高等数学，图中画波浪线的那个式子，如何求出它的原函数呢？一直想不出来？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-29 11:45 标签： 高等数学斜渐近线方程

摘 要：在现代教育研究领域的不断拓展，泰勒公式成了高等数学中的一个重要知识点，且对高等数学的发展有很大的作用。泰勒公式可以将一些复杂函数近似地转化为简单的多项式函数，能用高次多项式进行精确度要求较高的运算。也是人们分析和研究数学问题的一个重要的工具，目前在高等数学中的应用十分广泛。

关键词：泰勒公式 高等数学 应用

泰勒公式是求解高等数学问题的一个重要工具。其在微积分的各个方面都有广泛应用。尤其是在近似计算，误差估计以及判断函数增减性、凹凸性等方面也有很好的应用。泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 在函数的图像足够光滑，并且已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，而且还能计算出多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式不仅能解决特殊类型的有理函数不定积分，而且还能求解出函数的极限。

泰勒公式是根据该函数的特性对其进行求解，我们可以使用泰勒公式将一些非初等函数转换为多项式函数进行计算，从而在一定程度上省略了很多换算的步骤。这也是在高等数学它能广泛应用的一个重点。泰勒公式：f（x）=f（x0）+f（x0）/1！*（x-x0）+f（x0）/2！*（x-x0）^2+…+f^（n）（x0）/n！（x-x0）^n+o（（x-x0）^n）。我们把其中的o（（x-x0）^n）称之为拉格朗日型余项。特别应该注意的是在对泰勒公式的使用有一些具体的条件就是必须保证函数f（x）的n阶可导，然后才能转化和计算。

二、泰勒公式在高等数学中的应用

1.利用泰勒公式求函数极限

高等数学中求解未定式极限是极限运算中的典型问题，用等价无穷小量替换求极限是一种有效的方法。运用泰勒公式法需要注意的一个问题是将函数展开至化简后n+1阶导存在即可。利用泰勒展开式的余项可以近似的表示近似这个函数后所产生的误差，使误差不超过预期。有时在想要证明不等式中含有一阶以上的导数时，一般在于根据题设的条件来选择要展开的函数、在哪一点的邻域将函数展开、展开的阶次及余项的形式。

举个例子，如何利用泰勒公式求未定式的极限。未定式一般是用洛比达法则求解，在分子分母的阶数都是无穷小时必须进行多次洛比达法则，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式会更简单。有些求无穷型极限可以用洛比达法则求解，不过此时利用泰勒公式可以将问题大大简化。利用泰勒公式求极限是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法，其实质是将函数用泰勒公式展开，再利用了泰勒公式的分式作用化简再利用无穷小阶的估计，从而得到极限。

当级数的通项表达式是一种比较繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式。此时一般需要考虑两个问题。

一是数项级数的敛散性判断，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，如何要利用泰勒公式将级数通项简化？此时我们需要直接根据通项去判断级数无法恰当选择判敛方法。使用放缩等技巧是比较判别法常用的技巧。

二是如何判断函数项级数的敛散性？我们一般常用的是魏尔斯特拉斯判别法，通过与正项常数项级数进行比较来判断是否一致收敛。在此过程中，我们可以利用泰勒公式对函数进行展开，从而与正项常数项级数进行比较，然后进行进一步的判断。

泰勒公式不仅在理论上占有重要的地位，也数学分析中是一个非常重要的内容，微分学理论中利用泰勒公式建立了函数的增量和自变量增量与一阶及高阶导数之间的关系，能把一些复杂的函数近似地表示为较为简单的多项式函数，由此泰勒公式成为了把复杂变简单的有力工具。所以我们可以使用泰勒公式来确定无穷小的阶，极限，以及不等式与等式的证明等。在高等数学中，证明不等式的方法很多。有时在欲证不等式中含有一阶以上的导数时，一般在于根据题设的条件来选择要展开的函数、在那一点的邻域将函数展开、展开的阶次及余项的形式。在证明已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式先直接写出的泰勒展开式，然后在具有二阶或二阶以上连续导数的前提下，一般先作輔助函数进行泰勒展开，然后对泰勒余项作适当处理。举个例子，在利用泰勒公式证明代数不等式时，我们将不等式化简，我们要构造函数，利用泰勒公式将不等式转化成不等式组，再利用泰勒公式展开求解。

若欲证的结论是至少存在一点代数式，则可以考虑使用辅助函数法，辅助函数由定理的结论即得命题的证明。即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式，用积分法求出原函数，通过移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x就可以直接将被积函数设为辅助函数，即可以解出此题。

总之，泰勒公式不仅在理论上占有重要的地位，而且在函数敛散性的判断、近似计算、极限计算、等式与不等式的证明、等方面有重要 的应用。在解题训练中要把握处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。

[1]对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用.内蒙古： 2009 党振才， .2009 筑大学期刊.2005.

[2]董海峰，孔文聪.泰勒公式及其应用[J].课程教育研究，2013（30）：185-187.

[3]姚志健.泰勒公式在证明不等式中的应用[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2015（01）：86-89.

[4]赖华丹.泰勒公式在数学研究中的应用研究[J].数学学习与研究，2014（23）：123.

[5]华东师范大学数学.数学分析上册（第三版）[M].北京：高等教育 出版社，2002：134。138.

今天是高等数学专题的第10篇文章。

今天我们来看另一个解不定积分的方法——分部积分法，这个方法非常常用，甚至比换元法还要常用。在我仅存不多的高数的记忆里，这是必考的内容之一。

虽然这个内容非常重要，但是却并不难，推导也很简单，所以这篇文章几乎没有难度，也没什么公式推导。

分部积分法的原理非常简单，其实也是脱胎于导数公式的推导。我们之前介绍不定积分的时候介绍过通过函数加减计算得到的简单的积分公式。这一次的分部积分公式来源于两个函数乘积的求导法则，利用积分是求导逆运算的性质得到分部积分公式。

我们来看，假设u和v是两个关于x的函数，并且它们的导数连续。根据求导公式，我们可以得到函数uv乘积的导数公式：

这个公式应该很简单，我们在高中数学就很熟悉了，接着我们做一个简单的移项，可以得到：

之后我们再对等式的两边求不定积分：

上面的式子还可以简化，写成：

这个就是我们的分部积分公式的推导过程，是不是很简单。可能有些同学会有些疑惑这个结果，比如为什么(uv)'积分之后变成了uv。这个原因很简单，因为求不定积分就是通过导函数求原函数，所以我们对一个函数求导之后的结果再积分，自然得到的就是函数本身。这也是我们之前说不定积分是求导的逆运算的原因。

在一些时候，我们想要求不太容易，而求比较容易，这个时候我们就可以用分部积分公式得到结果了。

在分部积分法当中，最重要的就是u和v的选择，会直接关系到我们的计算量以及复杂度。我们来看下面这个例子。

比如我们想求，这个式子比较麻烦，无论是第一类换元法还是第二类换元法都不太好解。我们试试分部积分，这个式子当中只有两个部分，算是比较明显，我们假设，那么，我们带入分部积分：

很容易得到原函数，所以整体的答案就是：

但是为什么一定是呢？如果我们令行不行呢？

当然也行，但是整体的计算会麻烦很多，我们简单代入一下就知道，如果，那么，，我们代入之后会得到一个比较复杂的式子：

我们要求这个式子的积分可能比原式还要困难，这个例子说明了一点，就是我们在选择u和v的时候不能盲目，并不是随便选一个函数就可以简化计算的。

一般来说有两个原则可以尽量保证我们使用分部积分法能够获得比较好的结果，第一个原则是v的计算要简单。在刚才的例子当中，如果dv很复杂，那么会使得我们算出的v也很复杂。代入进式子当中之后会使得vdu变得很难计算。第二个原则是要比容易计算，这个也是显然的，不然我们还用分部积分法干嘛，不如直接算了。

其实从上面的例子和分部积分的公式当中我们可以发现一点端倪，分部积分的前提是要让v的计算尽量简单，什么样的函数积分和求导都比较简单呢？

很显然，三角函数和各种出现e的函数。所以对于有三角函数以及自然底数e出现的函数，优先考虑分部积分。

这个例子当中出现了，我们知道是个好东西，它的积分和求导都等于它本身，它用来当做v再适合不过了。所以我们令，所以，我们代入公式即可得到答案：

我们令，所以，代入可得：

除了在函数选择上的诀窍之外，另一个trick是我们的分部积分法可以多次使用，对于一些比较复杂的式子通过一次拆分是不够的，这个时候我们可以考虑继续使用分部积分进行多次拆分。我们来看个例子：

还是和之前一样，我们令，所以。我们代入原式，可以得到：

我们观察到右侧的式子当中还有一个不太好求的积分，这个时候我们继续使用分部积分法，令, 那么，我们代入可以得到：

分部积分除了可以多次拆分计算之外，另一个杀器是还可以结合换元法一起使用。这两个方法结合在一起之后威力大增，进一步扩大了公式的应用范围。

比如我们来看一个例子：

这个式子当中我们虽然有e出现，但是它的指数也是一个函数，我们使用分部积分法并不太容易。这个时候就需要结合上换元法了，我们令，所以

这个式子我们已经很熟悉了，套用一下分部积分，我们很轻松就可以得到：

到这里，我们关于分部积分法的内容就结束了，不仅分部积分法讲完了，我们整个不定积分的求解方法也都讲完了。其实说白了也就只有换元法和分部积分这两种方法，这两种方法虽然简单，但是如果使用熟练的话威力并不小，可以解决很多看起来比较棘手的积分问题。大家可以把这两篇文章结合在一起观看。

今天的文章就是这些，如果觉得有所收获，请顺手点个在看或者转发吧，你们的举手之劳对我来说很重要。

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