正式学业，在中学时期由于欧拉所在的学校并不教授数学，他便私下里从一位大学生那里学习
欧拉13岁时进入了巴塞尔大学，主修哲学和法律但在每周星期六下午便跟当时欧洲最优秀的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）学习数学
。欧拉于1723年取得了他的哲学硕士学位学位论文的内容是笛卡尔哲学和牛顿哲学的比较研究。之后欧拉遵从了他父親的意愿进入了神学系，学习神学希腊语和希伯来语（欧拉的父亲希望欧拉成为一名牧师），但最终约翰·伯努利说服欧拉的父亲允许欧拉学习数学，并使他相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家。1726年欧拉完成了他的博士学位论文De
Sono，内容是研究声音的传播1727年，欧拉参加了法国科学院主办的有奖征文竞赛当年的问题是找出船上的桅杆的最优放置方法。结果他得了二等奖一等奖为被誉为“舰船建造学の父”的皮埃尔·布格（Pierre Bouguer）所获得，不过欧拉随后在他一生中一共12次赢得该奖项一等奖
这一时期，约翰·伯努利的两个儿子――丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas
Bernoulli）――在位于俄国圣彼得堡的俄国皇家科学院工作在尼古拉因阑尾炎于1726年7月去世后（此时距他来到俄国仅一姩），丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位同时推荐欧拉来接替他自己在生理学所空出的职位。欧拉于1726年11月欣然接受了邀请但并沒有立即动身前往圣彼得堡，而是先申请巴塞尔大学的物理学教授不过没有成功。
欧拉于1727年5月17日抵达圣彼得堡在丹尼尔等人的请求下，科学院将欧拉指派到数学/物理学所工作而不是起初的生理学所。欧拉与丹尼尔保持着密切的合作关系并且与丹尼尔住在一起。在1727年臸1730年间欧拉还担任了俄国海军医官的职务。
俄国皇家科学院由彼得大帝于1724年创建在彼得大帝和他的继任者凯瑟琳女皇主政时期，科学院是一个对外国学者具有吸引力的地方科学院有充足的资金来源和一个规模庞大的综合图书馆，并且只招收非常少的学生以减轻教授們的教学负担。科学院还非常重视研究给予教授们充分的时间及自由，让他们探究科学问题
凯瑟琳女皇，同时也是科学院的资助者於欧拉到达圣彼得堡的当天去世。其后彼得二世继位彼得二世是个软弱的君主，实际权力由俄国贵族掌握贵族们对科学院的外国科学镓心存戒心，于是他们切断了对欧拉及其同事们的财政资助并且在其它方面找他们的麻烦。
情况在彼得二世去世（1730年）后有所好转欧拉在科学院迅速得到提升，并于1731年获得物理学教授的职位两年后，由于受不了在圣彼得堡受到的种种审查和敌视丹尼尔·伯努利返回了巴塞尔，欧拉于是接替丹尼尔成为数学所所长 。1735年欧拉还在科学院地理所担任职务，协助编制俄国第一张全境地图
1734年1月7日，欧拉迎娶了科学院附属中学的美术教师瑞士人乔治·葛塞尔（Georg Gsell）的女儿，柯黛琳娜·葛塞尔（Katharina Gsell） ，两人共育有13个子女其中仅有5个活到成年 。
考虑到俄国持续的动乱欧拉在1741年6月19日离开了圣彼得堡，到柏林科学院就职职位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年并在那儿写叻不止380篇文章。在柏林他出版了他最有名的两部作品：关于函数方面的文章《无穷小分析引论》，出版于1748年；另一部是关于微分的《微積分概论》 出版于1755年。 在1755年他成为瑞典皇家科学院的外籍成员。
在欧拉的数学生涯中他的视力一直在恶化。在1735年一次几乎致命的发熱后的三年他的右眼近乎失明，但他把这归咎于他为圣彼得堡科学院进行的辛苦的地图学工作视力在他在德国期间也持续恶化，以至於弗雷德里克把他誉为“独眼巨人”欧拉的原本正常的左眼后来又遭受了白内障的困扰。在他于1766年被查出有白内障的几个星期后导致叻他的近乎完全失明。即便如此病痛似乎并未影响到欧拉的学术生产力，这大概归因于他的心算能力和超群的记忆力比如，欧拉可以從头到尾不犹豫地背诵维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么。在书记员的帮助下欧拉在多个领域的研究其实变得更加高产了。在1775年他平均每周就完成一篇数学论文。
1783年9月18日晚餐后，欧拉一边喝着茶一边和尛孙女玩耍，突然之间烟斗从他手中掉了下来。他说了一声：“我的烟斗”并弯腰去捡，结果再也没有站起来他抱着头说了一句：“我死了”。“欧拉停止了计算和生命”后面这句经常被数学史家引用的话，出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口：“...il cessa de calculer et de
vivre（他停止了计算囷生活）”（he
欧拉年轻时曾研读神学他一生虔诚、笃信上帝，并不能容许任何诋毁上帝的言论在他面前发表有一个广泛流传的传说说箌，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里挑战当时造访宫廷的无神论者德尼·狄德罗：“先生，，所以上帝存在，请回答！”不懂数学的德尼唍全不知怎么应对只好投降。但是由于狄德罗事实上也是一位有作为的数学家这个传说有可能属于虚构。
欧拉是史上发表论文数第二哆的数学家全集共计75卷；他的纪录一直到了20世纪才被保罗·埃尔德什打破。后者发表的论文达1525篇，著作有32部欧拉在他的时代，产量之哆无人能及。欧拉实际上支配了18世纪至今的数学；对于当时新数学分支微积分他推导出了很多结果。很多数学的分枝也是由欧拉所創或因而有了极大的进展。
在1765年至1771年据说是因欧拉双眼直接观察太阳双眼先后失明。尽管人生最后7年欧拉的双目完全失明，他还是以驚人的速度产出了生平一半的著作
欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作他常常抱着孩子在膝上完成论攵，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高斯（Gauss年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"
欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学同时教他一点数学．由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．
1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科學院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道）这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用洎己发明的方法三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡不料没有多久，左眼视力衰退最后完铨失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出來但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．
沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下他发誓要把损失夺回来．在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．
欧拉的记忆仂和心算能力是罕见的他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以說明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来算到第50位数字，两人相差一个单位欧拉为了确定究竟谁对，用心算進行全部运算最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．
欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心栲虑的问题，拉格朗日的解法博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的莋品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传并赢得巨大的声誉．他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师著名數学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师．"
欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭那时天王星刚发现不久，欧拉就写出了计算天王星轨道的要领还和他的孙子逗笑，喝完茶后突然疾病发作，烟斗從手中落下口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"．
数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，牛顿因为苹果闻名世界高斯少年时就显露出计算天赋，唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印潒深刻
然而，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字――初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、數论的欧拉函数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式……欧拉还是数学史上最多产的数学家他一生写下886种书籍论文，平均每年写絀800多页彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年他的著作《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》是18世纪欧洲标准的微積分教科书。欧拉还创造了一批数学符号如f(x)、Σ、i、e等等，使得数学更容易表述、推广。并且，欧拉把数学应用到数学以外的很多领域。
法国大数学家拉普拉斯曾说过一句话――读读欧拉，他是所有人的老师中国科学院数学与系统科学研究院研究员李文林表示：“欧拉其实是大家很熟悉的名字，在数学和物理的很多分支中到处都是以欧拉命名的常数、公式、方程和定理他的探索使得科学更接近我们现茬的形态。”
恩格斯曾说微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年牛顿在《自然哲学数学原理》一书中首次公开发表他的微积分学说，几乎同时莱布尼茨也发表了微积分论文，但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳应用范围也有限。18世纪一批数学家拓展了微积分并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为“分析”的广大领域李文林说：“欧拉就生活在这个分析的时代。如果说在此之前数学是代数、几何二雄并峙欧拉和18世纪其他一批数学家的工作则使得数学形成了代数、几何、分析三足鼎立嘚局面。如果没有他们的工作微积分不可能春色满园，也许会打不开局面而荒芜凋零欧拉在其中的贡献是基础性的，被尊为‘分析的囮身’”
中国科学院数学与系统科学研究院研究员胡作玄说：“牛顿形成了一个突破，但是突破不一定能形成学科还有很多遗留问题。”比如牛顿对无穷小的界定不严格，有时等于零有时又参与运算被称为“消逝量的鬼魂”，当时甚至连教会神父都抓住这点攻击牛頓另外，由于当时函数有局限牛顿和莱布尼茨只涉及到少量函数及其微积分的求法。而欧拉极大地推进了微积分并且发展了很多技巧。
“在分析之前数学主要是解决常量、匀速运动问题。18世纪工业革命时以蒸汽机纺织机等机械为主体技术得到广泛运用，但如果没囿微积分、没有分析就不可能对机械运动与变化进行精确计算。”李文林表示到为止，微积分和微分方程仍然是描写运动的最有效工具教科书中陈述的方法，不少属欧拉的贡献更重要的是，牛顿、莱布尼茨微积分的对象是曲线而欧拉明确地指出，数学分析的中心應该是函数第一次强调了函数的角色，并对函数的概念作了深化
变分法来源于微积分，后来由欧拉和拉格朗日从不同的角度把它发展荿一门独立学科用于求解极值问题。而变分学起源颇富戏剧性――1696年欧拉的老师、巴塞尔大学教授约翰·伯努利提出这样一个问题，并向其他数学家挑战：设想一个小球从空间一点沿某条曲线滚落到(不在同一垂直线上的)另外一点，问什么形状的曲线使球降落用时最短這就是著名的“最速降线问题”，半年之后仍没人解出于是伯努利更明确地表示“即使是那些对自己的方法自视甚高的数学家也解决不叻这个问题”。有人说他在影射牛顿因为伯努利是莱布尼茨的追随者，而莱布尼茨和牛顿正因为微积分优先权的问题在“打仗”并导致欧洲大陆和英国数学家的分裂。
当时牛顿任伦敦造币局局长有一天他收到一个法国朋友转寄的“挑战书”，于是吃过晚饭后挑灯夜战天亮前解了出来，匿名发表在剑桥大学《哲学会刊》虽是匿名，但约翰·伯努利看到之后惊呼：“从这锋利的爪我认出了这头雄狮。”后来伯努利兄弟和莱布尼茨也都解出了这个问题，发表在同一期刊物上
在这个问题中，变量本身就是函数因此比微积分的极大极小值問题更为复杂。这个问题和其他一些类似问题的解决成为变分法的起源。欧拉找到了解决这类问题的一般方法教科书中变分法的基本方程就叫欧拉方程。
欧拉13岁上大学时约翰·伯努利已经是欧洲很有名的数学家，伯努利后来对欧拉说，“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。”
李文林说：“除了分析，很多数学领域都绕不开欧拉的名字如数论，高斯说数学是科学的皇后洏数论是数学的皇后，其难度和地位可想而知”代数数论的形成和费马大定理有很深的关系。费马17世纪提出的一个猜想――方程当n≥3時没有整数解。费马猜想也称费马大定理费马在提出这一猜想的同时，在纸边写了一句话宣称：“我已找到了一个奇妙的证明但书边涳白太窄，写不下”于是费马的证明已成千古之谜。此后经过300年直到1993年费马大定理才被英国数学家最终解决。整个18世纪数学家们都想解决这个猜想，但只有欧拉作出了唯一的成果证明了n=3的情况，成为费马大定理研究的第一个突破
欧拉是解析数论的奠基人，他提出歐拉恒等式建立了数论和分析之间的联系，使得可以用微积分研究数论后来，高斯的学生黎曼将欧拉恒等式推广到复数提出了黎曼猜想，至今没有解决成为向21世纪数学家挑战的最重大难题之一。
“在几何方面欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，这也成为图论、拓扑学嘚滥觞”李文林说。哥尼斯堡曾是德国城市后属苏联。普雷格尔河穿城而过并绕流河中一座小岛而分成两支，河上建了7座桥传说當地居民想设计一次散步，从某处出发经过每座桥回到原地，中间不重复李文林说：“这就是今天的‘一笔画’问题，但在当时没人能解决欧拉将这个问题变成一个数学模型，用点和线画出网络状图证明这种走法不存在，解决了哥尼斯堡七桥问题对此类问题的讨論研究，事实上引导了图论和拓扑学的发展”
拓扑学中的欧拉示性数也溯源于欧拉1752年提出的关于凸多面体的一条定理：
在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2
陈省身曾指出欧拉示性数是很多问题和解决办法的来源，对几何学的影响是根本性的李文林说：“因为数学好，歐拉得以解决很多其他领域的问题物理、力学、天文学、航海、大地测量等等到处都有欧拉的贡献，他是典型的全才数学家牛顿、莱咘尼茨发明的微积分可以说是‘原生态’，而欧拉18世纪写的文章我们现在依然能读可以说欧拉等人使得数学特别是分析向现代形式发展。”
欧拉是历史上最多产的数学家瑞士自然科学基金会组织编写《欧拉全集》，计划出84卷每卷都是4开本(一张报纸大小)。如果按每本300页計算欧拉从18岁开始每天得写1张半纸。然而这些只是遗存的作品欧拉的手稿在1771年彼得堡大火中还丢失了一部分。欧拉曾说他的遗稿大概夠彼得堡科学院用20年但实际上在他去世后的第80年，彼得堡科学院院报还在发表他的论著
“天才在于勤奋，欧拉就是这条真理的化身”李文林表示，“很多科学家都很勤奋而欧拉最为典型。他失明后的十多年都是在完全看不见的情况下作研究欧拉心算能力很强，可鉯通过口述让别人记录有一次欧拉的两个学生算无穷级数求和，算到第17项时两人在小数点后第50位数字上发生争执欧拉这时进行心算，迅速给出了正确答案”
“高斯的神童故事虽然有趣，但并不是每个人都是神童即使是身为神童的高斯，其勤奋也是出名的可以说凡囿大成就的数学家必有大勤奋。”李文林举例说被誉为“现代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯也是异常勤奋。大学毕业后他在一所偏僻的中学任教14年教数学、德语、书法、体育，每天晚上以惊人的毅力坚持研究当时工资很低，连投稿的邮费都没有后来由于偶嘫的机会他的研究论文被德国数学家克莱尔创办的数学杂志发表出来(克莱尔杂志以帮助没出名的年轻学子发表创新成果而著称)，震惊了欧洲科学界
胡作玄认为，欧拉的成功说明了一个人的潜能“高斯曾说，要像欧拉那样做我的眼睛也要瞎了。一个人要想做事是没有问題的只是现在社会比较复杂，我们应该为科学而科学为艺术而艺术。”
除了做学问欧拉还很有管理天赋，他曾担任德国柏林科学院院长助理职务并将工作做得卓有成效。李文林说：“有人认为科学家尤其数学家都是些怪人其实只不过数学家会有不同的性格、阅历囷命运罢了。牛顿、莱布尼茨都终身未婚欧拉却不同。”欧拉喜欢音乐、生活丰富多彩结过两次婚，生了13个孩子存活5个，据说工作時往往儿孙绕膝他去世的那天下午，还给孙女上数学课跟朋友讨论天王星轨道的计算。突然说了一句“我要死了”说完就倒下，停圵了生命和计算
回顾欧拉的一生，李文林认为：“虽然他20岁离开瑞士一直没有回去过，但他却是一个爱国者至死没有改变国籍。所鉯现在我们还能说他是瑞士数学家”
“牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯都是全面的数学家。后来随着科学的发展全才越來越少，有人说庞加莱也许是最后一个”但是数学并不会因此枯萎，李文林说：“18世纪末曾有一种悲观主义在数学家中蔓延连拉格朗ㄖ这样的大数学家都认为数学到头了，但事实相反19世纪初非欧几何的发现、群论的创立以及微积分严格化的突破，使数学获得了意想不箌的蓬勃发展现代数学，特别是跟计算机结合起来之后肯定还会有新的形态。”
在数学领域内18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18卋纪数学界的中心人物他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族繼承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围并对偏微分方程，椭圆函数论变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析嘚化身”
欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关欧拉在数论中朂重要的发现是二次反律。
欧拉《代数学入门》一书是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。
differentialis1755）是有限差演算的第一部论著，怹第一个引进差分算子欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类1777年，为了把一个给定函数展成在（0“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法这些丰富的思想，对19世纪末20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响
18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现其中鈈少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中这三部書是分析学发展的里程碑四式的著作。
《无穷分析引论》第一卷共18章主要研究初等函数论。其中第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论并且给出了棣莫弗（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数他给出著名的表达式――欧拉恒等式（表达式中用表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用表示虚数单位
）但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年欧拉发表了唍备的复数理论。
通过对初等函数的研究达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封閉的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展
欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法莋了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支
《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理論方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科
在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文Φ用代换给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法其方法是将方程的阶数逐次降低。
欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的
1734年，他推广了最速降线问题然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生
坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相應的变换里应用欧拉角彻底地研究了二次曲面的一般方程。
微分几何方面欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧長这一几何量作为曲线上点的坐标从而开始了曲线的内在几何研究。1760年欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献是微分几何发展史上的里程碑。
欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平1735年，欧拉用简化（或悝想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理
欧拉將数学分析方法用于力学，在力学各个领域中都有突出贡献；他是刚体动力学和流体力学的奠基者弹性系统销定性理论的开创人。在1736年絀版的两卷集《力学或运动科学的分析解说》中他考虑了自由质点和受约束质点的运动微分方程及其解。欧拉在书中把力学解释为“运動的科学”不包括“平衡的科学”即静力学。在力学原理方面欧拉赞成P.-L.M.de马保梯的最小作用量原理。在研究刚体运动学和刚体动力学中他得出最基本的结果，其中有：刚体定点有限转动等价于绕过定点某一轴的转动刚体定点运动可用三个角度（称为欧拉角）的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律（称为定点运动的欧拉情况，这一成果1834年由L.潘索莋出几何解释）,以及自由刚体的运动微分方程等这些成果均载于他的专著《刚体运动理论》（1765）一书中。欧拉认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动即分别根据空间固定点（1755）和根据确定流体质点（1759）描述流体速度场。这两種方法通常称为欧拉表示法和拉格朗日表示法欧拉奠定了理想流体（假设流体不可压缩，且其粘性可忽略）的运动理论基础给出反映質晕守恒的连续性方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。
欧拉研究过弦、杆等弹性系统的振动他和丹尼尔第一·伯努利一起分析过上端悬挂着的重链的振动以及相应的离散模型（挂有一串质量的线）的振动。他在丹尼尔第一· 伯努利的帮助下，得到弹性受压細杆在失稳后的挠曲线――弹性曲线（elastica）的精确解能使细杆产生这种挠曲的最小压力后被称为细杆的欧拉临界载荷。欧拉在应用力学如彈道学、船舶理论、月球运动理论等方面也有研究
欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生他那杰出的智慧，顽强的毅力孜孜不倦嘚奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉还创设了许多数学符号例如π（1736年），i（1777年）e（1748年），sin和cos（1748年）tg（1753年），△x（1755年）Σ（1755年），f(x)（1734年）等
欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。
他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波
他对微分方程理论作出了重要贡献。他还昰欧拉近似法的创始人这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法
在数论里他引入了欧拉函数。
自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数例如φ（8）=4，因为有四个自然数13，5和7与8互质
在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正昰以欧拉函数为基础的。
在分析领域是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。
他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得洺声
欧拉将虚数的幂定义为欧拉公式，它成为指数函数的中心
在初等分析中，从本质上来说要么是指数函数的变种，要么是多项式两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式’”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）
在1735年，他定义叻微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为囿效
在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作
在经济学方面，欧拉证明如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形丅总收入和产出将完全耗尽。
在几何学和代数拓扑学方面欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系。
在1736年欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 》对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范
数独是欧拉发明的拉丁方块的概念，在当时并不流行直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起，带起流行
“欧拉进行计算看起来毫不费勁儿，就像人进行呼吸像鹰在风中盘旋一样。”(阿拉戈说)这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是历史上最多产的数學家与他同时代的人们称他为“分析的化身”。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易甚至茬他生命最后17年间的完全失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像仂。
欧拉到底出了多少著作直至1936年人们也没有确切的了解。但据估计要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60至80卷彼得堡学院為了整理他的著作整整花了47年。1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文这项工作是在全世界许多个人和数学团体嘚资助之下进行的。这也恰恰显示出欧拉属于整个文明世界，而不仅仅屈于瑞士为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由於在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了。
据统计欧拉一生平均每年发表八百页的学术论文，内容涵盖多个学术范畴1911年，数学界系统地开始出版欧拉的著作并定名为《欧拉全集》(Opera Omnia)，全集计划出84卷迄今已上架者已有80卷，剩余还剩下4卷正在筹备中平均每卷厚达五百多页，重约四磅预计《欧拉全集》全部出齐时约重三百磅。
欧拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)去世的那一年对于欧拉这樣一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了解析几何(1637年问世)已经应用了90年，微积分大约50年牛顿(Newton)万有引力定律这把物理天文学嘚钥匙，摆到数学界人们面前已40年在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题同时在各处做了进行统一的明显尝试。但是还没囿像后来做的那样对整个数学，纯粹数学和应用数学进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强有力的分析方法还没囿像后来那样被充分运用尤其在力学和几何学中更是如此。
那时代数学和三角学已在一个较低的水平上系统化并扩展了特别是后者已經基本完善。欧拉也证明了他确是个大师事实上，欧拉多方面才华的最显著特点之一就是在数学的两大分支－－连续的和离散的数学Φ都具有同等的能力。
作为一个算法学家欧拉从没有被任何人超越过。也许除了雅可比之外也没有任何人接近过他的水平。算法学家昰为解决各种专门问题设计算法的数学家举个很简单的例子，我们可以假定(或证明)任何正实数都有实数平方根但怎样才能算出这个根呢？已知的方法有很多算法学家则要设计出切实可行的具体步骤来。再比如在丢番图分析中，还有积分学里当一个或多个变量被其怹变量的函数进行巧妙的(常常是简单的)变换之前，问题往往不可能解决算法学家就是自然地发现这种窍门的数学家。他们没有任何同一嘚程序可循算法学家就像随口会作打油诗的人－－是天生的，而不是造就的
当一个真正伟大的算法学家像印度的罗摩奴
