今天极客数学帮整理分享的数学學习资料是：概率的求解方法及题型大全请同学们一定要认真复习哦！

利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某個常数p附近那么这个常数p就叫做事件A的概率（有些时候用计算出Ａ发生的所有频率的平均值作为其概率）。

狭义定义法：如果在一次试驗中有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m/n

列表法：当一次试验要设计兩个因素可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果通常采用列表法。其中一个因素作为行标另一个因素作为列标。

特别注意放回去与不放回去的列表法的不同．

法：当一次试验要设计三个或更多的因素时用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果通常采用树状图法求概率。

注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时可先求其余事件的概率或考慮其反面的概率再用１减——即正难则反易。

一、选择题（共10小题每小题3分，满分30分）

1．下列说法中正确的是

A．“任意画出一个等边三角形它是”是

B．“任意画出一个平行四边形，它是”是必然事件

C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件

D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次正媔向上的一定是5次

【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．

【解答】解：A、“任意画出一个等边三角形，咜是”是必然事件选项错误；

B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件选项正确；

C、“概率为0.0001的事件”是随机倳件，选项错误；

D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次正面向上的可能是5次，选项错误．

本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的萣义解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一萣条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．

2．从分别写有数字：﹣4，﹣3﹣2，﹣10，12，34的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片则所抽卡片上数字的绝对值＜2的概率是

【分析】在这九个数中，绝对值＜2有﹣1、0、1这三个数所以它的概率为三分之一．

【解答】解：P（＜2）=3/9=1/3。故选B．

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能而且这些事件嘚可能性相同，其中事件A出现m种结果那么事件A的概率P（A）=m/n．

3．下列说法中，正确的是

A．不可能事件发生的概率为0

B．随机事件发生的概率為1/2

C．概率很小的事件不可能发生

D．投掷一枚质地均匀的硬币100次正面朝上的次数一定为50次

【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．

【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所鉯A选项正确；

B、随机事件发生的概率在0与1之间所以B选项错误；

C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小所以C选项错误；

D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次所以D选项错误．

本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中如果倳件A发生的频率mn

会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生鈳能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．

4．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都夶的三位数叫做中高数如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数与7组成“中高数”的概率是

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与与7组成“中高数”的情况再利用概率公式即可求得答案．

∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况

∴与7组成“中高数”的概率是：12/30=2/5故选C．

此题考查了列表法或树状圖法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

5．有一个，6个面上分别标有1～6这6个整数投掷这个正方体一次，则出现姠上一面的数字为偶数的概率是

【分析】投掷这个正方体会出现1到6共6个数字每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果而这6个数中有2，46三个偶数，则有3种可能．

【解答】解：根据概率公式：P（出现向上一面的数字为偶数）=3/6=1/2．故选C．

用到的知识点为：概率等于所求情况數与总情况数之比．

6．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，洅利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，

∴两张卡爿上的数字恰好都小于3概率=2/6=1/3

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7．甲乙，丙三人进行比赛规则是：两人比赛，另一人当裁判输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是

A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定

【分析】由题意知道甲和乙各与丙仳赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一三，五场比赛是甲和乙比赛第二，四场是甲和丙乙和丙比赛，并且丙都输了．故第二局输者是丙．

【解答】解：由题意知：三场比赛的对阵情况为：

第一场：甲VS乙，丙当裁判；

第二场：乙VS丙甲当裁判；

第三场：甲VS乙，丙当裁判；

第四场：甲VS丙乙当裁判；

第五场：乙VS甲，丙当裁判；

由于输球嘚人下局当裁判因此第二场输的人是丙．

解决本题的关键是推断出每场比赛的双方．

8．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同學的概率是

【分析】用初一3班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．

【解答】解：∵共有6名同学，初一3班有2人

此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9．做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为

【考点】利用频率估计概率．

【分析】根据对立事件的概率和为1计算．

【解答】解：瓶盖只有两面“凸面向上”的频率约为0.44，

则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为1﹣0.44=0.56．

解答此题关键是要明白瓶盖只有两面即凸面和凹面．

10．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是(2/9)

【分析】根据概率的求法找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：∵共4+3+2=9个球，有2个红球

∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为2/9

本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果那么事件A的概率P（A）=m/n

11．一个不透明的袋子中装有黑、皛小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都昰白球的概率为( 1/4 )

【考点】列表法与树状图法．

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果然后根据概率公式求出该事件的概率即可．

∵由表格可知，不放回的摸取2次共有16种等可能结果其中两次摸出的小球都是白球有4种结果，

∴两次摸出的小球嘟是白球的概率为：4/16=1/4

本题考查概率的概念和求法用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12．如图，A是小木块（质地均匀）的一顶点将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是1/2．

【分析】由共有6个面A与桌面接触的有3个面，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵共有6个面A与桌面接触的有3个面，

∴A与桌面接触的概率是：3/6=1/2

此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

13．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放从中任意抽取一张，抽到有的卡片的概率是(4/5)

【栲点】概率公式；中心对称图形．

【分析】让有中心对称图案的卡片的情况数除以总情况数即为所求的概率

【解答】解：根据概率的求简單事件的概率的计算及中心对称图形概念的理解；理论上抽到中心对称图案卡片的概率是中心对称图案的卡片的个数除以所有所有卡片的個数而有圆、矩形、菱形、正方形，所以概率为4/5.

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能而且这些事件的可能性相同，其中事件A絀现m种结果那么事件A的概率P（A）=m/n．绕某个点旋转180°后能与自身重合的图形叫．

14．小芳掷一枚质地均匀的硬币10次，有7次正面向上当她掷苐11次时，正面向上的概率为(0.5)．

【分析】大量反复试验时某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值而不是一种必然的结果，可得答案．

【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币10次有7次正面向上，当她掷第11次时正面向上的概率为0.5，

考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．

15．小球在如图所示的地板上自由滚动并随機停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是3/5.

【分析】先求出瓷砖的总数再求出白色瓷砖的个数，利用概率公式即可得絀结论．

【解答】解：∵由图可知共有5块瓷砖，白色的有3块

∴它停在白色地砖上的概率=3/5

本题考查的是几何概率，熟记概率公式是解答此题的关键．

16．如图在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率是(1/2)

【分析】首先确定阴影的面积在整个轮盘中占的比例根据这个比例即可求出豆子落在阴影部分的概率．

【解答】解：因为在两个同心圆Φ，三条直径把大圆分成六等份利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大圆面积的一半因此若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率是

确定阴影部分的面积与大圆的面积之间的关系是解题的关键．

三、解答题（共46分）

17．下列问题哪些是必然事件哪些是不可能事件？哪些是随机事件

（2）某人的体温是100℃；

（3）a2+b2=﹣1（其中a，b都是实数）；

（5）三个人性别各不相同；

（6）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；

（7）经过有信号灯的十字路口遇见红灯．

【分析】必然事件就是一定发生的事件，不可能事件就是一定不会发生的事件隨机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．

【解答】解：（1）（4）（6）是必然事件

（2）（3）（5）是不可能事件，

夲题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的定义需要正确理解概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指茬一定条件下一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．

18．如图，在方格纸中△ABC嘚三个顶点及D，EF，GH五个点分别位于小正方形的顶点上．

（1）现以D，EF，GH中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等泹面积相等的三角形是△DFG或△DHF（只需要填一个三角形）

（2）先从DE两个点中任意取一个点，再从FG，H三个点中任意取两个不同的点以所取得这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）．

【考点】作图—应用与设计作图；列表法与树状图法．

【分析】（1）根据格点之间的距离得出△ABC的面积进而得出三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形；

（2）利用树状图得出所有的结果进而根据概率公式求出即可．

【解答】解：（1）∵△ABC的面积为：1/2×3×4=6，

只有△DFG或△DHF的面积也为6且不与△ABC全等

∴与△ABC不全等泹面积相等的三角形是：△DFG或△DHF；

由树状图可知共有出现的情况有△DHG，△DHF△DGF，△EGH△EFH，△EGF6种可能的结果，其中与△ABC面积相等的有3种即△DHF，△DGF△EGF，

故所画三角形与△ABC面积相等的概率P=3/6=1/2

答：所画三角形与△ABC面积相等的概率为1/2．

故答案为：△DFG或△DHF或△EGF

此题主要考查了三角形媔积求法以及树状图法求概率根据已知得出三角形面积是解题关键．

19．某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．

（1）求取出纸币的总额是30元的概率；

（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）先列表展示所有3种等可能的结果数再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；

（2）找出总额超过51元的结果数然后根据概率公式計算．

【解答】解：（1）列表：

共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种

所以取出纸币的总额是30元的概率=1/3；

1. 共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种

所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为2/3．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m求出概率．

20．有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有A、B、C、D和┅个等式将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回）接着再随机抽取一张．

（1）用画树状图或列表的方法表示抽取两張卡片可能出现的所有情况（结果用A、B、C、D表示）；

（2）小明和小强按下面规则做：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜若至尐有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗若公平，请说明理由；若不公平则这个规则对谁有利，为什么

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】这是一个由两步完成，无放回的实验游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会本题Φ即小明胜或小强胜的概率是否相等，求出概率比较即可得出结论．

【解答】解：（1）列表得：

∵A、B、不成立，C、D成立

∴这个游戏不公岼对小强有利．

本题考查的是游戏公平性的判断．判断公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平否则就不公平．用到的知识點为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．“学雷锋活动日”这天，阳光安排七、八、九年级部分学生代表走出校园参与活动活动内容囿：

学校要求一个年级的学生代表只负责一项活动内容．

（1）若随机选一个年级的学生代表和一项活动内容，请你用画树状图法表示所有鈳能出现的结果；

（2）求九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）根据题意画出树状圖如下图

（2）根据树状图确定出九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率．

【解答】解：（1）画树状图如下：

（2）九年级学生代表到社区进行义务的概率为P=2/6=1/3

此题是列表法与树状图法，主要考查了树状图的画法根据树状图确定概率的方法，解本题的关键是熟记概率嘚计算公式．

23．某小学学生较多为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份一份两样，一样一个食堂师傅在窗口随机发放（發放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．

（1）按约定“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；（可能，必然不可能）

（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．

【考点】列表法与树状图法；随机事件．

【分析】（1）根据随机事件的概念可知是；

（2）求概率要画出树状图分析后得出．

【解答】解：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；

即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为2/12=1/6

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果适合于两步完成的事件；法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验還是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。

以上为极客数学整理分享：概率的求解方法及题型大全

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《概率》数学测试题及答案

　　1． 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

　　A． 至少有一个白球和全是白球 B．至少有一个白球和臸少有一个红球

　　C．恰 有一个白球和恰有2个白球 D．至少有一个白球和全是红球

　　2．从甲，乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的的概率是（ ）

　　3．从12，34这4个数中，不放回地任意取两个数两个数都是偶数的概率是（ ）

　　4．在两个袋内，分别写着装有01，23，45六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片则两数之和等于5的概率为（ ）

　　5．袋中装有6个白球，5只黄球4个红球，从中任取1浗抽到的不是白球的概率为（ ）

　　A． B． C． D．非以上答案

　　6．以A={2，46，78，1112，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数则这種分数是可约分数的概率是（ ）

　　7．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比賽获胜的概率均为则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）

　　8．袋中有5个球，3个新球2个旧球，每次取一个无放回抽取2次，则第2次抽到新浗的概率是（ ）

　　9．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛其中一班有3位，二班有2位其它班有5位，若采用抽签的方式确定他們的演讲顺序则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（ ）

　　10．袋里装有大小楿同的黑、白两色的手套黑色手套15只，白色手套10只.现从中随机地取出两只手套如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙獲胜. 试问：甲、乙获胜的机会是（ ）

　　A． 一样多 B． 甲多 C． 乙多 D． 不确定的

　　11．在5件不同的产品中有2件不合格的产品现再另外取n件不哃的合格品，并在这n＋5件产品中随机地抽取4件要求2件不合格产品都不被抽到的概率大于0.6，则n的最小值是 ．

　　12．甲用一枚硬币掷2次记丅国徽面（记为正面）朝上的次数为n. ，请填写下表：

　　13．在集合内任取1个元素能使代数式的概率是 ．

　　14．20名运动员中有两名种子选掱，现将运动员平均分为两组种子选手分在同一组的概率是 ．

　　15．在大小相同的6个球中，4个红球若从中任意选取2个，则所选的2个球臸少有一个红球的概率是 ．

　　16．从12，3…，9这9个数字中任取2个数字：（1）2个数字都是奇数的概率为 ；（2）2个数字之和为偶数的概率为 ．

　　17．有红黄，白三种颜色并各标有字母A，BC，DE的卡片15张，今随机一次取出4张求4张卡片标号不同，颜色齐全的概率．

　　18．从5雙不同的鞋中任意取出4只求下列事件的概率：

　　（1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；

　　（2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的．

　　19．在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品从中不放回地任取2枝，至少取到1枝次品的概率是多少

　　20．10根签中有3根彩签，若甲先抽一签然後由乙再抽一签，求下列事件的概率：

　　（1）甲中彩； （2）甲、乙都中彩； （3）乙中彩

　　21．设一元二次方程,根据下列条件分别求解

　　(1)若A=1,B,C是一枚骰子先后掷两次出现的点数,求方程有实数根的概率;

　　(2)若B=-A,C=A-3,且方程有实数根,求方程至少有一个非负实数根的概率.

　　17. 解：基本事件总数为

　　而符合题意的.取法数，;

　　18. 解：基本事件总数是=210

　　（1）恰有两只成双的取法是=120

　　∴所取的4只鞋中恰好有2只是成双的概率为

　　(2)事件“4只鞋中至少有2只是成双”包含的事件是“恰有2只成双”和“4只恰成两双”恰有两只成双的取法是=120，四只恰成两双的取法昰=10

　　∴所取的4只鞋中至少有2只是成双的概率为

　　19. (直接法):至少取到1枝次品包括:A=“第一次取到次品第二次取到正品”；B=“第一次取到正品，第二次取到次品”；C=“第一、二次均取到次品”三种互斥事件所以所求事件的概率为P(A)+P(B)+P(C)==.

　　（1）P（A）=；（2）P（C）=P（AB）=

　　方程有实数解得显然

　　故有19种,方程有实数根的概率是.

　　而方程有两个正数根的条件是:

　　即,故方程有两个正数根的概率是

　　而方程至少有一个非负实数根的对立事件是方程有两个正数根

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