帮忙看一下这个数学题为什么恒成立？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-24 10:29 标签： 小学一年级数学智力题

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恒成立问题数形结合法一、基础知识：1、函数的不等关系与图像特征：（1）若，均有的图像始终在的下方（2）若，均有的图像始终在的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是

2、利用图像变换作图（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征二、典型例题：例1：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则的图像应在的上方，所以应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图像可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入可得：，综上可得：答案：小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的）（3）处理好边界值是否

3、能够取到的问题例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是_思路：本题选择数形结合，可先作出在的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需时，即，所以答案：例3：若不等式对任意恒成立，求的取值范围思路：恒成立不等式变形为，即的图像在图像的上方即可，先作出的图像，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关。通过观察图像，可得只需，解得：答案： 小炼有话说：在本题中参数的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求例4：若,不等式恒成立,则的取值范围是_思路：本题中已知的范围求的范围，故构造

4、函数时可看作关于的函数，恒成立不等式变形为 ,设,即关于的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要，只需在端点处函数值均大于0即可，即,解得：或答案：或小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧例5：已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_m+1m思路：恒成立的不等式为，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为所在区间含参，的取值将决定

5、分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到是开口向上的抛物线，若要，只需端点处函数值小于零即可（无论对称轴是否在区间内），所以只需 ，解得 答案： 小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若，则，而是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以，再解出的范围即可例6：已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_思路：首先理解条件，即时，不等式恒成立，可判断出函数为奇函数，故先作出的图像，即，参数的符号决定开口方向与对称轴。故分类讨论：当时，单调递增，且为向左平移个单位，观察图像可得不存在满足条件的，当时，开口向下，且为向右平移个单位，观察可得只需，即可保

6、证，的图像始终在的下方。解得：；当时，代入验证不符题意。答案： 小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系（2）注意函数奇偶性对作图的影响（3）本题中参数扮演两个角色： 二次项系数决定抛物线开口， 决定二次函数对称轴的位置； 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。例7：已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_思路：所证不等式可转化为，作出的图像，当时的取值决定的开口，观察可得，且时，即可，当时，不等式为，可证明其成立答案：小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均可进行作图。例8：设，若时均有，则_思路：本

7、题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解的值（或范围），则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像辅助解决。将两个因式设为函数：，则在图像上要求这两个函数同时在轴的上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点，且为开口向上的抛物线。所以的斜率必大于0，即，通过观察图像可得：与与轴的交点必须重合。，所以，解得：（舍）或答案：小炼有话说：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的特点。（2）本题中隐藏的公共定点是

8、本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直线），要看是否具备过定点的特征。例9：(2015山东烟台高三一模）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是与很难确定其范围，从而与无法化成解析式。但由于所给不等式可视为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出，所以考虑作出图像，看是否存在解题的突破口。通过图像可以看出虽然是分段函数，但是图像连续且单调递减。所以是上的减函数。那么无论与位于哪个区间，由及单调性均可得到：只需，所以，解得 答案：A例10：已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若，则实数的取值范围是_思路：是奇函数且在时是分段函数（以为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看，一方面的图像比较容易作出，另一方面可看作是的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找满足的条件。先将写为分段函数形式：，作出正半轴图像后再根据奇函数特点，关于原点对称作出负半轴图像。恒成立，意味着的图像向右平移一个单位后，其图像恒在的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度，所以可得：

高考数学精品复习资料 2019.5第18练存在与恒成立问题内容精要“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目问法中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决题型一不等式的恒成立问题例1已知函数f(x)ax1ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，对x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围破题切入点有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法解(1)在区间(0，)上，f(x)a，当a0时，f(x)<0恒成立，f(x)在区间(0，)上单调递减；当a>0时，令f(x)0得x，在区间(0，)上，f(x)<0，函数f(x)单调递减，在区间(，)上，f(x)>0，函数f(x)单调递增综上所述：当a0时，f(x)的单调递减区间是(0，)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)(2)因为函数f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，解得a1，经检验可知满足题意由已知f(x)bx2，即x1ln xax2，x>0.(f(x)的图象连续不断)(1)求f(x)的单调区间；(2)当a时，证明：存在x0(2，)，使f(x0)f；(3)若存在均属于区间1,3的，且1，使f()f()，证明：.破题切入点考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解不等式函数的零点等基础知识，既有存在，又有恒成立问题(1)解f(x)2ax，x(0，)，令f(x)0，解得x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)?极大值?所以f(x)的单调递增区间是，f(x)的单调递减区间是.(2)证明当a时，f(x)ln xx2.由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，)内单调递减令g(x)f(x)f，由于f(x)在(0,2)内单调递增，故f(2)>f，即g(2)>0.取xe>2，则g(x)<0.所以存在x0(2，x)，使g(x0)0，即存在x0(2，)，使f(x0)f.(说明：x的取法不唯一，只要满足x>2，且g(x)<0即可)(3)证明由f()f()及(1)的结论知<<，从而f(x)在，上的最小值为f()又由1，1,3，知123.故即从而a.总结提高(1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，“有的”意思；恒成立即全称量词，“任意的”意思(2)解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函数的最大值与最小值问题(3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题1(20xx·课标全国)若存在正数x使2x(xa)<1成立，则a的取值范围是()A(，) 的极值点即为函数图象中的最高点或最低点的横坐标，由三角函数的性质可知T2m，x0km(kZ)假设不存在这样的x0，即对任意的x0都有xf(x0)2m2，则(km)23m2，整理得m2(k2k)30，即k2k恒成立，因为yk2k的最小值为(当k1或0时取得)，故2m2，因此原特称命题成立的条件是m>2或m<2.4(20xx·山东)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A.>

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