（高中数学）解三角形中 什么叫三角形有唯一解？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-06 01:37 标签： 三角形只有一个解的条件

　　学习数学，其实包含两个方面：一个是数学知识，一个是数学方法。考察数学，就是在不同的题型下，利用恰当的数学方法将所学习的数学知识组合起来，解决不同的数学问题。

　　所以，学好数学有三点需要强调：学习知识，把握题型，提取方法。

　　关于基础知识，就不过多一一列举，主要是通过具体实例，来让同学们感受一下学习数学的核心思想：不同题型对应不同方法；学习数学，就是一个归纳题型和解题方法的过程。

　　一般情况下，高考数学后几道大题分别是：三角函数，立体几何，数列，圆锥曲线，函数与导数。每个题型都有对应的出题套路，每一种套路都有对应的解题方法。

　　这个题型有两种考法，大概10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。

　　不管题目是什么，作为被考察者，你要明白关于解三角形，你只学了三个公式——正弦定理，余弦定理和面积公式。所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。

　　三角函数，套路一般是给出一个比较复杂的式子，问函数的定义域、值域、周期频率和单调性等问题。解决方法就是首先利用“和差倍半”对式子进行化简，化简成 

　　掌握以上公式，关于题型见下图。

　　相比于前面的三角函数，立体几何题型要稍微复杂一些，可能会卡住一些人。该题通常有2-3问，第一问求某条线的大小或证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，最后一问求二面角。

　　这类题解题方法主要有两种，传统法和空间向量法，其中各有利弊。

　　使用向量法的好处在于没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。缺点是计算量大，且容易出错。

　　应用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为AB=（a，b，c）然后进行后续证明与求解。

　　学习立体几何章节，虽然学了很多性质定理和判定定理，但针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。

　　另外，还有一类题，是求点到平面距离的，这类题百分之百用等体积法求解。

　　从这里开始，题型难度开始明显增加，但只要掌握了套路和方法，同样并不困难。数列的考察主要是求解通项公式和前n项和。

　　观察题目中给出的条件形式，不同形式对应不同的解题方法。

　　通项公式的求法我给出了8种，着重掌握上图中的1、4、5、6、7、8，其实4-8可以算作一种。除了以上八种方法，还有一种叫定义法，就是题中给出首项和公差或者公比，按照等差等比数列的定义进行求解。

　　求前n项和主要有四种方法——倒序相加法，错位相减法，分组求和法，裂项相消法。同样，每种方法都有对应的使用范围。

　　当然，还有课本上关于等差数列和等比数列求前n项和的基本方法，请大家牢记掌握。

　　高考对于圆锥曲线的考察也是有套路可循的。一般套路就是：前半部分是对基本性质的考察，后半部分考察与直线相交。

　　如果高考题做得足够多，你会发现后半部分的步骤基本是一致的。即：设直线，然后将直线方程带入圆锥曲线，得到一个关于x的二次方程，分析判别式，韦达定理，利用定理的结果求解待求量。

　　所以，学好圆锥曲线需要明白三件事：

　　(一)三种圆锥曲线的性质

　　在此不再列举，请同学们自行总结。

　　(二)求轨迹的方法

　　求动点的轨迹方程的方法有7种，下面将一一介绍。

　　这类方法最常见，一般设置为第一问，题干中给出圆锥曲线的类型，并给出部分性质，比如离心率，焦点，端点等，根据圆锥曲线的性质求解a,b。

　　定义法的意思呢，就是题目中给出的条件其实是某种我们学过的曲线的定义，这种情况下，可以根据题目描述，确定曲线类型，再根据曲线的性质，确定曲线的参数。各曲线的定义如下：

　　到定点的距离为定值的动点轨迹为圆；

　　到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹为椭圆；

　　到两个定点的距离之差为定值的动点轨迹为双曲线；

　　到定点与定直线的距离之比为定值的动点轨迹为圆锥曲线；

　　顾名思义，就是直接翻译题目中的条件。将题目中的文字用数学方程表达出来即可。

　　假如题目中已知动点P的轨迹，另外一个动点M的坐标与P有关系，可根据此关系，用M的坐标表示P的坐标，再带入P的满足的轨迹方程，化简即可得到M的轨迹方程。

　　当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，可以先找到x、y与另一参数t的关系，得再消去参变数t，得到轨迹方程。

　　若题目中给出了两个曲线，求曲线交点的轨迹方程时，应将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。

　　只要是中点弦问题，就用点差法。

　　必考题，且每年形式基本一致，先从理论上说说这道题的解题步骤。

　　步骤1：先考虑直线斜率不存在的情况。求结果。（此过程仅需很简短的过程）

　　步骤2：设直线解析式为 y=kx+b（随机应变，也可设为两点式）

　　步骤3：一般，所设直线具有某种特征，根据其特征，消去上式中k或b中的一个。

　　步骤4：联立直线方程和圆锥曲线方程，得到：

　　步骤5：求出判别式 △，令

　　步骤6：利用韦达定理求出 x1x2，x1+x2（先空着，必要时再求y1y2） 

　　步骤7：翻译题目，利用韦达定理的结果求出所求量。

　　导数这块的步骤也是固定的，导数与函数的题型，大体分为三类。

　　1.关于单调性，最值，极值的考察；

　　3.函数中含有字母，分类讨论字母的取值范围；

　　无论是哪种题型，解题的流程只有一个，如下图所示。

　　例题比较简单，但是注意两点：一是任何导数题的核心步骤都是以上四部，二是时刻提醒自己定义域。以上例题属于第一类题型。

　　第二类题型，证明不等式，需要先移项，构造一个新函数，可以使不等号左边减去右边，构成的新函数，利用以上四个步骤分析新函数的最值与0的大小关系，可以得证。此为作差法。还有一种方法叫作商，即左边除以右边，其结果与1做对比。不过此方法不建议使用，因为分母有可能为0，或者正负号不确定。

　　还要注意逻辑。如果证明 A ≤ B，新函数设为 A - B，那么，需要 A - B的最大值小于等于0。

　　第三类问题，求字母的取值范围。先闭着眼睛当成已知数算，算完以后列表，针对列表中的结果进行分情况讨论。（一般，题目都会写明字母不为0）

　　以上就是为各位同学总结的题型和解题套路，并没有把所有的题型完整总结，只是提供一个思路和示范，此外下方还为大家整理归纳了高中数学100个核心考点，同学们可以按照这种模式自行总结。最后，重申三点：记住基础知识素材，总结题型，提取解题策略。

　　高中数学100个核心考点全汇总

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        本节主要包括解三角形的应用举例等知识点。其关键是审清题意，画出图形，建立解三角形模型，最后解答。 1、解应用题的一般步骤是： （1）分析：审题、理解题意，分清已知与未知，根据题意画出示意图； （2）建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素。把已知量与求解量集中在一个三角形中； （3）求解：运用正弦定理、余弦定理及面积公式等有序地解出这些子三角形，求得数学模型的解。 （4）检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 2、解应用题中的几个角的概念 （1）仰角、俯角 （2）方向角 （3）方位角

        本节知识点在段考是必考内容，多以解答题形式考查应用正弦定理和余弦定理解实际问题中的三角形，难度属于难题。在高考中，多以选择题和填空题形式考查正弦定理和余弦定理解三角形。属于中档题。

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2、解析】选D.由题设知即a2+b2c2,即a2+b2-c20,于是所以C为钝角，故ABC为钝角三角形.4.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得和的度数，再根据条件作出判断，进而求得cos().【解析】选B.，(0，)，由cos ()和sin ()，可得， ，当，时，0与，(0，)矛盾；当，时，此时cos

4、anACE所以ACE75，所以BAC.答案：60【方法技巧】巧解三角形解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成，这种方法是最基本的，也是很重要的方法.有些三角形问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想，往往可以构造设计一个恰当的三角形，借助于平面几何、解三角形等知识去解决.9.【解析】由题意可得A2，m=2,y=2sin(4x+)+2.又直线x=是其图象的一条对称轴，所求函数解析式为y=2sin(4x+)+2.答案：y=2sin(4x+)+210.【解题指南】(1)先由图象直接得A，求得周期T进而求得,代入点求得，这样得解析式求得对称中心.(2)利用

km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A.B2C.或2D3解析：如图所示，设此人从A出发，则ABx，

6、BC3，AC，ABC30，由正弦定理，得CAB60或120，当CAB60时，A CB90，AB2；当CAB120时，ACB30，AB，故选C.答案：C2（合肥市质检）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这只船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析：如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10(海里/小时)答案：C3（云南师大附中月考）如图所示，已知两座灯塔A和B与

7、海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmB.a kmC.a kmD2a km解析：利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosa2，ABa.答案：B4（2013新课标数学压题卷）有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1千米 B2sin10千米C2cos10千米

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