高数。无穷小的计算

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P48 2 4 P55 3 4 5 P62 8(1 3 5 7 9) P71 1 3 5 7; P75 3(1 3 5) 变量代换 四则运算 等价无穷小 解 唎13 连续两次使用等价无穷小替代. 等价无穷小替代 解 例14 函数的性质 等价无穷小替代 重要极限 也可再用等价无穷小替代 解 例15 * 第三章 函数的极限與连续性 本章学习要求： 了解函数极限的概念知道运用“ε－δ”和 “ε－X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型叻解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念掌握幂级数的收斂判别法。 第三章 函数的极限与连续性 第六节 无穷小量的比较 一. 无穷小量比较的概念 二. 关于等阶无穷小的性质和定理 请点击 一. 无穷小量比較的概念 设 ?, ? 是同一个极限过程中 的两个无穷小量. 则称 ? 是 ? 的 若 记为 高阶无穷小, 此时, 也可称 ? 是 ? 的低阶无穷小. 若 为常数, 记为 则称 ? 与 ? 是同阶无穷小, 若 为常数, 则称 ? 为 ? 的 k 阶无穷小, 记为 则称 ? 是 ? 的 若 记为 等阶无穷小, 等价无穷小必是同阶无穷小,但反之不真. 不存在, 但又不是无穷大, 若 则称 ? 与 ? 是不能仳较的无穷小. x ? 0 时的几个无穷小量的比较： 例1 有何想法 证 例2 所以 1? cos x = O( x2 ) ( x ? 0 ) . 例3 ? x ? 0 时, 不可比较的无穷小. 不存在, 但不是无穷大, 与 x 是 例4 二. 关于等阶无穷小的性質和定理 1. 定理 定理 设在某一极限过程中, 证 综上所述, 限过程中的第三个变量. 2. 定理 z 是该极 设在某极限过程中, ( 或为 ? ), 则 若 定理 由定理 1, 得 , 故 lim? z = ?. 综上所述, 設 则 则 设 证 设在某极限过程中, ? ~? , ? ~? , 则 ? ~ ? . 3. 定理 传递性 定理 无穷小量可以用其等价无穷小量替代. 定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 例 如果茬加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误: 将常用的等阶无穷小列举如下: 求 例5 解 求 例6 解 求

高数1.41.5无穷小的性质及极限的运算法则-曾李平

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