必须是万恶之源的动态规划啊!
每次刷到DP题,感觉上应该是要用动态规划解法,但总是没有思路,然后暴力解之。AC之后一看答案,原来是这样,我怎么就没想到……给人的感觉就是看完答案我都懂,下次遇到还是不会。
更难的是动态规划类型太多了,什么坐标型、序列型、划分型、背包型……甚至一道题可以用多种类型的DP解法。想要熟练掌握,刷题量就远比其他算法要多。
最让人头秃的是有时候看到一道题,压根就不知道可以用DP来做,这就很难受了。
后来一位清华学霸教了我一套,从此打开了新世界的大门。
3.初始条件和边界情况
我用一道经典题来说明下什么是4步解题法。
你有三种硬币,分别面值2元,5元和7元,每种硬币都有足够多。买一本书需要27元。如何用最少的硬币组合正好付清,不需要对方找钱?
关键词“用最少的硬币组合”——求最值问题,可以用动态规划来解决。顺便说下可以使用动态规划的问题一般都有以下提问方式:
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求最大值/最小值(从左上角到右上角路径的最大数字和、最长上升子序列长度)
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求方案数(有多少种方式走到右下角、有多少种方法选出K个数使得和是Sum)
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求存在性(取石子游戏,先手是否必胜;能不能选出K个数使得和是Sum)
如果你碰到一个问题,是问你这三个问题之一的,那么有90%的概率是使用动态规划来求解。要重点说明的是,如果一个问题让你求出“所有的”方案和结果,则肯定不是使用动态规划。
再说回这道题,4步解题法:
状态在动态规划中的作用属于定海神针。解动态规划时需要开一个数组,这里的“状态”就是指数组的每个元素f[i]或f[i][j]代表什么。
确定状态需要两个意识:最后一步和子问题
这道题中,我们不知道最优策略是什么,但最优策略肯定是K枚硬币a1,a2……aK面值加起来是27。这里的“最后一步”就是存在最后一枚硬币aK。除去aK,前面的硬币面值和为27-aK。
① 我们不关心前面的K-1枚硬币是怎么拼出27-aK的,我们也不知道aK和K,但是我们确定前面的硬币拼出了27-aK。
② 因为是最优策略,所以拼出的27-ak硬币数一定要最少,否则就不是最优策略。
现在问题变成了:最少用多少枚硬币可以拼出27-aK。也就是将原问题(27)转化成了一个子问题,而且规模更小(27-aK)。
这种与原问题内核一致,但是规模更小的问题,就叫子问题。
为了简化定义,我们设状态f(X)=最少用多少枚硬币拼出X。所以问题就从求f(X)变成求f(X-aK)
我们目前还不知道最后的硬币aK面额多少,但它的面额一定只可能是2/5/7之一。
除此以外,没有其他的可能了。
因为要求最少的硬币数,所以问题的解就可以这样表示:
设状态f[X]=最少用多少枚硬币拼出X
实际面试中,如果正确列出转移方程,问题基本就解决一半了。
很多同学基本也可以做到写出状态转移方程,但真正写程序的时候往往会出现很多错误或问题。
这就涉及到在写代码前的两个重要步骤,就是我们4步解题法的第三步和第四步。
第三步:初始条件和边界情况
故对边界情况设定如下:
如果硬币面值不能组合出Y,就定义f[Y]=正无穷
特殊情况:本题的F[0]对应的情况为F[-2]、F[-5]、F[-7],按照上文的边界情况设定结果是正无穷。
但是实际上F[0]的结果是存在的(即使用0个硬币的情况下),F[0]=0。
这种用转移方程无法计算,但是又实际存在的情况,就必须通过手动定义。
所以这里定义初始条件为:F[0]=0。
那么开始计算时,是从F[1]、F[2]开始?还是从F[27]、F[26]开始呢?
判断计算顺序正确与否的原则是:
当我们要计算F[X](等式左边,如F[10])的时候,等式右边(f[X-2], f[X-5], f[X-7]等)都是已经得到结果的状态,这个计算顺序就是OK的。
实际就是从小到大的计算方式(偶有例外的情况我们后边再讲)。
例如我们算到F[12]的时候,发现F[11]、F[10]、F[9]都已经算过了,这种算法就是对的;
而开始算F[27]的时候,发现F[26]还没有算,这样的顺序就是错的。
很显然这样的情况下写一个FOR循环就够了。
回到这道题,采用动态规划的算法,每一步只尝试三种硬币,一共进行了27步。算法时间复杂度(即需要进行的步数)为27*3。
最后总结下动态规划4步解题法
- 确定状态(研究最优策略的最后一步,转化为子问题)
- 转移方程(根据子问题定义直接得到)
- 初始条件和边界情况(细心,考虑周全)
- 计算顺序(利用之前的计算结果)
按照以上4步套路,基本上可以解决绝大多数类型的动态规划题。另外我在《》分析了近3年国内大厂90%的高频动规笔面试题,可以帮你搞定7大动态规划题型,私信我【DP】可以享受9元听课优惠。