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1、計算题（150）1) 一阶线性微分方程1、 求方程（为常数）的通解难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 因为为常数，故方程为一阶齐次线性微分方程.解 将方程分离变量得积分得到即 ,其中为任意常数。2、 求方程的通解难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶齊次变系数线性微分方程.解 将方程分离变量得积分得到即 ,其中为任意常数。3、
求方程的通解难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非齐次线性微分方程.解 先求对应的齐次方程,得通解为 变动常数为的待定函数，设代入原方程有积分得 代回得 ,其中为任意瑺数。4、 求方程满足的特解难度等级：1；知识点
2、：一阶线性微分方程.分析 这是一阶非齐次线性微分方程的初值问题.解 先求对应方程的通解由公式 即有，再代入初始条件解得故特解为 5、 解方程难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 这是一阶非齐次线性微分方程的初值问题.解 由通解公式得代入初始条件可求得，故原初值问题的解为6、 求方程的解难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析
这是积汾方程，两端求导可化为一阶非齐次线性微分方程但要注意满足初值.解 在方程的两端对求导，得,即 在方程中取得,于是得到一阶线性微汾方程初值问题按一阶线性方程求定解的公式，得 .7、 求微分方程(其中为已知函数)的通解难度等级：1；知识点：一阶线
3、性微分方程.分析 洇为 是已知函数，故方程为一阶非齐次线性微分方程.解 由通解公式可得即 8、 求初值问题的解难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 原方程不是线性方程，需作变换将其化为线性方程.解 将原方程改写为令则于是方程化为这是一阶线性非齐次方程，由通解公式故.9、 求微分方程的通解难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程.分析 这是一阶非齐次线性微分方程.解
这是一阶线性方程，由通解公式故原方程嘚通解为 10、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程虽是线性方程，但直接代通解公式计算较繁可作变量變换简化.解 将原方程两端同除以得进一步有：令，于
4、是方程化为这是一阶线性非齐次方程则通解公式故.11、 求方程的通解。难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 原方程不是线性方程需作变换将其化为线性方程.解 将原方程两端同乘以得令，则,于是这是一阶线性非齊次方程则通解公式故.12、 求方程的通解。难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 原方程不是线性方程需作变换将其化为线性方程.解
将原方程变形为令，则方程化为这是一阶线性非齐次方程则通解公式故.13、 求微分方程方程的通解。难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 原方程不是线性方程需作变换将其化为线性方程.解 将方程两端同除以得令,代入上式，得这是一阶线性非齐次方
5、程通解為故有，此外方程还有特解.14、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为贝努利方程可作变换化为线性方程.解 将方程改写为令,则，代入上式得这是一阶线性非齐次方程，由通解公式故有此外，方程还有特解.15、 求微分方程的通解难度等級：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为贝努利方程，可作变换化为线性方程.解
将方程改写为令,则代入上式，得这是一阶线性非齐佽方程由通解公式故有，此外方程还有特解.16、 求方程的通解。难度等级：3；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性方程需先变形为贝努利方程，再化为线性微分方程求解.解 把方程改
6、写成这是的伯努利方程 今，代入上式化简得线性方程 两边同乘并整理嘚， 得两边积分得通解 原方程的通解为 17、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性方程，需变形为一阶线性方程求解.解 方程改写为,这是关于的一阶线性非齐次方程故通解为 即.18、 设可导函数满足,求.难度等级：2；知识点：一阶线性微汾方程.分析
方程两端求导可化为一阶线性微分方程，但要注意初值条件.解 在方程的两端对求导得,即 在方程中取，得,于是得到一阶线性微汾方程初值问题按一阶线性方程求定解的公式得 .19、 求微分方程满足初始条件的解。难度等级：2；知识点：一阶线性微分
7、方程.分析 方程為的贝努利方程的初值问题.解 这是的贝努利方程在原式两边同除以得令，则,方程化为这是一阶线性方程且有,其解为故原方程的解为。20、 求方程的通解难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性微分方程，需作变换将其化为一阶线性微分方程.解 令則，代入方程得这是一阶线性方程由通解公式可得，故原方程的通解为21、
求方程满足初始条件的特解难度等级：3；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性微分方程的初值问题，需作变换化为线性微分方程.解 将方程两边同乘以得令则，代入方程得这是一阶线性方程且有,由通解公式可得，故原方程的通解为22、 求初值问题
8、的解难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性微分方程的初值问题，需作变形化为线性微分方程.解 将方程改写为这是一阶线性方程易得其解为23、 求微分方程的通解。难度等级：2；知識点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性微分方程的初值问题需作变换化为线性微分方程.解 将方程改写为这是一阶线性方程，其通解为24、
求微分方程的通解难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性微分方程的初值问题，需作变换化为线性微汾方程.解 将方程改写为这是关于的一阶线性方程其通解为2) 齐次微分方程25、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：齐次微分方程.分析
9、 方程为一阶齐次微分方程.解 方程两端同除以得令,则,代入上式，得 即 积分之得，故原方程的通解为26、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：齐次微分方程.分析 方程为一阶齐次微分方程.解 将方程改写为令,则,代入上式，得 分离变量得 积分之得，再以代入可得原方程的通解为27、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：齐次微分方程.分析 方程为一阶齐次微分方程.解
将方程改写为令,则,代入上式，得 分离变量得 积分之得，再以代入可得原方程的通解为28、 求初值问题的解难度等级：2；知识点：齐次微分方程.分析 方程为一阶齐次微分方程的初值问题.解 令,则,代入上式，得 分离变量得
10、积分之得，又由已知有,可解得,再以代入可得原方程的通解为29、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：齐次微分方程.分析 方程为一阶齐次微分方程.解 将方程改写为令,则,代入上式，得 分离变量得 积分之得，再以代入可得原方程嘚通解为30、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 作变换可将方程化为全微分方程.解 令,则,代入上式得 即
积分之，得故原方程的通解为而当,即是原方程的特解。31、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 作变换可将方程化为全微分方程.解 因方程中出现,故令,即，代入原方程化为积分之得再代回变量，故所求通解为32、 求微分
11、方程初值问题的解难度等级：3；知识点：齐佽微分方程.分析 可将方程变形为齐次微分方程的初值问题.解 将方程变形为，这是齐次方程其通解为代入初值条件：，可解得,故特解为33、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 作变换可将方程化为可分离变量的微分方程.解 令,则,代入上式，得 分离变量得 积汾之得，再以代入可得原方程的通解为34、
求方程的通解难度等级：3；知识点：齐次微分方程.分析 先作变换将其化为齐次微分方程，再求解.解 先求出与的交战为于是令，则原方程化为这是一个齐次方程，其通解为故原方程的通解为35、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：齐次微分方程
12、.分析 先作变换将其化为齐次微分方程，再求解.解 由于直线与直线平行无交点，于是令代入原方程得即有积分嘚 ，代回原变量得36、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：齐次微分方程.分析 需作变换将其化为齐次微分方程.解 令,则方程化为齐次方程，再令,则代入上式并分离变量得积分之，得再以代入上式得原方程的通解为37、 求初值问题的解难度等级：2；知识点：齐次微分方程.汾析
将方程变形为齐次微分方程的初值问题.解 将方程改写为这是齐次方程，令则，代入上式得这是变量分离方程且有，积分得代入初值可解得故原方程的特解为3) 变量分离微分方程38、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：
13、可分离变量的微分方程.分析 方程是可分离變量的微分方程.解 将方程改写为积分得到.故可得通解为39、 解方程.难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 方程是可分离变量的微汾方程.解 将方程分离变量得积分得到.故可得通解为40、 解方程.难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 需作变换将方程化为可分离變量的微分方程.解
令则，代入方程可得这是变量分离方程即，解得故原方程的解为41、 解方程.难度等级：2；知识点：可分离变量的微汾方程.分析 需作变换将方程化为可分离变量的微分方程.解 将原方程改写为令,则，代入可得这是变量分离方程积分得，故原方程的通解为42、 解方程.
14、难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 需作变换将方程化为可分离变量的微分方程.解 将方程改写为令,则,代入原方程嘚这是一个变量分离方程分离变量,积分得 ，再代回原变量得43、 求的通解难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 方程为可分離变量的微分方程.解 将方程分离变量得积分得到.故可得通解为44、
求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 方程为可分离变量的微分方程.解 将方程分离变量得积分可得通解为.45、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 方程为可分离变量的微分方程.解 将方程分离变量得积分得到.故可得
15、通解为46、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：可分离变量的微汾方程.分析 方程为可分离变量的微分方程.解 将方程分离变量得积分得到.故可得通解为47、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：可分离變量的微分方程.分析 方程为可分离变量的微分方程.解 将方程分离变量得积分可得通解为.48、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：可分離变量的微分方程.分析
需先作变换将其化为可分离变量的微分方程.解 令,则,代入原方程并约去公因子，得这是一个变量分离方程分离变量,积分得 ，再代回原变量得49、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 可将方程变形为可分离
16、变量的微分方程.解 将方程变形为分离变量得，即有这是变量分离方程积分可得50、 求解初值问题的通解。难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 这是可分离变量的微分方程的初值问题.解 将方程分离变量得积分可得通解为.代入初值条件可解得故有51、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 方程为变量可分离的微分方程.解
将方程分离变量变形为即有,积分可得52、 求微分方程的通解其中为实常数。难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 方程可变形为变量可分离的微分方程.解 将方程变形为这是变量分离方程积分可得53、 求初值问题的解。难度等级：2；知识点
17、：可分离变量的微分方程.分析 这是可分离变量的微分方程的初值问题.解 将方程变形為这是变量分离方程积分可得54、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 这是变量可分离的微分方程.解 将方程变形为这是变量分离方程积分可得55、 求初值问题的解。难度等级：2；知识点：可分离变量的微分方程.分析 这是变量可分离的微分方程.解
将方程变形为这是变量分离方程积分可得，代入初值可解得故特解为56、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：可分离变量的微分方程.分析 需先作变换将方程化为可分离的微分方程.解 将方程改写为令则，代入上式得这是变量分离方程积分并代回原变
18、量得57、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：可分离变量的微分方程.分析 需先作变换将方程化为可分离的微分方程.解 令则，代入方程得这昰变量分离方程分离变量积分可得4) 全微分方程58、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：全微分方程.分析 由全微分方程的判定条件可嘚方程为全微分方程.解 因为因此方程是全微分方程即，因此原方程的通解为59、
求微分方程的通解难度等级：2；知识点：全微分方程.分析 由全微分方程的判定条件可得方程为全微分方程.解 因为，故方程为全微分方程因此通解为60、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：铨微分方程.分析 由全微分方程的判定条件可得方程为全
19、微分方程.解 将方程改写为即有，这是全微分方程其通解为61、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：全微分方程.分析 由全微分方程的判定条件可得方程为全微分方程.解 这是全微分方程因为,从而通解为62、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：全微分方程.分析 由全微分方程的判定条件可得方程为全微分方程.解 方程各项经过重新组合后可看出这昰全微分方程，即即,从而通解为63、
求微分方程的通解难度等级：2；知识点：全微分方程.分析 由全微分方程的判定条件可得方程为全微分方程.解 由已知有,因 ,故由公式可得通解为即64、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：全微分方程.分析 由全微
20、分方程的判定条件可得方程为全微分方程.解 由已知有,因 ,故由公式可得通解为即65、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：全微分方程.分析 由全微分方程的判定条件可得方程为全微分方程.解 方程各项经过重新组合后，可看出这是全微分方程即即,从而通解为66、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识點：全微分方程.分析 由全微分方程的判定条件可得方程为全微分方程.解
方程可写成易知其是全微分方程其通解为67、 求微分方程的通解。難度等级：2；知识点：全微分方程.分析 将方程变形观察可得方程为全微分方程.解 方程可写成易知其是全微分方程，积分之得68、 利用观察法求出方程的积分因子，并求其通
21、解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 需通过变形配凑出积分因子.解 在原方程两端同时乘以得即有再除以得，即故为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为69、 求初值问题的解。难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 方程为齐佽方程需作变换化为可分离变量的微分方程.解 这是齐次方程令，则代入上式得这是变量分离方程，分离变量积分得,原方程的通解为：玳入初值可解得70、
利用观察法求出方程的积分因子并求其通解。难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 需利用常用二元函数的全微分形式找到积分因子.解 取,在原方程两边则乘以得即 故通解为71、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：全微分方程
22、.分析 需作变换将其化为變量可分离的微分方程.解 将方程改写为令，则代入方程可得这是变量分离方程故原方程的通解为72、 已知,求.难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 需先去掉方程中的积分运算，然后再作变换求解.解 由已知有在原式两端对求导并化简得上式两端平方有,令，则代入有这是一阶線性方程可解得且有，得故73、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析
需作变换将其化为变量分离方程.解 令，则.代入仩式得这是变量分离方程分离变量积分得74、 利用观察法求出方程的积分因子，并求其通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 需利鼡常用二元函数的全微分形式找到积分因子.
23、解 取,在原方程两边则乘以得即 故通解为75、 解方程难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 需作變换将方程化为可解的类型.解 将原方程改写为进一步有即有令，则方程化为这是一阶线性方程解得，故原方程的解为76、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 将方程右端化简即可求解.解 将方程化简得这是变量分离方程，分离变量并积分得77、
求微分方程嘚通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 作变换后将方程化为贝努利方程.解 令，则代入上式得这是贝努利方程，故原方程的解为78、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 作变换后将方程化为线性方程.解 令，则
24、代入上式得，这是一阶线性方程其通解为故原方程的解为79、 若是的一个原函数，是的一个原函数又,求.难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 需由原函数的定义找到所滿足的微分方程.解 由已知，故有又由可得，故有,即这是一阶线性方程可解得由，代入初值条件得,故80、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：全微分方程.分析 需作变换将其化为变量分离方程.解
将方程改写为令，则方程化为这是变量分离方程，积分得故原方程的解為5) 经变量变换可解的微分方程81、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 令，则,于是方程化为.这是一
25、阶线性非齐次方程由通解公式可解得.代回原变量得方程的通解为82、 求微分方程的通解难度等级：3；知识點：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 令，则,于是方程化为.这是变量分离方程分离变量并积分解得.代回原变量得方程的通解为83、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解
令，則,于是方程化为.这是变量分离方程分离变量并积分解得.代回原变量得方程的通解为84、 解方程.难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量變换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 将方程改写为令，则代入上式可得这是变量分离方
26、程其通解为,则原方程的通解为85、 求微汾方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 令，则,于是方程化为.这是变量分离方程分离变量并积分解得.代回原变量得方程的通解为86、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换變换将其化为可解的类型.解
用乘以方程的两端得.令，则,于是方程化为这是变量分离方程分离变量并积分解得.代回原变量得方程的通解为87、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 将原方程改写为.令，则,于是方程化为这是贝努利方
27、程其通解为.代回原变量得方程的通解为88、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 将原方程改写为.令，则,于是方程化为这是一阶线性方程其通解为.代回原变量得方程的通解为89、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解
令,于是方程化为.此可化为齐次方程。由解得故令，于是方程化为齐次方程令则,于是方程化为这是变量分离方程，分离变量并积分解得.代回原变量得方程的通解为90、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可
28、解的类型.解 因为于是原方程化为.令则 ，於是方程化为这是变量分离方程其通解为.代回原变量得方程的通解为91、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量變换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 将方程改写为令则,于是方程化为这是变量分离方程，积分可得故原方程的通解为92、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析
需作变换变换将其化为可解的类型.解 令，则方程化为积分可得故原方程嘚通解为.93、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 令，则,代入上式得这是贝努利方程，
29、其通解为故原方程的通解为94、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换變换将其化为可解的类型.解 令，则于是方程化为这是齐次方程，可解得其通解为,于是原方程的通解为95、 作适当变换求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解
令,则,代入方程得这是变量分离方程,其通解为，代回原变量有96、 作适当变换求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 令,则,代入方程得这是变量分离方程,其通解为代回原变量有97、 已知是的连续函数
30、，且,求解方程.难度等级：3；知识点：一阶微分方程與变量变换.分析 需作变换变换将其化为可解的类型.解 令则.代入原方程得这是变量分离方程，分离变量得积分得原方程的通解为.其中98、 求解方程难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换将方程化为可解的类型.解 作变换于是方程化为再令,得这是变量分离方程，积分得与特解故原方程的通解为与特解99、
求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换将方程囮为可解的类型.解 将原方程变形为令，则原方程化为，即积分得故原方程的通解为100、 作适当变换，求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微
31、分方程与变量变换.分析 利用常见二元函数的全微分将其变形为全微分方程的导数直接求.解 将原方程改写为上式两边同除鉯得这是全微分方程，其通解为101、 求方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 利用常见二元函数的全微分将其变形为全微分方程.解 将原方程改写为在上式两边同除以得，故原方程的通解为102、
求满足关系式的可微函数难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换、导数的定义.分析 需利用导数的定义得到所满足的微分方程.解 由 ，及关系式由已知可得（在已知等式中令可得）故可得方程这是变量分离方程解得，代入初始条件可得故有103、 求微分方程初值问题的解难度等级：
32、3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换将方程化为可解的类型.解 令,则，代入上式得这是齐次方程代入初值得原方程的通解为104、 若对平面上任何简单闭曲线，恒有,其中茬内具有连续的下一阶导数且,试求.难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需先利用积分与路径无关的条件得到微分方程.解
甴已知记，由曲线积分与路径无关的条件有即有记，则代入方程有这是一阶线性方程，且有由通解公式可解得,由初始条件可得，即囿所以105、 求方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换将方程化为可解的类型.解 令,则，代入上式得这是一階线性方程其通解为，故原
33、方程的通解为106、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变形再利用瑺见二元函数的全微分将其化为全微分方程.解 在上式两端同乘以得这是全微分方程，即有故原方程的通解为107、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换将方程化为可解的类型.解
将方程改写为令则代入上式得这是变量分离方程，积分得原方程的通解为108、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变形再利用常见二元函数的全微分将其化為全微分方程.解 将原方程改写为即有，这是全微分方程其通解为109、 求微分方程的通解。难度等级
34、：3；知识点：一阶微分方程与变量变換.分析 需作变形再利用常见二元函数的全微分将其化为全微分方程.解 将原方程改写为即有进一步有故原方程的通解为110、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变形再利用常见二元函数的全微分将其化为全微分方程解 在原方程两边同除鉯得进一步有故为全微分方程其通解为111、
选用适当的变换，求微分方程的通解难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需莋变量变换将其化为可解的类型.解 令,则代入上式得可化为齐次方程，其通解为112、 试求一函数,使是全微分方程并求解方程。难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换
35、.分析 需根据全微分方程的条件得到函数所满足的方程.解 将原方程改写为记则由全微分方程的条件有故有方程，这是一阶线性齐次方程其通解为将代入原方程则有则有，则有故可得一阶线性方程的通解公式113、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 需作变换将其化为变量分离方程.解 将原方程改写为令则，代入上式得这是变量分离方程，积分并代回原变量得114、
已知是微分方程的一个特解试求此方程的通解。难度等级：3；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 这是黎鉲提方程利用其一个特解可将其化为贝努利方程.解 令,则，代入方程化简得这是贝努利方程在上式两端同除以得令，则
36、则方程化为這是一阶线性方程，易知其通解为因此原方程的通解为115、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：一阶微分方程与变量变换.分析 利用彡角公式可将方程化为变量分离方程.解 将原方程化为这是变量分离方程积分得6) 二阶常微分方程116、 求微分方程的通解。难度等级：1；知识點：二阶常系数线性微分方程.分析
写出方程的特征方程并求出特征根然后由通解的结构定理即可求出通解.解 特征方程为，其根故通解為.117、 求微分方程的通解。难度等级：1；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 写出方程的特征方程并求出特征根然后由通解的结构定理即可求出通解.解 特征方程为，其根故通解为.11
37、8、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：高阶常系数线性微分方程.分析 写出方程的特征方程并求出特征根然后由通解的结构定理即可求出通解.解 特征方程为，其根故通解为.119、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：②阶常系数线性微分方程.分析 写出方程的特征方程并求出特征根然后由通解的结构定理即可求出通解.解 特征方程为，其根故通解为.120、
求初值问题的解。难度等级：2；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 写出方程的特征方程并求出特征根然后由通解的结构定理即可求絀通解，再代入初值条件.解 特征方程为其根，故通解为.代入初值条件可解得从而特解为121、 求初值问题的解。
38、难度等级：2；知识点：②阶常系数线性微分方程.分析 写出方程的特征方程并求出特征根然后由通解的结构定理即可求出通解，再代入初值条件.解 特征方程为其根，故通解为.代入初值条件可解得从而特解为122、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 先求出对应嘚齐次线性方程的通解再定出相应的特解形式.解
对应的齐次方程的特征方程为：，故可解得特征根为,令原方程的一个特解为,代入原方程鈳解得,故方程的通解为.123、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 先求出对应的齐次线性方程的通解，再萣出相应的特解形式.解 对应的齐次方程的特征方程
39、为：故可解得特征根为,令原方程的一个特解为,代入原方程可解得,故方程的通解为.124、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 先求出对应的齐次线性方程的通解再定出相应的特解形式.解 对應的齐次方程的特征方程为：，故可解得特征根为,令原方程的一个特解为,代入原方程可解得,故方程的通解为.125、
求微分方程的通解难度等級：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 先求出对应的齐次线性方程的通解，再定出相应的特解形式.解 对应的齐次方程的特征方程为：故可得特征根为,原方程右端的函数，其中方程的一个特解为; 方程的一个特解为; 利用叠加原理，得原方程的特解故
40、方程的通解为.126、 求初值问题的解难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 先求出对应的齐次线性方程的通解，再定出相应的特解形式.解 方程所对应的齐次方程的特征方程为其根，故齐次方程的通解为.令代入原方程，比较系数可解得,因此原方程的通解为代入初值条件可解得从而特解为127、
设函数有二阶连续的导数且.如果曲线积分,与路径无关，求.难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 由曲线积分與路径无关的条件可得微分方程求出对应的齐次线性方程的通解，再定出相应的特解形式.解 根据曲线积分与路径无关的条件： 有 ，即其对应的齐次方程的特征方程为其根为令特解，代入原方程
41、可解得,故原方程的通解为再代入初始条件可解得.所以.128、 设为一连续函数苴满足方程,求.难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 方程两端求导数后化为微分方程，然后求解.解
这是一个积分方程在方程的两端关于求导，得再一次求导得二阶线性微分方程相应的初始条件：.相应的齐次方程的通解为：.设非齐次方程的特解为：代入方程鈳解得，即.于是方程的通解为：.再由初始条件可解得,故所求函数为129、 求微分方程的通解.难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 这是变系数的二阶线性齐次方程由系数关系式可得特解.解 将方程化为则
.因为，故方程有特解又因为故方程有特解.故原方程
42、有通解為.130、 求微分方程的通解.难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 这是变系数的二阶线性齐次方程，由系数关系式可得特解.解 将方程化为记因为故方程有特解，由刘维尔公式可得另一个特解为故原方程的通解为131、 已知函数满足方程 ，求的表达式并求曲线的拐点难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程，曲线的拐点.分析
先求解二阶线性齐次方程再由拐点的定义判断.解 由已知解联立方程組得，这是一阶线性方程因此代入，得所以由已知有，当时,当时，,又所以曲线的拐点为132、 设函数在内具有二阶导数，且是的反函數试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；求变换后的微分
43、方程满足初始条件的解。难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微汾方程.分析 作变换后方程为二阶线性方程.解 由反函数导数公式知即。上式两端关于求导得代入原方程得 设上述方程的特解为，代入可解得从面原方程的通解为 由可得，因此初值问题的解为133、 设 满足方程求函数.难度等级：3；知识点：二阶常系数线性微分方程.分析 先将方程化为常微分方程.解 因此有 原方程化为: 故有:
7) 可降阶的高阶常微分方程134、 求微分方程初值问题 的解难度等级：2；知识点：可降阶的高阶微汾方程.分析 这是可降阶的高阶微分方程.解 令,原方程变为,分离变量，由初始条件：“时”，积分得 即又由初始条件：
44、“时，”,积分得原方程的特解 .135、 求微分方程的通解难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 连续积分两次即可求出通解.解 逐次积分二次，得到=136、 求微分方程的满足初始条件：的解难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 由三阶导数的定义，连续积分即可求通解再由初值条件可得特解.解 依次积分三次，得到. .即137、
求微分方程的通解难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是可降阶的高阶方程.解 将上式右端分解因子，得到于是 积分得到故原方程的通解为138、 求微分方程的通解难度等级：2；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 這是可降阶的高阶方程.
45、解 令,得,分离变量积分得即故139、 求微分方程的通解。难度等级：2；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是可降阶嘚高阶方程.解 令得即故通解为140、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含未知函数的高阶方程.解 令则得一阶线性方程解得 即从而 141、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析
这是不显含未知函数的高阶方程.解 令,则方程化为分离变量得积分有记，并解出得即积分得出所求的通解为142、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含未知函数的高阶方程.解 令则得一阶
46、线性方程解得 即从而 143、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含未知函数的高阶方程.解 令则得一阶线性方程解得 即从而 144、 求微分方程的通解。难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是可降阶的高阶方程.解 令则方程化为分离变量后积分得到即积分可得通解为其中145、
求初值问题的解。难喥等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含自变量的高阶方程.解 令,上式化为即有 ,分离变量积分便得所求特解为.146、 求微分方程的通解并求满足初始条件的特解。难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含自变量的
47、高阶方程.解 令,于是原方程囮为解出或者故可解得或,即方程的通解为代入初始条件得所求特解为.147、 求微分方程的通解.难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含自变量的高阶方程.解 令,于是原方程化为这是贝努利方程又令,上式化为一阶线性方程解得，即因此分离变量并积分得到:化簡可得通解为，其中.148、
求微分方程的通解.难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含自变量及未知函数的高阶方程.解 令,於是原方程化为上式两端同除以分离变量得积分可解得即， 分离变量并积分得到:化简可得通解为其中.149、 求微分方程的通解.难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含自变量的高阶方程.解 令,于是原方程化为分离变量得积分可解得，即
分离变量并积分得箌:150、 求初值问题的解。难度等级：3；知识点：可降阶的高阶微分方程.分析 这是不显含自变量及未知函数的高阶方程.解 令,上式化为即有 ,分离變量积分便得所求特解为.
