初中数学题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-04 02:00 标签： 初中数学免费题库

说题稿 龙湖中学 数学科 张芳钿 题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F。 （1）求证AE=EF。 （2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程，若不成立请你说明理由． 一，说题目 这道题原题来自《新人教版-八年数学下册》第十八章复习题18 第14题，也出现在2012年青海的中考题中。 特殊的平行四边形，全等三角形在中考中是热门考点，选择题，填空题，解答题中都会出现它的踪影，侧重考查学生对几何概念的理解，对几何图形特殊性质的判断与运用，考查学生的演绎推理能力与逻辑论证能力，常与直角三角形，等腰三角形，相似三角形，圆等知识点结合命题。 从考查内容上看，本题涉及面广，主要以正方形为背景知识，考查全等三角形的性质与判定定理，以及等腰三角形，直角三角形等基础知识。 从考查解题方法上看，本题主要考查全等三角形的应用，通过角与线段的迁移，寻找“桥梁”，链接已有条件与目标线段，从而解决问题。 从考查思想方法上看，本题主要考查几何中的类比思想，转化思想。 二，说思维和思路 这道题的目的是证明线段相等，要证明线段相等从途径上有直接证明即“a=b”，以及间接证明“a=c,c=b→a=b”。以初中阶段的知识点来看，证明线段相等的思路常见的有：长度数量相等；全等三角形的对应边相等；等腰三角形的等角对等腰；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离；平行四边形的对边相等及其它。下面我们来看这道题的证法： 解法一：利用全等三角形直接证明 第一小题是特殊情形，事实上，绝大多数同学的心理倾向——直觉上来说，过点F做FM⊥CM是顺理成章的事情，作出后就会立刻发现，虽然题中保证了△ABE和△EMF中的两对对应角相等，但要证明一边相等却是很难的事，轻松心态消散全无，虽然可以利用相似三角形的知识深入研究，但难免会浪费大量时间，最后不得不放弃，另寻蹊径。 第（1）题正确解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF。 G第（2）（3）小题：题目从特殊定点发展为BC及BC延长线上的点，题目变得具有“一般”性，仿照第（1）题做法作辅佐线，如图在BA上取点BM=BE，连接ME，易得AM=EC， ∠AME=∠ECF=135°，再者，∠MAE=∠FEG这个条件无论E点在BC及其延长线CG上怎么运动都会成立，所以易得三角形全等，问题解决。 G 解法二：利用轴对称，等腰三角形求解 要证明AE=EF，我们可以构造线段a，使其成为连接的“桥梁”即AM=a=EF。轴对称就是其中一种方法。如图，连接AC，并延长AC到M，使CM=CF，连接EM。 易证△ECF≌△ECM (SAS)，可得∠F=∠M。 由∠AEF=90°，易得∠ACF=90°，可得∠EAM=∠F 即∠M=∠EAM。故AE=EM=EF。 这种解法巧妙的利用了轴对称构造全等三角形和等腰三角形，对图形与变换的理解是支撑此解法产生的根源。 方法是可以迁移的，于是学生也可以换个方向寻找，如图所示：可延长AB、FC并交于点M，连接EM。 易证△ABE≌△MBE (SAS)，得AE=ME 结合图形的旋转的特性，以点E为旋转中心，若AE=EF，那么利用△FEC逆时针选转90°来构造全等三角形无疑是简捷而明快的方法，这种方法原于对图形之间关系的深刻领悟，需要学生具有深刻的观察能力，几何直觉能力和丰富的解题经验。 如图，连接AC，过点E作ME⊥BC于点E，并交AC于点M。 易得EM=EC，∠AME=∠FCE=135°， 由∠AEF=∠MEC= 90°，可得∠AEM=∠FEC 所以四边形EMCF是平行四边形，即得FE=MC。 命题得证。 在“地位平等”的线段EF和AE所在的三角形中，既然可以选择旋转△FEC，那当然可以旋

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